微专题玩转古典概型【题型归纳目录】题型一：“放回”与“不放回”问题题型二：概率模型的多角度构建题型三：“正难则反”思想，利用对立事件求概率题型四：古典概型的综合应用【方法技巧与总结】古典概型求概率问题在考试中经常出现，在解决这类问题时，首先要审题，正确理解样本点与事件的关系，求某个事件包含的样本点的常用方法是列举法(画树状图、列表)．注意做到不重不漏，对于用直接方法难以解决的问题，可以先求其对立事件的概率，再求所求概率．【典型例题】题型一：“放回”与“不放回”问题1(2024·高二·广东佛山·期中)下面的三个游戏都是在袋子中装球，然后从袋子中不放回地取球，分别计算三个游戏中甲获胜的概率，其中游戏公平的是()游戏1游戏2游戏3袋子中球的数量和颜色1个红球和1个白球2个红球和2个白球3个红球和1个白球取球规则取1个球依次取出2个球依次取出2个球获胜规则取到红球→甲胜两个球同色→甲胜两个球同色→甲胜取到白球→乙胜两个球不同色→乙胜两个球不同色→乙胜A.游戏1和游戏3B.游戏2C.游戏1和游戏2D.游戏32(2024·高一·甘肃武威·阶段练习)一个盒子中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4，先从盒子中随机取出一个球，该球的编号记为m，将球放回盒子中，然后再从盒子中随机取出一个球，该球的编号记为n．(1)列出试验的样本空间；(2)求“mn>4”的概率．3(2024·高一·河南平顶山·期末)某商场为鼓励大家消费，举行摸奖活动，规则如下：凭购物小票一张，每满58元摸奖一次，从装有除颜色外完全相同的1个红球和4个白球的箱子中一次性随机摸出两个小球，若两球中含有红球，则为中奖，否则为不中奖.每次摸奖完毕后，把小球放回箱子中.甲､乙共有购物小票一张，购物金额为m元，两人商量，先由一人摸奖，若中奖，则继续摸奖，若不中奖，就由对方接着摸奖，并通过掷一枚质地均匀的硬币决定第一次由谁摸奖.(1)若m=60，求这两人中奖的概率；(2)若m=240，求第一次由甲摸奖，最后一次也是甲摸奖的概率.【方法技巧与总结】抽取问题是古典概型的常见问题，解决此类问题需要注意两点：一是所给问题是否需要将被抽取的个体进行区分才能满足古典概型的条件，二是看抽取的方式是有放回还是不放回，两种抽取方式对样本点的总数有影响．另外，不放回抽样看作无序或有序抽取均可，有放回抽样要看作有序抽取．题型二：概率模型的多角度构建1口袋里装有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，4个人按顺序依次从中摸出一个球.试计算第二个人摸到白球的概率.2(2024·高三·天津南开·阶段练习)甲、乙二人做掷骰子游戏，两人掷同一枚骰子各一次，则至少出现一个5点或6点的概率是；如果谁掷的点数大谁就取胜，则甲取胜的概率为.3(2024·高一·辽宁·期末)一只口袋有形状大小质地都相同的4只小球，这4只小球上分别标记着数字1,2,3,4.甲乙丙三名学生约定：(i)每个不放回地随机摸取一个球；(ii)按照甲乙丙的次序一次摸取；(iii)谁摸取的球的数字最大，谁就获胜.用有序数组a,b,c表示在一次试验中，甲摸取的是数字1，乙摸 表示这个试验的基本事件，例如：1,4,3取的是数字4，丙摸取的是数字3；3,1,2表示在一次实验中，甲摸取的是数3，乙摸取的是数字1，丙摸取的是数字2.(Ⅰ)列出基本事件，并指出基本事件的总数；(Ⅱ)求甲获胜的概率；(Ⅲ)写出乙获胜的概率，并指出甲乙丙三名同学获胜的概率与其摸取的次序是否有关？4(2024·高一·河南商丘·期末)某班同学利用春节进行社会实践，对本地[25,55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，将生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图．序号分组(岁)本组中“低碳族”人数“低碳族”人数在本组所占的比例1[25, 30)1200.62[30, 35)195p3[35, 40)1000.54[40, 45)a0.45[45, 50)300.36[55, 60)150.3(一)人数统计表 (二)各年龄段人数频率分布直方图(1)在答题卡给定的坐标系中补全频率分布直方图，并求出n、p、a的值；(2)从[40,50)岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动．若将这6个人通过抽签分成甲、乙两组，每组的人数相同，求[45,50)岁中被抽取的人恰好又分在同一组的概率．【方法技巧与总结】当事件个数没有很明显的规律，并且涉及的样本点又不是太多时，我们可借助树状图直观地将其表示出来，这是进行列举的常用方法．树状图可以清晰准确地列出所有的样本点，并且画出一个树枝之后可猜想其余的情况．另外，如果试验结果具有对称性，可简化结果以便于模型的建立与解答．题型三：“正难则反”思想，利用对立事件求概率1(2024·高一·山西·期末)已知不透明的袋中装有3个红球、2个白球，这些球除颜色外没有其他差异，从中不放回地依次随机摸出2个球.(1)求摸出的两球都是红球的概率；(2)求摸出的两球至少有一个红球的概率.2(2024·高一·全国·课后作业)现有7名学生，其中A1，A2，A3的数学成绩优秀，B1，B2的物理成绩优秀，C1，C2的化学成绩优秀.从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛.(1)求C1被选中的概率；(2)求A1和B1至多有一个被选中的概率.3(2024·高一·河南周口·期末)甲袋中有2个红球和1个白球，乙袋中有1个红球和2个白球，从甲、乙两袋中各摸出1个球.(1)求这两个球为1个红球和1个白球的概率；(2)求这两个球颜色相同的概率.4(2024·高一·全国·单元测试)将一枚均匀的骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：(1)两数中至少有一个奇数的概率；(2)以第一次向上的点数为x ，第二次向上的点数为y ，求x 2+y 2≥15的概率．【方法技巧与总结】在求解较复杂事件的概率时，可将其分解为几个互斥的简单事件的和事件，由公式P (A 1∪A 2∪⋯∪A n )=P A 1 +P A 2 +⋯+P A n 求得或采用正难则反的原则，转化为其对立事件，再用公式P (A )=1-P (A)求得．题型四：古典概型的综合应用1(2024·高一·福建厦门·期末)为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动.该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响．连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券．游戏规则如下表：游戏一游戏二游戏三箱子中球的颜色和数量大小质地完全相同的红球3个，白球2个(红球编号为“1，2，3”，白球编号为“4，5”)取球规则取出一个球有放回地依次取出两个球不放回地依次取出两个球获胜规则取到白球获胜取到两个白球获胜编号之和为m 获胜(1)分别求出游戏一，游戏二的获胜概率；(2)一名同学先玩了游戏一，试问m 为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大．2(2024·高一·宁夏石嘴山·期末)法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们(书籍的作者)一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流，阅读会让精神世界闪光”.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间(单位：分钟)进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示：(1)求频率分布直方图中a的值；(2)求样本每天阅读时间的第75百分位数；(3)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组[50,60)，[70,80)和90,100的年轻人中抽取5人，再从中任选3人进行调查，求其中恰好有2人每天阅读时间位于[70,80)的概率.3(2024·高二·广东清远·期末)人类的四种血型与基因类型的对应为O型的基因类型为ii,A型的基因类型为ai或aa,B型的基因类型为bi或bb,AB型的基因类型为ab．其中a和b是显性基因，i是隐性基因，且各基因类型是等可能的．(1)若甲的父亲血型是A型，母亲的血型基因类型为bi，求甲血型是A型的概率；(2)若乙的血型基因类型为bi，其母亲血型是B型，求其父亲血型是B型的概率．4(2024·高一·河南南阳·期末)某学校开设了街舞、围棋、武术三个社团，三个社团参加的人数如下表所示：社团街舞围棋武术人数484230为调查社团活动开展情况，学校社团管理部采用分层随机抽样的方法从中抽取一个样本，已知从围棋社团抽取的同学比从街舞社团抽取的同学少1人.(1)求三个社团分别抽取了多少同学；(2)已知从围棋社团抽取的同学中有2名女生，若从围棋社团被抽取的同学中随机选出2人担任该社团活动监督的职务，求至少有1名女同学担任监督职务的概率.【方法技巧与总结】游戏公平性的标准及判断方法(1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说获胜的可能性或概率是否相同．若相同，则规则公平，否则就是不公平．(2)具体判断时，可以求出按所给规则双方的获胜概率，再进行比较．【过关测试】1某比赛为甲、乙两名运动员制定下列发球规则，规则一：投掷1枚质地均匀的硬币，出现正面向上，甲发球，否则乙发球；规则二：从装有质地均匀的2个红球与2个黑球的布袋中随机取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球；规则三：从装有质地均匀的3个红球与1个黑球的布袋中随机取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球．则对甲、乙公平的发球规则是()A.规则一和规则二B.规则二和规则三C.规则一和规则三D.只有规则一2(2024·高一·湖南·阶段练习)有编号互不相同的五个砝码，其中3克、1克的砝码各两个，2克的砝码一个，从中随机选取两个砝码，则这两个砝码的总重量超过4克的概率为()A.310B.15C.25D.123将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)，先后抛掷两次，将得到的点数分别记为m ，n ，记向量a=2m -3,n -1 ，b =1,-1 的夹角为θ，则θ为钝角的概率是()A.518B.13C.1336D.11364(多选题)(2024·高一·江西南昌·期末)某中学高二学生500人，首选科目为物理的300人，首选科目为历史的200人，现对高二年级全体学生进行数学学科质量检测，按照分层抽样的原则抽取了容量为50的样本，经计算得到首选科目为物理的学生该次质量检测的数学平均成绩为95分，方差为154，首选科目为历史的平均成绩为75分，所有样本的标准差为16，下列说法中正确的是()A.首选科目为历史的学生样本容量为20B.所有样本的均值为87分C.每个首选科目为历史的学生被抽入到样本的概率为25D.首选科目为历史的学生的成绩的标准差为135(多选题)(2024·高一·贵州遵义·期末)不透明盒子里装有除颜色外完全相同的3个红球，2个白球，现从盒子里随机取出2个小球，记事件M：取出的两个球是一个红球一个白球，事件N：两个球中至少一个白球，事件K：两个球均是红球，则下列结论正确的是()A.P M=35B.P MN=2150C.P M+K=910D.P M=P N +P K6(多选题)(2024·高二·新疆喀什·期末)在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1，2，3的三个小球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等.下列说法正确的是()A.取出的两个球上标号为不同数字的概率为49B.取出的两个球上标号之积能被3整除的概率为59C.取出的两个球上标号为相同数字的概率为13D.甲盒中取出的球上标号比乙盒中取出的球上标号大的概率为137(2024·高一·广东深圳·期末)某工厂引进了一条生产线，为了解产品的质量情况，现从生产线上随机抽取100件产品，测量其技术参数，得到如图所示的频率分布直方图.(1)由频率分布直方图，估计样本技术参数的平均数和75%分位数(精确到0.1)；(2)现从技术参数位于区间[40，50)，[50，60)，[60，70)的三组中，采用分层抽样的方法抽取6件产品，再从这6件产品中任选3件产品，记事件A=“这3件产品中技术参数位于区间[40，50)内的产品至多1件”，事件B=“这3件产品中技术参数位于区间[50，60)内的产品至少1件”，求事件A∩B的概率.8(2024·全国·模拟预测)2023年11月10日，第六届中国国际进口博览会圆满闭幕，在各方的共同努力和大力支持下，本届进博会办成了一届高标准、高质量、高水平的全球经贸盛会，为世界经济复苏和全球发展繁荣做出积极贡献．本届进博会优化了志愿者服务，为展客商提供了更加准确、细致的服务．为了解参会的展客商对志愿者服务的满意度，组委会组织了所有的展客商对志愿者服务进行评分(满分100分)，并从评分结果中随机抽取100份进行统计，按照50,60进行分组，,90,100,60,70,80,90,70,80得到如图所示的频率分布直方图：(1)求n的值，并以样本估计总体，求所有展客商对志愿者服务评分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(2)在这100份评分结果中按照分层抽样的方法随机抽取20份，再从其中评分在60,70的评和90,100分结果中随机抽取2份，求这2份评分结果均不低于90分的概率．9(2024·高二·宁夏·期中)某校为了解学生对食堂的满意程度，做了一次问卷调查，对三个年级进行分层抽样，共抽取40名同学进行询问打分，将最终得分按[60,65)，[65,70)，[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90]，分成6段，并得到如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中a的值，以及此次问卷调查分数的中位数；(2)若从打分区间在[60,70)的同学中随机抽出两位同学，求抽出的两位同学中至少有一位同学来自打分区间[65,70)的概率.10(2024·高一·辽宁辽阳·阶段练习)辽宁省朝阳市妇联发挥阵地优势，在市妇女儿童活动中心开展了“萌童成长”寒假公益课堂，涵盖了创意美术、传统文化、科学小实验、“亲子阅读”等丰富的活动．公益课堂共开设24期，近200名少年儿童受益．从参加公益课堂的少年儿童中随机抽取50名少年儿童进行问卷调查(满分100分)，将问卷调查结果按68,72，88,92，，84,88，72,76，76,80，80,8492,96，96,100分成八组，并绘制成频率分布直方图，如图所示．(1)求a的值，并估计被抽取的50名少年儿童问卷调查结果的平均数(同一组数据用该组区间的中点值作代表)；(2)若从样本中问卷调查结果在88,92内的少年儿童中随机抽取2名少年儿童，求随机抽取的和96,100这2名少年儿童在同一组的概率．11(2024·全国·模拟预测)甲、乙两射击队(每队有7名队员)进行射击比赛，每名队员均射击20次且每次射击击中目标得1分，未击中目标得0分．假设所有队员的得分相互独立．现统计每队队员的得分情况如下：甲队：14,13,10,15,12,16,11．乙队：17,15,16,12,14,13,m．(1)现从甲、乙两队各随机选1人，甲队选出的队员记为A，乙队选出的队员记为B，若m=20，求队员A的得分不少于队员B的得分的概率．(2)是否存在m m∈N*使得甲、乙两队队员的得分的方差相等．若存在，请写出m的值，不用说明理由；若不存在，请说明理由．。
