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圆锥曲线联立及韦达定理

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圆锥曲线联立及韦达定理

1、圆锥曲线与直线的关系

椭圆与双曲线与给定直线的关系通过联立方程所得解的情况来判定：

椭圆：22221xyab(0)ab

双曲线：22221xyab(0)ab、

直线：ykxm

(PS：这里并没有讨论椭圆的焦点在y轴、双曲线的焦点在y轴及直线斜率不存的情况，做题需要补充)

（1）椭圆与双曲线联立：

222222212()10kkmmxxabbb

(PS：联立时选择不通分，原因？看完就知道了)

类一元二次方程：20AxBxC

2221()kAab，所以0A，即方程为一元二次方程。

判别式：24BAC

222222221()4()(1)kmkmbabb

化解得：22222214()kmabab

1) 当0，方程无实根，直线与椭圆没有交点；

2) 当0，方程有两个相同的根，直线与椭圆相切；

（相切是因为重根，而不是只有一个根）

3) 当0，方程有两个不同的实根，直线与椭圆相交.

2

（2）双曲线与直线联立：

222222212()10kkmmxxabbb

类一元二次方程中，2221()kAab，22()kmBb

22222214()kmabab

1) 当0,0AB时，方程为10，无解，直线与双曲线相离；（此时为渐近线）

2) 当0,0AB时，方程为一元一次方程，只有一个解，直线与双曲线只有一个交点（此时为渐近线的平行线）

3) 当0,0A时，一元二次方程无实数解，直线与双曲线相离；

4) 当0,0A时，一元二次方程有两个相同实数解，直线与双曲线相切；

5) 当0,0A时，一元二次方程有两个不同实数解，直线与双曲线相交.

PS：注意双曲线与直线联立和椭圆与直线联立的方程及最后判定的异同！

3

2、联立方程与韦达定理

（1）韦达定理：

20AxBxC运用韦达定理的前提：0,0A

12BxxA， 12CxxA， 2121212()4xxxxxxA

（2）椭圆与直线联立相关的韦达定理：

222222212()10kkmmxxabbb

21222221kmbxxkab；

221222211mbxxkab；

22222212222121kmababxxkab

由ykxm可得到关于y的韦达定理：

121212()()()2yykxmkxmkxxm

22222222212()1kmkmbabkab

21222221mayykab；

2212121212()()()yykxmkxmkyykmxxm

4

2222222222221(1)()()1mkmkkkmmbbabkab

222122221mkayykab；

121212()()yykxmkxmkxx

22222212222121kmkababyykab；

（3）双曲线与直线联立相关的韦达定理：

222222212()10kkmmxxabbb

21222221kmbxxkab；

221222211mbxxkab；

22222212222121kmababxxkab

由ykxm可得到关于y的韦达定理：

121212()()()2yykxmkxmkxxm

22222222212()1kmkmbabkab

5

21222221mayykab；

2212121212()()()yykxmkxmkyykmxxm

2222222222221(1)()()1mkmkkkmmbbabkab

222122221mkayykab；

121212()()yykxmkxmkxx

22222212222121kmkababyykab；

PS：1、所有韦达定理所得的结果分母都一样，之后的处理就不需要通分；2、记住部分结论（联立的一元二次方程和判别式必须记住）会事半功倍；3、双曲线相关的式子与椭圆相关式子的区别，所有带2b项变号。

原因：椭圆的双曲线方程化解之后均是222221xyaac。椭圆中22ac，令222bac；双曲线中22ac，令222bac。

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韦达定理的应用 讲义及练习

韦达定理的应用 讲义及练习

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韦达定理的应用-教师版

一.综述

直线与圆锥曲线相交问题是解析几何综合题中最典型问题,主要考查二次方程韦达定理的应用.一般地解题的框架为:1、直线方程代入曲线方程,判别式保证有两解,准备好韦达定理; 2、主要目标分析,合理转化;3、韦达定理代入,整理求解.

二.例题精讲 破解规律

例1. 已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与 交于 ， 两点，设 ，证明：

， ；

分析:设直线 的方程为：

，与抛物线联立得 ，利用韦达定理即可证得；

答案:见解析

解析:设直线 的方程为：

，

联立方程

化简得： ,易知

所以 ，而

．

点评:当直线恒过x轴上的点时,可以考虑设直线方程为 这样联立方程消去x比较容易.

规律总结:直线与圆锥曲线相交问题,可以利用韦达定理设而不求来解决问题.要注意联立后的二次方程判别式是否为正.

现学现用1: 椭圆

离心率为

， ， 是椭圆的左、右焦点，以 为圆心， 为半径的圆和以 为圆心、 为半径的圆的交点在椭圆 上.

(1)求椭圆 的方程；

(2)设椭圆 的下顶点为 ，直线

与椭圆 交于两个不同的点 ，是否存在实数

使得以 为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由.

解析：

（1）由题知,解得，故,椭圆的方程为

（2）由题意知 ，联立方程

，整理得 ，

（化简可得），①

设，则，

,设 中点为 ， >0,0n

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高中数学圆锥曲线系统讲解第19讲《韦达定理之设而不求》练习及答案

高中数学圆锥曲线系统讲解第19讲《韦达定理之设而不求》练习及答案

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第19讲 韦达定理之设而不求

知识与方法

在圆锥曲线的大题中，将直线与圆锥曲线的方程联立，消去y（或x）整理得出关于x

（或y）的一元二次方程是常规操作，如果设直线与圆锥曲线的交点分别是()

11,Axy、

()

22,Bxy，很多时候我们都不去求这两个交点的坐标，而是直接根据交点坐标会满足上面得

到的关于x（或y）的一元二次方程，借助韦达定理来计算其他需要用到的量，这种处理方

法叫做设而不求.

一般地，若联立后得到的关键方程用20axbxc++=()

0a来表示，其判别式

24bac=−，则：

（1）

12b

xx

a+=−；（2）

12c

xx

a=；

（3）

()22

2

1212122244

4bcbac

xxxxxx

aaaa−

−=+−=−==；

（4）()2

222

12121222

2bac

xxxxxx

a−

+=+−=；（5）12

121211xxb

xxxxc+

+==−.

借助韦达定理及其推论，我们可以计算很多关于

1x和

2x的具有对称结构的代数式.

典型例题

1.（★★★）

设A、B为曲线2

:

4x

Cy=上两点，A与B的横坐标之和为4.

（1）求直线AB的斜率；

（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AMBM⊥，求直线AB

的方程.

【解析】（1）设()

11,Axy，()

22,Bxy，则

124xx+=，且2

11

2

224

4xy

xy=

=，两式作差得：

()()()

1212124xxxxyy+−=−，所以1212

121

4yyxx

xx−+

==

−，故直线AB的斜率为1.

（2）解法1：设2

0

0,

4x

Mx



，

2xy=，由（1）可得，01

2x

=，故

02x=，所以()

2,1M，

设直线AB的方程为yxt=+

，联立

24yxt

xy

==+

消去y整理得：2440xxt−−=，

判别式16160t=+

，故1t−

，

由韦达定理，

124xx+=，

124xxt=−，

1212242yyxxtt+=++=+，2

(完整版)解圆锥曲线问题常用方法及性质总结

(完整版)解圆锥曲线问题常用方法及性质总结

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解圆锥曲线问题常用方法+椭圆与双曲线的经典结论+椭圆与双曲线的对偶性质总结

解圆锥曲线问题常用以下方法：

1、定义法

（1）椭圆有两种定义。第一定义中，r1+r2=2a。第二定义中，r1=ed1 r2=ed2。

（2）双曲线有两种定义。第一定义中，arr221，当r1>r2时，注意r2的最小值为c-a：第二定义中，r1=ed1，r2=ed2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。

（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。

2、韦达定理法

因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。

3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB中点为M(x0,y0)，将点A、B坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：

（1）)0(12222babyax与直线相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)，则有02020kbyax。

（2）)0,0(12222babyax与直线l相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)则有02020kbyax

（3）y2=2px（p>0）与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p.

椭圆与双曲线的对偶性质总结

椭 圆

专题14 圆锥曲线中的定值定点问题(解析版)

专题14 圆锥曲线中的定值定点问题(解析版)

专题14 圆锥曲线中的定值定点问题

1．（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过30,2,,12AB两点．

(1)求E的方程；

(2)设过点1,2P的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足MTTH．证明：直线HN过定点．

【答案】(1)22143yx

(2)(0,2)

【解析】

【分析】

（1）将给定点代入设出的方程求解即可；

（2）设出直线方程，与椭圆C的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解.

(1)解：设椭圆E的方程为221mxny，过30,2,,12AB，

则41914nmn，解得13m，14n，

所以椭圆E的方程为：22143yx.

(2)3(0,2),(,1)2AB，所以2:23AByx，

①若过点(1,2)P的直线斜率不存在，直线1x.代入22134xy，

可得26(1,)3M，26(1,)3N，代入AB方程223yx，可得

26(63,)3T，由MTTH得到26(265,)3H.求得HN方程：

26(2)23yx，过点(0,2).

①若过点(1,2)P的直线斜率存在，设1122(2)0,(,),(,)kxykMxyNxy.

联立22(2)0,134kxykxy得22(34)6(2)3(4)0kxkkxkk，

可得1221226(2)343(4)34kkxxkkkxxk，12222228(2)344(442)34kyykkkyyk， 且1221224(*)34kxyxyk

联立1,223yyyx可得111113(3,),(36,).2yTyHyxy