《概率论总复习教案》课件第一章：概率论基础1.1 概率的基本概念介绍概率的定义和符号表示解释必然事件、不可能事件和随机事件演示如何计算事件的概率1.2 概率的基本性质和运算法则介绍概率的基本性质，如非负性和归一性讲解概率的加法法则和乘法法则举例说明概率的运算规则第二章：条件概率和独立性2.1 条件概率的概念解释条件概率的定义和符号表示演示如何计算条件概率2.2 独立事件的概率定义独立事件的概率讲解如何判断事件的独立性举例计算独立事件的概率第三章：随机变量及其分布3.1 随机变量的概念介绍随机变量的定义和分类解释离散随机变量和连续随机变量的区别3.2 离散随机变量的分布列讲解离散随机变量的概率分布列的定义和性质举例计算离散随机变量的分布列第四章：期望和方差4.1 随机变量的期望定义随机变量的期望值讲解如何计算离散随机变量的期望值举例计算期望值的应用4.2 随机变量的方差定义随机变量的方差讲解如何计算离散随机变量的方差举例计算方差的应用第五章：大数定律和中心极限定理5.1 大数定律介绍大数定律的定义和意义讲解大数定律的证明和应用5.2 中心极限定理解释中心极限定理的定义和意义讲解中心极限定理的证明和应用举例说明中心极限定理的实际应用第六章：随机变量的协方差和相关系数6.1 随机变量的协方差定义随机变量的协方差讲解如何计算两个随机变量的协方差举例说明协方差的应用6.2 随机变量的相关系数定义随机变量的相关系数讲解如何计算两个随机变量的相关系数解释相关系数的大小表示两个变量之间的关系第七章：随机过程和马尔可夫链7.1 随机过程的概念介绍随机过程的定义和特点解释随机过程的分类和应用7.2 马尔可夫链的基本概念定义马尔可夫链和状态转移矩阵讲解马尔可夫链的性质和分类举例说明马尔可夫链的实际应用第八章：抽样分布和假设检验8.1 抽样分布的概念解释抽样分布的定义和特点讲解抽样分布的性质和应用8.2 假设检验的基本概念定义假设检验和显著性水平讲解假设检验的步骤和类型举例说明假设检验的实际应用第九章：贝叶斯统计和决策理论9.1 贝叶斯统计的基本概念解释贝叶斯统计的原理和方法讲解贝叶斯定理和后验概率的计算举例说明贝叶斯统计的应用9.2 决策理论的基本概念定义决策问题的类型和决策准则讲解期望效用理论和贝叶斯决策理论举例说明决策理论的应用第十章：概率论在实际问题中的应用10.1 概率论在工程和经济领域的应用讲解概率论在工程和经济领域的应用实例解释概率论在风险分析和质量控制中的应用10.2 概率论在自然科学和社会科学领域的应用介绍概率论在自然科学和社会科学领域的应用实例解释概率论在生物学和心理学中的应用重点和难点解析重点一：事件的概率计算必然事件、不可能事件和随机事件的概率区分事件的概率计算方法，包括组合公式和排列公式难点解析：事件的概率计算是概率论的基础，理解不同类型事件的概率特性至关重要。
概率统计期末知识点复习一、概率计算⒈事件的关系和运算⑴ 子事件(事件的包含)B A ⊂：若A 发生，则B 必然发生； ⑵ 相等事件A B =：B A ⊂且A B ⊃； ⑶ 并事件B A ：“,A B 中至少发生一个”； ⑷ 交（积）事件AB ：“,A B 都发生”； ⑸ 互不相容（互斥）事件:AB =∅； ⑹ 对立事件：若AB =Ω，且AB =∅，称B 为A 的对立事件，记为A B =．⑺ 差事件B A -：“A 发生，而B 不发生”． ⑻ 事件的运算律 ①交换律：A B B A =，AB BA =；②结合律：()()A B C A B C =，()()AB C A BC =； ③分配律：()A B C ACBC =，()()()AB C A C B C =；④摩根律：AB A B =，AB A B =．⒉概率计算的基本公式⑴非负性：设A 为任一随机事件，则0()1P A ≤≤． ⑵规范性：()1P Ω=，()0P ∅=． ⑶并事件概率计算公式：()()()()P AB P A P B P AB =+-；()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+．如果事件12,n A A A ,,两两互不相容，则1212()()()()n n P A A A P A P A P A =+++．⑷差事件概率计算公式：()()()()()P A B P AB P A AB P A P AB -==-=-； 若B A ⊂，则①()()()P A B P A P B -=-； ②()()P B P A ≤． ⑸对立事件概率计算公式：()1()P A P A =-．1A 2A 3A nA 21(|)P A A 1()P A 312(|)P A A A11(|)nnP A AA -B2A ∙1A nA 1()P A 2()P A ()n P A 1()P B A 2()P B A ()n P B A ⒊条件概率公式、乘法公式 ⑴条件概率：()P B A ．①公式法：()(),()0()P AB P B A P A P A =>；②代入法：改变样本空间直接计算．⑵乘法公式：()0P A >，有()()()P AB P A P B A =． 设12()0n P A A A >，2n ≥，则12()n P A A A 12131211()(|)(|)(|)-=n n P A P A A P A A A P A A A ．适用范围：链式结构⒋全概公式、逆概公式 ⑴全概率公式：1,,n A A 为一完备事件组，则1()()()ni i i P B P A P B A ==∑．适用范围：并列结构⑵贝叶斯公式(逆概公式):1()()()()()i i i nkkk P A P B A P A B P A P B A ==∑．⒌古典概型、几何概型、贝努里概型 ⑴古典概型：()A P A =事件所含样本点的个数所有样本点的个数．掌握简单的排列组合．⑵几何概型：()A P A =Ω的几何测度的几何测度，其中几何测度分别为长度或面积．对比均匀分布．⑶贝努里概型：在n 重贝努里试验中事件A 恰好发生k 次的概率为(1)kkn kn C p p --，其中0,1,2,,k n =，()p P A =，01p <<．对比二项分布．⒍事件的独立性⑴事件A 和B 相互独立的直观理解为事件A 和B 各自发生与否没有任何关系．并会根据实际问题判断事件A 和B 的独立性．⑵事件,A B 相互独立()()()P AB P A P B ⇔=(|)()(()0)P B A P B P A ⇔=>.⑶,,A B C 两两独立⇔()()(),()()(),()()().P AB P A P B P AC P A P C P BC P B P C =⎧⎪=⎨⎪=⎩⑷,,A B C 相互独立⇔,,()()()().A B C P ABC P A P B P C ⎧⎨=⎩两两独立,⑸独立性的有关结论：①设()0P B >，则事件A 和B 相互独立的充要条件为()()P A B P A =．②设,A B 为两个随机事件，如果A 和B 相互独立，则A 和B 相互独立；A 和B 相互独立； A 和B 也相互独立．③设,A B 为两个随机事件，且0()1P B <<，则A 和B 相互独立的充要条件为()()P A B P A B =．④如果随机事件12,,,n A A A 相互独立，则12,,,n A A A 的任一部分事件（至少两个事件）也相互独立．⑤如果随机事件12,,,n A A A 相互独立，则分别将i A 不变或换成i A 后所得事件仍相互独立．例如12,,,n A A A ，12,,,n A A A 等也分别相互独立．⑥如果随机事件1212,,,,,,,m n A A A B B B 相互独立，则由12,,,m A A A 组成的随机事件与由12,,,n B B B 组成的随机事件相互独立．⒎切比雪夫不等式（估计概率） 设μ=EX，2σ=DX ，则对任意的0ε>，有22{}1P X σμεε-<≥- 或22{}P X σμεε-≥≤．⒏利用分布计算概率⑴利用分布函数计算概率：①{}()()P a X b F b F a <≤=-，000{}()(0)P X x F x F x ==--等等． ②1212{,}<≤<≤P x X x y Y y 22211211(,)(,)(,)(,)F x y F x y F x y F x y =--+． ⑵利用分布律计算概率：①{}P X L ∈=i ix Lp ∈∑． ②(,){(,)}i j ij x y DP X Y D p ∈∈=∑．⑶利用密度函数计算概率：①{}{}P a X b P a X b <≤=≤≤{}P a X b =≤<{}P a X b =<<()b af x dx =⎰．②{(,)}(,)DP X Y D f x y dxdy ∈=⎰⎰．③00{}()X Y LP X L Y y f x y dx ∈==⎰；00{}()Y X LP Y L X x f y x dy ∈==⎰．二、随机变量的分布⒈分布函数及性质⑴一维随机变量的分布函数：(){},F x P X x x =≤-∞<<+∞． ⑵一维随机变量分布函数的性质：①0()1F x ≤≤； ②()0F -∞=，()1F +∞=； ③()F x 处处单调不减； ④()F x 处处右连续． ⑶二维随机变量的分布函数：(,){,}=≤≤F x y P X x Y y ，2(,)x y R ∈． ⑷二维随机变量分布函数的性质： ①0(,)1F x y ≤≤，其中2(,)x y R ∈；②(,)1,(,)(,)(,)0F F x F y F +∞+∞=-∞=-∞=-∞-∞=； ③(,)F x y 分别为关于变量x 和y 单调不减的函数； ④(,)F x y 分别关于变量x 和y 处处右连续． ⒉分布律及性质⑴一维离散型随机变量的分布律：{}i i P X x p ==，1,2,i =；或1212~i ix x x X p p p ⎛⎫⎪⎝⎭． ⑵一维离散型随机变量分布律的性质：①0i p ≥，1,2,i =； ②1iip=∑．⑶二维离散型随机变量的分布律：{,}i j ij P X x Y y p ===，1,2,,1,2,i j ==；或2j y121j p⑷二维离散型随机变量分布律的性质： ①0ij p ≥，1,2,,1,2,i j ==； ②1ijijp=∑∑．⒊密度函数及性质⑴一维连续型随机变量的密度()f x ：()f x 满足()()x F x f t dt -∞=⎰，x -∞<<+∞．⑵一维连续型随机变量密度函数的性质： ①()0,(,)f x x ≥∈-∞+∞； ②()1f x dx +∞-∞=⎰．⑶二维连续型随机变量的密度(,)f x y ：(,)f x y 满足(,)(,)x yF x y f u v dudv -∞-∞=⎰⎰，2(,)x y R ∈．⑷二维连续型随机变量密度函数的性质： ①(,)0≥f x y ，2(,)x y R ∈； ②(,)1f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰．⒋常见分布及其数字特征⑴01-分布~(1,)X B p ：1{}(1)k k P X k p p -==-，0,1;,k EX p DX pq ===． ⑵二项分布(,)B n p ：{}(1),0,1,2,,,01kkn kn P X k C p p k n p -==-=<<；,EX np DX npq ==．应用背景．．：记X 为n 重贝努利试验中A 发生的次数．．,则(,)X B n p .⑶泊松分布()P λ：{},0,0,1,2,!kP X k e k k λλλ-==>=，EX DX λ==.⑷均匀分布~[,]X U a b ：1,,()0,a x b f x b a ⎧<<⎪=-⎨⎪⎩其它.()2,212b a a b EX DX -+==. ⑸指数分布()E λ：,0,()00,0.x e x f x x λλλ-⎧>=>⎨≤⎩,211,EX DX λλ==.⑹正态分布X ~),(2σμN：22()2()x f x μσ--=，x -∞<<+∞；2,EX DX μσ==.5．常见分布的性质⑴（了解）设随机变量12,,,n X X X 相互独立，且~(,),1,2,,i i X B n p i n =，则11~(,)nnii i i XB n p ==∑∑．特别地，设随机变量12,,,n X X X 相互独立，且~(1,),1,2,,i X B p i n =，则1~(,)nii XB n p =∑．反之，服从二项分布(,)B n p 的随机变量X 可以分解为n 个相互独立，且均服从(1,)B p 的随机变量12,,n X X X 之和．⑵（了解）设随机变量12,,,n X X X 相互独立，且~(),1,2,,i i X P i n λ=，则11~()nnii i i XP λ==∑∑．⑶（了解）设随机变量12,,,n X X X 相互独立，且~(),1,2,,i i X E i n λ=，则121min{,,,}~()nn i i X X X E λ=∑．⑷（了解）设随机变量12~[,]X U θθ，则12~[,](0)aX b U a b a b a θθ+++>；21~[,](0)aX b U a b a b a θθ+++<．⑸（了解）设二维随机变量(,)X Y 服从均匀分布，,,U aX bY V cX dY =+⎧⎨=+⎩且0ad bc -≠，则(,)U V 也服从均匀分布．⑹设随机变量2~(,)X N μσ，则22~(,)Y aX b N a b a μσ=++，其中0a ≠．特别地，~(0,1)X N μσ-．⑺设随机变量12,,,n X X X 相互独立，且2~(,),1,2,,i i i X N i n μσ=，12,,,n a a a 是不全为零的常数，则22111~(,)n n ni i i i i i i i i a X N a a μσ===∑∑∑．特别地，设随机变量12,,,n X X X 相互独立，且2~(,),1,2,,i X N i n μσ=，则211~(,)n i i X N n nσμ=∑． ⑻设二维随机变量(,)X Y 服从二维正态分布，,,U aX bY V cX dY =+⎧⎨=+⎩且0ad bc -≠，则(,)U V 也服从二维正态分布．⑼设二维随机变量221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ，则X 和Y 相互独立⇔0ρ=．⒌边缘分布 ⑴离散型{}i ij jP X x p ==∑，1,2,i =；{}j ijiP Y y p==∑，1,2,j =．关于X 的边缘分布律可对表中的i j p 进行纵向求和即得；关于Y 的边缘分布律可对表中的i j p 进行横向求和即得．⑵连续型()(,)X f x f x y dy +∞-∞=⎰,x -∞<<+∞；()(,)Y f y f x y dx +∞-∞=⎰,y -∞<<+∞．()X f x 可通过在给定点x 处，),(y x f 的纵向积分（对y 从-∞到+∞积分）求得，()Y f y 可通过在给定点y 处，),(y x f 的横向积分（对x 从-∞到+∞积分）求得．⒍条件分布 ⑴离散型1212()~i jj ij j jjjx x x p p p X Y y p pp⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；1212()~j ij i i i iiiy y y p Y X x p p p p p ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭． ⑵连续型(,)()()X Y Y f x y f x y f y =，x -∞<<+∞；(,)()()Y X X f x y f y x f x =，y -∞<<+∞．⒎随机变量的独立性⑴随机变量X 和Y 相互独立的直观意义是指X 和Y 的各自取值情况没有任何关系． ⑵利用分布函数：(,)()()X Y F x y F x F y =． ⑶利用分布律：ij i j p p p =，1,2,,1,2,i j ==．⑷利用密度函数：(,)()()X Y f x y f x f y =． ⑸随机变量独立性的有关结论①设随机变量X 与Y 相互独立，则对任意实数集合12,L L ，有1212{,}{}{}P X L Y L P X L P Y L ∈∈=∈∈．②如果随机变量12(,,,)m X X X 和12(,,,)n Y Y Y 相互独立，,g h 分别为m 元连续函数和n 元连续函数，则随机变量12(,,,)m g X X X 与12(,,,)n h Y Y Y 也相互独立．特别地，设随机变量X 与Y 相互独立，(),()g x h y 是连续函数，则随机变量()g X 与()h Y 也相互独立．⒏随机变量函数的分布⑴离散型随机变量函数的分布可直接列表求得． ⑵连续型随机变量函数分布采用分布函数法①()Y g X =：先求()(){}{()}()Y X g x yF y P Y y P g X y f x dx ≤=≤=≤=⎰,②(,)Z g X Y =：先求(,)(){}{(,)}(,)Z g x y zF z P Z z P g X Y z f x y dxdy ≤=≤=≤=⎰⎰，然后对y 或z 进行讨论然后求导数.⑶熟记1max i i nM X ≤≤=和1min i i nN X ≤≤=的分布函数和密度函数公式.①若随机变量12,,,n X X X 相互独立，i X 的密度函数为()i f x ，分布函数为()i F x ，1,2,,i n =，则M 和N 的分布函数(),()M N F x F x 和密度函数(),()M N f x f x 分别为12(){}()()()M n F x P M x F x F x F x =≤=，()()M Mf x F x '=； ()()()12(){}1[1][1][1]N n F x P N x F x F x F x =≤=----，()()N Nf x F x '=． ②当12,,,n X X X 独立同分布时，()()i f x f x =，()()i F x F x =，1,2,,i n =，则 ()[()]n M F x F x =，1()[()]()n M f x n F x f x -=；()1[1()]n N F x F x =--，1()[1()]()n N f x n F x f x -=-．⒐数字特征计算⑴数学期望(均值)：①一维随机变量函数的数学期望：1(),(())()().i i i g x p E g X g x f x dx ∞=+∞-∞⎧⎪=⎨⎪⎩∑⎰注: 2,()EX E X 为其特例．②二维随机变量函数的数学期望：11(,),((,))(,)(,).i j i j i j g x y p E g X Y g x y f x y dxdy ∞∞==+∞+∞-∞-∞⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩∑∑⎰⎰注: 22,(),,(),()EX E X EY E Y E XY 为其特例．⑵方差：222()()()DX E X EX E X EX =-=-．⑶协方差：ov(,)[()()]()C X Y E X EX Y EY E XY EXEY =--=-．⑷相关系数：XY ρ=．⑸数字特征的性质（见教材）． ⑹不相关：①若0XY ρ=，称X 与Y 不相关；X 与Y 不相关的直观意义指X 与Y 没有线性关系． ②X 与Y 不相关ov(,)0C X Y ⇔=()D X Y DX DY ⇔±=+()E XY EXEY ⇔=．③设221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ，则X 与Y 的相关系数XY ρρ=．④设221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ，则X 和Y 相互独立⇔0ρ=⇔X 与Y 不相关．⑤如果X 与Y 相互独立，且X 与Y 的相关系数XY ρ存在，则X 与Y 不相关．反之未必．⒑中心极限定理的应用 ⑴设12,,n X X X 独立同分布，且2,0i i EX DX μσ==≠(1,2,)i =，则当n 充分大（30n ≥）时，有21~(,)nii XN n n μσ=∑近似．⑵设~(,)X B n p ，则当n 充分大（30n ≥）时，~(,(1))X N np np p -近似．三、计算过程中需要分段讨论的几种类型与方法⒈已知X 的分布律，求X 的分布函数()F x ．三个特征： ⑴分1n +段；⑵每段上，将概率逐次累加（初始值为0，终值为1）； ⑶每个区间为左闭右开． ⒉已知X 的密度函数()f x （分段函数），求X 的分布函数()F x ． ⑴分1n +段；⑵每段上，将()f x 在(,]x -∞上积分；⑶由于()F x 为连续函数，故每个区间为开闭均可．⒊已知(,)X Y 的密度函数(,)f x y （分段函数），求X 的分布函数(,)F x y ． ⑴结合(,)F x y 的原理图和(,)f x y 特征图，将全平面分若干块； ⑵每块上，将(,)f x y 在区域(,](,]x y D -∞⨯-∞上积分．⒋连续型随机变量函数的分布⑴一维连续型随机变量函数()Y g X =的分布函数()Y F y ：①先确定()Y g X =取值范围；例如m Y M ≤≤，其中,m M 为实数，则采用三段式讨论．②当y m <时，()0Y F y =．③当m y M <≤时，利用定积分()()()Y X g x yF y f x dx ≤=⎰计算．④当y M ≥时，()1Y F y =．⑤当m =-∞或M =+∞或其它情况时，还可能采用两段式或四段式讨论等． ⑥若Y 为连续型随机变量，则Y 的密度函数()()Y Y f y F y '=． ⑵二维连续型随机变量函数(,)Z g X Y =的分布函数()Z F z ：①确定(,)Z g X Y =的取值范围；例如m Z M ≤≤，其中,m M 为实数，则采用三段式讨论．②当z m <时，()0Z F z =．③当m z M <≤时，利用二重积分(,)()(,)Z g x y zF z f x y dxdy ≤=⎰⎰计算．④当z M ≥时，()1Z F z =．⑤当m =-∞或M =+∞或其它情况时，还可能采用两段式或四段式讨论等． ⑥若Z 为连续型随机变量，则Z 的密度函数()()Z Z f z F z '=． ⒌二维连续型随机变量(,)X Y 的边缘密度 ⑴()(,)X f x f x y dy +∞-∞=⎰，x -∞<<+∞．①作出),(y x f 的特征图．②用垂直直线x m =和x M =将D 夹住． ③当x m <或x M >时，()0X f x =． ④当m x M ≤≤时，()(,)X f x f x y dy +∞-∞=⎰．⑤当m =-∞或M =+∞或其它情况时，也可能采用其它方式讨论． ⑵()(,)Y f y f x y dx +∞-∞=⎰,y -∞<<+∞．①作出),(y x f 的特征图．②用水平直线y m =和y M =将D 夹住． ③当y m <或y M >时，()0Y f y =． ④当m y M ≤≤时，()(,)Y f y f x y dx +∞-∞=⎰．⑤当m =-∞或M =+∞或其它情况时，也可能采用其它方式讨论．四、数理统计的基础知识⒈总体X ，样本12(,,,)n X X X 和观察值的概念．关注简单随机样本的独立性和代表性．⒉常用统计量：样本均值∑==n i i X n X 11，样本方差2211()1n i i S X X n ==--∑， 顺序统计量*11min i i nX X ≤≤=，*1max n i i nX X ≤≤=．⒊常见分布⑴正态分布：见概率论中的内容． ⑵2χ分布：设12(,,,)n X X X 为来自总体~(0,1)X N 的一个样本，就称统计量22222121ni ni X X X X ===+++∑χ服从自由度为n 的2χ分布，记作)(~22n χχ． ①设)(~22n χχ，则2()E n =χ，2()2D n =χ． ②设~(0,1)X N ，则22~(1)X χ．③设22~()i i n χχ，1,2i =，且2212,χχ相互独立，则2221212~()n n ++χχχ．⑶ t 分布：设随机变量~(0,1)X N ，2~()Y n χ，且X 与Y 相互独立，就称T =服从自由度为n 的t 分布，记作)(~n t T ．⑷F 分布：设随机变量)(~12n X χ，)(~22n Y χ，且X 与Y 相互独立，就称21n Y n X F =服从第一自由度为1n ，第二自由度为2n 的F 分布，记作),(~21n n F F ． ①如果~()T t n ，则2~(1,)T F n ． ②如果12~(,)F F n n ，则211~(,)F n n F． ⒋上侧分位点p x ：{},{}1p p P X x p P X x p ≥≥≤≥-． 如U α，2()t n α，21()n αχ-，2121(,)Fn n α-等等（下标为该点处右侧的面积）． 注意：1U U αα-=-，1()()t n t n αα-=-，112211(,)(,)F n n F n n αα-=．⒌单正态总体2~(,)X N μσ中X 和2S 的分布（其中12(,,,)n X X X 为样本）： ⑴2~(,)X N nσμ，或nX /σμ-~)1,0(N ；⑵nS X /μ-～)1(-n t ；⑶2212()()nii Xn μχσ=-∑；⑷222122()(1)(1)nii XX n Sn χσσ=--=-∑,且X 与2S 相互独立．五、参数估计⒈点估计 ⑴矩估计：①原理：用样本矩估计理论矩．②方法：建立方程（组）11()n rr i i X E X n ==∑，1,2,r =，解出θ，得θ的矩估计θ．⑵最大似然估计：①原理：概率最大的事件最有可能出现． ②方法：构造似然函数)(L θ=12)(,,,;n L x x x θ（似然函数体现了样本12(,,,)n X X X 出现的概率大小），求似然函数L 的最大值点，即为θ的极大使然估计θ． ③步骤：第一步：写出似然函数)(L θ．如果连续型总体X 的密度函数为(;)f x θ，则1()(;)n i i L f x θθ==∏．如果离散型总体X 的分布律为(;)p x θ，则1()(;)ni i L p x θθ==∏． 第二步：取对数ln )(L θ，并令ln 0)(d d L θθ=，或ln 0)(i L θθ∂=∂，1,2,,i k =，建立方程(组)．如果从中解得惟一驻点θˆ，则θˆ即为θ的最大似然估计； 第三步：如果上述方程无解，则通过单调性的讨论，在某边界点处，求出θ的最大似然估计量θˆ． ⒉估计量的评价标准⑴无偏性：如果E θθ=，就称θ为θ的无偏估计．主要结论有：①如果总体X 的数学期望EX 存在，则X 是μ的无偏估计，即E X μ=． ②如果总体X 的方差DX 存在，则2S 是2σ的无偏估计，即22()E S σ=．③设估计量12ˆˆˆ,,m θθθ均为θ的无偏估计，12,,,m c c c 为常数，且11mi i c ==∑，则1ˆmi i i c θ=∑仍为θ的无偏估计．注意：即使ˆθ为θ的无偏估计，而ˆ()g θ未必为．．．()g θ的无偏估计． ⑵（较）有效性：设21ˆ,ˆθθ均为θ的无偏估计，如果12ˆˆD D θθ<，就称1ˆθ比2ˆθ有效．⑶一致性（相合性）：设ˆθ为θ的估计量，如果对任意的0ε>，均有ˆl i m {}1n P θθε→∞-<=，就称θˆ为θ的一致估计量或相合估计量． ⒊单正态总体2(,)N μσ中2,σμ的区间估计⑴2σ已知，μ的置信度1α-的置信区间为22X u X u αα⎛⎫-+ ⎝． ⑵2σ未知，求μ的置信度为1α-的置信区间为2(X t n α⎛⎫±- ⎝． ⑶2σ的置信度为1α-的置信区间为2222122(1)(1),(1)(1)n Sn S n n ααχχ-⎛⎫-- ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭． 六、假设检验⒈假设检验的有关概念了解假设检验的背景，假设的提法，假设检验中的反证法思想，假设检验的基本原理，显著性检验，双侧检验和单侧检验等相关内容．⒉假设检验的两类错误⒊假设检验的四个步骤⑴根据给定的问题，建立假设检验问题01(,)H H ． ⑵根据检验问题01(,)H H 及条件，选择检验统计量12(,,,)n g X X X ．当0H 为成立时，确定该统计量12(,,,)n g X X X 的分布．⑶根据显著性水平α，确定临界值和原假设0H 的拒绝域W ． ⑷通过样本值12(,,,)n x x x ，计算统计量12(,,,)n g X X X 的值12(,,,)n g x x x ．若12(,,,)n g x x x W ∈，则拒绝0H ，否则接受0H ．⒋单正态总体中均值和方差的假设检验。
《统计复习课》教学设计《统计复习课》教学设计作为一名专为他人授业解惑的人民教师，常常要根据教学需要编写教学设计，教学设计是一个系统化规划教学系统的过程。
优秀的教学设计都具备一些什么特点呢？下面是小编整理的《统计复习课》教学设计，希望对大家有所帮助。
《统计复习课》教学设计1教学目标：1、认识1格表示1个单位的条形统计图，经历简单数据的统计过程，会制作简单的统计图，能根据统计表和统计图回答一些简单的数学问题。
2、培养学生统计的操作能力和解决问题的能力。
教学重点难点：会进行数据的统计，会制作统计图，能解决简单的实际问题。
数据的统计过程。
教师活动学生活动一、近视眼发病率。
1、出示明光小学20xx年一年级至六年级近视眼发病情况统计表。
2、制作统计图。
（1）先让学生观察这张统计图，说一说统计图的横行表示什么？竖列表示什么？（2）观察竖列，看一看一格表示几？（3）要求。
让学生说说在制作统计图的过程需要注意些什么，有什么要提醒大家的？3、回答问题。
（1）问题：几年级的发病人数最多，达到（）人。
（2）问题：全校的近视眼人数共多少人？要求学生列式计算。
（3）问题：六年级发病人数是一年级的几倍？要求学生列式计算。
二、1分钟跳绳。
1、出示三（1）班男同学1分钟跳绳的成绩情况。
2、统计数据。
有的学生可能说通过同桌合作完成，也有学生可能一个一个进行统计……（2）建议大家同桌合作完成：一个学生报成绩，另一个学生用“正”字的方法进行统计。
（3）交流统计的结果。
3、制作统计图。
（1）观察统计图的横行和竖列分别表示什么？1格代表几？4、回答问题。
（1）问题：三（1）班男同学跳绳成绩最好的是几号同学，跳了几个？问题：学校规定，1分钟达标成绩是110个，三（1）男同学达标人数是几个，占男同学的几分之几？让学生观察这张统计表，说一说你看了以后想要发表什么意见或建议？学生独立制作统计图。
完成后先与同桌进行交流，然后再集体交流。
学生独立完成后汇报让学生说一说看到这些数据后你有什么感想？（1）让学生思考通过怎样的方式对这些数据进行统计？让学生思考：如何检验统计的结果是否正确：把统计结果的人数加起来看是否等于原先的人数。
