2019版高考一轮《选修4_4：坐标系与参数方程》课时训练含答案

最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改数学选修4-4 坐标系与参数方程[基础训练A 组]一、选择题1．若直线的参数方程为12()23x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（ ）A ．23 B ．23- C ．32 D ．32- 2．下列在曲线sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数上的点是（ ）A ．1(,2B ．31(,)42- C ． D ．3．将参数方程222sin ()sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤ 4．化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（ ）A ．201y y +==2x 或 B ．1x = C ．201y +==2x 或x D ．1y =5．点M 的直角坐标是(-，则点M 的极坐标为（ ）A ．(2,)3πB ．(2,)3π-C ．2(2,)3πD ．(2,2),()3k k Z ππ+∈ 6．极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ）A ．一条射线和一个圆B ．两条直线C ．一条直线和一个圆D ．一个圆二、填空题1．直线34()45x tt y t =+⎧⎨=-⎩为参数的斜率为______________________。

2．参数方程()2()t tt tx e et y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数的普通方程为__________________。

3．已知直线113:()24x tl t y t =+⎧⎨=-⎩为参数与直线2:245l x y -=相交于点B ，又点(1,2)A ，则AB =_______________。

课时跟踪训练(六十一)[基础巩固]1．(2016·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝sin α，(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2.(1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标．[解] (1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1.C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的坐标为(3cos α，sin α)．因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－2. ∴当sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝1时，d 的最小值为2，此时α＝π6＋2k π，k ∈Z ，∴P 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫32，12.2．(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t (t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程； (2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .[解] (1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2，C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ. 若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0， 由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)，a ＝1. a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上， 所以a ＝1.3．(2018·湖北七市联考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(t 是参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3.(1)求曲线C 2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线； (2)若曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，求|AB |的最大值和最小值．[解] (1)对于曲线C 2有ρ＝8cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3，即ρ2＝4ρcos θ＋43ρsin θ，因此曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x －43y ＝0，其表示一个圆．(2)联立曲线C 1与曲线C 2的方程可得t 2－23sin α·t －13＝0，|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝(23sin α)2－4×(－13)＝12sin 2α＋52，因此|AB |的最小值为213，最大值为8.4．(2017·东北三省四市二模)已知在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1－255t ，y ＝1＋55t(t 为参数)．(1)求曲线C 1的直角坐标方程及直线l 的普通方程；(2)若曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数)，曲线C 1上的点P 的极角为π4，Q 为曲线C 2上的动点，求PQ 的中点M 到直线l 的距离的最大值．[解] (1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，又x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0，由直线l 的参数方程消去参数t 得直线l 的普通方程为x ＋2y －3＝0.(2)因为点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，直角坐标为(2,2)， 点Q 的直角坐标为(2cos α，sin α)， 所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos α，1＋12sin α，点M 到直线l 的距离d ＝|1＋cos α＋2＋sin α－3|5＝105⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，当α＋π4＝π2＋k π(k ∈Z )，即α＝π4＋k π(k ∈Z )时，点M 到直线l 的距离d 的最大值为105.5．(2017·西宁统一测试)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)． (1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．[解] (1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|，则|P A |＝d sin30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43. 当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为2255. 当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为255.[能力提升]6．(2017·陕西西安地区高三八校联考)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，θ∈[0,2π]．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)在曲线C 上求一点D ，使它到直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ＋3，y ＝－3t ＋2(t 为参数)的距离最短，并求出点D 的直角坐标．[解] (1)由ρ＝2sin θ，θ∈[0,2π]，可得ρ2＝2ρsin θ. 因为ρ2＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0(或x 2＋(y －1)2＝1)．(2)因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ＋3，y ＝－3t ＋2(t 为参数)，消去t 得直线l 的普通方程为y ＝－3x ＋5.因为曲线C ：x 2＋(y －1)2＝1是以G (0,1)为圆心、1为半径的圆，(易知C 、l 相离)设点D (x 0，y 0)，且点D 到直线l ：y ＝－3x ＋5的距离最短， 所以曲线C 在点D 处的切线与直线l ：y ＝－3x ＋5平行． 即直线GD 与l 的斜率的乘积等于－1，即y 0－1x 0×(－3)＝－1，又x 20＋(y 0－1)2＝1，可得x 0＝－32(舍去)或x 0＝32，所以y 0＝32，即点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.7．(2017·湖南五市十校高三联考)在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，直线l 与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝1cos θ，y ＝tan θ(θ为参数)相交于不同的两点A ，B .(1)若α＝π3，求线段AB 的中点的直角坐标；(2)若直线l 的斜率为2，且过已知点P (3,0)，求|P A |·|PB |的值． [解](1)由曲线C ：⎩⎨⎧x ＝1cos θ，y ＝tan θ(θ为参数)，可得曲线C 的普通方程是x 2－y 2＝1.当α＝π3时，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，代入曲线C 的普通方程，得t 2－6t －16＝0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝6，所以线段AB 的中点对应的t ＝t 1＋t 22＝3，故线段AB 的中点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫92，332. (2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，化简得 (cos 2α－sin 2α)t 2＋6t cos α＋8＝0，则|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪8cos 2α－sin 2α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪8(1＋tan 2α)1－tan 2α， 由已知得tan α＝2，故|P A |·|PB |＝403.8．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)，其中a >b >0.以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2cos θ，射线l ：θ＝α(ρ≥0)．若射线l 与曲线C 1交于点P ，射线l 与曲线C 2交于点Q ，当α＝0时，|PQ |＝1；当α＝π2时，|OP |＝ 3.(1)求曲线C 1的普通方程；(2)设直线l ′：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－t ，y ＝3t (t 为参数，t ≠0)与曲线C 2交于点R ，若α＝π3，求△OPR 的面积．[解] (1)因为曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)，且a >b >0，所以曲线C 1的普通方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，而其极坐标方程为ρ2cos 2θa 2＋ρ2sin 2θb 2＝1.将θ＝0(ρ≥0)代入ρ2cos 2θa 2＋ρ2sin 2θb 2＝1，得ρ＝a ，即点P 的极坐标为(a,0)，将θ＝0(ρ≥0)代入ρ＝2cos θ，得ρ＝2，即点Q 的坐标为(2,0)． 因为|PQ |＝1，所以|PQ |＝|a －2|＝1，所以a ＝1或a ＝3. 将θ＝π2(ρ≥0)代入ρ2cos 2θa 2＋ρ2sin 2θb 2＝1，得ρ＝b ，即点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，π2， 因为|OP |＝3，所以b ＝3，因为a >b >0，所以a ＝3， 所以曲线C 1的普通方程为x 29＋y 23＝1.(2)因为直线l ′的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－t ，y ＝3t(t 为参数，t ≠0)，所以直线l ′的普通方程为y ＝－3x (x ≠0)，而其极坐标方程为θ＝－π3(ρ∈R ，ρ≠0)，所以将直线l ′的方程θ＝－π3代入曲线C 2的方程ρ＝2cos θ，得ρ＝1，即|OR |＝1.因为将射线l 的方程θ＝π3(ρ≥0)代入曲线C 1的方程ρ2cos 2θ9＋ρ2sin 2θ3＝1，得ρ＝3105，即|OP |＝3105，所以S △OPR ＝12|OP ||OR |·sin ∠POR ＝12×3105×1×sin π3＝33020.。

选修4－4⎪⎪⎪坐标系与参数方程第一节 坐 标 系本节主要包括2个知识点： 1.平面直角坐标系下图形的伸缩变换； 2.极坐标系.突破点(一) 平面直角坐标系下图形的伸缩变换[基本知识]设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x (λ＞0)，y ′＝μ·y (μ＞0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．[基本能力]1．判断题(1)平面直角坐标系中点P (－2,3)在变换φ：⎩⎨⎧x ′＝12x ，y ′＝13y的作用下得到的点为P ′(－1,1)．( )(2)已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝－12y ，经φ变换得到点A ′(2,4)，则原来点的坐标为A (4，－2)．( )答案：(1)√ (2)× 2．填空题(1)直线l ：x －2y ＋3＝0经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝2y 变换后得到的直线l ′方程为________________．解析：设l ′上的任一点P (x ′，y ′)由题得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′，y ＝12y ′，代入x －2y ＋3＝0得x ′－y ′＋3＝0，直线l ′的方程为x －y ＋3＝0.答案：x －y ＋3＝0(2)已知平面直角坐标系中点A (－2,4)经过φ变换后得A ′的坐标为⎝⎛⎭⎫－12，2，则伸缩变换φ为________．解析：设伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧－12＝－2λ，2＝4μ，解得⎩⎨⎧λ＝14，μ＝12.∴φ：⎩⎨⎧x ′＝14x ，y ′＝12y .答案：φ：⎩⎨⎧x ′＝14x ，y ′＝12y[全析考法]平面直角坐标系下图形的伸缩变换[典例] 求双曲线C ：x 2－y 264＝1经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y 变换后所得曲线C ′的焦点坐标．[解] 设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)， 由题意，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入x 2－y 264＝1 得x ′29－4y ′264＝1，化简得x ′29－y ′216＝1，即x 29－y 216＝1为曲线C ′的方程，可见经变换后的曲线仍是双曲线， 则所求焦点坐标为F 1(－5,0)，F 2(5,0)．[方法技巧]应用伸缩变换公式时的两个注意点(1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的，解题时一定要区分变换前的点P 的坐标(x ，y )与变换后的点P ′的坐标(x ′，y ′)，再利用伸缩变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)建立联系． (2)已知变换后的曲线方程f (x ，y )＝0，一般都要改写为方程f (x ′，y ′)＝0，再利用换元法确定伸缩变换公式．[全练题点]1．求直线l ：y ＝6x 经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y 变换后所得到的直线l ′的方程．解：设直线l ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，由题意，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入y ＝6x 得2y ′＝6×⎝⎛⎭⎫13x ′，所以y ′＝x ′，即直线l ′的方程为y ＝x .2．在同一平面直角坐标系中，将直线x －2y ＝2变成直线2x ′－y ′＝4，求满足图象变换的伸缩变换．解：设变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，代入第二个方程，得2λx －μy ＝4，与x －2y ＝2比较系数得λ＝1，μ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝x ，y ′＝4y .因此，经过变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝4y后，直线x －2y ＝2变成直线2x ′－y ′＝4.3．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝12x ，y ′＝13y后，曲线C ：x 2＋y 2＝36变为何种曲线，并求曲线的焦点坐标．解：设圆x 2＋y 2＝36上任一点为P (x ，y )，伸缩变换后对应点的坐标为P ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝3y ′，所以4x ′2＋9y ′2＝36， 即x ′29＋y ′24＝1.所以曲线C 在伸缩变换后得椭圆x 29＋y 24＝1，其焦点坐标为(±5，0)．突破点(二) 极坐标系[基本知识]1．极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O ，点O 叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标一般地，没有特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． (3)点与极坐标的关系一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z)表示同一个点，特别地，极点O 的坐标为(0，θ)(θ∈R)，和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示．如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ) 表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的．2．极坐标与直角坐标的互化点M直角坐标(x ，y )极坐标(ρ，θ) 互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ ⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0)[基本能力]1．判断题(1)圆心在极轴上的点(a,0)处，且过极点O 的圆的极坐标方程为ρ＝2a sin θ.( ) (2)tan θ＝1与θ＝π4表示同一条曲线．( )(3)点P 的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为⎝⎛⎭⎫2，3π4.( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 2.填空题(1)点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的极坐标为________．解析：因为点P (1，－3)在第四象限，与原点的距离为2，且OP 与x 轴所成的角为－π3，所以点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，－π3. 答案：⎝⎛⎭⎫2，－π3 (2)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ在点M (2,0)处的切线的极坐标方程为________． 解析：如图，∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x .由图象可知圆在点M (2,0)处的切线的直角坐标方程为x ＝2，即ρcos θ＝2.答案：ρcos θ＝2(3)在极坐标系中A ⎝⎛⎭⎫2，－π3，B ⎝⎛⎭⎫4，2π3两点间的距离为________． 解析：法一：在极坐标系中，A ，B 两点如图所示，|AB |＝|OA |＋|OB |＝6.法二：A ⎝⎛⎭⎫2，－π3，B ⎝⎛⎭⎫4，2π3的直角坐标为A (1，－3)，B (－2,23)． ∴|AB |＝(－2－1)2＋(23＋3)2＝36＝6. 答案：6(4)圆ρ＝5cos θ－53sin θ的圆心的极坐标为________． 解析：将方程 ρ＝5cos θ－53sin θ两边都乘以ρ得： ρ2＝5ρcos θ－53ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2－5x ＋53y ＝0. 圆心的坐标为⎝⎛⎭⎫52，－532，化成极坐标为⎝⎛⎭⎫5，5π3. 答案：⎝⎛⎭⎫5，5π3(答案不唯一) (5)在极坐标系中，直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________． 解析：直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2可化为x ＋y －22＝0，圆ρ＝4可化为x 2＋y 2＝16，由圆中的弦长公式得2r 2－d 2＝242－⎝ ⎛⎭⎪⎫2222＝4 3.答案：4 3[全析考法]极坐标与直角坐标的互化1．极坐标方程化为直角坐标方程的步骤 第一步判断极坐标的极点与直角坐标系的原点是否重合，且极轴与x 轴正半轴是否重合，若上述两个都重合，则极坐标方程与直角坐标方程可以互化第二步通过极坐标方程的两边同乘ρ或同时平方构造ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，一定要注意变形过程中方程要保持同解，不要出现增解或漏解第三步根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ及ρ2＝x 2＋y 2将极坐标方程转化为直角坐标方程2．直角坐标方程化为极坐标方程或直角坐标系中点的坐标化为极坐标(1)直角坐标方程化为极坐标方程较为简单，只需将直角坐标方程中的x ，y 分别用ρcos θ，ρsin θ代替即可得到相应极坐标方程．(2)求直角坐标系中的点(x ，y )对应的极坐标的一般步骤：[例1] 在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22. (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标． [解] (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝x ＋y ，即x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为：y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，则直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2. [方法技巧]1．应用互化公式的三个前提条件 (1)取直角坐标系的原点为极点． (2)以x 轴的正半轴为极轴．(3)两种坐标系规定相同的长度单位． 2．直角坐标化为极坐标时的两个注意点(1)根据终边相同的角的意义，角θ的表示方法具有周期性，故点M 的极坐标(ρ，θ)的形式不唯一，即一个点的极坐标有无穷多个．当限定ρ≥0，θ∈[0,2π)时，除极点外，点M 的极坐标是唯一的．(2)当把点的直角坐标化为极坐标时，求极角θ应注意判断点M 所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ(θ∈[0,2π))的值．极坐标方程的应用[例2] (2018·安徽合肥模拟)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)求出圆C 的直角坐标方程；(2)已知圆C 与x 轴相交于A ，B 两点，直线l ：y ＝2x 关于点M (0，m )(m ≠0)对称的直线为l ′.若直线l ′上存在点P 使得∠APB ＝90°，求实数m 的最大值．[解] (1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，即x 2＋y 2－4x ＝0，故圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0.(2)l ：y ＝2x 关于点M (0，m )对称的直线l ′的方程为y ＝2x ＋2m ，而AB 为圆C 的直径，故直线l ′上存在点P 使得∠APB ＝90°的充要条件是直线l ′与圆C 有公共点，故|4＋2m |5≤2，解得－2－5≤m ≤5－2，于是，实数m 的最大值为5－2.[易错提醒]用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决．[全练题点]1.[考点一、二]已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝⎛⎭⎫22，7π4，求点A 到直线l 的距离． 解：由2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2，得2ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ＋22cos θ＝2，由坐标变换公式，得直线l 的直角坐标方程为y ＋x ＝1，即x ＋y －1＝0.由点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，7π4得点A 的直角坐标为(2，－2)，所以点A 到直线l 的距离d ＝|2－2－1|2＝22.2.[考点二]在极坐标系中，直线C 1的极坐标方程为ρsin θ＝2，M 是C 1上任意一点，点P 在射线OM 上，且满足|OP |·|OM |＝4，记点P 的轨迹为C 2.(1)求曲线C 2的极坐标方程；(2)求曲线C 2上的点到直线C 3：ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2的距离的最大值． 解：(1)设P (ρ，θ)，M (ρ1，θ)，依题意有ρ1sin θ＝2，ρρ1＝4. 消去ρ1，得曲线C 2 的极坐标方程为ρ＝2sin θ(ρ≠0)．(2)将C 2，C 3的极坐标方程化为直角坐标方程，得C 2：x 2＋(y －1)2＝1，C 3：x －y ＝2.C 2是以点(0,1)为圆心，以1为半径的圆(坐标原点除外)．圆心到直线C 3的距离d ＝322，故曲线C 2上的点到直线C 3距离的最大值为1＋322.[全国卷5年真题集中演练——明规律]1．(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值． 解：(1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)． 由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ. 由|OM |·|OP |＝16，得C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ＞0)． 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB ＞0)，由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α·⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3 ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3－32≤2＋ 3.当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3.所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.2．(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t (t 为参数，a ＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .解：(1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝a 2， 则C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ. 若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0， 由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上． 所以a ＝1.[课时达标检测]1．在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．解：在ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32中，令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1,0)． 因为圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4， 所以圆C 的半径PC ＝ (2)2＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.2．设M ，N 分别是曲线ρ＋2sin θ＝0和ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22上的动点，求M ，N 的最小距离．解：因为M ，N 分别是曲线ρ＋2sin θ＝0和ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22上的动点，即M ，N 分别是圆x 2＋y 2＋2y ＝0和直线x ＋y －1＝0上的动点，要求M ，N 两点间的最小距离，即在直线x ＋y －1＝0上找一点到圆x 2＋y 2＋2y ＝0的距离最小，即圆心(0，－1)到直线x ＋y －1＝0的距离减去半径，故最小值为|0－1－1|2－1＝2－1. 3．(2018·扬州质检)求经过极点O (0,0)，A ⎝⎛⎭⎫6，π2，B ⎝⎛⎭⎫62，9π4三点的圆的极坐标方程． 解：点O ，A ，B 的直角坐标分别为(0,0)，(0,6)，(6,6)，故△OAB 是以OB 为斜边的等腰直角三角形，圆心为(3,3)，半径为32， 圆的直角坐标方程为(x －3)2＋(y －3)2＝18， 即x 2＋y 2－6x －6y ＝0，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上述方程， 得ρ2－6ρ(cos θ＋sin θ)＝0， 即ρ＝62cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4. 4．(2018·山西质检)在极坐标系中，曲线C 的方程为ρ2＝31＋2sin 2θ，点R ⎝⎛⎭⎫22，π4. (1)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标；(2)设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时P 点的直角坐标．解：(1)曲线C ：ρ2＝31＋2sin 2θ，即ρ2＋2ρ2sin 2θ＝3，从而ρ2cos 2θ3＋ρ2sin 2θ＝1.∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 23＋y 2＝1，点R 的直角坐标为R (2,2)． (2)设P (3cos θ，sin θ)，根据题意可得|PQ |＝2－3cos θ，|QR |＝2－sin θ， ∴|PQ |＋|QR |＝4－2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3， 当θ＝π6时，|PQ |＋|QR |取最小值2，∴矩形PQRS 周长的最小值为4，此时点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫32，12.5．(2018·南京模拟)已知直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝4和圆C ：ρ＝2k cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4(k ≠0)，若直线l 上的点到圆C 上的点的最小距离等于2.求实数k 的值并求圆心C 的直角坐标．解：圆C 的极坐标方程可化为ρ＝2k cos θ－2k sin θ， 即ρ2＝2kρcos θ－2kρsin θ，所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2kx ＋2ky ＝0， 即⎝⎛⎭⎫x －22k 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋22k 2＝k 2， 所以圆心C 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫22k ，－22k .直线l 的极坐标方程可化为ρsin θ·22－ρcos θ·22＝4，所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋42＝0，所以⎪⎪⎪⎪22k ＋22k ＋422－|k |＝2.即|k ＋4|＝2＋|k |， 两边平方，得|k |＝2k ＋3，所以⎩⎪⎨⎪⎧ k ＞0，k ＝2k ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0，－k ＝2k ＋3，解得k ＝－1，故圆心C 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫－22，22. 6．已知曲线C 的极坐标方程是ρsin 2θ－8cos θ＝0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy .在直角坐标系中，倾斜角为α的直线l 过点(2,0)．(1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程；(2)设点Q 和点G 的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫2，3π2，(2，π)，若直线l 经过点Q ，且与曲线C 相交于A ，B 两点，求△GAB 的面积．解：(1)曲线C 的极坐标方程化为ρ2sin 2θ－8ρcos θ＝0，再化为直角坐标方程为y 2＝8x .直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)．(2)点Q ⎝⎛⎭⎫2，3π2的直角坐标为(0，－2)． 因为直线l 过点P (2,0)和Q (0，－2)，所以直线l 的倾斜角α＝π4.所以直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋22t ，y ＝22t(t 为参数)．将l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得⎝⎛⎭⎫22t 2＝8⎝⎛⎭⎫2＋22t .整理，得t 2－82t－32＝0.Δ＝(－82)2＋4×32＝256>0.设t 1，t 2为方程t 2－82t －32＝0的两个根， 则t 1＋t 2＝82，t 1·t 2＝－32，所以|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1·t 2＝256＝16.由极坐标与直角坐标互化公式得点G 的直角坐标为(－2,0)． 点G 到直线l 的距离为d ＝|PG |sin 45°＝4×22＝22， 所以S △GAB ＝12×d ×|AB |＝12×16×22＝16 2.7．(2018·贵州联考)已知在一个极坐标系中点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3. (1)求出以C 为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程(写出解题过程)；(2)在直角坐标系中，以圆C 所在极坐标系的极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，点P 是圆C 上任意一点，Q (5，－3)，M 是线段PQ 的中点，当点P 在圆C 上运动时，求点M 的轨迹的普通方程．解：(1)如图，设圆C 上任意一点A (ρ，θ)，则∠AOC ＝θ－π3或π3－θ.由余弦定理得，4＋ρ2－4ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝4，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3. (2)在直角坐标系中，点C 的坐标为(1，3)，可设圆C 上任意一点P (1＋2cos α，3＋2sin α)，又令M (x ，y )，由Q (5，－3)，M 是线段PQ 的中点，得点M 的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝6＋2cos α2，y ＝2sin α2(α为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos α，y ＝sin α(α为参数)， ∴点M 的轨迹的普通方程为(x －3)2＋y 2＝1.8．在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝π3与曲线C 2交于点D ⎝⎛⎭⎫2，π3. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知极坐标系中两点A (ρ1，θ0)，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，θ0＋π2，若A ，B 都在曲线C 1上，求1ρ21＋1ρ22的值．解：(1)∵C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ，∴C 1的普通方程为x 24＋y 2＝1.由题意知曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2a cos θ(a 为半径)， 将D ⎝⎛⎭⎫2，π3 代入，得2＝2a ×12， ∴a ＝2，∴圆C 2的圆心的直角坐标为(2,0)，半径为2， ∴C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4.(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ4＋ρ2sin 2θ＝1，即ρ2＝44sin 2θ＋cos 2θ.∴ρ21＝44sin 2θ0＋cos 2θ0， ρ22＝44sin 2⎝⎛⎭⎫θ0＋π2＋cos 2⎝⎛⎭⎫θ0＋π2＝4sin 2θ0＋4cos 2θ0. ∴1ρ21＋1ρ22＝4sin 2θ0＋cos 2θ04＋4cos 2θ0＋sin 2θ04＝54.第二节 参数方程本节主要包括2个知识点： 1.参数方程； 2.参数方程与极坐标方程的综合问题.突破点(一) 参数方程[基本知识]1．参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝f (t )，y ＝g (t )，并且对于t 的每一个允许值，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )就叫做这条曲线的参数方程，变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．2．直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．(2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)．[基本能力]1．判断题(1)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋t (t 为参数)所表示的图形是直线．( )(2)直线y ＝x 与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点个数为1.( )答案：(1)√ (2)× 2．填空题(1)若直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2－3t (t 为参数)，则直线的斜率为________．解析：∵y －2x －1＝－3t 2t ＝－32，∴tan α＝－32.答案：－32(2)椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，过左焦点F 1的直线l 与C 相交于A ，B 两点，则|AB |min ＝________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)得，x 225＋y 29＝1，当AB ⊥x 轴时，|AB |有最小值．∴|AB |min＝2×95＝185.答案：185(3)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ－1(θ为参数)，则曲线C 的普通方程为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ－1(θ为参数)消去参数θ得y ＝－2x 2(－1≤x ≤1)．答案：y ＝－2x 2(－1≤x ≤1)(4)椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数)的离心率为________．解析：由椭圆的参数方程可知a ＝5，b ＝2.故c ＝52－22＝21，故椭圆的离心率e ＝ca ＝215. 答案：215[全析考法]参数方程与普通方程的互化1．参数方程化为普通方程基本思路是消去参数，常用的消参方法有：①代入消元法；②加减消元法；③恒等式(三角的或代数的)消元法；④平方后再加减消元法等．其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧，三角恒等式消元法常利用公式sin 2θ＋cos 2θ＝1等．2．普通方程化为参数方程 (1)选择参数的一般原则曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单；当参数取某一值时，可以唯一确定x ，y 的值；(2)解题的一般步骤第一步，引入参数，但要选定合适的参数t ；第二步，确定参数t 与变量x 或y 的一个关系式x ＝f (t )(或y ＝φ(t ));第三步，把确定的参数与一个变量的关系式代入普通方程F (x ，y )＝0，求得另一关系y ＝g (t )(或x ＝ψ(t ))，问题得解．[例1] 将下列参数方程化为普通方程．(1)⎩⎨⎧x ＝1t ，y ＝1t t 2－1(t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝－1＋cos 2θ(θ为参数)． [解] (1)∵⎝⎛⎭⎫1t 2＋⎝⎛⎭⎫1t t 2－12＝1， ∴x 2＋y 2＝1.∵t 2－1≥0，∴t ≥1或t ≤－1. 又x ＝1t，∴x ≠0.当t ≥1时，0<x ≤1，当t ≤－1时，－1≤x <0， ∴所求普通方程为x 2＋y 2＝1，其中⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤1，0≤y <1或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x <0，－1<y ≤0.(2)∵y ＝－1＋cos 2θ＝－1＋1－2sin 2θ＝－2sin 2θ，sin 2θ＝x －2，∴y ＝－2x ＋4，∴2x ＋y －4＝0.∵0≤sin 2θ≤1，∴0≤x －2≤1，∴2≤x ≤3， ∴所求的普通方程为2x ＋y －4＝0(2≤x ≤3)． [易错提醒](1)将曲线的参数方程化为普通方程时务必要注意x ，y 的取值范围，保证消参前后方程的一致性．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意参数的取值范围对普通方程中x ，y 的取值范围的影响．直线与圆锥曲线的参数方程及应用1．解决直线与圆锥曲线的参数方程的应用问题，其一般思路如下： (1)把直线和圆锥曲线的参数方程都化为普通方程； (2)根据直线与圆锥曲线的位置关系解决问题．2．当直线经过点P (x 0，y 0)，且直线的倾斜角为α，求直线与圆锥曲线的交点、弦长问题时，可以把直线的参数方程设成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，交点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，计算时把直线的参数方程代入圆锥曲线的直角坐标方程，求出t 1＋t 2，t 1·t 2，得到|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1·t 2.[例2] (2018·石家庄质量检测)已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)． (1)设l 与C 1相交于A ，B 两点，求|AB |；(2)若把曲线C 1上各点的横坐标压缩为原来的12，纵坐标压缩为原来的32，得到曲线C 2，设点P 是曲线C 2上的一个动点，求它到直线l 距离的最小值．[解] (1)l 的普通方程为y ＝3(x －1)，C 1的普通方程为x 2＋y 2＝1，联立，得⎩⎨⎧y ＝3(x －1)，x 2＋y 2＝1，解得l 与C 1的交点坐标分别为(1,0)，⎝⎛⎭⎫12，－32，所以|AB |＝⎝⎛⎭⎫1－122＋⎝⎛⎭⎫0＋322＝1.(2)C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12cos θ，y ＝32sin θ(θ为参数)，故点P 的坐标是⎝⎛⎭⎫12cos θ，32sin θ， 从而点P 到直线l 的距离d ＝| 32cos θ－32sin θ－32＝34⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＋2， 由此当sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝－1时，d 取得最小值，且最小值为64()2－1.[方法技巧]求解直线与圆锥曲线参数方程问题的方法(1)解决直线与圆锥曲线的参数方程的应用问题时一般是先化为普通方程再根据直线与圆锥曲线的位置关系来解决问题．(2)对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)的直线的参数方程，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题．[全练题点]1.[考点二](2018·唐山模拟)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B ，若点P 的坐标为(3，5)，求|PA |＋|PB |. 解：(1)由ρ＝25sin θ，得ρ2＝25ρsin θ. ∴x 2＋y 2＝25y ，即x 2＋(y －5)2＝5. (2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程． 得⎝⎛⎭⎫3－22t 2＋⎝⎛⎭⎫22t 2＝5，即t 2－32t ＋4＝0. 由于Δ＝(32)2－4×4＝2>0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根，所以⎩⎨⎧t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4.又直线l 过点P (3，5)，故由上式及t 的几何意义得|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2.2.[考点一、二](2018·郑州模拟)将曲线C 1：x 2＋y 2＝1上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到曲线C 2，A 为C 1与x 轴正半轴的交点，直线l 经过点A 且倾斜角为30°，记l 与曲线C 1的另一个交点为B ，与曲线C 2在第一、三象限的交点分别为C ，D .(1)写出曲线C 2的普通方程及直线l 的参数方程； (2)求|AC |－|BD |.解：(1)由题意可得C 2：x22＋y 2＝1，对曲线C 1，令y ＝0，得x ＝1，所以l ：⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)．(2)将⎩⎨⎧x ＝1＋3t 2，y ＝12t代入x 22＋y 2＝1，整理得5t 2＋43t －4＝0.设点C ，D 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－435，且|AC |＝t 1，|AD |＝－t 2.又|AB |＝2|OA |cos 30°＝3，故|AC |－|BD |＝|AC |－(|AD |－|AB |)＝|AC |－|AD |＋|AB |＝t 1＋t 2＋3＝35.突破点(二) 参数方程与极坐标方程的综合问题将极坐标方程与参数方程、普通方程交织在一起，考查极坐标方程与参数方程的综合应用.将各类方程相互转化是求解该类问题的前提.,解决问题时要注意：,(1)解题时，易将直线与圆的极坐标方程混淆.要熟练掌握特殊直线、圆的极坐标方程的形式.,(2)应用解析法解决实际问题时，要注意选取直角坐标系还是极坐标系，建立极坐标系要注意极点、极轴位置的选择，注意点和极坐标之间的“一对多”关系.,(3)求曲线方程，常设曲线上任意一点P (ρ，θ)，利用解三角形的知识，列出等量关系式，特别是正弦、余弦定理的应用.圆的参数方程常和三角恒等变换结合在一起，解决取值范围或最值问题.,(4)参数方程和普通方程表示同一个曲线时，要注意其中x ，y 的取值范围，即注意两者的等价性.[全析考法]参数方程与极坐标方程的综合问题[典例] (2018·广东五校协作体联考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝4 2. (1)求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；(2)设P 为曲线C 1上的动点，求点P 到曲线C 2上点的距离的最小值．[解] (1)由曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝sin α得曲线C 1的普通方程为x 22＋y 2＝1.由曲线C 2：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝42得22ρ(sin θ＋cos θ)＝42， 即曲线C 2的直角坐标方程为x ＋y －8＝0. (2)由(1)知椭圆C 1与直线C 2无公共点，椭圆上的点P (2cos α，sin α)到直线x ＋y －8＝0的距离为 d ＝|2cos α＋sin α－8|2＝|3sin (α＋φ)－8|2，所以当sin(α＋φ)＝1时，d 取得最小值82－62.[方法技巧]处理极坐标、参数方程综合问题的方法(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．[全练题点]1．已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t ， (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ .(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t 消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0 得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫2，π4，⎝⎛⎭⎫2，π2. 2．(2018·南昌十校模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝1＋sin α(α为参数，π≤α≤2π)，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22t . (1)求C 2的直角坐标方程；(2)当C 1与C 2有两个公共点时，求实数t 的取值范围． 解：(1)∵曲线C 2的极坐标方程为ρ⎝⎛⎭⎫22cos θ＋22sin θ＝22t ，∴曲线C 2的直角坐标方程为x ＋y －t ＝0.(2)曲线C 1的普通方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1(0≤x ≤2,0≤y ≤1)，为半圆弧， 如图所示，曲线C 2为平行于直线x ＋y ＝0的直线，或为直线x ＋y ＝0，当直线C 2与曲线C 1相切时，由|1＋1－t |2＝1，解得t ＝2－2或t ＝2＋2(舍去)， 当直线C 2过A ，B 两点时，t ＝1，由图可知，当2－2<t ≤1时，曲线C 2与直线C 1有两个公共点.[全国卷5年真题集中演练——明规律]1．(2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a . 解：(1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，⎝⎛⎭⎫－2125，2425. (2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0， 故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为 d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917. 由题设得a ＋917＝17，解得a ＝8；当a ＜－4时，d 的最大值为－a ＋117. 由题设得－a ＋117＝17，解得a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.2．(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k (m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．解：(1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)； 消去参数m 得l 2的普通方程l 2：y ＝1k (x ＋2)． 设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y ＝1k (x ＋2).消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)．所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)．联立⎩⎨⎧ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110.代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4得ρ2＝5， 所以交点M 的极径为 5.3．(2016·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)． 设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0. 于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2 ＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以直线l 的斜率为153或－153. 4．(2016·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标． 解：(1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)． 因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值， d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－2， 当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z)时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫32，12.[课时达标检测]1．(2018·河南息县第一高级中学段测)已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝m ＋sin α(α为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋55t ，y ＝4＋255t (t 为参数)．(1)求曲线C 与直线l 的普通方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，且|PQ |＝455，求实数m 的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝m ＋sin α(α为参数)得曲线C 的普通方程为x 2＋(y －m )2＝1.由x ＝1＋55t ，得55t ＝x －1，代入y ＝4＋255t ，得y ＝4＋2(x －1)，所以直线l 的普通方程为2x －y ＋2＝0.(2)圆心(0，m )到直线l 的距离为d ＝|－m ＋2|5，由勾股定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫|－m ＋2|52＋⎝⎛⎭⎫2552＝1，解得m ＝3或m ＝1.2．在极坐标系中，已知三点O (0,0)，A ⎝⎛⎭⎫2，π2，B ⎝⎛⎭⎫22，π4. (1)求经过点O ，A ，B 的圆C 1的极坐标方程；(2)以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ(θ是参数)，若圆C 1与圆C 2外切，求实数a 的值． 解：(1)O (0,0)，A ⎝⎛⎭⎫2，π2，B ⎝⎛⎭⎫22，π4对应的直角坐标分别为O (0,0)，A (0,2)，B (2,2)，则过点O ，A ，B 的圆的普通方程为x 2＋y 2－2x －2y ＝0，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入可求得经过点O ，A ，B 的圆C 1的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4. (2)圆C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ(θ是参数)对应的普通方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝a 2，圆心为(－1，－1)，半径为|a |，而圆C 1的圆心为(1,1)，半径为2，所以当圆C 1与圆C 2外切时，有2＋|a |＝(－1－1)2＋(－1－1)2，解得a ＝±2.3．(2018·湖北宜昌模拟)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝x ，圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝－2＋sin θ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线l 与圆C 的极坐标方程；(2)设直线l 与圆C 的交点为M ，N ，求△CMN 的面积．解：(1)将C 的参数方程化为普通方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝1，极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ。

第2讲 参数方程)1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数，从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．2．直线、圆和圆锥曲线的参数方程参数方程与普通方程的互化已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t(t 为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线．【解】 曲线C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，曲线C 2：x 264＋y 29＝1，曲线C 1是以(－4，3)为圆心，1为半径的圆；曲线C 2是中心为坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等．对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin 2θ＋cos 2θ＝1等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．将下列参数方程化为普通方程．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3k1＋k 2，y ＝6k 21＋k2； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ.(1)两式相除，得k ＝y2x，将其代入得x ＝3·y2x1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2x 2， 化简得所求的普通方程是4x 2＋y 2－6y ＝0(y ≠6)．(2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ)，x ＝1－sin 2θ∈，得y 2＝2－x .即所求的普通方程为y 2＝2－x ，x ∈．参数方程的应用(2017·兰州市实战考试)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t y ＝5＋22t (t 为参数)．在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.(1)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；(2)若点P 坐标为(3，5)，圆C 与直线l 交于A 、B 两点，求|PA |＋|PB |的值． 【解】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t y ＝5＋22t 得直线l 的普通方程为x ＋y －3－5＝0.又由ρ＝25sin θ得圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－25y ＝0， 即x 2＋(y －5)2＝5.(2)把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－22t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝5，即t 2－32t ＋4＝0.由于Δ＝(32)2－4×4＝2＞0，故可设t 1、t 2是上述方程的两实数根， 所以t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4.又直线l 过点P (3，5)，A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2， 所以|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2.(1)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上与动点有关的问题，如最值、范围等．(2)根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论： 过定点M 0的直线与圆锥曲线相交，交点为M 1，M 2，所对应的参数分别为t 1，t 2. ①弦长l ＝|t 1－t 2|； ②弦M 1M 2的中点⇒t 1＋t 2＝0； ③|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|.已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12ty ＝32t(t 为参数)，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ(θ为参数)．(1)设l 与C 1相交于A ，B 两点，求|AB |；(2)若把曲线C 1上各点的横坐标压缩为原来的12，纵坐标压缩为原来的32，得到曲线C 2，设点P 是曲线C 2上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．(1)l 的普通方程为y ＝3(x －1)，C 1的普通方程为x 2＋y 2＝1. 联立方程⎩⎨⎧y ＝3（x －1）x 2＋y 2＝1，解得l 与C 1的交点为A (1，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，则|AB |＝1.(2)C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12cos θy ＝32sin θ(θ为参数)．故点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ，32sin θ.从而点P 到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪32cos θ－32sin θ－32＝34⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋2，当sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝－1时，d 取得最小值，且最小值为64(2－1)．极坐标方程与参数方程的综合问题(2017·张掖市第一次诊断考试)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－32t y ＝3＋12t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)若P (x ，y )是直线l 与圆面ρ≤4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6的公共点，求3x ＋y 的取值范围．【解】 (1)因为圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6，所以ρ2＝4ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝4ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ－12cos θ，所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝23y －2x ， 即(x ＋1)2＋(y －3)2＝4.(2)设z ＝3x ＋y ，圆C 的圆心是(－1，3)，半径是2， 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－32t y ＝3＋12t 代入z ＝3x ＋y ，得z ＝－t .又因为直线l 过C (－1，3)，圆C 的半径为2，所以－2≤t ≤2， 所以－2≤－t ≤2，即3x ＋y 的取值范围是．涉及参数方程和极坐标方程的综合问题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ≥0)，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数，0≤α＜π)，射线θ＝φ，θ＝φ＋π4，θ＝φ－π4与曲线C 1分别交于(不包括极点O )点A 、B 、C .(1)求证：|OB |＋|OC |＝2|OA |；(2)当φ＝π12时，B 、C 两点在曲线C 2上，求m 与α的值．(1)证明：依题意|OA |＝4cos φ，|OB |＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π4，|OC |＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π4， 则|OB |＋|OC |＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π4＋4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π4＝22(cos φ－sin φ)＋22(cos φ＋sin φ) ＝42cos φ＝2|OA |.(2)当φ＝π12时，B 、C 两点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3、⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－π6，化为直角坐标为B (1，3)、C (3，－3)，所以经过点B 、C 的直线方程为y －3＝－3(x －1)，而C 2是经过点(m ，0)且倾斜角为α的直线，故m ＝2，α＝2π3.1．(2016·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12ty ＝32t(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B两点，求线段AB 的长．椭圆C 的普通方程为x 2＋y 24＝1. 将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t代入x 2＋y24＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 24＝1， 即7t 2＋16t ＝0， 解得t 1＝0，t 2＝－167.所以AB ＝|t 1－t 2|＝167.2．(2017·广东珠海模拟)在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为ρ2＝4ρ(cos θ＋sin θ)－6.若以极点O 为原点，极轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．(1)求圆C 的参数方程；(2)在直角坐标系中，点P (x ，y )是圆C 上一动点，试求x ＋y 的最大值，并求出此时点P 的直角坐标．(1)因为ρ2＝4ρ(cos θ＋sin θ)－6， 所以x 2＋y 2＝4x ＋4y －6， 所以x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0，即(x －2)2＋(y －2)2＝2为圆C 的直角坐标方程．所以所求的圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)．(2)由(1)可得x ＋y ＝4＋2(sin θ＋cos θ)＝4＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4. 当θ＝π4，即点P 的直角坐标为(3，3)时，x ＋y 取得最大值，为6.3．(2015·高考陕西卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t (t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． (1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ， 从而有x 2＋y 2＝23y ， 所以x 2＋(y －3)2＝3.(2)设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t ，32t ，又C (0，3)，则|PC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t －32＝t 2＋12， 故当t ＝0时，|PC |取得最小值， 此时，点P 的直角坐标为(3，0)．4．(2017·合肥市第一次教学质量检测)已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t y ＝3＋32t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2－23ρsin θ＝a (a ＞－3)．(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)若曲线C 与直线l 有唯一公共点，求a 的值． (1)由ρ2－23ρsin θ＝a 知其直角坐标方程为x 2＋y 2－23y ＝a ，即x 2＋(y －3)2＝a ＋3(a ＞－3)．(2)将l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t y ＝3＋32t 代入曲线C 的直角坐标方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 2＝a ＋3，化简得t 2＋t －a －2＝0.因为曲线C 与直线l 仅有唯一公共点， 所以Δ＝1－4(－a －2)＝0， 解得a ＝－94.5．(2017·广西第一次质量检测)已知直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos αy ＝1＋t sin α(t 为参数)，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos αy ＝4＋2sin α(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)若直线l 的斜率为2，判断直线l 与曲线C 1的位置关系； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π)．(1)当斜率为2时，直线l 的普通方程为y －1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋3.①将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos αy ＝4＋2sin α消去参数α，化为普通方程得(x －2)2＋(y －4)2＝4，② 则曲线C 1是以C 1(2，4)为圆心，2为半径的圆，圆心C 1(2，4)到直线l 的距离d ＝|4－4＋3|5＝355＜2，故直线l 与曲线(圆)C 1相交．(2)C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －8y ＋16＝0x 2＋y 2－4x ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝2，所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，π4.6．(2017·河南省八市重点高中质量检测)已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6.cos θy ＝4sin θ(θ为参数)，在同一平面直角坐标系中，将曲线C 上的点按坐标变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13xy ′＝14y得到曲线C ′.(1)求曲线C ′的普通方程；(2)若点A 在曲线C ′上，点D (1，3)．当点A 在曲线C ′上运动时，求AD 中点P 的轨迹方程．(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6cos θy ＝4sin θ代入⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x y ′＝14y，得曲线C ′的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2cos θy ′＝sin θ，所以曲线C ′的普通方程为x 24＋y 2＝1.(2)设点P (x ，y )，A (x 0，y 0)，又D (1，3)，且AD 的中点为P ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －1y 0＝2y －3，又点A 在曲线C ′上，所以代入曲线C ′的普通方程x 24＋y 2＝1，得(2x －1)2＋4(2y －3)2＝4，所以动点P 的轨迹方程为(2x －1)2＋4(2y －3)2＝4.7．(2017·河南省六市第一次联考)在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t y ＝t －3(t 为参数)，在以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θsin 2θ. (1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求△AOB 的面积． (1)由曲线C 的极坐标方程ρ＝2cos θsin 2θ，得 ρ2sin 2θ＝2ρcos θ，所以曲线C 的直角坐标方程是y 2＝2x .由直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋ty ＝t －3(t 为参数)，得t ＝3＋y ，代入x ＝1＋t 中，消去t 得x－y －4＝0，所以直线l 的普通方程为x －y －4＝0.(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程y 2＝2x ，得t 2－8t ＋7＝0， 设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝8，t 1t 2＝7，所以|AB |＝2|t 1－t 2|＝2×（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝2×82－4×7＝62， 因为原点到直线x －y －4＝0的距离d ＝|－4|1＋1＝22，所以△AOB 的面积是12|AB |·d ＝12×62×22＝12.8．(2017·福建省毕业班质量检测)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos αy ＝sin α(α为参数)，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝ 2.(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的倾斜角；(2)设点P (0，2)，直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，求|PA |＋|PB |.(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos αy ＝sin α消去参数α，得x 29＋y 2＝1，即曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.由ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，得ρsin θ－ρcos θ＝2，(*) 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ代入(*)，化简得y ＝x ＋2， 所以直线l 的倾斜角为π4.(2)由(1)知，点P (0，2)在直线l 上，可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos π4y ＝2＋t sin π4(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t y ＝2＋22t (t 为参数)， 代入x 29＋y 2＝1并化简， 得5t 2＋182t ＋27＝0，Δ＝(182)2－4×5×27＝108＞0， 设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－1825＜0，t 1t 2＝275＞0， 所以t 1＜0，t 2＜0，所以|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝－(t 1＋t 2)＝1825.。

数学选修4-4 坐标系与参数方程[基础训练A 组]一、选择题1．若直线的参数方程为12()23x tt y t =+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（ ）A ．23 B ．23-C ．32 D ．32- 2．下列在曲线sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数上的点是（ ）A．1(,2B ．31(,)42-C． D． 3．将参数方程222sin ()sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤ 4．化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（ ）A ．201y y +==2x 或B ．1x =C ．201y +==2x 或xD ．1y = 5．点M的直角坐标是(1-，则点M 的极坐标为（ ）A ．(2,)3πB ．(2,)3π-C ．2(2,)3πD ．(2,2),()3k k Z ππ+∈6．极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ）A ．一条射线和一个圆B ．两条直线C ．一条直线和一个圆D ．一个圆二、填空题 1．直线34()45x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数的斜率为______________________。

2．参数方程()2()t tt tx e et y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数的普通方程为__________________。

3．已知直线113:()24x tl t y t=+⎧⎨=-⎩为参数与直线2:245l x y -=相交于点B ，又点(1,2)A ，则AB =_______________。

4．直线122()112x t t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数被圆224x y +=截得的弦长为______________。

5．直线cos sin 0x y αα+=的极坐标方程为____________________。

数学选修 4-4坐标系与参数方程[ 基础训练 A 组]一、选择题1．若直线的参数方程为x 1 2t (t 为参数 ) ，则直线的斜率为（ ）y 2 3t A ．2B ．2 3 D ．333C ．222．以下在曲线x sin 2( 为参数 ) 上的点是（）ycossinA ．(1,2)B ． (3,1)C ． (2, 3)D ． (1,3)24 23．将参数方程x 2 sin 2为参数 ) 化为一般方程为（y sin2( ）A ． y x2B ． y x 2C ． y x 2(2 x 3)D ． yx 2(0 y 1)4．化极坐标方程2cos0 为直角坐标方程为（）A ． x 2y 20或 y 1B ． x 1C ． x 2 y 20或 x 1D ． y 15．点 M 的直角坐标是 (1, 3) ，则点 M 的极坐标为（）A ． (2,) B ． (2,) C ． (2,2)D ． (2,2 k),( k Z )33336．极坐标方程cos 2sin 2 表示的曲线为（）A ．一条射线和一个圆B ．两条直线C ．一条直线和一个圆D ．一个圆二、填空题1．直线x 3 4t (t 为参数 ) 的斜率为 ______________________。

y 4 5t2．参数方程x e te t) (t 为参数) 的一般方程为 __________________。

y2(e te t3．已知直线 l 1 :x 1 3ty 2 (t 为参数 ) 与直线 l 2 : 2x 4 y 5 订交于点 B ，又点 A(1,2) ，4t则 AB_______________。

x 2 1 t4．直线2(t 为参数 ) 被圆 x 2 y 2 4 截得的弦长为 ______________。

y1 1t25．直线 x cos y sin 0 的极坐标方程为 ____________________ 。

三、解答题1．已知点 P(x, y) 是圆 x 2y 2 2y 上的动点，（ 1）求 2xy 的取值范围；（ 2）若 xy a 0恒建立，务实数 a 的取值范围。

第16单元 选修4-4 坐标系与参数方程（基础篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线11x ty =+=-+⎧⎪⎨⎪⎩的斜率为（ ）A ．1B ．1- CD．【答案】C【解析】由11x ty =+=-+⎧⎪⎨⎪⎩，可得1y =，斜率k C ．2．点A 的极坐标为，则A 的直角坐标为（ ）ABCD【答案】D【解析】 设点(),A x y ，根据直角坐标与极坐标之间的互化公式，52sin 16y π==，即点A的坐标为()，故选D ． 3．在极坐标系中，方程sin ρθ=表示的曲线是（ ） A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．双曲线【答案】B【解析】方程sin ρθ=，可化简为2sin ρρθ=，即22x y y +=． 整理得2211y 24x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，表示圆心为10,2⎛⎫⎪⎝⎭，半径为12的圆．故选B ．4．参数方程()sin cos22x y ααα⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数的普通方程为（ ） A ．221y x -=B ．221x y -=C ．(221y x x -=D ．(221x y x -=【答案】C【解析】由题意可知：21sin x α=+，2222sin 1y y x α=+⇒-=，且y ⎡⎣，据此可得普通方程为(221y x x -=≤．故选C ．5．点M 的直角坐标是(-，则点M 的极坐标为（ ）A ．2,3π⎛⎫⎪⎝⎭B ．2,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．22,3π⎛⎫⎪⎝⎭D ．()π2,2π3k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z【答案】C【解析】由于222x y ρ=+，得24ρ=，2ρ=，由cos x ρθ=，得1cos 2θ=-，结合点在第二象限，可得23θπ=，则点M 的坐标为22,3π⎛⎫⎪⎝⎭，故选C ． 6．与极坐标2,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭表示的不是同一点的极坐标是（ ）A ．72,6π⎛⎫⎪⎝⎭B ．72,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．112,6π⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．132,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】点2,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭在直角坐标系中表示点()1-，而点72,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭在直角坐标系中表示点()，所以点2,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭和点72,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭表示不同的点，故选B ．7．点P 的直线坐标为()，则它的极坐标可以是（ ）A ．26π⎛⎫⎪⎝⎭，B ．26π⎛⎫- ⎪⎝⎭， C ．526π⎛⎫⎪⎝⎭，D ．526π⎛⎫- ⎪⎝⎭， 【答案】C【解析】2ρ==，tan θ=，因为点在第二象限，故取526k θπ=π+，k ∈Z ，故选C ． 8．圆半径是1，圆心的极坐标是()1,π，则这个圆的极坐标方程是（ ） A ．cos ρα=- B ．sin ρα= C ．2cos ρα=- D ．2sin ρα=【答案】C【解析】极坐标方程化为直角坐标方程可得圆心坐标为()1,0-， 则圆的标准方程为：()2211x y ++=，即2220x y x ++=，化为极坐标方程即：22cos 0ρρθ+=，整理可得：2cos ρα=-．故选C ．9．若曲线21x ty t =-=-+⎧⎨⎩（t 为参数）与曲线ρ=B ，C 两点，则BC 的值为（ ）A B C D 【答案】C【解析】曲线21x ty t =-=-+⎧⎨⎩的普通方程为10x y +-=，曲线ρ=228x y +=，圆心O 到直线的距离为d ==又r =BC ==C ． 10．已知曲线C 的参数方程为4cos 2sin x y θθ==⎧⎨⎩（θ为参数），则该曲线离心率为（ ）A B ．34C D ．12【答案】A【解析】由题得曲线C 的普通方程为221164x y +=，所以曲线C 是椭圆，4a =，c =所以椭圆的离心率为e A ． 11．在极坐标系中，设圆:4cos C ρθ=与直线():4l θρπ=∈R 交于A ，B 两点，则以线段AB 为直径的圆的极坐标方程为（ ）A ．22sin 4ρθπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．22sin 4ρθπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．22cos 4ρθπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．22cos 4ρθπ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系，则由题意，得圆C 的直角坐标方程2240x y x +-=，直线的直角坐标方程y x =． 由2240x y x y x+-==⎧⎨⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或22x y =⎧⎨=⎩，所以()00A ，，()22B ，， 从而以AB 为直径的圆的直角坐标方程为()()22112x y -+-=， 即2222x y x y +=+．将其化为极坐标方程为()22cos sin 0ρρθθ-+=，即()2cos sin 22sin 4ρθθθπ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，故选A ．12．在平面直角坐标系中以原点为极点，以x 轴正方向为极轴建立的极坐标系中，直线:20l y kx ++=与曲线:2cos C ρθ=相交，则k 的取值范围是（ ）A ．k ∈RB ．34k ≥-C ．34k <-D ．k ∈R 但0k ≠【答案】C【解析】()2222:2cos 211C x y x x y ρθ=⇒+=⇒-+=，所以223141k k k +<⇒<-+，故选C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在直角坐标系中，点()21-，到直线2:x tl y t=-⎧⎨=⎩（t 为参数）的距离是__________．【答案】22【解析】直线一般方程为20x y +-=，利用点到直线距离公式122d -=2．14．极坐标方程()cos sin 10ρθθ+-=化为直角坐标方程是_______． 【答案】10x y +-=【解析】极坐标方程即()cos sin 10ρθθ+-=，则直角坐标方程是10x y +-=．15．在极坐标系中，直线()cos sin 0a a ρθρθ+=>与圆2cos ρθ=相切，则a =__________．【答案】1+【解析】圆2cos ρθ=，转化成22cos ρρθ=，用222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，转化成直角坐标方程为()2211x y -+=， 把直线()cos sin a ρθθ+=的方程转化成直角坐标方程为0x y a +-=， 由于直线和圆相切，∴利用圆心到直线的距离等于半径，1=，解得1a =±0a >，则负值舍去，故1a =1+16上，求点P 到直线3424x y -=的最大距离是________．【解析】设点P 的坐标为()4cos 3sin θθ，， 则点P 到直线3424x y -=的时，d 取得最大值为三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在极坐标系下，已知曲线1C ：cos sin ρθθ+＝和曲线2C ：(sin )4ρθπ-（1）求曲线1C 和曲线2C 的直角坐标方程；（2）当()0θ∈π，时，求曲线1C 和曲线2C 公共点的一个极坐标．【答案】（1）1C ：220x y x y +--＝，2C ：10x y -+＝；（2）1,2π⎛⎫⎪⎝⎭． 【解析】（1）圆O ：cos sin ρθθ+＝，即2cos sin ρρθρθ+＝， 曲线1C 的直角坐标方程为22x y x y ++＝，即220x y x y --＋＝， 曲线2C：sin 4ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin cos 1ρθρθ-＝，则曲线2C 的直角坐标方程为：1y x -＝，即10x y -+＝． （2）由22010x y x y x y ⎧-⎨-+⎩+-＝＝，得0x y ⎧⎨⎩＝＝1，则曲线1C 和曲线2C 公共点的一个极坐标为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭．18．（12分）已知曲线1C 的极坐标方程是1ρ=，在以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴的平面 直角坐标系中，将曲线1C 所有点的横坐标伸长为原来的3倍，得到曲线2C ． （1）求曲线2C 的参数方程； （2）直线l 过点()1,0M ，倾斜角为，与曲线2C 交于A 、B 两点，求 【答案】（1）3cos sin x y θθ==⎧⎨⎩，（θ为参数）；（2）85．【解析】（1）曲线1C 的直角坐标方程为221x y +=，曲线2C 的直角坐标方程为∴曲线2C 的参数方程为3cos sin x y θθ==⎧⎨⎩，（θ为参数）．（2）设l 的参数方程为代入曲线2C 的方程19．（12分）在平面直角坐标系中，曲线1C 的方程为2219x y +=．以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为28sin 150ρρθ-+=． （1）写出曲线1C 的参数方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）设点P 在曲线1C 上，点Q 在曲线2C 上，求PQ 的最大值．【答案】（1）1C ：3cos sin x y ϕϕ==⎧⎨⎩（ϕ为参数），2C ：()2241x y +-=；（2）1．【解析】（1）曲线1C 的参数方程为3cos sin x y ϕϕ==⎧⎨⎩，（ϕ为参数）， 2C 的直角坐标方程为228150x y y +-+=，即()2241x y +-=．（2）由（1）知，曲线2C 是以()20,4C 为圆心，1为半径的圆．设()3cos ,sin P ϕϕ，则2PC ==．当1sin 2ϕ=-时，2PC = 又因为21PQ PC ≤+，当且仅当P ，Q ，2C 三点共线，且2C 在线段PQ 上时，等号成立．所以max 1PQ =．20．（12分）在平面直角坐标系xoy 中，已知曲线1C 的参数方程为12cos 2sin x y θθ=+=⎧⎨⎩（θ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线1C 的普通方程；（2）极坐标方程为2sin 3ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭l 与1C 交P ，Q 两点，求线段PQ 的长．【答案】（1）()2214x y -+=；（2）2．【解析】（1）曲线1C 的参数方程为12cos 2sin x y θθ=+=⎧⎨⎩（θ为参数），可得1cos 2x θ-=，sin 2yθ=．因为22sin cos 1θθ+=，可得()2214x y -+=， 即曲线1C 的普通方程：()2214x y -+=．（2）将2sin 3ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭l 化为普通方程可得：2sin cos 2cos sin 33ρθρθππ+=y =，因为直线l 与1C 交P ，Q 两点，曲线1C 的圆心()10，，半径2r =， 圆心到直线l的距d =所以线段PQ的长2==．21．（12分）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为221x y =-=-+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2232cos 1ρθ=+．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，求MON △的面积．【答案】（1）2213y x +=；（2）34． 【解析】（1）因为()222232cos 132cos 1ρρθθ=⇒+=+， 所以曲线C 的直角坐标方程为2213y x +=．（2）将直线l的参数方程21x y ==-+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）代入曲线C 的直角坐标方程，得250t +=，设M ，N 两点对应的参数分别为1t ，2t，则12t t +=，125t t ⋅=， 于是MN =， 直线l 的普通方程为10x y +-=，则原点O 到直线l的距离d ==，所以1324MON S MN d =⋅=△． 22．（12分）在直角坐标系xOy 中．直线1C ：2x ＝-，圆2C ：()()22121x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求1C ，2C 的极坐标方程； （2）若直线3C 的极坐标方程为()4θρπ=∈R ，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求2C MN △的面积． 【答案】（1）1C ：cos 2ρθ=-，2C ：22cos 4sin 40ρρθρθ--+=；（2）12．【解析】（1）因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-， 2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=．（2）将4θπ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得1ρ=2ρ=故12ρρ-=，即MN =由于2C 的半径为1，所以2C MN △是直角三角形，其面积为12．第16单元 选修4-4 坐标系与参数方程（提高篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若直线314x t y t ==-⎧⎨⎩()t 为参数与圆3cos 3sin x y b θθ==+⎧⎨⎩()θ为参数相切，则b =（ ） A ．4-或6 B ．6-或4 C ．1-或9 D ．9-或1【答案】A【解析】把直线314x t y t ==-⎧⎨⎩()t 为参数与圆3cos 3sin x y b θθ==+⎧⎨⎩()θ为参数的参数方程分别化为普通方程得：直线4330x y +-=；圆()229x y b +-=．∵此直线与该圆相切，∴22033343b +-=+，解得4b =-或6．故选A ．2．椭圆的参数方程为5cos 3sin x y θθ=⎧⎨⎩=()θ为参数，则它的两个焦点坐标是（ ） A ．()4, 0± B ．()0,4± C ．()5, 0± D ．()0,3±【答案】A【解析】消去参数可得椭圆的标准方程221259x y +=，所以椭圆的半焦距4c =，两个焦点坐标为()4, 0±，故选A ．3．直线的参数方程为=31+3x ty t=⎧⎪⎨⎪⎩()t 为参数，则直线l 的倾斜角大小为（ ）A ．6πB ．3πC ．23π D ．56π 【答案】C310x y +-=， 所以直线的斜率3k =-，从而得到其倾斜角为23π，故选C ． 4．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos sin x y αα=+=⎧⎨⎩()α为参数．若以射线Ox 为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为（ ） A ．sin ρθ= B ．2sin ρθ= C ．cos ρθ= D ．2cos ρθ=【答案】D【解析】由1cos sin x y αα=+=⎧⎨⎩()α为参数得曲线C 普通方程为()2211x y -+=， 又由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨⎩=，可得曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，故选D ． 5．在极坐标系中，圆2cos ρθ=的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ） A ．()0θρ=∈R 和cos 2ρθ=B ．()2πθρ=∈R 和cos 2ρθ=C ．()0θρ=∈R 和cos 1ρθ=D ．()2πθρ=∈R 和cos 1ρθ=【答案】B【解析】如图所示，在极坐标系中，圆2cos ρθ=是以()10，为圆心，1为半径的圆 故圆的两条切线方程分别为()2πθρ=∈R ，cos 2ρθ=，故选B ．6．已知M 点的极坐标为2,6π⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则M 点关于直线2θπ=的对称点坐标为（ ）A ．2,6π⎛⎫⎪⎝⎭B ．2,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．2,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．112,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】M 点的极坐标为2,6π⎛⎫-- ⎪⎝⎭，即为52,6π⎛⎫⎪⎝⎭，∴M 点关于直线2θπ=的对称点坐标为2,6π⎛⎫⎪⎝⎭，故选A ． 7．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x y αα==+⎧⎨⎩()α为参数，在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线2C 的方程为()cos sin 10ρθθ-+=，则1C 与2C 的交点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】()221:11C x y +-=，2:10C x y -+=，圆心()10,1C 到直线2C 的距离22011011d -+==+，∴两曲线相交，有2个交点．故选C ．8．若曲线C 的参数方程为2cos 12sin x y θθ==+⎧⎨⎩,22θ⎛⎫ππ⎡⎤∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭参数，则曲线C （ ）A ．表示直线B ．表示线段C ．表示圆D ．表示半个圆【答案】D【解析】将参数方程2cos 12sin x y θθ==+⎧⎨⎩,22θ⎛⎫ππ⎡⎤∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭参数消去参数θ可得()2214x y +-=．又,22θππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴02cos 2x θ≤=≤．∴曲线C 表示圆()2214x y +-=的右半部分．故选D ．9．已知M 为曲线3sin :cos x C y θθ=+⎧⎨=⎩()θ为参数上的动点，设O 为原点，则OM 的最大值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D【解析】从曲线C 的参数方程中消去θ，则有()2231x y -+=，故曲线C 为圆，而3OC =， 故OM 的最大值为3314r +=+=，故选D ．10．已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为4cos sin x y αα==⎧⎨⎩()α为参数，M 是曲线C 上的动点．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，若曲线的极坐标方程为2sin cos 20ρθρθ+=，则点M 到T 的距离的最大值为（ ）A ．1345+B ．245+C ．445+D ．65【答案】B【解析】由曲线的极坐标方程为2sin cos 20ρθρθ+=， 可得曲线T 的直角坐标方程为2200y x +-=，由曲线C 的参数方程4cos sin x y αα==⎧⎨⎩，设曲线上点M 的坐标为()4cos sin αα，，由点到直线的距离公式可得()20sin 204cos 2sin 2055d αθαα+-+-当()sin 1αθ+=-时，d 20202455+=+B ．11．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是2cos 2sin x y θθ==⎧⎨⎩()θ为参数，以射线Ox 为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是cos sin 30ρθρθ--=，则直线l 与曲线C 相交所得的弦AB 的长为（ ） A ．810B ．10 C ．10 D ．85【答案】C【解析】曲线C 的参数方程是2cos 2sin x y θθ==⎧⎨⎩()θ为参数，化为普通方程为：22x 4y +=，表示圆心为(0)0，，半径为2的圆．直线l 的极坐标方程是cos sin 30ρθρθ--=，化为直角坐标方程即为30x y --=．圆心到直线的距离为362d ==． 直线与曲线相交所得的弦的长为264102⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．12．已知点(),P x y 在曲线2cos sin x y θθ=-+=⎧⎨⎩[)(),2θθ∈ππ为参数，且上，则点P 到直线21x ty t =+=--⎧⎨⎩()t 为参数的距离的取值范围是（ ） A ．3232,22⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ．32321,122⎡⎤--+⎢⎥⎢⎥⎣⎦ C ．(2,22⎤⎦D ．322,12⎛⎤+ ⎥ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】直线21x ty t =+=--⎧⎨⎩()t 为参数的普通方程为10x y +-=，点P 到直线距离为2sin 332sin 2cos sin 144222θθθθπ⎛⎫π⎛⎫+--+ ⎪ ⎪-++-⎝⎭⎝⎭==， 因为[),2θππ∈，所以2sin 1,42θ⎡⎫π⎛⎫+∈-⎪⎢ ⎪⎪⎝⎭⎢⎣⎭，因此取值范围是322,12⎛⎤+ ⎥ ⎥⎝⎦，故选D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在极坐标系中，点23π⎛⎫⎪⎝⎭，与圆4cos ρθ=的圆心的距离为_________．【答案】2【解析】由题得点P 的坐标为()1,3，∵4cos ρθ=，∴24cos ρρθ=，∴224x y x +=，∴()2224x y -+=． ∴圆心的坐标为20（，），∴点P 到圆心的距离为()()2221032-+-=，故答案为2．14．若点()3,P m 在以F 为焦点的抛物线244x t y t ==⎧⎨⎩()t 为参数上，则PF 等于_________．【答案】4【解析】抛物线244x t y t==⎧⎨⎩()t 为参数可化为24y x =，∵点()3,P m 在以F 为焦点的抛物线244x t y t==⎧⎨⎩，()t 为参数上，∴24312m =⨯=，∴()323P ，， ∵()10F ，，∴()222234PF =+=，故答案为．15．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位． 已知直线极坐标方程为()4θρπ=∈R ，它与曲线23cos 23sin x y αα=+=-+⎧⎨⎩()α为参数相交于两点A 、B ， 则AB =__________． 【答案】2 【解析】∵4ρ=π，利用cos x ρθ==，sin y ρθ==进行化简， ∴0x y -=，23cos 23sin x y αα=+=-+⎧⎨⎩()α为参数，相消去α可得圆的方程为()()22229x y -++=得到圆心()22-，，半径为3，圆心()22-，到直线0x y -=的距离222d ==，∴2222982AB r d =-=-=，∴线段AB 的长为2，故答案为2．16．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线24 4x ty t⎧=⎪⎨⎪⎩=()t 为参数的焦点为F ，动点P 在抛物线上． 以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，动点Q 在圆()8cos 150ρρθ-+=上， 则PF PQ +的最小值为__________． 【答案】4【解析】∵抛物线的参数方程为24 4x ty t ⎧=⎪⎨⎪⎩=()t 为参数， ∴抛物线的普通方程为24y x =，则()1,0F ，∵动点Q 在圆()8cos 150ρρθ-+=上，∴圆的标准方程为()2241x y -+= 过点P 作PA 垂直于抛物线的准线，垂足为A ，如图所示：∴PF PQ PA PQ +=+，分析可得：当P 为抛物线的顶点时，PA PQ +取得最小值， 其最小值为4．故答案为4．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． 已知曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l 的参数方程为1cos 63sin6x t y t π⎧=+⎪⎪⎨π⎪=-⎪⎩()t 为参数．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若点P 在曲线C 上，且P 到直线l 的距离为1，求满足这样条件的点P 的个数．【答案】（1）()2224x y -+=；（2）3个． 【解析】（1）由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，故曲线C 的直角坐标方程为：224x y x +=，即()2224x y -+=． （2）由直线l 的参数方程消去参数t 得()331y x +=-，即340x y --=． 因为圆心()20C ，到直线的距离为2304113d -⋅-==+，d 恰为圆C 半径的12，所以满足这样条件的点P 的个数为3个．18．（12分）在平面直角坐标系xoy 中，倾斜角为2ααπ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭的直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+=⎧⎨⎩()t 为参数．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为:l 2cos 4sin 0ρθθ-=． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点()10P ，，若点M 的极坐标为12π⎛⎫⎪⎝⎭，，直线l 经过点M 且与曲线C 相交于A ，B 两点， 设线段AB 的中点为Q ，求PQ 的值．【答案】（1）():tan 1l y x α=-，2:4C x y =；（2）32 【解析】（1）消去直线l 的参数方程1cos sin x t y t αα=+=⎧⎨⎩中的参数t ，得到直线l 的普通方程为()tan 1y x α=-，把曲线C 的极坐标方程:l 2cos 4sin 0ρθθ-=左右两边同时乘以ρ， 得到22cos 4sin 0ρθρθ-=，利用公式cos sin x y ρθρθ==⎧⎨⎩代入，化简出曲线C 的直角坐标方程24x y =．（2）点M 的直角坐标为()01，，将点M 的直角坐标为()01，代入直线():tan 1l y x α=-中， 得tan 1α=-，即:10l x y +-=，联立方程组2104x y x y +-=⎧⎨=⎩，得AB 中点坐标为()23Q -，，从而PQ =．19．（12分）已知曲线C 的参数方程为3cos 2sin x y θθ==⎧⎨⎩()θ为参数，在同一平面直角坐标系中，将曲线C 上的点按坐标变换1'31'2x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得到曲线'C ．（1）求'C 的普通方程；（2）若点A 在曲线'C 上，点()30B ，，当点A 在曲线'C 上运动时，求AB 中点P 的轨迹方程． 【答案】（1）221x y +=；（2）223124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭．【解析】（1）将3cos 2sin x y θθ==⎧⎨⎩代入1'31'2x x y y⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得'C 的参数方程为cos sin x y θθ==⎧⎨⎩，∴曲线'C 的普通方程为221x y +=． （2）设()P x y ，，()00A x y ，，又()30B ，，且AB 中点为P ，∴00232x x y y =-=⎧⎨⎩，又点A 在曲线'C 上，∴代入'C 的普通方程2201x y +=得()()222321x y -+=， ∴动点P 的轨迹方程为223124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭．20．（12分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2sin x y αα==⎧⎪⎨⎪⎩()α为参数．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线22:4cos 2sin 40C ρρθρθ+-+=． （1）写出曲线1C ，2C 的普通方程；（2）过曲线1C 的左焦点且倾斜角为4π的直线l 交曲线2C 于A ，B 两点，求AB ．【答案】（1）2211204:x y C +=，()()222:211C x y ++-=；（2．【解析】（1）222225cos cos sin 122sin 25y x y αααα=⎛⎫⇒+=+= ⎪ ⎧⎪⎨⎪⎩⎪=⎝⎭⎝⎭，即曲线1C 的普通方程为221204x y +=，∵222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，曲线2C 的方程可化为224240x y x y ++-+=， 即()()222:211C x y ++-=．（2）曲线1C 左焦点为()40-，直线的倾斜角为4απ=，2sin cos αα==，∴直线l 的参数方程为2422x y ⎧⎪⎪⎨=-+=⎪⎪⎩()t 为参数将其代入曲线2C 整理可得23240t t -+=，∴()2324420∆=--⨯=>．设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，则∴1232t t +=124t t =． ∴()()22121212432442AB t t t t t t =-=+-=-⨯21．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点()1P a ，，其参数方程为221x a y =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩()t a ∈R 为参数,，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 3cos 0ρθθρ+-=． （1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）求已知曲线1C 和曲线2C 交于A ，B 两点，且3PA PB =，求实数a 的值． 【答案】（1）1:10C x y a --+=，22:3C y x =；（2）1348a =或712． 【解析】（1）1C 的参数方程221x a y =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，消参得普通方程为10x y a --+=， 2C 的极坐标方程化为222cos 3cos 0ρθρθρ+-=即23y x =．（2）将曲线的参数方程标准化为221x a t y t =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩()t a ∈R 为参数,代入曲线22:3C y x = 得22260t t a -+-=，由()()2241260a ∆=--⨯->，得14a >， 设A ，B 对应的参数为1t ，2t ，由题意得123t t =即123t t =或123t t =-，当123t t =时，1212123226t t t t t t a ⎧=+==-⎪⎨⎪⎩，解得131448a =>，当123t t =-时，1212123226t t t t t t a=⎧-+==-⎪⎨⎪⎩解得712a =，综上：1348a =或712． 22．（12分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y αα==⎧⎪⎨⎪⎩[]()0αα∈π为参数,，，以原点为极点，以x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系． （1）写出曲线C 的极坐标方程；（2）设直线10:l θθ=（0θ为任意锐角）、20:2l θθπ=+分别与曲线C 交于A ，B 两点，试求AOB △面积的最小值．【答案】（1）[]()2221203cos 4sin ρθθθ=∈π+，；（2）127． 【解析】（1）由22cos sin 1αα+=，将曲线C 的参数方程2cos 3sin x y αα==⎧⎪⎨⎪⎩，消参得()221043x y y +=≥，又cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以2222cos sin 143ρθρθ+=，化简整理得曲线的极坐标方程为[]()2221203cos 4sin ρθθθ=∈π+，．① （2）将0θθ=代入①式得，22220123cos 4sin A OA ρθθ==+，同理222222000012123sin 4cos 3cos 4sin 22B OB ρθθθθ===ππ+⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，于是22220000223cos 4sin 3sin 4cos 117121212A B θθθθρρ+++=+=，由于2271111212A B A B ρρρρ⎛⎫=+≥⋅ ⎪⎝⎭（当且仅当A B ρρ=时取“=”）， 故247A B ρρ⋅≥，11227AOB A B S ρρ=⋅≥△．。

第1讲 坐标系1．坐标系 (1)伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x （λ>0），y ′＝μ·y （μ>0）的作用下，点P (x ，y )对应到点(λx ，μy )，称φ为平面直角坐标系中的伸缩变换． (2)极坐标系在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ，有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M (ρ，θ)．2．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x （x ≠0）. 3．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0；(2)直线过点M (a ，0)且垂直于极轴：ρcos_θ＝a ；(3)直线过M ⎝⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin_θ＝b ．4．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r ，则该圆的方程为： ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程：(1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (a ，0)，半径为a ：ρ＝2a cos_θ；(3)当圆心位于M ⎝⎛⎭⎪⎫a ，π2，半径为a ：ρ＝2a sin_θ．极坐标与直角坐标的互化(1)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝⎛⎭⎪⎫22，7π4，求点A 到直线l 的距离． (2)化圆的直角坐标方程x 2＋y 2＝r 2(r >0)为极坐标方程．【解】 (1)由2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，得2ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ＝2，所以y －x ＝1.由点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4得点A 的直角坐标为(2，－2)，所以d ＝|2＋2＋1|2＝522.即点A 到直线l 的距离为522.(2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2＝r 2中，得ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ＝r 2，即ρ2(cos 2θ＋sin 2θ)＝r 2，ρ＝r .所以，以极点为圆心、半径为r 的圆的极坐标方程为ρ＝r (0≤θ<2π)．极坐标与直角坐标互化的注意点(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性．(2016·高考北京卷改编)在极坐标系中，直线ρcos θ－3ρsin θ－1＝0与圆ρ＝2cos θ交于A ，B 两点，求|AB |.将ρcos θ－3ρsin θ－1＝0化为直角坐标方程为x －3y －1＝0，将ρ＝2cos θ化为直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，圆心坐标为(1，0)，半径r ＝1，又(1，0)在直线x －3y －1＝0上，所以|AB |＝2r ＝2.求曲线的极坐标方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1(0≤θ＜2π)，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点． (1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 【解】 (1)由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1得 ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝1.从而曲线C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y －2＝0.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2，0)． 当θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝⎛⎭⎪⎫233，π2. (2)M 点的直角坐标为(2，0)，N 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，233.所以P 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33， 则P 点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫233，π6. 所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．在ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32中， 令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1，0)． 如图所示，因为圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，所以圆C 的半径 |PC |＝（2）2＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.曲线极坐标方程的应用(2016·高考全国卷甲)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．【解】 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB |＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2 ＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153.在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长、面积等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程利用直角坐标方程的有关公式求解．(2015·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2. 故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y后，曲线C ：x 2＋y 2＝36变为何种曲线，并求曲线的焦点坐标．设圆x 2＋y 2＝36上任一点为P (x ，y )，伸缩变换后对应的点的坐标为P ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝3y ′，所以4x ′2＋9y ′2＝36，即x ′29＋y ′24＝1.所以曲线C 在伸缩变换后得椭圆x 29＋y 24＝1，其焦点坐标为(±5，0)．2．在极坐标系中，求直线ρ(3cos θ－sin θ)＝2与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标．ρ(3cos θ－sin θ)＝2化为直角坐标方程为3x －y ＝2，即y ＝3x －2. ρ＝4sin θ可化为x 2＋y 2＝4y ， 把y ＝3x －2代入x 2＋y 2＝4y ，得4x 2－83x ＋12＝0，即x 2－23x ＋3＝0， 解得x ＝3，y ＝1.所以直线与圆的交点坐标为(3，1)，化为极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π6.3．(2017·山西省第二次四校联考)已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋10cos αy ＝1＋10sin α(α为参数)，以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹；(2)若直线的极坐标方程为sin θ－cos θ＝1ρ，求直线被曲线C 截得的弦长．(1)因为曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋10cos αy ＝1＋10sin α(α为参数)，所以曲线C 的普通方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10，① 曲线C 表示以(3，1)为圆心，10为半径的圆． 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入①并化简，得ρ＝6cos θ＋2sin θ，即曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋2sin θ. (2)因为直线的直角坐标方程为y －x ＝1， 所以圆心C 到直线的距离为d ＝322，所以弦长为210－92＝22.4．(2016·高考全国卷乙)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t ，(t 为参数，a ＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .(1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2.C 1是以(0，1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ. 若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上．所以a ＝1.5．(2017·山西省高三考前质量检测)已知曲线C 1：x ＋3y ＝3和C 2：⎩⎨⎧x ＝6cos φy ＝2sin φ(φ为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．(1)把曲线C 1和C 2的方程化为极坐标方程；(2)设C 1与x ，y 轴交于M ，N 两点，且线段MN 的中点为P .若射线OP 与C 1，C 2交于P ，Q 两点，求P ，Q 两点间的距离．(1)C 1：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝32，C 2：ρ2＝61＋2sin 2θ. (2)因为M (3，0)，N (0，1)，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12， 所以OP 的极坐标方程为θ＝π6，把θ＝π6代入ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝32得ρ1＝1，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π6. 把θ＝π6代入ρ2＝61＋2sin 2θ得ρ2＝2，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6. 所以|PQ |＝|ρ2－ρ1|＝1，即P ，Q 两间点的距离为1.6．在极坐标系中，曲线C 1，C 2的极坐标方程分别为ρ＝－2cos θ，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1.(1)求曲线C 1和C 2的公共点的个数；(2)过极点作动直线与曲线C 2相交于点Q ，在OQ 上取一点P ，使|OP |·|OQ |＝2，求点P 的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形．(1)C 1的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝1，它表示圆心为(－1，0)，半径为1的圆，C 2的直角坐标方程为x －3y －2＝0，所以曲线C 2为直线，由于圆心到直线的距离d ＝|－1－2|2＝32＞1， 所以直线与圆相离，即曲线C 1和C 2没有公共点，亦即曲线C 1和C 2的公共点的个数为0.(2)设Q (ρ0，θ0)，P (ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧ρρ0＝2，θ＝θ0，即⎩⎪⎨⎪⎧ρ0＝2ρ，θ0＝θ.① 因为点Q (ρ0，θ0)在曲线C 2上， 所以ρ0cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0＋π3＝1，②将①代入②，得2ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1，即ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3为点P 的轨迹方程，化为直角坐标方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝1，因此点P 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32为圆心，1为半径的圆．7．(2017·河南天一大联考)在极坐标系中，曲线C ：ρ＝4a cos θ(a ＞0)，l ：ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝4，C 与l 有且只有一个公共点．(1)求a ；(2)O 为极点，A ，B 为曲线C 上的两点，且∠AOB ＝π3，求|OA |＋|OB |的最大值．(1)由题意，得曲线C 是以(2a ，0)为圆心，以2a 为半径的圆．l 的直角坐标方程为x ＋3y －8＝0，由直线l 与圆C 相切可得|2a －8|2＝2a ，解得a ＝43(舍负)．(2)不妨设A 的极角为θ，B 的极角为θ＋π3，则|OA |＋|OB |＝163cos θ＋163cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝8cos θ－833sin θ＝1633cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6，所以当θ＝－π6时，|OA |＋|OB |取得最大值1633.8．在平面直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ2(1＋3sin 2θ)＝4.曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝π3与曲线C 2交于点D ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3.(1)求曲线C 1、C 2的直角坐标方程；(2)已知极坐标系中两点A (ρ1，θ0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ0＋π2，若A 、B 都在曲线C 1上，求1ρ21＋1ρ22的值． (1)因为C 1的极坐标方程为ρ2(1＋3sin 2θ)＝4，所以ρ2(cos 2θ＋4sin 2θ)＝4，即(ρcos θ)2＋4(ρsin θ)2＝4，即x 2＋4y 2＝4，所以该曲线C 1的直角坐标方程为x 24＋y 2＝1.由题意知曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2a ·cos θ(a 为半径)，将D ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3代入，得2＝2a ×12，所以a ＝2，所以圆C 2的圆心的直角坐标为(2，0)，半径为2， 所以C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4.(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ4＋ρ2sin 2θ＝1，即ρ2＝44sin 2θ＋cos 2θ.所以ρ21＝44sin 2θ0＋cos 2θ0， ρ22＝44sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0＋π2＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0＋π2＝4sin 2θ0＋4cos 2θ0. 所以1ρ21＋1ρ22＝4sin 2θ0＋cos 2θ04＋4cos 2θ0＋sin 2θ04＝54.。