第7章多元函数积分学11-16(7.2.3 Green格林公式及其应用)-郑

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Green公式及其应用

解：由被积函数的分母可知 ,若能将积分路 L 改
2 2 2 为椭圆 4 x y a ( a 为某个正数 ), 则可简化
2 2 Qy 4 x P 由于 2 2 , ( x , y ) ( 0 , 0 ) x( y 4 x y )
2 2 2 取足够小椭圆 l: 4 x y a,使得l 位于L内部。
函数 P ( x ,) y ,( Q x ,) yC D , 则有
Q P P d x Q d y d ,G r e e n ' s F o r m u l a x y C D 其中 C 为正向 .
Green 公式是英国数学家、物理学家格林 George Green (1793-1841) 在1825年发现的, 是微积分基本公式在二重积分情形下的推广.
o
Q P G r e e n 公式 P d x Q d y d 的重要意义 : x y C D
1.揭示了平面区域上的二重积分与沿区域的封闭边界的第二型线积分之间的关系.
2.给出了计算二重积分的新方法.
3.给出了计算第二型线积分的新方法. 4.给出了计算平面区域面积的新方法.
2 aπ 2 π. a 2
2
平面线积分与路径无关的条件
平面线积分与路径无关是指：对任意两条以A为起点, B为终点的曲线 L1, L2 均有:
P d xQ d y P d xQ d y
L 1 L 2
1 C 定理2 设 P,Q D , 则以下四个命题等价:
当人站立于平 x O y面上 ( 位于 z 轴正向所指的一侧 ) , 并沿边界的这一方向朝前行进时 , 邻近处的 D 始终位于左侧 .

格林公式的讨论及其应用

格林公式的讨论及其应用目录一、引言 (2)二、牛顿-莱布尼兹（Newton-Leibniz）公式的应用 (3)（一）牛顿-莱布尼兹公式简介 (3)（二）牛顿-莱布尼兹公式的物理意义 (3)（三）牛顿-莱布尼兹公式在生活中应用 (3)三、格林（Green）公式的应用 (4)（一）格林公式的简介 (4)（二）格林公式的物理原型 (4)1、物理原型 (4)2、计算方法 (4)（三）格林公式在生活中的应用 (5)1.曲线积分计算平面区域面积 (5)2.GPS面积测量仪的数学原理 (6)四、高斯（Gauss）公式的应用 (7)（一）高斯公式的简介 (7)（二）保守场 (8)（三）高斯公式在电场中的运用 (8)（四）高斯定理在万有引力场中的应用 (11)五、斯托克斯（Stokes）公式的应用 (12)（一）斯托克斯公式简介 (12)（二）Stokes公式中P、Q、R的物理意义 (13)（四）旋度与环流量 (14)（五）旋度的应用 (14)六、结语 (16)参考文献............................................................................................................................... 错误!未定义书签。

致谢................................................................................................................................. 错误!未定义书签。

摘要牛顿-莱布尼兹（Newton-Leibniz)公式、格林（Green）公式、高斯(Gauss)公式和斯托克斯(Stokes)公式是积分学中的几个非常重要的公式，分别建立了原函数与定积分、曲线积分与二重积分、曲线积分与三重积分、曲线积分和曲面积分之间的联系，它们除了在数学上用来计算多元函数的积分有很大用处之外，在其他的领域也有很多重要的应用。

高等数学-格林公式及其应用.ppt

l D1
O D2
x
1
2π
d
1 2π
π
20
2
l :4x2 y2 2
法二
l
ydx xdy 4x2 y2
l
ydx
2
xdy
1
2
ydx xd y
l
格林公式
D2是由l 所围区域
4x2 y2 2
所以 I 0 π
π.
1
2
1
2
(1
D2
(2)
π
2
1)dxdy
2
π
25
10.3 格林公式及其应用
Pdx Qdy
L
(L1, L2, L3对D来说为正方向)
8
10.3 格林公式及其应用
(3) 对复连通区域证明:
对若复区连域通不区止域由D一, 格条林闭公曲式线
的右所曲端围线应成积包.添分括加,沿且直区边线域界段D的的A方全B向,部CE对边.区界 G D
域则DD来的说边都界是曲正线向由. AB, L2 , BA,
2π 0
格林公式
sin d(
2
(Q P )dxdy D1 x y 0
cos ) cos d(
2
2
0 sin
)
24
10.3 格林公式及其应用
l
ydx xdy 4x2 y2
2π
sin
d(
2
cos
)
2
cos
d(
sin
)
0
2
2 0
π
2
2
sin
2
2
2
2
cos2
d
y L: x2 y2 4

格林公式及其应用【高等数学PPT课件】

解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段区域为D , 则
它与L 所围
原式
例5. 验证数 , 并求出它.
证: 令
在右半平面 ( x > 0 ) 内存在原函
则由定理 2 可知存在原函数
或
例6. 设质点在力场
由
移动到
作用下沿曲线 L : 求力场所作的功W
解:
令
则有
可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.
第十一章
第三节格林公式及其应用
一、格林公式
二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件
一. Green公式闭曲线L的正向: 当沿此方向前进时,L所围的区域总在左边.
(Green公式)
格林公式推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积
例如, 椭圆
所围面积
例1 解
例2. 计算
其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) ,
则
1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;
2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,
若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;
3) 可用积分法求d u = P dx + Qdy在域 D 内的原函数:
取定点
及动点
则原函数为
或
例4. 计算
其中L 为上半
圆周
从 O (0, 0) 到 A (4, 0).
定理2. 设D 是单连通域 , 函数
在D 内
具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价:
(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有
(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
与路径无关, 只与起止点有关.

格林公式及其应用教案

格林公式及其应用教案一、引言（100字）格林公式是多元函数的微积分定理，是高等数学中非常重要的内容之一、它建立了二重积分与曲线积分、面积积分之间的关系，并通过应用实例来进行具体解析。

本文将介绍格林公式的定义、推导过程以及应用，以帮助学生更好地理解和应用该公式。

二、格林公式的定义与推导（300字）1.定义：设向量场F=(P,Q)是定义在平面区域D上的连续向量函数，其中P(x,y)和Q(x,y)在D上有一阶连续偏导数。

则F沿逆时针方向绕D的边界曲线C的曲线积分等于F在D上的二重积分：∮C Pdx+Qdy = ∬D (Qx - Py)dxdy其中，C为简单闭合曲线，P和Q是F的分量函数，dx和dy分别表示曲线C的参数方程的微分。

2.推导：格林公式的推导主要基于二重积分的格林公式。

设F=(P,Q)为连续向量函数，P和Q具有连续的一阶偏导数。

利用二重积分的格林公式，将二重积分转化为累次积分：∬D (Qx - Py)dxdy = ∫∫D (Qx - Py)dxdy = ∫∫D Qxdx - ∫∫D Pydy然后，利用格林公式的二重积分与曲线积分之间的关系，将上式转化为曲线积分：∫∫D Qxdx - ∫∫D Pydy = ∮C Pdx + Qdy通过上述推导过程，我们得到了格林公式的定义与推导。

三、应用实例（800字）格林公式的应用广泛，如计算曲线积分、求解面积等。

下面，我们将通过具体实例来讲解格林公式的应用。

1.计算曲线积分：根据格林公式，可以通过计算对应闭合曲线的区域上的二重积分来求解曲线积分。

例如，计算曲线积分∮C(x^2+y^2)dy，其中C为曲线x^2+y^2=4，沿逆时针方向。

首先，利用参数方程表示曲线C：x=2cosθ，y=2sinθ，其中θ∈[0，2π]。

然后，根据格林公式，计算对应的二重积分：∬D (0 - 2sinθ)dxdy = -∫∫D2sinθdxdy = -2∫∫DsinθdxdyD为曲线C所围成的区域，利用极坐标变换可求得D的面积A=4π。

格林公式及其应用(整理).ppt

用二重积分计算： P(x, y) 2xy x2 ,Q(x, y) x y2 , 故
D
(
Q x
P y
)dxdy
D
(1
2
x)dxdy
y 1
x
1
2x
dx
0
x2 (1 2 y)dy
[y
0
] dx x2
0.0
29
x x x 1
(
1
2x
2
4)dx
0
2111 1 3 2 3 5 30
所以格林公式：
2
)dy]
L1 L2
0.0
28
x x x y y y y 1
[(2
3
2) (x
4)2x]dx
0
[(2
3
4
)2y (
2
2
)]dy
0
1
x x x y y y 1
(2
52
3
2)dx
0
(2
5
4
4
2
2
)dy
0
1
(1 1 1) ( 1 4 2) 1 3 2 3 3 3 3 30
D
(
Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
正确。
2. 利用曲线积分，求下面曲线所围成的图形面积：圆：
x2 y2 2ax
解：
y a 圆： (x a)2
2
2
的参数方程为：
x a a cos, y a sin,0 2 ,
0.0
30
A
1 2
L
xdy
ydx
1
2

多元函数积分学及其应用

d＝D的面积
D
➢性质4（比较性）
如果在G上f P h P ,则有
G f P dg G h P dg
特别地，由于 f (P) f (P) f (P)，
故有 G f P dg G f P dg
定积分
b
a
f
xdx
b
a
h
x dx
二重积分： f ( x, y)d h( x, y)d
G f P dg G h P dg
b
a [
f
(x)
g( x)]dx
b
a
f
x dx
b
a
g
x dx
[ f ( x, y) g( x, y)]d f ( x, y)d g( x, y)d
D
D
D
➢性质2（区域可加性）
若G分为两部分G G1 G2,G1 G2 ,
则 G f P dg G1 f P dg G2 h P dg
称为对弧长的曲线积分
n
f f( x,Py)ddsg G L
lim 0 i1
f (i ,i )si
n
L(或f( x)称, y为, z积)d分s路径l，imd0si称1为f弧(长i ,元i素,. i )si
（5）当G为空间有限曲面片（常记为∑）时，
f (P) f ( x, y, z)，( x, y, z) ，
薄板的质量
m lim 0 i1
f (Mi ) i
均可由相同形式的和式极限来确定.
一般地，设有一质量非均匀分布在某一
几何形体G上的物体 (G可以是直线段、平面或空间区域、一片曲面或一段曲线),
其质量可以按照以上四个步骤来计算：
【分割】把G任意划分为n个子域

格林公式、高斯公式、斯托克斯公式的应用

设Ｌ是平面区域D的边界曲线，规定L的正向为:当观察者沿的这个方向行走时,平面区域（也就是上面的D)内位于他附近的那一部分总在他的左边.
简言之：区域的边界曲线的正向应符合条件:人沿曲线走,区域在左边，人走的方向就是曲线的正向。
3、陈述
设闭区域D由分段光滑的曲线Ｌ围成，函数在Ｄ上具有一阶连续偏导数,则有
关键词:格林公式斯托克斯公式高斯公式散度旋度应用
一、引言ﻩ1
二、格林（Ｇreｅn)公式的应用ﻩ1
(一）格林公式的定义1
1、单连通区域的概念１
2、区域的边界曲线的正向规定ﻩ１
3、陈述ﻩ1
（二)格林公式的物理原型1
1、物理原型ﻩ2
2、计算方法ﻩ2
（三）格林公式与ＧPS面积测量仪ﻩ３
１.应用曲线积分计算平面区域面积３
因此面积为
其中是C的单位法向量
单位时间内流体面积为:
由曲线积分定义有总的流体面
则
设为点（x,y)处的切线,与ｘ轴夹角
(2）的计算可以从另一个角度来计算,那就是先算出流过场内每一个微dｘdｙ在单位时间内散发出去的流体的面积,然后求其总和。
设上述曲线C所围平面区城为G,在Ｇ内任取一个微元ｄxdｙ
显然在单位时间内从左边流进(ｘ轴方向)这个微元的流体面积近似于Ｐdy ,而从右边流出的面积近似于（为偏增量的近似)。因此这个微元在单位时间内沿ｘ方向(净)散发出去流体面积近似于。同理沿y方向(净）散出去的流体面积近似于，所以总的和为
在这种“ 平面稳定流动” 中,我们来计算单位时间内流过曲线C的流体体积即流t 密度( 其实是流过以C 为准线、高为l 的柱体的流体体积; 简单用面积表示) 其中C 是平面上一个闭的、无重点, 光滑曲线。无重点, 是指曲线 ,当总是相异的。

格林(Green)公式及其应用

格林(green)公式及其应用
• 格林公式简介 • 格林公式的基本性质 • 格林公式的应用 • 格林公式的扩展 • 格林公式的实际例子 • 总结与展望
01
格林公式简介
格林公式的定义
格林公式是一个数学定理，用于描述二维平面上的向量场和路径之间的关系。它指出，在一个封闭的区域内，沿任意路径的积分等于该区域内散度的体积分。
在实变函数中的应用
证明定理
格林公式在证明实变函数中的一些定理中发挥了重要作用，如黎曼定理和克雷洛夫定理等。
求解积分方程
利用格林公式，可以将积分方程转化为边界积分方程，从而简化求解过程。
04
格林公式的扩展
高维格林公式
总结词
高维格林公式是格林公式在高维空间中的推广，它描述了高维空间中向量场和标量场之间的关系。
THANKS
感谢观看
格林公式的变种
总结词
格林公式的变种是原始格林公式的不同形式或应用，它们在特定情况下可能更加方便或有效。
详细描述
随着数学和物理学的发展，人们发现了许多格林公式的变种。这些变种可能在某些特定情况下更加适用，例如在处理非线性问题或复杂边界条件时。了解这些变种有助于我们
更好地理解和应用格林公式。
03
格林公式在数学分析中占有重要的地位，是微积分学中的基本定理之一。它为解决许多复杂的积分问题提供了一种有效的方法，使得许多难以计算的问题变得简单明了。
对未来研究的展望
随着数学和其他学科的发展，格林公式在各个领域的应用越来越广泛。未来，我们可以进一步探索格林公式的各种应用，如数值计算、物理模拟、图像处理等。
解决偏微分方程的实例
总结词
格林公式还可以用于解决偏微分方程的问题，通过将偏微分方程转化为等价的积分方程，可以简化求解过程。

格林公式及其应用

y = x2
x = y2
)
4
o
B(1,1)
x
A(1,0)
⇒ I = ∫ 2 y ⋅ y ⋅ 2 ydy + ∫ y dy = 5∫ y dy = 1
4 0 1
1. 引例引 I = 例 1
一、Green公式
2 xydx + x 2 dy , ∫
L
L
1) y 2 = x ; 2 ) y = x 2 ; (
证明
推论
∂Q ∂P (1) ∫∫ ∂x − ∂y dσ = ∫ Pdx + Qdy D L
σD =
( 2) ( 2)
D
( 2)
1 σ D = ∫ xdy = − ∫ ydx = ∫ xdy − ydx 2L L L L D
∫ xdy
L
=======
一、Green公式
2 xydx + x 2 dy , ∫
L
L
1) y 2 = x ; 2 ) y = x 2 ; (
y
3 ) OAB
3) L = LOA + LAB ;
O ( 0 , 0 ) → B (1,1) 一
)
y = x2
LOA : y = 0, x : 0 → 1 ( x LAB : x = 1, y : 0 → 1 ( y ⇒I=
第三节
Green公式
及其应用
1. 引例引 I = 例 1
一、Green公式
2 xydx + x 2 dy , ∫
L
L
1) y 2 = x ; 2 ) y = x 2 ; (
y
3 ) OAB

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cos(l ,
n)ds,
其中l 为任一给定方向,
n为闭合
C
曲线C的切向量
解：设l的方向余弦为(cos a, cos b)(常数),
n的方向余弦为(cos , cos ),
则cos(l, n) (cos a, cos b) (cos , cos ),

cos(l ,
高等数学A
第7章多元函数积分学
7.2 曲线曲面积分
7.2.3 Green公式及其应用
中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组
7.2 曲线曲面积分
格林简介
Green
区域的连通性
格林(Green)公式格林(Green)公式
应用习例1-2 应用习例3-4
Green公式的应用应用习例5
应用习例6
求平面区域的面积
L x2 y2
时针方向.
例ex63.计算 L
xdy x2

ydx ,其中 y2
L
为一条无重点,分段光滑
且不经过原点的连续闭曲线,L 的方向为逆时针方向.
例5 计算 xdy ydx,其中 L: x2 y2 a2 ,L 的方向为逆
L x2 y2
时针方向. 解1：代入法，见练习题
(3)应用Green公式条件缺一不可.
3、格林公式的简单应用 (1)直接用：当L是封闭曲线时，应用格林公式简化曲线积分
注意：还应满足用格林公式的条件
例13 利用格林公式计算曲线积分 L (2x y 4)dx (3x 5y 6)dy
其中L为三顶点分别为O(0, 0), A(3, 0)和B(3, 2)的三角形正向边界.
o
同理可证
P

D
y
dxdy

L
P
(
x,
y)dx
E DB
C
x 2( y)
x
两式相加得

D
(Q x

P y
)dxdy

L
Pdx

Qdy
证明(2)
L3 D3
若区域D 由按段光
滑的闭曲线围成.如图,
将D 分成三个既是X 型又是 L1 D1
Y 型的区域D1,D2 ,D3 .
解1
代入法,

xdy
AB
0
r
cos
td
(r
sin
t
)

r
2
2
0 2
cos2
tdt

4
r
2
解 2 引入辅助曲线L,
y
A
L OA AB BO
P 0, Q x P 0, Q 1
y x
D
o
Q P 1 应用 Green 公式, 有 x y
D
D
2、Green公式
定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, 函数在 D 上具有连续一阶偏导数, 则有

L
Pdx

Qdy

D
(
Q x

P y
)dxdy,
( Green公式 )
或
(P cos
L

Q
cos

)ds

D
(
Q x

P y
)dxdy.
分析：待证表达式
公
式
曲线积分与路径无关的定义
及
曲线积分与路径无关的条件
其曲线积分与路径无关应用习例7-9
应
平面上曲线积分与路径无关的等价条件
用
应用习例10-12
二元函数的全微分应用习例13-15
小结
一、格林公式及其应用
格林（Green）公式：平面区域的二重积分与沿此区域的第二类曲线积分的关系。
意义：微积分基本公式在二重积分情形下的推广，不仅给计算第二类曲线积分带来新方法，更重要的是揭示定向曲线积分与积分路径无关的条件，在积分理论的发展中起了重要的作用。

sin 4
2
7 sin 2
L
AB BO OB BA
6
4
三格林公式的简单应用
（3）不能用：
方法一：简化被积函数后再用
方法二：在D内有使P，Q不连续的点存在，不能
直接用格林公式，采用“挖小洞”的方法，挖
去不连续点，再用格林公式。
例5 计算 xdy ydx,其中 L: x2 y2 a2 ,L 的方向为逆
B
使L AB BO封闭,利用格林公式,有

(Q P )dxdy 0
AB BO L
L ABBO
D x y
AB BO OB BA L
又 (x2 y)dx (x sin2 y)dy OB
1、区域连通性
设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域.
D D
单连通区域
复连通区域
(不含有“洞”或“点洞”()含有“洞”或“点洞”)
注：D的边界曲线L的正方向? 负方向
当观察者沿 L 的正向行走时, 区域 D 内离他近处的那一部分总在他的左边.
L Bx
由于 OA
xdy

0,
BO xdy 0,
y
A
xdy xdy xdy xdy
D
AB
L
OA
BO
o L Bx
"格"

(Q P )dxdy
D x y
注意：L的方向为顺时针方向，即L的反向

D
dxdy

1 4

r
2
.
例例46.I (x2 y)dx (x sin2 y)dy, L

D
(Q x

P y
)dxdy

D1 D2 D3
(Q x

P y
)dxdy
D2 L2
D L

D1
(
Q x

P y
)dxdy

D2
(
Q x

P y
)dxdy

D3
(
Q x

P y
)dxdy
L1 Pdx Qdy L2 Pdx Qdy L3 Pdx Qdy

P y
)dxdy
L3
E C
F
L1
A
{ } (Pdx Qdy) AB L2 BA AFC CE L3 EC CGA
( )(Pdx Qdy)
L2
L3
L1
Pdx Qdy L
(L1,L2 , L3对D来说为正方向)
*格林（Green）[英] 1793- 1841 物理学家，数学家,自学成才
英国数学家和物理学家，仅读过两年书，回家帮父亲烤面包卖，一直到40岁，父亲去世后才得以到剑桥大学读书。44岁大学毕业，48岁因流行感冒去世。但依靠自学，做出了巨大的贡献，相关成果至今仍是数学物理中的经典内容。他的工作培育了数学物理方面的剑桥学派。
多交于两点.
y
d x 1( y)
A c oa
E y 2(x)
D
B
x 2( y) Cy 1(x) b x
D {( x, y)1( x) y 2( x),a x b}
D {( x, y)1( y) x 2( y),c y d }
Q dxdy
L Pdx Qdy
L3 D3
( L1, L2 , L3对D来说为正方向) L1 D1
D2 L2
L
证明(3)
G
若区域不止由一条闭曲
线所围成.添加直线段 AB,CE.
则D 的边界曲线由 AB,L2 ,BA, AFC,CE, L3 , EC 及 CGA 构成.
D
L2
B
由(2)知

D
(
Q x
例2.求
cos(l ,
n)ds,
其中l为任一给定方向, n为闭合
C
曲线C的切向量
(简化曲线积分)
例13 利用格林公式计算曲线积分 L (2x y 4)dx (3x 5y 6)dy
其中L为三顶点分别为O(0, 0), A(3, 0)和B(3, 2)的三角形正向边界.
格林公式的实质: 沟通了沿闭曲线的积分与二重积分之间的联系.
注意:格林公式的应用条件
L为封闭曲线（取正向）
Ｐ，Ｑ在L所围的区域Ｄ内有一阶连续偏导数
注意:

(1)便于记忆形式: Pdx Qdy x
L
DP
y dxdy Q
(2)当边界曲线取反方向时,Green公式中二重积分符号前添“”号!
n)ds

(cosa

cos

cosb
cos

)ds
C
C
Green公式
cosadx cosbdy 0dxdy 0.
C
D
(2) 间接用：当L不是封闭曲线时，但
Q P k(或形式较简单) x y
可添加辅助曲线使之封闭，再用Green公式简化计算。
解2：令 P

y x2 y2
,
Q