学年上海各区的八年级第二学期数学期末试卷

2019-2020学年上海市徐汇区八年级（下）期末数学试卷一．选择题（共6小题）1．下列方程中，有实数解的是（）A．x6+1＝0B．＝2C．+3＝0D．2．若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象不经过第三象限，则k、b的取值范围是（）A．k＜0，b≥0B．k＞0，b＞0C．k＜0，b＞0D．k＞0，b＜0 3．在平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形中任选一个图形，那么下列事件中为不可能事件的（）A．这个图形是中心对称图形B．这个图形既是中心对称图形又是轴对称图形C．这个图形是轴对称图形D．这个图形既不是中心对称图形又不是轴对称图形4．在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，那么下列结论中正确的是（）A．与是相等向量B．与是相等向量C．与是相反向量D．与是平行向量5．下列命题中：①有两个内角相等的梯形是等腰梯形；②顺次联结矩形的各边中点所成四边形是菱形；③两条对角线相等的梯形是等腰梯形；④对角线互相平分且相等的四边形是矩形．其中真命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，BF的延长线交AC于点H，则HE：AH 等于（）A．1：1B．1：2C．2：1D．3：2二．填空题（共12小题）7．若关于x的一次函数y＝（2﹣k）x+1（k为常数）中，y随x的增大而减小，则k的取值范围是．8．用换元法解方程＝3时，如果设＝y时，那么得到关于y的整式方程为．9．方程（x+3）＝0的解是．10．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（5，0）与B（0，﹣4），那么关于x的不等式kx+b＜0的解集是．11．袋中有两个黄球、四个白球、三个绿球，它们除颜色外其它都一样，现从中任意摸出一个球，摸出绿球的概率是．12．化简：＝．13．已知一个多边形的每个外角都是72°，这个多边形是边形．14．已知菱形的周长是48cm，一条较小的对角线的长是12cm，则该菱形较大的内角是度．15．梯形的中位线长8cm，高10cm，则该梯形的面积为cm2．16．如图，矩形ABCD中，O是两对角线交点，AE⊥BD于点E．若OE：OD＝1：2，AE ＝3cm，则BE＝cm．17．函数y＝和y＝﹣（k≠0）的图象关于y轴对称，我们把函数y＝和y＝﹣（k ≠0）叫做互为“镜子”函数．类似地，如果函数y＝f（x）和y＝h（x）的图象关y轴对称，那么我们把函数y＝f（x）和y＝h（x）叫做互为“镜子”函数．则函数y＝2x﹣4的“镜子”函数是．18．一次函数y＝2x+4的能像与x、y轴分别用交于点A和点B，点C在直线x＝4上，点D 是直角坐标平面内一点，若四边形ABCD是菱形，则点D的坐标为．三．解答题（共8小题）19．解方程：＝1．20．解方程组．21．解方程：+x＝7．22．某工厂储存了30吨煤，由于改进炉灶和烧煤技术，每天能节约2吨煤，且储存的煤比原计划多用20天，原计划每天烧煤多少吨？23．如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD．（1）若AD＝BC，且AC⊥BD，AC＝6，求梯形ABCD的面积；（2）若CD＝3，M、N分别是对角线AC、BD的中点，联结MN，MN＝2，求AB的长．24．如图，已知在四边形ABCD中，AB∥CD，点O是对角线AC的中点，联结DO并延长与AB边交于点E，联结CE，设＝，＝，．（1）试用向量，表示下列向量：＝，＝．（2）求作：．（保留作图痕迹，写出结果，不要求写作法）25．如图，直线AB经过点A（﹣3，0），B（0，2），经过点D（0，4）并且与y轴垂直的直线CD与直线AB交于第一象限内点C．（1）求直线AB的表达式；（2）在x轴的正半轴上是否存在一点P，使得△OCP为等腰三角形，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．26．已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC和CD上．（1）若BE＝DF，①求证：∠BAE＝∠DAF；②联结AC交EF于点O，过点F作FM∥AE，交AC的延长线于M，联结EM，求证：四边形AEMF是菱形．（2）联结BD，交AE、AF于点P、Q．若∠EAF＝45°，AB＝1，设BP＝x，DQ＝y，求y关于x的函数关系及定义域．2019-2020学年上海市徐汇区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．下列方程中，有实数解的是（）A．x6+1＝0B．＝2C．+3＝0D．【分析】利用乘方的意义可对A进行判断；通过解无理方程可对B进行判断；利用二次根式的性质可对C进行判断；通过解分式方程可对D进行判断．【解答】解：A、x6≥0，x6+1＞0，方程x6+1＝0没有实数解；B、两边平方得2﹣x＝4，解得x＝﹣2，经检验x＝﹣2为原方程的解；C、≥0，则+3＝0没有实数解；D、去分母得x＝2，经检验原方程无解．故选：B．2．若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象不经过第三象限，则k、b的取值范围是（）A．k＜0，b≥0B．k＞0，b＞0C．k＜0，b＞0D．k＞0，b＜0【分析】根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论．【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象不经过第三象限，∴直线y＝kx+b经过第一、二、四象限或第二、四象限，∴k＜0，b≥0．故选：A．3．在平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形中任选一个图形，那么下列事件中为不可能事件的（）A．这个图形是中心对称图形B．这个图形既是中心对称图形又是轴对称图形C．这个图形是轴对称图形D．这个图形既不是中心对称图形又不是轴对称图形【分析】根据“不可能事件”的意义，结合平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形的性质进行判断即可．【解答】解：平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，因此选项D是不可能事件，故选：D．4．在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，那么下列结论中正确的是（）A．与是相等向量B．与是相等向量C．与是相反向量D．与是平行向量【分析】根据等腰梯形的性质，即可得AC＝BD，然后根据相等向量与相反向量，以及平行向量的定义，即可求得答案．【解答】解：A、∵AB＝CD，但AB不平行于CD，≠，故本选项错误；B、∵AD∥BC，AB＝CD，∴AC＝BD，但AC不平行于BD，∴≠，故本选项错误；C、∵AD≠BC，∴与不是相反向量，故本选项错误；D、∵AD∥BC，∴与是平行向量，故本选项正确．故选：D．5．下列命题中：①有两个内角相等的梯形是等腰梯形；②顺次联结矩形的各边中点所成四边形是菱形；③两条对角线相等的梯形是等腰梯形；④对角线互相平分且相等的四边形是矩形．其中真命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据梯形、菱形和矩形的判定判断即可．【解答】解：①有两个内角相等的梯形不一定是等腰梯形，原命题是假命题；②顺次联结矩形的各边中点所成四边形是菱形，是真命题；③两条对角线相等的梯形是等腰梯形，是真命题；④对角线互相平分且相等的四边形是矩形，是真命题．故选：C．6．如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，BF的延长线交AC于点H，则HE：AH 等于（）A．1：1B．1：2C．2：1D．3：2【分析】由DE是△ABC的中位线，即可得DE∥BC，DE＝BC，AE＝EC，然后由平行线分线段成比例定理，即可求得答案，注意比例变形．【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，AE＝EC，∵F是DE的中点，∴EF＝DE＝BC，∴，∴，∴．故选B．或：过D作DG平行于AC交BF于G，∵△DGF≌△EHF，∴DG＝HE．而D为AB中点，∴DG＝AH．于是HE：AH＝1：2．二．填空题（共12小题）7．若关于x的一次函数y＝（2﹣k）x+1（k为常数）中，y随x的增大而减小，则k的取值范围是k＞2．【分析】根据一次函数的增减性可求得k的取值范围．【解答】解：∵一次函数y＝（2﹣k）x+1（k是常数）中y随x的增大而减小，∴2﹣k＜0，解得k＞2，故答案为：k＞2．8．用换元法解方程＝3时，如果设＝y时，那么得到关于y的整式方程为y2﹣3y+1＝0．【分析】可根据方程特点设设＝y，则原方程可化为y+＝3，再去分母化为整式方程即可．【解答】解：设＝y，则原方程可化为：y+＝3，去分母，可得y2+1＝3y，即y2﹣3y+1＝0，故答案为：y2﹣3y+1＝0．9．方程（x+3）＝0的解是x＝2．【分析】因为（x+3）＝0可以得出x+3＝0，x﹣2＝0且x﹣2≥0，由此求得原方程的解即可．【解答】解：∵（x+3）＝0，∴x+3＝0，x﹣2＝0且x﹣2≥0，解得x＝﹣3，x＝2且x≥2，∴x＝2．故答案为：x＝2．10．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（5，0）与B（0，﹣4），那么关于x的不等式kx+b＜0的解集是x＜5．【分析】首先利用图象可找到图象在x轴下方时x＜5，进而得到关于x的不等式kx+b＜0的解集是x＜5．【解答】解：由题意可得：一次函数y＝kx+b中，y＜0时，图象在x轴下方，x＜5，则关于x的不等式kx+b＜0的解集是x＜5，故答案为：x＜5．11．袋中有两个黄球、四个白球、三个绿球，它们除颜色外其它都一样，现从中任意摸出一个球，摸出绿球的概率是．【分析】因为球的总数为9个，即n＝9，又因为有三个绿球，即m＝3，利用公式p＝，可求出摸出绿球的概率．【解答】解：∵n＝9，m＝3，∴P（摸出绿球）＝＝，＝．故答案为：．12．化简：＝．【分析】利用三角形法则化简即可．【解答】解：∵＝﹣＝+＝．故答案为．13．已知一个多边形的每个外角都是72°，这个多边形是五边形．【分析】任何多边形的外角和是360°．用外角和除以每个外角的度数即可得到边数．【解答】解：360÷72＝5．故这个多边形是五边形．故答案为：五．14．已知菱形的周长是48cm，一条较小的对角线的长是12cm，则该菱形较大的内角是120度．【分析】先根据菱形的性质求出菱形的边长，然后根据对角线长为12cm，可判断出菱形一个角的度数，继而可求得该菱形较大的内角度数．【解答】解：∵菱形的周长为48cm，∴菱形的边长为：48÷4＝12cm，∵一条对角线的长是12cm，∴这条对角线跟相邻的两边组成的三角形为等边三角形，则菱形的较小的内角为60°，则较大内角为180°﹣60°＝120°．故答案为：120°．15．梯形的中位线长8cm，高10cm，则该梯形的面积为80cm2．【分析】根据梯形中位线定理求出梯形的上底+下底，根据梯形的面积公式计算，得到答案．【解答】解：∵梯形的中位线长8，∴梯形的上底+下底＝16，∴该梯形的面积＝×16×10＝80（cm2），故答案为：80．16．如图，矩形ABCD中，O是两对角线交点，AE⊥BD于点E．若OE：OD＝1：2，AE ＝3cm，则BE＝3cm．【分析】由矩形的性质可得AO＝BO，由线段的垂直平分线的性质可得AO＝AB，可证△ABO是等边三角形，∠ABO＝60°，由直角三角形的性质可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，∴AO＝BO，∵OE：OD＝1：2，∴OE＝OB，∴BE＝OE，又∵AE⊥BD，∴AO＝AB，∴AO＝AB＝BO，∴△ABO是等边三角形，∴∠ABO＝60°，∴∠BAE＝30°，∴AE＝BE＝3cm，∴BE＝cm，故答案为：3．17．函数y＝和y＝﹣（k≠0）的图象关于y轴对称，我们把函数y＝和y＝﹣（k ≠0）叫做互为“镜子”函数．类似地，如果函数y＝f（x）和y＝h（x）的图象关y轴对称，那么我们把函数y＝f（x）和y＝h（x）叫做互为“镜子”函数．则函数y＝2x﹣4的“镜子”函数是y＝﹣2x﹣4．【分析】根据题目中的新定义，可以直接写出函数y＝2x﹣4的“镜子”函数．【解答】解：由题意可得，函数y＝2x﹣4的“镜子”函数是y＝﹣2x﹣4，故答案为：y＝﹣2x﹣4．18．一次函数y＝2x+4的能像与x、y轴分别用交于点A和点B，点C在直线x＝4上，点D 是直角坐标平面内一点，若四边形ABCD是菱形，则点D的坐标为（2，2）或（2，﹣2）．【分析】根据菱形的性质找出点C的坐标即可得出D点的坐标．【解答】解：∵一次函数解析式为线y＝2x+4，∴B（0，4），A（﹣2，0），∴AB＝＝2，如图∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，设C（4，n），∴＝2，解得n＝6或2，∴C1（4，6），C2（4，2），∴D（2，2）或（2，﹣2），故答案为（2，2）或（2，﹣2）．三．解答题（共8小题）19．解方程：＝1．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：分式方程整理得：﹣＝1，去分母得：（x+2）2﹣20＝x2﹣4，整理得：x2+4x+4﹣20＝x2﹣4，移项合并得：4x＝12，解得：x＝3，检验：把x＝3代入得：（x+2）（x﹣2）≠0，则分式方程的解为x＝3．20．解方程组．【分析】由于组中的两个高次方程都能分解为两个一次方程，所以先分解组中的两个二元二次方程，得到四个一元一次方程，重新组合成二元一次方程组，求出的四个二元一次方程组的解就是原方程的解．【解答】解：由①，得（x﹣y）2＝16，所以x﹣y＝4或x﹣y＝﹣4．由②，得（x+3y）（x﹣3y）＝0，即x+3y＝0或x﹣3y＝0所以原方程组可化为：，，，解这些方程组，得，，，．所以原方程组的解为：，，，．21．解方程：+x＝7．【分析】先移项得到＝7﹣x，两边平方把无理方程化为整式方程，解整式方程，然后进行检验确定无理方程的解．【解答】解：＝7﹣x，两边平方得x﹣1＝（7﹣x）2，整理得x2﹣15x+50＝0，解得x1＝5，x2＝10，经检验，原方程的解为x＝5．22．某工厂储存了30吨煤，由于改进炉灶和烧煤技术，每天能节约2吨煤，且储存的煤比原计划多用20天，原计划每天烧煤多少吨？【分析】设原计划每天烧煤x吨，由“储存的煤比原计划多用20天”，列出方程，即可求解．【解答】解：设原计划每天烧煤x吨，由题意可得：，解得：x1＝3，x2＝﹣1（不合题意舍去），经检验：x＝3是原方程的解，答：原计划每天烧煤3吨．23．如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD．（1）若AD＝BC，且AC⊥BD，AC＝6，求梯形ABCD的面积；（2）若CD＝3，M、N分别是对角线AC、BD的中点，联结MN，MN＝2，求AB的长．【分析】（1）如图1，过C作CE∥BD，交AB的延长线于E，根据平行四边形的性质得到CE＝BD，CD＝BE，求得AC＝BD，推出△ACE是等腰直角三角形，得到AC＝CE＝6，求得CH＝AE＝3，根据梯形的面积公式即可得到结论；（2）如图2，延长NM交AD于G，连接DM并延长交AB于H，根据平行线的性质得到∠DCM＝∠HAM，根据线段中点的定义得到AM＝CM，根据全等三角形的性质得到DM＝HM，求得DN＝BN，得到AG＝DG，根据三角形的中位线定理即可得到结论．【解答】解：（1）如图1，过C作CE∥BD，交AB的延长线于E，∵AB∥CD，∴四边形DBEC是平行四边形，∴CE＝BD，CD＝BE，∵AC⊥BD，∴AC⊥CE，∵AD＝BC，AB∥CD，∴AC＝BD，∴AC＝CE，∴△ACE是等腰直角三角形，∴AC＝CE＝6，∴AE＝AC＝6，∴CH＝AE＝3，∴梯形ABCD的面积＝×6×3＝18；（2）如图2，延长NM交AD于G，连接DM并延长交AB于H，∵CD∥AB，∴∠DCM＝∠HAM，∵M是对角线AC的中点，∴AM＝CM，∵∠CMD＝∠AMH，∴△AMH≌△CMD（ASA），∴DM＝HM，∵N是对角线BD的中点，∴DN＝BN，∴MN∥AB∥CD，∴AG＝DG，∴GM＝CD＝，∵MN＝2，∴GN＝，∴AB＝2GN＝7．24．如图，已知在四边形ABCD中，AB∥CD，点O是对角线AC的中点，联结DO并延长与AB边交于点E，联结CE，设＝，＝，．（1）试用向量，表示下列向量：＝﹣，＝﹣．（2）求作：．（保留作图痕迹，写出结果，不要求写作法）【分析】（1）首先证明四边形AECD是平行四边形，利用三角形法则求出，即可．（2）如图，过点C作CT∥DE交AE于T.即为所求．【解答】解：（1）∵CD∥AE，∴∠OCD＝∠OAE，∵∠DOC＝∠AOE，OC＝OA，∴△DOC≌△EOA（AAS），∴CD＝AE，∵CD∥AE，∴四边形ADCE是平行四边形，∴AD＝CE，AD∥EC，∵＝+，＝，＝，∴＝＝﹣，∵＝+，，∴＝﹣+＝﹣，故答案为﹣，﹣．（2）如图，过点C作CT∥DE交AE于T.即为所求．25．如图，直线AB经过点A（﹣3，0），B（0，2），经过点D（0，4）并且与y轴垂直的直线CD与直线AB交于第一象限内点C．（1）求直线AB的表达式；（2）在x轴的正半轴上是否存在一点P，使得△OCP为等腰三角形，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由待定系数法求出直线AB的表达式为：y＝x+2；（2）求出点C的坐标为（3，4），由勾股定理求出OC＝5，分三种情况，由等腰三角形的性质和勾股定理进行解答即可．【解答】解：（1）设直线AB的表达式为：y＝kx+b，把A（﹣3，0）、B（0，2）代入表达式得：，解得：，∴直线AB的表达式为：y＝x+2；（2）∵经过点D（0，4）并且与y轴垂直的直线CD与直线AB交于第一象限内点C，∴点C的纵坐标为：4，∴4＝x+2，解得：x＝3，∴点C的坐标为：（3，4），∴OC＝＝5，分三种情况：如图，①当OP＝PC时，设点P的坐标为：（a，0），则OP2＝PC2，即a2＝（a﹣3）2+42，解得：a＝，∴点P的坐标为：（，0）；②当OC＝OP＝5时，点P的坐标为：（5，0）；③当OC＝CP时，由点C的横坐标为3，可得点P的横坐标为6，∴点P的坐标为：（6，0）；综上所述，△OCP为等腰三角形，点P的坐标为（，0）或（5，0）或（6，0）．26．已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC和CD上．（1）若BE＝DF，①求证：∠BAE＝∠DAF；②联结AC交EF于点O，过点F作FM∥AE，交AC的延长线于M，联结EM，求证：四边形AEMF是菱形．（2）联结BD，交AE、AF于点P、Q．若∠EAF＝45°，AB＝1，设BP＝x，DQ＝y，求y关于x的函数关系及定义域．【分析】（1）①证明△ABE≌△ADF（SAS），即可推出∠BAE＝∠DAF．②证明△FOM≌△EOA（ASA），推出AE＝FM，由FM∥AE，可得四边形AEMF是平行四边形，再根据AE＝AF可得结论．（2）如图2中，将△ADQ绕点A顺时针旋转90°得到△ABT，连接PT．证明△APQ≌△APT（SAS），推出PQ＝PT，由题意BD＝＝，推出PQ＝PT＝﹣x﹣y，在Rt△TBP中，根据PT2＝BT2+PB2，构建关系式即可解决问题．【解答】（1）①证明：如图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，∵BE＝DF，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴∠BAE＝∠DAF．②证明：如图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝∠DAC＝45°，∵∠BAE＝∠DAF，∴∠EAO＝∠F AO，∵△BAE≌△DAF，∴AE＝AF，∴AC⊥EF，OE＝OF，∵FM∥AE，∴∠OFM＝∠OEA，∵∠FOM＝∠EOA，∴△FOM≌△EOA（ASA），∴AE＝FM，∵FM∥AE，∴四边形AEMF是平行四边形，∵AE＝AF，∴四边形AEMF是菱形．（2）解：如图2中，将△ADQ绕点A顺时针旋转90°得到△ABT，连接PT．∵△ADQ≌△ABP，∴AQ＝AT，∠ADQ＝∠ABT＝45°，∠DAQ＝∠BAT，∵∠ABD＝45°，∴∠TBP＝90°，∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠DAQ+∠BAP＝∠BAT+∠BAP＝45°，∴∠P AT＝∠P AQ＝45°，∵P A＝P A，AT＝AQ，∴△APQ≌△APT（SAS），∴PQ＝PT，∵AB＝AD＝1，∠BAD＝90°，∴BD＝＝，∴PQ＝PT＝﹣x﹣y，在Rt△TBP中，∵PT2＝BT2+PB2，∴（﹣x﹣y）2＝x2+y2，∴y＝（0≤x≤）．。

2020-2021学年上海市宝山区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分） 1. 下列方程中，无理方程是( )A. √5x −1=0B. √x +1=xC. x√2−x =1D. x 2−1x+1=12. 下列关于x 的方程中，一定有实数根的是( )A. ax −1=0B. a 2x −1=0C. x 2−a =0D. x 3−a =03. 下列关于向量的等式中，正确的是( )A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗B. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗C. AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ D. AB⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 4. 下列四边形中，对角线相等且互相平分的是( )A. 平行四边形B. 菱形C. 矩形D. 等腰梯形5. 下列事件中，确定事件是( )A. 车辆随机到达一个路口，遇到红灯B. 明天要下雨C. 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上D. 明天太阳从西边升起6. 四边形不具有稳定性．四条边长都确定的四边形，当内角的大小发生变化时，其形状也随之改变．如图，改变正方形ABCD 的内角，使正方形ABCD 变为菱形ABC′D′，如果∠DAD′=30°，那么菱形ABC′D′与正方形ABCD 的面积之比是( )A. √32B. √34C. √22D. 1二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7. 一次函数y =−√2x −1的图象在y 轴上的截距是______．8. 已知次函数f(x)=12x −1，如果f(a)=3，那么实数a 的值为______．9. 已知一次函数y =kx +b(k ≠0)的图象如图所示，那么不等式kx +b >0的解集是______．10.方程x3−8=0的根是______．11.已知关于x的方程xx2−1−x2−1x=1，如果设xx2−1=y，那么原方程可化为关于y的整式方程是______．12.数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程______．13.不透明的布袋里有3个小球分别标有数字1、2、3，它们除所标数字外其它都相同．如果任意摸出一个小球记下所标数字后，将该小球放回袋中，搅匀后再摸出一个小球，那么两次摸到的小球所标数字的和能被2整除的概率是______．14.一个正多边形的每一个外角都是72°，那么这个多边形是______边形．15.如图，已知▱ABCD中，AB=4，AD=7.如果作∠ABC与∠BCD的平分线分别交AD于点E、F，那么EF的长是______．16.如图，已知▱ABCD中，AB=6，AD=8，AH⊥BC，垂足为点H，点M、N分别是AH、CD的中点．联结MN.如果MN=6.5，那么∠C的度数是______．17.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC.知AD=3，CD=5，BC=2AD，点E是AB边上的中点，联结DE，那么DE的长是______．18.如图，将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，折痕为EF.已知BC=4，BE=2，∠B=60°，那么△FCG的面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分） 19. 解方程：√3x +6−√x +3=1．20. 解方程组：{x =3y +2x 2−2xy +y 2−16=0．21. 如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ．(1)试用向量a ⃗ 、b ⃗ 、c ⃗ 表示下列向量：AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =______，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =______；(2)求作：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． (不要求写作法，要写明结论)22.甲、乙两名摩托车选手在匀速状态下进行赛道训练，已知两名选手先后从起点A地驶往相距60千米的终点B地．如果甲的速度比乙的速度慢1千米/分钟，甲比乙早出发1分钟，最后乙先到达终点B地，设甲的行驶时间为x(分钟)，甲、乙的行驶路程y甲、y乙(千米)与x之间的函数图象如图所示．(1)根据图象，回答问题：当乙到达终点B地时，y甲=______千米；(2)求甲、乙两名摩托车选手的速度；(3)求y乙关于x的函数解析式．23.如图，已知菱形ABCD中，∠B=60°，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=60°，联结EF．(1)求证：△AEF是等边三角形；(2)当AB=2时，求△AEF周长的最小值．24.在平面直角坐标系xOy中，已知点C的坐标为(3,1)．(1)求直线OC的表达式；(2)以线段OC为边作正方形OABC，点A、B在直线OC的下方，求点A的坐标；(3)设直线CA与y轴交于点E，点F在y轴右侧，且△OAE与△OCF全等，顶点O、A、E分别与顶点O、C、F对应，求EF的长．25.将两张宽度相等的纸片叠放在一起，得到如图1的四边形ABCD．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)如图2，联结AC，过点A、D分别作BC的垂线AF、DE，垂足分别为点F、E．①设M为AC中点，联结EM、FM，求证：EM⊥FM；②如果AF=3FC，P是线段AC上一点(不与点A、C重合)，当△APF为等腰三角形时，求S△APFS ABCD的值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A.是有理方程，不是无理方程，故本选项不符合题意；B .方程中含有二次根式，且被开方数含有x ，所以是无理方程，故本选项符合题意；C .是有理方程，不是无理方程，故本选项不符合题意；D .是有理方程，不是无理方程，故本选项不符合题意； 故选：B ．根据无理方程的定义：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程；逐个判断即可．本题考查了无理方程的定义，能熟记无理方程的定义是解此题的关键．2.【答案】D【解析】解：A 、当a =0时，方程ax −1=0没有实数解，所以A 选项不符合题意； B 、当a =0时，方程a 2x −1=0没有实数解，所以B 选项不符合题意；C 、当a <0时，Δ=02+4a =4a <0，方程没有实数解，所以C 选项不符合题意；D 、x 3=a ，则a =√a 3，所以D 选项符合题意． 故选：D ．利用a =0可对A 、B 进行判断；根据判别式的意义可对C 进行判断；利用立方根的定义可对D 进行判断．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根与Δ=b 2−4ac 有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．3.【答案】C【解析】解：A 、AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故不符合题意． B 、当点A 、B 、C 、D 共线时，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故不符合题意． C 、AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，故符合题意． D 、AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故不符合题意． 故选：C ．根据相等向量与平行向量的性质以及三角形法则解答．本题考查了平面向量，注意：平面向量是有方向的．4.【答案】C【解析】解：A、平行四边形的对角线互相平分，所以A选项不符合题意；B、菱形的对角线互相垂直平分，所以B选项不符合题意；C、矩形的对角线相等且互相平分，所以C选项符合题意；D、等腰梯形的对角线相等，所以D选项不符合题意．故选：C．根据平行四边形、菱形、矩形和等腰梯形的性质进行判断．本题考查了等腰梯形的性质：等腰梯形的两条对角线相等．也考查了平行四边形、矩形、菱形的性质．5.【答案】D【解析】解：A、车辆随机到达一个路口，遇到红灯是随机事件，故本选项不符合题意；B、明天要下雨是随机事件，故本选项不符合题意；C、掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上是随机事件，故本选项不符合题意；D、明天太阳从西边升起是不可能事件，故本选项符合题意；故选：D．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．6.【答案】A【解析】解：过D′作D′M⊥AB于M，如图所示：则∠D′MA=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴正方形ABCD的面积=AB2，AB=AD，∠BAD=90°，∵∠DAD′=30°，∴∠D′AM=90°−30°=60°，∴∠AD′M=30°，∴AM=12AD′，D′M=√3AM=√32AD′，∵四边形ABC′D′是菱形，∴AB=AD′=AD，菱形ABCD的面积=AB×D′M=√32AB2，∴菱形ABC′D′与正方形ABCD的面积之比=√32AB2AB2=√32，故选：A．过D′作D′M⊥AB于M，求出正方形ABCD的面积=AB2，再由含30°角的直角三角形的性质得AM=12AD′，D′M=√3AM=√32AD′，然后求出菱形ABCD的面积=AB×D′M=√32AB2，即可求解．本题考查了菱形的性质、正方形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的性质和正方形的性质，证出D′M=√32AD′是解题的关键．7.【答案】−1【解析】解：当x=0，y=−√2×0−1=−1，∴一次函数y=−√2x−1的图象在y轴上的截距是−1．故答案为：−1．代入x=0求出y值，此题得解．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线在y轴上的截距是直线与y轴交点的纵坐标是解题的关键．8.【答案】8【解析】解：把x=a代入f(x)=12x−1得f(a)=12a−1=3，解得a=8．故答案为：8．把x=a代入f(x)=12x−1求解．本题考查一次函数的性质，解题关键是熟练掌握一次函数的性质，理解f(x)=12x−1即为y=12x−1．9.【答案】x<1【解析】解：当x<1时，y>0，所以不等式kx+b>0的解集为x<1．故答案为x<1．结合函数图象，写出直线在x轴上方所对应的自变量的范围即可．本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y= kx+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．10.【答案】x=2【解析】解：x3−8=0，x3=8，解得：x=2．故答案为：x=2．首先整理方程得出x3=8，进而利用立方根的性质求出x的值．此题主要考查了立方根的性质，正确由立方根定义求出是解题关键．11.【答案】y2−y−1=0【解析】解：设xx2−1=y，则x2−1x=1y，∴原方程可变形为：y−1y=1，去分母，得：y2−y−1=0，故答案为：y2−y−1=0．根据题意，用含y的式子表示出方程并整理方程即可．本题考查了换元法．换元法解方程一般四步：设元(未知数)，换元，解元，还元．12.【答案】10x =40x+6【解析】解：根据题意得，10x =40x+6，故答案为10x =40x+6．根据“第二次每人所得与第一次相同，”列方程即可得到结论．本题考查了由实际问题抽象出分式方程，正确的理解题意是解题的关键．13.【答案】59【解析】解：画树状图如图：共有9种等可能的结果，两次摸到的小球所标数字的和能被2整除的结果有5种，∴两次摸到的小球所标数字的和能被2整除的概率为59，故答案为：59．画树状图，共有9种等可能的结果，两次摸到的小球所标数字的和能被2整除的结果有5种，再由概率公式求解即可．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14.【答案】五【解析】【分析】此题考查了多边形的内角和与外角和．注意多边形的内角和为：(n−2)×180°；多边形的外角和等于360°是解答此题的关键．由一个多边形的外角为360°和每一个外角都是72°，可求得其边数．【解答】解：∵一个多边形的每一个外角都是72°，多边形的外角和等于360°，∴这个多边形的边数为：360°÷72°=5，故答案为：五．15.【答案】1【解析】解：如图所示，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∵AD//BC，∴∠AEB=∠CBE，∴∠ABE=∠AEB，∴AE=AB=4，又∵AD=7，∴DE=AD−AE=7−4=3，同理可得AF=3，∴EF=AD−DE−AF=7−3−3=1，故答案为：1．依据平行四边形的性质以及角平分线的定义，即可推理得到△ABE、△CDF是等腰三角形，进而得出DE和AF的长，再根据线段的和差关系即可得出EF的长．本题主要考查了平行四边形的性质的运用，判定△ABE和△CDF是等腰三角形是解决问题的关键．16.【答案】120°【解析】解：∵CH//AD，CH<AD，∴四边形ADCH是梯形，∵点M、N分别是AH、CD的中点，∴MN是梯形ADCH的中位线，∴MN=12(AD+CH)，即6.5=12(8+CH)，解得CH=5，∴BH=BC−HC=8−5=3，又∵AH⊥BH，AB=6，AB，∴Rt△ABH中，BH=12∴∠BAH=30°，∠B=60°，∴∠C=180°−∠B=120°，故答案为：120°．依据梯形中位线定理进行计算，可得CH的长，进而得到BH的长，再根据∠B的度数，即可得出∠C的度数．本题主要考查了梯形中位线定理以及平行四边形的性质的运用，解题时注意：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线；梯形的中位线平行于两底，并且等于两底之和的一半．17.【答案】√13【解析】解：过D作DH⊥BC于H，∴∠BHD=∠CHD=90，∵AB⊥BC，∴∠ABH=90°，∵AD//BC，∴∠A=90°，∴四边形ABHD是矩形，∴AB=DH，BH=AD=3，∵BC=2AD=6，∴CH=BC−BH=6−3=3，在Rt△CDH中，∠CHD=90，CD=5，CH=3，∴DH=√CD2−CH2=√52−32=4，∴AB=4，∵E是AB边上的中点，∴AE=2，在Rt△ADE中，∠A=90，AD=3，AE=2，∴DE=√AD2+AE2=√32+22=√13，故答案为：√13．过D作DH⊥BC于H，则四边形ABHD是矩形，在Rt△CDH中，根据勾股定理求出DH，进而求出AE，在Rt△ADE中，根据勾股定理即可求出DE．本题主要考查了矩形的判定和性质，勾股定理，根据勾股定理求出DH是解决问题的关键．18.【答案】2√3【解析】解：如图，取BC的中点H，连接EH，∴BH=CH=2，∴BE=BH=2，∵∠B=60°，∴△BEH是等边三角形，∴∠BEH=∠BHE=60°，EH=BH=2，∴∠HEC=30°，∴∠BEC=90°，∴EC=√BC2−BE2=√16−4=2√3，∴S△BEC=1×BE×EC=2√3，2∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠BCD，由折叠可得，∠A=∠ECG，∴∠BCD=∠ECG，∴∠BCD−∠ECF=∠ECG−∠ECF，∴∠ECB=∠FCG；∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D=∠B，AD=BC，由折叠可得，∠D=∠G，AD=CG，∴∠B=∠G，BC=CG，在△EBC和△FGC中，{∠B=∠GBC=CG∠BCE=∠FCG，∴△EBC≌△FGC(ASA)，∴S△EBC=S△FGC=2√3，故答案为：2√3．取BC的中点H，连接EH，可证△BEH是等边三角形，可得∠BEH=∠BHE=60°，EH= BH=2，可证∠BEC=90°，在Rt△BEC是等边三角形，利用勾股定理可求EC的长，即可求△BEC的面积，由“ASA”可证△BEC≌△GFC，即可求解．本题考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，证明△EBC≌△FGC是解题的关键．19.【答案】解：∵{3x+6≥0x+3≥0．∴x≥−2．将√3x+6−√x+3=1变形，得：√3x+6=√x+3+1．将方程两边平方可得：3x+6=x+3+1+2√x+3.即：√x+3=x+1．再两边平方可得：x+3=x2+2x+1．整理得：x2+x−2=0．解得：x=−2或x=1．经检验：x=−2或x=1是无理方程的解．【解析】先求出x的取值范围，再根据等式的性质即可求解．本题考查无理方程的解法，关键在于平分可去根号是关键，同时考虑无理方程有意义．别忘记了最后要检验．20.【答案】解：{x=3y+2①x2−2xy+y2−16=0②，把①代入②得：(3y+2)2−2(3y+2)⋅y+y2−16=0，整理得：y2+2y−3=0，解得：y1=−3，y2=1，当y1=−3时，x=3×(−3)+2=−7，当y 2=1时，x =3×1+2=5，∴方程组的解为：{x 1=−7y 1=−3，{x 2=5y 2=1．【解析】将x =3y +2代入，消去x 可得y 的一元二次方程，解出y ，即可得到原方程组的解．本题考查解二元二次方程组，解题的关键是用代入消元法，将“二元”转化为“一元”．21.【答案】a ⃗ +b ⃗ −c ⃗ +a ⃗ +b ⃗【解析】解：(1)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +b ⃗ ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−c ⃗ +a ⃗ +b ⃗ ，故答案为：a ⃗ +b ⃗ ，−c ⃗ +a ⃗ +b ⃗ ．(2)如图，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 在BC 上取一点T ，使得BT =AD ，连接AT ，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BT ⃗⃗⃗⃗⃗ =AT⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AT⃗⃗⃗⃗⃗ 即为所求．(1)利用三角形法则求解即可．(2)如图，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，在BC 上取一点T ，使得BT =AD ，连接AT ，AT ⃗⃗⃗⃗⃗ 即为所求． 本题考查作图−复杂作图，梯形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题型．22.【答案】52【解析】解：(1)观察图象知当乙到达终点B 地时，千米， 故答案为：52；(2)设乙的速度是x 千米/分钟，由题意，得52x−1−1=60x ，解得：x 1=−12，x 2=5，经检验，x 1=−12，x 2=5是原方程的解，x 1=−12，不合题意，舍去，∴乙的速度是5千米/分钟，甲的速度是4千米/分钟；(3)乙的行驶时间为60÷5=12(分钟)，设y 乙关于x 的函数解析式为y =kx +b ，根据题意得，{k +b =013k +b =60， 解得{k =5b =−5， ∴y 乙关于x 的函数解析式为y =5x −5(1≤x ≤13)．(1)由图象可直接得出答案；(2)设乙摩托车选手的速度为x 千米/分钟，根据路程、速度与时间的关系列出方程，即可解答；(3)利用待定系数法即可求解．本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，利用路程、速度与时间的关系得出方程是解题关键．23.【答案】解：(1)连接AC ，∵菱形ABCD 中，∠B =60°，∴△ABC 是等边三角形，∴∠BAC =60°，∵∠EAF =60°，∴∠BAE +∠EAC =∠EAC +∠CAF =60°，∴∠BAE =∠CAF ，∵∠B =∠ACD =60°，AC =AB ，∴△ABE≌△ACF(ASA)，∴AE =AF ，∴△AEF 是等边三角形；(2)∵△AEF 是等边三角形，∴△AEF 的周长=3AE ，当AE ⊥BC 时，AE 最短，即△AEF 周长最小，在Rt △ABE 中，AB =2，∠B =60°，∴AE =√3，∴△AEF 周长最小为3√3．【解析】(1)连接AC ，由∠BAE +∠EAC =∠EAC +∠CAF =60°，可得∠BAE =∠CAF ，可证△ABE≌△ACF(ASA)，得到AE =AF ，即可证明；(2)由(1)可知△AEF 的周长=3AE ，过点A 作AE ⊥BC 交于点E ，此时AE 最短，即△AEF 周长最小，在Rt △ABE 中，求出AE 的长度即可求周长最小值．本题考查菱形、等边三角形的性质，通过证三角形全等对应边相等，得以证明△AEF 是等边三角形，再由等边三角形的三条边相等，只需求AE 的最短，根据垂线段最短进而求出最小周长是准确求解本题的关键．24.【答案】解：(1)设直线OC 为y =kx ，代入点C(3,1)得，k =13，∴直线OC 的表达式为y =13x ；(2)如图1，过C 作CA ⊥y 轴于M ，过A 作AN ⊥y 轴于N ，则∠CMO =∠ONA =90°，∵四边形OCBA 为正方形，∴OC =OA ，∠COA =90°，∴∠COM +∠AON =90°，∠OCM +∠COM =90°，∴∠OCM =∠AON ，在△CMO 与△ONA 中，{∠CMO =∠ONA =90°∠OCM =∠AON OC =OA，∴△CMO≌△ONA(AAS)，∴CM =ON ，OM =NA ，∵C 的坐标为(3,1)，∴ON =CM =3，AN =OM =1，∴A 的坐标为(1,−3)；(3)设直线CA 的解析式为y =k 1x +b ，代入点C ，A 坐标可得，{k 1+b =−33k 1+b =1， 解得{k 1=2b =−5， ∴直线CA 为y =2x −5，令x=0，则y=−5，∵直线CA与y轴交于点E，∴E(0,−5)，①如图2，当F在OC下方时，∵△OAE≌△OCF，∴∠AOE=∠FOC，∴∠AOE+∠AOF=∠FOC+∠AOF，∴∠EOF=∠AOC=90°，∴F点x轴正半轴上，∴OF=OE=5，∴F的坐标为(5,0)，∴EF=√OE2+OF2=5√2，②如图3，当F在OC上方时，∵△OAE≌△OCF，∴∠OAE=∠OCF，∵△AOC为等腰直角三角形，∴∠OAC=∠OCA=45°，∴∠OAE+∠OAC=∠OCF+∠OCA=180°，∴E，A，C，F四点共线，又∠OEA=∠OFC，∴OE=OF，过O作OM⊥AC于M，∵OA=OC=√32+12=√10，∴AC=√2OA=2√5，AC=√5，∴OM=12∴EM=√OE2−OM2=2√5，∵OE=OF，OM⊥EF，∴EF=2EM=4√5，∴EF=5√2或4√5．【解析】(1)因为直线OC经过原点，可以设直线OC的解析式为y=kx，利用待定系数法求解即可；(2)根据题意画出草图，如图1，因为CM=AM，且CM⊥AM，所以过C和A分别作y 轴的垂线，构造“三垂直”全等模型，求出AN和MN长度即可解决；(3)根据题意画草图，可以知道F点有两种位置，即在OC上方和OC下方，当F在OC 上方时，如图2，可以直接利用全等三角形的性质，得到F在x轴上，且OF=OE=5，再利用勾股定理得到EF的长度，当F在OC下方时，如图3，根据全等三角形的性质，得到F在直线AC上，证得△OEF为等腰三角形，过O作OF⊥AC于M，利用勾股定理求得EF的长度．本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，同时，解决本题的关键是根据题意画出草图，第2题和第3题都涉及到了画图问题，要仔细辨别点的位置，当点的位置不确定时，一定要注意要分类讨论，比如第3问只说明了F在y轴右侧，所以要根据F在OC上方和下方展开讨论．25.【答案】解：(1)如图1，过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∵两条纸条宽度相同，∴AE=AF．∵AB//CD，AD//BC，∴四边形ABCD是平行四边形．∵S▱ABCD=BC⋅AE=CD⋅AF．∴BC=CD，∴四边形ABCD是菱形；(2)①如图2，过点M作MG⊥DE于G，连接BD，则∠MGD=∠MGE=90°，∵四边形ABCD是菱形，∴AC与BD互相垂直平分，∴BD经过点M，∴∠AMD=∠CMD=90°，∵MG⊥DE，DE⊥BC，∴MG//BC，∵AD//BC，∴MG//AD//BC，∴DGGE =AMMC=1，∴DG=GE，在△MDG和△MEG中，{DG=EG∠MGD=∠MGE MG=MG，∴△MDG≌△MEG(SAS)，∴∠DMG=∠EMG，∵MG//AD//BC，∴∠ADM=∠DMG，∠FEM=∠EMG，∠DAM=∠ACF，∴∠ADM=∠FEM，∵∠ADM+∠DAM=90°，∴∠FEM+∠ACF=90°，∵AF⊥BC，∴∠AFC=90°，∵AM=CM，∴FM=CM，∴∠CFM=∠ACF，∴∠FEM+∠CFM=90°，∴∠EMF=90°，∴EM⊥FM；②∵AF=3FC，∴设FC=x，则AF=3x，设BC=AB=a，则BF=a−x，∵AF⊥BC，∴∠AFC=∠AFB=90°，∴AF2+BF2=AB2，∴(3x)2+(a−x)2=a2，∴10x2−2ax=0，∴x(5x−a)=0，∵x>0，∴5x−a=0，即a=5x，∴BC=5x，∴S ABCD=BC×AF=15x2，∵P是线段AC上一点(不与点A、C重合)，∴FP=FA不存在，∴当△APF为等腰三角形时，仅有两种情形：AP=PF或AP=AF，Ⅰ.当AP=PF时，则∠PAF=∠PFA，如图3，∵∠PAF+∠PCF=90°，∠PFA+∠PFC=90°，∴∠PCF=∠PFC，∴PC=PF，∴PA=PC，∴S△APF=12S△AFC=12×12×AF×FC=34x2，∴S△APFS ABCD =34x215x2=120；Ⅱ.当AP=AF=3x时，如图4，过点F作FH⊥AC于点H，在Rt△ACF中，AC=√AF2+FC2=√(3x)2+x2=√10x，∵12FH×AC=12AF×FC，∴FH=AF×FCAC =3x⋅x√10x=3√1010x，∴S△APF=12×AP×FH=12×3x×3√1010x=9√1020x2，∴S△APFS ABCD =9√1020x215x2=3√10100；综上所述，当△APF为等腰三角形时，S△APFS ABCD 的值为120或3√10100．【解析】(1)首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．(2)①过点M作MG⊥DE于G，连接BD，由MG//AD//BC，可得DGGE =AMMC=1，再证明△MDG≌△MEG(SAS)，利用三角形内角和定理即可得出答案；②设FC=x，则AF=3x，设BC=AB=a，则BF=a−x，根据勾股定理可得AF2+ BF2=AB2，即(3x)2+(a−x)2=a2，从而得出BC=5x，即可得到S ABCD=BC×AF= 15x2，根据P是线段AC上一点(不与点A、C重合)，FP=FA不存在，可得出当△APF 为等腰三角形时，仅有两种情形：AP=PF或AP=AF，分类讨论即可求得答案．本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，全等三角形判定和性质，三角形面积公式，菱形面积，等腰三角形性质，勾股定理等，运用分类讨论思想和方程思想思考解决问题是解题关键．。

上海市第二学期八年级期末考试数学试卷（考试时间90分钟,满分100分）注意：请书写规范，不要用铅笔答题,考试可以使用科学计算器。

一．选择题：（本大题共6题，每题2分,满分12分）1、在直角坐标平面内，一次函数的图像一定不经过（）（A）第一象限(B）第二象限(C)第三象限（D）第四象限2、已知下列关于x的方程:①；②；③；④;⑤；⑥;其中，是无理方程的有(）（A）2个; （B）3个（C）4个（D）5个3、用换元法解分式方程，如果设,那么原方程化为关于y的整式方程是（)(A）（B）（C）（D）4、把一枚骰子掷两次，将所得的点数相加，那么下列事件中是随机事件的是（）（A)点数之和大于1；（B) 点数之和小于1；（C）点数之和大于12; （D) 点数之和小于10，5、下列图形中,既是中心对称图形，又是轴对称图形的是()(A）平行四边形(B）等边三角形（C）等腰梯形（D）圆6、下列命题中,是假命题的是（）（A）菱形的对角线互相平分；（B）菱形的对角线互相垂直（C）菱形的对角线相等（D）菱形的对角线平分一组对角二、填空题：(本大题共12题，每题2分，满分24分）7、已知:一次函数的图像经过点(0,-3),那么这个一次函数的解析式为______________．8、已知：A、B两点分别是一次函数的图像与轴、y轴的公共点，那么A、B两点间的距离为______________．9、已知：点A（-1，a)和点B（1，b）在函数的图像上，那么a与b的大小关系是：a ______________b10、方程的解是______________．11、方程的解是______________．12、一辆汽车,新车购买价20万元，每年的年折旧率为x，如果该车购买之后的第二年年末折旧后价值14，25万元,求年折旧率x的值。

那么根据题意,可列出关于x的方程为______________（列出方程即可，无需求解)．13、一布袋中有5只质地、大小都相同的小球，上面分别标有数字1、2、3、4、5，从中任意摸出一只小球，其所标的数字是奇数的概率为______________．14、已知：一个多边形的每一个内角都是160°，那么这个多边形的边数为______________．15、已知：在中，＝50°，那么＝______________．16、已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O, ＝120°，AB＝4，那么＝______________度．17、已知：在菱形ABCD中,，垂足为点E，AB＝13cm，对角线AC＝10cm，那么AE＝______________cm．18、已知:AD是△ABC的角平分线,E、F分别是边AB、AC的中点，联结DE、DF，要使四边形ABCD是菱形，还需要添加一个条件,那么这个条件可以是______________(AB＝AC或BD＝CD或AD⊥BC或∠B＝∠C等正确即可）．三、简答题：（本大题共4题，每题6分,满分24分）19、解方程: 20、解方程:21、解方程组：22、如图，在中,设,（1）填空：____________________________（2）在图中求作四、解答题：（本大题共5题，满分40分，其中23、24、25题每题7分，第26题9分,第27题10分)23、已知：如图,在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝8，对角线AC⊥AB，∠B＝60°，M、N分别是边AB、DC分别是AB、DC的中点，联结MN,求线段MN的长。

2015-2016学年上海市静安区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分）【每题只有一个正确选项，在答题纸相应位置填涂】1．（3分）（2016春•静安区期末）当a＜0时，|a﹣1|等于（）A．a+1 B．﹣a﹣1 C．a﹣1 D．1﹣a【分析】根据负有理数的绝对值是它相反数得结论做出正确判断．【解答】解：当a＜0时，即a＜1，则|a﹣1|=1﹣a；故选D．【点评】本题考查了绝对值的性质，熟练掌握性质是做好此题的关键：①正有理数的绝对值是它本身；②负有理数的绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零．2．（3分）（2016春•静安区期末）下列方程中，是无理方程的为（）A．B．C．D．【分析】可以判断各选项中的方程是什么方程，从而可以得到哪个选项是正确的．【解答】解：是一元二次方程，是无理方程，=0是分式方程，是一元一次方程，故选B．【点评】本题考查无理方程，解题的关键是明确无理方程的定义．3．（3分）（2016春•静安区期末）某市出租车计费办法如图所示．根据图象信息，下列说法错误的是（）A．出租车起步价是10元B．在3千米内只收起步价C．超过3千米部分（x＞3）每千米收3元D．超过3千米时（x＞3）所需费用y与x之间的函数关系式是y=2x+4【分析】根据图象信息一一判断即可解决问题．【解答】解：由图象可知，出租车的起步价是10元，在3千米内只收起步价，设超过3千米的函数解析式为y=kx+b，则，解得，∴超过3千米时（x＞3）所需费用y与x之间的函数关系式是y=2x+4，超过3千米部分（x＞3）每千米收2元，故A、B、D正确，C错误，故选C．【点评】此题主要考查了一次函数的应用、学会待定系数法确定函数解析式，正确由图象得出正确信息是解题关键，属于中考常考题型，4．（3分）（2016春•静安区期末）下列关于向量的运算，正确的是（）A．B．C．D．【分析】由三角形法则直接求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用．【解答】解：A、+=，故本选项正确；B、﹣=，故本选项错误；C、﹣=，故本选项错误；D、﹣=，故本选项错误．故选：A．【点评】此题考查了平面向量的知识，注意掌握三角形法则的应用是解题关键．5．（3分）（2016春•静安区期末）有一个不透明的袋子中装有3个红球、1个白球、1个绿球，这些球只是颜色不同．下列事件中属于确定事件的是（）A．从袋子中摸出1个球，球的颜色是红色B．从袋子中摸出2个球，它们的颜色相同C．从袋子中摸出3个球，有颜色相同的球D．从袋子中摸出4个球，有颜色相同的球【分析】根据袋子中装有3个红球、1个白球、1个绿球以及必然事件、不可能事件、随机事件的概念解答即可．【解答】解：从袋子中摸出1个球，球的颜色是红色是随机事件；从袋子中摸出2个球，它们的颜色相同是随机事件；从袋子中摸出3个球，有颜色相同的球是随机事件；从袋子中摸出4个球，有颜色相同的球是不可能事件，故选：D．【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．6．（3分）（2016春•静安区期末）已知四边形ABCD中，AB与CD不平行，AC与BD 相交于点O，那么下列条件中能判定四边形ABCD是等腰梯形的是（）A．AC=BD=BC B．AB=AD=CD C．OB=OC，AB=CD D．OB=OC，OA=OD【分析】根据等腰梯形的判定推出即可．【解答】解：A、AC=BD=BC，不能证明四边形ABCD是等腰梯形，错误；B、AB=AD=CD，不能证明四边形ABCD是等腰梯形，错误；C、OB=OC，AB=CD，不能证明四边形ABCD是等腰梯形，错误；D、∵OB=OC，OA=OD，∴∠OBC=∠OCB，∠OAD=∠ODA，在△AOB和△DOC中，，∴△AOB≌△DOC（SAS），∴∠ABO=∠DCO，AB=CD，同理：∠OAB=∠ODC，∵∠ABC+∠DCB+∠CDA+∠BAD=360°，∴∠DAB+∠ABC=180°，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是梯形，∵AB=CD，∴四边形ABCD是等腰梯形．故选D【点评】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定和性质以及等腰梯形的判定的应用，解此题的关键是求出AD∥BC，题目的综合性较强，难度中等．二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．（3分）（2016春•静安区期末）如果一次函数y=（k﹣2）x+1的图象经过一、二、三象限，那么常数k的取值范围是k＞2 ．【分析】根据一次函数图象所经过的象限确定k的符号．【解答】解：∵一次函数y=（k﹣2）x+1（k为常数，k≠0）的图象经过第一、二、三象限，∴k﹣2＞0．解得：k＞2，故填：k＞2；【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．8．（3分）（2016春•静安区期末）方程x3+1=0的根是﹣1 ．【分析】先求出x3，再根据立方根的定义解答．【解答】解：由x3+1=0得，x3=﹣1，∵（﹣1）3=﹣1，∴x=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了立方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．9．（3分）（2016春•静安区期末）方程的根是x=0 ．【分析】先去分母，再解整式方程，最后检验即可．【解答】解：去分母得，x2+3x=0，解得x=0或﹣3，检验：把x=0代入x+3=3≠0，∴x=0是原方程的解；把x=﹣3代入x+3=﹣3+3=0，∴x=﹣3不是原方程的解，舍去；∴原方程的解为x=0，故答案为x=0．【点评】本题考查了分式方程的解，注意验根是解题的关键．10．（3分）（2016春•静安区期末）用换元法解方程组时，如果设，，那么原方程组可化为关于u、v的二元一次方程组是．【分析】设，，则=3u，=2v，从而得出关于u、v的二元一次方程组．【解答】解：设，，原方程组变为，故答案为．【点评】本题考查用换元法使分式方程简便．换元后再在方程两边乘最简公分母可以把分式方程转化为整式方程．应注意换元后的字母系数．11．（3分）（2016春•静安区期末）已知函数，那么= ．【分析】把自变量x=﹣代入函数解析式进行计算即可得解．【解答】解：∵，∴=；故答案为．【点评】本题考查了函数值的求解，把自变量的值代入函数解析式进行计算即可，比较简单．12．（3分）（2016春•静安区期末）从2、3、4这三个数字中任选两个组成两位数，在组成的所有两位数中任意抽取一个数，这个数是素数的概率是．【分析】列表列举出所有情况，看两位数是素数的情况数占总情况数的多少即可解答．【解答】解：列表如下：2 3 42 （2，2）（2，3）（2，4）3 （3，2）（3，3）（3，4）4 （4，2）（4，3）（4，4）共有9种等可能的结果，其中是素数的有3种，概率为；故答案为：【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．13．（3分）（2016春•静安区期末）如果一个n边形的内角和是1440°，那么n= 10 ．【分析】根据多边形的内角和公式：（n﹣2）×180°，列出方程，即可求出n的值．【解答】解：∵n边形的内角和是1440°，∴（n﹣2）×180°=1440°，解得：n=10．故答案为：10．【点评】本题主要考查多边形内角和公式，关键在于根据题意正确的列出方程，认真的解方程即可．14．（3分）（2016春•静安区期末）如果菱形的边长为5，相邻两内角之比为1：2，那么该菱形较短的对角线长为 5 ．【分析】根据已知可得较小的内角为60°，从而得到较短的对角线与菱形的一组邻边组成一个等边三角形，从而可求得较短对角线的长度．【解答】解：如图所示：∵菱形的边长为5，∴AB=BC=CD=DA=5，∠B+∠BAD=180°，∵菱形相邻两内角的度数比为1：2，即∠B：∠BAD=1：2，∴∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC=AB=5；故答案为：5．【点评】本题考查了菱形的性质以及等边三角形的判定方法；熟练掌握菱形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．15．（3分）（2016春•静安区期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D、E分别是AC、AB边的中点，那么△CDE的周长为12 ．【分析】利用勾股定理求得边AB的长度，然后结合三角形中位线定理得到DE=AB，则易求△CDE的周长．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB===10．又∵点D、E分别是AC、AB边的中点，∴CE=BC=4，CD=AC=3，ED是△ABC的中位线，∴DE=AB=5，∴△CDE的周长=CE+CD+ED=4+3+5=12．故答案是：12．【点评】本题考查了三角形中位线定理和勾股定理．根据勾股定理求得AB的长度是解题的关键．16．（3分）（2016春•静安区期末）如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边DC 上，AE平分∠DAC，EF⊥AC，点F为垂足，那么FC= ﹣1 ．【分析】根据正方形的性质和已知条件可求得AF，AC的长，从而不难得到FC的长．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=AD=CD=1，∠D=∠B=90°，∴AC==，∵AE平分∠DAC，EF⊥AC交于F，∴AF=AD=1，∴FC=AC﹣AF=﹣1，故答案为：；【点评】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、角平分线的性质；熟练掌握正方形的性质，求出AF=AD是解决问题的关键．17．（3分）（2016春•静安区期末）一次函数y=x+2的图象经过点A（a，b），B（c，d），那么ac﹣ad﹣bc+bd的值为 4 ．【分析】先根据点A、B的坐标代入解析式，再代入代数式计算即可求解．【解答】解：把点A、B的坐标代入解析式，可得：a+2=b，c+2=d，所以ac﹣ad﹣bc+bd=ac﹣a（c+2）﹣（a+2）c+（a+2）（c+2）=4；故答案为：4【点评】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，代数式求值，求出一次函数解析式是解题的关键．18．（3分）（2016春•静安区期末）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠BCD=60°，CD=5．将梯形ABCD绕点A旋转后得到梯形AB1C1D1，其中B、C、D 的对应点分别是B1、C1、D1，当点B1落在边CD上时，点D1恰好落在CD的延长线上，那么DD1的长为．【分析】先根据旋转的性质得出△DAB≌△D1AB1，再根据全等三角形的性质以及等腰三角形的性质，得出∠2=∠3，然后根据平行线的性质，得出∠2=∠4，若设∠1=∠2=∠3=∠4=α，则根据∠2+∠3+∠5=180°，可以求得α的度数为60°，最后根据△ADD1、△BCD都是等边三角形，求得DD1=AD=．【解答】解：如图，将梯形ABCD绕点A旋转后得到梯形AB1C1D1，连接BD，由旋转得：AD=AD1，AB=AB1，∠DAD1=∠BAB1，∴∠DAB=∠D1AB1，且∠1=∠3，在△DAB和△D1AB1中，，∴△DAB≌△D1AB1（SAS），∴∠1=∠2，∴∠2=∠3，∵AD∥BC，∴∠2=∠4，设∠1=∠2=∠3=∠4=α，则∠5=180°﹣∠4﹣∠C=120°﹣α，∵∠2+∠3+∠5=180°，∴α+α+120°﹣α=180°，解得α=60°，∴∠1=∠2=∠3=∠4=60°，∴△ADD1、△BCD都是等边三角形，∴BD=CD=5，∠ABD=30°，∴Rt△ABD中，AD=BD=，∴DD1=AD=．故答案为：【点评】本题以旋转为背景，主要考查了全等三角形与等边三角形．解题时注意，旋转前后的对应边相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，这是解题的关键．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时需要添加适当辅助线构造三角形．附加题（本题最高得3分，当整卷总分不满120分时，计入总分，整卷总分不超过120分）19．（2016春•静安区期末）如果关于x的方程m2x2﹣（m﹣2）x+1=0的两个实数根互为倒数，那么m= ﹣1 ．【分析】先根据根与系数的关系得到=1，解得m=﹣1或m=1，然后根据判别式的意义确定满足条件的m的值．【解答】解：∵方程m2x2﹣（m﹣2）x+1=0的两个实数根互为倒数，∴=1，解得m=1或m=﹣1，当m=1时，方程变形为x2+x+1=0，△=1﹣4×1×1=﹣3＜0，方程没有实数解，所以m的值为﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．也考查了根的判别式．三、解答题（本大题共8题，满分66分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸上] 20．（8分）（2014•常熟市校级二模）先化简，再求值：，其中x=．【分析】要熟悉混合运算的顺序，分式的除法转化为分式的乘法运算，最后算减法，注意化简后，将x=代入化间后的式子求出即可．【解答】解：原式=÷+，=×+，=+，=，当x=+1，原式=【点评】此题主要考查了分式混合运算，要注意分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算是解题关键．21．（8分）（2016春•静安区期末）解方程：．【分析】分析：将方程中左边的一项移项得：，两边平方得，，两边再平方得x﹣3=1，解得x=4，最后验根，可求解．【解答】解：，，，x﹣3=1，x=4．经检验：x=4是原方程的根，所以原方程的根是x=4．【点评】本试题是考查无理方程的解法，通常这类方程都是用平方法或换元法，将无理方程化为无理方程再求解．值得注意的是解无理方程要验根．22．（8分）（2016春•静安区期末）解方程组：．【分析】先把第二个方程因式分解，把二元二次方程组转化为二元一次方程组，求解即可．【解答】解：由②得x﹣4y=0或x+3y=0，原方程组可化为（Ⅰ）（Ⅱ），解方程组（Ⅰ）得，方程组（Ⅱ）无解，所以原方程组的解是．【点评】本题考查了高次方程的解法，解方程组的思想是把二元二次方程组转化为二元一次方程组．23．（8分）（2016春•静安区期末）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，过点A作AE∥DC交BC于点E．（1）写出图中所有与互为相反向量的向量：，，；（2）求作：、．（保留作图痕迹，写出结果，不要求写作法）【分析】（1）根据平行四边形的性质即可解决问题．（2）根据向量和差定义即可解决．【解答】解：（1）∵AD∥EC，AE∥DC，∴四边形AECD是平行四边形，∴AD=EC，∵BC=2AD，∴BE=EC，∴所有与互为相反向量的向量有、、．（2）如图﹣=，+=+=，图中.就是所求的向量．【点评】本题考查梯形、平行四边形的性质，向量等知识，解题的关键是理解向量的定义以及向量和差定义，属于中考常考题型．24．（8分）（2016春•静安区期末）已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，垂足分别为E、F，AE、CF分别与BD相交于点G、H，联结AH、CG．求证：四边形AGCH是平行四边形．【分析】法1：由平行四边形对边平行，且CF与AD垂直，得到CF与BC垂直，根据AE 与BC垂直，得到AE与CF平行，得到一对内错角相等，利用等角的补角相等得到∠AGB=∠DHC，根据AB与CD平行，得到一对内错角相等，再由AB=CD，利用AAS得到三角形ABG与三角形CDH全等，利用全等三角形对应边相等得到AG=CH，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得证；法2：连接AC，与BD交于点O，利用平行四边形的对角线互相平分得到OA=OC，OB=OD，再由AB与CD平行，得到一对内错角相等，根据CF与AD垂直，AE与BC垂直，得一对直角相等，利用ASA得到三角形ABG与三角形CDH全等，利用全等三角形对应边相等得到BG=DH，根据等式的性质得到OG=OH，利用对角线互相平分的四边形为平行四边形即可得证．【解答】证明：法1：在□ABCD中，AD∥BC，AB∥CD，∵CF⊥AD，∴CF⊥BC，∵AE⊥BC，∴AE∥CF，即AG∥CH，∴∠AGH=∠CHG，∵∠AGB=180°﹣∠AGH，∠DHC=180°﹣∠CHG，∴∠AGB=∠DHC，∵AB∥CD，∴∠ABG=∠CDH，∴△ABG≌CDH，∴AG=CH，∴四边形AGCH是平行四边形；法2：连接AC，与BD相交于点O，在□ABCD中，AO=CO，BO=DO，∠ABE=∠CDF，AB∥CD，∴∠ABG=∠CDH，∵CF⊥AD，AE⊥BC，∴∠AEB=∠CFD=90°，∴∠BAG=∠DCH，∴△ABG≌CDH，∴BG=DH，∴BO﹣BG=DO﹣DH，∴OG=OH，∴四边形AGCH是平行四边形．【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．25．（8分）（2016春•静安区期末）某公司生产的新产品需要精加工后才能投放市场，为此王师傅承担了加工300个新产品的任务．在加工了80个新产品后，王师傅接到通知，要求加快新产品加工的进程，王师傅在保证加工零件质量的前提下，平均每天加工新产品的个数比原来多15个，这样一共用6天完成了任务．问接到通知后，王师傅平均每天加工多少个新产品？【分析】根据关键句子“王师傅在保证加工零件质量的前提下，平均每天加工新产品的个数比原来多15个，这样一共用6天完成了任务”找到等量关系列出方程求解即可．【解答】解：设接到通知后，王师傅平均每天加工x个新产品．根据题意，得．x2﹣65x+550=0，x1=55，x2=10．经检验：x1=55，x2=10都是原方程的解，但x2=10不符合题意，舍去．答：接到通知后，王师傅平均每天加工55个新产品．【点评】此题考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．26．（8分）（2016春•静安区期末）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+b的图象与x轴交于点A、与反比例函数（k是常数，k≠0）的图象交于点B（a，3），且这个反比例函数的图象经过点C（6，1）．（1）求出点A的坐标；（2）设点D为x轴上的一点，当四边形ABCD是梯形时，求出点D的坐标和四边形ABCD 的面积．【分析】（1）首先利用C点坐标计算出反比例函数中的k的值，进而可得反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式计算出B的坐标，把B点坐标代入y=x+b可得B的值，进而可得一次函数解析式，然后可得一次函数y=x+b的图象与x轴交点A的坐标；（2）点D为x轴上的一点，因此不可能出现AD∥BC的情形，只有可能AB∥CD，设直线CD的解析式为y=x+m，把C点坐标代入可得m的值，然后可得D点坐标，分别过点B、C作BE⊥x轴、CF⊥x轴，垂足分别为E、F，然后利用图形中的面积关系计算出四边形ABCD的面积即可．【解答】解：（1）方法一：∵反比例函数经过点C（6，1），∴，∴k=6，∴反比例函数解析式为．∵B（a，3）在该反比例的图象上，∴，∴a=2，即B（2，3），∵y=x+b经过点B（2，3），∴y=x+1，令y=x+1=0，得x=﹣1，∴A（﹣1，0）．方法二：∵点C（6，1）与点B（a，3）都在反比例函数的图象上，∴6×1=a×3=k，∴a=2，∴B（2，3）．∵y=x+b经过点B（2，3），∴y=x+1，令y=x+1=0，得x=﹣1，∴A（﹣1，0）．（2）∵四边形ABCD是梯形，且点D为x轴上的一点，∴不可能出现AD∥BC的情形，只有可能AB∥CD，∵直线AB的解析式为y=x+1，∴可设直线CD的解析式为y=x+m，∵y=x+m经过点C（6，1），∴y=x﹣5，令y=x﹣5=0，得x=5，∴D（5，0），分别过点B、C作BE⊥x轴、CF⊥x轴，垂足分别为E、F，则S梯形ABCD=S△ABE+S梯形BEFC﹣S△DCF，===12．【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，以及待定系数法求一次函数和反比例函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．27．（10分）（2016春•静安区期末）已知：如图，在矩形ABCD中，AB=3，点E在AB 的延长线上，且AE=AC，联结CE，取CE的中点F，联结BF、DF．（1）求证：DF⊥BF；（2）设AC=x，DF=y，求y与x之间的函数关系式，并写出定义域；（3）当DF=2BF时，求BC的长．【分析】（1）方法一：如图1中，连接AF，只要证明△ABF≌DCF即可．方法二：如图2中，连接BD，与AC相交于点O，联结OF，只要证明OB=OF=OD即可．（2）由y=DF=即可解决问题．（3）首先证明CE=DF=AF，列出方程即可解决．【解答】（1）证明：方法一：如图1中，连接AF，∵AE=AC，点F为CE的中点，∴AF⊥CE，即∠AFC=90°，∵在矩形ABCD中，AB=CD，∠ABC=∠DCB=90°，∴∠CBE=180°﹣∠ABC=90°，∴EF=BF=CF=，∴∠FBC=∠FCB，即∠ABC+∠FBC=∠DCB+∠FCB，∴∠ABF=∠DCF，在△ABF和△DCF中，，∴△ABF≌DCF，∴∠AFB=∠DFC，∴∠BFD=∠AFB+∠AFD=∠AFD+∠DFC=∠AFC=90°，即DF⊥BF；方法二：如图2中，连接BD，与AC相交于点O，联结OF，∵在矩形ABCD中，AC=BD，OA=OC，OB=OD，∴OA=OC=OB=OD=AC=BD，∵点F是CE的中点，∴OF=AE，∵AE=AC，∴OF=AC=BD，∴OF=OB=OD，∴∠OBF=∠OFB，∠OFD=∠ODF，∵∠OBF+∠OFB+∠OFD+∠ODF=180°，∴2∠OFB+2∠OFD=180°，∴∠OFB+∠OFD=90°，即∠BFD=90°，∴DF⊥BF；（2）解：在Rt△ABC中，BC2=AC2﹣AB2=x2﹣9，∵AE=AC=x，∴BE=x﹣3，∴EC===，∴BF==，∴y=DF===，∴y=（x＞3）．（3）∵△ABF≌DCF，∴AF=DF，∵在Rt△ABC中，CE=2BF，又∵DF=2BF，∴CE=DF=AF，∴=，∴x1=0，x2=5．经检验，x1=0，x2=5都是方程的根，但x=0不符合题意．∴BC===4．【点评】本题考查四边形综合题、矩形的性质、全等三角形的判定和性质勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题．。

2012学年初二年级第二学期数学期末考试试卷、选择题（本大题共 6题，每题2分，满分12分）1 .一次函数y=kx+k ，不论k 取何值，函数图像一定会经过定点（ ）A. （ 1， -1）B. （1，0）2. 下列方程中，有实数根的方程是4 .如图所示，已知△ ABC 中，的中点，EC // AB , DE // BC , AC 与 中，不一定成立的是（）A. AC=DEB. AB=ACC. AD // OA=OE5 .在下列命题中，是真命题的是 （）A .两条对角线相等的四边形是矩形B .两条对角线互相平分的四边形是平行四边形C .两条对角线互相垂直的四边形是菱形D .两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 6. 下列说法正确的是（）A .任何事件发生的概率为 1 ;B .随机事件发生的概率可以是任意实数；C .可能性很小的事件在一次实验中有可能发生；D .不可能事件在一次实验中也可能发生。

二、填空题（本大题共 12题，每题2分，满分24分）17. 已知一次函数 f （x ） X 2，贝y f （2） _________C. (-1 , 0 )()D. C. (-1 , 1 )(D ) x x 1 0 .k3.在函数y= —（ k>0）的图象上有三点A 1(X 1, y 1), A 2(X 2, y 2), A 3(x 3, y 3),已知 X 1<X 2<0<X 3,则下列各式中，正确的是（）A . y 1<y 2<y 3B . y 3<y 2<y 1C . y 2<y 1<y 3D . y 3<y 1<y 2A/ ABC= / BAC , D 是 ABDE 交于点O ,则下列结论EC 且 AD=EC D.9•已知y y i , y与x 1成正比，y与x成正比；当x=2时,28.如果关于x的方程•、5x 2k x有实数根x 2，那么_____________16. __________________________________________________________________ 在标有1，3，4，6，8的五张卡片中，随机抽取两张，和为奇数的概率为 ____________________ . 17. 如图，正方形 ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM=2，N 为AC 边上的一个动点,则DN+MN 的最小值为 ___________ .18. 如图，D 、E 、F 分别为△ ABC 三边上的中点,于 P 、Q 两点，贝U PQ ： BE = ________ 。

嘉定区2019学年第二学期八年级期末质量调研数学试卷（时间：90分钟，满分：100分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出推理或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分）1.一次函数32y x =--的截距是（）A.3- B.2- C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】计算当x =0时对应的y 值即得答案．【详解】解：当x =0时，y =﹣2，所以一次函数32y x =--的截距是﹣2．故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数的相关知识，属于基本题型，正确得出当x =0时对应的y 值是解题关键．2.如果关于x 的方程(3)2020a x -=的解为负数，那么实数a 的取值范围是（）A.3a < B.3a = C.3a > D.3a ≠【答案】A【解析】【分析】由方程的解为负数直接得出a -3＜0，解不等式即可得出答案．【详解】解：∵关于x 的方程(a -3)x =2020的解为负数，∴a -3＜0，解得a ＜3，故选：A ．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．3.下列方程中，有实数根的是（）A.410x += B.10+= C.x =- D.22111x x x =--【答案】C【解析】【分析】利用乘方的意义可对A 进行判断；通过解无理方程可对B 、C 进行判断；通过解分式方程可对D 进行判断．【详解】解：A 、x 4≥0，x 4+1＞0，方程x 4+1=0没有实数解；B 1=-，任何数的算术平方根是非负数，故原方程没有实数解；C 、两边平方得x +2=x 2，解得x 1=-1，x 2=2，经检验，原方程的解为x =-1；D 、去分母得x =1，经检验x =1是原方程的增根，故原方程没有实数解，故选：C ．【点睛】本题主要考查了无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．4.将只有颜色不同的3个白球、2个黑球放在一个不透明的布袋中.下列四个选项，不正确的是（）A.摸到白球比摸到黑球的可能性大B.摸到白球和黑球的可能性相等C.摸到红球是确定事件D.摸到黑球或白球是确定事件【答案】B【解析】【分析】根据随机事件发生的可能性的计算方法和确定事件的概念逐一判断即得答案．【详解】解：A 、由白球的数量比黑球的数量多可得摸到白球比摸到黑球的可能性大，所以本选项说法正确，不符合题意；B 、摸到白球和黑球的可能性不相等，所以本选项说法错误，符合题意；C 、摸到红球是不可能事件，属于确定事件，所以本选项说法正确，不符合题意；D 、摸到黑球或白球是必然事件，属于确定事件，所以本选项说法正确，不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查了可能性的大小和确定事件的概念，属于基础题型，熟练掌握上述基本知识是关键．5.下列四个命题中，假命题是（）A.有两个内角相等的梯形是等腰梯形B.等腰梯形一定有两个内角相等C.两条对角线相等的梯形是等腰梯形D.等腰梯形的两条对角线相等【答案】A【解析】【分析】利用直角梯形可对A 进行判断；根据等腰梯形的性质对B 、D 进行判断；根据等腰梯形的判定方法对C 进行判断．【详解】解：A 、有两个内角相等的梯形是等腰梯形，如：直角梯形，故这个命题为假命题；B 、等腰梯形一定有两个内角相等，这个命题为真命题；C 、两条对角线相等的梯形是等腰梯形，这个命题为真命题；D 、等腰梯形的两条对角线相等，这个命题为真命题．故选：A ．【点睛】本题考查了命题与定理和梯形的性质和判定，命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．6.已知四边形ABCD 是矩形，点O 是对角线AC 与BD 的交点.下列四种说法：①向量AO 与向量OC 是相等的向量；②向量OA 与向量OC 是互为相反的向量；③向量AB 与向量CD 是相等的向量；④向量BO 与向量BD 是平行向量．其中正确的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】利用矩形的性质，相等向量，平行向量的定义一一判断即可．【详解】解：如图：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB=CD ，AB ∥CD ，OA=OC ，OB=OD ，∴①向量AO 与向量OC 是相等的向量，正确．②向量OA 与向量OC 是互为相反的向量，正确．③向量AB 与向量CD是相等的向量；错误．④向量BO 与向量BD 是平行向量．正确．故选：C ．【点睛】本题考查平面向量，矩形的性质等知识，长度相等且方向相同的两个向量叫做相等向量，平行向量也叫共线向量，是方向相同或相反的非零向量．二．填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）7.已知一次函数()32f x x =+，那么()1f -=______．【答案】1-【解析】【分析】代入1x =-，即可求出()1f -的值．【详解】当1x =-时，()()13121f -=⨯-+=-．故答案为：1-．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y kx b =+是解题的关键．8.如果将直线12y x =沿y 轴向下平移2个单位，那么平移后所得直线的表达式是______．【答案】122y x =-【解析】【分析】根据平移时k 的值不变，只有b 发生变化即可得到结论．【详解】解：原直线的k=12，b=0；向下平移2个单位长度，得到了新直线，那么新直线的k=12，b=0-2=-2．∴新直线的解析式为y=12x-2．故答案是：y=12x-2．【点睛】本题考查了一次函数图象的几何变换，难度不大，要注意平移后k 值不变．9.已知函数37y x =-+，当1y <时，自变量x 的取值范围是______．【答案】2x >【解析】【分析】由题意可得关于x 的不等式，解不等式即得答案．【详解】解：当1y <时，371x -+<，解得：2x >．故答案为：2x >．【点睛】本题考查了已知函数的范围求自变量的范围，属于基本题型，熟练掌握基础知识是解题关键．10.二项方程32160x +=在实数范围内的解是_______．【答案】2x =-【解析】【分析】先移项，再将三次项系数化为1，最后根据立方根的定义求解可得．【详解】解：∵32160x +=，∴3216x =-，∴38x =-，则2x ==-故答案为：2x =-．【点睛】本题主要考查立方根，解题的关键是掌握立方根的定义．11.用换元法解方程()223141x x x x-+=-，若设21x y x =-，那么所得到的关于y 的整式方程为________．【答案】2430y y -+=【解析】【分析】根据方程特点，设21x y x =-，则原方程可化为34y y +=，再去分母化为整式方程即得答案．【详解】解：设21x y x =-，则原方程可化为34y y +=，去分母，得234y y +=，即2430y y -+=．故答案为：2430y y -+=．【点睛】本题考查了换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较常见的一种方法，熟练掌握该方法是关键．12.方程2=的解是__________．【答案】5x =．【解析】试题分析：原方程两边平方，得：x －1＝4，所以，5x =．故答案为5x =．考点：根式方程．13.某校八年级在“停课不停学”期间，积极开展网上答疑活动．在某时间段共开放7个网络教室，其中1个是语文答疑教室，3个是数学答疑教室，3个是英语答疑教室.为了解学校的八年级学生参与网上答疑的情况，学校教学管理人员随机进入一个网络教室，那么他进入数学答疑教室的概率为__________．【答案】37【解析】【分析】根据概率公式解答即可．【详解】解：∵在7个网络教室中有3个是数学答疑教室，∴学校教学管理人员随机进入一个网络教室是数学答疑教室的概率=37．故答案为：37．【点睛】本题考查了简单的概率计算，属于基础题型，正确理解题意、熟练掌握计算的方法是关键．14.已知一个梯形的中位线长为5cm ，其中一条底边的长为6cm ，那么该梯形的另一条底边的长是__________cm ．【答案】4【解析】【分析】根据梯形中位线定理解答即可．【详解】解：设该梯形的另一条底边的长是x cm ，根据题意得：()1652x +=，解得：x =4，即该梯形的另一条底边的长是4cm ．故答案为：4．【点睛】本题考查了梯形中位线定理，属于基本题目，熟练掌握该定理是解题关键．15.已知菱形的边长为2cm ，一个内角为60︒，那么该菱形的面积为__________2cm ．【答案】【解析】【分析】连接AC ，过点A 作AM ⊥BC 于点M ，根据菱形的面积公式即可求出答案．【详解】解：过点A 作AM ⊥BC 于点M ，∵菱形的边长为2cm ，∴AB =BC =2cm ，∵有一个内角是60°，∴∠ABC =60°，∴∠BAM =30°，∴112BM AB ==（cm ），∴AM ==（cm ），∴此菱形的面积为：2=（cm 2）．故答案为：【点睛】本题主要考查了菱形的性质和30°直角三角形性质，解题的关键是熟练运用菱形的性质，本题属于基础题型．16.已知梯形的两底长分别为2和8，两腰的长分别为4与a ，那么字母a 的取值范围为_____________．【答案】210a <<【解析】【分析】画出图形如图，作DE ∥AB 交BC 于E ，则四边形ABED 是平行四边形，设DE ＝AB ＝a ，求出CE 的长后，在△CDE 中由三角形的三边关系即可得出答案．【详解】解：如图所示：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝2，BC ＝8，CD ＝4，AB ＝a ，作DE ∥AB 交BC 于E ，则四边形ABED 是平行四边形，∴DE ＝AB ＝a ，BE ＝AD ＝2，∴CE ＝BC ﹣BE ＝8﹣2＝6，在△CDE 中，由三角形的三边关系得：CE ﹣CD ＜DE ＜CE +CD ，即6﹣4＜DE ＜6+4，∴2＜a ＜10；故答案为：2＜a ＜10．【点睛】本题考查了梯形的性质、平行四边形的判定与性质、三角形的三边关系等知识，正确添加辅助线、灵活应用三角形的三边关系是解题的关键．17.已知四边形ABCD ，点O 是对角线AC 与BD 的交点，且OA OC =，请再添加一个条件，使得四边形ABCD 成为平行四边形，那么添加的条件可以是_____________．（用数学符号语言表达）【答案】OB OD=【解析】【分析】由题意OA=OC ，即一条对角线平分，根据平行四边形的判定方法，可以平分另一条对角线，也可以根据三角形全等，得出答案．【详解】解：如图所示：∵OA=OC ，由定理：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，∴可以是OB=OD （答案不唯一）．故答案为：OB=OD （答案不唯一）．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，一般有几种方法：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，③两组对边分别相等的四边形是平行四边形，④两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，⑤两组对角分别相等的四边形是平行四边形．18.贾老师用四个大小、形状完全相同的小长方形围成了一个大正方形，如果大正方形的面积为3，且3m n =那么图中阴影部分的面积是___________．【答案】34【解析】【分析】由大正方形的面积为3可得()23m n +=，由3m n =可得2n 的值，而阴影部分是边长为（m －n ）的正方形，进一步即可求出其面积．【详解】解：由题意，得()23m n +=，∵3m n =，∴()233n n +=，即2316n =，阴影部分是边长为（m －n ）的正方形，其面积为()()2223344m n n n n -=-==．故答案为：34．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景和代数式变形求值，属于常考题型，熟练掌握基本知识、灵活应用整体思想是关键．三．解答题：（本大题共7题，满分58分）19.解方程：2121111x x x x +-=--+【答案】10x =【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解:()2121x x +-=-20x x +=120,1x x ==-经检验：10x =是原方程的根，21x =-是增根，舍去.∴原方程的根是10x =.【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．20.解方程组：222,{230.x y x xy y -=--=【答案】1111x y =⎧⎨=-⎩2231x y =⎧⎨=⎩【解析】【详解】x 2-2xy-3y 2="0"(x-y)2-4y 2=0又因：x-y=2代入上式4-4y 2=0y=1或y=-1再将y=1、y=-1分别代入x-y=2则x=1、x=3∴1111x y =⎧⎨=-⎩2231x y =⎧⎨=⎩21.如图，已知向量a 、b ，用直尺与圆规先作向量a b + ，再作向量a b - ．（不写画法，保留画图痕迹，并在答案中注明所求作的向量．【答案】图见解析；【解析】【分析】利用三角形法则求解即可．【详解】解：如图，AB a b =+ ，CD a b =-．【点睛】本题考查作图-复杂作图，平面向量，三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22.某市为了美化环境，计划在一定的时间内完成绿化面积200万亩的任务，后来市政府调整了原定计划，不但绿化面积要在原计划的基础上增加20%，而且要提前1年完成任务，经测算要完成新的计划，平均每年的绿化面积必须比原计划多20万亩，求原计划平均每年的绿化面积．【答案】原计划平均每年完成绿化面积40万亩.【解析】【分析】本题的相等关系是：原计划完成绿化时间−实际完成绿化实际＝1．设原计划平均每年完成绿化面积x 万亩，则原计划完成绿化完成时间200x 年，实际完成绿化完成时间：200(120%)20x ++年，列出分式方程求解【详解】解：设原计划平均每年完成绿化面积x 万亩.根据题意可列方程：200200(120%)120x x +-=+去分母整理得：26040000x x +-=解得：140x =，2100x =-经检验：140x =，2100x =-都是原分式方程的根，因为绿化面积不能为负，所以取40x =．答：原计划平均每年完成绿化面积40万亩.【点睛】本题考查了分式方程的应用．分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．列分式方程解应用题的检验要分两步：第一步检验它是否是原方程的根，第二步检验它是否符合实际问题．23.已知平行四边形ABCD ，对角线AC 、BD 相交于点O ，且CA CB =，延长BC 至点E ，使CE BC =，联结DE ．（1）当AC BD ⊥时，求证：2BE CD =；（2）当90ACB ∠=︒时，求证：四边形ACED 是正方形．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）根据已知条件得到四边形ABCD 是菱形．求得BC=CD ．得到BE=2BC ，于是得到结论；（2）根据平行四边形的性质得到AD=BC ，AD ∥BE ，求得AD=CE ，AD ∥CE ，推出平行四边形ACED 是矩形，根据正方形的判定定理即可得到结论．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，又∵AC BD ⊥，∴四边形ABCD 是菱形.∴BC CD =.又∵CE BC =，∴2BE BC =,∴2BE CD =.（2）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC =,//AD BE ,又∵CE BC =,∴AD CE =,//AD CE ,∴四边形ACED 是平行四边形.∵90ACB ∠=︒∴平行四边形ACED 是矩形.又∵CA CB =,∴CA CE =.∴矩形ACED 是正方形.【点睛】本题考查了正方形的判定，平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键．24.在平面直角坐标系xOy 中，已知一次函数43y x b =-+的图像与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为6．（1）直接写出点A 与点B 的坐标（用含b 的代数式表示）；（2）求b 的值；（3）如果一次函数43y x b =-+的图像经过第二、三、四象限，点C 的坐标为（2，m ），其中0m >，试用含m 的代数式表示△ABC 的面积．【答案】（1）3(,0)4A b ；(0,)B b （2）4±（3）3102m +【解析】【分析】（1）由一次函数43y x b =-+的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，令y=0求出x ，得到A 点坐标；令x=0，求出y ，得到B 点坐标；（2）根据一次函数43y x b =-+的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为6列出方程，即可求出b 的值；（3）根据一次函数43y x b =-+的图象经过第二、三、四象限，得出b=-4，确定A （-3，0），B （0，-4）．利用待定系数法求出直线AC 的解析式，再求出D （0，35m ），那么BD=35m+4，再根据S △ABC =S △ABD +S △DBC ，即可求解．【详解】解：（1）∵一次函数y=43-x+b 的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，∴当y=0时，43-x+b=0，解得x=34b ，则A （34b ，0），当x=0时，y=b ，则B （0，b ）；故3(,0)4A b ；(0,)B b ;（2）∵1136224AOB S OA OB b b =⋅⋅=⋅⋅= ∴216b =，∴4b =±；（3）∵函数图像经过二、三、四象限，∴4b =-，∴443y x =--.∴(3,0)A -，(0,4)B -.设直线AC 的解析式为y kx t =+，将A 、C 坐标代入得032k tm k t=-+⎧⎨=+⎩解得535m k t m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩设直线AC 与y 轴交于点D ，则(0)53D m ，.∴345BD m =+∵ABC ABD CBDS S S =+ ∴13(4)(32)102532ABC S m m =⋅+⋅+=+ .【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，一次函数的性质，利用待定系数法求一次函数的解析式．25.已知四边形ABCD 是正方形，将线段CD 绕点C 逆时针旋转α（090α︒<<︒），得到线段CE ，联结BE 、CE 、DE.过点B 作BF ⊥DE 交线段DE 的延长线于F ．（1）如图，当BE=CE 时，求旋转角α的度数；（2）当旋转角α的大小发生变化时，BEF ∠的度数是否发生变化?如果变化，请用含α的代数式表示；如果不变，请求出BEF ∠的度数；（3）联结AF ，求证：DE =．【答案】（1）30°；（2）不变；45°；（3）见解析【解析】【分析】（1）利用图形的旋转与正方形的性质得到△BEC 是等边三角形，从而求得α=∠DCE=30°．（2）因为△CED 是等腰三角形，再利用三角形的内角和即可求∠BEF=18045CED CEB ︒-∠-∠=︒.（3）过A 点与C 点添加平行线与垂线，作得四边形AGFH 是平行四边形，求得△ABG ≌△ADH.从而求得矩形AGFH 是正方形，根据正方形的性质证得△AHD ≌△DIC ，从而得出结论．【详解】（1）证明：在正方形ABCD 中,BC=CD.由旋转知，CE=CD,又∵BE=CE,∴BE=CE=BC,∴△BEC 是等边三角形，∴∠BCE=60°.又∵∠BCD=90°,∴α=∠DCE=30°.（2）∠BEF 的度数不发生变化.在△CED 中，CE=CD,∴∠CED=∠CDE=1809022=︒-αα︒-，在△CEB 中,CE=CB,∠BCE=90α︒-,∴∠CEB=∠CBE=1804522BCE α︒-∠=︒+,∴∠BEF=18045CED CEB ︒-∠-∠=︒.（3）过点A 作AG ∥DF 与BF 的延长线交于点G ，过点A 作AH ∥GF 与DF 交于点H ，过点C 作CI ⊥DF 于点I易知四边形AGFH 是平行四边形，又∵BF ⊥DF ，∴平行四边形AGFH 是矩形.∵∠BAD=∠BGF=90°，∠BPF=∠APD ，∴∠ABG=∠ADH.又∵∠AGB=∠AHD=90°，AB=AD ，∴△ABG ≌△ADH.∴AG=AH ，∴矩形AGFH 是正方形.∴∠AFH=∠FAH=45°，∴AH=AF∵∠DAH+∠ADH=∠CDI+∠ADH=90°∴∠DAH=∠CDI又∵∠AHD=∠DIC=90°，AD=DC ，∴△AHD ≌△DIC∴AH=DI ，∵DE=2DI ，∴DE=2AH=AF识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．。

八年级数学试卷一．选择题(每题3分，共18分)1．一次函数不经过的象限是…………………………………………………（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．关于方程，下列说法不正确的是…………………………………………( )A ．它是个二项方程；B ．它是个双二次方程；C ．它是个一元高次方程；D ．它是个分式方程．3．如图，直线l 在x 轴上方的点的横坐标的取值范围是…………………………………( ) A ．; B ．； C ．; D ．． 4．如图,把矩形纸片ABCD 纸沿对角线折叠, 设重叠部分为△EBD ,( ）A ．△EBD 是等腰三角形，EB =ED ；B ．折叠后∠ABE 和∠CBD 一定相等；C ．折叠后得到的图形是轴对称图形;D ．△EBA 和△EDC 一定是全等三角形． 5．事件“关于y 的方程有实数解”是………………………………………( ）A ．必然事件；B ．随机事件；C ．不可能事件；D ．以上都不对．6．如图，梯形ABCD 中，AD//BC ，AB =CD ,O 为对角线AC 与BD 的交点,那么下列结论正确的是…………………………………………………………………………………（ ）A ． ；B ．；C ．D ．二、填空题（每题2分，共24分）7．一次函数与轴的交点是_______________．8．如图,将直线OA 向下平移2个单位，得到一个一次函数的图像,那么这个一次函数的解析式是 ．9．方程的根是______ _________．10．请写出一个根为2的无理方程： ．11．换元法解方程时，可设=， 3题图 第4题图x第6题图那么原方程变形为______ ________．12．一个九边形的外角和是 度。

13．口袋内装有一些除颜色外完全相同的红球、白球和黑球，从中摸出一球，摸出红球的概率是0.2，摸出白球的概率是0.5，那么摸出黑球的概率是 ．14．在平行四边形ABCD 中,两邻角的度数比是7：2，那么较小角的度数为 ．15．已知菱形ABCD 中，边长AB =4，∠B =30°，那么该菱形的面积等于_________．16．顺次联结对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形是_____________．17．有一个两位数，如果个位上的数比十位上的数小5,并且个位上数的平方比十位上的数小3，求这个两位数。

2020-2021学年上海市奉贤区八年级（下）期末数学试卷一、选择题(本大题共6题，每题3分，满分18分)1.一次函数y＝6x﹣1的图像不经过的象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】【分析】根据一次函数的性质即可判断．【详解】解：在一次函数y=6x-1中，k=6＞0，b=-1＜0，∴一次函数y=6x-1的图象经过一、三、四象限，∴图象一定不经过第二象限．故选：B．【点睛】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．2.如果关于x的方程ax＝b有无数个解，那么a、b满足的条件是（）A.a＝0，b＝0B.a＝0，b≠0C.a≠0，b＝0D.a≠0，b≠0【答案】A【解析】【分析】根据方程有无数个解的特征即可进行解答．【详解】解：∵方程ax=b有无数个解，∴未知数x的系数a=0，∴b=0．故选：A．【点睛】本题主要考查了含有一个未知数的方程有无数个解的条件，明确方程有无数个解的条件是解题的关键．3.投掷一枚质地均匀且六个面上分别刻有点数1到6的正方体骰子，观察骰子落地后向上面的点数，下列结果属于必然事件的是（）A.出现的点数是偶数B.出现的点数是合数C.出现的点数是4的倍数D.出现的点数是60的因数【答案】D【解析】【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【详解】解：A 、出现的点数是偶数是随机事件，故本选项不合题意；B 、出现的点数是合数是随机事件，故本选项不合题意；C 、出现的点数是4的倍数是随机事件，故本选项不合题意；D 、出现的点数是60的因数是必然事件，故本选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4.如果一个四边形四个内角的度数之比是1：2：2：3，那么这个四边形是（）A.平行四边形 B.矩形C.直角梯形D.等腰梯形【答案】C 【解析】【分析】先根据四边形的四个内角的度数之比分别求出四个内角，根据直角梯形的特点判定这个四边形的形状．【详解】解：设四边形的四个内角的度数分别为x ，2x ，2x ，3x ，则2x +2x +x +3x =360°，解得x =45°．则2x =90°，3x =135°．∴这个四边形的形状是直角梯形．故选：C ．【点睛】本题用比的形式考查了多边形内角和的公式，同时考查了直角梯形的判定等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．5.若AB是非零向量，则下列等式正确的是（）A.AB BA = ；B.AB BA =uu u r uu r ；C.0AB BA +=；D.0AB BA +=.【答案】B 【解析】【分析】长度不为0的向量叫做非零向量,本题根据向量的长度及方向易得结果【详解】∵AB是非零向量,∴AB BA 故选B【点睛】此题考查平面向量，难度不大6.已知AC 、BD 是四边形ABCD 的两条对角线．如果将“AC ⊥BD ”记为①，“四边形ABCD 是矩形”记为②，“四边形ABCD 是菱形”记为③，那么下列判断正确的是（）A.由①推出② B.由①推出③C.由②推出①D.由③推出①【答案】D 【解析】【分析】根据菱形的性质：菱形的对角线互相垂直即可即可进行判断．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ．∴由③推出①．故选：D ．【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的性质；熟练掌握矩形、菱形的性质是解题的关键．二、填空题(本大题共12题，每小题2分，满分24分)7.如果将直线y ＝x ﹣2向上平移2个单位，那么所得直线的表达式是___．【答案】y =x 【解析】【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：由“上加下减”的原则可知，将函数y =x -2的图象向上平移2个单位所得函数的解析式为y =x -2+2，即y =x ．故答案为：y =x ．【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．8.如果一次函数y ＝（a ﹣1）x +3的函数值y 随自变量x 的增大而减小，那么a 的取值范围是___．【答案】a ＜1【解析】【分析】根据一次函数y =kx +b （k ≠0）的增减性来确定k 的符号．【详解】解：∵一次函数y =（a -1）x +3的函数值y 随自变量x 的增大而减小，∴a -1＜0，解得，a ＜1．故答案是：a ＜1．【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系．解答本题注意理解：直线y =kx +b 所在的位置与k 、b 的符号有直接的关系．k ＞0时，直线必经过一、三象限．k ＜0时，直线必经过二、四象限．b ＞0时，直线与y 轴正半轴相交．b =0时，直线过原点；b ＜0时，直线与y 轴负半轴相交．9.直线21y x =-与x 轴交点坐标为_____________．【答案】1(,0)2【解析】【分析】把y=0代入21y x =-中得出x 的值即可得出答案【详解】解：∵当y=0时，2x-1=0∴x=12∴直线21y x =-与x 轴交点坐标为：1(,0)2故答案为1(,0)2【点睛】本题考查了一次函数的图像和性质，明确当y=0时的x 的值即为直线与x 轴交点的横坐标是解题的关键10.方程13x 3＝9的解是___．【答案】x =3【解析】【分析】将方程两边同时乘以3，再利用立方根的意义即可求解．【详解】解：方程两边都乘以3，得：x 3=27．两边开立方，得：x =3．故答案为：x =3．【点睛】本题主要考查了立方根概念的应用．方程两边都乘以3，去掉分母，这是解题的关键．11.用换元法解方程组56111211x y xy ⎧-=⎪+⎪⎨⎪+=⎪+⎩时，如果设1x＝a ，11y +＝b ，那么原方程组可化为二元一次方程组___．【答案】56121a b a b -=⎧⎨+=⎩【解析】【分析】设1a x=，11b y =+，得出55a x =，221b y =+，661b y =+，进而将原方程组转化二元一次方程组．【详解】解：设1a x=，11b y =+，则55a x =，221b y =+，661b y =+，原方程组可变为：56121a b a b -=⎧⎨+=⎩，故答案为：56121a b a b -=⎧⎨+=⎩．【点睛】本题考查换元法解分式方程，理解换元的意义是正确解答的关键．12.如果一个二元二次方程的一个解是24x y =⎧⎨=⎩，那么这个二元二次方程可以是___．（只需写一个）【答案】22222012y x y x ⎧+=⎨-=⎩（答案不唯一）【解析】【分析】给出二元二次方程组的解，只需要写出两个二次方程，让方程的解满足方程即可．【详解】解：因为方程组的解是：24x y =⎧⎨=⎩，我们可以写出两个关于x 和y 的二元二次方程22222012x y y x ⎧+=⎨-=⎩．故答案为：22222012y x y x ⎧+=⎨-=⎩．（答案不唯一）．【点睛】本题考查方程组解的概念，并非唯一答案，只需要所列方程组是二元二次方程组，满足24x y =⎧⎨=⎩就是可以的．13.疫情期间，某快递公司推出无接触配送服务，第一周的订单数是5万件，第三周的订单数比第一周增加2.8万件，如果设平均每周订单数的增长率为x ，那么符合题意的方程是___．【答案】5（1+x ）2=5+2.8【解析】【分析】根据该快递公司第一周及第三周订单总件数，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设平均每周订单数的增长率为x ，根据题意得：5（1+x ）2=5+2.8，故答案为：5（1+x ）2=5+2.8．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，找到等量关系是正确列出一元二次方程的关键．14.在△ABC 中，如果AB ＝a ，BC ＝b ，那么向量CA ＝___．（用向量a 、b表示）【答案】()a b -+【解析】【分析】根据三角形法则求出AC AB BC a b =+=+，可得结论．【详解】解： AC AB BC a b =+=+，∴()CA a b =-+ ，故答案为：()a b -+．【点睛】本题考查平面向量，三角形法则等知识，解题的关键是求出AC．15.如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE 的外角，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝70°，则∠AED 的度数是___________．【答案】100【解析】【分析】【详解】如图，根据多边形外角和定理得到：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，∴∠5=360-4×70=80°，∴∠AED=180-∠5=180-80=100°．16.如果一个平行四边形周长是30cm，每一组邻边相差5cm，那么较长的边长是___cm．【答案】10【解析】【分析】设该平行四边形的相邻两边长分别为x cm、y cm（x＞y），根据平行四边形周长是30cm可得2（x+y）=30，由一组邻边相差5cm可得x-y=5，解方程组可得结论．【详解】解：设该平行四边形的相邻两边长分别为x cm，y cm（x＞y），根据题意，得：()2305x yx y⎧+=⎨-=⎩，解得：105xy=⎧⎨=⎩，故平行四边形较长边长为10cm，较短边长为5cm，故答案为：10．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，根据平行四边形对边相等及题意列出方程组是解决问题的关键．17.如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD＝2，E是边DC的中点，联结AE．如果将△ADE 沿AE所在的直线翻折，点D落在点F处，那么DF两点间的距离是___．【答案】【解析】【分析】根据题意画出图形，由题意可得AD=DE=1，由折叠性质可证明四边形AFED为正方形，用勾股定理即可求AE的长即得DF两点间的距离．【详解】解：如图所示，将△ADE 沿AE 所在的直线翻折，点D 落在点F 处．∵AB =2AD =2，E 为DC 中点，∴AD =DE =1，由折叠可知AD =AF =DE =EF =1，又∠D =90°，故四边形AFED 为正方形．∴DF =AE =，．【点睛】本题考查了图形折叠的性质，矩形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，根据题意画出图形证明四边形AFED 为正方形是解题关键．18.我们定义：联结平行四边形一组对边中点的线段叫做“对边中位线”，联结平行四边形一组邻边中点的线段叫做“邻边中位线”．如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，对角线BD ＝8，那么“对边中位线”EF 与“邻边中位线”EG 、FG 所围成的△EFG 的面积是___．【答案】【解析】【分析】由题意可证ABD ∆是等边三角形，可求菱形ABCD 的面积=，可证四边形AEFB是平行四边形，可得AEFB 的面积=//EF AB ，即可求解．【详解】解： 四边形ABCD 是菱形，AB AD BC CD ∴===，60A ∠=︒ ，ABD ∴∆是等边三角形，24ABD S BD ∆∴==∴菱形ABCD 的面积=，EF 是对边中位线，12AE AD ∴=，12BF BC =，AE BF ∴=，且//AE BF ，∴四边形AEFB 是平行四边形，AEFB ∴ 的面积=//EF AB ，EG 是邻边中位线，12EFG AEFB S S ∆∴==故答案为【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，理解“对边中位线”与“邻边中位线”定义是解题的关键．三、解答题(共7题，满分58分)19.下面是小明同学解无理方程3＝x 的过程：原方程可变形为3﹣x ……（第一步）两边平方，得3﹣x ＝2x ﹣3……（第二步）整理，得﹣3x ＝6……（第三步）解得x ＝2……（第四步）检验：把x ＝2分别代入原方程的两边，左边＝3＝2，右边＝2，左边＝右边，可知x ＝2是原方程的解．……（第五步）所以，原方程的解是x ＝2．……（第六步）请阅读上述小明的解题过程，并完成下列问题：（1）以上小明的解题过程中，从第步开始出错；（2）请完成正确求解方程3＝x 的过程．【答案】（1）二；（2）见解析【解析】【分析】（1）移项后两边平方即可；（2）先移项，再两边平方，求出方程的解，最后进行检验即可．【详解】解：（1）以上小明的解题过程中，从第二步开始出错，故答案为：二；（2）3x -=，移项，得3x -=，两边平方，得（3-x ）2=2x -3，整理得：x 2-8x +12=0，解得：x 1=2，x 2=6，经检验：x =2是原方程的解，x =6不是原方程的解，所以原方程的解是x =2．【点睛】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键．20.解方程：2121111x x x x +-=--+．【答案】x =0【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：2121111x x x x +-=--+，方程两边同时乘以()()11x x +-，得()2121x x +-=-，去括号得22121x x x ++-=-，移项得22121x x x +-=-+-，合并同类项得20x x +=，解得10x =，21x =-，检验当0x =时，()()1110x x +-=-≠；当1x =-时，()()110x x +-=，是增根，舍去．∴原方程的根是0x =．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．21.根据医学上的科学研究表明，人在运动时的心跳的快慢通常与年龄有关．在正常情况下，一个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数y （次）是这个人的年龄x （岁）的一次函数，年龄15岁和45岁的人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数分别是164次和144次．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（不需要写出定义域）（2）如果张伯伯今年54岁，他在一次跑步锻炼时，途中测得10秒心跳为24次，那么他此次的状况为．（请填“可能有危险”或“没有危险”），请通过计算说明理由．【答案】（1）21743y x =-+；（2）可能有危险【解析】【分析】（1）首先根据题意列出y 关于x 的一次函数关系式，将两点坐标(15,164)、(45,144)代入函数关系式，求出解析式即可；（2）根据（1）式中的函数关系式求得54岁张伯伯的正常心跳值，与测得1分钟的心跳数比较大小．【详解】解：（1）根据题意，设y kx b =+，此函数经过两点(15,164)、(45,144)，代入可得：1641514445k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得：23174k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，y ∴与x 之间的函数关系式为21743y x =-+；（2）当54x =时，2541741383y =-⨯+=，即他能承受的最高次数是每分钟138次，张伯伯10秒心跳为24次，∴他每分钟心跳次数为246144⨯=次，显然，144138>，故答案为：可能有危险．【点睛】本题考查一次函数的应用及二元一次方程组的应用，通过待定系数法求得y 关于x 的函数关系式是解答本题的关键．22.木盒里有红球和白球，共4个，每个球除了颜色外其他都相同．从盒子里先摸出一个球，放回去摇匀后，再摸出一个球，继续放回去摇匀后，再摸第3次、第4次……（1）甲同学摸球10次，都没有摸到红球，于是他就判断“摸到红球”是“不可能事件”．他的判断正确吗？（2）如果盒子里有3个红球、1个白球，乙同学按照摸球的规则，摸球2次，那么摸到一个红球和1个白球的概率是多少？（用树状图展现所有等可能的结果）【答案】（1）判断错误，理由见解答；（2）38【解析】【分析】（1）根据概率的可能性进行判断即可；（2）根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出摸到一个红球和1个白球的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【详解】解：（1）他的判断不正确，因为此事件是随机事件，不能因为事件发生的可能性小就认为它是不可能事件；（2）根据题意列表如下：列表如下：共有16种等可能的结果，其中摸到一个红球和一个黄球的有6种结果，所以摸到一个红球和一个黄球的概率是616=38．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．23.已知梯形ABCD，AB∥CD，AD＝4，AB＝7．（1）如图1，联结BD，当∠A＝60°时，求BD的长；（2）如图2，当∠D＝2∠B时，求CD的长．【答案】（1；（2）3【解析】【分析】（1）过A作DE⊥AB，垂足为E，利用直角三角形的性质得到AE，利用勾股定理求出DE2，再次利用勾股定理求出BD即可；（2）过点D作DF∥BC，交AB于F，证明四边形BCDF是平行四边形，得到BF=CD，根据角的关系证明AD=AF=4，从而可得结果．【详解】解：（1）过D作DE⊥AB，垂足为E，∵DE⊥AB，∠A=60°，∴∠ADE=30°，∴AE=12AD=2，∴DE2=AD2-AE2=12，BE=AB-AE=5，∴BD2=DE2+BE2=37，∴BD；（2）过点D作DF∥BC，交AB于F，∵AB∥CD，∴BF∥CD，∠2=∠3，又DF∥BC，∴四边形BCDF是平行四边形，∴∠2=∠B，CD=BF，∵∠ADC=2∠B=2∠2=∠1+∠2，∴∠1=∠2=∠3=∠B，∵∠1=∠3，∴AF=AD=4，∴BF=AB-AF=3，∴CD=BF=3．【点睛】本题考查了梯形的性质，平行四边形的判定和性质，等角对等边，勾股定理，解题的关键是掌握图形的性质定理，熟练掌握线段和角的关系转化．24.已知：如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝DF，过点F作AE的平行线交对角线AC的延长线于点G，联结EG．（1）求证：四边形AEGF是菱形；（2）如果∠B＝∠BAE＝30°，求证：四边形AEGF是正方形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）先证△ABE ≌△ADF ，得到AE =AF ，∠BAE =∠DAF ，根据FG ∥AE ，得到∠EAG =∠FGA ，从而得到FG =AF =AE ，所以可得四边形AEGF 是平行四边形，进而得到其为菱形；（2）由全等三角形的性质及平行四边形的性质得出∠EAF =90°，由正方形的判定可得出答案．【详解】解：（1）证明：∵菱形ABCD ，∴AB =AD ，∠B =∠D ，∠BAC =∠DAC ，在△ABE 和△ADF 中，AB AD B D BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ADF （SAS ），∴AE =AF ，∠BAE =∠DAF ，∴∠EAG =∠FAG ，∵FG ∥AE ，∴∠EAG =∠FGA ，∴∠FAG =∠FGA ，∴FG =AF =AE ，∵FG ∥AE ，∴四边形AEGF 是平行四边形，又∵AF =AE ，∴四边形AEGF 是菱形；（2）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC ∥AD ，∴∠B +∠BAD =180°，∵∠B =∠BAE =30°，∵△ABE≌△ADF，∴∠BAE=∠DAF=30°，∴∠BAD=180°-∠B=150°，∴∠EAF=∠BAD-∠BAE-∠DAF=150°-30°-30°=90°，∵四边形AEGF是菱形，∴四边形AEGF是正方形．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，正方形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．25.在平面直角坐标平面xOy中（如图），已知直线y＝﹣x+m与直线y＝2x+n都经过点A （2，0），且分别与y轴交于点B和点C．（1）求B、C两点的坐标；（2）设D是直角坐标平面内一点，如果以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，且AB是这个平行四边形的边，求点D的坐标．【答案】（1）B（0，-2），C（0，4）；（2）（2，2）或（-2，6）【解析】【分析】（1）将A（-2，0）代入直线y=-x+m与直线y=2x+n，求出m和n，即可求B、C两点的坐标；（2）分类画出图形，由平移的性质即可求出D的坐标．【详解】解：（1）∵直线y=-x+m与直线y=2x+n都经过点A（-2，0），∴0=-（-2）+m，0=2×（-2）+n，∴m=-2，n=4，∴两直线为：y=-x-2，y=2x+4，令x=0，y=-x-2=-2，y=2x+4=4，∴B（0，-2），C（0，4）；（2）如图：①将A（-2，0）向右平移2个单位，再向上平移4个单位可得C（0，4），故将线段AB向右平移2个单位，再向上平移4个单位时，B（0，-2）移到D1（2，2），此时AB=CD1，AB∥CD1，四边形ABD1C是平行四边形，∴D1（2，2），②同理，将B（0，-2）向上平移6个单位可得C（0，4），故将线段AB向上平移6个单位时，A（-2，0）移到D2（-2，6），此时AB=CD2，AB∥CD2，四边形ABCD2是平行四边形，∴D2（-2，6），综上所述，以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，且AB是这个平行四边形的边，D的坐标为（2，2）或（-2，6）．【点睛】本题考查一次函数的综合应用，解题的关键是掌握待定系数法，分类画图形，并会用平移的性质解决问题．26.如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E，F分别在边AB、AD上，且AE＝DF．联结BF、CE．（1）求证：BF＝CE；（2）如果将线段CE绕点E逆时针旋转90°，使得点C落在点G处，联结FG．设AE＝x．①试用含x的代数式表示四边形BFGE的面积；②当AF 和EG 互相平分时，求x 的值．【答案】（1）见解析；（2）①S 四边形BFGE =（1-x ）2；②12【解析】【分析】（1）由正方形性质可证得BE =AF ，再用SAS 证明△ABF ≌△BCE 即可得到结论；（2）①设CE 、BF 交于点H ，先证明∠EHB =90°，再利用旋转和平行线的性质证明BF ∥EG ．继而证明四边形BFGE 为平行四边形，进而可表示出BE 、AF 的长，即可表示四边形BFGE 的面积；②当AF 和EG 互相平分时，则四边形AEFG 为平行四边形，当GF =AE 时，即GF =EB =AE 时，可得x =1-x ，求出x 即可．【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴AB =AD =BC ，∠A =∠CBE =90°．又∵AE =DF ，∴AB -AE =AD -DF ，即BE =AF ．在△ABF 和△BCE 中，AF BE A CBE AB BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABF ≌△BCE （SAS ）．∴BF =CE ．（2）解：①如图所示，设CE 、BF 交于点H，由（1）中结论可得，∠FBA =∠ECB ，∵∠CEB +∠ECB =90°，∴∠CEB +∠FBA =90°，∴∠EHB =90°．由旋转可知∠CEG =90°，∴BF ∥EG ．又由（1）可知BF =CE ，且CE =GE ，∴BF=GE．故四边形BFGE为平行四边形．∵AE=x，AB=1，∴BE=1-x=AF．∴S四边形BFGE=BE×AF=（1-x）2．②当AF和EG互相平分时，则四边形AEFG为平行四边形，∵GF∥BE，∴GF∥AE，当GF=AE时，即GF=EB=AE时，∴x=1-x，解得：x=1 2．【点睛】本题考查了图形旋转的性质，列代数式，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，证明△ABF≌△BCE和四边形BFGE为平行四边形是解题关键．。