直觉思维与逻辑思维
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直觉思维与逻辑思维
厦门第一中学郑辉龙
一、逻辑思维及其培养示例
逻辑思维是指按照逻辑的规律、方法和形式，有步骤、有根据地从已知的知识和条件推导出新的结论的思维，特点是以概念、命题等数学信息为思维材料，进行合理判断和正确推理。
就中高考而言，有些数学思维能力是不便考查的，但逻辑思维能力就非常适合限定时空的试卷形式考查，所以中学生逻辑思维能力的培养有着特别的现实意义。
逻辑思维能力培养，包括三个部分：领悟概念、掌握命题、善于推理。
1.概念教学中的培养方式。
概念形成是人们对同类事物中若干不同例子进行反复感知、分析、比较和抽象，以归纳的方式概括出这类事物的本质属性。
在教学中按学生的认知规律进行概念教学时采用的策略有：
（1）几何概念教学教师应展示模型教具，提倡学生自制模型并要求画出示意图。
在学生近距离观察和直接触摸中获得的认知是任何语言描述以及多媒体演示都无法替代的。
（2）代数概念教学教师应辅以生活中的实例。
点评：明白这个概念，需要学生很强的空间想象力，这种空间观念不是凭空产生的，有实物模型才能“感知方位”，有几何画板的动态演示就能经历、体验概念形成的全过程，教具与多媒体的长短互补能使这个概念顺利地纳入学生的认知体系中。
2.命题教学中的培养方式。
本文中的命题特指教材中的公理、定理、公式、法则、性质等，是推理的主要依据。
3.推理能力的培养方式。
（1）先易后难、循序渐进。
学生普遍感到证明题难---自从学了几何，一半学生从此厌恶数学。
让学生怀着恐惧带着挫败心理，推理是学不好的。
降低起点、体验成功、树立信心、培养兴趣是攻克难关的首要策略。
例如，推理题以填空题的形式出现作为入门训练；以合情推理、不完全归纳等作为起步阶段的推理是合适可行的。
（2）“三种语言”的转换训练。
文字语言、符号语言、图形语言的熟练转换是推理表达的基础。
（3）严格要求“步步有据”。
步步有据是逻辑推理的核心所在，一旦放松要求就很可能造成逻辑混乱，这是推理的致命伤。
为了养成良好的推理习惯，起步阶段应要求学生书写时步步注明理由（见案例3），之后可以逐步降低要求，但要求学生自己明白理由是什么，步步有据的推理原则自始至终不能放弃。
（4）介绍一些常用的推理方法。
如“由因导果”的综合法，“执果索因”的分析法，“想想已知，想想求证，两面夹攻，中间会师”的推理技巧等，有助于解决学生“不知该如何想？”的困惑。
点评：这里用的推理方法是反证法，题目中含有“至多、至少、任意”等词语时，正向证明往往很困难，巧用反证法则轻松解决。
（5）适当进行构造反例的训练。
推理中离不开判断，判断的结果可能为真也可能为假，当直觉以为“是假”，但是又无法证明其不正确时问题就来了：坚信自己的判断无误—-仅仅是自己不会证明？还是怀疑自己的直觉失误了？如果能构造反例则这个两难问题迎刃而解。
中学数学最经典的反例应用就是说明“边边角”为何不能成为全等三角形的判定定理。
点评：只需一个反例，就能断定命题为假，反例思维是逻辑思维不可或缺的部分。
二、直觉思维及其培养示例
直觉思维是未经过一步步分析，无清晰步骤，而对问题突然间的领悟、理解或给出答案的思维。
通常把预感、猜想、假设、灵感、顿悟等都看做直觉思维。
逻辑思维以理解力占主导地位。
它的判断以概念为基础，主要采用逻辑推理的方法。
直觉思维以想象力占主导地位。
它的判断以直觉为基础，主要采用非逻辑推理（如合情推理）的方法。
现行教材及中学课堂中，逻辑思维占据明显优势地位。
然而，事实上我们可以静心想一想，包括教师在内，每一道难题的攻破其实就是那一点点的直觉，那一瞬间的顿悟，于是我们雀跃。
1.新课教学中的培养方式。
许多重大的科学发现都是基于直觉。
哈密顿在散步的路上迸发了构造四元素的火花；英国大学生费南希斯·葛斯里凭直觉提出四色问题；阿基米德在浴室里顿悟浮力定理。
伊恩·斯图加特说：“直觉是真正的数学家赖以生存的东西”。
科学家是学生最崇拜的，故事是学生最爱听的，榜样的力量是无穷的。
教师在新授课中应尽量查找数学史上相关的直觉思维案例介绍给学生，启迪学生的直觉思维。
例如，在“有理数加法”或“等差数列”等新课中介绍9岁高斯以直觉为基础的“高斯加法”；在学习“平行公理”时介绍欧几里得几何学的五个公设都是基于直觉，从而建立起欧氏几何这栋辉煌的大厦；在学习“平移”时介绍魏格纳的大陆漂移说；学习“函数”时介绍笛卡尔坐标系的诞生。
2.习题讲评课中的培养方式。
（1）鼓励猜想
牛顿说“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现”。
卡当之所以引进虚数，决不是逻辑因果的结论，而是出于他狂热的想象。
点评：学生普遍惧怕“运动类”的问题，往往无从下手。
鼓励学生凭直觉大胆猜：动中有静---重叠部分图形面积不变。
借助旋转的特殊位置图9，再猜重叠部分面积总是41。
同样借助图9，添辅助线即可证明（图10）。
（2）关注整体
整体性是数学直觉思维的重要特征。
直觉思维是综合的而不是分散的，它侧重于整体上把握目标对象而不拘泥于细节的逻辑分析，重视元素之间的联系、系统的宏观结构。
（3）观察力的培养
观察是一种有目的、有计划的比较持久的直觉，是知觉的特殊形式。
它是处理复杂事物的感知活动，具有更大的主动性和理解性。
具备敏锐的洞察力，可以使学生更容易获取外界的刺激，从而使潜意识层面上的各种混沌无序的知识，在瞬间达到最恰当的组合，进入显意识状态，即直觉的产生。
3.复习课中的培养方式。
复习课重在知识的融会，方法的贯通。
关注以下几个问题，有利于直觉思维的培养。
（1）数形结合：如代数比较抽象，如能图像化即直观化，也就贴近了直觉思维。
（2）发挥选择题和开放性题型的功能。
希尔伯特高瞻远瞩地用23个数学问题预示20世纪数学发展的进程，这23个数学问题的提出其实是直觉选择。
数学开放题的价值在于原本无结论，逼迫学生先预估，求解开放题是培养学生直觉思维的有效途径。
点评：在求解的过程中，学生更多的不是依赖逻辑思维而是想象、尝试、探索、发现。
点评：必须先猜大小关系。
凭直觉观察，将点P拉动至与B或C重合时，发现什么？由此猜测是相等关系。
复习课教师往往追求大容量，急于给出结论，学生没有展示猜想、各抒己见的时间，教师失去启迪学生直觉思维的时机。
4.综合与实践课中的培养方式。
数学直觉思维之所以能在一瞬间直接洞察和发现数学真理，其重要原因就是它借助了数学真理的光辉---数学美。
庞加莱把数学美的内容和特征概括为统一性、对称性、协调性、简洁性和奇异性。
审美的意识越强，发现和辨别隐蔽的和谐关系的直觉也就越强，对数学美的感悟与追求是引发数学直觉的源泉。
在此，仅就“对称美”示例说明。
别扭的感觉，似乎很不协调，于是有延长BE交AC于点D的冲动，图15因此“对称”了，发现辅助线添法，后续的问题就容易了。
直觉思维的跳跃性和或然性,导致判断谬误在所难免，因此直觉不能取代逻辑证明。
数学史上的每一个悖论都昭示着这两种迥异思维之间的依存关系，这两种思维的对立统一不也是数学美的绚丽吗！。
