专题34 逆用导数的四则运算法则构造函数【方法点拨】1.已知中同时出现关于f (x )、f ′(x )的不等关系，应考虑“逆用导数的四则运算法则”构造函数.2. 常见的构造函数:①对于()()0(0)xf x f x '+><，构造()()h x xf x '=；一般的，对于()()0(0)xf x nf x '+><，构造()()nh x x f x =．②对于()()0(0)xf x f x '-><，构造()()xx f x h =；一般的，对于()()0(0)xf x nf x '-><，构造()()n f x h x x=． ③对于()()0(0)f x f x '-><，构造()()xe xf x h =；一般的，对于()()0(0)f x nf x '-><，构造()()nxf x h x e =． ④对于()()0(0)f x f x '+><，构造()()x f e x h x=；一般的，对于()()0(0)f x nf x '+><，构造()()nxh x e f x =．⑤对于()()tan (()()tan )f x f x x f x f x x ''><或，即()cos ()sin 0(0)f x x f x x '-><，构造()()cos h x f x x =．⑥对于()cos ()sin 0(0)f x x f x x '+><，构造()()cos f x h x x=． ⑦对于()0()f x f x '>，构造()ln ()h x f x =. ⑧对于()ln ()0(0)f x af x '+><，构造()()xh x a f x =. ⑨对于()()ln 0(0)f x f x x x'+><，构造()()ln h x f x x =. 导数构造不用慌，遇和为乘差为商，构得函数莫骄傲，弄错奇偶白求忙.【典型题示例】例1 已知函数y ＝f (x )对于任意的x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x >0(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，则下列不等式不成立的是( ) A.2f ⎝⎛⎭⎫π3<f ⎝⎛⎭⎫π4 B.2f ⎝⎛⎭⎫－π3<f ⎝⎛⎭⎫－π4C ．f (0)<2f ⎝⎛⎭⎫π4D ．f (0)<2f ⎝⎛⎭⎫π3 【答案】 A【解析】 构造F (x )＝f (x )cos x 形式，则F ′(x )＝f ′(x )cos x ＋f (x )sin xcos 2x ，导函数f ′(x )满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x >0， 则F ′(x )>0，F (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增． 把选项转化后可知选A.例2 已知()f x '为()f x 的导函数，且满足()01f =，对任意的x 总有()()22f x f x '->，则不等式()223xf x e +≥的解集为__________．【答案】[)0,+∞【分析】结合已知“()()22f x f x '->”及所求“()223xf x e +≥”，构造新函数()()22ex f x g x +=，利用已知条件()()22f x f x '->，可以判断()g x 单调递增，利用()g x 的单调性即可求出不等式的解集【解析】设函数()()22ex f x g x +=，则()()()()222221()22222e x x x x f x e e f x f x f x g x e '⋅-⋅⋅+⎡⎤⎣⎦'--'==⎛⎫ ⎪⎝⎭又()()22f x f x '-> ()0g x '∴>所以()g x 在R 上单调递增，又()()0023g f =+= 故不等式2()23xf x e +≥ 可化为()(0)g x g ≥ 由()g x 的单调性可得该不等式的解集为[)0,+∞． 故答案为：[)0,+∞例 3 已知偶函数()f x (x ≠0)的导函数为()f x '，(e)e f =，当x ＞0时，()2()0xf x f x '->，则使21(1)(1)ef x x ->-成立的x 的取值范围是 ．（其中e 为自然对数的底数）【答案】()(),11,e e -∞-⋃++∞【分析】利用()2()0xf x f x '->构造函数2()()f x F x x=，再使用函数的单调性、奇偶性即可.【解析】设2()()f x F x x=，则243()2()()2()()f x x xf x f x x f x F x x x ''--'== ∵x ＞0时，()2()0xf x f x '->∴当x ＞0时，()0F x '>，故()F x 在（0，+∞）单增 又(e)e f =，所以1()F e e=∵()f x 是偶函数 ∴()F x 也是偶函数，且()F x 在（－∞，0）单减21(1)(1)ef x x ->-等价于2(1)1(1)e f x x ->-，即(1)()F x F e ->由()F x 是偶函数且()F x 在（0，+∞）单增 得1x e ->，解之得11x e x e >+<-或.例4 定义在（0，+∞）上的函数f(x)对不等式2f (x )＜xf′(x )＜3f (x )恒成立，且f (x )＞0在（0，+∞）上恒成立，则下面正确的是（ ）A.4＜f (2)f (1)＜16；B.4＜f (2)f (1)＜8；C.3＜f (2)f (1)＜4；D.2＜f (2)f (1)＜4.【答案】B 【解析】设F (x )=f (x )x 2（x ∈（0，+∞）），则F’(x )=f’(x )x 2−2xf (x )x 4=f’(x )x−2f (x )x 3∵2f (x )＜xf′(x )∴F’(x )＞0在（0，+∞）上恒成立，F (x )在（0，+∞）上单增 ∴F (2)＞F (1)，即f (4)4＞f (1)1，故f (2)f (1)＞4.设G (x )=f (x )x 3（x ∈（0，+∞）），则G’(x )=f’(x )x 3−3x 2f (x )x 6=f’(x )x−3f (x )x 4∵xf′(x )＜3f (x )∴G’(x )＜0在（0，+∞）上恒成立，F (x )在（0，+∞）上单减 ∴G (2)＜G (1)，即f (2)8＜f (1)1，故f (2)f (1)＜8.综上得，4＜f (2)f (1)＜8.例5 (多选题)定义域在R 上函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()2'2f x f x <-，()211f e =-，则下列正确的是（ ）A ．()00f >B ．()421f e >-C ．()()()2021202021f ef e ->-D ．()()22202120201f e f e ->-【答案】BCD【分析】根据题意构造函数，利用导数判断单调性，即可求解. 【解析】由题意，构造函数2()1()x f x g x e +=，则2()2(()1)()xf x f xg x e'-+'=， 由()()2'2f x f x <-可知()0g x '>， 所以2()1()x f x g x e +=在R 上单调递增，且2(1)1(1)1f g e+==， 故(0)(1)1g g <=，即(0)11f +<，(0)0f <，A 错误； 由(2)(1)1g g >=可得()421f e >-，故B 正确； 当1x >时，()(1)1g x g >=，所以2()11xf x e+>，()0f x >， 所以()()()22f x f x f x '<<-，()()02f x f x '-->， 令()()2,1xf x h x x e+=>，则()()()20xf x f x h x e''--=>，所以()h x 单调递增，()()20212020h h >，即()()202120202202122020f f ee>++，所以()()2220212020f ef e >++，()()()2021202021f ef e ->-， 故C 正确；由(2021)(2020)g g >可得()()22202120201f e f e ->-，故D 正确； 故选：BCD.例 6 设f (x )是定义在R 上的可导函数，且满足f (x )＋xf ′(x )>0，则不等式f (x ＋1)>x －1·f (x 2－1)的解集为________． 【答案】 [1,2) 【解析】设F (x )＝xf (x )，则由F ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )>0，可得函数F (x )是R 上的增函数． 又x ＋1>0，∴由f (x ＋1)>x －1f (x 2－1)可变形得x ＋1f (x ＋1)>x 2－1f (x 2－1)，即F (x ＋1)>F (x 2－1)，∴⎩⎨⎧x ＋1>x 2－1，x ≥1，解得1≤x <2. 【巩固训练】1.（多选题）已知定义在[0,)2π上的函数()f x 的导函数为()f x '，且(0)0f =，()cos ()sin 0f x x f x x '+<，则下列判断中正确的是( )A．()()64f f ππB ．()03f ln π>C ．()2()63f f ππ> D．()()43f ππ>2.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，其导函数为()f x '，且当0x >时，()()0f x f x lnx x'⋅+>，则不等式2(1)()0x f x -<的解集为( ) A ．(1,1)-B ．(-∞，1)(0-⋃，1)C ．(-∞，1)(1-⋃，)+∞D ．(1-，0)(1⋃，)+∞3.设函数()f x 是定义在(1,)-+∞上的连续函数，且在0x =处存在导数，若函数()f x 及其导函数()f x '满足()()(1)1f x f x ln x x x '+=-+，则函数()(f x ) A ．既有极大值又有极小值 B ．有极大值，无极小值 C ．有极小值，无极大值D ．既无极大值也无极小值4.设()f x 是定义在(0,)+∞上的可导函数，且()'()f x xf x <-，则不等式2(1)(1)(1)f x x f x +>--的解集是（ ）A. (0,1)B. (1,)+∞C. (1,2)D. (2,)+∞ 5．定义在R 上的可导函数()f x ，当()1,x ∈+∞时，()()()10x f x f x '-->恒成立，()())12,3,12a fb fc f===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．c a b <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c b a << 6上的函数，是它的导函数，且恒有成立．则（ ）()f x ()'f x ()()'tan f x f x x >⋅ABCD7．函数的导函数为，对任意的，都有)()(x f x f >'成立，则（ ） A.)3(ln 2)2(ln 3f f > B.)3(ln 2)2(ln 3f f <C.)3(ln 2)2(ln 3f f =D.)2(ln 3f 与)3(ln 2f 的大小不确定8.函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x ＋1的解集为______．9.已知定义在R 上的奇函数()f x ，设其导函数为()'f x ，当(],0x ∈-∞时，恒有()()'xf x f x <-，则满足()()()1212133x f x f --<的实数x 的取值范围是 ． 10. 设奇函数f (x )定义在(－π，0)∪(0，π)上其导函数为f '(x )，且f (π2)＝0，当0＜x ＜π时，f '(x )sin x－f (x )cos x ＜0，则关于x 的不等式f (x )＜2f (π6)sin x 的解集为 ．11. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，记()f x 的导函数为()f x '，当0x 时，满足()()0f x f x '->，若存在x R ∈，使不等式2[(22)]()x x f e x x f ae x -++成立，则实数a 的最小值为___________.12. 定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足()0f x >，()f x '为()f x 的导函数，且2()()3()f x xf x f x '<<对(0,)x ∈+∞恒成立，则(2)(3)f f 的取值范围是 ． 13. 已知函数()f x 的导函数为()f x '，若()()2()f x xf x f x x '<<-对(0,)x ∈+∞恒成立，则下列不等式中，一定成立的是( ) A ．(2)1(2)322f f f +<<(1)； B ．(2)1(2)422f f f +<<(1)； C ．3(2)(2)1832f f f <<+(1)； D ．(2)13(2)428f f f +<<(1). 14.已知定义域为R 的函数()f x 的导函数为()f x '，且3()2()x xf x x e f x '=+，若f （2）244e =+，则函数()()4g x f x =-的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．415.函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R ∈x ，2)(>'x f ，则42)(+>x x f 的解集为 .16.设函数f (x )是定义在(－∞，0)上的可导函数，其导函数为f ′(x )，且有2f (x )＋xf ′(x )>x 2，则()f x ()f x 'x R ∈不等式(x ＋2 020)2f (x ＋2 020)－4f (－2)>0的解集为________．【答案与提示】1.【答案】CD【分析】结合已知可构造()()cos f x g x x =，1[0,)2x π∈，结合已知可判断()g x 的单调性，结合单调性及不等式的性质即可判断． 【解答】令()()cos f x g x x =，1[0,)2x π∈， 因为()cos ()sin 0f x x f x x '+<， 则2()cos ()sin ()0f x x f x xg x cos x'+'=<，故()g x 在[0，1)2π上单调递减，因为(0)0f =，则()0f x ，结合选项可知，()()64g g ππ>()()f f ππ>，即()()64f f ππ，故A 错误，因为103ln π>，结合()g x 在在[0，1)2π上单调递减可知1()03g ln π<，从而有1()301cos 3f ln ln ππ<， 由1cos 03ln π>可得1()03f ln π<，故B 错误；1()()63g g ππ>，1()()312f f ππ>，且1()03f π<，即11()()2()633f f πππ>>．故C正确；1()()43g g ππ>1()()312f f ππ>即1()()43f ππ．故D 正确．故选：CD ． 2.【答案】B【解析】令()()g x f x lnx =，则()()()0f x g x f x lnx x'='+>， ()g x ∴在(0,)+∞时单调递增，又g （1）f =（1）10ln =，(0,1)x ∴∈时，()0g x <，(1,)x ∈+∞时，()0g x >，当(0,1)x ∈时，0lnx <，()0g x <，()0f x ∴>， (1,)x ∈+∞时，0lnx >，()0g x >，()0f x ∴>， ()0f x ∴>在(0,)+∞上恒成立，又()f x 是奇函数，(0)0f =， ()0f x ∴<在(,0)-∞上恒成立，①当0x >时，()0f x >，210x ∴-<，即01x <<， ②当0x <时，()0f x <，210x ∴->，即1x <-， 由①②得不等式的解集是(-∞，1)(0-⋃，1)， 故选：B ． 3.【答案】C【解析】函数()f x 是定义在(1,)-+∞上的连续函数，()()(1)1f x f x ln x x x '+=-+， 令()()(1)g x f x ln x =+，则()()()(1)1f x g x f x ln x x x '='++=+，21()(2g x x c c ∴=+为常数）， 函数()f x 是连续函数，且在0x =处存在导数，(0)(0)10g f ln ∴==，0c ∴=，21()2g x x ∴=， 21()()(1)2g x f x ln x x ∴=+=，2()2(1)x f x ln x ∴=+， 2221()[2(1)][2(1)(1)]2(1)12(1)(1)x xf x xln x x ln x x ln x x x ln x ∴'=+-=++-++++， 令()2(1)(1)h x x ln x x =++-，则()2(1)1h x ln x '=++，令()0h x '=，则x∴当1x -<<()0h x '<，此时()h x 单调递减；当x ()0h x '>，此时()h x 单调递增， 当1x →-时，()10h x →>，0h <，0(x ∴∃∈-使0()0h x =， 又(0)0h =，∴函数()h x 在(1,)-+∞的两个零点，分别为0x 和0， 当1x >-时，令()0f x '=，则0x x =，∴当0x x >时，()0f x '，当01x x -<<时，()0f x '<，()f x ∴在0(x ，)+∞上单调递增，在0(1,)x -上单调递减， ()f x ∴在(1,)-+∞上有极小值，无极大值．故选：C ． 4.【答案】D【解析】构造函数[()]'()'()0xf x f x xf x =+<，于是该函数递减，2(1)(1)(1)f x x f x +>--变形为22(1)(1)(1)(1)x f x x f x ++>--，于是22101011x x x x +>⎧⎪->⎨⎪+<-⎩，得2x >，选D. 5.【答案】A【解析】构造函数()()1f xg x x =-， 当()1,x ∈+∞时，()()()()()2101f x x f x g x x '--'=>-，即函数()g x 单调递增，则()()()22221f a f g ===-，()()()3133231f b fg ===-，)1fc fg===则()()23gg g <<，即c a b <<，选A ．6.【答案】A【解析】由()()'tan f x f x x >得()()'cos sin 0f x x f x x ->， 构造函数()()cos F x f x x =，则()'0F x >，故()F x 单调递增， 有cos cos 666333F f f F ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=<=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选A ． 7.【答案】B 【解析】令()()xf x h x e=,则()()()()()()()22'()''''x x x xxxxf x e f x e f x e f x e f x f x h x eee---===,因为()()()()''0f x f x f x f x >⇒->,所以在R 上()'0h x >恒成立.即函数()h x 在R 单调递增. 因为ln3ln2>, 所以()()ln3ln 2h h > 即()()()()()()ln3ln 2ln3ln 2ln3ln 22ln33ln 232f f f f f f e e >⇒>⇒>.答案选B ．8.【答案】 (0，＋∞)【解析】构造函数g (x )＝e x ·f (x )－e x ，因为g ′(x )＝e x ·f (x )＋e x ·f ′(x )－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )]－e x >e x －e x ＝0，所以g (x )＝e x ·f (x )－e x 为R 上的增函数．又因为g (0)＝e 0·f (0)－e 0＝1，所以原不等式转化为g (x )>g (0)，解得x >0. 9.【答案】()1,2-10.【答案】(－π6，0)∪(π6，π)【分析】这是一道难度较大的填空题，它主要考查奇函数的单调性在解不等式中的应用，奇函数的图象关于坐标原点中心对称，关于原点对称的区间上具有相同的单调性；在公共定义域上两个奇函数的积与商是偶函数，偶函数的图象关于y 轴轴对称，关于原点对称的区间上具有相反的单调性，导数是研究函数单调性的重要工具，大家知道(fg )'＝f 'g －fg 'g 2，(sin x )'＝cos x ，于是本题的本质是构造f (x )sin x 来解不等式【解析】设g(x )=f (x )sin x ，则g ' (x )= (f (x )sin x )'＝f '(x )sin x －f (x )cos x sin 2x， 所以当0＜x ＜π时，g ' (x )<0，g(x ) 在(0，π)上单调递减又由于在(0，π)上sin x ＞0，考虑到sin π6＝12，所以不等式f (x )＜2f (π6)sin x 等价于f (x )sin x ＜f (π6)sin π6，即g(x )< g (π6),所以此时不等式等价于π6＜x ＜π. 又因为f (x ) 、sin x 为奇函数，所以g(x )是偶函数，且在(－π，0)上sin x ＜0，所以函数g(x )在(－π，0)是单调递增函数，原不等式等价于g(x )＞g(－π6)=f (－π6)sin(－π6)，所以此时不等式等价于－π6＜x ＜0， 综上，原不等式的解集是(－π6，0)∪(π6，π)． 11.【答案】11e- 【解析】令()()(0)x f x g x x e =，则()()()0x f x f x g x e'-'=>（当0x 时，满足()()0)f x f x '->，从而()g x 在[0，)+∞上单调递增，所以当0x >时，()()(0)0x f x g x g e =>=，从而当0x >时，()0f x >； 当0x 时，()0f x （当0x =时取等号），又当0x 时，()()0f x f x '->，即()()0f x f x '>，所以()f x 在[0，)+∞上单调递增，由于()f x 是定义在R 上的奇函数，从而()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；不等式222[(22)]()(22)22x x x x x f e x x f ae x e x x ae x a x x xe --++⇔-++⇔-+-． 令2()22x h x x x xe -=-+-，则原问题等价于()a h x 有解，从而()min a h x ，()22()(1)(2)x x x h x x e xe x e ---'=---=-+，()h x ∴在(,1)-∞上单减，在(1,)+∞上单增， ∴1()(1)1min a h x h e ==-， 所以a 的最小值为11e-．12. 【解析】令3()()f x g x x=，则3264()3()()3()()f x x x f x xf x f x g x x x '-'-'==， ()3()xf x f x '<，即()3()0xf x f x '-<， ()0g x ∴'<在(0,)+∞恒成立，即有()g x 在(0,)+∞递减，可得g （2）g <（1），即(2)(1)81f f <， 由2()3()f x f x <，可得()0f x >，则(2)8(1)f f <； 令2()()f x h x x=，243()2()()2()()f x x xf x xf x f x h x x x '-'-'==， ()2()xf x f x '>，即()2()0xf x f x '->，()0h x ∴'>在(0,)+∞恒成立，即有()h x 在(0,)+∞递增，可得h （2）h >（1），即(2)4f f >（1），则(2)4(1)f f >． 即有(2)48(1)f f <<． 13.【解析】设2()()f x xg x x -=，()()f xh x x=，(0,)x ∈+∞， 则243[()1]2[()]()2()()f x x x f x x xf x f x x g x x x '---'-+'==， 2()()()xf x f x h x x '-'=， 因为()()2()f x xf x f x x '<<-对(0,)x ∈+∞恒成立，所以()0g x '<，()0h x '>，所以()g x 在(0,)+∞上单调递减，()h x 在(0,)+∞上单调递增，则g （1）g >（2），h （1）h <（2），即22(1)1(2)212f f -->，(1)(2)12f f <，即(2)142f f +<（1）(2)2f <， 故选：B ．14.【答案】B【分析】由3()2()x xf x x e f x '=+的结构特征，逆向使用导数的四则运算法则构造函数，求出()f x 的解析式.【解析】由3()2()x xf x x e f x '=+，可得24()2()x x f x xf x x e '-=，则24()2()x x f x xf x e x '-=，即2()()x f x e x'=， 设2()x f x e C x=+，2()()x f x x e C =+， 又f （2）244e =+，所以22444()e e C +=+，所以1C =，所以2()(1)x f x x e =+，所以2()()4(1)4x g x f x x e =-=+-，2()2(1)(22)x x x x g x x e x e x xe e '=++=++，令()22x x h x xe e =++，()2(3)x x x x h x e xe e x e '=++=+，令()0h x '=，得3x =-， 当(,3)x ∈-∞-时，()0h x '<，()h x 单调递减，当(3,)x ∈-+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增， 所以()h x 的最小值为3(3)20h e --=-+>，则对于()(22)x x g x x xe e '=++，令()0g x '<，可得0x <，令()0g x '>，可得0x >，所以()g x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，所以()g x 的最小值为(0)40g =-<，当x →-∞时，()g x →+∞，当x →+∞时，()g x →+∞， 所以函数()g x 的零点个数为2．故选：B ．点评：作为选择题，求出2()(1)x f x x e =+后，欲判断零点个数，直接分离函数241x e x +=转化为1x y e =+与24y x =交点的个数，则秒杀！ 15.【答案】（1-，+∞）【分析】题目应归结为“解抽象函数型不等式”问题，解决方法是“逆用函数的单调性”.题目中哪个条件能让你联想到“函数的单调性”呢？注意到已知中2)(>'x f ，只需构造函数()g x ，使得()()2g x f x ''=-，不难得到()()2g x f x x c =-+（这里c 为常数，本题中取0c =），进而利用()g x 的单调性，即可找到解题的突破口.【解析】构造函数()()2g x f x x =-，则()g x '=()20f x '->，故()g x 单调递增，且(1)(1)214g f -=--⨯-=（）.另一方面所求不等式42)(+>x x f ， 就转化为()()(1)g x f x x g =->-，逆用单调性定义易知1x >，则不等式的解集为(－1，+∞).16.【答案】 (－∞，－2 022)【解析】 由2f (x )＋xf ′(x )>x 2，x <0，得2xf (x )＋x 2·f ′(x )<x 3，即[x 2f (x )]′<x 3<0，令F (x )＝x 2f (x )，则当x <0时，F ′(x )<0，即F (x )在(－∞，0)上是减函数．因为F(x＋2 020)＝(2 020＋x)2f(x＋2 020)，F(－2)＝4f(－2)，所以F(2 020＋x)－F(－2)>0，即F(2 020＋x)>F(－2)．又F(x)在(－∞，0)上是减函数，所以2 020＋x<－2，即x<－2 022.。
