2008年四川初中数学联赛（初二组）初赛试题参考解答及评分细则一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、若b a ,为实数，满足b a b a +=-111，则ba ab -的值是（ D ）． （A ）1- （B ）0 （C ）21（D ）１解：由题设条件知ab a b =-22，两边同时除以ab ，得1=-ba ab ．故答案选Ｄ．2、下面4种说法：（1）一个有理数与一个无理数的和一定是无理数； （2）一个有理数与一个无理数的积一定是无理数； （3）两个无理数的和一定是无理数； （4）两个无理数的积一定是无理数. 其中，正确的说法种数为( A )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解：在上述四种说法中（1）正确；（2）、（3）、（4）错误．故答案选Ａ．3、已知一次函数b kx y +=，其中0>kb ．则所有符合条件的一次函数的图象一定通过（ Ｂ ）．Ａ．第一、二象限 Ｂ．第二、三象限 Ｃ．第三、四象限 Ｄ．第一、四象限解：因为0>kb ，故b k 、同号．当b k 、同为正数时，则一次函数的图象通过第一、二、三象限；当b k 、同为负数时，则一次函数的图象通过第二、三、四象限．所以，符合条件的一次函数的图形一定通过第二、三象限．故答案选Ｂ．４、在凸四边形ABCD 中，H G F E 、、、分别为DA CD BC AB 、、、的中点，EG 与FH 相交于O ，设四边形CGOF BFOE AEOH 、、的面积分别为3、4、5，则四边形DHOG 的面积为（ C ）A ．215B ．415C ．4D ．6解：如图，连结OD OC OB OA ,,,，则BEO AEO S S ∆∆=，CFO BFO S S ∆∆=，DGO CGO S S ∆∆=，AHO DHO S S ∆∆=．于是D H O G BFO E CFO G AEO H S S S S +=+， 所以4453=-+=DH OG S ．故答案选Ｃ．５、20082007=x ，则x 除以10的余数是（ A ）．Ａ．1 Ｂ． 3 Ｃ．7 Ｄ．9 解：x 除以10的余数等于20087除以10的余数．又 、、、、、543277777除以10的余数分别为 、、、、、71397．它们以4为周期．又45022008⨯=，于是20087除以10的余数为1，即x 除以10的余数是1．故答案选A ．6、已知c b a ,,为互不相同的有理数，满足)2)(2()2(2++=+c a b .则符合条件的c b a ,,的组数共有( Ａ )Ａ．０组 Ｂ．１组 Ｃ．２组 Ｄ．４组解：因为)2)(2()2(2++=+c a b ，即2)(22222c a ac b b +++=++，则2b ac =，b c a 2=+．于是ac b c a ac c a 44)(22222==+=++．所以0)(2=-c a ，故c a =，这与条件矛盾．故答案选Ａ．二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1、关于x 的不等式：6|12|<-x 的所有非负整数解的和为 ．解：原不等式等价于⎩⎨⎧->-<-612612x x ，解得2725<<-x ．于是，符合条件的所有非负整数解为3210，，，=x ．所以，所有非负整数解的和为6． 故答案填６． 2、已知321+=x ，321-=y ，则=++3312y xy x .解：32-=x ，32+=y ，则4=+y x ．于是64)()(31233333=+=+++=++y x y x xy y x y xy x .故答案填64.３、用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面．已知正多边形的边数为z y x 、、，则zy x 111++的值为 ． 解：依题意，有360180218021802=⨯-+⨯-+⨯-zz y y x x ，化简得21111=++z y x ．故答案填21．４、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AC AB =，DB DA =，90=∠ADB ， 则ACD ∠的度数等于 ．解：如图，过A 作CD AE ⊥交CD 延长线于E ，过D 作AB DF ⊥于F ．由DB DA =，90=∠ADB 知ADB ∆为等腰直角三角形． 故45=∠=∠DAF DBA ．因为AB ∥DC ，故45=∠ADE ． 因为AB DF ⊥，则AB DF 21=， 45=∠ADF ． 于是90=∠FDE ，即CD FD ⊥．又CD AE ⊥，故AE ∥FD ．又AF ∥ED ，故AFDE 为平行四边形． 从而AC AB DF AE 2121===．所以， 30=∠ACD ．故答案填 30．三、（本大题20分）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DB AC ⊥，5=AC ， 30=∠DBC .（1）求对角线BD 的长度； （2）求梯形ABCD 的面积. 解：（１）如图，过A 作AE ∥DB 交CB 延长线于E∵ DB AC ⊥，AE ∥DB ．∴ AE AC ⊥，30=∠=∠DBC AEC ．∴90=∠EAC ，即EAC ∆为直角三角形． ∴ 102==ACEC ． ∴ 355102222=-=-=AC EC AE ．∵ AD ∥BC 且AE ∥DB ． ∴ 四边形AEBD 为平行四边形． ∴ 35==AE DB ．（２）记梯形ABCD 的面积为S ，过A 作BC AF ⊥于F ，则AFE ∆为直角三角形． ∵30=∠AEF ． ∴ 23521==AE AF ，即梯形ABCD 的高235=AF ．∵ 四边形AEBD 为平行四边形． ∴ EB AD =． ∴475235352121)(21=⨯⨯=⨯=⨯+=AF EC AF BC AD S ．四、(本大题25分) 设实数x 满足：1013536324213--≥---x x x . 求|4||1|2++-x x 的最小值.解：原不等式两边同乘以30，得：39)36(6)24(10)13(15--≥---x x x 化简得：6231-≥-x .解得：2≤x ．记|4||1|2++-=x x y（１）当4-≤x 时，23)4()1(2--=+---=x x x y ． 所以，y 的最小值都为102)4()3(=--⨯-，此时4-=x ． （２）当14≤≤-x 时，6)4()1(2+-=++--=x x x y ． 所以，y 的最小值为５，此时1=x ．（３）当21≤≤x 时，23)4()1(2+=++-=x x x y ． 所以，y 的最小值为５，此时1=x ．综上所述，|4||1|2++-x x 的最小值为５，在1=x 时取到． 五、（本大题25分）已知正整数c b a ,,满足：c b a <<，且a b c ca bc ab =++．求所有符合条件的c b a ,,．解：由c b a <<≤1知bc ca bc ab abc 3<++=，所以3<a ．故1=a 或者2=a ．（１）当1=a 时，有bc c bc b =++，即0=+c b ，这与c b ,为正整数矛盾． （２）当2=a 时，有bc c bc b 222=++，即022=--c b bc ． 所以4)2)(2(=--c b ．又因为c b <<2，故220-<-<c b ． 于是42,12=-=-c b ．即6,3==c b ．所以，符合条件的正整数仅有一组：6,3,2===c b a ．。
全国初中数学联赛（初二组）初赛试卷及其解析一、选择题（本大题满分42分，每小题7分） 103(1)π---的值是（ ）A 、4B 、5C 、8D 、9解析：此题利用算术平方根、绝对值、非零数的零次幂的意义，即可解答。
答案为A 2、若2(2)()2x x a x bx -+=+-，则a b +=（ ） A 、-1 B 、0 C 、1 D 、2解析：利用多项式相等，原等式化为22(2)22x a x a x bx +--=+-，∴22a -=-，2a b -= 求得1,1a b ==-，故0a b +=，答案为B3、如图已知在△ABC 中，BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB ，且O M ∥AB ，ON ∥AC ，若CB=6，则△OMN 的周长是（ ）A 、3B 、6C 、9D 、12解析：利用角平分线性质、平行线性质，可证得BM=OM,CN=ON ，由图易得△OMN 的周长就等于BC 的长，故答案为B.4、不等式组11212332x x x x ⎧+≥+⎪⎨⎪<+⎩的解是（ ） A 、61x -<≤ B 、61x -<<C 、61x -≤<D 、61x -≤≤ 解析：解不等式组的问题，答案为C5、非负整数,x y 满足2216x y -=，则y 的全部可取值之和是（ ） A 、9 B 、5 C 、4 D 、3解析：由2216x y -=，,x y 为非负整数，可知()()16x y x y +-=，且x y >，而16可分解为整数相乘的有1×16、2×8、4×4，于是便有1684124x y x y x yx y x y x y +=+=+=⎧⎧⎧⎨⎨⎨-=-=-=⎩⎩⎩或或，可求得符合条件的只有543,0x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，答案为D 6、如图，已知正方形ABCD 的边长为4，M 点为CD 边上的中点，若M点是A 点关于线段EF的对称点，则AEED=( )A 、53B 、35C 、2D 、12解析：连结EM ，可知由题EF 垂直平分AM ，所以AE=EM ，AE+ED=4，所以EM=4-ED ，，易知DM=2，在R t △EDM 中，由勾股定理有222ED DM EM +=,所以2222(4)ED ED +=-，解之，32ED =，故AE= 52，∴552332AE ED ==，答案为A二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）130y +=，则22x y +=2x =，再由非负数和为0可求3y =-，∴22x y +=1323=，则231x x x ++=解析：由已知可知0x ≠3=两边平方，可得17x x +=，∴211113173103x x x x x===+++++ 3、设23234536x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩，则32x y z -+=解析： 将2323(1)4536(2)x y z x y z ++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎧⎨++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎩中（1）×2—（2），就得32x y z -+=104、如图，在△ABC 中，AC=BC ，且∠ACB=90°，点D 是AC 上一点，AE ⊥BD,交BD 的延长线于点E,且12AE BD =，则∠ABD= 解析：延长AE 、BC 交于点F,∵∠ACB=∠AEB=90°, ∠ADE=∠BDC ， ∴∠FAC=∠DBC ， 在△AFC和△BDC 中FAC DBC CB 90AC BCD FCA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∴ △AF C ≌△BDC ， ∴ BD=AF ， 又∵12AE BD =∴12AE AF = ∴ E 是AF 的中点， ∵AE ⊥BD∴ BE 是AF 的垂直平分线，∴ BE 平分∠ABC ，即∠ABD=1ABC 2∠∵ AC=BC ，且∠ACB=90° ∴∠ABC=45°∴ ∠ABD=1ABC 2∠=22.5° 三、（本大题满分20分）先化简后，再求值：22214()2442a a a a a a a a ----÷++++，其中1a =. 解：22214()2442a a a a a a a a ----÷++++ 22222212()(2)(2)442(2)442(2)41(2)a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a --+=-⨯++---++=⨯+--+=⨯+-=+当1a =-原式1==四、（本大题满分25分） 如图，已知直角梯形OABC 的A 点在x 轴上，C 点在y 轴上，OC=6，OA=OB=10，P Q ∥AB 交AC 于D 点，且∠ODQ=90°，求D 点的坐标.解：连结OB ，延长OD 交AB 于点E∵A 点在x 轴上，C 点在y 轴上，OC=6，OA=10 ∴ C （0,6） A （10，0） 设AC 直线的解析式为16y kx =+ ∴ 1060k += 35k =-1365y x =-+ ∵ OB=10 B C ∥OA 令(,6)B b (0)b > 由两点距离公式，10= ∴ 8b = ∴ (8,6)B∵ P Q ∥AB,∠ODQ=90° ∴ OE AB ⊥又 ∵ OA=OB ∴ E 是AB 的中点，由中点坐标公式 得 (9,3)E设OE 直线的解析式为2y mx = 故93m = 13m =213y x =由图可知，点D 为函数1y 、2y 的交点，D 的坐标是方程组36513y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩的解，解之457157x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以D 点坐标为4515(,)77五、（本大题满分25分）如图，已知四边形ABCD 中，AB=DC ，E 、F 分别为AD 与BC 的中点，连接EF 与BA 的延长线相交于N ，与CD 的延长线相交于M ， 求证：∠BNF=∠CMF此题解答方法较多，就初二而言，提供以下几种解答方案。
2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）初赛试题一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．要使方程组⎩⎨⎧=+=+23223y x a y x 的解是一对异号的数，则a 的取值范围是（ ）（A ）334<<a （B ）34<a （C ）3>a （D ）343<>a a 或 2．一块含有︒30角的直角三角形（如图），它的斜边AB ＝8cm, 里面空心DEF ∆的各边与ABC ∆的对应边平行，且各对应边的距离都是1cm,那么DEF ∆的周长是（ ）(A)5cm (B)6cm (C) cm )(36- (D) cm )(33+3．将长为15cm 的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，则不同的截法有( )(A)5种 (B) 6种 (C)7种 (D)8种4．作抛物线A 关于x 轴对称的抛物线B ，再将抛物线B 向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C 的函数解析式是1122-+=)x (y ，则抛物线A 所对应的函数表达式是( )(A)2322-+-=)x (y (B) 2322++-=)x (y(C) 2122---=)x (y (D) 2322++-=)x (y5．书架上有两套同样的教材，每套分上、下两册，在这四册教材中随机抽取两册，恰好组成一套教材的概率是( )(A)32 (B) 31 (C) 21 (D) 61 6．如图，一枚棋子放在七边形ABCDEFG 的顶点处，现顺时针方向移动这枚棋子10次，移动规则是：第k 次依次移动k 个顶点。
如第一次移动1个顶点，棋子停在顶点B 处，第二次移动2个顶点，棋子停在顶点D 。
依这样的规则，在这10次移动的过程中，棋子不可能分为两停到的顶点是( )(A)C,E,F (B)C,E,G (C)C,E (D)E,F.7．一元二次方程)a (c bx ax 002≠=++中，若b ,a 都是偶数，C 是奇数，则这个方程( )(A)有整数根 (B)没有整数根 (C)没有有理数根 (D)没有实数根8．如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L 形，那么在由54⨯个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L 形图案个数是( )(A)16 (B) 32 (C) 48 (D) 64二、填空题：(共有6个小题，每小题5分，满分30分)9．已知直角三角形的两直角边长分别为3cm,4cm ，那么以两直角边为直径的两圆公共弦的长为 cm.10．将一组数据按由小到大(或由大到小)的顺序排列，处于最中间位置的数(当数据的个数是奇数时)，或最中间两个数据的平均数(当数据的个数是偶数时)叫做这组数据的中位数，现有一组数据共100个数，其中有15个数在中位数和平均数之间，如果这组数据的中位数和平均数都不在这100个数中，那么这组数据中小于平均数的数据占这100个数据的百分比是11．ABC ∆中，c ,b ,a 分别是C ,B ,A ∠∠∠的对边，已知232310-=+==C ,b ,a ，则C sin c B sin b +的值是等于 。
2011年四川初中数学联赛(初二组)初赛一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、分式)0(≠++xyz zy x xyz中z y x ,,的值都变为原来的2倍，则分式的值变为原来的（ ）。
（A ）2倍 （B ）4倍 （C ） 6倍 （D ） 8倍 答：选B 。
2、有甲、乙两班，甲班有m 个人，乙班有n 个人。
在一次考试中甲班平均分是a 分，乙班平均分是b 分。
则甲乙两班在这次考试中的总平均分是（ ）．（A ）2b a + （B ） 2n m + （C ） b a bn am ++ （D ）n m bnam ++ 答：选D 。
3、若实数a 满足a a -=||，则||2a a -一定等于（ ）． （A ）2a （B ）0 （C ） -2a （D ）-a答：因为a a -=||，所以0≤a ，故a a a a a a 2|2|||||||2-==-=-，选C 。
4、ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，且CD AC AB +=。
若60=∠BAC ，则ABC ∠的大小为（ ）（A ）40 （B ）60 （C ）80 （D ）100答：作C 关于AD 的对称点C ’。
因为AD 是角平分线，则C ’一定落在AB 上。
由CD AC AB +=，得D C AC AB ''+=，故D C BC ''=，所以B D AC C ∠=∠=∠2'，又120180=∠-=∠+∠A C B ，故40=∠B ，选A 。
5、在梯形ABCD 中，AD 平行BC ，2:1:=BC AD ，若ABO ∆的面积是2，则梯形ABCD 的面积是（ ）。
（A ）7 （B ）8 （C ）9 （D ）10答：设x S ADO =∆。
由2:1:::===∆∆CDO ADO S S OC AO BC AD ，故x S CDO 2=∆，同理x S ABO 2=∆，x S CBO 4=∆，故1=x ，所以梯形面积是9，选C 。
