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多目标差分进化算法

多目标差分进化算法

多目标差分进化算法
多目标差分进化算法（Multi-Objective Differential Evolution，MODE）是一种用于解决多目标优化问题的进化算法。

与单目标差分进化算法类似，MODE也是一种基于群体的全局优化方法，它可以在不使用任何显式约束的情况下解决复杂的多目标问题。

MODE是由Kalyanmoy Deb和Amrit Pratap等人于2002年提出的。

这种方法通过维护一组个体来进行多目标优化，并使用不同的权重向量（或目标向量）来评估每个个体的适应度。

在MODE中，每个权重向量都被视为一个目标问题的不同实例，个体的适应度被定义为它们在所有目标问题中的表现。

采用差分进化算法的操作方式，MODE在每一代中对群体进行进化。

具体来说，对于每个个体，MODE将选择三个不同的个体作为参考点（也称为候选个体）。

然后，通过与参考个体进行差分操作，生成一个试探个体。

试探个体的适应度被评估，并与当前个体进行比较。

如果试探个体的适应度更优，则将其保留到下一代中，并用其替换当前个体。

在MODE中，采用了一种精英策略来维护较好的解。

具体来说，在每一代中，由于同一权重向量的多个个体可能收敛到同一解决方案，MODE将更新每一个权重向量中最优的个体，并将其保留到下一代中。

因此，这种策略可以确保每个权重向量都有一个最优解，进而使模型达到更好的全局优化效果。

总之，多目标差分进化算法是一种有效的全局优化方法，能够高效地解决多目标优化问题。

在实践中，MODE已被广泛应用于各种领域中，如机器学习、工程设计、经济学和环境管理等。

《多目标优化方法》PPT课件

《多目标优化方法》PPT课件

cij
b1, b2 , b3, b4
解: 设变量 xij ,i 1,2,3; j 1表,2,3示,4 由 运Ai往
总吨公里数为
,总d运ij xi费j 为
求解
i1 j1
的B j货物数,于是
,问题ci优j xij化为
i1 j1
34
min
dij * xij
i1 j1
34
min
cij * xij
点 B1, B2 , B。3, 其B4 需要量分别为
b1, b2 , b3, b4
且
3
ai
，4 b已j 知
到
i
j
的A距i 离和B单j 位运价分别为
(km)和 (元di)j ,现要决定如ci何j 调运多少,才能使总的
吨,公里数和总运费都尽量少?
解: 设变量 xij , i 1,2,3; 表j 示1由,2,3,4运往 的货物Ai数,于是总
可以看到：
当P=1时,(VP)就是非线性规划, 称为单目标规划。
对于单目标问题Min f (x,) x1, x2 总D可比较
与 f (x2的) 大小.
f (x1)
对于多目标规划(VP),对于 x1, x2 D， f (x1与) f (都x2 ) 是P 维向量,如何比较两个向量的大小?
多目标优化的非劣解集 Noninferior solution for the model
积为
,它x决1 *定x2重量,而梁的强度取决于截面
形
。
1 6
x1
*
x22
因此,容易列出 梁的数学模型:
min
x1 * x2
max
1 6
*
x1
*

多目标进化算法

多目标进化算法

多目标进化算法
多目标进化算法是基于进化计算的搜索算法，用于求解多目标优化问题，它模仿自然进化过程，以改进个体的适应度进行进化。

多目标进化算法通过精心设计的表示和进化策略来解决多目标优化问题，有效地探索多目标空间，以准确地表征多目标最优解（Pareto 最优解），因此在工程实践中被越来越广泛地应用。

多目标进化算法主要由以下步骤组成：
1、初始化种群：随机生成若干种群个体，作为初始种群，用于分析求解问题。

2、进化：基于进化规则，使用遗传算子改变当前种群，产生新一代种群。

3、评价：评估当前种群中每个个体的多目标函数适应度。

4、多目标选择：从最优种群中进行择优选择，得到Pareto最优解。

5、重复：将上述进化过程重复多次，至全局最优解。

目前，多目标进化算法已经被广泛应用于各种工程实践中，在服务器负载平衡、自适应控制、系统性能调优、工业机器人位置分配等领域都实现了良好的优化效果。

未来，多目标进化算法将会进一步改进，可以应用于更大规模和复杂环境中，以更准确地寻找最佳可行解决方案。

多目标智能拆分差分进化算法

多目标智能拆分差分进化算法

多目标智能拆分差分进化算法说到“多目标智能拆分差分进化算法”这个话题，咱们先得深呼吸一下——嘿，别紧张，咱们一块儿慢慢来聊聊。

听上去是个超级复杂的东西，对吧？你可能会想，“这听起来像是从科幻电影里跑出来的怪物名！”其实啊，它说的就是一种方法，用来解决在做决策时，面对多个目标的情况下，怎么选个最优方案。

哦，不是那种像吃饭时犹豫“要不要加辣”的纠结，而是面对多个目标，怎么能聪明地找到最合适的解法。

先别急，别皱眉，咱们从生活中的小事聊起。

你可能在考虑买个新手机，是选择功能强大的旗舰款，还是看中性价比的中档款？两者各有优缺点，这就是咱们说的“多目标”。

每个人都有自己的需求，有人要拍照好，有人要电池耐用，或者看个性价比等等。

你能不能立刻做出决定？肯定很难。

你要是在想，“我到底该怎么做？”这就和咱们今天聊的这个算法有点像。

差分进化算法是啥呢？想象一下，差分进化就像一群人排队投票，每个人都有个投票的权利。

大家根据自己手头上的经验（也就是算法中的“候选解”），一步一步地去修改自己的想法，然后看看哪一方案最靠谱。

就像买手机一样，你可以看到别人试过什么，做了哪些选择，再根据自己的情况调整选项。

差分进化的关键，简而言之，就是“跟随群体的智慧”，大致上是通过“变异”和“重组”来不断优化，直到找到一个最好的解决方案。

你问那“多目标”怎么办？别急，没那么复杂，咱们可以理解为，它是在同一时间考虑好几个目标，有点像考试的时候，既要兼顾题目的难度，又要考虑时间的限制。

你想着拿到高分，但也得抓紧时间答完试卷。

这个多目标拆分的精髓就是，如何能让这两个目标同时尽可能达到最理想的平衡，而不是偏重一个，忽视了另一个。

你可能会问，为什么这个算法叫“拆分”？好问题！拆分嘛，意思就是说，把复杂的问题拆成几个小块来处理。

就像你做饭，得先切菜、备料，然后炒菜，再加点调味品，最后上桌。

没有哪个步骤能省略，只有一步步来，才能做出最美味的菜肴。

差分进化算法也差不多，首先把复杂问题拆成多个小目标，再逐个突破，最后合力解决。

多目标优化和进化算法

多目标优化和进化算法

多目标优化和进化算法
多目标优化（Multi-Objective Optimization，简称MOO）是指在优化问题中存在多个目标函数需要同时优化的情况。

在实际问题中，往往存在多个目标之间相互制约、冲突的情况，因此需要寻找一种方法来平衡这些目标，得到一组最优解，这就是MOO的研究范畴。

进化算法（Evolutionary Algorithm，简称EA）是一类基于生物进化原理的优化算法，其基本思想是通过模拟进化过程来搜索最优解。

进化算法最初是由荷兰学者Holland于1975年提出的，随后经过不断的发展和完善，已经成为了一种重要的优化算法。

在实际应用中，MOO和EA经常被结合起来使用，形成了一种被称为多目标进化算法（Multi-Objective Evolutionary Algorithm，简称MOEA）的优化方法。

MOEA通过模拟生物进化过程，利用选择、交叉和变异等操作来生成新的解，并通过多目标评价函数来评估每个解的优劣。

MOEA能够在多个目标之间进行平衡，得到一组最优解，从而为实际问题提供了有效的解决方案。

MOEA的发展历程可以追溯到20世纪80年代初，最早的研究成果是由美国学者Goldberg和Deb等人提出的NSGA（Non-dominated Sorting Genetic Algorithm），该算法通过非支配排序和拥挤度距离来保持种群的多样性，从而得到一组最优解。

随后，又出现了许多基于NSGA的改进算法，如NSGA-II、
MOEA/D、SPEA等。

总之，MOO和EA是两个独立的研究领域，但它们的结合产生了MOEA这一新的研究方向。

MOEA已经在许多领域得到了广泛应用，如工程设计、决策分析、金融投资等。

多目标优化方法及实例解析ppt课件

多目标优化方法及实例解析ppt课件
mZ a x(X ) （1）
s.t. (X )G（2）
是与各目标函数相关的效用函数的和函数。
在用效用函数作为规划目标时，需要确定一组权值 i
来反映原问题中各目标函数在总体目标中的权重，即：
k
maxii
i1
i ( x 1 , x 2 , x n ) g i ( i 1 , 2 , , m )
1(X)
g1
s .t.
( X)
2(X)
G
g2
m(X)
gm
式中： X [x 1 ,x 2 , ,x n ] T为决策变量向量。
缩写形式：
max(Zm Fi(n X)) （1） s.t. (X )G （2）
有n个决策变量，k个目标函数， m个约束方程， 则：
Z=F(X) 是k维函数向量， (X)是m维函数向量； G是m维常数向量；
在图1中，max(f1, f2) .就 方案①和②来说，①的 f2 目标值比②大，但其目 标值 f1 比②小，因此无 法确定这两个方案的优 与劣。
在各个方案之间， 显然：④比①好，⑤比 ④好, ⑥比②好, ⑦比 ③好……。
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
8
二 多目标规划求解技术简介
为了求得多目标规划问题的非劣解，常常需要将 多目标规划问题转化为单目标规划问题去处理。实现 这种转化，有如下几种建模方法。
✓ 效用最优化模型 ✓ 罚款模型 ✓ 约束模型 ✓ 目标达到法 ✓ 目标规划模型
方法一 效用最优化模型（线性加权法）
思想：规划问题的各个目标函数可以通过一定的方式 进行求和运算。这种方法将一系列的目标函数与效用 函数建立相关关系，各目标之间通过效用函数协调， 使多目标规划问题转化为传统的单目标规划问题：

几种多目标进化算法简介

几种多目标进化算法简介
Deb K, Pratap A, Agarwal S, et al. A Fast and Elitist Multibojective Genetic Algorithm: NSGAII. IEEE Transactions on Evolutionary Computation, 2002, 6(2): 182~197
绪 论 – 问题描述
假设有 r 个优化目标，则目标函数表示为：
f ( X ) ( f1 ( X ), f 2 ( X ),
约束条件：ຫໍສະໝຸດ , f r ( X ))gi ( X ) 0 i 1, 2, hi ( X ) 0 i 1, 2,
* * 任务：寻求目标集合 X * ( x1 , x2 , 足约束条件的同时获得最优解
小生境技术的基本思想是将生物学中的小生境概念应 用于进化计算中，将进化计算中的每一代个体划分为若 干类，每个类中选出若干适应度较大的个体作为一个类 的优秀代表组成一个群，再在种群中，以及不同种群之 间，杂交、变异产生新一代的个体种群。
小生境（niche）
小生境计数（Niche Count） 用来估计个体 i 所有邻居（小生境内）的拥挤程度
帕累托（Pareto）最优解
多目标优化的解称为 Pareto 最优解（1896年，Vilfredo Pareto） 给定一个多目标优化问题 f ( X ) ， 最优解定义为：
f ( X * ) opt f ( X )
X
其中， f :
{X
Vilfredo Pareto 意大利 经济学家
NPGA-共享机制
NPGA-Selection
NPGA – 总结评价
1. 选择一定数目的个体之后 2. 利用交叉变异等方法产生一个新的种群 3. 并循环，直至达到一定条件结束 优点：能够快速找到一些好的非支配最优解域 能够维持一个较长的种群更新期 缺点：需要设臵共享参数，比较困难 需要选择一个适当的锦标赛机制

多目标进化算法

多目标进化算法

多目标进化算法
多目标进化算法（MOEA）是一种智能优化技术，用于解决带有多个目标的复杂优化问题。

它与单目标优化算法最大的不同在于，它可以同时优化多个目标函数。

多目标进化算法的设计主要集中在三个方面：种群初始化，适应度函数设计和更新策略。

种群初始化是多目标进化算法的第一步，它决定了多目标优化算法的初始状态。

在多目标优化算法中，一般采用随机策略来初始化种群。

具体而言，可以使用随机数发生器随机生成一组数据，并根据优化问题的要求，确定这些数据是否符合要求，然后将其作为种群的初始解。

适应度函数是多目标优化算法的核心，它负责对种群中每个个体进行评估，从而实现有效的进化。

多目标优化算法可以根据不同的优化目标设计不同的适应度函数，以更好地评估种群中每个个体的拟合度。

最后，多目标进化算法的更新策略是它的核心，它通过改变种群中每个个体的属性，使种群的整体质量得到改善。

多目标进化算法的更新策略可以采用相互作用策略，例如交叉、变异、选择等，以改善种群的整体质量。

总而言之，多目标进化算法是一种用于解决带有多个目标的复杂优
化问题的智能优化技术，它的设计集中在种群初始化、适应度函数设计和更新策略三个方面。

多目标进化算法的应用范围很广，它可以用于控制、计算机视觉、机器学习、模糊控制等领域。

多目标进化算法

多目标进化算法

多目标进化算法多目标进化算法（Multi-Objective Evolutionary Algorithm, MOEA）是一种基于生物进化原理的优化算法，用于解决具有多个目标函数的复杂优化问题。

相比传统的单目标优化算法，MOEA可以同时考虑多个不同的目标函数，从而寻找到一组在不同目标下均表现良好的解。

MOEA的基本思想是通过维护一个种群，通过种群的进化过程来搜索解空间。

在每一代进化中，MOEA将根据种群中个体在目标函数空间中的分布和拥挤度来选择和进化新的个体。

具体来说，MOEA主要包含以下几个关键步骤：1. 个体编码：将优化问题的解空间映射到决策变量空间。

不同的编码方式可以用来表示不同类型的问题，如二进制编码、实数编码等。

2. 种群初始化：随机生成一组初始个体，每个个体都表示一个潜在解。

3. 目标函数计算：对于每个个体，计算其在所有目标函数下的目标值。

这些目标值用来衡量个体的优劣。

4. 选择操作：根据个体的目标值和分布情况，选择一部分个体作为“父代”。

5. 交叉和变异：通过遗传操作，对选择出的“父代”进行交叉和变异，生成新的个体。

6. 支配关系和非支配排序：通过比较个体的目标值来确定其在种群中的支配关系，进而进行非支配排序。

支配关系和非支配排序旨在找到在目标函数空间中最优的解。

7. 环境选择：根据个体的支配关系和非支配排序，选择新的种群，用于下一代的进化。

8. 结束条件检查：判断算法是否达到结束条件，如达到最大迭代次数或找到满意的近似最优解等。

MOEA的优点是能够找到一组解集，这些解集在多个目标下都表现较好。

同时，MOEA还可以通过适当的参数配置和改进，提高算法的搜索效率和解集的多样性。

然而，MOEA也存在一些挑战和限制。

首先，在处理高维和复杂的优化问题时，MOEA的搜索过程可能会变得非常复杂和耗时。

此外，MOEA在选择操作和父代个体生成方面，需要设计合适的策略利用个体之间的关系，以便更好地维持种群的多样性和收敛性。

3多目标进化算法ppt课件

3多目标进化算法ppt课件
0.040 0.090 0.160 0.250 0.360 0.490 0.640 0.810
Pareto最优解基本定义
• 多目标优化的最优解称为Pareto最优解。(1896年
Vilfredo Pareto）
•
定义1：给定一个多目标优化问题
ur f
(X
)，它的最优解x*定义为：
•
ur
uur
f ( X * ) opt f ( X )
进一步研究
• 更一般的，更通用的，更接近于自然进化的MOEA模型 • 基于进化环境的多目标进化模型。 • MOEA在有限时间内的收敛性。 • 构造多目标最优解集的最少时间复杂度。 • 进化过程中，个体循环地进入归档集问题。 • MOEA在不同参数时的比较研究。 • MOEA进化过程中，非支配集变化规律的研究。 • MOEA运行的统一框架。 • 不确定多目标优化问题。 • ……
• 从2001年以来，每二年召开一次有关多目标进化的国际会 议(EMO：evolutionary multi-criterion optimization)
• 国际刊物“IEEE Transactions on Evolutionary Computation”(1997年创刊)
• Evolutionary Computation (1993年创刊) • Genetic Programming and Evolvable Machines (1999年)
• 据定义9，我们便可以得出结论：(2, 6)支配 (3, 8)，(2, 6)和(3, 5)之间互相不支配。
• 区别：决策空间支配关系，目标空间支配关系
多目标进化算法
• 为了便于理解，我们这里给出一类基于Pareto的 多目标进化算法的一般流程，首先产生一个初始 种群P，接着选择某个进化算法(如遗传算法)对P 执行进化操作(如交叉、变异和选择)，得到新的 进化群体R。然后采用某种策略构造P∪R的非支 配集Nset，一般情况下在设计算法时已设置了非 支配集的大小(如N)，若当前非支配集Nset的大小 大于或小于N时，需要按照某种策略对Nset进行 调整，调整时一方面使Nset满足大小要求，同时 也必须使Nset满足分布性要求。之后判断是否满 足终止条件，若满足终止条件则结束，否则将 Nset中个体复制到P中并继续下一轮进化 。

多目标问题及多目标进化算法40页PPT

多目标问题及多目标进化算法40页PPT

谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳4源自、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
多目标问题及多目标进化算法
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。

《多目标优化》ppt课件

《多目标优化》ppt课件

2
运筹学
3 运筹学,计算机
先修课程号
1,2 7 1,2 7
5 1,2
模型建立
设 x i 表示选修课表i中按1,2编,.号.9.顺, 序的9门课程x〔i 0
表示不选这门课程, 〕
那么问题的目的为选
修
课程为最少, 即
9
min z xi. No i1 Image
约束条件x有1 x2 x3 x4 x5 2,
❖ ③每种投资能否收益是相互独立的。
❖ ④在投资过程中，无论盈利与否必需先付买卖费。
❖ 〔2〕符号阐明 M〔元〕：公司现有投资总金额； Si〔i=0~n〕：欲购买的第i种资产种类〔其中 i=0表示存入银行〕； xi〔i=0~n〕：公司购买Si金额； ri〔i=0~n〕：公司购买Si的平均收益率； qi〔i=0~n〕：公司购买Si的平均损失率； pi〔i=0~n〕：公司购买Si超越ui时所付买卖费 率。
❖ 对Si投资的净收益 〔3〕
R i(x i) r ix i c i(x i) (r i p i)x i
❖ 对Si投资的风险
Qi(xi)qixi
〔4〕
❖ 对Si投资所需资金〔投资金额xi与所需的手续费ci〔xi〕
之和〕即 No fi( Im x ia )g e x i c i(x i) (1 p i)x i〔5〕
Si ri（%） qi（%） pi（%） ui（元）
S1
28
2.5
1
103
S2
21
1.5
2
198
S3 23 5.5 4.5
52
S4 25 2.6 6.5
40
❖ 试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金 M，有选择地购买假设干种资产或存银行生息，使净 收益尽能够大，而总体风险尽能够小。

进化策略和进化规划课件(PPT 42张)

进化策略和进化规划课件(PPT 42张)

Xt——第t代个体的数值， N(0,σ)——服从正态分布的随机数，其均值为零，标准差为σ。
8.2 进化策略
进化策略的一般算法可以描述如下： (1) 问题为寻找实值n维矢量x，使得函数F(x):RnR取极值。不失一 般性，设此程序为极小化过程。 (2) 从各维的可行范围内随机选取亲本xi，i＝1，…，p的初始值。初 始试验的分布一般是均匀分布。 (3) 通过对于x的每个分量增加零均值和预先选定的标准差的高斯随 机变量，从每个亲本xi产生子代x’i。 (4) 通过将误差F(xi)和F(x’i)，i＝1，…，p进行排序，选择并决定哪 些矢量保留。具有最小误差的p个矢量变成下一代的新亲本。
8.2 进化策略
然后从这两个个体中组合出如下新个体：
式中qi＝1或2，它以相同的概率针对i＝1，2，…，n随机选取。
对重组产生的新个体执行突变操作，突变方式及σ的调整与 (1+1)-ES相同。 将突变后的个体与父代μ个个体相比较，若优于父代最差个体， 则代替后者成为下一代μ个个体新成员，否则，重新执行重 组和突变产生另一新个体，
进化策略的基本技术
(3)混杂(Panmictic)重组。这种重组方式的特点在于父代个体 的选择上。混杂重组时先随机选择一个固定的父代个体， 然后针对子代个体每个分量再从父代群体中随机选择第二 个父代个体。也就是说，第二个父代个体是经常变化的。 至于父代两个个体的组合方式，既可以采用离散方式，也 可以来用中值方式，甚至可以把中值重组中的1/2改为[0,1] 之间的任一权值。 研究表明，进化策略采用重组后，明显增加算法的收敛速度。 Schwefel建议，对于目标变量X宜用离散重组，对于策略因子 σ及α宜用中值重组或混杂中值重组。
进化策略的基本技术
然后将其分量进行随机交换，构成子代新个体的各个分量，从而得 出如下新个体：

3多目标进化算法

3多目标进化算法

3多目标进化算法多目标进化算法（Multi-objective Evolutionary Algorithms, MOEAs）是一类应用于解决多目标优化问题的算法。

与传统的单目标优化算法不同，MOEAs可以同时优化多个冲突的目标函数。

本文将介绍三种常见的多目标进化算法：非支配排序遗传算法（Non-dominated Sorting Genetic Algorithm, NSGA）、多目标粒子群优化算法（Multi-Objective Particle Swarm Optimization, MOPSO）和多目标遗传编程算法（Multi-objective Genetic Programming, MOGP）。

非支配排序遗传算法（NSGA）是最早被提出的多目标进化算法之一、该算法通过将个体划分为不同的非支配等级来进行演化，其中非支配等级越小的个体被认为越好。

算法首先根据个体之间的非支配关系对当前个体进行排序，随后通过选择、交叉和变异操作生成下一代个体。

NSGA尝试以一种平衡的方式维持每个非支配等级的个体数量，并保留个体的多样性。

多目标粒子群优化算法（MOPSO）是一种基于粒子群优化算法的多目标优化算法。

在传统的粒子群优化算法中，每个粒子通过自身的历史最优解和全局最优解来更新速度和位置。

而在MOPSO中，每个粒子有多个非劣解集合，通过使用非支配排序算法来选择粒子的周围邻居。

该算法通过比较不同粒子之间的非劣解集合来进行演化，以获取更好的近似解集。

多目标遗传编程算法（MOGP）是基于遗传算法的一种进化算法，用于解决多目标优化问题。

在MOGP中，每个个体表示为一个程序或函数，通过选择、交叉和变异操作来生成下一代个体。

与传统的遗传编程算法不同，MOGP通过使用多目标适应度函数来评估个体的多目标优劣，而不是使用单个适应度函数。

MOGP通过演化生成一组多目标解，并尽可能保留解空间的多样性和均匀分布。

这三种多目标进化算法在解决多目标优化问题方面具有一定的优势和适用性。

多目标优化问题的求解算法34页PPT

多目标优化问题的求解算法34页PPT

谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
多目标优化问题的求解算法
1、战鼓一响，法律无声。——英国 2、任何法律的根本；不，不成文法本 身就是 讲道理 ……法 律ห้องสมุดไป่ตู้也 ----即 明示道 理。— —爱·科 克
3、法律是最保险的头盔。——爱·科 克 4、一个国家如果纲纪不正，其国风一 定颓败 。—— 塞内加 5、法律不能使人人平等，但是在法律 面前人 人是平 等的。 ——波 洛克
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决策空间和目标空间
X 决策空间 -3 -2.9 …
f1 目标空间 9 8.41 …
f2 目标空间 25 24.01 …
2.9 3 8.41 9 0.81 1
•
定义2：给定一个多目标优化问题
Min
ur f
(
X
)，称
X*是最优解(即Pareto optimal solution)，
若 X ，满足下列条件：
一般描述
• 给定决策向量，它满足下列约束：
gi ( X ) 0 i 1, 2,L , k (1)
hi ( X ) 0 i 1, 2,L ,l (2)
• 设有r个优ur f ( X ) ( f1( X ), f2 ( X ),L , fr ( X )) (3)
多目标进化算法简介
郑金华
jhzheng@
多目标进化算法历史
• 1967年Rosenberg就建议采用基于进化的搜索来处理多目 标优化问题。
• 1984年，David Schaffer首次在机器学习中实现了向量评估 遗传算法。
• 1989年David Goldberg在其著作《Genetic algorithms for search, optimization, and machine learning》中，提出了 用进化算法实现多目标的优化技术。
• 从2001年以来，每二年召开一次有关多目标进化的国际会 议(EMO：evolutionary multi-criterion optimization)
• 国际刊物“IEEE Transactions on Evolutionary Computation”(1997年创刊)
• Evolutionary Computation (1993年创刊) • Genetic Programming and Evolvable Machines (1999年)
• 2.300 5.290
• 2.400 5.760
• 2.500 6.250
• 2.600 6.760
• 2.700 7.290
• 2.800 7.840
• 2.900 8.410
• ………..
f2 25.000 24.010 23.040 22.090 21.160 20.250 19.360 0.000 0.010
•
其中：
ur X f :¡
r
(3) (4)
• 这里Ω为满足式(1)和式(2)的可行解集，即：
{X n | gi (X ) 0, hj (X ) 0;(i 1, 2, , k; j 1, 2, ,l)}
•
我们称Ω为决策变量空间(简称决策空间)，向量函数
ur f
(X将)
¡ n 映射到集合 ¡ r，∏是目标函数空间(称目标空间)。
• 如果f (X1) f (X2)，则称 X1 比 X 2 更优越； • 定义 X* ：
• 若X*比更优越的X 不存在，则称X*为弱Pareto
最优解。
• 若X*比任何X 都优越，则称X*为完全Pareto 最优解。
0.49
• 1.4 1.96
0.36
• 1.5 2.25
0.25
• 1.6 2.56
0.16
• 1.7 2.89
0.09
• 1.8 3.24
0.04
• 1.9 3.61
0.01
•2
4
0
Pareto最优解
•
定义4：给定一个多目标优化问题
Min
ur f
(
X
)
，设
X1
,
X
2
• 如果f (X1) f (X2)，则称 X1 比 X 2优越；
•
定义3：给定一个多目标优化问题
Min
ur f(
X
)
，
•
若 X*
，且不存在其它的
*
X
使得：
• f j (X *) f j (X *)，( j 1,2,L ,r) 成立，且其中至少一
个是严格不等式，
•
则称X*是
ur Min f ( X )
的Pareto最优解。
• X f1
f2
•0
0
4
• 0.1 0.01
3.61
• 0.2 0.04
3.24
• 0.3 0.09
2.89
• 0.4 0.16
2.56
• 0.5 0.25
2.25
• 0.6 0.36
1.96
• 0.7 0.49
1.69
• 0.8 0.64
1.44
• 0.9 0.81
1.21
•1
1
1
• 1.1 1.21
0.81
• 1.2 1.44
0.64
• 1.3 1.69
0.040 0.090 0.160 0.250 0.360 0.490 0.640 0.810
Pareto最优解基本定义
• 多目标优化的最优解称为Pareto最优解。(1896年
Vilfredo Pareto）
•
定义1：给定一个多目标优化问题
ur f
(X
)，它的最优解x*定义为：
•
ur
uur
f ( X * ) opt f ( X )
• 寻求 X* (x1*, x2*,L , xn*) ，使ufr(X *)在满足约束(1)和(2)的同时 达到最优。
例子
• 决策变量x,满足约束条件：-3≤x ≤ 3 • 设有2个优化目标：f(x)=(f1(x),f2(x)),其中 • f1=x2 • f2=(x-2)2 • 求解x*,使得f(x*)同时达到最小。
• 或者 ( fi ( X ) fi ( X *))
(5)
iI
• 或至少存在一个 j I ，I={1，2，…r},使：
• fj(X) fj(X*)
(6)
• 其中Ω满足式(1)和式(2)的可行解集，即：
{X n | gi (X ) 0, hj (X ) 0;(i 1, 2, , k; j 1, 2, ,l)}
基本概念
• 进化算法(evolutionary algorithm, EA)得到 了非常广泛应用。
• 现实中，一般对多个目标同时优化，往往 优化的多个目标之间是相互冲突。
• 如：企业生产中，产品质量与生产成本的 关系。
• 为达到总目标的最优化，对各子目标进行 折衷，出现了多目标进化算法(multiobjective EA,MOEA)。
值空间分布图
•X
f1
• -3.000 9.000
• -2.900 8.410
• -2.800 7.840
• -2.700 7.290
• -2.600 6.760
• -2.500 6.250
• -2.400 5.760
• 2.000 4.000
• 2.100 4.410
• …………
• 2.200 4.840