MOGA
i x 是第t 代种群中个体，其rank 值定义为：
()
(,)1t i i rank x t p =+
()t i p 为第t 代种群中所有支配i x 的个体数目
适应值（fitness value ）分配算法： 1、 将所有个体依照rank 值大小排序分类；
2、 利用插值函数给所有个体分配适应值（从rank1到
rank *
n N ≤），一般采用线性函数
3、 适应值共享：rank 值相同的个体拥有相同的适应值，
保证后期选择时同一rank 值的个体概率相同
最后采用共享适应值随机选取的方法选择个体进入下一代
一种改进的排序机制（ranking scheme ）： 向量,1,(,,)a a a q y y y =⋅⋅⋅和,1,(,,)b b b q y y y =⋅⋅⋅比较 goal vector ：()
1,,q g g g =⋅⋅⋅ 分为以下三种情况：
1、
()()
,,1,,1; 1,,;
1,,; a i i a j j k q i k j k q y g y g ∃=⋅⋅⋅-∀=⋅⋅⋅∀=+⋅⋅⋅>∧≤
2、()
,1,,; a i i i q y g ∀=⋅⋅⋅>
当a y 支配b y 时，选择a y 3、()
,1,,; a j j j q y g ∀=⋅⋅⋅≤ 当b y 支配a y 时，选择b y
优点：算法思想容易，效率优良 缺点：算法容易受到小生境的大小影响 理论上给出了参数share σ的计算方法
NPGA
基本思想： 1、初始化种群Pop
2、锦标赛选择机制：随机选取两个个体1x 和2x 和一个Pop 的 子集CS(Comparison Set)做参照系。若1x 被CS 中不少于一 个个体支配，而2x 没有被CS 中任一个体支配，则选择2x 。
3、其他情况一律称为死结（Tie ），采用适应度共享机制选择。
个体适应度：i f
小生境计数（Niche Count ）：(),i j Pop
m Sh d i j ∈=
⎡⎤⎣⎦∑
共享函数：1-,()0,share share
share
d d Sh d d σσσ⎧
≤⎪=⎨⎪>⎩
共享适应度（the shared fitness ）：
i
i
f m
选择共享适应度较大的个体进入下一代 优点：能够快速找到一些好的非支配最优解域 能够维持一个较长的种群更新期 缺点：需要设置共享参数
需要选择一个适当的锦标赛机制
限制了该算法的实际应用效果
NPGA II
基本思想： 1、初始化种群Pop
2、Pareto 排序：非支配个体rank=0；其余个体 rank=支配该个体的个体数目
3、锦标赛选择机制：种群中任选两个个体1x 和2x ， 若()()12rank x rank x <，则选择1x ； 若是()()12rank x rank x =，称为死结（Tie ）， 采用适应度共享机制选择。
小生境计数（Niche Count ）：
1 0 ij ij share
j Pop share i ij share d if d m if d σσσ
∈⎧⎛
⎫-<⎪ ⎪=⎨⎝⎭
⎪≥⎩
∑ 这里的Pop 只包含当前一代里的个体，在NPGA 中， 计算i m 公式中的Pop 包含当前一代以及已经产生的 属于下一代的所有个体
最后，选择计数较小的个体进入下一代
在计算Niched Count 之前还要对函数值进行标准化：
',min
,max ,min
i i i
i i O O O O O -=-
NSGA
和简单的遗传算法的不同点在于selection operator works ， crossover and mutation operator 是一样的
不一样的共享函数：
()2,,,1-, 0, i j i j share i j share d if d Sh d otherwise
σσ⎧⎛⎫⎪< ⎪=⎨⎝⎭
⎪
⎩ ,i j d 表示个体i 和j 之间的距离
share σ是共享参数，表示小生境的半径
小生境计数（Niche Count ）：(),i j currentfront
m Sh d i j ∈=
⎡⎤⎣⎦
∑
共享适应值：i
df
m
最后采用随机余数比例算法选择个体进行重新构造种群的基础 优点：优化目标个数任选 非支配最优解分布均匀 允许存在多个不同的等效解 缺点：计算复杂度过高（()3O MN ） 不具有精英保留机制 需要预设共享参数share σ
NSGA II
加入精英保留机制
快速非支配排序方法（Fast Nondominated Sorting Approach ）： 支配计数 p n ：支配解p 的解数量 支配解集 p S ：解p 支配的解集合
1、计算出每一个解的p n 和p S ，第一级非支配解0p n =，单独放入一个集合；
2、遍历成员q 和q S ，逐步递减q n ，如果可以减少为0，将p 放入单独的集合Q ，构成第二级非支配解；
3、重复步骤2，直到所有成员全部分类完成。
Crowded-comparison Approach
1、计算集合I 的长度，初始化；
2、对每一个目标，利用目标值进行排序；
3、赋予边界点（第一个和最后一个）最大值，确保它们不会被剔除；
4、循环计算其他点的crowded distance.
[][][][]()
max min
tan tan 1.1.dis ce dis ce m m
I i m I i m I i I i f f +--=+
-
其中，I 为非支配集合，[].I i m 表示第m 个目标在第i 个个体处的目标值，
