高三数学寒假作业 专题01 集合间的关系及其运算(学) Word版 含答案(寒假总动员)

高三数学寒假作业（一）集合常用逻辑用语一、选择题1.下列命题中是假命题的是( )(A)x R ∃∈， x 3＜0 (B)“a>0”是“|a|>0”的充分不必要条件(C)x R ∀∈， 2x ＞0 (D)“a·b>0”是“a，b 的夹角为锐角”的充要条件2.(2012·安徽高考)命题“存在实数x ，使x ＞1”的否定是( )(A)对任意实数x,都有x ＞1 (B)不存在实数x ，使x≤1(C)对任意实数x,都有x≤1 (D)存在实数x,使x≤13.(2011·泰安模拟)下列命题中的真命题是( ) (A)3x R,sin x cos x 2∃∈+= (B)x (0,),∀∈π sin x ＞cos x(C)x (,0),∃∈-∞ 2x ＜3x （D)x (0)∀∈+∞，， e x ＞x+14.(2012·枣庄模拟)若集合A={x|x 2-x-2＜0}，B={x|-2＜x ＜a}，则“A∩B≠Ø”的充要条件是( )(A)a ＞-2 (B)a≤-2 (C)a ＞-1 (D)a≥-15.(2012·宁波模拟)设A={1,2,3},B={x|x ⊆A}，则下列关系表述正确的是( )(A)A ∈B (B)A ∉B (C)A B ⊇ (D)A ⊆B6.集合A={0，12log 3，-3，1，2}，集合B={y|y=2x ，x ∈A},则A∩B=( )(A){1} (B){1，2} (C){-3，1，2} (D){-3，0，1}7.(2012·临沂模拟)给出命题：若直线l 与平面α内任意一条直线垂直，则直线l 与平面α垂直，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )(A)3 (B)2 (C)1 (D)08.若“0＜x ＜1”是“(x -a)［x-(a+2)］≤0”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )(A)(-∞，0］∪［1，+∞) (B)(-1，0)(C)［-1，0］ (D)(-∞，-1)∪(0，+∞)9.(2012·山东高考)设命题p:函数y=sin 2x 的最小正周期为;2π命题q:函数y=cos x 的图象关于直线x 2π=对称,则下列判断正确的是( ) (A)p 为真 (B)q ⌝为假 (C)p ∧q 为假(D)p ∨q 为真10.定义差集A-B={x|x ∈A,且x ∉B}，现有三个集合A ，B ，C 分别用圆表示，则集合C-(A-B)可表示下列图中阴影部分的为( )二、填空题11.命题p:x R,∀∈函数()2f x 2cos x 3,=≤则p ⌝:______________.12.已知集合A={3,m 2},B={-1,3,2m-1}.若A ⊆B ，则实数m 的值为__________.13.若命题“x R,∃∈2x 2-3ax+9<0”为假命题，则实数a 的取值范围是_________.14.给出下列四个结论：①“若am 2＜bm 2,则a ＜b”的逆命题是真命题；②设x ，y ∈R,则“x≥2或y≥2”是“x 2+y 2≥4”的充分不必要条件； ③函数y=log a (x+1)+1(a ＞0且a≠1)的图象必过点(0，1)；④已知ξ服从正态分布N(0，σ2),且P(-2≤ξ≤0)=0.4,则P(ξ＞2)=0.2. 其中正确结论的序号是____________(填上所有正确结论的序号).15.集合x M {x |0},x 1=-＞集合12N {y |y x }==，则M ∩N=_________. 16.下列选项叙述错误的是.①命题“若x ≠1,则x 2-3x+2≠0”的逆否命题是“若x 2-3x+2=0,则x=1” ②若命题p ：x R,∀∈ x 2+x+1≠0，则⌝p ：x R ∃∈， x 2+x+1=0③若p ∨q 为真命题，则p,q 均为真命题④“x ＞2”是“x 2-3x+2＞0”的充分不必要条件17.某班有学生60人，其中体育爱好者有32人，电脑爱好者有40人，还有7人既不爱好体育也不爱好电脑，则班上既爱好体育又爱好电脑的学生有______人.18.设命题p:C 2<C;命题q ：对x R,∀∈x 2+4Cx+1>0,若p ∧q 为假，p ∨q 为真，则实数C 的取值范围是____________.高三数学寒假作业（一）1.D2.C.3.【解析】选D.A中3sin x cos x )42π+=+≤＜， 故为假命题;B 中当x (0,)4π∈时，cos x ＞sin x,假命题; C 中x (,0)∀∈-∞，2x ＞3x,假命题；D 中由图知为真命题. 4. C.5. A. 6.选B.∵A={0，21log 3， -3，1，2},∴B={1，1138，， 2，4},∴A∩B={1，2}.7.【解析】选A.根据线面垂直的定义可知，原命题正确，所以逆否命题也正确；命题的逆命题为：若直线l 与平面α垂直，则直线l 与平面α内任意一条直线垂直，正确，所以否命题也正确，所以在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是3,故选A.8.选C.9. C.函数y=sin 2x 的最小正周期为2T 2π==π，所以命题p 假，函数y=cos x 的图象关于直线x=k π(k ∈Z)对称，所以命题q 假，q ⌝为真，p ∨q 为假.10.A.如图所示，A-B 表示图中阴影部分，故C-(A-B)所含元素属于C ，但不属于图中阴影部分，故选A.11.【解析】全称命题的否定是特称命题,故p :x R,⌝∃∈函数()2f x 2cos x 3.=+＞答案：()2x R,f x 2cos x 3∃∈=函数＞ 12.【解析】∵A ⊆B,∴m 2=2m-1或m 2=-1(舍).由m 2=2m-1得m=1.经检验m=1时符合题意.13.【解析】因为“x R,∃∈2x 2-3ax+9<0”为假命题，则“x R,∀∈2x 2-3ax+9≥0”为真命题.因此Δ=9a 2-4×2×9≤0,故a -≤≤答案：a -≤≤14.【解析】①的逆命题为：“若a ＜b,则am 2＜bm 2”，当m=0时，命题不成立.根据充分条件和必要条件的判断可知②正确.当x=0时,y=log a 1+1=1,所以函数图象恒过定点(0，1),所以③正确；根据正态分布的对称性可知P(-2≤ξ≤0)= P(0≤ξ≤2),P(ξ＞2)=P(ξ＜-2),所以P(ξ＞2)=12P(20)10.80.1,22--≤ξ≤-==所以④错误，所以正确的结论有②③. 答案：②③ 15. (1,+∞)16．③17.1918.【解析】命题p:0<C<1,命题q:11C 22-<<，∵p ∧q 为假，p ∨q 为真，∴p和q有且仅有一个成立.若p成立，q不成立，则1C1 2≤<，若p不成立， q成立，则1C02-<≤，综上知，C的取值范围是11(,0,1).22-］［。

高一数学寒假作业集合与集合的运算答案一、选择题：1.集合{ }的子集有( )A.3个B.6个C.7个D.8个2.已知是第二象限角，那么是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第二或第四象限角D.第一或第三象限角3.下列各式中成立的一项是( )A. B. C. D.4. 是第二象限角，为其终边上一点，，则的值为( )A. B. C. D.5.函数的定义域是( )A. B. C. D.6.点A(2，0)，B(4，2)，若|AB|=2|AC|，则点C坐标为( )A.(1，-1)B.(1，-1)或(5，-1)C.(1，-1)或(3，1)D.无数多个7.若函数是函数的反函数，其图像经过点，则 ( )A. B. C. D.8.函数的部分图象如图所示，则函数解析式为( ).A. B.C. D.9.下列函数中哪个是幂函数( )A. B. C. D.10. 下列命题中：① ∥ 存在唯一的实数，使得 ;② 为单位向量，且∥ ，则=±| |? ;③ ;④ 与共线，与共线，则与共线;⑤若其中正确命题的序号是( )A.①⑤B.②③④C.②③D.①④⑤11. 设P为△ABC内一点,且则 ( ).A. B. C. D.12.如图，半圆的直径AB=6，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值为()A. ;B.9;C. ;D.-9;二、填空题：13.设集合 , ,且，则实数的取值范围是14.设向量满足，，若，则的值是_________;15.已知定义在上的函数的图象既关于坐标原点对称，又关于直线对称，且当时，，则的值是_______________________;16. 已知定义域为R的函数对任意实数x、y满足且 .给出下列结论：① ② 为奇函数③ 为周期函数④ 内单调递增，其中正确的结论序号是________________;三、解答题：17.已知集合，(1)若中有两个元素，求实数的取值范围;(2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围.18.已知 , ,当为何值时，(1) 与垂直?(2) 与平行?平行时它们是同向还是反向?19. 对于函数 ,若存在实数 ,使 = 成立,则称为的不动点.(1)当时,求的不动点;(2)若对于任意实数 ,函数恒有两个不相同的不动点,求的取值范围.20.(1)已知是奇函数，求常数m的值;(2)画出函数的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程无解?有一解?有两解?21.设函数对于都有，且时，，。

卜人入州八九几市潮王学校赣马高级2021届高三数学寒假作业〔1〕一、填空题：1．集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,假设{}0,1,2,4,16A B =,那么a 的值是2．“对任意的x ∈R ，3210x x -+≤〞的否认是3．集合A 、B 各有2个元素，B A ⋂中有一个元素，假设集合C 同时满足①B A C⊆，②B A C ⊇，那么满足条件的集合C 的个数是4．设,a b R ∈，集合{1,,}{0,,}b a b a b a +=，那么b a -= ：①“假设0=+y x ，那么y x , ②“③“假设1≤q ，那么022=++q x x④“ 6．集合}0,2|{)},2lg(|{2>==-==x y y B x x y x A x ，Ｒ是实数集，那么A B C R ⋂)(＝ 7．“2()6k k Z παπ=+∈〞是“1cos 22α=〞的 8．设全集)},1ln(|{},12|{,)3(x y x B x A R U x x --==<==+那么右图中阴影局部表示的集合为9．假设{}8222<≤∈=-x Z x A ，2{||log |1}B x R x =∈<，那么)(C R B A ⋂的元素个数为10．设集合},2|{},0|{R x y y N m x x Mx ∈==≤-=-，假设φ≠N M ，那么实数m 的取值范围是 11．假设集合{}012M,,=，{}(,)210210,,N x y x y x y x y M =-+≥--≤∈且，那么N 中元素的个数为12．设p ：2200x x -->，q ：2102x x +>-，那么p 是q 的条件． 13．集合1y A x,,x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，{}20B x ,x y,=+，假设A B =，那么20092010x y += 14．集合{}{}A x ax B x x x =+==--=||105602，，假设A B ⊆，那么由实数a 组成的集合C为。

第一节集合课标解读考向预测1.了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、符号语言刻画集合.2.理解集合之间的包含与相等关系，能识别给定集合的子集，了解全集与空集的含义.3.理解集合之间的交、并、补的含义，能求两个集合的并集与交集，能求给定子集的补集.4.能使用Venn 图表达集合之间的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用.集合是高考必考内容，重点考查集合的基本运算，以小题形式出现，常联系不等式的解集，试题难度较低.2025年备考仍以小题为主训练，在注重集合概念的基础上，牢固掌握集合的基本关系与运算，适当加强与函数、不等式等知识的联系，借助数轴和Venn 图等工具解决相关问题.必备知识——强基础1．元素与集合(1)集合中元素的三个特性：01确定性、02互异性、03无序性．(2)元素与集合的关系：若a 属于集合A ，记作a 04∈A ；若b 不属于集合A ，记作b 05∉A .(3)集合的三种表示方法：06列举法、07描述法、图示法．(4)常用数集及记法名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法08N09N *或N＋10Z11Q12R(5)集合的分类：有限集和无限集．2．集合间的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中13任意一个元素都是集合B 中的元素，就称集合A 为集合B 的子集．记作A 14⊆B (或B 15⊇A )．(2)真子集：如果集合A ⊆B ，但16存在元素x ∈B ，且x ∉A ，就称集合A 是集合B 的真子集，记作A 17B (或B 18A )．(3)相等：若A ⊆B ，且B 19⊆A ，则A ＝B .3．集合的基本运算运算自然语言符号语言Venn 图并集由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合A ∪B ＝20{x |x ∈A ，或x ∈B }交集由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合A ∩B ＝21{x |x ∈A ，且x ∈B }补集对于一个集合A ，由全集U中不属于集合A 的所有元素组成的集合∁U A ＝22{x |x ∈U ，且x ∉A }4.集合的运算性质(1)A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ＝B ∩A .(2)A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∪B ＝B ∪A .(3)A ∩(∁U A )＝∅，A ∪(∁U A )＝U ，∁U (∁U A )＝A .1．空集的性质：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．2．若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有2n －1个，非空子集有2n －1个，非空真子集有2n －2个．3．A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔∁U A ⊇∁U B .4．∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )，∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )．5．集合元素个数公式：若用card 表示有限集中元素的个数，则card(A ∪B )＝card(A )＋card(B )－card(A ∩B )．1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)1∈Q.()3(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．()(3)如果集合B⊆A，那么若元素a不属于A，则必不属于B.()答案(1)√(2)×(3)√2．小题热身(1)若集合M＝{x|x3＝x}，N＝{x|x2＝1}，则下列式子正确的是()A．M＝N B．M⊆NC．N⊆M D．M∩N＝∅答案C(2)已知集合A＝{x|x2－4x<0，x∈N*}，则集合A的真子集的个数为()A．3B．4C．8D．7答案D(3)已知全集U＝R，集合A＝{－2，－1，1，2，4，6}，B＝{－2，1，2，3，5}，则图中阴影部分表示的集合是()A．{－2，1，2}B．{－1，4，6}C．{3，5}D．{－2，－1，1，2，3，4，6}答案A解析由图可知阴影部分表示的是A∩B，又A∩B＝{－2，1，2}，故阴影部分表示的集合是{－2，1，2}．故选A.(4)(人教A必修第一册习题1.3T4改编)设全集为R，集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，则∁R(A∪B)＝________，(∁R A)∩B＝________．答案{x|x≤2或x≥10}{x|2＜x＜3或7≤x＜10}考点探究——提素养考点一集合的基本概念例1(1)(2024·河南漯河高三摸底)下列四个命题正确的是()A．10以内的素数集合是{1，3，5，7}B．0与{0}表示同一个集合C ．方程x 2－4x ＋4＝0的解集是{2，2}D ．由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}答案D解析10以内的素数有2，3，5，7，A 错误；0是集合{0}中的一个元素，B 错误；由集合中元素的互异性可知，C 错误；由集合中元素的无序性可知，D 正确．故选D.(2)若集合A ＝{a －3，2a －1，a 2－4}，且－3∈A ，则实数a ＝________．答案0或1解析①当a －3＝－3时，a ＝0，此时A ＝{－3，－1，－4}；②当2a －1＝－3时，a ＝－1，此时A ＝{－4，－3，－3}，舍去；③当a 2－4＝－3时，a ＝±1，由②可知a ＝－1舍去，则当a ＝1时，A ＝{－2，1，－3}．综上，a ＝0或1.【通性通法】与集合中元素有关问题的三个关键点【巩固迁移】1．已知集合A ＝{x ∈R |x 2＋a >0}，且2∉A ，则实数a 的取值范围是()A ．{a |a ≤4}B ．{a |a ≥4}C ．{a |a ≤－4}D ．{a |a ≥－4}答案C解析由题意可得22＋a ≤0，解得a ≤－4.故选C.2．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为()A ．9B ．8C ．5D ．4答案A解析集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }＝{(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)}，共9个元素．故选A.3．设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }，b a，a 2024＋b 2024＝________．答案2解析由题意知a ≠0，因为{1，a ＋b ，a }，b a，所以a ＋b ＝0，则ba＝－1，所以a ＝－1，b ＝1.故a 2024＋b 2024＝1＋1＝2.考点二集合间的基本关系例2(1)(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A ＝{0，－a }，B ＝{1，a －2，2a －2}，若A ⊆B ，则a ＝()A ．2B ．1C.23D ．－1答案B解析因为A ⊆B ，所以a －2＝0或2a －2＝0，解得a ＝2或a ＝1.若a ＝2，此时A ＝{0，－2}，B ＝{1，0，2}，不符合题意；若a ＝1，此时A ＝{0，－1}，B ＝{1，－1，0}，符合题意．综上所述，a ＝1.故选B.(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．答案(－∞，3]解析∵B ⊆A ，∴若B ＝∅，则2m －1＜m ＋1，解得m ＜2；若B ≠∅，m －1≥m ＋1，＋1≥－2，m －1≤5，解得2≤m ≤3.综上，实数m 的取值范围为(－∞，3]．【通性通法】1．判断集合间关系的三种方法列举法根据题中限定条件把集合元素列举出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系结构法从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断数轴法在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．求得参数后，可以把端点值代入进行验证，以免增解或漏解．注意：空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑是否存在空集的情况，否则易造成漏解．【巩固迁移】4．设集合P＝{y|y＝x2＋1}，M＝{x|y＝x2＋1}，则集合M与集合P的关系是()A．M＝P B．P∈MC．M P D．P M答案D解析因为P＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}，M＝{x|y＝x2＋1}＝R，所以P M. 5．(2024·湖南湘潭模拟)若集合A＝{1，2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，且B⊆A，则实数m的取值范围为________．答案[－2，2)解析若B＝∅，则Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2，符合题意；若1∈B，则12＋m＋1＝0，解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意；若2∈B，则22＋2m＋1＝0，解得m＝－52，此时B不符合题意．综上所述，实数m的取值范围为[－2，2)．考点三集合的基本运算(多考向探究)考向1集合间的交、并、补运算例3(1)(2023·新课标Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N ＝()A．{－2，－1，0，1}B．{0，1，2}C．{－2}D．2答案C解析因为N＝{x|x2－x－6≥0}＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)，而M＝{－2，－1，0，1，2}，所以M∩N＝{－2}．故选C.(2)(2024·山东潍坊高三上学期月考)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|e x<1}，则A∪B＝()A．(－∞，1)B．(－∞，2)C．(－2，0)D．(－1，2)答案B解析由题意，A＝{x|x2－x－2<0}＝{x|－1<x<2}，B＝{x|e x<1}＝{x|x<0}，所以A∪B＝(－∞，2)．故选B.(3)(2023·全国乙卷)设集合U＝R，集合M＝{x|x<1}，N＝{x|－1<x<2}，则{x|x≥2}＝() A．∁U(M∪N)B．N∪∁U MC．∁U(M∩N)D．M∪∁U N答案A解析由题意可得M∪N＝{x|x<2}，则∁U(M∪N)＝{x|x≥2}，A正确；∁U M＝{x|x≥1}，则N ∪∁U M ＝{x |x >－1}，B 错误；M ∩N ＝{x |－1<x <1}，则∁U (M ∩N )＝{x |x ≤－1或x ≥1}，C 错误；∁U N ＝{x |x ≤－1或x ≥2}，则M ∪∁U N ＝{x |x <1或x ≥2}，D 错误．故选A.【通性通法】解决集合运算问题的三个技巧看元素构成集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键对集合化简有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决应用数形离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn 图求解；连续型数集的运算，常借助数轴求解【巩固迁移】6．(2022·全国甲卷)设全集U ＝{－2，－1，0，1，2，3}，集合A ＝{－1，2}，B ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}，则∁U (A ∪B )＝()A ．{1，3}B ．{0，3}C ．{－2，1}D ．{－2，0}答案D解析由题意，B ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}＝{1，3}，所以A ∪B ＝{－1，1，2，3}，所以∁U (A ∪B )＝{－2，0}．故选D.7．(2022·新高考Ⅰ卷)若集合M ＝{x |x <4}，N ＝{x |3x ≥1}，则M ∩N ＝()A ．{x |0≤x <2}|13≤xC ．{x |3≤x <16}|13≤x 答案D解析因为M ＝{x |x ＜4}＝{x |0≤x ＜16}，N ＝{x |3x ≥1}＝|x ，所以M ∩N ＝|13≤x ＜故选D.8.用图形直观表示集合的运算关系，最早是由瑞士数学家欧拉所创，故将表示集合运算关系的图形称为“欧拉图”．后来，英国逻辑学家约翰·韦恩在欧拉图的基础上创建了世人所熟知的“Venn 图”．则图中的阴影部分表示的集合为()A ．A ∩B ∩C B ．(∁U A )∩B ∩C C ．A ∩(∁U B )∩CD ．A ∩B ∩(∁U C )答案D解析由图可知，阴影部分在集合A ，B 的公共部分，且不在集合C 中，故图中的阴影部分表示的集合为A ∩B ∩(∁U C )．故选D.考向2利用集合的运算求参数例4(2024·江苏无锡天一中学高三模拟)已知集合A ＝{x ∈Z |－1<x <3}，B ＝{x |3x －a <0}，且A ∩(∁R B )＝{1，2}，则实数a 的取值范围是()A ．(0，4)B ．(0，4]C ．(0，3]D ．(0，3)答案C解析由集合A ＝{x ∈Z |－1<x <3}＝{0，1，2}，B ＝{x |3x －a <0}x |x <a 3可得∁R B ＝x x ≥a3因为A ∩(∁R B )＝{1，2}，所以0<a 3≤1，解得0<a ≤3，即实数a 的取值范围是(0，3]．故选C.【通性通法】利用集合的运算求参数的方法注意：确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“＝”，另外千万不要忘记考虑空集．【巩固迁移】9．(2023·河北衡水中学高三一模)已知集合M ＝{x |x ≤m }，N x|y ＝1x 2－3x －4若M ∪N＝R，则实数m的取值范围是()A．[－1，＋∞)B．[4，＋∞)C．(－∞，－1]D．(－∞，4]答案B解析由x2－3x－4>0，得x<－1或x>4，即N＝(－∞，－1)∪(4，＋∞)，因为M∪N＝R，M＝(－∞，m]，所以m≥4，即实数m的取值范围为[4，＋∞)．故选B.10．已知集合A＝{x|x2＋x－6>0}，B＝{x|2a－1<x<a＋2}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围为________．答案(－∞，－1)∪(0，3)解析由题意可得集合A＝(－∞，－3)∪(2，＋∞)，因为A∩B≠∅，a－1<－3，a－1<a＋2或＋2>2，a－1<a＋2，解得a<－1或0<a<3，所以实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(0，3)．考向3集合语言与思想的运用例5某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人．答案8解析设参加数学、物理、化学小组的人构成的集合分别为A，B，C，同时参加数学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图，由全班共36名同学可得(26－6－x)＋6＋(15－4－6)＋4＋(13－4－x)＋x＝36，解得x＝8，即同时参加数学和化学小组的有8人．【通性通法】(1)运用集合语言及思想解决实际问题时，注意Venn图的应用，它是解决集合交、并、补运算的有力工具，先利用Venn图表示交、并、补的区域，如果在集合外，那么与集合的补集运算有关，如果在公共部分，那么与集合的交集运算有关．(2)注意公式card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)的合理运用．【巩固迁移】11．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该中学学生总数的比例是()A．62%B．56%C．46%D．42%答案C解析用Venn图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占比例之间的关系如图，设既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该中学学生总数的比例为x，则(60%－x)＋(82%－x)＋x＝96%，解得x＝46%.故选C.课时作业一、单项选择题1．(2023·全国甲卷)设集合A＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U为整数集，∁U(A∪B)＝()A．{x|x＝3k，k∈Z}B．{x|x＝3k－1，k∈Z}C．{x|x＝3k－2，k∈Z}D．∅答案A解析因为整数集Z＝{x|x＝3k，k∈Z}∪{x|x＝3k＋1，k∈Z}∪{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U＝Z，所以∁U(A∪B)＝{x|x＝3k，k∈Z}．故选A.2．(2022·新高考Ⅱ卷)已知集合A＝{－1，1，2，4}，B＝{x||x－1|≤1}，则A∩B＝() A．{－1，2}B．{1，2}C．{1，4}D．{－1，4}答案B解析B＝{x|0≤x≤2}，故A∩B＝{1，2}．故选B.3．设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝()A．[0，1]B．(0，1]C．[0，1)D．(－∞，1]答案A解析∵M＝{0，1}，N＝{x|0＜x≤1}，∴M∪N＝{x|0≤x≤1}．4．已知集合A＝{(x，y)|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B的真子集个数为() A．1B．2C．3D．4答案C解析＝x2，＝x，＝0，＝0＝1，＝1.∴A∩B＝{(0，0)，(1，1)}，即A∩B有2个元素，∴A∩B的真子集个数为22－1＝3.故选C.5．已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|x>a}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围是() A．(－∞，0)B．(－∞，0]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)答案A解析因为A＝{x|x2－2x>0}＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，A∪B＝R，所以a<0.故选A. 6．(2024·湖南益阳高三上学期月考)已知A＝{(x，y)|x＋y＝0}，B＝{(x，y)|x2＋2y2＝1}，M＝A∩B.则M中元素的个数是()A．0B．1C．2D．4答案C解析因为A＝{(x，y)|x＋y＝0}，B＝{(x，y)|x2＋2y2＝1}，所以集合A是直线x＋y＝0上的点的集合，集合B是椭圆x2＋2y2＝1上的点的集合．因为M＝A∩B，所以若要求M中元素的个数，＋y＝0，2＋2y2＝1，＝33，＝－33或＝－33，＝33，即椭圆和直线有两个交点－33，所以M中元素的个数是2.故选C.7．某班45名学生参加“3·12”植树节活动，每位学生都参加除草、植树两项劳动．依据劳动表现，评定为“优秀”“合格”2个等级，结果如下表：等级项目优秀合格合计除草301545植树202545若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人，则在两个项目中都“优秀”的人数最多为() A．5B．10C．15D．20答案C解析用集合A表示除草“优秀”的学生，B表示植树“优秀”的学生，全班学生用全集U表示，则∁U A表示除草“合格”的学生，∁U B表示植树“合格”的学生，作出Venn图，如图．设两个项目都“优秀”的人数为x，两个项目都“合格”的人数为y，由图可得20－x＋x＋30－x＋y＝45，x＝y＋5，因为y max＝10，所以x max＝10＋5＝15.故选C.8．已知集合P∪(∁R Q)＝(－2，＋∞)，P∩Q＝(－2，1)，则Q＝()A．(－2，＋∞)B．(－∞，1)C．(－∞，－2]D．[1，＋∞)答案B解析根据右面的Venn图，Ⅰ区表示P∩(∁R Q)，Ⅱ区表示P∩Q，Ⅲ区表示Q∩(∁R P)，Ⅳ区表示∁R(P∪Q)，则集合P∪(∁R Q)对应于Ⅰ区、Ⅱ区、Ⅳ区的并集，所以Ⅲ区对应(－∞，－2]，从而Q对应Ⅱ区、Ⅲ区的并集，故Q＝(－∞，1)．故选B.二、多项选择题9．已知集合A，B均为R的子集，若A∩B＝∅，则()A．A⊆∁R B B．∁R A⊆BC．A∪B＝R D．(∁R A)∪(∁R B)＝R答案AD解析如图，根据Venn图可得A⊆∁R B，故A正确；由于B⊆∁R A，故B错误；A∪B⊆R，故C错误；(∁R A)∪(∁R B)＝∁R(A∩B)＝R，故D正确．故选AD.10．(2024·河北保定部分高中高三上学期月考)已知Z(A)表示集合A的整数元素的个数，若集合M＝{x|x2－9x<10}，N＝{x|lg(x－1)<1}，则()A．Z(M)＝9B ．M ∪N ＝{x |－1<x <11}C ．Z (N )＝9D ．(∁R M )∩N ＝{x |10<x <11}答案BC解析因为M ＝{x |－1<x <10}，N ＝{x |1<x <11}，所以Z (M )＝10，Z (N )＝9，M ∪N ＝{x |－1<x <11}，(∁R M )∩N ＝{x |10≤x <11}．故选BC.11．若集合A ＝{x |sin2x ＝1}，B |y ＝π4＋k π2，k ∈()A ．A ∪B ＝B B ．∁R B ⊆∁R AC ．A ∩B ＝∅D ．∁R A ⊆∁R B答案AB解析因为A ＝{x |sin2x ＝1}＝|x ＝k π＋π4，k ∈＝|x ＝4k π＋π4，k ∈，B ＝|y ＝π4＋k π2，k ∈＝|y ＝2k π＋π4，k ∈，显然集合|x ＝4k π＋π4，k ∈|x ＝2k π＋π4，k ∈所以A ⊆B ，则A ∪B ＝B ，所以A 正确；∁R B ⊆∁R A ，所以B 正确，D 错误；A ∩B ＝A ，所以C 错误．故选AB.三、填空题12．(2024·江苏连云港海滨中学高三学情检测)已知集合A ＝{1，2，3，4，5，6}，B ＝|6x －1∈N ，x ∈B 的子集的个数是__________．答案8解析由6x －1∈N ，得x －1＝6，x －1＝3，x －1＝2，x －1＝1，且x ∈A ，故B ＝{2，3，4}，则集合B 的子集的个数为23＝8.13．已知集合A ＝{m 2，－2}，B ＝{m ，m －3}，若A ∩B ＝{－2}，则A ∪B ＝________．答案{－5，－2，4}解析∵A ∩B ＝{－2}，∴－2∈B ，若m ＝－2，则A ＝{4，－2}，B ＝{－2，－5}，∴A ∩B＝{－2}，A ∪B ＝{－5，－2，4}；若m －3＝－2，则m ＝1，∴A ＝{1，－2}，B ＝{1，－2}，∴A ∩B ＝{1，－2}(舍去)．综上，A ∪B ＝{－5，－2，4}．14．(2024·九省联考)已知集合A ＝{－2，0，2，4}，B ＝{x ||x －3|≤m }，若A ∩B ＝A ，则m 的最小值为________．答案5解析由A ∩B ＝A ，得A ⊆B ，由|x －3|≤m ，得－m ＋3≤x ≤m ＋3，≤m ＋3，2≥－m ＋3，即≥1，≥5，即m ≥5，故m 的最小值为5.15．(2024·河南郑州四中第二次调研考试)某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有75人听了数学讲座，68人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，记A ＝{x |x 是听了数学讲座的学生}，B ＝{x |x 是听了历史讲座的学生}，C ＝{x |x 是听了音乐讲座的学生}．用card(M )来表示有限集合M 中元素的个数，若card(A ∩B )＝17，card(A ∩C )＝12，card(B ∩C )＝9，A ∩B ∩C ＝∅，则()A ．card(A ∪B )＝143B ．card(A ∪B ∪C )＝166C ．card(B ∪C )＝129D ．card(A ∩B ∩C )＝38答案B解析将已知条件用Venn 图表示出来如图，对于A ，card(A ∪B )＝46＋42＋17＋12＋9＝126，故A 错误；对于B ，card(A ∪B ∪C )＝46＋42＋40＋17＋12＋9＝166，故B 正确；对于C ，card(B ∪C )＝42＋40＋17＋12＋9＝120，故C 错误；对于D ，card(A ∩B ∩C )＝0，故D 错误．故选B.16．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤1}，B ＝{(x ，y )||x |＋|y |≤a }，A ⊆B ，则实数a 的取值范围是()A.12，＋∞B ．[1，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．[2，＋∞)答案C解析集合A 为圆x 2＋y 2＝1内部和圆周上的点集，集合B 为直线x ＋y ＝a ，x －y ＝a ，－x＋y ＝a ，x ＋y ＝－a 围成的正方形内部和边上的点集，画出图象，如图所示．当直线EF 与圆O 相切时，设切点为C ，连接OC .∵△EOF 为等腰直角三角形，OE ＝OF ，∠EOF ＝90°，OC ⊥EF ，∴OC 为Rt △EOF 斜边上的中线，∴OC ＝12EF ，即EF ＝2OC ＝2，∴OE ＝OF ＝22EF＝2，此时a＝ 2.∵A⊆B，即圆O在正方形内，∴a≥ 2.17．(多选)(2024·华南师范大学附属中学高三月考)已知M是同时满足下列条件的集合：①0∈M，1∈M；②若x，y∈M，则x－y∈M；③若x∈M且x≠0，则1x∈M.下列结论中正确的是()A.13∈MB．－1∉MC．若x，y∈M，则x＋y∈MD．若x，y∈M，则xy∈M答案ACD解析对于A，B，由①②，得0－1＝－1∈M，1－(－1)＝2∈M，2－(－1)＝3∈M，由③，得13∈M，故A正确，B错误；对于C，由①，知0∈M，∵y∈M，∴0－y＝－y∈M，∵x∈M，∴x－(－y)∈M，即x＋y∈M，故C正确；对于D，∵x，1∈M，则x－1∈M，由③，得1 x ∈M，1x－1∈M，∴1x－1x－1∈M，即1x(1－x)∈M，∴x(1－x)∈M，即x－x2∈M，∴x2∈M，同理y2∈M.由选项C可知，当x，y∈M时，x＋y∈M，∴1x＋1x＝2x∈M，∴x2∈M，∴x22∈M，同理y22∈M，∴当x，y∈M时，(x＋y)22，x2＋y22M，∴(x＋y)22－x2＋y22＝xy∈M，故D正确．故选ACD.18．(多选)(2024·浙江杭州第二中学高三月考)已知集合{x|x2＋ax＋b＝0，a>0}有且仅有两个子集，则下列四个结论中正确的是()A．a2－b2≤4B．a2＋1b≥4C．若不等式x2＋ax－b<0的解集为(x1，x2)，则x1x2>0D．若不等式x2＋ax＋b<c的解集为(x1，x2)，且|x1－x2|＝4，则c＝4答案ABD解析因为集合{x|x2＋ax＋b＝0，a>0}有且仅有两个子集，所以Δ＝a2－4b＝0，a2＝4b，又a>0，所以b>0.对于A，因为a2－b2＝4b－b2＝－(b－2)2＋4≤4，当b＝2，a＝22时等号成立，故A 正确；对于B ，a 2＋1b ＝4b ＋1b ≥24b ·1b ＝4，当且仅当4b ＝1b ，b ＝12，a ＝2时等号成立，故B 正确；对于C ，不等式x 2＋ax －b <0的解集为(x 1，x 2)，则x 1x 2＝－b <0，故C 错误；对于D ，不等式x 2＋ax ＋b <c 的解集为(x 1，x 2)，即不等式x 2＋ax ＋b －c <0的解集为(x 1，x 2)，且|x 1－x 2|＝4，则x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝b －c ，则|x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝a 2－4(b －c )＝4c ＝16，则c ＝4，故D 正确．故选ABD.19．(2024·湖北高中名校联合体高三诊断性考试)已知集合U ＝{1，2，…，n }(n ∈N *，n ≥2)，对于集合U 的两个非空子集A ，B ，若A ∩B ＝∅，则称(A ，B )为集合U 的一组“互斥子集”．记集合U 的所有“互斥子集”的组数为f (n )(视(A ，B )与(B ，A )为同一组“互斥子集”)，那么f (n )＝________．答案12(3n－2n ＋1＋1)解析根据题意，任意一个元素只能在集合A ，B ，C ＝∁U (A ∪B )之一中，则这n 个元素在集合A ，B ，C 中，共有3n 种．其中A 为空集的种数为2n ，B 为空集的种数为2n ，故可得A ，B 均为非空子集的种数为3n －2n ＋1＋1，又因为(A ，B )与(B ，A )为同一组“互斥子集”，故f (n )＝12(3n－2n ＋1＋1)．。

1.2 集合间的关系【题组一 集合关系的判断】1．（2020·浙江高一课时练习）下列关系中，正确的个数是（ ）. ①{}00∈；②∅ {0}，；③{}(){}0,10,1⊆；④(){}(){},,a b b a =.A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】对于①，0是集合{}0中的元素，即{}00∈，故正确； 对于②，空集是任何非空集合的真子集，故∅ {0}，故正确； 对于③，集合{}0,1中的元素为0，1，集合(){}0,1中的元素为()0,1，故错误；对于④，集合(){},a b 中的元素为(),a b ，集合(){},b a 中的元素为(),b a ，故错误.故选：B2．（2020·浙江高一课时练习）设,x y ∈R ，{(,)|}A x y y x ==，(,)|1y B x y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，则A ，B 的关系是________. 【答案】B A【解析】由集合{(,)|}A x y y x ==可得集合A 中元素代表直线y x =上所有的点，由(,)|1y B x y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，∵1y x =可化为(0)y x x =≠，可得集合B 中元素代表y x =上除去(0,0)点的两条射线，则可得集合B 是集合A 的真子集，即B A.故答案为：B A. 3．（2020·浙江高一单元测试）已知集合1A={x|x=(21),}9k k Z +∈，41B={x|x=,}99k k Z ±∈，则集合A ，B 之间的关系为________． 【答案】A=B【解析】对于集合A ，k=2n 时，()14141,999n x n n Z =+=+∈ ， 当k=2n -1时，()141421,999n x n n Z =-+=-∈ 即集合A=41,99n x x n Z ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭ ,由B=41,99k x x k Z ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭可知A=B ，故填：A=B. 【题组二 （真）子集的个数】1．（2020·湖南天元株洲二中高二月考（文））下列集合中，是集合{}2|5A x x x =<的真子集的是（ ） A ．{}2,5 B ．()6+∞， C ．()0,5 D ．()1,5【答案】D【解析】(0,5)A =, 真子集就是比A 范围小的集合;故选D2．（2020·湖南雁峰衡阳市八中高一月考）集合{}2x x <的真子集可以是（ ） A ．[)2,+∞ B ．(),2-∞ C ．(]0,2 D ．{}1,0,1-【答案】D【解析】因为{}2|2x x ∉<，则可排除A,C ；由(){},22x x -∞=<，可排除B ；故选:D.3．（2020·全国高三月考（文））已知集合{|(1)(3)0}A x x x =-+≤，则下列集合中是集合A 的真子集．．．的是（ ）A ．1{|}3x x ≤≤-B ．{|13}x x -≤≤C ．{0,1,2,3}D ．{2,0,1}-【答案】D【解析】因为{|(1)(3)0}{|31}A x x x x x =-+≤=-≤≤，由集合的子集和真子集的概念知选项D 正确.故选：D.4．（2019·全国高三二模（文））集合{2,1,1},{4,6,8},{|,,}A B M x x a b b B x B =--===+∈∈,则集合M 的真子集的个数是 A ．1个 B ．3个 C ．4个 D ．7个【答案】B【解析】由题意，集合{2,1,1},{4,6,8}A B =--=，,x A ∈ 则{}{|,,,}4,6M x x a b x A b B x B ==+∈∈∈=， 所以集合M 的真子集的个数为2213-=个，故选B ．5．（2020·陕西新城西安中学高三一模（文））已知集合M 满足{}1,2M ⊆ {}1,2,3,4，则集合M 的个数是（ ） A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】由于集合M 满足{}1,2M ⊆ {}1,2,3,4，所以集合M 的可能取值为{}{}{}1,2,1,2,3,1,2,4，共3种可能.故选：B6．（2020·全国高一月考）若集合{}1,2A =，{}0,1,2,3,4B =，则满足A M B ⊆⊆的集合M 的个数为（ ）A ．3B ．4C ．7D ．8【答案】D【解析】集合{}1,2A =，{}0,1,2,3,4B =，则满足A M B ⊆⊆的集合M 有：{}1,2、{}0,1,2、{}1,2,3、{}1,2,4、{}0,1,2,3、{}0,1,2,4、{}1,2,3,4、{}0,1,2,3,4，共8个.故选：D. 【点睛】本题考查集合子集的列举，属于基础题.7．（2019·五华云南师大附中高三月考（文））已知集合41M x x N x ⎧⎫=>∈⎨⎬⎩⎭，，则M 的非空子集的个数是（ ） A ．15 B ．16C ．7D ．8【答案】C【解析】{}1,2,3M =,所以M 的非空子集为{}{}{}{}{}{}{}1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3共7个，故选C.8．（2020·浙江高一课时练习）已知A ⊆{0,1,2,3}，且A 中至少有一个奇数，则这样的集合A 共有（ ） A ．11个 B ．12个C ．15个D ．16个【答案】B【解析】根据题意，分A 中有1个奇数或2个奇数两种情况讨论，由排列组合知识易得每种情况下的集合A 数目，由分步计数原理计算可得答案解：根据题意，A 中至少有一个奇数，包含两种情况，A 中有1个奇数或2个奇数，若A 中含1个奇数，有C 21×22=8， A 中含2个奇数：C 22×22=4，由分类计数原理可得．共有8+4=12种情况；故选B ． 【题组三 集合相等与空集】1．下列集合中表示同一集合的是（ ）A ．(){}3,2M =，(){}2,3N =B ．{}3,2M =，{}2,3N =C ．(){},1M x y x y =+=，{}1N y x y =+= D ．{}1,2M =，(){}1,2N =【答案】B【解析】对于A 选项，点()3,2和点()2,3不是同一个点，则M N ；对于B 选项，集合M 和N 中的元素相同，则MN ；对于C 选项，集合M 为点集，集合N 为数集，则M N ； 对于D 选项，集合M 为数集，集合N 为点集，则M N .故选：B.2．已知集合2{0,1,}=A a ，{1,0,23}=+B a ，若A B =，则a 等于（ ） A ．-1或3 B ．0或-1C ．3D ．-1【答案】C【解析】由于A B =，故223a a =+，解得1a =-或3a =.当1a =-时，21a =，与集合元素互异性矛盾，故1a =-不正确.经检验可知3a =符合.故选C.3．已知,a b R R ，若集合{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20192020a b +=（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】B 【解析】∵{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，又0a ≠，00b b a ∴=⇒=，2{,0,1}{,,0}a a a ∴=，211a a =⇒=±当1,0a b ==时，,,1{1,0,1}b a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，不符合集合元素的互异性，故舍去； 当1,0a b =-=时，{1,0,1}{1,1,0}-=-，符合题意.∴201920201a b +=-.故选：B4．已知集合{}1,2A =，()(){}|10,B x x x a a R =--=∈.若A B =，则a 的值为（ ） A ．2 B ．1 C ．-1 D ．-2【答案】A【解析】由题意得()(){}{}|10,1,B x x x a a R a =--=∈=，因为A B =，所以2a =. 故选：A5．（2020·上海市进才中学高二期末）已知集合{}121Q x k x k =+≤≤-=∅，则实数k 的取值范围是________． 【答案】(),2-∞ 【解析】{}121Q x k x k =+≤≤-=∅，121k k ∴+>-，解得2k <.因此，实数k 的取值范围是(),2-∞.故答案为：(),2-∞. 【题组四 已知集合关系求参数】1．（2020·全国高一）已知集合2{|}A x x x ==，{1,,2}B m =，若A B ⊆，则实数m 的值为（ ）A ．2B ．0C ．0或2D ．1【答案】B【解析】由题意，集合2{|}{0,1}A x x x ===，因为A B ⊆，所以0m =，故选B. 2．（2020·浙江高一单元测试）若{}2{1,4,},1,A x B x ==且B A ⊆，则x =（ ）． A ．2± B ．2±或0C ．2±或1或0D ．2±或±1或0【答案】B【解析】因为B A ⊆，所以24x =或2x x =，所以2x =±、1或0． 根据集合中元素的互异性得2x =±或0.故选：B3．（2019·浙江南湖嘉兴一中高一月考）设集合{}{}|32,|2121A x x B x k x k =-≤≤=-≤≤+，且A B ⊇，则实数k 的取值范围是____________． 【答案】1|12k k ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭【解析】：依题意可得13211{{1121222k k k k k ≥--≤-⇒⇒-≤≤+≤≤．4．（2020·天津市第五中学高二期中）已知集合{}2|20,A x ax x a a R =++=∈，若集合A 有且仅有两个子集，则a 的值是( )A ．1B ．1-C ．0，1D ．1-，0，1【答案】D【解析】集合A 有且仅有两个子集,即为∅和集合A 本身,故集合A 中的元素只有一个,即方程220ax x a ++=只有一个解,当0a =时, 原方程为20x =,即0x =,符合题意； 当0a ≠时，令22240a ∆=-=,1a ∴=± 综上,1a =-，0a =或1a =可符合题意故选D5．（2020·辉县市第二高级中学高二月考（文））已知集合{}|25A x x =-≤≤，{}|121B x m x m =+<<-，若B A ⊆，则实数m 的取值范围是____． 【答案】(],3-∞【解析】根据题意得：当 B =∅时，121m m +≥-，即2m ≤.当B ≠∅时，12112215m m m m +<-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，解得23m <≤.综上，3m ≤.故答案为：(],3-∞.6．（2020·全国高一）{}223|0 A x x x =--=，{}|1B x ax ==，若B A ⊆，则实数a 的值构成的集合M =______________【答案】11,0,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【解析】∵B A ⊆，{}{}22|1,330 A x x x =--=-=若0a =，则B =∅，满足题意， 当0a ≠，{}1|1B x ax a ⎧⎫===⎨⎬⎩⎭，，∴11a =-或13a=， ∴1a =-或13a =∴B A ⊆∴综上所述11,0,3M ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭故答案为：11,0,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭.7．（2020·全国高一）若集合A 满足{}121,3,,A x y x N y N x **≠⎧⎫⊆⊂=∈∈⎨⎬⎩⎭，则集合A 的个数有_______个. 【答案】15 【解析】因为{}12,,1,2,3,4,6,12x y x N y N x **⎧⎫=∈∈=⎨⎬⎩⎭， {}121,3,,A x y x N y N x **≠⎧⎫⊆⊂=∈∈⎨⎬⎩⎭， 所以集合A 中含有1,3这两个元素，那么集合A 的个数就相当于集合{}2,4,6,12的真子集个数，即42115-=个.故答案为：158．（2020·浙江高一课时练习）已知集合{|12},{|||1}A x ax B x x =<<=<，是否存在实数a ，使得A B ⊆.若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】存在；0a =或2a ≥或2a ≤-.【解析】∵{}|11B x x =-<<，而集合A 与a 的取值范围有关. ①当0a =时，A =∅，显然A B ⊆.②当0a >时，12A x x a a ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭， ∵A B ⊆，如图1所示，∴11,21,aa⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩∴2a ≥.③当0a <时，21A xx a a ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，∵A B ⊆，如图2所示，∴11,21,aa⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩∴2a -.综上可知，所求实数a 的取值范围为0a =或2a ≥或2a ≤-.9．（2020·浙江高一单元测试）设集合A {x |a 1x 2a,a R}=-<<∈，不等式2x 2x 80--<的解集为B ．()1当a 0=时，求集合A ，B ；()2当A B ⊆时，求实数a 的取值范围．【答案】（1）A={x|-1<x<0},B={Xx|-2<x<4}；（2）a≤2. 【解析】（1）当0a =时，{}10A x x =-<<2280x x --< {}24B x x ⇒=-<<（2）若A B ⊆，则有：①当A =∅，即21a a ≤-，即1a ≤-时，符合题意，②当A ≠∅，即21a a >-，即1a >-时，有1224a a -≥-⎧⎨≤⎩ 12a a ≥-⎧⇒⎨≤⎩解得：12a -<≤ 综合①②得：2a ≤10（2020·全国高一课时练习）若关于x 的方程2210x x m +-+=的解集为空集，试判断关于x 的方程2121x mx m ++=的解集情况．【答案】两个不等的实数根【解析】∵方程2210x x m +-+=的解集为空集， ∴此方程的判别式2241(1)0m ∆=-⨯⨯-+<， 解得0m <．而方程2121x mx m ++=的根的判别式2241(121)484m m m m '∆=-⨯⨯-=-+．∵0m <，∴20,480m m >->． ∴24840m m -+>，即0'∆>，∴方程2121++=有两个不等的实数根，x mx m即方程的解集中含有两个元素．。

高三数学集合的运算试题答案及解析1.已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】A.【解析】解一元二次不等式，得或，∴或，∴.【考点】1.一元二次不等式；2.集合的交集.2. [2013·课标全国卷Ⅰ]已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－＜x＜}，则()A．A∩B＝∅B．A∪B＝R C．B⊆A D．A⊆B【答案】B【解析】∵x(x－2)＞0，∴x＜0或x＞2.∴集合A与B可用数轴表示为：由图象可以看出A∪B＝R，故选B.3.若集合且对中其它元素，总有则．【答案】【解析】本题实质求集合中所有点的横坐标的最小值.因为，所以当时当时因此.【考点】二次函数最值4.设全集为实数集R，,则图中阴影部分表示的集合是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，∴或，∴，∵，由图可知，阴影部分表示的是，∴，∴阴影部分为．【考点】一元二次不等式、集合的交集补集运算．A）∩B等于（）5.设全集U=R，集合A={x|2x＞1}，B={x||x﹣2|≤3}，则（∁UA．[﹣1，0） B．（0，5] C．[﹣1，0] D．[0，5]【答案】C【解析】由A中的不等式变形得：2x＞1=20，得到x＞0，即A=（0，+∞），∵全集U=R，∴∁A=（﹣∞，0]，U由B中的不等式变形得：﹣3≤x﹣2≤3，即﹣1≤x≤5，∴B=[﹣1，5]，A）∩B=[﹣1，0]．则（∁U故选：C．6.设集合A={x|0≤x＜3且x∈N}的真子集的个数是（）A．16B．8C．7D．4【答案】C【解析】∵集合A={x|0≤x＜3且x∈N}={0，1，2}，∴集合A的真子集是：φ，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，共有7个，故选C．7.集合，则（）A．（1，2）B．C．D．【答案】C【解析】,，所以,选C.8.已知集合，集合，则_______．【答案】【解析】由题意，．【考点】集合的运算．9.设集合S={x|x2+2x=0,x∈R},T={x|x2-2x=0,x∈R},则S∩T等于()A．{0}B．{0,2}C．{-2,0}D．{-2,0,2}【答案】A【解析】集合运算问题需先对集合进行化简,明确集合中所含具体元素,因S={0,-2},T={0,2},所以S∩T={0}.故选A.10.集合M={a,b},N={a+1,3},a,b为实数,若M∩N={2},则M∪N=()A．{0,1,2}B．{0,1,3}C．{0,2,3}D．{1,2,3}【答案】D【解析】因为M∩N={2},所以a+1=2,a=1,所以b=2,所以M={1,2},N={2,3},故M∪N={1,2,3}.(x-2x2)},则(M∩N)=()11.已知集合M={x|y=},N={x|y=log2A．(,)B．(-∞,)∪[,+∞)C．[0,]D．(-∞,0]∪[,+∞)【答案】B【解析】集合M,N都是函数的定义域,其中M=[,+∞),N=(0,),所以M∩N=[,),其在实数集中补集(M∩N)=(-∞,)∪[,+∞).12.设集合若，则的范围是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，根据题意，，而，在数轴上表示可得，必有，故选B．【考点】集合与集合之间关系．13.已知M＝{y|y＝x2}，N＝{y|x2＋y2＝2}，则M∩N＝________.【答案】[0，]【解析】M＝{y|y≥0}，N＝{y|x2＝2－y2}＝{y|－≤y≤}．∴M∩N＝[0，]14.若集合M＝{y|y＝2－x}，P＝{y|y＝}，则M∩P＝()．A．{y|y>1}B．{ y|y≥1}C．{ y|y >0}D．{ y|y≥0}【答案】C【解析】∵M＝{ y|y >0}，P＝{ y|y≥0}，∴M∩P＝{ y|y >0}．15.已知集合，，则 .【答案】【解析】本题中集合的元素是曲线上的点，因此中的元素是两个曲线的交点，故我们解方程组，得或，所以．【考点】集合的运算．16.设全集,集合,,则等于A．B．C．D．【答案】B【解析】因为全集,集合,,所以，所以=，选B.【考点】集合的运算17.设集合=（）A．{1，3}B．{2}C．{2，3}D．{3}【答案】A【解析】由已知得，∴．【考点】集合的运算.18.已知集合，，则．【答案】【解析】集合的元素都是函数的值域，这是我们在解与集合有关问题时，一定要弄清的东西，一个集合元素是什么？代表元是什么？而集合的交集就是由两个集合的公共元素所组成的集合．【考点】集合的交集．19.设集合，，，则等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，，所以，所以，选B.【考点】集合的基本运算20.已知全集，集合，则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】.注意只取整数，所以.【考点】1、集合的运算；2、函数的定义域与值域；3、解不等式.21.已知全集，集合，则是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】，.【考点】1.一元二次不等式的解法；2.集合的补集运算.22.设全集,，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可得,则.【考点】集合的基本运算.23.设集合，，则等于( )A．B．C．D．【答案】C【解析】，，.【考点】1.分式不等式的解法；2.函数的定义域；3.集合的交集运算.24.已知集合，，若，则实数的取值范围为．【答案】【解析】由，知，所以，若即，，满足，当时，由解得，且两等号不能同时取到，满足，综上.【考点】集合的包含关系.25.设全集，集合，，则为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，，，所以．【考点】主要考查集合的运算，考查学生对基本概念的理解，及学生的基本运算能力．26.集合，集合，则（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】集合，集合，则．【考点】集合表示及运算．27.设集合，则等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，.【考点】交集运算.28.已知全集为R，集合A＝{x|log2x＜1}，B＝{x|x－1≥0}，则A∩(∁RB)＝( )A．{x|0＜x＜1} B．{x|0＜x＜2} C．{x|x＜1} D．{x|1＜x＜2}【答案】A【解析】由可得，所以；由可得；所以，故选A.【考点】集合的基本运算.29.已知集合，集合，则 .【答案】或.【解析】，，.【考点】集合的交集运算30.已知集合, ,在集合中任意取一个元素,则的概率是___________.【答案】【解析】,,.【考点】几何概型.31.设全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意可知阴影部分表示的集合为，，，，,又,.故选A.【考点】1、文氏图，2、交集，补集以及集合的运算.32.集合若，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以，得，因此，即，所以.【考点】1.集合的运算；2.元素与集合的关系；3.对数运算.33.已知集合,则等于A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，，所以，=，故选A。

集合间的基本关系1．下列说法：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集； ③空集是任何集合的真子集； ④若∅⊂≠A ，则A ≠∅， 其中正确的个数是( )￥A ．0B ．1C ．2D ．32．已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋a ＝0，a ∈R }，若集合A 有且仅有2个子集，则a 的取值 是( ) A ．1 B ．－1 C ．0,1 D ．－1,0,1 3．设B ＝{1,2}，A ＝{x |x ⊆B }，则A 与B 的关系是( )A ．A ⊆B B ．B ⊆AC ．A ∈BD ．B ∈A，4．下列五个写法：①{0}∈{0,1}；②∅⊂≠{0}；③{0，－1,1}{－1,0,1}；④0∈∅；⑤ {(0,0)}＝{0}，其中写法错误的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 5.}0352|{2=--=x x x M ，}1|{==mx x N ，若M N ≠⊂，则m 的取值集合为（ ）A.{2}-B.13⎧⎫⎨⎬⎩⎭ C.12,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D.12,0,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭6. 满足{1,2,3}{1,2,3,4,5,6}M ⊂⊂≠≠的集合的个数为（ ）》二、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 7．满足{1}A {1,2,3}的集合A 的个数是________．8．已知集合A ＝{x |x ＝a ＋16，a ∈Z }，B ＝{x |x ＝b 2－13，b ∈Z }，C ＝{x |x ＝c 2＋16，c ∈Z }，则A 、 B 、C之间的关系是________．9．已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}，若B⊆A，则实数m＝________.三、解答题（本大题共3小题，共46分）`10．（14分）下面的Venn图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种几何图形之间的关系，问集合A，B，C，D，分别是哪种图形的集合*11．（15分）已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，(1)若B⊆A，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围；(2)若A⊆B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围；(3)若A＝B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围．~12．（17分）设集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{x|x2－(2a＋1)x＋a2＋a＝0}，若B⊆A，求a的值[一、选择题解析：空集只有一个子集，就是它本身，空集是任何非空集合的真子集，故仅④是正确的．解析：因为集合A 有且仅有2个子集，所以A 仅有一个元素，即方程ax 2＋2x ＋a ＝0(a ∈)仅有一个根或两个相等的根．(1)当a ＝0时,方程为2x ＝0，此时A ＝{0}，符合题意． (2)当a ≠0时，由Δ＝22－4·a ·a ＝0，即a 2＝1， ∴a ＝±1. ；此时A ＝{－1}或A ＝{1}，符合题意． ∴a ＝0或a ＝±1.3. D 解析:∵B 的子集为{1}，{2}，{1,2}，，∴A ＝{x |x ⊆B }＝{{1}，{2}，{1,2}，}，∴B ∈A . 4. B 解析：只有②③正确.5. D 解析： 1{,3},2M =-（1）0,N m =∅⇒=（2）1{}2,2N m =-⇒=-（3）1{3},3N m =⇒=∴ 的取值集合为12,0,.3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭~6. B 解析：集合M 真包含集合}3,2,1{，M 中一定有元素1，2，3且除此之外至少还有一个元素. 又集合M 真包含于集合}6,5,4,3,2,1{，所以M 中最少有4个元素，最多有5个元素，集合M 的个数等于集合}6,5,4{非空真子集的个数，即6223=-. 二、填空题7. 3 解析：A 中一定有元素1，所以A 可以为{1,2}，{1,3}，{1,2,3}． 8. AB ＝C 解析：用列举法寻找规律．9. 1 解析：∵BA ，∴m 2＝2m －1，即(m －1)2＝0，∴ m ＝1.当m ＝1时，A ＝{－1,3,1}，B ＝{3,1}，满足BA . 三、解答题10.解:观察Venn 图，得B 、C 、D 、E 均是A 的子集，且有E D ，D C .#梯形、平行四边形、菱形、正方形都是四边形， 故A ＝{四边形}；梯形不是平行四边形，而菱形、正方形是平行四边形， 故B ＝{梯形}，C ＝{平行四边形}；正方形是菱形，故D ＝{菱形}，E ＝{正方形}．11.解：由A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，得A ＝{x |－2≤x ≤5}，(1)∵B ⊆A ，∴①若B ＝，则m ＋1>2m －1，即m <2，此时满足B ⊆A .，②若B ≠，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，－2≤m ＋1，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①②得，m 的取值范围是(－∞，3]．(2)若A ⊆B ，则依题意应有⎩⎪⎨⎪⎧ 2m －1>m －6，m －6≤－2，2m －1≥5.解得⎩⎪⎨⎪⎧m >－5，m ≤4，m ≥3.故3≤m ≤4，∴m 的取值范围是[3,4]．(3)若A ＝B ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧m －6＝－2，2m －1＝5，解得m ∈，即不存在m 值使得A ＝B .12.解:(方法一) A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}， 由B ⊆A ，得B ＝，或B ＝{2}，或B ＝{3}，或B ＝{2,3}. 因为Δ＝(2a ＋1)2－4a 2－4a ＝1>0， 所以B 必有两个元素．则B ＝{2,3}，需2a ＋1＝5和a 2＋a ＝6同时成立，所以a ＝2. 综上所述：a ＝2.(方法二) A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，B ＝{x |x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＋a ＝0}＝{x |(x －a )(x －a －1)＝0}＝{a ，a ＋1}， 因为a ≠a ＋1，所以当B ⊆A 时，只有a ＝2且a ＋1＝3.所以a ＝2。

第1章 1.1.2 集合间的基本关系一．选择题1．已知集合{|6A x x =<且*}x N ∈，则A 的非空真子集的个数为A ．30B ．31C ．62D ．63【答案】A 【解析】集合{|6A x x =<且*}{1x N ∈=，2，3，4，5}，故A 的子集个数为5232=，非空真子集个数为30．故选A ．2．集合{|22}A x Z x =∈-<<的子集个数为A ．4B ．6C ．7D ．8【答案】D【解析】{|22}{1A x Z x =∈-<<=-，0，1}， ∴集合A 的子集个数为328=个，故选D ．3．已知集合{0A =，1}，{B m =，1，2}，若A B ⊆，则实数m 的值为A ．2B ．0C ．0或2D ．1【答案】B 【解析】集合{0A =，1}，{B m =，1，2}，A B ⊆，0m ∴=， 故实数m 的值为0．故选B ．4．设集合{|21M x x k ==+，}k Z ∈，{|2N x x k ==+，}k Z ∈，则A ．M NB ．M N =C ．N MD ．M N =∅【答案】A 【解析】集合{|21M x x k ==+，}{k Z ∈=奇数}，{|2N x x k ==+，}{k Z ∈=整数}，M N ∴．故选A ．5．设a ，b R ∈，集合{1，a b +，}{0a =，b a ，}b ，则b a -= A ．1B ．1-C ．2D ．2- 【答案】C 【解析】根据题意，集合{1,,}{0,,}b a b a b a +=， 又0a ≠，0a b ∴+=，即a b =-， ∴1b a=-， 1b =；故1a =-，1b =，则2b a -=，故选C ．6．已知集合22{(,)|3A x y x y =+，x N ∈，}y Z ∈，则A 中元素的个数为A ．9B ．8C ．7D ．6【答案】D【解析】x N ∈， 0x ∴=时，1y =-，0，11x =时，1y =-，0，11x >时，不存在实数解x∴共有6种故选D ．7．已知集合{1A =，2，3，4，5}，{(,)|B x y x A =∈，y A ∈，}y A x∈，则集合B 所含元素个数为A ．3B ．6C ．8D ．10 【答案】D 【解析】集合{1A =，2，3，4，5}，{(,)|B x y x A =∈，y A ∈，}y A x∈， {(1,2)B ∴=，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,4)，(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)}， ∴集合B 所含元素个数为10．故选D ．8．下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若A ∅，则A ≠∅．其中正确的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B【解析】在①中，空集的子集是空集，故①错误； 在②中，空集只有一个子集，还是空集，故②错误； 在③中，空集是任何非空集合的真子集，故③错误； 在④中，若A ∅，则A ≠∅，故④正确．故选B ．9．已知集合{2A =-，3，1}，集合{3B =，2}m ，若B A ⊆，则实数m 的取值集合为A ．{1}B ．C ．{1，1}-D ． 【答案】C【解析】{2A =-，3，1}，{3B =，2}m ， 若B A ⊆，则21m =1m ∴=或1m =-实数m 的取值集合为{1，1}-故选C ．10．满足{1}{1X ⊆⊂，2，3，4，5}的集合X 有A ．15个B ．16个C ．18个D ．31个【答案】A 【解析】根据子集的定义，可得集合X 必定含有1这个元素，可能含有2、3、4、5，但不能是{1，2，3，4，5}．因此，满足条件的集合X 有：42115-=个． 故选A ．二．填空题11．已知集合{0A =，2，3}，{|B x x a b ==，a ，}b A ∈，则集合B 的子集个数为 ．【答案】16【解析】{0A =，2，3}，{|B x x a b ==，a ，}b A ∈， {0B ∴=，4，6，9}．所以集合B 中的子集个数为4216=个．故答案为：16．12．已知集合{|13}A x x =-<<，{|}B x m x m =-<<，若B A ⊆，则m 的取值范围为 ．【答案】(-∞，1]【解析】集合{|13}A x x =-<<，{|}B x m x m =-<<， 若B A ⊆，则A 集合应含有集合B 的所有元素， 讨论B 集合：（1）当B =∅时，m m -，即：0m ，（2）当B ≠∅时，则由数形结合可知：需B 集合的端点a 满足： ①m m -<，②1m --，③3m ，三个条件同时成立． 解得：01m <综上由（1）（2）可得实数m 的取值范围为：1m 即：(-∞，1]故答案为：(-∞，1]13．设集合{1A =-，}a ，{2B =，}b ，若A B =，则a b += ．【答案】1【解析】根据已知条件得：2a =，1b =-，1a b ∴+=； 故答案为：1．14．设{1M =，2，3，⋯，1995}，A 是M 的子集且满足条件：当x A ∈时，15x A ∉，则A 中元素的个数最多是 ．【答案】1870【解析】199515133=⨯．故取出所有不是15的倍数的数，共1862个， 这些数均符合要求．在所有15的倍数的数中，215的倍数有8个，这些数又可以取出，这样共取出了1870个．即||1870A ．又{k ，15}(9k k =，10，11，⋯，133)中的两个元素不能同时取出， 故||199513381870A -+=．故答案为：1870．15．设集合{|32}A x x =-，{|2121}B x k x k =-+，且A B ⊇，则实数k 的取值范围是 ． 【答案】112k - 【解析】2121k k -+恒成立，B ∴≠∅， 因为A B ⊇，∴213212k k --⎧⎨+⎩， 解得112k - 故答案为：112k-． 三．解答题16．（1）已知集合2{|310A x ax x =-+=，}a R ∈，若A 中只有一个元素，求a 的取值范围．（2）集合2{|650}A x x x =-+<，{|3243}C x a x a =-<<-，若C A ⊆，求a 的取值范围．【答案】（1）0a =或94a =；（2）2a【解析】（1）若A 中只有一个元素，则方程2310ax x -+=有且只有一个实根当0a =时方程为一元一次方程，满足条件 当0a ≠，此时△940a =-=，解得：94a =0a ∴=或94a =； （2）2{|650}{|15}A x x x x x =-+<=<<， C A ⊆，当C =∅时，3243a a ->-，解得1a <；当C ≠∅时∴321435a a -⎧⎨-⎩ 解得：2a .17．已知集合2{|40}A x x =-=，集合{|20}B x ax =-=，若B A ⊆，求实数a 的取值集合．【答案】{1，1-，0}【解析】2402x x -=⇒=±，则{2A =，2}-， 若B A ⊆，则B 可能的情况有B =∅，{2}B =或{2}B =-， 若B =∅，20ax -=无解，此时0a =，若{2}B =，20ax -=的解为2x =，有220a -=，解可得1a =，若{2}B =-，20ax -=的解为2x =-，有220a --=，解可得1a =-，综合可得a 的值为1，1-，0；则实数a 的取值集合为{1，1-，0}．18．已知集合2{|3100}A x x x =--．（Ⅰ）若{|621}B x m x m =--，A B ⊆，求实数m 的取值范围； （Ⅱ）若{|121}B x m x m =+-，B A ⊆，求实数m 的取值范围．【答案】（Ⅰ）[3，4]；（Ⅱ）(-∞，3]．【解析】集合2{|3100}{|25}A x x x x x =--=-， （Ⅰ）A B ⊆，∴62215m m --⎧⎨-⎩，解得：34m ，∴实数m的取值范围为：[3，4]；（Ⅱ）B A⊆，①当B=∅时，121m m+>-，即2m<，②当B≠∅时，12112215m mmm+-⎧⎪+-⎨⎪-⎩，解得：23m，综上所述，实数m的取值范围为：(-∞，3]．。

长郡2024高三寒假作业检测卷数学一、选择题（每题3分，共30分）1. 若集合A = {x x² - 5x + 6 = 0}，B = {2,3}，则A与B 的关系是（）A. A = BB. A⊆BC. A⊇BD. A∩B = ∅答案：A。

解析：先求解集合A中的方程x² - 5x+6 = 0，即(x - 2)(x - 3)=0，解得x = 2或者x = 3，所以集合A={2,3}，与集合B相等。

2. 函数y = sin(2x + π/3)的最小正周期是（）A. πB. 2πC. π/2D. 4π答案：A。

解析：对于函数y = Asin(ωx+φ)，其最小正周期T = 2π/ω，这里ω = 2，所以T = 2π/2 = π。

3. 已知向量a=(1,2)，b=(3, - 1)，则a·b等于（）A. 1B. - 1C. 5D. - 5答案：A。

解析：向量的点积公式为a·b = a₁b₁+a₂b₂，这里a₁= 1，a₂= 2，b₁= 3，b₂=-1，所以a·b = 1×3+2×(-1)=1。

二、填空题（每题4分，共20分）1. 若log₂x = 3，则x =___。

答案：8。

解析：根据对数的定义，若logₐ b = c，则a^c = b，这里a = 2，c = 3，所以x = 2³ = 8。

2. 椭圆x²/9+y²/4 = 1的离心率e =___。

答案：√5/3。

解析：对于椭圆x²/a²+y²/b² = 1（a>b>0），离心率e = √(a² - b²)/a，这里a = 3，b = 2，所以e = √(9 - 4)/3=√5/3。

三、解答题（每题10分，共50分）1. 已知数列{an}是等差数列，a₁ = 1，a₃ = 5，求数列{an}的通项公式。

考纲解读明方向分析解读1.掌握集合的表示方法,能判断元素与集合的“属于”关系、集合与集合之间的包含关系.2.深刻理解、掌握集合的元素,子、交、并、补集的概念.熟练掌握集合的交、并、补的运算和性质.能用韦恩(Venn)图表示集合的关系及运算.3.本部分内容在高考试题中多以选择题或填空题的形式出现,以函数、不等式等知识为载体,以集合语言和符号语言表示为表现形式,考查数学思想方法.4.本节内容在高考中分值约为5分,属中低档题.命题探究练扩展2018年高考全景展示1．【2018年新课标I卷文】已知集合，，则A. B. C. D.【答案】A点睛：该题考查的是有关集合的运算的问题，在解题的过程中，需要明确交集中元素的特征，从而求得结果.2．【2018年全国卷Ⅲ文】已知集合，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意先解出集合A,进而得到结果。

详解：由集合A得,所以，故答案选C.点睛：本题主要考查交集的运算，属于基础题。

3．【2018年全国卷II文】已知集合，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据集合可直接求解.详解：,,故选C点睛：集合题也是每年高考的必考内容，一般以客观题形式出现，一般解决此类问题时要先将参与运算的集合化为最简形式，如果是“离散型”集合可采用Venn图法解决，若是“连续型”集合则可借助不等式进行运算.4．【2018年北京卷文】已知集合A={(|||<2)},B={−2,0,1,2},则A. {0,1}B. {−1,0,1}C. {−2,0,1,2}D. {−1,0,1,2}【答案】A【解析】分析：将集合化成最简形式，再进行求交集运算.详解：，，，故选A.点睛：此题考查集合的运算，属于送分题.5.【2018年天津卷文】设集合，，，则A. B. C. D.【答案】C点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.6．【2018年浙江卷】已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则A. B. {1，3} C. {2，4，5} D. {1，2，3，4，5}【答案】C【解析】试题分析：分析:根据补集的定义可得结果.详解：因为全集，，所以根据补集的定义得,故选C.点睛：若集合的元素已知，则求集合的交集、并集、补集时，可根据交集、并集、补集的定义求解． 7．【2018年江苏卷】已知集合，，那么________．【答案】{1，8}【解析】由题设和交集的定义可知：. 点睛：本题考查交集及其运算，考查基础知识，难度较小.2017年高考全景展示1.【2017课表1，文1】已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x ->，则 A ．A B =3|2x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭B ．A B =∅C ．AB 3|2x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭D ．AB=R【答案】A【考点】集合运算．【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理．2.【2017课标II ，文1】设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==则AB =A. {}123,4，， B. {}123，， C. {}234，， D. {}134，， 【答案】A 【解析】由题意{1,2,3,4}A B =，故选A.【考点】集合运算【名师点睛】集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提． (2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决． (3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．3.【2017课标3，文1】已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则A B 中元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】由题意可得：{}2,4A B = ，A B 中元素的个数为2，所以选B.【考点】集合运算【名师点睛】集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提． (2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决． (3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图． 4.【2017天津，文1】设集合{1,2,6},{2,4},{1,2,3,4}A B C ===，则()A B C =（A ）{2}（B ）{1,2,4}（C ）{1,2,4,6}（D ）{1,2,3,4,6} 【答案】B 【解析】试题分析：由题意可得：{}(){}1,2,4,6,1,2,4A B A B C =∴=.本题选择B 选项.【考点】集合的运算【名师点睛】集合分为有限集合和无限集合，若集合个数比较少时可以用列举法表示，若集合是无限集合就用描述法表示，注意代表元素是什么，集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.5.【2017北京，文1】已知U =R ，集合{|22}A x x x =<->或，则U A =ð （A ）(2,2)- （B ）(,2)(2,)-∞-+∞（C ）[2,2]- （D ）(,2][2,)-∞-+∞ 【答案】C【考点】集合的运算【名师点睛】集合分为有限集合和无限集合，若集合个数比较少时可以用列举法表示，若集合是无限集合就用描述法表示，注意代表元素是什么，集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.6.【2017浙江，1】已知}11|{<<-=x x P ， }20{<<=x Q ，则=Q P A ．)2,1(-B ．)1,0(C ．)0,1(-D ．)2,1(【答案】A 【解析】试题分析：利用数轴，取Q P ,所有元素，得=Q P )2,1(-． 【考点】集合运算【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理．7.【2017山东，文1】设集合{}11M x x =-<，{}2N x x =<，则MN =A.()1,1-B. ()1,2-C. ()0,2D. ()1,2 【答案】C【考点】 不等式的解法,集合的运算【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题,应先把集合化简再计算,对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理转化；对已知连续数集间的关系,求其中参数的取值范围时,要注意单独考察等号能否取到,对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,可借助Venn 图．8.【2017江苏，1】已知集合{1,2}A =，2{,3}B a a =+，若{1}A B =则实数a 的值为 . 【答案】1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1．【考点】元素的互异性【名师点睛】(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误. (3)防范空集.在解决有关,A B A B =∅⊆等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解.2016年高考全景展示1. 【2016高考新课标1文数】设集合{}1,3,5,7A =,{}25B x x =剟,则A B =（ ）（A ）{1,3} （B ）{3,5} （C ）{5,7} （D ）{1,7} 【答案】B 【解析】试题分析：集合A 与集合B 公共元素有3,5,}5,3{=B A ,故选B. 考点：集合的交集运算2.【2016高考新课标2文数】已知集合{123}A =，，，2{|9}B x x =<，则A B =（ ）（A ）{210123}--，，，，， （B ）{21012}--，，，， （C ）{123}，， （D ）{12}，【答案】D 【解析】试题分析：由29x <得，33x -<<，所以{|33}B x x =-<<，因为{1,2,3}A =，所以{1,2}AB =，故选D.考点： 一元二次不等式的解法，集合的运算.【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简在计算，常常借助数轴或韦恩图处理. 3. [2016高考新课标Ⅲ文数]设集合{0,2,4,6,8,10},{4,8}A B ==，则A B ð＝（ ）（A ）{48}, （B ）{026}，, （C ）{02610}，，, （D ）{0246810}，，，，, 【答案】C考点：集合的补集运算．【技巧点拨】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化．4. 【2016高考天津文数】已知集合}3,2,1{=A ，},12|{A x x y y B ∈-==，则AB =（ ）（A ）}3,1{ （B ）}2,1{ （C ）}3,2{ （D ）}3,2,1{【答案】A【解析】{1,3,5},{1,3}B A B ==,选A.考点：集合运算【名师点睛】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，误求并集，属于基本题，难点系数较小.一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心错误，二是明确集合交集的考查立足于元素互异性，做到不重不漏.5.【2016高考四川文科】设集合{|15}A x x =≤≤,Z 为整数集，则集合A ∩Z 中元素的个数是( ) (A)6 (B) 5 (C)4 (D)3 【答案】B 【解析】试题分析：由题意，{1,2,3,4,5}AZ =，故其中的元素个数为5，选B.考点：集合中交集的运算.【名师点睛】集合的概念及运算一直是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般是结合不等式，函数的定义域值域考查，解题的关键是结合韦恩图或数轴解答.6. 【2016高考浙江文数】已知全集U ={1，2，3，4，5，6}，集合P ={1，3，5}，Q ={1，2，4}，则U PQ （）ð=（ ） A.{1} B.{3，5} C.{1，2，4，6} D.{1，2，3，4，5} 【答案】C考点：补集的运算.【易错点睛】解本题时要看清楚是求“”还是求“”，否则很容易出现错误；一定要注意集合中元素的互异性，防止出现错误．7.【2016高考北京文数】已知集合={|24}A x x <<，{|3B x x =<或5}x >，则A B =（ ）A.{|25}x x <<B.{|4x x <或5}x >C.{|23}x x <<D.{|2x x <或5}x >【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，(2,3)A B =，故选C.考点： 集合交集【名师点睛】1． 首先要弄清构成集合的元素是什么(即元素的意义)，是数集还是点集，如集合)}(|{x f y x =，)}(|{x f y y =，)}(|),{(x f y y x =三者是不同的．2．集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数时，以及在含参的集合运算中，常因忽视互异性，疏于检验而出错．3．数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助Venn 图实施，对连续的数集间的运算，常利用数轴进行，对点集间的运算，则通过坐标平面内的图形求解，这在本质上是数形结合思想的体现和运用．4．空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽视空集是任何元素的子集．8. 【2016高考山东文数】设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,5},{3,4,5}U A B ===，则()U AB ð=（ ）（A ）{2,6} （B ）{3,6} （C ）{1,3,4,5} （D ）{1,2,4,6}【答案】A考点：集合的运算【名师点睛】本题主要考查集合的并集、补集，是一道基础题目.从历年高考题目看，集合的基本运算，是必考考点，也是考生必定得分的题目之一.9.【2016江苏卷】已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<<则=AB ____________.【答案】{}1,2- 【解析】 试题分析：{1,2,3,6}{|23}{1,2}AB x x =--<<=-考点：集合运算【名师点睛】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，属于基本题，难点系数较小.一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心错误，二是明确江苏对于集合题的考查立足于列举法，强调对集合运算有关概念及法则的理解考纲解读明方向分析解读 三角函数的图象和性质一直是高考中的热点,往往结合三角公式进行化简和变形来研究函数的单调性、奇偶性、对称性及最值问题,且常以解答题的形式考查,其考查内容及形式仍是近几年高考对该部分内容考查的重点.分值为10~12分,属于中低档题.2018年高考全景展示1．【2018年新课标I卷文】已知函数，则A. 的最小正周期为π，最大值为3B. 的最小正周期为π，最大值为4C. 的最小正周期为，最大值为3D. 的最小正周期为，最大值为4【答案】B【解析】分析：首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项.点睛：该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果.2．【2018年天津卷文】将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减C. 在区间上单调递增D. 在区间上单调递减【答案】A【解析】分析：首先确定平移之后的对应函数的解析式，然后逐一考查所给的选项是否符合题意即可.点睛：本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．【2018年江苏卷】已知函数的图象关于直线对称，则的值是________．【答案】【解析】分析：由对称轴得，再根据限制范围求结果.详解：由题意可得，所以，因为，所以点睛：函数（A>0,ω>0）的性质：(1)；(2)最小正周期；(3)由求对称轴；(4)由求增区间; 由求减区间.2017年高考全景展示1.【2017课标II，文13】函数的最大值为. 【答案】【考点】三角函数有界性【名师点睛】通过配角公式把三角函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．一般可利用求最值.2.【2017课标II，文3】函数的最小正周期为A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，故选C.【考点】正弦函数周期【名师点睛】函数的性质(1).(2)周期(3)由求对称轴(4)由求增区间; 由求减区间;3.【2017天津，文7】设函数，其中.若且的最小正周期大于，则（A）（B）（C）（D）【答案】【解析】试题分析：因为条件给出周期大于，， ，再根据 ，因为，所以当时，成立，故选A.【考点】三角函数的性质 【名师点睛】本题考查了的解析式，和三角函数的图象和性质，本题叙述方式新颖,是一道考查能力的好题，本题可以直接求解，也可代入选项，逐一考查所给选项：当时，，满足题意，，不合题意，B 选项错误；，不合题意，C 选项错误；，满足题意；当时，，满足题意；，不合题意，D 选项错误.本题选择A 选项. 4.【2017山东，文7】函数最小正周期为A. B. C. D.【答案】C 【解析】【考点】三角变换及三角函数的性质【名师点睛】求三角函数周期的方法：①利用周期函数的定义．②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为|ω|2π,y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为|ω|π.③对于形如的函数,一般先把其化为的形式再求周期.5.【2017浙江，18】（本题满分14分）已知函数f（x）=sin2x–cos2x–sin x cos x（x R）．（Ⅰ）求的值．（Ⅱ）求的最小正周期及单调递增区间．【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）最小正周期为，单调递增区间为．【解析】试题分析：（Ⅰ）由函数概念，分别计算可得；（Ⅱ）化简函数关系式得，结合可得周期，利用正弦函数的性质求函数的单调递增区间．【考点】三角函数求值、三角函数的性质【名师点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，属于基础题，强调基础的重要性，是高考中的常考知识点；对于三角函数解答题中，当涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等都属于三角函数的性质，首先都应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解．2016年高考全景展示1.【2016高考新课标2文数】函数的部分图像如图所示，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】试题分析：由图知，，周期，所以，所以，因为图象过点，所以，所以，所以，令得，，所以，故选A.考点：三角函数图像的性质【名师点睛】根据图像求解析式问题的一般方法是：先根据函数图像的最高点、最低点确定A，h的值，函数的周期确定ω的值，再根据函数图像上的一个特殊点确定φ值．2. 【2016高考天津文数】已知函数，.若在区间内没有零点，则的取值范围是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）【答案】D 【解析】考点：解简单三角方程【名师点睛】对于三角函数来说，常常是先化为y ＝Asin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再利用三角函数的性质求解．三角恒等变换要坚持结构同化原则，即尽可能地化为同角函数、同名函数、同次函数等，其中切化弦也是同化思想的体现；降次是一种三角变换的常用技巧，要灵活运用降次公式． 3.【2016高考新课标1文数】若将函数y =2sin (2x +6π)的图像向右平移41个周期后,所得图像对应的函数为（ ）（A ）y =2sin(2x +4π) （B ）y =2sin(2x +3π) （C ）y =2sin(2x –4π) （D ）y =2sin(2x –3π) 【答案】D 【解析】试题分析：函数的周期为,将函数的图像向右平移个周期即个单位,所得函数为,故选D.考点：三角函数图像的平移【名师点睛】函数图像的平移问题易错点有两个,一是平移方向,注意“左加右减“,二是平移多少个单位是对x而言的,不用忘记乘以系数.4.[2016高考新课标Ⅲ文数]函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．【答案】【解析】考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角差的正弦函数．【误区警示】在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少．5.【2016高考山东文数】（本小题满分12分）设.（I）求得单调递增区间；（II）把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求的值.【答案】（）的单调递增区间是（或）（）【解析】试题分析：（）化简得由即得写出的单调递增区间（）由平移后得进一步可得（）由（）知把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象，再把得到的图象向左平移个单位，得到的图象，即所以考点：1.和差倍半的三角函数；2.三角函数的图象和性质；3.三角函数图象的变换.【名师点睛】本题主要考查和差倍半的三角函数、三角函数的图象和性质、三角函数图象的变换.此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，利用“左加右减、上加下减”变换原则，得出新的函数解析式并求值.本题较易，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.。