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江苏省高三数学一轮复习典型题专题训练：平面向量

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江苏省高三数学一轮复习典型题专题训练平面向量一、填空题1、（南京市2018高三9月学情调研）在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120︒，→BM ＝λ→BC ．若→AM ·→BC ＝－173，则实数λ的值为 ▲ ．2、（南京市2019高三9月学情调研）在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°， E 为边BC 上一点，且AB →·AE →＝6，AD →·AE →＝32，则AB →·AD →的值为 ▲ ．3、（南京市六校联合体2019届高三上学期12月联考）ABC ∆中，06034=∠==ACB ,BC ,AC ，E 为边AC 中点，2133AD AB AC =+，则CD BE ⋅的值为 ▲ ． 4、（南师附中2019届高三年级5月模拟）已知等边三角形ABC 的边长为2，AM 2MB =，点N 、T 分别为线段BC 、CA 上的动点，则AB NT BC TM CA MN ⋅+⋅+⋅取值的集合为 ． 5、（南京市13校2019届高三12月联合调研）在等腰三角形ABC 中,底边2BC =,AD DC = ,12AE EB =, 若12BD AC ⋅=-, 则CE AB ⋅= ▲ ． 6、（苏州市2018高三上期初调研）已知平面向量(),2,110a a b =⋅=，若52a b +=，则b 的值是 ．7、（盐城市2019届高三上学期期中）已知向量(1m =，1)-，(cos n α=，sin )α，其中[0α∈，]π，若m ∥n ，则α＝ ．8、（苏州市2019届高三上学期期中）已知向量(2,)m =a ，(1,2)=-b ，且⊥a b ，则实数m 的值是 ▲ ．9、（苏州市2019届高三上学期期中）如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，60BCD ∠=︒，23CB CD ==. 若点M 为边BC 上的动点，则AM DM uuu r uuu u r⋅的最小值为 ▲ ．10、（无锡市2019届高三上学期期中）已知向量a ，b 的夹角为120°，|a|＝4，|b|＝3，则|2a ＋b|的值为 11、（徐州市2019届高三上学期期中）在平行四边形ABCD 中，3AB =，1AD =，60BAD ∠=︒，若2CE ED = ,则AE BE ⋅的值为 ▲ ．12、（常州市2019届高三上学期期末）平面内不共线的三点,,O A B ，满足||1,||2OA OB ==，点C 为线段AB 的中点，AOB ∠的平分线交线段AB 于D ，若|3||2OC =，则||OD =________. 13、（海安市2019届高三上学期期末）在△ABC 中，已知M 是BC 的中点，且AM ＝1，点P 满足 P A ＝2PM ，则P A →·(PB →＋PC →)的取值范围是 ．14、（苏北三市（徐州、连云港、淮安）2019届高三期末）在ABC △中，2AB =，3AC =，60BAC ∠=︒，P 为ABC △所在平面内一点，满足322CP PB PA =+，则CP AB ⋅的值为 ．15、（苏州市2019届高三上学期期末）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M ，N 分别是边BC ，CD 上的两个动点，且BM ＋DN ＝MN ，则AM AN ⋅的最小值是 ．16、（泰州市2019届高三上学期期末）已知点P 为平行四边形ABCD 所在平面上任一点，且满足20PA PB PD ++=，0PA PB PC λμ++=，则λμ＝17、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（二））如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝2，以AB 为直径在△ABC 外作半圆O ，P 为半圆弧AB 上的动点，点Q 在斜边BC 上，若AB AQ ⋅＝83，则AQ CP ⋅的最小值为18、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（一））在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝90°，D ，E 分别为BC ，AD 的中点，过点E 的直线交AB 于点P ，交AC 于点Q ，则BQ CP ⋅的最大值为19、（盐城市2019届高三第三次模拟）已知⊙O 的半径为2，点A.B.C 为该圆上的三点，且AB=2，0>⋅→→BC BA ，则)(→→→+⋅BA BO OC 的取值范围是_____.20、（江苏省2019年百校大联考）在平面凸四边形ABCD 中，22AB =，3CD =，点E 满足2DE EC =uuu r uu u r ，且2AE BE ==．若85AE EC =uu u r uu u r g ，则AD BC uuu r uu u r g 的值为 ．21、（南京市、盐城市2019届高三第二次模拟）已知AD 时直角三角形ABC 的斜边BC 上的高，点P 在DA 的延长线上，且满足()42PB PC AD +⋅=.若2AD =，则P B P C ⋅的值为 . 22、（南通、如皋市2019届高三下学期语数英学科模拟（二））在平面四边形OABC 中，已知||3OA =，OA ⊥OC ，AB ⊥BC ，∠ACB ＝60°，若OB AC ＝6，则||OC =＿＿二、解答题1、（苏锡常镇2018高三3月教学情况调研（一））已知向量(2sin ,1)a α=，(1,sin())4b πα=+.（1）若角α的终边过点(3,4)，求a b ⋅的值； （2）若//a b ，求锐角α的大小.2、（（南京市13校2019届高三12月联合调研）在如图所示平面直角坐标系中，已知点(1,0)A 和点(1,0)B -，||1OC =，且AOC x ∠=，其中O 为坐标原点.（Ⅰ）若34x π=，设点D 为线段OA 上的动点，求||OC OD +的最小值; （Ⅱ）若[0,]2x π∈，向量m BC =，(1cos ,sin 2cos )n x x x =--，求m n ⋅的最小值及对应的x 值.3、（苏州市2018高三上期初调研）在平面直角坐标系中，设向量()()3,,cos ,3m cosA sinA n B sinB ==-，其中,A B 为ABC ∆的两个内角.（1）若m n ⊥，求证：C 为直角； （2）若//m n ，求证：B 为锐角.4、（泰州市2019届高三上学期期末）已知向量(sin ,1)a x =，1(,cos )2b x =，其中(0,)x π∈。

（1）若a b ，求x 的值；（2）若tanx ＝－2，求｜a b +｜的值。

5、（无锡市2019届高三上学期期末）在 △ABC 中，设 a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 的对边，已知向量m = (a ，sin C －sin B )，n = (b + c ，sin A + sin B )，且m n(1) 求角 C 的大小(2) 若 c = 3, 求 △ABC 的周长的取值范围.6、（无锡市2019届高三上学期期中）已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，k ).(1) 若 AB → 与 BC →垂直，求实数k 的值；(2) 若A ，B ，C 三点构成三角形，求实数k 的取值范围.7、（扬州市2019届高三上学期期中）在△ABC 中，已知3AB AC AB AC ⋅=，设∠BAC ＝α．（1）求tan α的值； （2）若3cos 5β=，β∈(0，2π)，求cos(β﹣α)的值．8、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（一））已知向量a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(cos sin αα-，cos sin αα+)．（1）求向量a 与b 的夹角；（2）若()b a λ-⊥a ，求实数λ的值．9、（盐城市2019届高三第三次模拟）设向量)sin 2,cos 2(x x a =→，)cos ,cos 3(x x b =→，函数3)(-⋅=→→b a x f .（1）求)(x f 的最小正周期;（2）若，56)2(-=αf 且)2(ππα，∈，求αcos 的值.10、（江苏省2019年百校大联考）设向量(cos ,sin )θθ=m ，(22sin ,22cos )=θθ+-n ，3(π,π)2θ∈--，若12⋅=m n ．（1）求πsin()4θ+的值； （2）求7πcos()12θ+的值．参考答案一、填空题1、13 2、－92 3、－44、答案：{﹣6}解析：建立如图所示的平面直角坐标系则A(0，3)，B(﹣1，0)，C(1，0) 由AM 2MB =得M(23-，33)，设N(n ，0)，直线AC 为：33y x =-+，设T(t ，33t -+) 所以AB NT (1,3)(,33)23t n t t n ⋅=--⋅--+=+-， 224BC TM (2,0)(,33)2333t t t ⋅=⋅---=--，235CA MN (1,3)(,)333n n ⋅=-⋅+-=-- 则45AB NT BC TM CA MN=232633t n t n ⋅+⋅+⋅+-----=-5、43-6、57、34π 8、1 9、214 10、711、32－ 12、2313、14、－1 15、82－8 16、－3417、18、94- 19、(6,43]- 20、2 21、2 22、3二、解答题1、解：（1）由题意4sin 5α=，3cos 5α=， 所以2sin sin()4a b a πα⋅=++2sin sin cos 4παα=+cos sin 4πα+ 4242552=+⨯3232522+⨯=. （2）因为//a b ，所以2sin sin()14a πα+=，即2sin α(sin coscos sin )144ππαα+=，所以2sin sin cos 1ααα+=，则2sin cos 1sin ααα=-2cos α=，对锐角α有cos 0α≠，所以tan 1α=， 所以锐角4πα=.2、解：（Ⅰ） 设(,0)D t （01t ≤≤），又22(,)22C -所以22(,)22OC OD t +=-+ 所以 22211||22122OC OD t t t t +=-++=-+……………3分221()(01)22t t =-+≤≤ 所以当22t =时，||OC OD +最小值为22………………6分 （Ⅱ）由题意得(cos ,sin )C x x ,(cos 1,sin )m BC x x ==+则221cos sin 2sin cos 1cos 2sin 2m n x x x x x x ⋅=-+-=-- 12sin(2)4x π=-+ ……………9分 因为[0,]2x π∈,所以52444x πππ≤+≤ ……………10分所以当242x ππ+=，即8x π=时，sin(2)4x π+取得最大值1所以8x π=时，12sin(2)4m n x π⋅=-+取得最小值12-所以m n ⋅的最小值为12-，此时8x π=…………………………14分3、（1）易得()()cos cos sin sin 3cos m n A B A B A B ⋅=-=+， 因为m n ⊥，所以0m n ⋅=，即()cos cos2A B π+=.因为0A B π<+<，且函数cos y x =在()0,π内是单调减函数， 所以2A B π+=，即C 为直角.（2）因为//m n ，所以()3cos 3sin sin cos 0A B A B ⋅--=， 即sin cos 3cos sin 0A B A B +=.因为,A B 是三角形内角，所以cos cos 0A B ≠， 于是tan 3tan A B =-，因而,A B 中恰有一个是钝角，∴2A B ππ<+<，从而()22tan tan 3tan tan 2tan tan 01tan tan 13tan 13tan A B B B BA B A B B B+-+-+===<-++， 所以tan 0B >，即证B 为锐角注：（2）解得tan 3tan A B =-后，得tan A 与tan B 异号， 若tan 0B <，则()22tan tan 3tan tan 2tan tanC tan 01tan tan 13tan 13tan A B B B BA B A B B B+-+=-+=-=-=<-++ 于是，在ABC ∆中，有两个钝角B 和C ，这与三角形内角和定理矛盾，不可能 于是必有tan 0B >，即证B 为锐角 4、解：（1）因为a b ，所以，sinxcosx ＝12，即sin2x=1， 因为(0,)x π∈，所以，4x π=；（2）因为tanx ＝sin cos xx＝－2，所以，sinx ＝－2cosx ， 1(sin ,1cos )2a b x x +=++，221||(sin )(1cos )2a b x x +=+++＝9sin 2cos 4x x ++＝325、（1）由m n ，得：a （sin A + sin B ）＝（b + c ）（sin C －sin B ） 由正弦定理，得：a （a + b ）＝（b + c ）（c －b ） 化为：a 2＋b 2－c 2＝－a b ，由余弦定理，得：cosC ＝－12， 所以，C ＝3π （2）因为C ＝3π，所以，B ＝3π－A ，由B ＞0，得：0＜A ＜3π， 由正弦定理，得：23sin sin sin a b cA B C===， △ABC 的周长为：a + b ＋c ＝23(sin sin )3A B ++＝23[sin sin()]33A A π+-+＝3sin 3cos 3A A ++＝23sin()33A π++，由0＜A ＜3π，得：3sin()123A π<+≤， 所以，周长C ＝23sin()33A π++∈(6,323)+6、解：(1) 因为AB →＝(5，－5)，BC →＝(－6，k ＋1)，(2分)若AB →与BC →垂直，则AB →·BC →＝－30－5k －5＝0，(4分) 解得k ＝－7.(6分)(2) 若A ，B ，C 三点不构成三角形，则 AB →＝λBC →，(8分) 即(5，－5)＝λ(－6，k ＋1).(10分) 所以5＝－6λ，－5＝λ(k ＋1)， 解得k ＝5.(12分)所以若A ，B ，C 三点构成三角形，则k 的取值范围是k ≠5.(14分) 7、解：（1）由3AB AC AB AC ⋅=⋅，得3cos AB AC AB AC α⋅=⋅，所以1cos 3α=，又因为0α<<π，所以2212sin 1cos 1()33αα=-=-=．∴tan 2α= …………6分 （2）∵3cos 5β=，(0,)2πβ∈ ∴4sin 5β= ………8分由（1）知：2sin 3α=，∴31423346cos()cos cos sin sin 551533βαβαβα+-=+=⨯+⨯=． 8、（1）设向量a 与b 的夹角为θ，因为2=a ，22(cos sin )(cos sin )2αααα=-+-=b ，………………………4分 所以cos θ⋅=⋅a b a b (2cos ,2sin )(cos sin ,cos sin )22αααααα⋅-+=222cos 2sin 2222αα+==． …………………………………………………………7分考虑到0πθ剟，得向量a 与b 的夹角4π． ………………………………………9分 （2）若()λ-⊥b a a ，则()0λ-⋅=b a a ，即20λ⋅-=b a a ， ………………………12分 因为2⋅=b a ，24=a ，所以240λ-=，解得2λ=． ……………………………………………………14分 9、解：（1）因为()3(2cos ,2sin )(3cos ,cos )3f x a b x x x x =⋅-=⋅-223cos 2sin cos 3x x x =+-3cos 2sin 2x x =+2sin(2)3x π=+. …………4分所以)(x f 的最小正周期为22T ππ==. ……………………6分 （2）因为6()25f α=-，所以62sin()35πα+=-，即3sin()35πα+=-， ………………8分又因为(,)2παπ∈，所以54(,)363πππα+∈，故2234cos()1sin ()1()3355ππαα+=--+=---=-， …………10分所以13cos cos(())cos()sin()332323ππππαααα=+-=+++ 1433()()2525=⨯-+⨯-43310+=-. ……………………14分10、（1）因为12⋅=m n 所以，1(22sin )cos (22cos )sin 2θθθθ++-= 化简，得：122cos 22sin 2θθ+=， 即1sin()48πθ+= （2）3(π,π)2θ∈--53(,)444πθππ+∈--由1sin()48πθ+=，5(,)44πθππ+∈--，所以，2137cos()1()488πθ+=--=-， 7πcos()12θ+＝cos()43ππθ++＝cos()cos sin()sin 4343ππππθθ+++＝37113373828216+-⨯-⨯=-。

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推荐高考数学一轮复习讲练测江苏专题54 平面向量应用练 含解析

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1.设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，4=BC ，AC AB AC AB -=+，则=AM _______. 【答案】2 【解析】=AM 1111422222AB AC AB AC CB +=-==⨯=. 2.若点G 为△ABC 的重心，且AG ⊥BG ，则sin C 的最大值为________．【答案】353.设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA OB OC OD +++等于 _______.【答案】OM 4【解析】本题需要将,,,,用OM 表达，则需利用向量的加法和减法法则（平行四边形或三角形法则）寻找他们之间的关系。

由图可知,,-=+=,+=,+=所以OM -+++=+++4,因为ABCD 为平行四边形，所以有BM =-=，则OM 4=+++.4.在ABC ∆中，若2AB AB AC BA BC CA CB =⋅+⋅+⋅,则ABC ∆是_______三角形 【答案】直角5.在ABC ∆中， AD 是BC 边上的高，给出下列结论：①0)(=-⋅； AD AC AB ≥+； ③B AB AD=；其中结论正确的个数是_______. 【答案】3【解析】∵AD BC ⊥，∴0AD BC ⋅=， ①()0AD AB AC AD CB ⋅-=⋅=；②取BC 中点M ，2AB AC AM +=，而||||AM AD ≥，∴||2AB AC AD +=； ③||cos ||||ADAC AC CAD AD AD ⋅=∠=，||sin ||AB B AD =，所以B AB AD=； 所以正确的个数为3个.6.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线:10l x ky -+=与圆22:4C x y +=相交于, A B 两点，OM OA OB =+．若点M 在圆C 上，则实数k =_______.【答案】07.抛物线2:8C x y =与直线22y x =-相交于,A B 两点,点P 是抛物线C 上不同,A B 的一点,若直线,PA PB 分别与直线2y =相交于点,Q R ,O 为坐标原点,则OR OQ ⋅的值是_______.Q ARB2O yxJ P【答案】20【解析】由抛物线2:8C x y =与直线22y x =-联立方程得216160x x -+=，设112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y .所以121216,16x x x x +==.所以直线PA:100010()y y y y x x x x --=--.令y=2．100010(22)42(2)x y x xx x y -+-=-+.即100010(22)4(,2)2(2)x y x x Q x y -+--+.同理200020(22)4(,2)2(2)x y x x R x y -+--+.所以OR OQ ⋅0221200000122120120(22)4(22)()16442(2)()(2)x x y x x y x x x x x x y x x y -+--+++=+-++++2002001644864420284y y y y -+=+=-+ 8.已知向量a 与b 的夹角为θ，定义b a ⨯为a 与b 的“向量积”，且b a ⨯是一个向量，它的长度θsin b a b a =⨯，若(2,0)u =，(1,3)u v -=-，则=+⨯)(v u u _______. 【答案】32 【解析】试题分析：由题意()(1,3)v u u v =--=，则(3,3)u v +=，3cos ,2u u v <+>=， 得1sin ,2u u v <+>=，由定义知1()sin ,223232u u v u u v u u v ⨯+=+<+>=⨯⨯= 9.直线y x m =+与圆2216x y 交于不同的两点M ，N ，且3MN OM ON ≥+，其中O 是坐标原点，则实数m 的取值范围是_______. 【答案】[22,22]-10在Rt △ABC 中，CA ＝CB ＝2，M ，N 是斜边AB 上的两个动点，且MN 2CM CN ⋅的取值范围为 ． 【答案】322CM CN ≤⋅≤【解析】根据题意可以C 为原点建立平面直角坐标系，则(2,0),(0,2)A B ，直线AB 方程为：2x y +=，可设点1122(,2),(,2)M x x B x x --，由MN ==211x x -=，由21212111111(2)(2)(1)(2)(1)222CM CN x x x x x x x x x x ⋅=+--=++--=-+，又101x ≤≤，结合二次函数的图象可得：322CM CN ≤⋅≤． 11.已知a 、b 是平面向量，若(2)a a b ⊥-，(2)b b a ⊥-，则a 与b 的夹角是_______. 【答案】3π 【解析】∵(2)a a b ⊥-, ∴22.0a a b -=. ∵(2)b b a ⊥-, ∴220b ab -=. 设a 与b 的夹角为θ, cos ab a b θ=,则2222cos 0a ab a a b θ-=-=, 2222cos 0b ab b a b θ-=-=. ∴22cos a a b θ=，22cos b a b θ=.若0a =或0b =，则a =0b =，此时，（A ）、（B ）、（C ）、（D ）都正确.若0a ≠且0b ≠，解方程组得到1cos 2θ=.∴3πθ= 12.定义域为[,]a b 的函数()y f x =图象的两个端点为,A B ，(,)M x y 是()f x 图象上任意一点，其中(1)()x a b R λλλ=+-∈，向量(1)ON OA OB λλ=+-，若不等式MN k ≤恒成立，则称函数()f x 在[,]a b 上“k 阶线性近似”.若函数1y x x=+在[1,2]上“k 阶线性近似”，则实数k 的取值范围为_______.【答案】32⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭由定义域为[,]a b 的函数()y f x =图象的两个端点为,A B ，(,)M x y 是()f x 图象上任意一点，其中(1)()x a b R λλλ=+-∈知：01λ≤≤，令2t λ=-，则[1,2]t ∈，所以211222t t λλ-+=+-在2]t ∈递减，2,2]t ∈2132222λλ-≤+≤-，即32130222λ-≤--≤从而21132132222222MN λλλλ+-⎛⎫=+=--≤ ⎪--⎝⎭，不等式MN k ≤恒成立，则k ≥32213.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 的坐标为(3,)a ，a ∈R ，点P 满足OP OA λ=，λ∈R ，||||72OA OP ⋅=，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为 ．【答案】24 【解析】试题分析：点A 的坐标为(3,)a ，则||3OA ≥，又OP OA λ=，则,,O P A 三点共线，||||72OA OP =，则72||||OP OA =，设OP 与x 轴夹角为θ，则OP 在x 轴上的投影长度为||cos OP θ=23216||||||OP OA OA =24≤，即线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为24． 14.如图：内接于⊙O 的△ABC 的两条高线AD 、BE 相交于点H,过圆心O 作OF ⊥BC 于 F ，连接AF 交OH 于点G ，并延长CO 交圆于点I.(1) 若AH OF λ=,试求λ的值； (2)若OB y OA x CH +=,试求y x +的值；(3)若O 为原点，点B 的坐标为(－4,－3)，点C 的坐标为C(4,－3),试求点G 的轨迹方程. 【答案】（1）21=λ;（2）2=+y x ;（3）925)2(22=++y x （3-≠y ）. 【解析】∵CI 为直径 ∴∠IAC 和∠IBC 均为直角 ∴AI ∥BE,BI ∥AD ∴四边形AIBH 为平行四边形（1）1122OF IB AH AH λ===∴21=λ （2）OH OB BH OB IA =+=+ 而IA OA OI OA CO =-=-∴OH OB BH OB IA OB OA OC =+=+=++ ∴CH OA OB =+而CH xOA yOB =+∴2=+y x。

2025年高考数学一轮复习-第1讲-平面向量的概念及线性运算-专项训练【含答案】

2025年高考数学一轮复习-第1讲-平面向量的概念及线性运算-专项训练【含答案】

2025年高考数学一轮复习-第1讲-平面向量的概念及线性运算一、基本技能练1.已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝()A.4B.3C.2D.02.已知向量a 与b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝6，则2a －b 在a 方向上的投影向量为()A.12a B.a C.b D.12b 3.设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →＝()A.20B.15C.9D.64.如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 等于()A.0B.1C.2D.35.(多选)设向量a ＝(－1，1)，b ＝(0，2),则()A.|a |＝|b |B.(a －b )∥bC.(a －b )⊥aD.a 与b 的夹角为π46.我国东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时，利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若BC →＝a ，BA →＝b ，BE →＝3EF →，则BF →＝()A.1225a ＋925bB.1625a ＋1225bC.45a ＋35bD.35a ＋45b 7.已知向量a ＝(2，1)，b ＝(－2，4)，则|a －b |＝________.8.已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，1)，c ＝(3，2).若向量a 与向量k b ＋c 共线，则实数k ＝________.9.已知非零向量a ，b 满足|b |＝2|a |，且(a ＋b )⊥a ，则a 与b 的夹角为________.10.在同一平面中，AD →＝DC →，BE →＝2ED →.若AE →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )，则m ＋n＝________.11.已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(－6，2)，x ∈[0，π].(1)若a ⊥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值.12.在平面四边形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝22，对角线AC 与BD 交于点E ，E 是BD 的中点，且AE →＝2EC →.(1)若∠ABD ＝π4，求BC 的长；(2)若AC ＝3，求cos ∠BAD .二、创新拓展练13.点P 是△ABC 所在平面内一点，满足|PB →－PC →|－|PB →＋PC →－2PA →|＝0，则△ABC一定是()A.钝角三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形14.(多选)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC ，AB 上的两点，且AE →＝EB →，AD →＝2DC →，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是()A.AB →·CE →＝－1B.OE →＋OC →＝0C.|OA →＋OB →＋OC →|＝32D.ED →在BC →方向上的投影向量的长度为7615.在平面凸四边形ABCD 中，AB ＝2，点M ，N 分别是边AD ，BC 的中点，且MN ＝32，若MN →·(AD →－BC →)＝32，则AB →·CD →＝________.16.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且C ＝π3，a ＋b ＝λc (其中λ>1).(1)若λ＝3，证明：△ABC 为直角三角形；(2)若AC →·BC →＝98λ2，且c ＝3，求λ的值.参考答案与解析一、基本技能练1.答案B 解析a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝2－(－1)＝3，故选B.2.答案A 解析∵向量a 与b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝6，∴(2a －b )·a ＝2|a |2－a ·b ＝2×22－2×6×12＝2，∴2a －b 在a 方向上的投影向量为12a .3.答案C 解析AM →＝AB →＋34AD →，NM →＝CM →－CN →＝－14AD →＋13AB →，∴AM →·NM→＋34AD －14AD →＋13AB ＝13AB →2－316AD →2＝13×36－316×16＝9，选C.4.答案C 解析如图，连接AO ，由O 为BC 的中点可得，AO →＝12(AB →＋AC →)＝m 2AM →＋n 2AN →，∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n 2＝1.∴m ＋n ＝2.5.答案CD 解析∵a ＝(－1，1)，b ＝(0，2)，a －b ＝(－1，－1)，对于A ，|a |＝2，|b |＝2，∴|a |≠|b |，故A 错误；对于B ，－1×2－(－1)×0≠0，∴a －b 与b 不平行，故B 错误；对于C ，(a －b )·a ＝－1×(－1)＋(－1)×1＝0，∴(a －b )⊥a ，故C 正确；对于D ，cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝222＝22，又a 与b 的夹角范围是[0，π]，∴a 与b 的夹角为π4，故D 正确.6.答案B解析BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋34EA →＝BC →＋34(EB →＋BA →)＝BC →－34BF →＋BC →－916BF →＋34BA →，解得BF →＝1625BC →＋1225BA →，即BF →＝1625a ＋1225b ，故选B.7.答案5解析由题意知a －b ＝(2，1)－(－2，4)＝(4，－3)，所以|a －b |＝42＋（－3）2＝5.8.答案1解析已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，1)，c ＝(3，2)，所以k b ＋c ＝(－2k ＋3，k ＋2)，因为向量a 与向量k b ＋c 共线，所以k ＋2＝3×(－2k ＋3)，解得k ＝1.9.答案23π解析设a 与b 的夹角为θ，由(a ＋b )⊥a ，得(a ＋b )·a ＝0，即a ·b ＝－a 2，又cos θ＝a ·b |a ||b |＝－a 2|a |·2|a |＝－a 22a2＝－12，且0≤θ≤π，则θ＝23π.10.答案23解析由题意得，AD →＝12AC →，DE →＝13DB →，故AE →＝AD →＋DE →＝12AC →＋13DB →＝12AC →＋13(AB →－AD →)＝12AC →－12＝13AB →＋13AC →，所以m ＝13，n ＝13，故m ＋n ＝23.11.(1)若a ⊥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值.解(1)由题意，得－6cos x ＋2sin x ＝0，所以tan x ＝3，又x ∈[0，π]，所以x ＝π3.(2)f (x )＝a ·b ＝－6cos x ＋2sin x＝22sin因为x ∈[0，π]，所以x －π3∈－π3，2π3，所以∈－32，1，所以f (x )∈[－6，22]，即f (x )的最大值为22，此时x －π3＝π2，则x ＝5π6；f (x )的最小值为－6，此时x －π3＝－π3，则x ＝0.12.解(1)在△ABD 中，AB ＝4，AD ＝22，∠ABD ＝π4，由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝AD sin ∠ABD，所以sin ∠ADB ＝4×sin π422＝1，因为0<∠ADB <π，所以∠ADB ＝π2.所以BD ＝22，所以DE ＝BE ＝2，AE ＝10.所以cos ∠AED ＝cos ∠BEC ＝55.因为AE →＝2EC →，所以EC ＝102.由余弦定理得BC 2＝BE 2＋EC 2－2BE ·EC ·cos ∠BEC ＝2＋52－2×2×102×55＝52，所以BC ＝102.(2)法一因为AC ＝3，AE →＝2EC →，所以AE ＝2.设DE ＝BE ＝x ，在△ABD 中，由余弦定理得cos ∠ADB ＝（22）2＋4x 2－422×22×2x.在△AED 中，由余弦定理得cos ∠ADB ＝（22）2＋x 2－222×22×x，所以4x 2－882x ＝x 2＋442x，解得x ＝22，所以BD ＝4 2.在△ABD 中，由余弦定理得cos ∠BAD ＝AB 2＋AD 2－BD 22×AB ×AD＝16＋8－32162＝－24.法二因为AC ＝3，AE →＝2EC →，所以|AE →|＝2，在△ABD 中，E 为BD 的中点，所以AB →＋AD →＝2AE →，平方得|AB →|2＋|AD →|2＋2AB →·AD→＝4|AE →|2，即16＋8＋2×4×22×cos ∠BAD ＝16，解得cos ∠BAD ＝－24.二、创新拓展练13.答案B 解析因为点P 是△ABC 所在平面内一点，且|PB →－PC →|－|PB →＋PC →－2P A →|＝0，所以|CB →|－|(PB →－PA →)＋(PC →－PA →)|＝0，即|CB →|＝|AB →＋AC →|，所以|AB →－AC →|＝|AC →＋AB →|，等式两边平方并化简得AC →·AB →＝0，所以AC →⊥AB →，∠BAC ＝90°，则△ABC 一定是直角三角形.14.答案BCD 解析因为AE →＝EB →，△ABC 是等边三角形，所以CE ⊥AB ，所以AB →·CE →＝0，选项A 错误；以E 为坐标原点，EA →，EC →的方向分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示，所以E (0，0)，A (1，0)，B (－1，0)，C (0，3)，设O (0，y )，y ∈(0，3)，则BO →＝(1，y )，DO →－13，y 又BO →∥DO →，所以y －233＝－13y ，解得y ＝32，即O 是CE 的中点，OE →＋OC →＝0，所以选项B 正确；|OA →＋OB →＋OC →|＝|2OE →＋OC →|＝|OE →|＝32.所以选项C 正确；ED →BC →＝(1，3)，ED →在BC →方向上的投影向量的长度为ED →·BC →|BC →|＝13＋22＝76，所以选项D 正确.15.答案－2解析因为点M ，N 分别是AD ，BC 的中点，所以MN →＝MO →＋ON →＝12(AB →－CD →)，则有MN →·(AD →－BC →)＝12(AB →－CD →)·(AD →－BC →)＝12(AB →－CD →)·(AB →＋BD →－BC →)＝12(AB →－CD →)·(AB →＋CD →)＝32.又因为AB ＝2，所以CD ＝1，则由MN →＝12(AB →－CD →)两边平方化简得5＝|CD →|2－2AB →·CD →，即AB →·CD →＝|CD →|2－52＝－2.16.(1)证明∵λ＝3，∴a ＋b ＝3c ，由正弦定理得sin A ＋sin B ＝3sin C ，∵C ＝π3，∴sin B ＋＝32，即sin B ＋32cos B ＋12sin B ＝32，∴32sin B ＋32cos B ＝32即32sin B ＋12cos B ＝32，则＝32，又B ∈(0，π)，从而B ＋π6＝π3或B ＋π6＝2π3，解得B ＝π6B ＝π2.若B ＝π6A ＝π2，△ABC 为直角三角形；若B ＝π2△ABC 也为直角三角形.所以△ABC 为直角三角形.(2)解若AC →·BC →＝98λ2，即|AC →||BC →|cos C ＝98λ2，又C ＝π3，则12ab ＝98λ2，∴ab ＝94λ2.由余弦定理知a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，即a 2＋b 2－ab ＝c 2＝9，即(a ＋b )2－3ab ＝9，又a ＋b ＝3λ，故9λ2－274λ2＝9，解得λ2＝4，又λ>1，∴λ＝2.。

人教版江苏省高三数学一轮复习备考试题：平面向量(含答案)及参考答案

人教版江苏省高三数学一轮复习备考试题：平面向量(含答案)及参考答案

人教版江苏省高三数学一轮复习备考试题：平面向量 (含答案 ) 及参照答案( 附参照答案 )平面向量一、填空题1、（2014 年江苏高考）如图，在平行四边形中，已知，，则的值是▲．2、（ 2013 年江苏高考）设分别是的边上的点，，，若（为实数），则的值为。

3、（ 2012 年江苏高考）如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是▲．4、（2015 届江苏南京高三9 月调研）已知向量a＝(2 ，1) ，b＝(0 ，－1) ．若 (a ＋λb) ⊥a，则实数λ＝▲．5、（ 2015 届江苏南通市直中学高三9 月调研）已知△ ABC中，∠ C=90°，，分别为边上的点，且，，则▲．6、（ 2015 届江苏苏州高三9 月调研）如图是半径为 3 的圆的直径是圆上异于的一点是线段上凑近的三均分点且则的值为▲7、（南京市 2014 届高三第三次模拟）在Rt△ABC中， CA＝CB＝2，M，N是斜边 AB 上的两个动点，且MN＝，则·的取值范围为▲．8、（南通市2014 届高三第三次调研）在直角三角形中，=90°，，．若点知足，则▲．9、（苏锡常镇四市 2014 届高三 5 月调研（二））已知平面内的四点 O，A，B，C知足，，则 =▲．10（、徐州市 2014届高三第三次模拟）如图，在△中，已知，，，，，则▲．11、（南京、盐城市2014 届高三第二次模拟（淮安三模））已知|| ＝1，|| ＝2，∠AOB＝，＝＋，则与的夹角大小为▲12、（2014 江苏百校联考一）如图，是半径为 1 的圆的直径，△ ABC是边长为 1 的正三角形，则的最大值为13、（2014 南通二模）在△ ABC中，D是 BC的中点，AD＝8，BC＝20，则的值为▲．14、（苏锡常镇四市2014 届高三 3 月调研（一））如图，在△ABC中， BO为边AC上的中线，，设∥，若，则的值为▲15、（兴化市2014 届高三上学期期中）已知在中，，，设是的心里，若，则．二、解答题1、（ 2013 年江苏高考）已知，。

江苏专用2020年高考数学一轮复习考点23平面向量的概念及其线性运算必刷题含解析

江苏专用2020年高考数学一轮复习考点23平面向量的概念及其线性运算必刷题含解析

考点23 平面向量的概念及其线性运算1．（2019届高三第三次联考）已知向量(,1)a x =，(4,2)b =- ，若a b ，则a b += ______.【解析】由a b ，得24x -=，即2x =-，则(2,1)a b +=-，所以a b +=2．（江苏省苏州市2019届高三高考模拟最后一卷）如图，已知P 是半径为2，圆心角为3π的一段圆弧AB 上一点，2A B B C =，则PC PA ⋅ 的最小值为_______．【答案】5﹣【解析】设圆心为O,AB 中点为D,由题得22sin2,36AB AC π=⋅⋅=∴=.取AC 中点M ，由题得2PA PC PM PC PA AC ⎧+=⎨-=⎩,两方程平方相减得2221944PC PA PM AC PM ⋅=-=- ，要使PC PA ⋅取最小值，就是PM 最小，当圆弧AB 的圆心与点P 、M 共线时，PM 最小.此时DM=1,2DM ∴==,所以PM 有最小值为，代入求得PC PA ⋅的最小值为5﹣故答案为：5﹣．3．（江苏省南通市2019届高三年级阶段性学情联合调研）设，向量，，若，则的最小值为______．【答案】9【解析】因为∥，所以4x+（1﹣x）y=0，又x＞0，y＞0，所以+=1，故x+y=（+）（x+y）=5++≥9．当=，+=1同时成立，即x=3，y=6时，等号成立．（x+y）min=9．故答案为：9．（江苏省清江中学2019届高三第二次教学质量调研）在平面四边形ABCD中，若E为BC的中点，AE＝2，DE＝4．3，则＝_______．【答案】-5【解析】=故答案为：-5.5．（江苏省南通市2018届高三最后一卷）在中，且，设是平面上的一点，则的最小值是__________．【答案】.【解析】由，且，得，如图， 以为坐标原点，为轴建立直角坐标系，则，设点的坐标为，则，即的最小值是，故答案为.6．（江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试）已知直线与圆交于不同的两点A ，B ．若O 是坐标原点，且 ，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】设AB 的中点为D ，则,故即，再由直线与圆的弦长公式可得：AB 2=，（d 为圆心到直线的距离），又直线与圆相交故d<r ，得，根据，得：，由点到线的距离公式可得，即要，综合可得：b 的取值范围是．7．（江苏省南京师范大学附属中学、天一、海门、淮阴四校2018届高三联考）如图，在四边形ABCD 中，1AB CD ==，点,M N 分别是边,AD BC 的中点，延长BA 和CD 交NM 的延长线于不同的两点,P Q ，则()·PQ AB DC -的值为_________．【答案】0【解析】如图，连AC ，取AC 的中点E ，连ME ，NE ，则,ME NE 分别为,ADC CAB ∆∆的中位线，所以11,22EN AB ME DC == ,所以()12MN ME EN DC AB =+=+ ．由PQ 与MN共线，所以()PQ MN R λλ=∈，故()()()()2PQ AB DC MN AB DC AB DC AB DCλλ⋅-=⋅-=+⋅- ()2202AB DC λ=-= ．答案：0．8．（江苏省前黄高级中学、如东高级中学、姜堰中学等五校2018届高三上学期第一次学情监测）设向量()()2,6,1,a b m =-=- ，若//a b，则实数m 的值为__________．【答案】3【解析】由向量平行的充要条件可得：261m-=-，求解关于实数m 的方程可得： 3m =.9．（江苏省常州市2018届高三上学期武进区高中数学期中试卷）已知数列{}n a 中， 12a =，点列()1,2,n P n =⋯在ABC ∆内部，且n P AB ∆与n P AC ∆的面积比为2:1，若对*N n ∈都存在数列{}n b 满足()113202n n n n n n b P A a P B a P C ++++=，则4a 的值为______.【答案】80【解析】在BC 上取点D ，使得2BD CD =，则n P 在线段AD 上．()113202n n n n n n b P A a P B a P C ++++=1132322n n n n n n n n n n n a BP b AP a CP b BP BAa BP BC +∴-=++=-++- （）（）（）（） ， 1133232)22n n n n n n ab a BP b BA a BD +⎛⎫∴----=--+ ⎪⎝⎭（n A P D ，， 三点共线，1133232)22n n n n n a b a b a +∴----=--+（，即132n n a a +=+．21324332832263280a a a a a a ∴=+==+==+=，，．故答案为：80．10．（江苏省常州市武进区2018届高三上学期期中考试）若()2,3a = ， ()4,b m =- 共线，则实数m 的值为________．【答案】-6【解析】()()2,3,4,abm →=→=- 共线，()2340m ∴⨯-⨯-=解得6m =-故答案为6-11．（江苏省横林高级中学2018届高三）已知等差数列的前项和，若，且三点共线(为该直线外一点)，则等于________ .【答案】【解析】若，且三点共线(为该直线外一点)，则，.12．（江苏省南京师范大学附属中学2017届高三高考模拟考试二）如下图，在ABC ∆中，1,2,,2AB AC BC AD DC AE EB ==== ．若12BD AC ⋅=- ，则CE AB ⋅= __________．【答案】43-【解析】因为()12AD DC BD BA BC ==+，所以,又因为AC AB CB =- ，所以()()()()111222BD AC BA BC AB CB BA BC AB CB ⋅=+-+-=- 。