江苏省黄桥中学2014-2015学年度高二下学期理科数学周周练十 Word版含答案

淮安市2014－2015学年度第二学期期末高二调研测试数 学 试 卷（文） 2015.6本试卷满分共160分；考试时间120分钟。

一．填空题:本大题共14小题，每小题5分，共70分．只要求写出结果，不必写出计算和推理过程．请把答案写在答题卡相应位置．．．．．．．上．1．已知集合{0,1,2}{|1}A B x y x ===-，，则=B A I．2．已知命题:,sin 1p x R x ∀∈≤，则p ⌝为 ． 3．已知233m +-ii为实数，其中i 是虚数单位，则实数m 的值为 ． 4．已知直线1:(2)10l ax a y +++=，2:20l x ay ++=．若12l l ⊥，则实数a 的值是 ． 5．已知1cos()33πα+=-，则sin()6πα-的值为_____． 6．已知函数sin ,1()(1),1x x f x f x x π⎧=⎨->⎩≤，则43f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为 ．7．已知函数141)(-+=x a x f 的图象关于原点对称，则实数a 的值是 ． 8. 用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第○n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数是 ．9．已知抛物线24y x =与双曲线1222=-y ax 的一个交点为M ，F 为抛物线的焦点，若3MF =，则该双曲线的离心率为 ．10．已知过点()23,2P --的直线l 与圆O ：224x y +=有公共点，则直线l 斜率的取值范围是 ．11．将函数)0)(3sin(2)(>+=ωπωx x f 的图象向右平移3πω个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[0,]4π上为增函数，则ω的最大值为 ．12．已知()2243,023,0x x x f x x x x ⎧-+⎪=⎨--+>⎪⎩≤，若关于x 的不等式()()2f x a f a x +-≥在[]1,+a a 上恒成立，则实数a 的最大值是 ．BAxyO第15题M第16题图13．对于数列{n a }，定义数列{n n a a -+1}为数列{n a }的“差数列”，若21=a ，{n a }的“差数列”的通项为n 2，则数列{n a }的前n 项和n S = .14．已知函数()2log 1f x a x =+（0a ≠），定义函数()()(),0,0f x x F x f x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩，给出下列命题：①()()F x f x =；②函数()F x 是偶函数；③当0a <时，若01m n <<<，则有()()0F m F n -<成立；④当0a >时，函数()2y F x =-有4个零点．其中正确命题的个数为 ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作角α和β，0,,,22ππαβπ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,其终边分别交单位圆于A B ，两点．若A B ，两点的横坐标分别是53，102-． 试求（1）αtan ，βtan 的值；（2）AOB ∠的值．16．如图，已知多面体ABCDFEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD ，若四边形ADEF 为矩形，AB ∥CD ，12AB CD =，BC ⊥BD ，M 为EC 中点．（1）求证：BC ⊥平面BDE ； （2）求证：BM //平面ADEF ．17．某校为调研学生的身高与运动量之间的关系，从高二男生中随机抽取100名学生的身高数据，得到如下频率分布表：（1）求频率分布表中①、②位置相应的数据；（2）为了对比研究学生运动量与身高的关系，学校计划采用分层抽样的方法从第2、5组中随机抽取7名学生进行跟踪调研，求第2、5组每组抽取的学生数？ （3）在（2）的前提下，学校决定从这7名学生中随机抽取2名学生接受调研访谈，求至少有1名学生来自第5组的概率？18．已知函数0),1(log )1(log )(>--+=a x x x f a a ，且1≠a ． （1）求)(x f 的定义域； （2）判断)(x f 的奇偶性并予以证明； （3）若1>a 时，求使)(x f >0的x 的集合．19．已知椭圆：M 22221x y a b+=（0a b >>），点1F (1,0)-、C (2,0)-分别是椭圆M 的左焦点、左顶点，过点1F 的直线l （不与x 轴重合）交M 于,A B 两点． （1）求椭圆M 的标准方程；（2）若A ，求△AOB 的面积；（3）是否存在直线l ，使得点B 在以线段AC 为直径的圆上，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．20．已知函数()ln xx kf x +=e（其中, 2.71828k ∈=e L R 是自然对数的底数），()f x '为()f x 导函数．（1）当2k =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）若(]0,1x ∈时，方程()0f x '=有解，求实数k 的取值范围；（3）若()10f '=，试证明：对任意()2210,x f x x x-+'><+e 恒成立．MN2014－2015学年度高二调查测试数学试卷参考答案与评分标准（文）本试卷满分共160分；考试时间120分钟。

高二理科数学参考答案与评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．)3,2(； 2．2-； 3．24； 4.10； 5．20-； 6．66； 7．0 ； 8．149； 9. 52y x =-； 10．11)1(+-+=k n k n C k nC ； 11．1； 12．2222123S S S S ++=； 13. 12-⋅n n ； 14．[1,e 1]-.二、解答题：本大题共6小题，15—17每题14分，18—20每题16分，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．解：（1）由1z 是纯虚数可得222020m m m m ⎧--=⎪⎨-≠⎪⎩………………………………4分 所以1m =- ……………………………………6分（2）由（1）知13i z = ………………………………………7分 设2i(a,b R)z a b =+∈ ………………………………………8分由221z z =得 222i 3i a b ab -+= ……………………………………9分 所以22023a b ab ⎧-=⎨=⎩…………………………………………11分解得2a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ……………………………………………13分故2z =或2z = ……………………………………14分 16．解：（1）以D 为坐标原点，以DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系.设a PD =，则)0,0,0(D ，),0,0(a P ，)0,0,(a A ，)0,,(a a B ，)0,,0(a C ，)2,0,2(a a E ………………………………2分 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2,,2a a a BE ，()0,,a a AC -=所以22cos ,a a BE AC -<>=21a -=== 故异面直线AC 与BE所成角的余弦值为6………………………7分 （2）设F 点的坐标为()x a x -,,0，则()a x x a a FB --=,,，取平面B D C 的一个法向量为()a ,0,0=，设平面FBD 的一个法向量为()l n m ,,=，则有()()00am n a x l x a am an +-+-=⎧⎨+=⎩，…………………………………………………10分 取1,1m n ==-，则x l a x=- 所以()332,cos 22=-+->=<x a x a x a axn DP ，解得2a x =. 故12PF PC =…………………………………………………………14分 17．解：（1）若3个球颜色均不一样，有3620C =种； …………………………2分若其中2个球颜色一样，有116530C C =种； …………………………4分若3个球颜色一样，有6种。

江苏省黄桥中学高二理科数学综合试卷六2015/6一、填空题1、已知复数z 满足zi=1+i(i 是虚数单位)，则z = ．2、由命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，求得实数m 的取值范围是(a ，＋∞)，则实数 a ＝ ．3、已知凸函数的性质定理：“若函数f(x)区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，有)...()](...)()([12121nx x x f x f x f x f n nn +++≤+++”，若函数y=sinx 在区间(0,π)上是凸函数，则在∆ABC 中，sinA+sinB+sinC 的最大值是 ． 4、若cos sin z i θθ=+（i 为虚数单位），则()+22k k Z πθπ=∈是21z =-的 条件.（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”） 5、已知X 的分布列为则在下列式子中：①E (X )＝－13；②V (X )＝2327；③P (X ＝0)＝13. 正确的是 .6、两名学生一起去一家单位应聘，面试前单位负责人对他们说：“我们要从面试的人中招聘3人，你们俩同时被招聘进来的概率是170”，根据这位负责人的话，可以推断出参加面试的人数为 . 7、观察下列等式 12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10 ……照此规律，第n 个等式可为 .8、已知条件015:≥+-x xp 和条件121:-<≤+m x m q ，若p ⌝是q ⌝的充分条件，则实数m 的取值范是 .9、观察下列式子：1＋122＜32，1＋122＋132＜53，1＋122＋132＋142＜74，…，则可以猜想：1＋122＋132＋…＋12 0142＜________.10、以一个正五棱柱的顶点为顶点的四面体共有________个．11、传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }，可以推测：（Ⅰ）2014b 是数列{}n a 中的第_________项；（Ⅱ）若n 为正偶数，则()11357211n n b b b b b ---+-++-=_________．（用n 表示）12、设集合{}5,4,3,2,1=I ,选择I 的两个非空子集A 和B ，要使B 中最小的数大于A 中最大的数，则不同的选择方法共有 种．13、把所有正整数按上小下大，左小右大的原则排成如下图所示的数表，其中第i 行共有2i －1个正整数，设a ij (i ，j ∈N *)表示位于这个数表中从上往下数第i 行，从左往右数第j 个数．则用i ，j 表示a ij =__________________．2 34 5 6 78 9 10 11 12 13 14 15… … … … …14、已知22()389n f n n +=--，存在正整数m ，使n *N ∈时，能使m 整除()f n ,则m 的最大值为______________． 二、解答题15、已知n x x f )2()(+=, 其中*N n ∈．(1)若展开式中含3x 项的系数为14, 求n 的值；(2)当3=x 时, 求证：)(x f *)s N ∈的形式.16、2015年苏州承办世乒赛，现有甲、乙等六名志愿者，被随机地分到世乒赛的A 、B 、C 、D 四个场馆服务，每个场馆至少有一名志愿者．（1）求甲、乙两人同时被分到A 场馆的概率；（2）记随机变量X 表示这六名志愿者中被分到C 场馆的人数，试求X 的分布列与数学期望E （X ）．17、有一枚质地均匀的硬币，抛掷)(*∈N n n 次，（1）当3n =，记正面向上的次数为ξ，求ξ的分布列及期望； （2）当10=n ，求正面不连续出现的概率．18、设整数3n ≥，集合{1,2,,},,P n A B =是P 的两个非空子集．记n a 为所有满足A 中的最大数小于B 中的最小数的集合对(,)A B 的个数．（1）求3a ； （2）求n a ．19、设函数()213213x f x x ex x -=--()x ∈R ．（1）求函数()y f x =的单调区间；（2）当()1,x ∈+∞时，用数学归纳法证明：*n ∀∈N ，1!nx x en ->．20、已知数列{}n a 满足：*1a ∈N ，136a ≤，且121823618n n n nn a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，()12n =，，…． 记集合{}*|n M a n =∈N ．（Ⅰ）若16a =，写出集合M 的所有元素；（Ⅱ）若集合M 存在一个元素是3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数；（Ⅲ）求集合M 的元素个数的最大值．江苏省黄桥中学高二理科数学综合试卷六参考答案1、－1+i2、13、3324、充分不必要5、①③6、217、12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n＋1n (n ＋1)2 8、(]3,∞-9、4 0272 01410、解析 正五棱柱共有10个顶点，若每四个顶点构成一个四面体，共可构成C 410＝210(个)四面体．其中四点在同一平面内的有三类：(1)每一底面的五点中选四点的组合方法有2C 45个． (2)五条侧棱中的任意两条棱上的四点有C 25个．(3)一个底面的一边与另一个底面相应的一条对角线平行(例如AB ∥E 1C 1)，这样共面的四点共有2C 15个．所以C 410－2C 45－C 25－2C 15＝180(个)．11、5035, 225204n n +- 12、49 13、∵数表中前(i －1)行共有1＋2＋22＋…＋2i －2＝(2i －1－1)个数，则第i 行的第一个数是2i －1，∴a ij ＝2i －1＋j －1.14、15、解: (1)因为28812r rr r xC T-+=,所以6=r ，故3x 项的系数为14266=⋅-n n C ，解得7=n(2)由二项式定理可知,01201122(23)23232323nn nn n n n n n n C C C C --=++++,设22(23)33n x x y +=+=(23)n a b +=+,a b N *∈， 则(23)n a b =,a b N *∈∵()((23)(23)1n n a b a b +⋅=+⋅-=，∴令,a s s N *=∈，则必有1b s =- ∴(23)n 1s s -s N *∈16、解：（1）记“甲、乙两人同时被分到A 场馆”为事件M ，则132343432234464644221()26C A C A P M C C C A A A +==+， 故甲、乙两人同时被分到A 场馆的概率为126． （2）随机变量X 的所有可能取值为1，2，3．221335365322223446464422()15(1)26C C C C A A P X C C C A A A +===+， 2236432234464644229(2)26C C A P X C C C A A A ===+， 33632234464644221(3)13C A P X C C C A A A ===+． 所以X 的分布列为所以E （X ）=1232626132⨯+⨯+⨯=． 17、解：（1）ξ=0，1，2，3，8121)0(3===ξP ；,832)1(313===C P ξ,832)2(323===C P ξ8121)0(3===ξP283828180=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE（2）10次均为反面只有1次，只有1次正面110C 种，只有2次正面且不连续出现有29C 种，只有3次正面且不连续出现有38C 种，只有4次正面且不连续出现有47C 种，只有5次正面且不连续出现有56C 种，6次正面肯定会连续出现所求概率为6491024144211056473829110==+++++C C C C C ．18、解：（1）当n =3时，P ={1，2，3 }，其非空子集为：{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}， 则所有满足题意的集合对(A ，B )为：({1}，{2})，({1}，{3})，({2}，{3})， ({1}，{2，3}），（{1，2}，{3})共5对，所以a 35=；（2）设A 中的最大数为k ，其中11k n -≤≤，整数n ≥3，则A 中必含元素k ，另元素1，2，…，k 1-可在A 中，故A 的个数为：0111111C C C 2k k k k k -----++⋅⋅⋅+=， B 中必不含元素1，2，…，k ，另元素k +1，k +2，…，n 可在B 中，但不能都不在B 中，故B 的个数为：12C C C 21n k n kn k n k n k -----++⋅⋅⋅+=-， 从而集合对(A ，B )的个数为()1221k n k --⋅-=1122n k ---，所以a n ()11111111222(1)2(2)2112n n n k n n k n n ------=-=-=-⋅-=-⋅+-∑．19、解：（1）()()()121212221x x x f x xe x e x x x x e ---'=+--=+-，令()0f x '=，得2x =-或0x =或1x =，易知当()2,0x ∈-与()1,x ∈+∞时，()0f x '>；当(),2x ∈-∞-与()0,1x ∈时，()0f x '<， 所以函数()y f x =的单调增区间为()2,0-和()1,+∞，减区间为(),2-∞-和()0,1． （2）设()()11!nx n x g x ex n -=->． 当1n =时，只需证明当1x >时，()110x g x e x -=->， 由()1110x g x e -'=->，得()1g x 在()1,+∞上为增函数， 所以()()1110g x g >=，原不等式成立．假设当()*1,n k k k =∈N ≥时，不等式成立，即当1x >时，()10!k x k x g x ek -=->， 则当1n k =+时，因为()()1111!k x k x g x e k +-+=-+，所以 ()()()111101!!kk x x kk x x g x e ek k --++'=-=->+， 即()1k g x +在()1,+∞上为增函数，所以()()()1111101!k k g x g k ++>=->+，所以当1n k =+时，不等式也成立． 综上可知，当()1,x ∈+∞时，对*n ∀∈N ，1!nx x en ->成立． 20、（Ⅰ）{6，12，24}（Ⅱ）因为集合M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设k a 是3的倍数. 由12,18,236,18n n n n n a a a a a +≤⎧=⎨->⎩可归纳证明对任意n k ≥，n a 是3的倍数.如果k=1，则M 的所有元素都是3的倍数.如果k>1，因为k a =21k a -或k a =21k a --36，所以21k a -是3的倍数，于是1k a -是3的倍数，；类似可得，2k a -，…，1a 都是3的倍数，从而对任意1n ≥，n a 是3的倍数，因此M 的所有元素都是3的倍数.综上，若集合M 存在一个元素是3的倍数，则M 的所有元素都是3的倍数. （Ⅲ）由36a ≤，11112,18,236,18n n n n n a a a a a ----≤⎧=⎨->⎩可归纳证明36(2,3...)n a n ≤=.由于1a 是正整数，112112,18,236,18,a a a a a ≤⎧=⎨->⎩所以2a 是2的倍数.从而当3n ≥时，n a 是4的倍数.如果1a 是3的倍数，由（Ⅱ）知对所有正整数n ，n a 是3的倍数. 因此当3n ≤时，{}12,24,36n a ∈.这时M 的元素个数不超过5. 如果1a 不是3的倍数，由（Ⅱ）知所有正整数n ，n a 不是3的倍数. 因此当3n ≥时{}4,8,16,20,28,32n a ∈.这时M 的元素个数不超过8. 当1a =1时，{}1,2,4,8,16,20,28,32M =有8个元素. 综上可知，集合M 的元素个数最大值为8.。

高中数学学习材料唐玲出品江苏省黄桥中学高二理科数学周周练十二一、填空题1、设i 是虚数单位，复数21iz i =+，则｜z ｜＝________________________2．某校开设A 类选修课2门，B 类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程 中各至少选一门，则不同的选法共有_________________种3.用反证法证明命题“设a,b 为实数,则方程x 3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是._________________4.参数方程2232(05)1x t t y t ⎧=+⎪≤≤⎨=-⎪⎩表示的曲线是_________________5.设集合{|0},{|03}1xA xB x x x =<=<<-，那么“m A ∈”是“m B ∈”的_________________条件 ． 6.展开()6a b c ++，合并同类项后，含23ab c 项的系数是__________7.若复数z 满足014=-zz ,则z 的值为____________8、若（1﹣3x ）2015=a 0+a 1x+…a 2015x 2015（x ∈R ），则的值为___________________．9．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为 ． 10.已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛-βαcos 200sin 为单位矩阵，且,2παβπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦、，则tan()αβ+= 11．直线323y x =+与圆心为D 的圆33cos ([0,2])13sin x y θθπθ⎧=+⎪∈⎨=+⎪⎩交于,A B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为___________________12已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是__________________13.已知，由不等式，,，归纳得到推广结论：，则实数________.14.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1,1, 2,3, 5,8, 13，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，该数列是一个非常美丽和谐的数列. 有很多奇妙的属性. 比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887…，人们称该数列为“斐波那契数列”. 若把该数列的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列，在数列中第2014项的值为 ；数列中，第2014个值为1的项的序号是 .二、解答题15．知矩阵, 若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为，属于特征值1的一个特征向量.（Ⅰ）求矩阵A 的逆矩阵；（2）计算的值.16、已知m R ∈，命题:p 对任意[0,8]x ∈，不等式213log (1)3x m m +≥-恒成立，命题:q 对任意x R ∈，不等式|1sin 2cos 2|2|cos()|4x x m x π+-≤-恒成立（1）、若p 为真命题，求m 的取值范围；（2）、若p 且q 为假，p 或q 为真，求m 的取值范围。

2014-2015学年江苏省扬州市邗江区高二（下）期中数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷纸相应位置1．（5分）已知复数z＝（2﹣i）2，则复数z的实部等于．2．（5分）用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”，正确的假设是．3．（5分）用数学归纳法证明不等式时，第一步：不等式的左边是．4．（5分）设平面α的法向量为（1，2，﹣2），平面β的法向量为（﹣2，﹣4，k），若α∥β，则k＝．5．（5分）将演绎推理：“y＝x在（0，+∞）上是减函数”恢复成完全的三段论，其中大前提是．6．（5分）设i为虚数单位，则1+i+i2+i3+…+i10＝．7．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角是度．8．（5分）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为．9．（5分）用数学归纳法证明（n+1）（n+2）（n+3）...（n+n）＝2n•1•3•5 (2)﹣1）（n∈N*）时，从n＝k到n＝k+1时左边需增乘的代数式是．10．（5分）复数z满足|z|＝|z+2+2i|，则|z﹣1+i|的最小值为．11．（5分）观察下列式子：1＝12，2+3+4＝32，3+4+5+6+7＝52，4+5+6+7+8+9+10＝72，…，可以得出的一般结论是．12．（5分）观察下列各式：a+b＝1，a2+b2＝3，a3+b3＝4，a4+b4＝7，a5+b5＝11，…，则a10+b10＝．13．（5分）阅读程序框图设[x]表示取x的整数部分，如[5]＝5，[2.7]＝2，经过程序框图运行后输出结果为S，T，设z1＝S﹣Ti，z2＝1+i，z＝z1•z2，则|z|＝．14．（5分）对于三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：f′（x）是函数f（x）的导函数，f″（x）是f′（x）的导函数，若方程f″（x）＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y＝f（x）的“拐点”．某同学经研究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f（x）＝x3﹣x2+3x﹣，根据这一发现，可求得f（）+f（）+…+f（）＝．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知复数z1＝a﹣4i，z2＝8+6i，为纯虚数．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）求复数z1的平方根．16．（14分）已知下列三个方程x2+4ax﹣4a+3＝0，x2+（a﹣1）x+a2＝0，x2+2ax ﹣2a＝0至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．17．（14分）如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC ＝1，AB⊥AC，M、N分别是CC1、BC的中点，点P在直线A1B1上，且满足．（1）证明：PN⊥AM；（2）若平面PMN与平面ABC所成的角为45°，试确定点P的位置．18．（16分）已知a n＝4n+15n﹣1（n∈N*）．（1）计算a1，a2，a3；猜想是否存在最大的正整数m，使得a n能被m整除；（2）运用数学归纳法证明（1）中猜想的结论．19．（16分）已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA＝90°，AC＝BC＝2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA1⊥AC1．（Ⅰ）求证：AC1⊥平面A1BC；（Ⅱ）求C1到平面A1AB的距离；（Ⅲ）求二面角A﹣A1B﹣C的余弦值．20．（16分）设数列{a n}满足：a n+1＝a n2﹣na n+1，n＝1，2，3，…（1）当a1＝2时，求a2，a3，a4并由此猜测a n的一个通项公式；（2）当a1≥3时，证明对所有的n≥1，有①a n≥n+2②．2014-2015学年江苏省扬州市邗江区高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷纸相应位置1．（5分）已知复数z＝（2﹣i）2，则复数z的实部等于3．【解答】解：∵z＝（2﹣i）2＝4﹣4i+（﹣1）＝3﹣4i，∴复数z的实部为3，故答案为：3．2．（5分）用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”，正确的假设是三角形的内角中至少有两个钝角．【解答】解：由于命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”，故用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，应假设至少有两个钝角，故答案为：三角形的内角中至少有两个钝角．3．（5分）用数学归纳法证明不等式时，第一步：不等式的左边是+．【解答】解：用数学归纳法证明不等式时，第一步：不等式的左边是+．故答案为：+．4．（5分）设平面α的法向量为（1，2，﹣2），平面β的法向量为（﹣2，﹣4，k），若α∥β，则k＝4．【解答】解：∵α∥β∴平面α、β的法向量互相平行，由此可得＝（1，2，﹣2），＝（﹣2，﹣4，k），∥∴＝＝，解之得k＝4．故答案为：45．（5分）将演绎推理：“y＝x在（0，+∞）上是减函数”恢复成完全的三段论，其中大前提是若0＜a＜1，则y＝log a x在（0，+∞）上是减函数．【解答】解：“y＝log x在（0，+∞）上是增函数”写成三段论的形式，其中大前提是“若0＜a＜1，函数log a x在（0，+∞）是减函数”故答案为：若0＜a＜1，则y＝log a x在（0，+∞）上是减函数6．（5分）设i为虚数单位，则1+i+i2+i3+…+i10＝i．【解答】解：1+i+i2+i3+…+i10＝1+（i﹣1﹣i+1）+（i﹣1﹣i+1）+i﹣1＝1+i﹣1＝i，故答案为：i．7．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角是90度．【解答】解：∵A1B1⊥面ADD1A1，AM⊂面ADD1A1，∴A1B1⊥AM．设面A1B1O与面ADD1A1的交线为A1F，面A1B1O与面BCC1B1的交线为B1E，则F，E为AD，BC的中点，∴AM⊥A1F．∵A1F∩A1B1＝A1，∴AM⊥面A1FEB1，∵OP⊂面A1FEB1，∴AM⊥OP．∴直线OP与直线AM所成的角是90°故答案为：90°8．（5分）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为．【解答】解：由题意，连接A1C1，交B1D1于点O∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝4∴C1O⊥B1D1∴C1O⊥平面DBB1D1在Rt△BOC 1中，∴直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为．故答案为：．9．（5分）用数学归纳法证明（n+1）（n+2）（n+3）...（n+n）＝2n•1•3•5 (2)﹣1）（n∈N*）时，从n＝k到n＝k+1时左边需增乘的代数式是4k+2．【解答】解：用数学归纳法证明（n+1）（n+2）（n+3）...（n+n）＝2n•1•3•5 (2)﹣1）（n∈N*）时，从n＝k到n＝k+1时左边需增乘的代数式是＝2（2k+1）．故答案为：4k+2．10．（5分）复数z满足|z|＝|z+2+2i|，则|z﹣1+i|的最小值为．【解答】解：∵复数z适合|z+2+2i|＝|z|，∴复数z到（﹣2，﹣2）点的距离与到（0，0）的距离相等，∴复数z在（﹣2，﹣2）与（0，0）两点的连线的中垂线上，∴复数z在过这两点的直线上，直线的斜率是﹣1，过点（﹣1，﹣1），∴直线的方程是x+y+2＝0∵|z﹣1+i|表示z到（1，﹣1）的距离，这里求最小值，只要求这个点到直线的距离即可，∴d＝＝，故答案为：．11．（5分）观察下列式子：1＝12，2+3+4＝32，3+4+5+6+7＝52，4+5+6+7+8+9+10＝72，…，可以得出的一般结论是n+（n+1）+（n+2）+…+（n+2n﹣2）＝（2n﹣1）2．【解答】解：∵1＝12，2+3+4＝32，3+4+5+6+7＝52，4+5+6+7+8+9+10＝72，…，∴n+（n+1）+（n+2）+…+（n+2n﹣2）＝（2n﹣1）2，故答案为：n+（n+1）+（n+2）+…+（n+2n﹣2）＝（2n﹣1）2．12．（5分）观察下列各式：a+b＝1，a2+b2＝3，a3+b3＝4，a4+b4＝7，a5+b5＝11，…，则a10+b10＝123．【解答】解：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为123，即a10+b10＝123，．故答案为：123．13．（5分）阅读程序框图设[x]表示取x的整数部分，如[5]＝5，[2.7]＝2，经过程序框图运行后输出结果为S，T，设z1＝S﹣Ti，z2＝1+i，z＝z1•z2，则|z|＝．【解答】解：当i＝1时，满足执行循环的条件，执行完循环体后，a＝3，b＝2，S＝3，T＝2，i＝2，当i＝2时，满足执行循环的条件，执行完循环体后，a＝5，b＝4，S＝8，T＝6，i＝3，当i＝3时，满足执行循环的条件，执行完循环体后，a＝7，b＝8，S＝15，T＝14，i＝4，当i＝4时，满足执行循环的条件，执行完循环体后，a＝9，b＝16，S＝24，T＝30，i＝5，当i＝5时，满足执行循环的条件，执行完循环体后，a＝11，b＝32，S＝35，T ＝62，i＝6，当i＝1时，不满足执行循环的条件，退出循环后S＝[]＝7，T＝[]＝12，故z1＝7﹣12i，z2＝1+i，∴z＝z1•z2＝19+5i，∴|z|＝＝，故答案为：14．（5分）对于三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：f′（x）是函数f（x）的导函数，f″（x）是f′（x）的导函数，若方程f″（x）＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y＝f（x）的“拐点”．某同学经研究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f（x）＝x3﹣x2+3x﹣，根据这一发现，可求得f（）+f（）+…+f（）＝2015．【解答】解：依题意，得：f′（x）＝x2﹣x+3，∴f″（x）＝2x﹣1．由f″（x）＝0，即2x﹣1＝0．∴x＝，∴f（）＝1，∴f（x）＝x3﹣x2+3x﹣的对称中心为（，1）∴f（1﹣x）+f（x）＝2，∴f（）+f（）+…+f（）＝2015，故答案为：2015．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知复数z1＝a﹣4i，z2＝8+6i，为纯虚数．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）求复数z1的平方根．【解答】解：（Ⅰ）∵复数z1＝a﹣4i，z2＝8+6i，＝＝＝为纯虚数，∴8a﹣24＝0，且32+6a≠0，∴a＝3．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得复数z1＝a﹣4i＝3﹣4i，设z1的平方根为a+bi，a、b∈R，则3﹣4i＝a2﹣b2+2abi，∴a2﹣b2＝3，2ab＝﹣4．解得，或，∴z1的平方根为2﹣i，或﹣2+i．16．（14分）已知下列三个方程x2+4ax﹣4a+3＝0，x2+（a﹣1）x+a2＝0，x2+2ax ﹣2a＝0至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．【解答】解：假设没有一个方程有实数根，则：16a2﹣4（3﹣4a）＜0（1）（a﹣1）2﹣4a2＜0（2）4a2+8a＜0（3）（5分）解之得：＜a＜﹣1（10分）故三个方程至少有一个方程有实根的a的取值范围是：{a|a≥﹣1或a≤}．17．（14分）如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC ＝1，AB⊥AC，M、N分别是CC1、BC的中点，点P在直线A1B1上，且满足．（1）证明：PN⊥AM；（2）若平面PMN与平面ABC所成的角为45°，试确定点P的位置．【解答】解：（1）证明：如图，以AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz．则P（λ，0，1），N（，，0），M（0，1，），从而＝（﹣λ，，﹣1），＝（0，1，），＝（﹣λ）×0+×1﹣1×＝0，所以PN⊥AM．（2）平面ABC的一个法向量为＝＝（0，0，1）．设平面PMN的一个法向量为＝（x，y，z），由（1）得＝（λ，﹣1，）．由解得∵平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，∴|cos＜，＞|＝||＝＝，解得λ＝﹣．（11分）故点P在B1A1的延长线上，且|A1P|＝．（12分）18．（16分）已知a n＝4n+15n﹣1（n∈N*）．（1）计算a1，a2，a3；猜想是否存在最大的正整数m，使得a n能被m整除；（2）运用数学归纳法证明（1）中猜想的结论．【解答】解：（1）计算a1＝18＝9×2，a2＝45＝9×5，a3＝108＝9×12；…3分因为3个数的最大公约数为9，猜想存在最大的正整数m＝9，能使得a n＝4n+15n﹣1（n∈N*）能被m整除． (6)分（2）数学归纳法证明：①当n＝1时，a1＝18＝9×2，能被9整除，结论成立；…7分②假设n＝k（k∈N*）时结论成立，即4k+15k﹣1能被9整除…9分则当n＝k+1时，a k+1＝4k+1+15（k+1）﹣1变形a k+1＝4•4k+15k+14＝4（4k+15k﹣1）﹣45k+18∴a k+1＝4（4k+15k﹣1）+9（2﹣5k）…11分因为由假设结论可知4k+15k﹣1能被9整除，又因为9（2﹣5k）也能被9整除…12分所以a k+1＝4k+1+15（k+1）﹣1也能被9整除所以则当n＝k+1时，结论成立…14分由①②可知，对任意n∈N*，都有a n能被9整除成立．…15分．19．（16分）已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA＝90°，AC＝BC＝2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA1⊥AC1．（Ⅰ）求证：AC1⊥平面A1BC；（Ⅱ）求C1到平面A1AB的距离；（Ⅲ）求二面角A﹣A1B﹣C的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为A1在底面ABC上的射影为AC的中点D所以平面A1ACC1⊥平面ABC∵BC⊥AC且平面A1ACC1∩平面ABC＝AC∴BC⊥平面A1ACC1∴BC⊥AC1∵AC1⊥BA1且BC1∩BA1＝B∴AC1⊥平面A1BC（Ⅱ）如图所示，以C为坐标原点建立空间直角坐标系∵AC1⊥平面A1BC∴AC1⊥A1C∴四边形A1ACC1是菱形∵D是AC的中点∴∠A1AD＝60°∴A（2，0，0）A1（1，0，）B（0，2，0）C1（﹣1，0，）∴＝（1，0，）＝（﹣2，2，0）设平面A1AB的法向量＝（x，y，z），则，令z＝1，∴＝（，，1）∵＝（2，0，0）∴∴C1到平面A1AB的距离为（Ⅲ）平面A1AB的法向量＝（，，1），平面A1BC的法向量＝（﹣3，0，）∴，设二面角A﹣A1B﹣C的平面角为θ，θ为锐角，∴即二面角A﹣A1B﹣C的余弦值为20．（16分）设数列{a n}满足：a n+1＝a n2﹣na n+1，n＝1，2，3，…（1）当a1＝2时，求a2，a3，a4并由此猜测a n的一个通项公式；（2）当a1≥3时，证明对所有的n≥1，有①a n≥n+2②．【解答】解（1）由a1＝2，得a2＝a12﹣a1+1＝3由a2＝3，得a3＝a22﹣2a2+1＝4由a3＝4，得a4＝a32﹣3a3+1＝5由此猜想a n的一个通项公式：a n＝n+1（n≥1）（2）（i）用数学归纳法证明：①当n＝1时，a1≥3＝1+2，不等式成立．②假设当n＝k时不等式成立，即a k≥k+2，那么a k+1＝a k（a k﹣k）+1≥（k+2）（k+2﹣k）+1＝2k+5≥k+3．也就是说，当n＝k+1时，a k+1≥（k+1）+2据①和②，对于所有n≥1，有a n≥n+2．（ii）由a n+1＝a n（a n﹣n）+1及（i）可得：对k≥2，有a k＝a k﹣1（a k﹣1﹣k+1）+1≥a k﹣1（k﹣1+2﹣k+1）+1＝2a k﹣1+1a k≥2k﹣1a1+2k﹣1﹣2+1＝2k﹣1（a1+1）﹣1于是，k≥2。

2014-2015学年江苏省苏州市张家港高中高二（下）期中数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题纸相应的位置上）1．（5分）已知复数z1＝1﹣i，z2＝1+i，则的虚部为．2．（5分）用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设．3．（5分）的展开式中x3的系数为10，则实数a＝．4．（5分）若8名学生和2位老师站成一排合影，则2位老师不相邻的排法种数为．（只列式不计算）5．（5分）（1+x）7（1﹣x）5的展开式中，含x6项的系数是．6．（5分）设z为纯虚数，且|z﹣1|＝|﹣1+i|，则z＝．7．（5分）观察下列各式9﹣1＝8，16﹣4＝12，25﹣9＝16，36﹣16＝20…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为．8．（5分）已知关于x的方程x2+（k+2i）x+2+ki＝0有实根，则实数k的值是．9．（5分）用数学归纳法证明不等式1+++…+＞（n∈N*）成立，其初始值至少应取．10．（5分）若（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，则a2+b2的最小值为．11．（5分）一条长椅上有9个座位，3个人坐，若相邻两人之间至少有2个空椅子，共有种不同的坐法．（用数字作答）12．（5分）将20个相同的球全部放入编号为1，2，3的盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法共有种．（用数字作答）13．（5分）用数学归纳法说明：1+，在第二步证明从n＝k到n＝k+1成立时，左边增加的项数是项．14．（5分）平面几何里有设：直角三角形ABC的两直角边分别为a，b，斜边上的高为h，则+＝拓展到空间：设三棱锥A﹣BCD的三个侧棱两两垂直，其长分别为a，b，c，面BCD上的高为h，则有．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知中至少有一个小于2．16．（14分）已知m∈R，复数z＝+（m2+2m﹣3）i，当m为何值时，（1）z∈R；（2）z是纯虚数；（3）z对应的点位于复平面第二象限；（选做）z对应的点在直线x+y+3＝0上．17．（15分）现有4名男生、3名女生站成一排照相．（1）两端是女生，有多少种不同的站法？（2）任意两名女生不相邻，有多少种不同的站法？（3）女生必须在一起，有多少种不同的站法？（4）女生甲要在女生乙的右方（可以不相邻），有多少种不同的站法？（5）女生甲不在左端，女生乙不在右端，有多少种不同的站法？18．（16分）已知的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而等于它后一项的系数的．（1）求该展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项．19．（16分）已知函数，且f（1）＝log162，f（﹣2）＝1．（1）求函数f（x）的表达式；（2）若数列x n的项满足x n＝[1﹣f（1）]•[1﹣f（2）]•…•[1﹣f（n）]，试求x1，x2，x3，x4；（3）猜想数列x n的通项，并用数学归纳法证明．20．（15分）已知，．（1）当n＝1，2，3时，分别比较f（n）与g（n）的大小（直接给出结论）；（2）由（1）猜想f（n）与g（n）的大小关系，并证明你的结论．2014-2015学年江苏省苏州市张家港高中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题纸相应的位置上）1．（5分）已知复数z1＝1﹣i，z2＝1+i，则的虚部为﹣2．【解答】解：∵z1＝1﹣i，z2＝1+i，∴＝＝，∴的虚部为﹣2．故答案为：﹣2．2．（5分）用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设三个内角都大于60°．【解答】解：根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，先把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，而命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”的否定为“三个内角都大于60°”，故答案为三个内角都大于60°．3．（5分）的展开式中x3的系数为10，则实数a＝2．【解答】解：∵T r+1＝C5r•x5﹣r•（）r＝a r C5r x5﹣2r，又令5﹣2r＝3得r＝1，∴由题设知C51•a1＝10⇒a＝2．故答案为24．（5分）若8名学生和2位老师站成一排合影，则2位老师不相邻的排法种数为A88A92．（只列式不计算）【解答】解：用插空法解决的排列组合问题，将所有学生先排列，有A88种排法，然后将两位老师插入9个空中，共有A92种排法，∴一共有A88A92种排法．故答案为：A88A925．（5分）（1+x）7（1﹣x）5的展开式中，含x6项的系数是0．【解答】解：（1+x）7（1﹣x）5＝（1+x）2（1﹣x2）5＝（1+2x+x2）（1﹣x2）5展开式中x6的系数为﹣C53+C52＝0，故答案为：0．6．（5分）设z为纯虚数，且|z﹣1|＝|﹣1+i|，则z＝±i．【解答】解：z为纯虚数设为：ai，且|z﹣1|＝|﹣1+i|，可得＝，解得a＝±1．z＝±i故答案为：±i；7．（5分）观察下列各式9﹣1＝8，16﹣4＝12，25﹣9＝16，36﹣16＝20…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为（n+3）2﹣（n+1）2＝4（n+2）（n∈N）．【解答】解：观察下列各式9﹣1＝32﹣12＝8＝4×（0+2），16﹣4＝42﹣22＝12＝4×（1+2），25﹣9＝52﹣32＝16＝4×（2+2），36﹣16＝62﹣42＝20＝4×（3+2），，…，分析等式两边数的变化规律，我们可以推断（n+3）2﹣（n+1）2＝4（n+2）（n∈N）故答案为：（n+3）2﹣（n+1）2＝4（n+2）（n∈N）8．（5分）已知关于x的方程x2+（k+2i）x+2+ki＝0有实根，则实数k的值是±．【解答】解：∵方程x2+（k+2i）x+2+ki＝0有实根，不妨令x为实数，∴消去x得，∴k＝±．故答案为：k＝±．9．（5分）用数学归纳法证明不等式1+++…+＞（n∈N*）成立，其初始值至少应取8．【解答】解：不等式左边＝＝2﹣21﹣n，当n＝1，2，3，…6，7时不等式不成立．当n＝8，9…时，不等式成立，初始值至少应取8故答案为：8．10．（5分）若（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，则a2+b2的最小值为2．【解答】解：（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，所以T r+1＝＝，令12﹣3r＝3，∴r＝3，，∴ab＝1，a2+b2≥2ab＝2，当且仅当a＝b＝1时取等号．a2+b2的最小值为：2．故答案为：2．11．（5分）一条长椅上有9个座位，3个人坐，若相邻两人之间至少有2个空椅子，共有60种不同的坐法．（用数字作答）【解答】解：根据题意，用×表示人，用□表示空椅子，先将3人全排列，排好后有2个空位，将4张空椅子分成2组，插入空位，排列如图（×□□×□□×），这时共占据了7张椅子，还有2张空椅子，分2种情况讨论：①将剩余的2张椅子分别插入两个空位，如图中箭头所示（↓×□↓□×□↓□×↓），即从4个空当中选2个插入，有C42种插法；②2张插入同一个空位，有C41种插法，再考虑3人可交换有A33种方法，所以，共有A33（C42+C41）＝60（种）．故答案为：60．12．（5分）将20个相同的球全部放入编号为1，2，3的盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法共有120种．（用数字作答）【解答】解：根据题意，先在20个球种取出1个球放到编号为2的盒子里，再取出2个球放在编号为3的盒子里，此时只需将剩下的17个球，分为3组，每组至少一个，分别放到三个盒子里即可；将17个球排成一列，排好后，有16个空位，在16个空位中任取2个，插入挡板，有C162＝120种方法，即有120种将17个球分为3组的方法，将分好的3组对应3个盒子，即可满足盒内的球数不小于盒号数，则盒内的球数不小于盒号数的放入方法有120种，故答案为：120．13．（5分）用数学归纳法说明：1+，在第二步证明从n＝k到n＝k+1成立时，左边增加的项数是2k项．【解答】解：在用数学归纳法证明：1+，在第二步证明时，假设n＝k时成立，即++…+＜k，则n＝k+1成立时，有++…+++…+＜k+1，∴左边增加的项数是（2k+2k﹣1）﹣（2k﹣1）＝2k．故答案为：2k．14．（5分）平面几何里有设：直角三角形ABC的两直角边分别为a，b，斜边上的高为h，则+＝拓展到空间：设三棱锥A﹣BCD的三个侧棱两两垂直，其长分别为a，b，c，面BCD上的高为h，则有＝．【解答】解：∵A﹣BCD的三个侧棱两两垂直，∴AB⊥平面BCD．由已知有：CD上的高AE＝，h＝AO＝，∴h2＝，即＝．故答案为：＝．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知中至少有一个小于2．【解答】证明：假设都不小于2，则（6分）因为a＞0，b＞0，所以1+b≥2a，1+a≥2b，1+1+a+b≥2（a+b）即2≥a+b，这与已知a+b＞2相矛盾，故假设不成立（12分）综上中至少有一个小于2．（14分）16．（14分）已知m∈R，复数z＝+（m2+2m﹣3）i，当m为何值时，（1）z∈R；（2）z是纯虚数；（3）z对应的点位于复平面第二象限；（选做）z对应的点在直线x+y+3＝0上．【解答】解：（1）∵m∈R，复数z＝+（m2+2m﹣3）i为实数，∴，解得m＝﹣3；（2）∵z是纯虚数；∴＝0，m2+2m﹣3≠0，解得m＝0或m＝2；（3）z对应的点位于复平面第二象限；∴＜0，m2+2m﹣3＞0，解得m＜﹣3或1＜m＜2．（4）∵z对应的点在直线x+y+3＝0上．∴+（m2+2m﹣3）+3＝0，解得m＝0或．17．（15分）现有4名男生、3名女生站成一排照相．（1）两端是女生，有多少种不同的站法？（2）任意两名女生不相邻，有多少种不同的站法？（3）女生必须在一起，有多少种不同的站法？（4）女生甲要在女生乙的右方（可以不相邻），有多少种不同的站法？（5）女生甲不在左端，女生乙不在右端，有多少种不同的站法？【解答】解：（1）先排女生，有A32种方法，再排其余学生，有A55种方法，共有种方法；（2）先排男生，有A44种方法，再插入女生，有A53种方法，共有种方法；（3）女生必须在一起，捆绑与女生全排，有种方法；（4）7名学生全排，甲乙顺序有2种，故有种方法；（5）第一类：女生甲在右端，A66＝720种，第二类，女生甲在不右端，则从中间5个位置中选一个给甲，再从除右端的剩余的5个位置选一个给乙，其余的5个人任意排，则此时的排法数为C51C51A55＝3000种，根据分类计数原理，可得720+3000＝3720种方法．18．（16分）已知的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而等于它后一项的系数的．（1）求该展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项．【解答】解：（1）第r+1项系数为∁n r•2r，第r项系数为∁n r﹣1•2r﹣1，第r+2项系数为∁n r+1•2r+1依题意得到，即，解得n＝7，所以二项式系数最大的项是第4项和第5项．所以，．（2）设第r+1项的系数最大，则解得又因为r∈N，所以r＝5∴展开式中系数最大的项为19．（16分）已知函数，且f（1）＝log162，f（﹣2）＝1．（1）求函数f（x）的表达式；（2）若数列x n的项满足x n＝[1﹣f（1）]•[1﹣f（2）]•…•[1﹣f（n）]，试求x1，x2，x3，x4；（3）猜想数列x n的通项，并用数学归纳法证明．【解答】解：（1）∵，且f（1）＝log162，f（﹣2）＝1．∴＝log162＝，＝1解得：∴函数（2）由（1）中∴x n＝[1﹣f（1）]•[1﹣f（2）]•…•[1﹣f（n）]，当n＝1时，．当n＝2时，，当n＝3时，，当n＝4时，（3）由（2）中结论我们易得：．当n＝1时，结论显然成立设n＝k时，结论成立，即则当n＝k+1时，＝＝即n＝k+1时，结论也成立．故．20．（15分）已知，．（1）当n＝1，2，3时，分别比较f（n）与g（n）的大小（直接给出结论）；（2）由（1）猜想f（n）与g（n）的大小关系，并证明你的结论．【解答】解：（1）当n＝1时，f（1）＝1，，f（1）＞g（1），当n＝2时，，，f（2）＞g（2），当n＝3时，，g（3）＝2，f（3）＞g（3）．（2）猜想：f（n）＞g（n）（n∈N*），即．下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，上面已证．②假设当n＝k时，猜想成立，即则当n＝k+1时，＝；而，下面转化为证明：只要证：，需证：（2k+3）2＞4（k+2）（k+1），即证：4k2+12k+9＞4k2+12k+8，此式显然成立．所以，当n＝k+1时猜想也成立．综上可知：对n∈N*，猜想都成立，即成立．。

2014/2015学年度第二学期高二年级期终考试数 学 试 题注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．已知复数12z i =+（i 为虚数单位），则||z = ▲ ． 2．命题“(,0)x ∃∈-∞，使得34x x <”的否定是 ▲ ．3．某学校高三有1800名学生，高二有1500名学生，高一有1200名学生，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则应在高一抽取 ▲ 人．4．若在集合{1，2，3，4}和集合{5，6，7}中各随机取一个数相加，则和为奇数的概率为 ▲ ． 5．下面是一个算法的伪代码，输出结果是 ▲ ．6．函数()ln f x x x =-的单调递增区间是 ▲ ．7．若变量,x y 满足约束条件：2020350x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，则2x y +的最大值为 ▲ ．8．若双曲线C 经过点(2，2)，且与双曲线2214y x -=具有相同渐近线，则双曲线C 的标准方程为▲ ．9．在△ABC 中，若D 为BC 的中点，则有1()2AD AB AC =+，将此结论类比到四面体中，在四面体 A -BCD 中，若G 为△BCD 的重心，则可得一个类比结论： ▲ ．10．（理科学生做）已知0m >，若6260126(1)mx a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，且123663a a a a +++⋅⋅⋅+=，则实数m = ▲ ．（文科学生做）将函数()2sin(2)f x x ϕ=+的图像向右平移6π个单位后，得到的函数图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值为 ▲ ．11．（理科学生做）6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为 ▲ ． （文科学生做）设U 为全集，A 、B 是U 的子集，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆UC ”是“A ∩B＝φ”的 ▲ 条件．（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”） 12．若log 4(3a ＋4b )＝log则a ＋b 的最小值是 ▲ ． 13．中心在原点、焦点在x 轴上的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为1F 、2F ，且它们在第一象限的交点为P ，12PF F △是以2PF 为底边的等腰三角形．若210PF =，双曲线离心率的取值范围为()1,2，则椭圆离心率的取值范围是 ▲ ．14．已知函数21()ln (22)(0)4f x x ax a x a a=++-+>，若存在三个不相等的正实数123,,x x x ，使得312123()()()3f x f x f x x x x ===成立，则a 的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）（理科学生做）如图，,A B 两点之间有5条网线并联，它们能通过的信息量分别为2、3、3、4、4．现从中随机任取2条网线．（1）设选取的2条网线由A 到B 通过的信息总量为x ，当6x ≥时，则保证信息畅通． 求线路信息畅通的概率；（2）求选取的2条网线可通过信息总量的数学期望．（文科学生做）已知命题:12p x -≥和命题:q x Z ∈．若“p q 且”与“非q ”同时为假命题，求实数x 的值．第15题（理）图第13题图（理科学生做）如图，已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ABCD ⊥底面，2PA AB ==，4AD =，M 为侧棱PC 的中点．（1）求异面直线AM 与PD 所成角的余弦值； （2）求二面角B PC D --的余弦值．（文科学生做）已知函数22()cos sin cos 1f x x x x x =-++，x R ∈. （1）求()f x 的最小正周期及()f x 的最小值；（2）若()2f α=，且,42ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求α的值．17．（本小题满分14分）（理科学生做）若n 为正整数，试比较132n -⋅与23n +的大小，分别取1,2,3,4,5n =加以试验，根据试验结果猜测一个一般性结论，并用数学归纳法证明． （文科学生做）设,x y 都是正数，且2x y +>，试用反证法证明：12x y +<和12yx+<中至少有一个成立.18．（本小题满分16分）某仓库为了保持库内温度，四周墙上装有如图所示的通风设施，该设施的下部是等边三角形ABC ，其中AB =2米，上部是半圆，点E 为AB 的中点．△EMN 是通风窗，（其余部分不通风）MN 是可以沿设施的边框上下滑动且保持与AB 平行的伸缩杆（MN 和AB 不重合）． （1）设MN 与C 之间的距离为x 米，试将△EMN 的面积S 表示成x 的函数()S f x =； （2）当MN 与C 之间的距离为多少时，△EMN 面积最大？并求出最大值．第16题（理）图DB第18题图（图1）（图2）已知点00(,)P x y 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的任意一点（长轴的端点除外），1F 、2F 分别为左、右焦点，其中a ，b 为常数．（1）若点P 在椭圆的短轴端点位置时，12PF F ∆为直角三角形，求椭圆的离心率. （2）求证：直线00221x y x y a b+=为椭圆在点P 处的切线方程； （3）过椭圆的右准线上任意一点R 作椭圆的两条切线，切点分别为S 、T ．请判断直线ST 是否经过定点？若经过定点，求出定点坐标，若不经过定点，请说明理由．20．（本小题满分16分）设函数323(1)()312t f x x x tx +=-++（0t >）． （1）若2t =，求函数()f x 的极大值；（2）若存在0(0,2)x ∈，使得0()()f x f x 是在区间[0，2]上的最小值，求实数t 的取值范围； （3）若()x f x xe m ≤-（e 2.718≈）对任意的[0,)x ∈+∞恒成立时m 的最大值为1－，求实数t 的取值范围．2014/2015学年度第二学期高二年级期终考试数 学 答 案一、填空题： 12．(,0),34x x x ∀∈-∞≥都有 （图2）（图1）第19题图3． 40 4．125． 14 6．()1,+∞7． 48．221312x y -=9．1()3AG AB AC AD =++10．（理科）1（文科）56π 11．（理科）24 （文科）充要12．7+13． 2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭14．11()22e 二、解答题：15．（理科）解：（1）随机任取2条网线共有10种不同的情况．21324336,(6)1010P x ++=+=∴===，...................................................................................2' 4347,(7)10P x +=∴==，............................................................................................................4' 1448,(8)10P x +=∴==，............................................................................................................6'34184(6)101010105P x ∴≥=++==．...............................................................................................8'（2）21235,(5)105P x +====，..............................................................................................10'∴线路通过信息量的数学期望是1341()5678 6.45101010E x =⨯+⨯+⨯+⨯=． (1)3'答：（1）线路信息畅通的概率是45； （2）线路通过信息量的数学期望是6.4．..................14' 15．（文科）解：非q 为假命题，则q 为真命题；...................................................................................3'p q 且为假命题，则p 为假命题，......................................................................................................6' 即12,x x Z -<∈且，得212x -<-<，解得13,x x Z -<<∈，.....................................................................................................................12'0,1,2x ∴=或． .............................................................................................................................14' 16．（理科）解：（1）如图所示，以A 为原点，建立空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,4,0)D ，(0,0,2)P ，(2,4,0)C ，(1,2,1)M ，......................................................................................................................2'(1,2,1),(0,4,2)AM PD ==-，0cos ,6AM PD AM PD AM PD⋅+∴<>===，∴异面直线AM 与PD ． .........................................................................7' （2）设BPC 平面的法向量为(,,)x y z =m ，(0,4,0),(2,0,2)BC BP ==-，并且,BC BP ⊥⊥m m ， 40220y x z =⎧∴⎨-+=⎩，令1x =得1z =，0y =，∴MBD平面的一个法向量为(1,0,1)=m ．......................................................................................9' 设DPC 平面的法向量为(,,)a b c =n ，(2,0,0),(0,4,2)DC DP ==-，并且,DC DP ⊥⊥n n ，20420a b c =⎧∴⎨-+=⎩，令1b =得2c =，0a =，∴MBD平面的一个法向量为(0,1,2)=n ． .....................................................................................11' ∴cos ,⋅<>===⋅m n m n |m |n ，.......................................................................................13'∴二面角B PCD --的余弦值为.........................................................................................14'16．（文科）解：（1）22()cos sin cos 12cos 21f x x x x x x x =-++=++=2sin(2)16x π++． ..........................................................................................5'因此()f x 的最小正周期为π，最小值为1-．..................................................................................7' （2）由()2f α=得2sin(2)16πα++=2，即1sin(2)62πα+=．......................................................9' 而由,42ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得272,636παππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦．故5266παπ+=，解得3πα=．....................................................................................................14' 17．（理科）解：当1n =时，132n -⋅<23n +；当2n =时，132n -⋅<23n +； 当3n =时，132n -⋅=23n +； 当4n =时，132n -⋅>23n +；当5n =时，132n -⋅>23n +；..............................................................................................................5' 猜想：当4n ≥时，132n -⋅>23n +．.................................................................................................7' 证明：当4n =时，132n -⋅>23n +成立；假设当(4n k k =≥）时，132k -⋅>23k +成立， 则1n k =+时，左式=32k ⋅=1232k ⋅⋅－>223k +（），右式=213k ++（），因为223k +（）－213k ++[()]=222k k -+=211k +（－）>0，所以，左式>右式，即当1n k =+时，不等式也成立.综上所述：当4n ≥时，132n -⋅>23n +．..........................................................................................14' 17．（文科）证明：假设12x y +<和12y x +<都不成立，即12x y +≥， 12yx+≥..............................2'又,x y 都是正数，∴12x y +≥，12y x +≥两式相加得到2()2()x y x y ++≥+，. ............................................................................................8' 2x y ∴+≤． 与已知2x y +>矛盾，所以假设不成立，...........................................................................................12' 即12xy+<和12yx+<中至少有一个成立．......................................................................................14'18．解（1）①当MN 在三角形区域内滑动时即x ∈//,MN AB ABC ∆是等腰三角形，060MNC ∠= 连接EC 交MN 于P 点，则PC=x ，，MN = ABC ∆的面积1()||)2S f x MN x ==23x x =-+.....................................................................................4'②当MN在半圆形区域滑动即1)x ∈+时MN =..........................................................................................................................6' 所以23()(1)x x x S f x x x ⎧-+∈⎪==⎨⎪∈⎩......................................................8'（2）x ∈时，2()S f x x ==+的对称轴为x =所以2max ()f x f ===................................................................................11'当且仅当1)2x =取等号，..................................................................................15'又12>所以三角形EMN的面积最大值为12...............................................................................16' 19．解：记c =（1）当点P 在椭圆的短轴端点位置时，12PF F ∆则有a ，得e =． 所以，此时椭圆的离心率为2．......................4' （2）点00(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，得2200221x y a b+=．把00(,)x y 代入方程00221x y x y a b+=，得2200221x y a b +=，所以点00(,)P x y 在直线00221x y x y a b+=上，...............................................................................6'联列方程组2222002211x y a b x y x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 可得222220020a x a x x a x -+=， 解得0x x =，即方程组只有唯一解． 所以，直线00221x y x y a b +=为椭圆在点P 处的切线方程．......................................................10' （3）由题可设11(,)S x y 、22(,)T x y 、23(,)a R y c．由（2）结论可知，切线SR 的方程为11221x y x y a b +=① 切线TR的方程为22221x y x y +=②.....................................................12'把23(,)a R y c 分别代入方程①、②，可得11321x y y c b+=③和22321x y y c b +=④ 由③、④两式，消去3y ，可得1221x c y x c y -=-()()，即有12210)0)x c y x c y --=--()(()(，（图2）（图1）所以，点11(,)S x y 、22(,)T x y 、2(,0)F c 三点共线， 所以，直线ST经过定点，定点坐标为2F ．..........................................................16'20．解：（1）若2t =，则329()612f x x x x =-++， 所以，2'()396f x x x =-+，令'()0f x =，得1,2x =；令'()0f x <，得12x <<，所以，()f x 在区间（1，2）内递减，在区间（－∞，1）,（2，+∞）内递增，得()f x 的极大值为7(1)2f =．............................................................................................................4' （2）函数323(1)()312t f x x x tx +=-++． 得2'()33(1)33(1)()f x x t x t x x t =-++=--，0t >．令'()0f x =，得1,x t =；....................................................................................................................6' ①当2t ≥时，可以判定()f x 在区间（0，1）内递增，在区间（1，2）内递减， 此时，不存在0(0,2)x ∈使得0()()f x f x 是在[0，2]上的最小值；②当12t <<时，可以判定()f x 在区间（0，1）、（t ，2）内递增，在区间（1，t ）内递减， 欲存在0(0,2)x ∈使得0()()f x f x 是在[0，2]上的最小值， 则必须有()(0)f t f ≤，即3223(1)3112t t t t +-++≤，解得3t ≥，不合题意，舍去． ③当01t <<时，可以判定()f x 在区间（0， t ）、（1，2）内递增，在区间（t ，1）内递减， 欲存在0(0,2)x ∈使得0()()f x f x 是在[0，2]上的最小值， 则必须有(1)(0)f f ≤，即3112t +≤，解得13t ≤，所以，103t <≤． ④当1t =时，可以判定()f x 在区间（0，2）内递增， 不存在0(0,2)x ∈使得0()()f x f x 是在[0，2]上的最小值．综上所述，得t 的取值范围为1(0,]3．...........................................................................................10'（3）若()xf x xe m ≤-（e 为自然对数的底数）对任意的[0,)x ∈+∞恒成立，即 3223(1)3(1)31[3]122x x t t m xe x x tx x e x x t ++≤-+--=-+--对任意的0x ≥恒成立，.....11'令23()32(1)x g x t e x x t +-+-=，由于m 的最大值为1－， 所以23((30)1)2x t e x x t g x +-+-≥=恒成立．...............................................................................12'由(0)130g t =-≥可得103t <≤，当103t <≤时，3(1)2'()2x g x t e x =+-+， 再设3(1))2'(2()x h x g x t e x +=+=-，得'()20xh x e =-=，解得ln 2x =．()h x 在区间（0，ln2）内递减，在区间（ln2，+∞）内递增，()h x 的最小值为3(1)(ln 2)22ln 22t h +=+-，可以判定(ln 2)0h >，即'()0g x >，所以()g x 在区间[0，+∞）内递增，则有()g x 在区间[0，+∞）内的最小值(0)130g t =-≥，得13t ≤．所以，t 的取值范围是1(0,]3．.....................................................................................................16'。

江苏省扬州中学 2014-2015学年高二下学期期中考试（理）一、填空（本大共 14小，每小 5 分，共70 分．）1.若复数z i( 2 z)，z =.2. 用数学法明1+a a2a3a n 11a n 2(a 1,n N*)，在 n=1 成立1 a，等式左是.3．已知f1 ( x) sin x cosx ,且f2( x)f1' (x) , f3 (x) f2' ( x) ,⋯,f n( x) f n'1 ( x) ,⋯* ≥2),f1 ( ) f 2 ( ) f 2015 () =.(n N , n4444.已知三棱 O-ABC，点 G 是△ ABC的重心。

OA a ， OB b ， OC c ，那么向量 OG 用基底 { a ， b ， c }可以表示.5.将 3 名男生和 4 名女生排成一行，甲、乙两人必站在两，不同的排列方法共有种。

（用数字作答）6.某医院有内科医生 5 名，外科医生 6 名，要派 4 名医生参加灾医，如果要求内科医生和外科医生中都有人参加，有种法（用数字作答）．7 ．一种警器的可靠性90 ％，那么将两只的警器并后能将可靠性提高到．8．用数学法明“1111＜n (n N *，n＞1) ” ，由n k (k ＞232n11 )不等式成立，推n k1，左增加的数是．9．若| z i | 1， | z |最大__________．10.均正整数，且最大11 的三角形的个数. 11．(x1)(2x1)(3x1)(10x1)展开式中 x的一次系数．12．已知117m.m m10Cm， C8=C 5C6713. 已知关于数x, y的方程x3y 32没有数解，数k,d的取范y kx d.14.,是关于x的方程x22x m 0(m R) 的两个根，的.二、解答（本大共 6 道，共90 分）15． (本小分15 分 )222222*求： 1 － 2 ＋ 3 － 4 ＋⋯＋ (2 n－1) － (2 n) ＝－n(2 n＋1)( n∈ N ) ．z 是虚数，z 1是数，且1 2 . z（ 1）求 |z| 的；（ 2）求 z 的部的取范．17． (本小分15 分 )如，四形 ABCD 是正方形，△PAB与△PAD均是以A直角点的等腰直角三角形，点F 是 PB 的中点，点 E 是BC上的任意一点.（ 1）求：AF EF ；（ 2）求二面角A PC B 的平面角的正弦.18．(本小分16 分 )函数(, n)1nf x , n N ．x（ 1）求f ( x,6)的展开式中系数最大的；（ 2）若f (i,n)32i （i虚数位）,求 C n1C n3C n5C n7C n9．19．(本小分16 分 )子蛙跳游是 : 青蛙第一步从如所示的正方体ABCD A1 B1C1D1点 A 起跳，每步从一点跳到相的点．（1）直接写出跳两步跳到C的概率P；（2）求跳三步跳到C1的概率P1；（3）青蛙跳五步，用X表示跳到过C1的次数，求随机变量X的概率分布．20.( 本小题满分 16 分 )设 M是由满足下列条件的函数 f ( x) 构成的集合：“① f ( x) 的定义域为R；②方程f ( x) x 0 有实数根；③函数 f (x) 的导数 f ( x) 满足 0 f (x)1”.x sin x（ 1）判断函数 f ( x)是否是集合M中的元素，并说明理由；24（ 2）证明：方程 f ( x) x0 只有一个实数根；（ 3）证明：对于任意的x1, x2 , x3，当 | x2x1 | 1 且 | x3x1 | 1时，| f (x3 ) f ( x2 ) | 2 .答案一 .填空题：1. 1 i2. 1 a a23. 04. 1 a 1 b 1 c5. 2406. 3107. 99%3338.2k9.210.3611. 5512.2813. k1且 d2或 d 0 14.21m, (m 0)2,(0m1)2m,( m1)二．解答：15．明：① n＝1，左＝12－22＝－3，右＝－3，等式成立．16．解：（ 1） z＝ a＋bi （ a,b ∈ R 且 b≠0）ω a bi1 1 a biω a bia abi ba b b i.a 2b22b2a ab ab2a2b i.a20,2221,即| z| 1.ω 是实数，b a b（2）a2b21,即| z| 1.ω是实数，b 0,于是ω 2a,由1ω 2知1a 1.于是ω 2a,由 1ω2知121.2a17．（ 1）明：∵F是PB的中点，且PA AB ，∴AF PB .∵ △ PAB 与△ PAD 均是以 A 直角点的等腰直角三角形，∴PA AD ， PA AB .∵AD AB A ，AD平面 ABCD ，AB平面 ABCD ，∴PA 平面ABCD.∵BC平面ABCD，⋯⋯⋯6′⋯⋯⋯15′⋯⋯⋯8′⋯⋯⋯15′∴PA BC .∵四形 ABCD 是正方形，∴BC AB .∵PA AB A ，PA平面PAB，AB 平面 PAB ，∴BC 平面PAB.∵AF平面PAB，∴BC AF .∵PB BC B ，PB平面PBC，BC平面PBC，∴AF 平面PBC ∵EF 平面PBC ∴AF EF ..，⋯⋯⋯ 6′（）解法：作FH PC 于 H，接 AH ，21∵ AF ⊥平面PBC，PC平面 PBC∴AF PC .∵AF FH F ，AF平面AFH，FH平面AFH，∴PC ⊥平面AFH.∵AH 平面 AFH ，∴ PC AH .∴∠ AHF 二面角A PC B 的平面角.正方形 ABCD 的 2 ， PA AB 2 ，AC 2 2，在 Rt△PAB中，AF1PB12222 2 ，22在 Rt△PAC中，PC PA2AC2 2 3 ，AH PA AC 26，在 Rt △AFHPC3AF3中， sin AHF.AH2∴二面角 A PC B 的平面角的正弦 3 .⋯⋯⋯⋯ 15′22AD, AB, APx y建立空间直角坐标系A xyz ，设PA 1 ，则P 0,0,1 ， B 0,1,0 ， C 1,1,0 , D 1,0,0 .∴ PB 0,1, 1 ， BC 1,0,0 .设平面 PBC 的法向量为m（x, y，）z，由 m PB0,得yz 0,m BC0,x0.令 y 1，得z 1 ，∴ m0,1,1为平面 PBC 的一个法向量.∵ PA平面 ABCD ，PA平面 PAC ，∴平面 PAC平面 ABCD .连接 BD ，则BD AC .∵平面 PAC平面 ABCD AC ，BD平面 ABCD ，∴ BD平面 PAC .∴平面 PAC 的一个法向量为BD1, 1,0.设二面角 A PC B 的平面角为，则 cos cos m, BDm BD1m BD .2∴ sin1cos23.2∴二面角 A PC B 的平面角的正弦 3 .⋯⋯⋯⋯ 15′218．解：（1）展开式中系数最大的是第320x3 ；⋯⋯⋯ 6′4 ＝C63x（2）由已知，(1＋i )n32i ，两取模，得 (2) n32 ，所以n10.所以 C n1C n3 C n5C n7C n9= C101C103C105C107C109而 (1＋i )10C100C101i C102i 2C109i 9C1010i10C100－ C102C104－ C106C108－ C1010C101－ C103＋ C105－ C107C109i32i所以 C101C103C105C107C10932.⋯⋯⋯⋯ 16′19．解：将A示0，A1、 B、D 示 1，B1、 C、D1示2，C1示 3，从 A 跳到 B 01，从 B 跳到 B1再跳到 A1121，其余推 .从 0 到 1 与从 3 到 2 的概率 1，从 1到 0 与从 2 到 3 的概率1，从 1到 2 与从 2 到 1 的概率2. 33（1） P＝2；⋯⋯⋯ 4′9（2） P＝ P（ 0123）＝ 12 1 ＝ 2 ；⋯⋯⋯ 10′339（3） X＝ 0,1， 2. P（ X＝ 1）＝ P（010123 ）＋ P（ 012123）＋ P（ 012321 ）＝ 11121＋ 12221＋ 121123333333333＝ 26，P（X＝ 2）＝ P（ 012323）＝ 1211 1 ＝6，813338149P（ X＝ 0）＝ 1－ P（ X＝ 1）－ P（ X＝ 2）＝81或P（ X＝ 0）＝ P（010101）＋ P（ 010121 ）＋ P（ 012101）＋ P（012121 ）＝11111＋ 11122＋12211＋ 1222 2 ＝ 49 ，33333333333381 X012p49266818181⋯⋯⋯⋯16′20. 解：（ 1）易函数 f ( x)x sin x足条件①②③，因此 f (x)M⋯⋯⋯ 4′24（ 2）假 f (x)x0存在两个根, () ， f ()0 ， f ()0 不妨，∵f ( x)1∴函数f ( x) x减函数，∴f ( )>0f ( ), 矛盾 . 所以方程 f (x)x0 只有一个数根⋯⋯⋯ 10′（3）不妨x2x3，∵f ( x)0 ，∴ f ( x) 增函数，∴f (x2) f ( x3 ) ，又∵ f ( x)1∴函数 f ( x)x 减函数，∴ f ( x2 )x2 f (x3 ) x3，∴ 0 f ( x3 ) f (x2 )x3x2，即 | f ( x3 ) f ( x2 ) | | x3x2 | ，∴ |f ( x3 ) f ( x2 ) | |x3x2| | x3x1 ( x2 x1 ) | | x3 x1 || x2x1 | 2 ⋯⋯⋯⋯16′。

2013-2014学年江苏省盐城中学高二（下）周练数学试卷（2）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题(本大题共13小题，共65.0分)1.高二某班共有48人，学号依次为1，2，3，…，48，现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知学号5，29，41在样本中，那么还有一个同学的学号应为______ ．【答案】17【解析】解：48人中抽取样本容量为4的样本，则样本组距为48÷4=12，则5+12=17，故另外一个同学的学号为17，故答案为：17根据系统抽样的定义，求出对应的组距即可得到结论．本题主要考查系统抽样的定义，求出组距是解决本题的关键．2.集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是______ ．【答案】【解析】解：集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各任意取一个数有2×3=6种，其两数之和为4的情况有两种：2+2，1+3，∴这两数之和等于4的概率p==．故答案为：．利用古典概型概率计算公式求解．本题考查概率的计算，解题时要认真审题，是基础题．3.在区间[-2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m= ______ ．【答案】3【解析】解：如图区间长度是6，区间[-2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，所以m=3．故答案为：3．画出数轴，利用x满足|x|≤m的概率为，直接求出m的值即可．本题考查几何概型的求解，画出数轴是解题的关键．4.某市连续5天测得空气中PM2.5（直径小于或等于2.5微米的颗粒物）的数据（单位：mg/m3）分别为115，125，132，128，125，则该组数据的方差为______ ．【答案】【解析】解：由题意得：=（115+125+132+128+125）=125，∴数据的方差S2=[（115-125）2+（125-125）2+（132-125）2+（128-125）2+（125-125）2]=．故答案为：先由平均数的公式计算出这组数据的平均值，再根据方差的公式计算．此题主要考查了方差的定义以及平均数的求法，正确记忆方差公式，一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2=[（x1-）2+（x2-）2+…+（x n-）2]，是解决问题的关键．5.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标，则点P落在圆x2+y2=16内的概率是______ ．【答案】【解析】解：由题意知，本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标，共有6×6=36种结果，而满足条件的事件是点P落在圆x2+y2=16内，列举出落在圆内的情况：（1，1）（1，2）（1，3）（2，1）（2，2）（2，3）（3，1）（3，2），共有8种结果，根据古典概型概率公式得到P==，故答案为：本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标，共有6×6种结果，而满足条件的事件是点P落在圆x2+y2=16内，列举出落在圆内的情况共有8种结果，求比值得到结果．本题是一个古典概型问题，这种问题在高考时可以一道解答题，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题可以列举出所有事件．6.若在区间（-1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b，则直线ax-by=0与圆（x-1）2+（y-2）2=1相交的概率为______ ．【答案】【解析】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是在区间（-1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b，对应的面积是2×1=2，满足条件的事件是圆心（1，2）到直线的距离小于或等于半径，即，∴4a≥3b，在所有事件组成的集合中，满足3b≥4a有x轴左边，b＜1的部分，∴要求的概率是=，故答案为：本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是在区间（-1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b，对应的面积是2×1，满足条件的事件是圆心（1，2）到直线的距离小于或等于半径，整理出结果，得到概率．本题考查等可能事件的概率，要求得概率等于符合条件的面积之比，注意满足条件的事件所满足的条．件在整理时，应用点到直线的距离公式，注意变形整理．7.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1内任取一点P，则点P到点A的距离小于a的概率为______ ．【答案】【解析】解：由由题意可得正方形的体积为a3，与点A距离等于a的点的轨迹是一个八分之一个球面，体积为，则点P到点A的距离小于等于a的概率为：故答案为：由题意可得，点A距离等于a的点的轨迹是一个八分之一个球面，求出其体积，再根据几何概型概率公式结合正方体的体积的方法求解即可．本小题主要考查几何概型、几何概型的应用、几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、化归与转化思想．属于基础题．8.按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是______ ．【答案】5【解析】解：由图知运算规则是对S=2S+1，故第一次进入循环体后S=2×1+1=3，第二次进入循环体后S=2×3+1=7，第三次进入循环体后S=2×7+1=15，第四次进入循环体后S=2×15+1=31，第五次进入循环体后S=2×31+1=63，由于A的初值为1，每进入一次循环体其值增大1，第五次进入循环体后A=5故判断框中M的值应为5，这样就可保证循环体只能被运行五次故答案为5．由图知，每次进入循环体后，S的值被施加的运算是乘以2加上1，故由此运算规律进行计算，经过次运算后输出的结果是63，故应填5本题考查循环结构，已知运算规则与最后运算结果，求运算次数的一个题．是算法中一种常见的题型．9.若f（x）=x2-2x-4lnx，则f′（x）＞0的解集为______ ．【答案】（2，+∞）【解析】解：要使函数有意义，则x＞0，∵f（x）=x2-2x-4lnx，∴f′（x）=2x-2=，若f′（x）＞0，则=＞0，即x2-x-2＞0，解得x＞2或x＜-1（舍去），故不等式f′（x）＞0的解集为（2，+∞）．故答案为：（2，+∞）．先求函数定义域，然后求函数的导数，解不等式即可．本题主要考查导数的基本计算和导数不等式的求解，先求出函数的定义域是解决本题的关键，要求熟练掌握常见函数的导数公式．10.如图，F 1，F 2是椭圆C 1：+y 2=1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是 ______ ． 【答案】【解析】解：设|AF 1|=x ，|AF 2|=y ， ∵点A 为椭圆 ：上的点，∴2a =4，b =1，c = ；∴|AF 1|+|AF 2|=2a =4，即x +y =4；① 又四边形AF 1BF 2为矩形， ∴ ， 即x 2+y 2=（2c ）2=12，②由①②得， 解得x =2- ，y =2+ ，设双曲线C 2的实轴长为2a ′，焦距为2c ′， 则2a ′=|AF 2|-|AF 1|=y -x =2 ，2c ′=2 ， ∴C 2的离心率是e = ′′=．故答案为：．设|AF 1|=x ，|AF 2|=y ，利用椭圆的定义，四边形AF 1BF 2为矩形，可求出x ，y 的值，进而可得双曲线的几何量，即可求出双曲线的离心率．本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF 1|与|AF 2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．11.已知椭圆＞ ， ＞ 的左、右焦点分别为F 1（-c ，0），F 2（c ，0），若椭圆上存在点P （异于长轴的端点），使得csin ∠PF 1F 2=asin ∠PF 2F 1，则该椭圆离心率的取值范围是 ______ ． 【答案】＜ ＜【解析】解：∵△PF 1F 2中，由正弦定理得 ∠=∠， ∴= ∠∠．又∵csin ∠PF 1F 2=asin ∠PF 2F 1，∴ ∠∠==e （e 为椭圆的离心率），由此可得=e ，作出椭圆的左准线l ，设P 在l 上的射影为点Q ，连结PQ ，由椭圆的第二定义，得，因此|PQ|=|PF2|=．设P（x，y），可得|PQ|=x+，∴|PF2|=x+，|PF1|=e|PF2|=e（x+）．由椭圆的第一定义，得|PF2|+|PF1|=2a，即（1+e）（x+）=2a，解得x=-=．∵P（x，y）为椭圆上一点，满足-a＜x＜a，∴-a＜＜a，即-1＜＜1，解之得e＜或e＞∵椭圆的离心率e∈（0，1），∴该椭圆离心率的取值范围是＜＜．故答案为：＜＜根据正弦定理与题中等式，算出=e（e是椭圆的离心率）．作出椭圆的左准线l，作PQ⊥l于Q，根据椭圆的第二定义得，所以|PQ|=|PF2|=．设P（x，y），将|PF1|、|PF2|表示为关于a、c、e、x的式子，利用|PF2|+|PF1|=2a解出x=．最后根据椭圆上点的横坐标满足-a≤x≤a，建立关于e的不等式并解之，即可得到该椭圆离心率的取值范围．本题给出椭圆上点P满足到左、右焦点的距离之比等于离心率e，求离心率的取值范围．着重考查了正弦定理、椭圆的定义与简单几何性质和不等式的解法等知识，属于中档题．12.已知三次函数＜在R上单调递增，则的最小值为______ ．【答案】【解析】解：由题意f'（x）=ax2+bx+c≥0在R上恒成立，则a＞0，△=b2-4ac≤0．∴=≥=，令t=（t＞1），∴≥=+[3（t-1）+]≥，（当且仅当t=+1时取“=”）故答案为：．由题意得f'（x）=ax2+bx+c在R上恒大于或等于0，得a＞0，△=b2-4ac≤0，将此代入，将式子进行放缩，以为单位建立函数关系式，最后构造出运用基本不等式的模型使问题得到解决．本题考查了利用导数工具研究三次函数的单调性以及函数与方程的综合应用问题，属于中档题．13.设f（x）是定义在R上的增函数，且对于任意的x都有f（1-x）+f（1+x）=0恒成立．如果实数m、n满足不等式组＞＜，那么m2+n2的取值范围是______ ．【答案】（13，49）【解析】解：由于对于任意的x都有f（1-x）+f（1+x）=0恒成立，则-f（n2-8n）=f（2-n2+8n），即有f（m2-6m+23）+f（n2-8n）＜0，即为f（m2-6m+23）＜f（2-n2+8n），由于f（x）是定义在R上的增函数，则m2-6m+23＜2-n2+8n，即有（m-3）2+（n-4）2＜4，又m＞3，则原不等式组表示的平面区域为右半圆内的部分，由于m2+n2表示点（m，n）与原点的距离d的平方，由图象可得d∈（|OA|，|OB|），即d∈（，7）．即有m2+n2的取值范围是（13，49）．故答案为：（13，49）．由于对于任意的x都有f（1-x）+f（1+x）=0恒成立，则-f（n2-8n）=f（2-n2+8n），则原不等式组可化为f（m2-6m+23）＜f（2-n2+8n），且m＞3，再由单调性可得（m-3）2+（n-4）2＜4，又m＞3，则原不等式组表示的平面区域为右半圆内的部分，由于m2+n2表示点（m，n）与原点的距离d的平方，通过图象观察即可得到取值范围．本题考查抽象函数及运用，考查函数的单调性及应用，考查不等式组表示的平面区域，考查直线与圆的位置关系，以及数形结合的思想方法，属于中档题．二、解答题(本大题共5小题，共60.0分)14.设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0．（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（2）若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．【答案】解：设事件A为“方程有实根”．当a＞0，b＞0时，方程有实根的充要条件为a≥b（1）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件共12个：（0，0）（0，1）（0，2）（1，0）（1，1）（1，2）（2，0）（2，1）（2，2）（3，0）（3，1）（3，2）其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含9个基本事件，∴事件A发生的概率为P==（2）由题意知本题是一个几何概型，试验的全部结束所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}满足条件的构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}∴所求的概率是【解析】首先分析一元二次方程有实根的条件，得到a≥b（1）本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件可以通过列举得到结果数，满足条件的事件在前面列举的基础上得到结果数，求得概率．（2）本题是一个几何概型，试验的全部结束所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}，满足条件的构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，根据概率等于面积之比，得到概率．本题考查古典概型及其概率公式，考查几何概型及其概率公式，本题把两种概率放在一个题目中进行对比，得到两种概率的共同之处和不同点．15.某商场对A品牌的商品进行了市场调查，预计2012年从1月起前x个月顾客对A 品牌的商品的需求总量P（x）件与月份x的近似关系是：P（x）=x（x+1）（41-2x）（x≤12且x∈N*）（1）写出第x月的需求量f（x）的表达式；（2）若第x月的销售量g（x）=，＜且，且（单位：件），每件利润q（x）元与月份x的近似关系为：q（x）=，问：该商场销售A品牌商品，预计第几月的月利润达到最大值？月利润最大值是多少？（e6≈403）【答案】解：（1）当x=1时，f（1）=P（1）=39；当x≥2时，f（x）=P（x）-P（x-1）=x（x+1）（41-2x）-（x-1）x（43-2x）=3x（14-x）．∴f（x）=-3x2+42x（x≤12且x∈N*）；（2）设月利润为h（x），则h（x）=q（x）g（x）=，且，且，∴h′（x）=，且，且．∴当1≤x≤6时，h′（x）≥0，当6＜x＜7时，h′（x）＜0，∴h（x）在x∈[1，6]上单调递增，在（6，7）上单调递减，∴当1≤x＜7且x∈N*时，h（x）max=h（6）=30e6≈12090；∵当7≤x≤8时，h′（x）≥0，当8≤x≤12时，h′（x）≤0，∴h（x）在x∈[7，8]上单调递增，在（8，12）上单调递减，∴当7≤x≤12且x∈N*时，h（x）max=h（8）≈2987＜12090．综上，预计该商场第6个月的月利润达到最大，最大利润约为12090元．【解析】（1）由P（x）=x（x+1）（41-2x）取x=1求出f（1），再结合f（x）=P（x）-P（x-1）求得x≥2时的f（x），则第x月的需求量f（x）的表达式可求；（2）设月利润为h（x），由h（x）=q（x）g（x）求得h（x）的解析式，分别求导后利用单调性求得函数在不同区间内的最大值，比较后得答案．本题考查了函数模型的选择及应用，考查了利用导数求函数的最值，训练了数学建模思想方法，是中档题．16.已知椭圆C的中心在坐标原点，右焦点为F（1，0），A、B是椭圆C的左、右顶点，P是椭圆C上异于A、B的动点，且△APB面积的最大值为2．（1）求椭圆C的方程；（2）直线AP与直线x=2交于点D，证明：以BD为直径的圆与直线PF相切．【答案】（1）解：由题意可设椭圆C方程为：+=1（a＞b＞0），则因为右焦点为F（1，0），△APB面积的最大值为2，所以，所以a=2，b=，所以椭圆C的方程为．…（6分）（2）证明：由题意，设直线AP的方程为y=k（x+2）（k≠0）．则点D坐标为（2，4k），BD中点E的坐标为（2，2k）．由直线方程代入椭圆方程可得（3+4k2）x2+16k2x+16k2-12=0．设点P的坐标为（x0，y0），则-2x0=．所以x0=，y0=．…（10分）因为点F坐标为（1，0），当k=±时，点P的坐标为（1，±），点D的坐标为（2，±2）．直线PF⊥x轴，此时以BD为直径的圆（x-2）2+（y-2k）2=1与直线PF相切．…（11分）当k≠±时，则直线PF的斜率=．所以直线PF的方程为y=（x-1）．…（13分）点E到直线PF的距离d==2|k|．…（15分）又因为|BD|=4|k|，所以d=|BD|．故以BD为直径的圆与直线PF相切．综上得，以BD为直径的圆与直线PF相切．…（16分）【解析】（1）设椭圆C方程，利用右焦点为F（1，0），△APB面积的最大值为2，建立方程组，即可求椭圆C的方程；（2）设直线AP的方程，可得D的坐标，直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理求出P 的坐标，分类讨论，结合点到直线的距离公式，即可得出结论．本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17.已知函数f（x）=x2+2ax+1（a∈R），f′（x）是f（x）的导函数．（1）若x∈[-2，-1]，不等式f（x）≤f′（x）恒成立，求a的取值范围；（2）解关于x的方程f（x）=|f′（x）|；（3）设函数′，′，＜′，求g（x）在x∈[2，4]时的最小值．【答案】解：（1）因为f（x）≤f′（x），所以x2-2x+1≤2a（1-x），又因为-2≤x≤-1，所以在x∈[-2，-1]时恒成立，因为，所以．（2）因为f（x）=|f′（x）|，所以x2+2ax+1=2|x+a|，所以（x+a）2-2|x+a|+1-a2=0，则|x+a|=1+a或|x+a|=1-a．①当a＜-1时，|x+a|=1-a，所以x=-1或x=1-2a；②当-1≤a≤1时，|x+a|=1-a或|x+a|=1+a，所以x=±1或x=1-2a或x=-（1+2a）；③当a＞1时，|x+a|=1+a，所以x=1或x=-（1+2a）．（3）因为f（x）-f′（x）=（x-1）[x-（1-2a）]，′，′，＜′①若，则x∈[2，4]时，f（x）≥f′（x），所以g（x）=f′（x）=2x+2a，从而g（x）的最小值为g（2）=2a+4；②若＜，则x∈[2，4]时，f（x）＜f′（x），所以g（x）=f（x）=x2+2ax+1，当＜时，g（x）的最小值为g（2）=4a+5，当-4＜a＜-2时，g（x）的最小值为g（-a）=1-a2，当a≤-4时，g（x）的最小值为g（4）=8a+17．③若＜，则x∈[2，4]时，，，，，当x∈[2，1-2a）时，g（x）最小值为g（2）=4a+5；当x∈[1-2a，4]时，g（x）最小值为g（1-2a）=2-2a．因为＜，（4a+5）-（2-2a）=6a+3＜0，所以g（x）最小值为4a+5．综上所述，，，＜＜，＜，．【解析】（1）根据f（x）≤f′（x），可得x2-2x+1≤2a（1-x），分离参数，确定右边函数的最大值，即可求a的取值范围；（2）由f（x）=|f′（x）|，可得|x+a|=1+a或|x+a|=1-a，再分类讨论，即可得到结论；（3）由f（x）-f′（x）=（x-1）[x-（1-2a）]，′，′，＜′，对a进行分类讨论，即可确定g（x）在x∈[2，4]时的最小值．本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．18.如图，椭圆+=1（a＞b＞0）的上、下两个顶点为A，B，直线l：y=-2，点P是椭圆上异于点A、B的任意一点，连接AP并延长交直线l于点N，连接PB并延长交直线l于点M，设AP所在的直线的斜率为k1，BP所在的直线的斜率为k2，若椭圆的离心率为，且过点A（0，1）．（1）求k1•k2的值及线段MN的最小值；（2）随着点P的变化，以MN为直径的圆是否恒过定点？若过定点，求出该定点；如不过定点，请说明理由．【答案】解：（1）因为e==，b=1，又a2-b2=c2，解得a=2，所以椭圆C的标准方程为+y2=1．设椭圆上点P（x0，y0），有+y02=1，所以k1•k2===-．因为M，N在直线l：y=-2上，设M（x1，-2），N（x2，-2），由方程知+y2=1知，A（0，1），B（0，-1），所以K BM•k AN==，又由上面知k AN•k BM=k1•k2=-，所以x1x2=-12，不妨设x1＜0，则x2＞0，则MN=|x1-x2|=x2-x1=x2+≥2=4，所以当且仅当x2=-x1=2时，MN取得最小值4．（2）设M（x1，-2），N（x2，-2），则以MN为直径的圆的方程为（x-x1）（x-x2）+（y+2）2=0，即x2+（y+2）2-12-（x1+x2）x=0，若圆过定点，则有x=0，x2+（y+2）2-12=0，解得x=0，y=-2±2，所以，无论点P如何变化，以MN为直径的圆恒过定点（0，-2±2）．【解析】（1）由题意可知e==，b=1，又a2-b2=c2，解出a，b得到椭圆方程，设椭圆上点P（x0，y0），代入椭圆方程，再由斜率公式，即可得到k1•k2的值，设M（x1，-2），N（x2，-2），求出x1x2=-12，再由基本不等式求出MN=|x1-x2|的最小值；（2）设M（x1，-2），N（x2，-2），则以MN为直径的圆的方程为（x-x1）（x-x2）+（y+2）2=0，化简整理，若圆过定点，则有x=0，x2+（y+2）2-12=0，解出即可判断．本题考查椭圆的方程和性质，圆的方程的求法，考查直线的斜率公式的运用，以及恒过定点问题，运算和化简能力，属于中档题．。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作江苏省黄桥中学高二数学(理科)周周练十2015/6/2一、填空题1、已知复数z ＝2i1－i－1，其中i 为虚数单位，则z 的模为 ▲ ．2、如果复数2－b i1＋2i (其中i 为虚数单位，b 为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b 等于▲ ．3、已知a ∈R ，则“a ＞2”是“a 2＞2a ”成立的 ▲ 条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)4、已知四边形ABCD 为梯形，AB ∥CD ，l 为空间一直线，则“l 垂直于两腰AD ，BC ”是“l 垂直于两底AB ，DC ”的 ▲ 条件(填写“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中的一个)．5、记不等式x 2＋x －6＜0的解集为集合A ，函数y ＝lg(x －a )的定义域为集合B ．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则实数a 的取值范围为 ▲ ．6、给出下列三个命题： ①“a ＞b ”是“3a ＞3b ”的充分不必要条件； ②“α＞β”是“cos α＜cos β”的必要不充分条件；③“a =0”是“函数f (x ) = x 3+ax 2（x ∈R ）为奇函数”的充要条件．其中正确命题的序号为 ▲ ．7、现有一个关于平面图形的命题：如下图，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 24.类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 ▲ ．8、如上图，在平面中△ABC 的角C 的内角平分线CE 分△ABC 面积所成的比S △AEC S △BEC ＝ACBC，将这个结论类比到空间：在三棱锥A -BCD 中，平面DEC 平分二面角A -CD -B 且与AB 交于E ，则类比的结论为 ▲ ．9、设p ：方程x 2＋2mx ＋1＝0有两个不相等的正根，q ：方程x 2＋2(m －2)x －3m ＋10＝0无实根，则使p ∨q 为真，p ∧q 为假的实数m 的取值范围是 ▲ ． 10、某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 ▲ ．种．11、从甲、乙等10名同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有 ▲ ．种．12、已知(a 2＋1)n 展开式中各项系数之和等于⎝⎛⎭⎫165x 2＋1x 5的展开式的常数项，而(a 2＋1)n 展开式的二项式系数最大的项的系数等于54，则a 的值为 ▲ ．13、已知集合A ＝{x |x 2＋a ≤(a ＋1)x ，a ∈R }，∃a ∈R ，使得集合A 中所有整数的元素和为28，则实数a 的取值范围是 ▲ ．14、已知函数32()2f x x x mx =-++，若对任意12,x x ∈R ，均满足[]1212()()0x x f x f x -->（），则实数m 的取值范围是 ▲ ．二、解答题 15、已知矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤a 11a ，直线l ：x －y ＋4＝0在矩阵A 对应的变换作用下变为直线l '：x －y ＋2a ＝0．（1）求实数a 的值；（2）求A 2．16、在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos sin x r y r αα=⎧⎨=⎩，，（α为参数，r 为常数，r＞0）．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos()204ρθπ++=．若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且22AB =，求r 的值．17、袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中．重复上述过程n次后，袋中白球的个数记为X n．（1）求随机变量X2的概率分布及数学期望E(X2)；（2）求随机变量X n的数学期望E(X n)关于n的表达式．18、在等比数列{a n}中，前n项和为S n，若S m，S m＋2，S m＋1成等差数列，则a m，a m＋2，a m＋1成等差数列．(1)写出这个命题的逆命题；(2)判断逆命题是否为真？并给出证明．19、在各项均为正数的数列{a n }中，数列的前n 项和为S n 满足S n ＝12⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n . (1)求a 1，a 2，a 3的值；(2)由(1)猜想出数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．20、某品牌设计了编号依次为1,2,3，…，n (n ≥4，且n ∈N *)的n 种不同款式的时装，由甲、乙两位模特分别独立地从中随机选择i ，j (0≤i ，j ≤n ，且i ，j ∈N )种款式用来拍摄广告．(1)若i ＝j ＝2，且甲在1到m (m 为给定的正整数，且2≤m ≤n －2)号中选择，乙在(m ＋1)到n 号中选择．记P st (1≤s ≤m ，m ＋1≤t ≤n )为款式(编号)s 和t 同时被选中的概率，求所有的P st 的和；(2)求至少有一个款式为甲和乙共同认可的概率．江苏省黄桥中学高二数学(理科)周周练十参考答案1、 52、－233、充分不必要4、充分不必要5、(－∞，－3]6、③7、a 388、V A -CDEV B -CDE ＝S △ACD S △BDC 9、(－∞，－2]∪[－1,3) 10、42 11、140 12、±3 13、[7,8) 14、1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭15、解：（1）设直线l 上一点M 0(x 0，y 0)在矩阵A 对应的变换作用下变为l '上点M (x ，y )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤a 11a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax 0＋y 0x 0＋ay 0， 所以⎩⎨⎧x ＝ax 0＋y 0，y ＝x 0＋ay 0．代入l '方程得(ax 0＋y 0)－(x 0＋ay 0)＋2a ＝0，即(a －1)x 0－(a －1)y 0＋2a ＝0． 因为(x 0，y 0)满足x 0－y 0＋4＝0，所以2a a －1＝4，解得a ＝2．（2）由A ＝⎣⎡⎦⎤2112，得A 2＝⎣⎡⎦⎤2112⋅⎣⎡⎦⎤2112＝⎣⎡⎦⎤5445．16、解：由2cos()204ρθπ++=，得cos sin 20ρθρθ-+=，即直线l 的方程为20x y -+=．由cos sin x r y r αα=⎧⎨=⎩，，得曲线C 的普通方程为222x y r +=，圆心坐标为(0,0)，所以，圆心到直线的距离2d =，由222AB r d =-，则2r =．17、解：（1）由题意可知X 2=3，4，5．当X 2=3时，即二次摸球均摸到白球，其概率是P (X 2=3)=11331188C C C C ⨯=964；当X 2=4时，即二次摸球恰好摸到一白，一黑球，其概率是P (X 2=4)=1111355411118888C C C C C C C C +=3564；当X 2=5时，即二次摸球均摸到黑球，其概率是P (X 2=5)=11541188C C C C =516．……4分所以随机变量X 2的概率分布如下表：X 23 4 5 P964 3564 516（一个概率得一分 不列表不扣分） 数学期望E (X 2)=935526734564641664⨯+⨯+⨯=．……………………………… 7分（2）设P (X n =3+k )=p k ，k =0，1，2，3，4，5．则p 0+p 1+p 2+p 3+p 4+p 5=1，E (X n )=3p 0+4p 1+5p 2+6p 3+7p 4+8p 5．P (X n +1=3)=038p ，P (X n +1=4)=58p 0+48p 1，P (X n +1=5)=48p 1+58p 2，P (X n +1=6)=38p 2+68p 3，P (X n +1=7)=28p 3+78p 4，P (X n +1=8)=18p 4+88p 5，……………………… 10分所以，E (X n +1)=3×38p 0+4×(58p 0+48p 1)+5×(48p 1+58p 2)+6×(38p 2+68p 3)+7×(28p 3+78p 4)+8×(18p 4+88p 5)=298p 0+368p 1+438p 2+508p 3+578p 4+648p 5 =78(3p 0+4p 1+5p 2+6p 3+7p 4+8p 5)+ p 0+p 1+p 2+p 3+p 4+p 5 =78E (X n )+1． …………………13分 由此可知，E (X n +1)-8=78(E (X n )-8)．又E (X 1)-8=358-，所以E (X n )=13578()88n --．…………………………… 15分18、解 (1)逆命题：在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列，则S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列． (2)设数列{a n }的首项为a 1，公比为q . 由题意知，2a m ＋2＝a m ＋a m ＋1， 即2a 1·q m ＋1＝a 1·q m －1＋a 1·q m . 因为a 1≠0，q ≠0，所以2q 2－q －1＝0， 解得q ＝1或q ＝－12. 当q ＝1时，有S m ＝ma 1， S m ＋2＝(m ＋2)a 1，S m ＋1＝(m ＋1)a 1.显然2S m ＋2≠S m ＋S m ＋1，此时逆命题为假．当q ＝－12时，有2S m ＋2＝2a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m ＋21＋12＝43a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m ＋2， S m ＋S m ＋1＝a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m 1＋12＋a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m ＋11＋12＝43a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m ＋2， 故2S m ＋2＝S m ＋S m ＋1，此时逆命题为真． 综上所述，当q ＝1时，逆命题为假； 当q ＝－12时，逆命题为真．19、解 (1)由S 1＝12⎝⎛⎭⎫a 1＋1a 1得，a 21＝1，而a n ＞0，所以a 1＝1. 由S 2＝12⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2得，a 22＋2a 2－1＝0，所以a 2＝2－1. 又由S 3＝12⎝⎛⎭⎫a 3＋1a 3得，a 23＋22a 3－1＝0， 所以a 3＝3－ 2.(6分)(2)猜想a n ＝n －n －1(n ∈N *)．(8分) ①当n ＝1时，a 1＝1＝1－1－1，猜想成立； ②假设n ＝k (k ≥1)时猜想成立，即a k ＝k －k －1， 则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝12⎝⎛⎭⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝⎛⎭⎫a k ＋1a k . 即a k ＋1＝12⎝⎛⎭⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫k －k －1＋1k －k －1 ＝12⎝⎛⎭⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k ，(12分) 化简得a 2k ＋1＋2k a k ＋1－1＝0，解得a k ＋1＝k ＋1－k ＝k ＋1－(k ＋1)－1， 即n ＝k ＋1时猜想成立，(14分)综上，由①、②知a n ＝n －n －1(n ∈N *)．(16分)20、解 (1)甲从1到m (m 为给定的正整数，且2≤m ≤n －2)号中任选两款，乙从(m ＋1)到n号中任选两款的所有等可能基本事件的种数为C 2m C 2n －m ，记“款式s 和t (1≤s ≤m ，m ＋1≤t ≤n )同时被选中”为事件A ，则事件A 包含的基本事件的种数为C 11C 1m －1·C 11C 1n －(m ＋1)，所以P (A )＝P st ＝C 11C 1m －1·C 11C 1n －(m ＋1)C 2m C 2n －m ＝4m (n －m )， 则所有的P st 的和为：C 1m C 1n －m ·4m (n －m )＝4； (2)甲从n 种不同款式的服装中选取服装的所有可能种数为：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n ，同理得，乙从n 种不同款式的服装中选取服装的所有可能种数为2n ， 据分步乘法计数原理得，所有等可能的基本事件的种数为：2n ·2n ＝4n ，记“至少有一个款式为甲和乙共同认可”为事件B ，则事件B 的对应事件B 为：“没有一个款式为甲和乙共同认可”，而事件B 包含的基本事件种数为：C 0n ·(C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n )＋C 1n ·(C 0n －1＋C 1n －1＋C 2n －1＋…＋C n －1n －1)＋…＋C n －1n ·(C 01＋C 11)＋C nn ·(C 00)＝C 0n ·2n ＋C 1n ·2n －1＋…＋C n －1n ·2＋C n n ·20 ＝(1＋2)n ＝3n ，所以P (B )＝1－P (B )＝1－⎝⎛⎭⎫34n .。