多元函数的积分学;微分方程

2021年考研数学高数考点解析高等数学作为硕士研究生招生考试的内容之一，主要考查考生对高等数学的基本概念、基本理论、基本方法的理解和掌握以及考生的抽象思维能力、逻辑推理能力、综合运用能力和解决实际问题的能力。

依据数学考试大纲中的考试要求，包新卓老师在下面的表格中简要罗列了高等数学在数学(一)、数学(二)和数学(三)这三个卷种中所涵盖的考试内容。

接下来，包新卓老师就从数学(一)、数学(二)、数学(三)的公共部分开始。

一、函数、极限、连续高等数学在考研中，也被称为微积分学。

微积分学的研究对象是函数，许多重要的概念都需要用极限理论精确定义，因此极限是微积分学的重要基础，这部分内容对后续内容的学习影响深远，故应重点掌握。

在这一部分，由于数学(一)、数学(二)、数学(三)的考试要求完全一样，故这里不做分类。

考纲内容：1、函数的概念及表示法、函数关系的建立;2、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性;3、复合函数、反函数、分段函数和隐函数;4、基本初等函数的性质及其图形，初等函数;5、数列极限与函数极限的定义及其性质;6、函数的左极限和右极限;7、无穷小量和无穷大量的概念及其关系，无穷小量的性质及无穷大量的比较;8、极限的四则运算：掌握极限的四则运算法则;9、极限存在的两个准则(单调有界准则和夹逼准则)，两个重要极限;10、函数连续的概念，函数间断点的类型;11、初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质;根据往年改卷反馈回来的数据可知，大部分考生对函数、极限、连续这一部分的内容普遍掌握得比较好，但由于这部分内容与后续内容多有交叉，因此考生要注意前后知识的融会贯通。

二、一元函数微分学一元函数微分学不仅在微积分的学习中占有着极其重要的地位，而且它也是考研数学考查的重点。

在这里，对于数学(一)和数学(二)单独考点，包新卓老师会在相应的内容后面予以标出，未做任何标出的内容则为数学(一)、数学(二)、数学(三)的公共考点。

602数学（含高等数学、线性代数）一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法，函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，复合函数、反函数、分段函数。

数列极限与函数极限的相关内容。

二、一元函数微分学考试内容导数和微分的概念，导数和微分的四则运算，复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法，高阶导数。

一阶微分形式的不变性，微分学中值定理，洛必达(L’Hospital)法则，微分学的应用。

三、一元函数积分学考试内容原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质，基本积分公式，定积分的概念和基本性质。

定积分中值定理，变上限定积分定义的函数及其导数，牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式，不定积分和定积分的换元积分法部积分法，有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分，广义积分的概念，定积分的应用。

四、向量代数和空间解析几何考试内容向量的概念，向量的线性运算，向量的数量积和向量积的概念及运算，向量的混合积，两向量垂直、平行的条件，两向量的夹角，向量的坐标表达式及其运算，单位向量方向数与方向余弦，平面方程、直线方程平面与平面、平面与直线、直线与直线的平行、垂直的条件和夹角，点到平面和点到直线的距离。

球面、母线平行于坐标轴的柱面，旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程，常用的二次曲面方程及其图形。

空间曲线的参数方程和一般方程，空间曲线在坐标面上的投影曲线方程。

五、多元函数微分学考试内容多元函数的概念，二元函数的极限和连续的概念。

有界闭区域上的多元连续函数的性质，多元函数偏导数和全微分的概念，全微分存在的必要条件和充分条件，多元复合函数、隐函数的求导法，高阶偏导数，方向导数和梯度的概念及其计算，空间曲线的切线和法平面，曲面的切平面和法线。

多元函数极值和条件极值求法及应用。

六、多元函数积分学考试内容二重积分、三重积分的概念及性质，二重积分与三重积分的计算和应用。

两类曲线积分的概念、性质及计算。

两类曲线积分的关系，格林(Green)公式，平面曲线积分与路径无关的条件，已知全微分求原函数。

高等数学(数二>一.重点知识标记高等数学科目大纲章节知识点题型重要度等级高等数学第一章函数、极限、连续1 .等价无穷小代换、洛必达法则、泰勒展开式求函数的极限★★★★★2 .函数连续的概念、函数间断点的类型3 .判断函数连续性与间断点的类型★★★第二章一元函数微分学1 .导数的定义、可导与连续之间的关系按定义求一点处的导数，可导与连续的关系★★★★2 .函数的单调性、函数的极值讨论函数的单调性、极值★★★★3.闭区间上连续函数的性质、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理微分中值定理及其应用★★★★★第三章一元函数积分学1 .积分上限的函数及其导数变限积分求导问题★★★★★2 .有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的积分计算被积函数为有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的不定积分和定积分★★第四章多元函数微分学1 .隐函数、偏导数、的存在性以及它们之间的因果关系2 .函数在一点处极限的存在性，连续性，偏导数的存在性，全微分存在性与偏导数的连续性的讨论与它们之间的因果关系★★3 .多元复合函数、隐函数的求导法求偏导数，全微分★★★★★第五章多元函数积分学1. 二重积分的概念、性质及计算2.二重积分的计算及应用★★第六章常微分方程1.一阶线性微分方程、齐次方程，2.微分方程的简单应用，用微分方程解决一些应用问题★★★★一、函数、极限、连续部分：极限的运算法则、极限存在的准则(单调有界准则和夹逼准则>、未定式的极限、主要的等价无穷小、函数间断点的判断以及分类，还有闭区间上连续函数的性质(尤其是介值定理>，这些知识点在历年真题中出现的概率比较高，属于重点内容，但是很基础，不是难点，因此这部分内容一定不要丢分。

二、微分学部分：主要是一元函数微分学和多元函数微分学，其中一元函数微分学是基础亦是重点。

一元函数微分学，主要掌握连续性、可导性、可微性三者的关系，另外要掌握各种函数求导的方法，尤其是复合函数、隐函数求导。

暑期培训（多元函数微分学）一、多元函数的偏导数1. f(x,y)可微，f(0,0)=0, m f x =)0,0(/，n f y =)0,0(/，)),(,()(t t f t f t =ϕ，求)0(/ϕ。

知识点：抽象的复合函数求偏导关键：理清函数结构 答案：2m mn n ++ 难度：易2. z=z(x,y)由f(y-x, yz)=0所确定，f 对各变量的二阶偏导函数连续，求xz∂∂，22x z ∂∂。

知识点：抽象的复合函数、隐函数求偏导关键：理清函数结构答案：/////11122/2,(,),(,);f zf f y x yz f f y x yz x yf ∂==-=-∂()()()22//////////2122211121232/22.f f f f f f f zxy f--+∂=∂难度：易 3.(,)z f x y z xyz =++，求,,.z x yx y z∂∂∂∂∂∂知识点：抽象的复合函数求偏导关键：3个变量，1个方程在一定条件下可确定一个2元函数，该2元函数的因变量可以是z ，也可以是x 或者.y答案：//////121212//////1212121;;.1f yzf f xzf f xyf zx y x f xyf y f yzf z f xzf ++--∂∂∂==-=∂--∂+∂+ 难度：易4. z=f(x,y)在（0,1）的某邻域可微，且22),(321)1,(y x O y x y x f +=+++=+ρρ，一元函数y(x)由f(x,y)=1所确定，求)0(/y知识点：多元函数全微分的定义 关键：找到两个已知条件：“z=f(x,y)在（0,1）的某邻域可微”与“(,1)123(),f x y x y O ρρ+=+++=之间的联系，从而从已知条件中发现求)0(/y 所需要的东西。

答案：23-难度：中 5.3(),(),,uu f xyz F t t xyz x y z∂===∂∂∂求().F t知识点：3元的抽象的复合函数求偏导 关键：理清函数结构+耐心 答案：///2(3)()3()().f t tf t t f t ++难度：易6. 2(1,1)(,),.u uu e xy u u x y x y ∂+==∂∂确定了求知识点：隐函数求偏导关键：求出2u x y∂∂∂的表达式，明确(,)(1,1)x y =时?u =答案：///2(3)()3()().f t tf t t f t ++难度：易7. ,ln )1()(x y x x y xf z -+=f 二阶可微，求-∂∂222xz x 222y z y ∂∂. 知识点：抽象的复合函数求偏导 关键：处理好()yf x答案：(1).x y + 难度：易8. 2222(),x y z xyf z f ++=可微，求.z z x y x y∂∂+∂∂ 知识点：抽象的复合函数求偏导 关键：理清函数结构、处理好2()f z答案：/2.1()zxyf z - 难度：易 9.(,,)u v w ϕ有二阶连续偏导数，(,)z z x y =由(,,)0bz cy cx az ay bx ϕ---= 所确定，求.z z ab x y∂∂+∂∂ 知识点：抽象的复合函数求偏导 关键：等号左边的ϕ有3个中间变量；(,)z z x y =。