4-正态分布及其应用
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概率论与数理统计正态分布4-3二维正态分布课件
统计决策
基于二维正态分布，可以制定统 计决策规则，例如置信区间和预 测区间的确定。
在金融领域的应用
1 2 3
资产定价
二维正态分布可以用于资产定价模型，如期权定 价模型，以模拟两个相关资产的价格变动。
风险管理
在金融领域，二维正态分布可用于评估投资组合 的风险，例如计算投资组合的VaR值（风险价 值）。
例如，对于二维正态分布的均值向量，可以通过样本数据的均值向量进行检验， 判断其与理论值是否存在显著差异。
非参数检验
非参数检验是在总体分布形式未知或认为总体分布形式与理论分布形式存在较大差异的情况下，利用 样本数据对总体分布进行检验的方法。在二维正态分布的情境下，非参数检验通常包括核密度估计、 散点图和多维距离等方法。
特性
分布函数具有连续性、非负性和归一性等特性，能够完整描述随机向量的概率 分布。
03
二维正态分布的应用
在统计学中的应用
参数估计
二维正态分布可以用于估计两个 变量的联合概率分布，从而对参 数进行估计，如线性回归中的参 数估计。
假设检验
在统计分析中，二维正态分布可 以用于检验两个变量之间是否存 在某种关系，例如相关性检验或 因果关系检验。
金融数据分析
二维正态分布可以用于分析金融数据，例如股票 价格和交易量的关系。
在物理和工领域的应用
信号处理
在通信和雷达信号处理中，二维正态分布可用于 描述信号的功率谱密度。
地震学
在地震学中，二维正态分布可用于描述地震事件 的时空分布。
图像处理
在图像处理中，二维正态分布可用于描述图像的 像素强度分布。
边缘分布的特性
总结词
边缘分布是指将二维正态分布的其中一个随机变量固定，得到的另一个随机变量 的分布。
正态分布(4)
µ
2.正态分布密度函数： 正态分布密度函数： 正态分布密度函数
正态曲线（ 正态曲线（normal curve）是一条高峰位于中 ） 央，两端逐渐下降并完全对称，曲线两端永远不 两端逐渐下降并完全对称， 与横轴相交的钟型曲线。其密度函数为： 与横轴相交的钟型曲线。其密度函数为：
−( X −µ)2 2σ 2
1 f ( z) = 2π
e
−
z 2
2
− ∞ < z < +∞
经标准化变换后，原变量X变为 ，Z服从总体 经标准化变换后，原变量 变为Z， 服从总体 变为 均数为0，总体标准差为 的正态分布 的正态分布， 均数为 ，总体标准差为1的正态分布，即标准 正态分布（ 正态分布（standard normal distribution）。 ） 记作： 记作：
习惯上用N 表示均数为µ 标准差为σ 习惯上用 (µ ，σ2)表示均数为 、标准差为 表示均数为 的正态分布。记作： 的正态分布。记作：
X ~ N(µ,σ )
2
二、正态曲线下面积的分布规律 （一）正态分布曲线下面积 正态曲线下面积的分布规律由µ 所决定。 正态曲线下面积的分布规律由 及σ所决定。 所决定 一般正态分布曲线下面积分布状况： 一般正态分布曲线下面积分布状况： µ± σ µ±1.64 σ µ±1.96 σ µ±2.58 σ 0.6827 0.9090 0.9500 0.9900
Z ~ N ( 0 ，) 1
统计学家编制了标准正态分 布曲线下面积分布表， 布曲线下面积分布表，正态 分布两边对称， 分布两边对称，表中只给出 取负值的情况。 了Z取负值的情况。表内所 取负值的情况 列数相当于Z值左侧标准正 列数相当于 值左侧标准正 态分布曲线下面积， 态分布曲线下面积，记作 Φ(z)。 。
2.正态分布密度函数： 正态分布密度函数： 正态分布密度函数
正态曲线（ 正态曲线（normal curve）是一条高峰位于中 ） 央，两端逐渐下降并完全对称，曲线两端永远不 两端逐渐下降并完全对称， 与横轴相交的钟型曲线。其密度函数为： 与横轴相交的钟型曲线。其密度函数为：
−( X −µ)2 2σ 2
1 f ( z) = 2π
e
−
z 2
2
− ∞ < z < +∞
经标准化变换后，原变量X变为 ，Z服从总体 经标准化变换后，原变量 变为Z， 服从总体 变为 均数为0，总体标准差为 的正态分布 的正态分布， 均数为 ，总体标准差为1的正态分布，即标准 正态分布（ 正态分布（standard normal distribution）。 ） 记作： 记作：
习惯上用N 表示均数为µ 标准差为σ 习惯上用 (µ ，σ2)表示均数为 、标准差为 表示均数为 的正态分布。记作： 的正态分布。记作：
X ~ N(µ,σ )
2
二、正态曲线下面积的分布规律 （一）正态分布曲线下面积 正态曲线下面积的分布规律由µ 所决定。 正态曲线下面积的分布规律由 及σ所决定。 所决定 一般正态分布曲线下面积分布状况： 一般正态分布曲线下面积分布状况： µ± σ µ±1.64 σ µ±1.96 σ µ±2.58 σ 0.6827 0.9090 0.9500 0.9900
Z ~ N ( 0 ，) 1
统计学家编制了标准正态分 布曲线下面积分布表， 布曲线下面积分布表，正态 分布两边对称， 分布两边对称，表中只给出 取负值的情况。 了Z取负值的情况。表内所 取负值的情况 列数相当于Z值左侧标准正 列数相当于 值左侧标准正 态分布曲线下面积， 态分布曲线下面积，记作 Φ(z)。 。
4正态分布
正态分布的图形特征
• 正态分布的密度函数
f (X ) 1 e
( X ) 2 / 2 2
2
, X
式中，μ为总体均数，σ为总体标准差，π为圆周 率，e为自然对数的底，仅x为变量。 当x确定后， f(x)为x相应的纵坐标高度，则x 服从参数为μ和σ2的正态分布（ normal distribution)， 记作X~N（ μ，σ2 ）。
正态分布及其应用
一、正态分布的概念和特征：
观察表7-2资料绘成的直方图
概念：如果观察例数逐渐增多，组段不断 分细，直方图顶端的连线就会逐渐形成一条高 峰位于中央（均数所在处），两侧逐渐降低且 左右对称，不与横轴相交的光滑曲线，这条曲 线称为频数曲线或频率曲线，近似于数学上的 正态分布（高斯分布;Gauss）。 由于频率的总和为100%或1，故该曲线下 横轴上的面积为100%或1。
1
2
标准正态分布曲线下面积规律：
1. 标准正态分布区间（-1，1）的面积占总面积的68.26% 。 2. 标准正态分布区间（-1.96，1.96）的面积占总面积的95% 。 3. 标准正态分布区间（-2.58，2.58）的面积占总面积的99% 。
二、正态曲线下面积的分布规律
实际工作中，常需了解正态曲线下横轴 上某一区间的面积占总面积的百分数，以便估 计该区间的例数占总例数的百分数或观察值落 在该区间的概率。为了便于应用，统计学家按 φ (u)编制了附表1标准正态分布曲线下的面积， 由此表可查出曲线下某区间的面积。
参考值范围的制定方法：
（1）正态分布法：适用于正态或近似正态分布资料； 双侧界值 单侧上界 单侧下界
X u / 2 s
X u s
X u s
正态分布及其应用
Part
04
正态分布在金融领域的应用
资产收益率的正态分布假设
资产收益率的正态分布假设
在金融领域中，正态分布被广泛用于描述资产收益率的概率分布。这一假设基于大量历史 数据的统计分析，认为资产收益率的分布近似于正态分布。
中心极限定理
中心极限定理是正态分布假设的理论基础，它表明无论总体分布是什么，当样本量足够大 时，样本均值近似服从正态分布。
生物医学研究
在生物医学研究中，许多生理指 标和疾病发生概率的分布并不服 从正态分布，而是呈现出偏态分 布或泊松分布等其他类型。
正态分布在大数据时代的发展
01 02
机器学习算法的改进
随着机器学习算法的不断改进，正态分布在大数据时代的 应用场景将得到进一步拓展。例如，深度学习算法可以处 理大规模、高维度的数据集，并能够自动提取特征，从而 减少对正态分布假设的依赖。
参数估计
在正态分布假设下，可以使用历史数据估计资产的预期收益率和风险波动率等参数，为投 资决策提供依据。
VaR（风险价值）的计算
VaR（风险价值）定义
VaR是指在一定置信水平下，某 一金融资产或投资组合在未来特 定时间段内的最大可能损失。
VaR计算方法
基于正态分布假设，可以使用历 史模拟法、蒙特卡洛模拟法等计 算VaR。这些方法通过模拟资产 价格的随机变动，计算出在给定 置信水平下的潜在损失。
无法处理复杂数据
正态分布在处理具有复杂结构或非线性关系的数据时可能表现不佳， 无法准确描述数据的分布特性。
非正态分布的适用场景
金融领域
自然语言处理
在金融领域中，许多金融变量的 分布并不服从正态分布，而是呈 现出尖峰厚尾的特点。例如，股 票收益率、波动率等金融时间序 列数据的分布往往具有这些特征。
第4讲 正态分布及其应用(2004)
正态分布及其应用一、正态分布的概念和特征根据频数表资料绘制成直方图，可以设想，如果将观察人数逐渐增多，线段不断分细，图中直条将逐渐变窄，其顶端将逐渐接近一条光滑的曲线，这条曲线称为频数曲线或频率曲线，略呈钟型，两头低，中间高，左右对称，近似于数学上的正态分布（normaldistribution）。
由于频率的总和等于100%或1，故横轴上曲线下的面积等于100%或1。
正态分布是一种横重要的连续型分布，在生物统计学中，占有极其重要的地位。
许多生物学现象所产生的数据，都服从正态分布。
1、正态分布的图形有了正态分布的密度函数f(X)，即正态分布的方程，就可给出图形-上式中右側为均数，为标准差，X为自变量。
当X确定后，就可由此式求得其密度函数f(X),也就是相应的纵坐标的高度。
所以，已知和 ,就能绘出正态曲线的图形。
2、正态分布的特征（1）正态分布以为中心，左右对称。
（2）正态分布有两个参数，即和。
是位置参数，当恒定后，越大，则曲线沿横轴越向右移动；越小，则曲线沿横轴越向左移动。
是变异参数，当恒定时，越大，表示数据越分散，曲线越“胖”；越小，表示数据越分散，曲线越“瘦”。
（3）正态分布的偏斜度1=0，峭度2=0为了应用方便，常将上式作如下变换，也就是将原点移到的位置，使横轴尺度以为单位，使=0，=1，则正态分布变换为标准正态分布。
(standard normal distribution) ，u 称为标准正态离差（standard normal deviate）标准正态分布的密度函数为：一般用N（，2）表示均方为，方差为2的正态分布。
于是标准正态分布用N（0，1）表示。
-3 -2 -1 0 1 2 368.26%95.45%99.74%下列一些值很重要，应予记忆：u= -1 到 u=1 面积=0.6827u= -1.96 到 u=1.96 面积=0.9500u= -2.58 到 u=2.58 面积=0.9900标准正态分布有以下特征：（1）在u=0时，（u）达到最大值。
《正态分布》说课稿
《正态分布》说课稿正态分布是统计学中非常重要的一个概念，它描述了大量随机变量的分布规律，被广泛应用于各个领域的数据分析和预测中。
本文将介绍正态分布的基本概念、性质、应用以及如何利用正态分布进行统计推断。
一、正态分布的基本概念1.1 正态分布的定义：正态分布又称高斯分布，是一种连续概率分布，其概率密度函数呈钟形曲线，左右对称，中间最高。
1.2 正态分布的特点：正态分布具有唯一的均值和标准差，均值决定了曲线的中心位置，标准差决定了曲线的宽度。
1.3 正态分布的标准化：通过标准化可以将正态分布转化为标准正态分布，即均值为0，标准差为1的正态分布。
二、正态分布的性质2.1 正态分布的均值和中位数相等：正态分布的均值和中位数相等，即曲线对称中心位置处的值。
2.2 正态分布的68-95-99.7法则：约68%的数据落在均值附近的一个标准差范围内，约95%的数据落在两个标准差范围内，约99.7%的数据落在三个标准差范围内。
2.3 正态分布的线性组合仍然是正态分布：对于正态分布的线性组合，如两个正态分布的和或差，仍然是正态分布。
三、正态分布的应用3.1 在自然科学中的应用：正态分布常用于测量误差、实验数据分析等领域，如物理学、化学等。
3.2 在社会科学中的应用：正态分布被广泛应用于人口统计、心理学研究、经济学分析等领域。
3.3 在工程技术中的应用：正态分布在质量控制、可靠性分析、风险评估等方面有重要应用。
四、利用正态分布进行统计推断4.1 正态分布的参数估计：通过样本数据估计总体的均值和标准差，得到对总体的估计。
4.2 正态分布的假设检验：利用正态分布进行假设检验，判断总体参数是否符合某种假设。
4.3 正态分布的置信区间估计：通过正态分布的性质，构建总体参数的置信区间，对总体参数进行估计。
五、结语正态分布作为统计学中重要的概念，具有丰富的性质和广泛的应用。
通过深入理解正态分布的基本概念和性质，我们可以更好地应用正态分布进行数据分析和推断，为各个领域的研究和实践提供有力支持。
正态分布的重要性及应用
正态分布的重要性及应用正态分布，又称高斯分布，是统计学中最为重要的概率分布之一。
它具有许多独特的特性，被广泛应用于各个领域，包括自然科学、社会科学、工程技术等。
本文将探讨正态分布的重要性及其在实际应用中的作用。
正态分布是一种连续型的概率分布，其曲线呈钟形，两侧尾部逐渐衰减，中间部分较为集中。
正态分布的曲线呈对称性，均值、方差完全决定了整个分布的形态。
在正态分布中，均值、中位数和众数是重合的，这也是正态分布在统计学中被广泛应用的原因之一。
正态分布在实际应用中具有重要的意义。
首先，许多自然现象和社会现象都服从正态分布。
例如，人的身高、体重、智力水平等很多特征都呈正态分布。
其次，正态分布在统计推断中起着至关重要的作用。
许多统计方法的前提假设是数据服从正态分布，只有在这种前提下，才能够进行有效的统计推断。
此外，正态分布在风险管理、财务分析、医学诊断等领域也有着重要的应用价值。
在风险管理中，正态分布被广泛用于描述金融资产的价格波动。
通过对资产价格的正态分布进行建模，可以帮助投资者评估风险并制定相应的投资策略。
在财务分析中，正态分布常用于对企业盈利、股票收益等指标进行分析和预测。
通过对这些指标的正态分布进行建模，可以帮助企业制定合理的财务策略。
在医学诊断中，正态分布常用于描述人群的生理指标，如血压、血糖等。
医生可以根据这些指标的正态分布，对患者的健康状况进行评估和诊断。
除了以上应用外，正态分布还在工程技术、社会科学等领域有着广泛的运用。
在工程技术中，正态分布常用于描述产品的质量特性，帮助企业提高生产效率和产品质量。
在社会科学中，正态分布常用于描述人群的行为特征，帮助社会科学家进行社会调查和研究。
总之，正态分布作为统计学中最为重要的概率分布之一，具有广泛的应用价值。
它不仅在自然科学、社会科学、工程技术等领域有着重要的作用，还在统计推断、风险管理、财务分析、医学诊断等方面发挥着重要的作用。
因此，深入理解正态分布的特性及其应用，对于提高我们的统计分析能力和决策水平具有重要意义。
正态分布及其应用、抽样误差
置信区间
置信区间是一种表示抽样误差的方法，它表示总体参数的可能取值范围。置信区间越窄，说明样本统计量与总体 参数的偏差越小，即抽样误差越小。
减少抽样误差的方法
增加样本量
增加样本量可以减小每个样本的代表性误差，从而减 小抽样误差。
改进抽样方法
采用更科学的抽样方法，如分层抽样、系统抽样等， 可以提高样本的代表性，从而减小抽样误差。
重复抽样
通过多次抽取样本并计算其统计量，可以减小抽样误 差。
05
抽样误差的影响因素
总体与样本的差异程度
总体与样本的差异程度越大，抽样误 差越大。
当总体分布与样本分布差异较大时， 需要采取更严格的抽样方法来减小误 差。
样本容量大小
样本容量越大，抽样误差越小。
在实际应用中，需要根据研究目的和资源情况合理确定样本容量，以减小误差。
在市场调查中，抽样误差可能导致对市场趋势的误判。例如，如果某品牌在目标消费群体中的实际市场份 额为30%，而由于抽样误差，调查结果显示其市场份额为25%，那么该品牌可能会错过扩大市场份额的机 会。因此，市场调查需要综合考虑抽样误差和其他不确定性因素，以做出明智的决策。
质量控制
在质量控制中，抽样误差可能导致对 产品质量的误判。如果某批次产品的 不合格率高于标准，但实际是由于抽 样误差造成的，那么这可能导致不必 要的生产成本和产品退货。因此，质 量控制需要采用合适的抽样方案和统 计分析方法，以减小抽样误差的影响。
04
抽样误差的概念
定义与产生原因
定义
抽样误差是由于从总体中随机抽取样本而产生的误差，它反映了样本统计量与总体参数之间的偏差。
产生原因
由于每个样本都是随机抽取的，因此每个样本的统计量都可能不同，从而导致抽样误差的产生。
置信区间是一种表示抽样误差的方法，它表示总体参数的可能取值范围。置信区间越窄，说明样本统计量与总体 参数的偏差越小，即抽样误差越小。
减少抽样误差的方法
增加样本量
增加样本量可以减小每个样本的代表性误差，从而减 小抽样误差。
改进抽样方法
采用更科学的抽样方法，如分层抽样、系统抽样等， 可以提高样本的代表性，从而减小抽样误差。
重复抽样
通过多次抽取样本并计算其统计量，可以减小抽样误 差。
05
抽样误差的影响因素
总体与样本的差异程度
总体与样本的差异程度越大，抽样误 差越大。
当总体分布与样本分布差异较大时， 需要采取更严格的抽样方法来减小误 差。
样本容量大小
样本容量越大，抽样误差越小。
在实际应用中，需要根据研究目的和资源情况合理确定样本容量，以减小误差。
在市场调查中，抽样误差可能导致对市场趋势的误判。例如，如果某品牌在目标消费群体中的实际市场份 额为30%，而由于抽样误差，调查结果显示其市场份额为25%，那么该品牌可能会错过扩大市场份额的机 会。因此，市场调查需要综合考虑抽样误差和其他不确定性因素，以做出明智的决策。
质量控制
在质量控制中，抽样误差可能导致对 产品质量的误判。如果某批次产品的 不合格率高于标准，但实际是由于抽 样误差造成的，那么这可能导致不必 要的生产成本和产品退货。因此，质 量控制需要采用合适的抽样方案和统 计分析方法，以减小抽样误差的影响。
04
抽样误差的概念
定义与产生原因
定义
抽样误差是由于从总体中随机抽取样本而产生的误差，它反映了样本统计量与总体参数之间的偏差。
产生原因
由于每个样本都是随机抽取的，因此每个样本的统计量都可能不同，从而导致抽样误差的产生。
医学统计学-4-正太分布及应用
(u)
1 2 e
u 2 2
，(-∞＜ u ＜+∞)
对其定积分：
(u )
1 2
u
e
u 2 2
du
式中 (u)为标准正态变量u的累计分布函数， 反映了横轴自-∞到u的正态曲线下面积，也 就是下侧累计面积(概率)。 引入标准化变换后，对于其他任何正态分 N ( , 2 ) 都可以借助标准正态分布表估计 布 任意（X1，X2）范围内的频数比例。
1、参考值范围确定的注意点
“正常人” 的概念 样本数据大小的问题 检测误差的问题 判断是否分组 单、双侧的问题 “绝大多数”的含义 是否需要确定可疑范围 变量转换的问题
不管将正常界值定在什么位置，都可能出现假 阳性或假阴性，产生这两种误判的根本原因是 正常人的分布与病人的分布有重叠 。
（一）估计频率分布
例、若由某项研究得某地婴儿出生体重为 3100g，标准差为300g，试估计该地区当年出 生低体重儿（出生体重≤2500g）所占比例。 认为当年该地区婴儿出生体重近似服从正态分 布N（3100,3002）,作标准化变换：
u X
2500 3100 2.00 300
注意点二
对于非标准正态分布，求曲线下任意（X1， X2）范围内的面积，可先作标准化变换， 再借助标准正态分布表求得。
例、某市120名12岁男童身高的例子中已求得均 数为 143.05cm，标准差s=5.82cm。设该资料服 从正态分布，试求① 该地12岁男童身高在132cm 以下者占该地12岁男童总数的比例，② 分别求 X ±1s、 X ±1.96s和 X ±2.58s范围内12岁男童占 该组儿童总数的实际百分数，并与理论百分数比 较。
1 2 e
u 2 2
，(-∞＜ u ＜+∞)
对其定积分：
(u )
1 2
u
e
u 2 2
du
式中 (u)为标准正态变量u的累计分布函数， 反映了横轴自-∞到u的正态曲线下面积，也 就是下侧累计面积(概率)。 引入标准化变换后，对于其他任何正态分 N ( , 2 ) 都可以借助标准正态分布表估计 布 任意（X1，X2）范围内的频数比例。
1、参考值范围确定的注意点
“正常人” 的概念 样本数据大小的问题 检测误差的问题 判断是否分组 单、双侧的问题 “绝大多数”的含义 是否需要确定可疑范围 变量转换的问题
不管将正常界值定在什么位置，都可能出现假 阳性或假阴性，产生这两种误判的根本原因是 正常人的分布与病人的分布有重叠 。
（一）估计频率分布
例、若由某项研究得某地婴儿出生体重为 3100g，标准差为300g，试估计该地区当年出 生低体重儿（出生体重≤2500g）所占比例。 认为当年该地区婴儿出生体重近似服从正态分 布N（3100,3002）,作标准化变换：
u X
2500 3100 2.00 300
注意点二
对于非标准正态分布，求曲线下任意（X1， X2）范围内的面积，可先作标准化变换， 再借助标准正态分布表求得。
例、某市120名12岁男童身高的例子中已求得均 数为 143.05cm，标准差s=5.82cm。设该资料服 从正态分布，试求① 该地12岁男童身高在132cm 以下者占该地12岁男童总数的比例，② 分别求 X ±1s、 X ±1.96s和 X ±2.58s范围内12岁男童占 该组儿童总数的实际百分数，并与理论百分数比 较。
4正态分布
−∞
+∞
1 = ∫ ( x − μ) ⋅ e −∞ 2 πσ x− μ 令 = t,得 σ t2 2 − +∞ σ 2 D( X ) = t e 2 dt 2 π ∫− ∞
+∞
2
( x − μ )2 − 2σ 2
d x.
t2 2 ⎛ − σ ⎜ = − te 2 2π ⎜ ⎝
+∞
+∫ e
−∞
t2 +∞ − 2 −∞
所以
1 E( X ) = ∫ x ⋅ e −∞ 2πσ
+∞
( x − μ )2 − 2σ 2
dx
1 +∞ = ∫−∞ ( μ + σt)e 2π 1 =μ ∫ e 2π
= μ.
t2 +∞ − 2 −∞
t2 − 2
dt
t2 − 2
σ +∞ dt + ∫−∞ te 2π
dt
D( X ) = ∫ ( x − μ ) 2 f ( x ) d x
x2 − 2
e
( z − x )2 − 2
dx
dx
1 = e 2π
z t = x− 2
∫− ∞ e
+∞
+∞
z ⎛ −⎜ x− 2 ⎝
⎞2 ⎟ ⎠
1 e 2π
z2 − 4
∫− ∞ e
−t2
dt=
1 2 π
e
z2 − 4
.
即 Z 服从 N (0,2) 分布.
例5 设二维随机变量 ( X ,Y ) 的概率密度为
∫
c− μ σ −∞
1 e 2π
u2 − 2
⋅du
⎛d − μ⎞ c − μ⎞ =Φ⎜ ⎟ −Φ ⎛ ⎜ ⎟. σ ⎠ ⎝ ⎝ σ ⎠
+∞
1 = ∫ ( x − μ) ⋅ e −∞ 2 πσ x− μ 令 = t,得 σ t2 2 − +∞ σ 2 D( X ) = t e 2 dt 2 π ∫− ∞
+∞
2
( x − μ )2 − 2σ 2
d x.
t2 2 ⎛ − σ ⎜ = − te 2 2π ⎜ ⎝
+∞
+∫ e
−∞
t2 +∞ − 2 −∞
所以
1 E( X ) = ∫ x ⋅ e −∞ 2πσ
+∞
( x − μ )2 − 2σ 2
dx
1 +∞ = ∫−∞ ( μ + σt)e 2π 1 =μ ∫ e 2π
= μ.
t2 +∞ − 2 −∞
t2 − 2
dt
t2 − 2
σ +∞ dt + ∫−∞ te 2π
dt
D( X ) = ∫ ( x − μ ) 2 f ( x ) d x
x2 − 2
e
( z − x )2 − 2
dx
dx
1 = e 2π
z t = x− 2
∫− ∞ e
+∞
+∞
z ⎛ −⎜ x− 2 ⎝
⎞2 ⎟ ⎠
1 e 2π
z2 − 4
∫− ∞ e
−t2
dt=
1 2 π
e
z2 − 4
.
即 Z 服从 N (0,2) 分布.
例5 设二维随机变量 ( X ,Y ) 的概率密度为
∫
c− μ σ −∞
1 e 2π
u2 − 2
⋅du
⎛d − μ⎞ c − μ⎞ =Φ⎜ ⎟ −Φ ⎛ ⎜ ⎟. σ ⎠ ⎝ ⎝ σ ⎠
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2.9 1.4 0.7
-
累积频率(%)
1.4 5.7 13.6 31.5 54.4 73.7 85.8 95.1
98.0 99.4 100.0 100.0
140名正常男子红细胞计数的直方图
频 数 f
频 频率/组距 率
密 度
红细胞数X 直方图形状相同，使各直方的面积相应于频率，其和为1（100%）
求X取值在相应区间内的概率，首先要确定区间两端 点所对应的Z值
z1
(
1.96
)
1.96
查表，得φ(-1z.196)=(0.0215.9，6则) Z取值 在1.（96-1.96，1.96）
的概率为0.95，即X取值在区间μ±1.96σ内的概率为 0.95。
95%
99%
例3-1：正常成年男子的红细胞计数近似服从正态分布，假设均值 为4.78×1012/L，标准差为0.38×1012/L，试估计红细胞数在 4×1012/L以下所占的比例。
2
即将X~N(μ,σ2)的正态分布转化为Z~ N(0,12)的标 准正态分布，Z称为标准正态变量，其分布函数为
u2
(Z) 1
u
e
2
dz
2
根据上述公式制成附表1，欲求一定区间标准 正态分布曲线下的面积只需查表即可，且
φ(z)=1- φ(-z)
φ(z)
例：已知X服从均数为μ标准差为σ的正态分布，试估计： （1）X取值在区间μ±1.96σ内的概率； （2）X取值在区间μ±2.58σ内的概率。
一、正态分布(Normal Distribution)
频率密度 f ( X )
f (X) 1.2 1
0.8
f (X) 1.2 1
0.8
0.6
0.6
0.4 0.2
0 3.8 4.2 4.6 5.0 5.4 5.8 X
0.4
0.2
0 3.8 4.2 4.6
f (X )1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
5 5.4 5.8 X
红细胞数
3.80～ 4.00～ 4.20～ 4.40～ 4.60～ 4.80～ 5.00～ 5.20～
5.40～ 5.60～ 5.80～ 6.00 合计
频数
2 6 11 25 32 27 17 13 4 2 1 140
频 率(%)
1.4 4.3 7.9 17.9 22.9 19.3 12.1 9.3
（四）选择适当的百分范围
参考值的百分范围应根据资料的性质和研究目的 选择，它与诊断阈值有确定的关系。百分范围的不同 将导致不同的假阳性率和假阴性率。
正常人和病人数据分布重叠
（五）估计参考值范围的界限
参考值范围估计主要有百分位数法和正态分布法。
1.百分位数法：适用于任何分布类型的资料，尤其是偏态分布资料，要 求样本含量比正态分布法要多（不低于100）。
X 2.33S X 2.33S
双侧
下限
上限
X 1.96S
X 1.96S
X 2.58S X 2.58S
Z界值表
参考值范围（%） 80 90 95 99
单侧 0.84 1.28 1.64 2.33
双侧 1.28 1.64 1.96 2.58
若已算得某地正常成年男子红细胞数的均数为 4.78×1012/L,标准差为0.38×1012/L, 试估计该地 成年男子红细胞数的95%参考值范围。
即求P(4.0≤X≤5.5)
(5.5 4.78 ) (4 4.78 ) (1.89) (2.05)
0.38
0.38
[1 (1.89)] (2.05) 0.9504
例3-2 上节课的例题中已计算出101名正常成年女 子的血清总胆固醇均数为4.03mmol/L，标准差为 0.659mmol/L。试估计该单位：正常成年女子血清 总胆固醇在4.00mmol/L以下者占正常女子总人数的 百分比；在4.00~5.00mmol/L之间者占正常女子总 人数的百分比；在5.00mmol/L以上者占正常女子总 人数的百分比。
在X=μ处，f(X)取最大值，X越远离μ， f(X)越小。
曲线下面积分布有规律
X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 或100%；
区间μ±σ的面积为68.3%,区间 μ±1.96σ的面积为95%,区间 μ±2.58σ的面积为99%.
-5 2-.548 -3 1.96-2 -1 0 1 2 1.936 4 2.585
首先要对资料进行正态性检验，且要求样本含量足够大 （n≥100）。计算公式如下：
双侧1-α参考值范围： 单侧1-α参考值范围：
X u / 2S X u S或 X u S 其中X为均数， S为标准差， u值可查表
参考值范围所对应的正态分布区间
百分范围（%） 95 99
单侧
下限
上限
X 1.65S X 1.65S
频数
27 169 167
94 81 42 28 14
4 3 1 630
累积频数
27 196 363 457 538 580 608 622 626 629 630
-
累积频率(%)
4.3 31.1 57.6 72.5 85.4 92.1 96.5 98.7 99.4 99.8 100.0
-
PX
LX
1 2
3
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
1 2 3 图3-4 三种不同标准差的正态分布
• 正态分布是一个分布族，对应于不同的参数 和 会产生不同位置、不同形状的正态分布。
为了应用方便， 令： u X
二、标准正态分布 (Standard Normal Distribution)
医学统计学
正态分布及其应用
Normal distribution
王友洁 email wangyoujie@
主要内容
正态分布的概念及其特征 标准正态分布 医学参考值范围及其制定
一 正态分布 (normal distribution)
某地140名正常男子红细胞数的频数表
由于此例样本含量较大，可用样本均数、标准差代替总
体均数和标准差
z1
4.00 4.03 0.659
0.05
5.00 4.03 z2 0.659 1.47
查附表1得φ(-0. 05)=？，如何求φ(1.47)?
三、正态分布的应用
正态分布除了可估计频数分布外，还是 许多统计方法的基础，并可应用于质量 控制及制定医学参考值范围。
P1
单侧 上限 P95
P99
下限 P2.5
P0.5
双侧 上限 P97.5
P99.5
为该地区50岁～60岁女性高血脂诊断与治疗提供参考依据，试估计血清甘 油三脂含量的95%单侧参考值范围。
甘油三脂
0.10～ 0.40～ 0.70～ 1.00～ 1.30～ 1.60～ 1.90～ 2.20～ 2.50～ 2.80～ 3.10～ 合计
计算公式： 双侧1-α参考值范围：Pα/2 ~P100-α/2 单侧1-α参考值范围： >Pα 或<P100-α
双侧95%医学参考值范围是（ P2.5 ，P97.5 ），单侧范围是P95以下 （如人体有害物质如血铅）或P5以上（如肺活量）
参考值范围所对应的百分位数
百分范围（%） 下限
95
P5
99
0 3.6 4 4.4 4.8 5.2 5.6 6 X
某地成年男子红细胞数的分布逐渐接近正态分布示意图
正态分布的概念
又称为Gauss分布（Gaussian distribution）。当原始数据的频数 分布图的观察人数逐渐增加且组段 不断分细时，图中的直条就不断变 窄，其顶端则逐渐接近于一条光滑 的曲线。这条曲线形态呈钟形，两 头低、中间高，左右对称，近似于 数学上的正态分布。在处理资料时， 我们就把它看成是正态分布。
第三节 医学参考值范围
(Reference Value Range)
一、基本概念 医学参考值：通常指包括绝大多数正常人的解剖、生理、生化、免疫
及组织代谢产物的含量等各种生理生化指标常数。 医学参考值范围：由于存在个体差异，生物医学数据并非常数而在一
定范围内波动，故采用医学参考值范围作为判定正常和异常的参考标 准。 主要目的：用于临床疾病诊断。
（二）对选定的参照样本进行准确的测定
为保证原始数据可靠，要严格控制检测误差，包括 分析仪器的灵敏度、试剂的纯度、操作技术及标准的掌 握等，同时必须对测量条件做出统一的规定和说明，如 临床化验参考值范围的制定，应对收集样本时的环境和 生理条件（温度、季节、体育活动强度、饮食、妊娠 等），收集、转运和储藏样品的方法及时间有明确的规 定。
下限： X 1.96S 4.78 1.96 0.38 4.04(1012 / L) 上限： X 1.96S 4.78 1.96 0.38 5.52(1012 / L)
小结
1.标准差与均数结合能够完整地描述一个正态 分布。对任何参数的正态分布，都可以通过一个简 单的变量变换化成标准正态分布。
2.利用正态分布可以很容易地确定其数值出现 在任意指定范围内的概率。
3.医学参考值范围指“正常参照人群”的解剖、生理、生化、 免疫及组织代谢产物的含量等各种数据的波动范围。主要用作划分 正常人与异常人的界线。
4.医学参考值范围的制定需要按照一定步骤进行。实际中最好 结合正常人和病人的数据分布特点，权衡假阳性和假阴性的比例， 选择一个适当的百分范围，最常用的百分界限是95%。
iX fX
(nX %
fL)
(630 0.95 580)
P 1.90
0.30 2.098(mmol/L)
95
28
即95%单侧参考值范围为小于2.098mmol/L。
-
累积频率(%)
1.4 5.7 13.6 31.5 54.4 73.7 85.8 95.1
98.0 99.4 100.0 100.0
140名正常男子红细胞计数的直方图
频 数 f
频 频率/组距 率
密 度
红细胞数X 直方图形状相同，使各直方的面积相应于频率，其和为1（100%）
求X取值在相应区间内的概率，首先要确定区间两端 点所对应的Z值
z1
(
1.96
)
1.96
查表，得φ(-1z.196)=(0.0215.9，6则) Z取值 在1.（96-1.96，1.96）
的概率为0.95，即X取值在区间μ±1.96σ内的概率为 0.95。
95%
99%
例3-1：正常成年男子的红细胞计数近似服从正态分布，假设均值 为4.78×1012/L，标准差为0.38×1012/L，试估计红细胞数在 4×1012/L以下所占的比例。
2
即将X~N(μ,σ2)的正态分布转化为Z~ N(0,12)的标 准正态分布，Z称为标准正态变量，其分布函数为
u2
(Z) 1
u
e
2
dz
2
根据上述公式制成附表1，欲求一定区间标准 正态分布曲线下的面积只需查表即可，且
φ(z)=1- φ(-z)
φ(z)
例：已知X服从均数为μ标准差为σ的正态分布，试估计： （1）X取值在区间μ±1.96σ内的概率； （2）X取值在区间μ±2.58σ内的概率。
一、正态分布(Normal Distribution)
频率密度 f ( X )
f (X) 1.2 1
0.8
f (X) 1.2 1
0.8
0.6
0.6
0.4 0.2
0 3.8 4.2 4.6 5.0 5.4 5.8 X
0.4
0.2
0 3.8 4.2 4.6
f (X )1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
5 5.4 5.8 X
红细胞数
3.80～ 4.00～ 4.20～ 4.40～ 4.60～ 4.80～ 5.00～ 5.20～
5.40～ 5.60～ 5.80～ 6.00 合计
频数
2 6 11 25 32 27 17 13 4 2 1 140
频 率(%)
1.4 4.3 7.9 17.9 22.9 19.3 12.1 9.3
（四）选择适当的百分范围
参考值的百分范围应根据资料的性质和研究目的 选择，它与诊断阈值有确定的关系。百分范围的不同 将导致不同的假阳性率和假阴性率。
正常人和病人数据分布重叠
（五）估计参考值范围的界限
参考值范围估计主要有百分位数法和正态分布法。
1.百分位数法：适用于任何分布类型的资料，尤其是偏态分布资料，要 求样本含量比正态分布法要多（不低于100）。
X 2.33S X 2.33S
双侧
下限
上限
X 1.96S
X 1.96S
X 2.58S X 2.58S
Z界值表
参考值范围（%） 80 90 95 99
单侧 0.84 1.28 1.64 2.33
双侧 1.28 1.64 1.96 2.58
若已算得某地正常成年男子红细胞数的均数为 4.78×1012/L,标准差为0.38×1012/L, 试估计该地 成年男子红细胞数的95%参考值范围。
即求P(4.0≤X≤5.5)
(5.5 4.78 ) (4 4.78 ) (1.89) (2.05)
0.38
0.38
[1 (1.89)] (2.05) 0.9504
例3-2 上节课的例题中已计算出101名正常成年女 子的血清总胆固醇均数为4.03mmol/L，标准差为 0.659mmol/L。试估计该单位：正常成年女子血清 总胆固醇在4.00mmol/L以下者占正常女子总人数的 百分比；在4.00~5.00mmol/L之间者占正常女子总 人数的百分比；在5.00mmol/L以上者占正常女子总 人数的百分比。
在X=μ处，f(X)取最大值，X越远离μ， f(X)越小。
曲线下面积分布有规律
X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 或100%；
区间μ±σ的面积为68.3%,区间 μ±1.96σ的面积为95%,区间 μ±2.58σ的面积为99%.
-5 2-.548 -3 1.96-2 -1 0 1 2 1.936 4 2.585
首先要对资料进行正态性检验，且要求样本含量足够大 （n≥100）。计算公式如下：
双侧1-α参考值范围： 单侧1-α参考值范围：
X u / 2S X u S或 X u S 其中X为均数， S为标准差， u值可查表
参考值范围所对应的正态分布区间
百分范围（%） 95 99
单侧
下限
上限
X 1.65S X 1.65S
频数
27 169 167
94 81 42 28 14
4 3 1 630
累积频数
27 196 363 457 538 580 608 622 626 629 630
-
累积频率(%)
4.3 31.1 57.6 72.5 85.4 92.1 96.5 98.7 99.4 99.8 100.0
-
PX
LX
1 2
3
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
1 2 3 图3-4 三种不同标准差的正态分布
• 正态分布是一个分布族，对应于不同的参数 和 会产生不同位置、不同形状的正态分布。
为了应用方便， 令： u X
二、标准正态分布 (Standard Normal Distribution)
医学统计学
正态分布及其应用
Normal distribution
王友洁 email wangyoujie@
主要内容
正态分布的概念及其特征 标准正态分布 医学参考值范围及其制定
一 正态分布 (normal distribution)
某地140名正常男子红细胞数的频数表
由于此例样本含量较大，可用样本均数、标准差代替总
体均数和标准差
z1
4.00 4.03 0.659
0.05
5.00 4.03 z2 0.659 1.47
查附表1得φ(-0. 05)=？，如何求φ(1.47)?
三、正态分布的应用
正态分布除了可估计频数分布外，还是 许多统计方法的基础，并可应用于质量 控制及制定医学参考值范围。
P1
单侧 上限 P95
P99
下限 P2.5
P0.5
双侧 上限 P97.5
P99.5
为该地区50岁～60岁女性高血脂诊断与治疗提供参考依据，试估计血清甘 油三脂含量的95%单侧参考值范围。
甘油三脂
0.10～ 0.40～ 0.70～ 1.00～ 1.30～ 1.60～ 1.90～ 2.20～ 2.50～ 2.80～ 3.10～ 合计
计算公式： 双侧1-α参考值范围：Pα/2 ~P100-α/2 单侧1-α参考值范围： >Pα 或<P100-α
双侧95%医学参考值范围是（ P2.5 ，P97.5 ），单侧范围是P95以下 （如人体有害物质如血铅）或P5以上（如肺活量）
参考值范围所对应的百分位数
百分范围（%） 下限
95
P5
99
0 3.6 4 4.4 4.8 5.2 5.6 6 X
某地成年男子红细胞数的分布逐渐接近正态分布示意图
正态分布的概念
又称为Gauss分布（Gaussian distribution）。当原始数据的频数 分布图的观察人数逐渐增加且组段 不断分细时，图中的直条就不断变 窄，其顶端则逐渐接近于一条光滑 的曲线。这条曲线形态呈钟形，两 头低、中间高，左右对称，近似于 数学上的正态分布。在处理资料时， 我们就把它看成是正态分布。
第三节 医学参考值范围
(Reference Value Range)
一、基本概念 医学参考值：通常指包括绝大多数正常人的解剖、生理、生化、免疫
及组织代谢产物的含量等各种生理生化指标常数。 医学参考值范围：由于存在个体差异，生物医学数据并非常数而在一
定范围内波动，故采用医学参考值范围作为判定正常和异常的参考标 准。 主要目的：用于临床疾病诊断。
（二）对选定的参照样本进行准确的测定
为保证原始数据可靠，要严格控制检测误差，包括 分析仪器的灵敏度、试剂的纯度、操作技术及标准的掌 握等，同时必须对测量条件做出统一的规定和说明，如 临床化验参考值范围的制定，应对收集样本时的环境和 生理条件（温度、季节、体育活动强度、饮食、妊娠 等），收集、转运和储藏样品的方法及时间有明确的规 定。
下限： X 1.96S 4.78 1.96 0.38 4.04(1012 / L) 上限： X 1.96S 4.78 1.96 0.38 5.52(1012 / L)
小结
1.标准差与均数结合能够完整地描述一个正态 分布。对任何参数的正态分布，都可以通过一个简 单的变量变换化成标准正态分布。
2.利用正态分布可以很容易地确定其数值出现 在任意指定范围内的概率。
3.医学参考值范围指“正常参照人群”的解剖、生理、生化、 免疫及组织代谢产物的含量等各种数据的波动范围。主要用作划分 正常人与异常人的界线。
4.医学参考值范围的制定需要按照一定步骤进行。实际中最好 结合正常人和病人的数据分布特点，权衡假阳性和假阴性的比例， 选择一个适当的百分范围，最常用的百分界限是95%。
iX fX
(nX %
fL)
(630 0.95 580)
P 1.90
0.30 2.098(mmol/L)
95
28
即95%单侧参考值范围为小于2.098mmol/L。