2018年福建省宁德市福安一中高三上学期期中数学试卷与解析答案(理科)
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2017-2018学年福建省宁德市福安一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣9＜0}，B{x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B=（）A．{x|x＞1}B．{x|x＜3}C．{x|1＜x＜3}D．{x|﹣1＜x＜3}2．（5分）命题“∃x∈R使得sinx≥cosx“的否定是（）A．∀x∈R都有sinx≤cosx B．∀x∈R都有sinx＜cosxC．∃x∈R使得sinx≤cosx D．∃x∈R使得sinx＜cosx3．（5分）若，且，则向量的夹角为（）A．45°B．60°C．120° D．135°4．（5分）设s n是等差数列{a n}的前n项和，已知a1=3，a5=11，则s7等于（）A．13 B．35 C．49 D．635．（5分）已知f（x）是R上的奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，若，则t的取值范围是（）A．B．C．D．6．（5分）要得到函数y=sin（π+x）的图象，只需将函数y=cosx的图象（）A．右移个单位B．右移π个单位C．左移π个单位D．左移个单位7．（5分）已知函数，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，4）B．（﹣∞，4]C．[3，4） D．[3，4]8．（5分）已知ω∈R，则函数f（x）=sinωx的导函数的图象可能是（）A． B．C． D．9．（5分）函数y=tanωx（ω＞0）与直线y=a相交于A、B两点，且|AB|最小值为π，则函数的单调增区间是（）A．（k∈Z） B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）10．（5分）三角形的角平分线定理：在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于D，则．已知点O在AD上，满足，AC=2，BC=4，AB=3．且，利用三角形的角平分线定理可求得x+y的值为（）A．B．C．D．11．（5分）定义在R上的f（x）满足，则f（2017）=（）A．B．C．1 D．212．（5分）定义：若函数f（x）的图象经过变换T后所得图象对应的函数与f （x）的值域相同，则称变换T是f（x）的同值变换．下面给出了四个函数与对应的变换：（1）f（x）=ln（x+1），T将函数f（x）的图象关于y轴对称；（2）f（x）=10x﹣1﹣1，T将函数f（x）的图象关于x轴对称；（3），T将函数f（x）的图象关于点（（﹣1，1））对称；（4），T将函数f（x）的图象关于点（﹣1，0）对称．其中T是f（x）的同值变换的是（）A．（1），（2），（3） B．（2），（3），（4） C．（1），（3），（4） D．（1），（2），（3），（4）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若复数，则|z|=．14．（5分）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．测得∠BCD=15°，∠BDC=30°，CD=30米，并在点C测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB=米．15．（5分）已知a＞0，函数f（x）=x3+ax2﹣15x+1在区间[﹣2，2]单调递减，则a取值范围是．16．（5分）设正整数n满足n＞1，将正整数n拆分成两个正整数的和（如5=2+3），求出这两个正整数的乘积；再将其中一个大于1的正整数拆分成两个正整数的和，出这两个正整数的乘积．如此下去，每次都任选一个大于1的正整数拆分成两个正整数的和，出这两个正整数的乘积，直到不能再拆分为止，则所有这些乘积的和为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）设p：．（I）若a=﹣1，且满足p∨q为真，p∧q为假，求x取值范围；（Ⅱ）若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．18．（12分）已知斜△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c．（I）证明：tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC；（Ⅱ）若a=3bcosC且tanB=1，a=3，求△ABC的面积．19．（12分）如图，函数y=﹣x2+9与x轴交于两点A，B，点C，D在抛物线上（点C在第一象限），CD∥AB．记C（x，y），梯形ABCD面积为S．（Ⅰ）求面积S以x为自变量的函数解析式；（Ⅱ）若0＜x≤λ，其中λ为常数且0＜λ＜3，求S的最大值．20．（12分）已知，函数．（I）若f（x）＞0，求x取值范围；（Ⅱ）若不等式|f（x）﹣m|＜2在上恒成立，求实数m的取值范围．21．（12分）已知数列{a n}满足：a1=1，a n+a n+1=4n．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；之间插入n个数，使这n+2个数成等差数列，记这个等差数（Ⅱ）在a n和a n+1列的公差为d n．若b1=1，n≥2时，，求数列{b n}的通项公式．22．（12分）（文）已知函数f（x）=lnx与g（x）=kx+b（k，b∈R）的图象交于P，Q两点，曲线y=f（x）在P，Q两点处的切线交于点A．（1）当k=e，b=﹣3时，求函数h（x）=f（x）﹣g（x）的单调区间；（e为自然常数）（2）若A（，），求实数k，b的值．2017-2018学年福建省宁德市福安一中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣9＜0}，B{x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B=（）A．{x|x＞1}B．{x|x＜3}C．{x|1＜x＜3}D．{x|﹣1＜x＜3}【解答】解：集合A={x|x2﹣9＜0}={x|﹣3＜x＜3}，B{x|y=lg（x﹣1）}={x|x﹣1＞0}={x|x＞1}，则A∩B={x|1＜x＜3}，故选：C．2．（5分）命题“∃x∈R使得sinx≥cosx“的否定是（）A．∀x∈R都有sinx≤cosx B．∀x∈R都有sinx＜cosxC．∃x∈R使得sinx≤cosx D．∃x∈R使得sinx＜cosx【解答】解：∵特称命题的否定是全称命题，∴命题∃x∈R使得sinx≥cosx”的否定为∀x∈R都有sinx＜cosx；故选：B．3．（5分）若，且，则向量的夹角为（）A．45°B．60°C．120° D．135°【解答】解：设向量的夹角为θ，∵，∴•=0=﹣，化为：cosθ﹣=0，∴cosθ==，∴θ=45°．故选：A．4．（5分）设s n是等差数列{a n}的前n项和，已知a1=3，a5=11，则s7等于（）A．13 B．35 C．49 D．63【解答】解：等差数列{a n}中，a1=3，a5=11，故公差d=2，s7=7 a1 +d=63，故选D．5．（5分）已知f（x）是R上的奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，若，则t的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）是R上的奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，∴在（﹣∞，0）上是增函数，又f（）=0，可得f（﹣）=﹣f（）=0，∴f（x）在（﹣，0）和（，+∞）上函数值为正，∴f（）＞0转化为＞或﹣＜＜0，解得：t∈，故选：A．6．（5分）要得到函数y=sin（π+x）的图象，只需将函数y=cosx的图象（）A．右移个单位B．右移π个单位C．左移π个单位D．左移个单位【解答】解：将函数y=cosx的图象向左移个单位，可得函数y=sin（π+x）=﹣sinx=cos（x+）的图象，故选：D．7．（5分）已知函数，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，4）B．（﹣∞，4]C．[3，4） D．[3，4]【解答】解：由于函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则方程f（x）﹣m=0有三个根，故函数y=f（x）与y=m的图象有三个交点．函数，其图象如图所示，故函数f（x）的极大值为f（﹣1）=4，极小值为f（0）=3，则实数m的取值范围[3，4）．故选：C．8．（5分）已知ω∈R，则函数f（x）=sinωx的导函数的图象可能是（）A． B．C． D．【解答】解：由f（x）=sinωx，求导f′（x）=ωcosωx，故A，D错误，由B项可得函数的最大值为1，即ω=1，但T=π，则ω==2，与ω矛盾，故B 错误，故选C．9．（5分）函数y=tanωx（ω＞0）与直线y=a相交于A、B两点，且|AB|最小值为π，则函数的单调增区间是（）A．（k∈Z） B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）【解答】解：∵函数y=tanωx（ω＞0）与直线y=a相交于A、B两点，且|AB|最小值为π∴T=π而∴ω=1∴即为化简得：f（x）=2sin（x﹣）而正弦函数的单调增区间为：[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）∴x﹣∈[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）解得：x∈（k∈Z）\故选B．10．（5分）三角形的角平分线定理：在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于D，则．已知点O在AD上，满足，AC=2，BC=4，AB=3．且，利用三角形的角平分线定理可求得x+y的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵=．∴==．∴故选：D11．（5分）定义在R上的f（x）满足，则f（2017）=（）A．B．C．1 D．2【解答】解：∵定义在R上的f（x）满足，∴当x＞0时，f（x+3）=f（x+2）﹣f（x+1）=f（x+1）﹣f（x）﹣f（x+1）=﹣f（x），f（x+6）=﹣f（x+3）=f（x），∴f（2017）=f（336×6+1）=f（1）=f（0）﹣f（﹣1）=20﹣2﹣1=．故选：A．12．（5分）定义：若函数f（x）的图象经过变换T后所得图象对应的函数与f （x）的值域相同，则称变换T是f（x）的同值变换．下面给出了四个函数与对应的变换：（1）f（x）=ln（x+1），T将函数f（x）的图象关于y轴对称；（2）f（x）=10x﹣1﹣1，T将函数f（x）的图象关于x轴对称；（3），T将函数f（x）的图象关于点（（﹣1，1））对称；（4），T将函数f（x）的图象关于点（﹣1，0）对称．其中T是f（x）的同值变换的是（）A．（1），（2），（3） B．（2），（3），（4） C．（1），（3），（4） D．（1），（2），（3），（4）【解答】解：在（1）中，图象关于y轴对称变换后，x变为它的相反数，而函数值不变，所以值域和变换前的相同，所以是同值变换；在（2）中，关于x轴对称后，x值不变，y值变为它的相反数，所以值域不同了，所以不是同值变换；在（3）中，关于点（﹣1，1）对称：设（x，y）是f（x）图象上任一点，它关于（﹣1，1）的对称点设为（x0，y0），则：，得到，∴，即，和原函数是同一函数，所以值域相同，所以是同值函数；在（4）中，关于点（﹣1，0）对称：设（x，y）是函数f（x）=sin（x﹣）上任一点，该点关于（﹣1，0）的对称点设为（x0，y0），则：，得到：，代入原函数得：﹣y0=sin（﹣x0﹣2﹣），即，该函数的值域是[﹣1，1]，原函数的值域也是[﹣1，1]，所以为同值变换；综上得：同值函数有（1），（3），（4）．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若复数，则|z|=．【解答】解：∵=，∴|z|=．故答案为：．14．（5分）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．测得∠BCD=15°，∠BDC=30°，CD=30米，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB=米．【解答】解：∠CBD=180°﹣∠BCD﹣∠BDC=135°，根据正弦定理，∴BC===15，∴AB=tan∠ACB•CB=×15=15，故答案为15．15．（5分）已知a＞0，函数f（x）=x3+ax2﹣15x+1在区间[﹣2，2]单调递减，则a取值范围是．【解答】解：f′（x）=3x2+2ax﹣15，若f（x）在[﹣2，2]递减，则f′（x）=3x2+2ax﹣15≤0在x∈[﹣2，2]恒成立，（a＞0）①对称轴x=﹣≤﹣2即a≥6时，f′（x）在[﹣2，2]递增，只需f′（2）=4a﹣3≤0即可，解得：a≤，不合题意，②﹣＞﹣2即0＜a＜6时，f′（x）在[﹣2，﹣）递减，在（﹣，2]递增，故只需，解得：﹣≤a≤，故答案为：．16．（5分）设正整数n满足n＞1，将正整数n拆分成两个正整数的和（如5=2+3），求出这两个正整数的乘积；再将其中一个大于1的正整数拆分成两个正整数的和，出这两个正整数的乘积．如此下去，每次都任选一个大于1的正整数拆分成两个正整数的和，出这两个正整数的乘积，直到不能再拆分为止，则所有这些乘积的和为．【解答】解：记满足条件所有这些乘积的和为y，当n=2时，2=1+1，则y=1，当n=3时，3=2+1，2=1+1，则y=3，当n=4时，4=3+1，3=2+1，2=1+1，则y=6当n=5时，5=4+1，4=3+1，3=2+1，2=1+1，则y=10，…故y=1+2+3+…+（n﹣1）=，故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）设p：．（I）若a=﹣1，且满足p∨q为真，p∧q为假，求x取值范围；（Ⅱ）若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．【解答】解：（I）．即p：1≤x≤2，…（1分）q：（x+1）（x﹣2）≤0，a∈R．q：﹣1≤x≤2，…（2分）因为p∨q为真，p∧q为假，所以﹣1≤x＜1．…（5分）（Ⅱ）．即p：1≤x≤2，q：（x﹣a）（x﹣a2﹣1）≤0，a∈R，q：a≤x≤a2+1，…（6分）因为若p是q的充分不必要条件，所以，…（8分）故a≤﹣1或a=1．…（10分）18．（12分）已知斜△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c．（I）证明：tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC；（Ⅱ）若a=3bcosC且tanB=1，a=3，求△ABC的面积．【解答】解：（I）证明：由A+B+C=π，得tan（B+C）=tan（π﹣A）=﹣tanA，…（2分）即．…（3分），﹣tanA（1﹣tanB×tanC）=tanB+tanC，…（4分）即tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC．…（5分）（II）解：因为a=3bcosC，所以sinA=3sinBcosC，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）sin（B+C）=3sinBcosC，sinBcosC+cosBsinC=3sinBcosC，所以cosBsinC=2sinBcosC，﹣tanC=2tanB﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣因为tanB=1，所以tanC=2由tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC得tanA=3．…（8分）所以，代入正弦定理可得，∴，…（10分）所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）19．（12分）如图，函数y=﹣x2+9与x轴交于两点A，B，点C，D在抛物线上（点C在第一象限），CD∥AB．记C（x，y），梯形ABCD面积为S．（Ⅰ）求面积S以x为自变量的函数解析式；（Ⅱ）若0＜x≤λ，其中λ为常数且0＜λ＜3，求S的最大值．【解答】解：（1）依题意，点C的横坐标为x，点C的纵坐标为y C=﹣x2+9，点B的横坐标x B满足方程﹣x B2+9=0，解得x B=3所以S=（|CD|+|AB|）•y C=（2x+2×3）（﹣x2+9）=（x+3）（﹣x2+9）由点C在第一象限，得0＜x＜3．所以S关于x的函数式为S=（x+3）（﹣x2+9）（0＜x＜3）；（Ⅱ）记f（x）=（x+3）（﹣x2+9），0＜x≤λ，f'（x）=﹣3x2﹣6x+9=﹣3（x﹣1）（x+3），令f'（x）=0，得x=1，①若1＜λ，即1＜λ＜3时，f′（x）与f（x）的变化情况如下：所以，当x=1时，f（x）取得最大值，且最大值为f（1）=32．②若1≥λ，即0＜λ≤1时，f′（x）＞0恒成立，综上，1＜λ＜3时，S的最大值为32；0＜λ≤1时，S的最大值为f（λ）=（3+λ）（9﹣λ2）．20．（12分）已知，函数．（I）若f（x）＞0，求x取值范围；（Ⅱ）若不等式|f（x）﹣m|＜2在上恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（I）由函数==由，即，解得：．故得不等式的解集为：．（Ⅱ）由，则，∴f（x）max=3，f（x）min=2．不等式|f（x）﹣m|＜2⇔f（x）﹣2＜m＜f（x）+2，转化为：m＞f（x）max﹣2且m＜f（x）min+2，解得：1＜m＜4．故得实数m的取值范围是（1，4）．21．（12分）已知数列{a n}满足：a1=1，a n+a n+1=4n．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；之间插入n个数，使这n+2个数成等差数列，记这个等差数（Ⅱ）在a n和a n+1列的公差为d n．若b1=1，n≥2时，，求数列{b n}的通项公式．所以a n+2+a n+1=4（n+1），所以a n+2﹣a n=4，即数列{a n}的奇数项成等差数列，偶数项也成等差数列．因为a1=1，所以a2=3，所以当n为奇数时，；所以当n为偶数时，，所以对任意n∈N*，a n=2n﹣1．（Ⅱ）因为a n=2n﹣1，a n+1=2n+1，所以所以b n=（b n﹣b n﹣1）+（b n=1﹣b n﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1==．22．（12分）（文）已知函数f（x）=lnx与g（x）=kx+b（k，b∈R）的图象交于P，Q两点，曲线y=f（x）在P，Q两点处的切线交于点A．（1）当k=e，b=﹣3时，求函数h（x）=f（x）﹣g（x）的单调区间；（e为自然常数）（2）若A（，），求实数k，b的值．【解答】解：（1）设h（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣ex+3（x＞0），则h（x）=﹣e当0＜x＜时，h′（x）＞0，此时函数h（x）为增函数；当x＞时，h′（x）＜0，此时函数h（x）为减函数．所以函数h（x）的增区间为（0，），减区间为（，+∞）．（2）设过点A的直线l与函数f（x）=lnx切于点（x0，lnx0），则其斜率k=，故切线l：y﹣lnx0=（x﹣x0），将点A代入直线l方程得：﹣lnx0=（﹣x0），即lnx0+﹣1=0，设v（x）=lnx+﹣1，则v′（x）=（x﹣），当0＜x＜时，v′（x）＜0，函数v（x）为减函数；故方程v（x）=0至多有两个实根，又v（1）=v（e）=0，所以方程v（x）=0的两个实根为1和e，故P（1，0），Q（e，1），所以k=，b=为所求．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
