正态分布的应用

正态分布的应用
1.零件规格的设计
由自动生产线加工的某种零件的内径X （毫米）服从正态分布)1,(µN ，平均内径µ是待定的，可以通过调整该自动生产线来设定，方差反映这条自动生产线的加工精度。

如果加工的零件内径小于10或大于12均为不合格品，
其余为合格品。

销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润L （单位：元）与销售零件的内径X 有如下关系：
12=σ⎪⎩
⎪⎨⎧>−≤≤<−=125121020101X X X L 若若
问：平均直径µ为何值时，才能使销售一个零件的平均利润最大？
由于L 是随机变量，它是X 的函数，所以平均利润即为期望利润。

由)1,(~µN X ，那么)1,0(~N X µ−
}12{5}10(}1210{20)(>−<−≤≤=X P X P X P L E
=}12{5}10(}1210{20µµµµµµµ−>−−−<−−−≤−≤−X P X P X P
=)12(55)10()10(20)12(20µµµµ−Φ+−−Φ−−Φ−−Φ
5)10(21)12(25−−Φ−−Φ=µµ
可知，期望利润与平均内径µ有关，是µ的一元函数。

为了求期望利润的最大值，令)(L E 0)12(25)10(21)(=−−−=µϕµϕµ
d L dE ，其中)()(x x ϕ、Φ分别为标准正态分布的分布函数与概率密度函数，则
2)12(2)10(22225221µµππ−−−−=e e 即 2)12(2)10(222521µµ−−−−=e e
解之，得 9.1021
25ln 2111≈−=µ 由此可知，当平均内径µ设定为10.9毫米时，可使销售每个零件的平均利润最大。

2.应该购买新包装机
咖啡厂生产一磅重的罐装咖啡，自动包装线上大量数据表明，每罐重量是服从标准差为0.1磅的正态分布。

为了使每罐咖啡少于1磅的产品不多于10%，应把自动包装线控制的均值µ调节到什么位置上？一台新的包装机价格是10万元，但包装的咖啡的重量服从标准差0.025磅的正态分布，同样为了使每罐咖啡少于1磅的产品不多于10%，应把自动包装线控制的均值µ调节到什么位置上？
设表示原自动包装线上一罐咖啡的重量，则，假如把自动包装线的均值X )1.0,(~2µN X µ控制在1磅的位置上，那么由于，则少于1磅的咖啡要占全部咖啡的50%，即，这是不合要求的。

)1.0,1(~2N X 5.0}1{=<X P
为了使少于1磅的咖啡所占的比例不多于10%，应把自动包装线的均值µ控制在比1磅大的位置上，其中µ必须满足概率方程1.0}1{=<X P 。

即 1.01.011.011.0}1{=⎟⎠
⎞⎜⎝⎛−Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−<−=<µµµX P X P 于是 9.01.01=⎟⎠
⎞⎜⎝⎛−Φµ，由此可得28.11.01=−µ，从而 128.1=µ。

即把自动包装机的均值调节到1.128的位置上才能保证少于1磅的咖啡不多于10%。

即：平均每每罐要多装0.128磅。

如果新买一台自动包装机，新建一条自动包装线，新包装线上每罐咖啡的重量为Y ，则，为了使少于1磅的咖啡所占的比例不多于10%，应把自动包装线的均值控制在比1磅大的位置上，其中必须满足概率方程)025.0,(~21µN Y 1µ1µ1.0}1{=<Y P 。

即 1.0025.01025.01025.0}1{111=⎟⎠⎞⎜⎝
⎛−Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−<−=<µµµY P Y P 于是9.0025.011=⎟⎠⎞⎜⎝
⎛−Φµ，由此可得：28.1025.011
=−µ，所以。

即把自动包装机的均值调节到1.032的位置上就能保证少于1磅的咖啡不多于10%。

这样平均每罐即可节约咖啡
磅。

032.11=µ096.0032.1128.1=−若以每日可生产2000罐咖啡计算，则每日就可节约192096.02000=×磅咖啡。

如果每磅咖啡的成本是50元，则工厂每日可增加利润9600元，11天就能赚回成本，第12天就可获净利润。

因此，该咖啡厂应该购买新的包装机。

由于自动线包装的咖啡的重量是服从正态分布的，正态分布的方差反映了包装机的精度，它不仅影响到产品的质量，而且严重影响到工厂的效益。

所以，在一些产品的质量控制过程中，更重要的是要控制方差。

X 3.可获得超产奖的产量
益趣玩具厂装配车间准备实行计件超产奖，为此需要对生产定额作出规定。

根据以往的统计资料可知，各个工人每月装配的产品件数X 服从正态分布。

车间主任希望10%的工人获得超产奖，那么定额标准应该是多少件？即工人每月需要装配多少件产品以上才能获得奖金？
)200,4000(2N 设为定额标准，那么，则
0x 1.0}{0=≥x X P 9.0}{1}{00=≥−=<x X P x X P 9.0200400020040002004000}{000=⎟⎠
⎞⎜⎝⎛−Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−<−=<x x X P x X P 查表，得28.1200
40000=−x ，所以（件）。

也就是说，工人每月必须装配产品4256件以上才能获得超产定额奖。

425620028.140000=×+=x 4.录取分数线及考生名次的确定
某企业准备通过招聘考试招收300名职工，其中正式工270名，临时工30名；报考的人数是1657人，考试满分是400分。

考试后得知，考试平均成绩166=µ分，360分以上的高分考生31人。

小王在这次考试中得256分，问他能否被录取？能否被聘为正式工？
分析：因为有1657人参加考试，可以认为考试成绩服从正态分布，且平均分X 166=µ
分，即。

由于正态分布的方差未知，可以根据360分以上的考生31人这个条件确定下来。

然后预测小王的名次，即可回答所提出的问题。

由
),166(~2σN X 2σ 019.01657311941166360166}360{==⎟⎠⎞⎜⎝⎛Φ−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−>−=>σσσ
X P X P 可得981.0194=⎟⎠
⎞⎜⎝⎛Φσ，查表得08.2194=σ，即93≈σ（可能因为考生的水平悬殊太大，导致标准差特别大）。

所以，且有
)93,166(~2N X 166.0834.01)97.0(19316625693166}256{=−=Φ−=⎭⎫⎩
⎨⎧−>−=>X P X P ，
2751657166.0≈×在所有考生中，高于小王成绩的约有275人，因此小王大约名次是276名，在300名之前，他能被录取。

但小王的名次排在270名之后，他只能被聘为临时工。

5.公共汽车车门高度的确定
据说公共汽车车门的高度是按成年男子与车门碰头的机会在0.01以下的标准来设计的。

根据统计资料，成年男子的身高X 服从正态分布（厘米），那么车门的高度应该是多少厘米？
)7,168(2N 设车门的高度应为，那么应确定使其满足
a a 01.0}{≤≥a X P
由于，则
)7,168(~2N X 01.071681716871681}{1}{≤⎟⎠
⎞⎜⎝⎛−Φ−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−<−−=<−=≥a a X P a X P a X P 01.071681≤⎟⎠
⎞⎜⎝⎛−Φ−=a 从而99.07168≥⎟⎠
⎞⎜⎝⎛−Φa ，因此有33.27168≥−a ，故 31.18433.27168=×+≥a （厘米）
由此可知，车门的高度至少应为184.31厘米。

评注：
1、理论依据：
应用标准正态分布的分布函数表计算一般正态分布有关的概率。

2、应用与推广
正态分布在自动控制、优化设计、包装或加工零件的精度以及在质量管理和控制等方面有着广泛的应用。

正态分布的均值就是自动控制的设定值，方差就是自动控制的精度；方差越小，精度越高，系统的性能越好。

正态分布的应用是广泛的，这里列举的只是有限的几个方面的应用。

零件规格的设计是根据最优化的思想设定加工零件的内径；当新的包装机的精度大大提高的情况下应该购买新包装机；用合理的方法确定可获得超产奖的产量，使得超产奖的奖额能在预定的计划内；根据考试成绩服从正态分布的特点，应用正态分布确定录取分数线及考生的大致名次；根据正态分布的特点设定公共汽车车门高度（或者一些公共设施的
规格）的确定。

参考文献：
茆诗松等.概率论与数理统计[M].中国统计出版社.2000.7.。