2016年广东省适应性测试数学文科 打印版

2016年适应性考试理科数学一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{430}A x x x =++≥，{21}xB x =<，则A B =（ ）A ．[3,1]--B ．(,3)[1,0)-∞-- C ．(,3)(1,0]-∞-- D ．(,0)-∞2．若(z a ai =+为纯虚数，其中∈a R ，则=++aii a 17（ ） A ．i B ．1 C ．i - D ．1-3．设n S 为数列{}n a 的前n 项的和，且*3(1)()2n n S a n =-∈N ，则n a =（ ）A ．3(32)n n -B ．32nn+ C ．3n D ．132n -⋅4． 执行如图的程序框图，如果输入的100N =，则输出的x =（ ） A ．0.95 B ．0.98 C ．0.99 D ．1.00 5．三角函数()sin(2)cos 26f x x x π=-+的振幅和最小正周期分别是（ ）A2πBπC2πDπ6．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．12 B ．6 C ．4 D ．27．设p 、q 是两个命题，若()p q ⌝∨是真命题，那么（ ） A ．p 是真命题且q 是假命题 B ．p 是真命题且q 是真命题 C ．p 是假命题且q 是真命题 D ．p 是假命题且q 是假命题8．从一个边长为2的等边三角形的中心、各边中点及三个顶点这7个点中任取两个点，则这两点间的距离小于1的概率是（ ） A ．71 B ．73 C ．74 D ．769．已知平面向量a 、b 满足||||1==a b ，(2)⊥-a a b ，则||+=a b （ ）A ．0B ．2C ．2D ．310．62)21(x x -的展开式中，常数项等于（ ） A ．45- B ．45 C ．1615- D ．161511．已知双曲线的顶点为椭圆1222=+y x 长轴的端点，且双曲线的离心率与椭圆的离心率的乘积等于1，则双曲线的方程是（ ）A ．122=-y xB ．122=-x yC ．222=-y xD ．222=-x y 12．如果定义在R 上的函数)(x f 满足：对于任意21x x ≠，都有)()(2211x f x x f x +)()(1221x f x x f x +>，则称)(x f 为“H 函数”．给出下列函数：①13++-=x x y ；②)c o s s i n (23x x x y --=；③1+=x e y ；④()l n||00x x f x x ≠⎧=⎨=⎩，其中“H 函数”的个数是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．已知实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，若目标函数ay x z +=2仅在点)4,3(取得最小值，则a 的取值范围是 ．14．已知双曲线1163222=-py x 的左焦点在抛物线px y 22=的准线上，则=p ．15．已知数列}{n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，且对任意的∈n N *，均有n a ，n S ，2n a 成等差数列，则=n a ．16．已知函数)(x f 的定义域为R ，直线1=x 和2=x 是曲线)(x f y =的对称轴，且1)0(=f ，则=+)10()4(f f ．三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知顶点在单位圆上的ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且C b B c A a cos cos cos 2+=．（1）A cos 的值；（2）若422=+c b ，求ABC ∆的面积． 18．（本小题满分12分）某单位共有10名员工，他们某年的收入如下表：（1）求该单位员工当年年薪的平均值和中位数；（2）从该单位中任取2人，此2人中年薪收入高于5万的人数记为ξ，求ξ的分布列和期望； （3）已知员工年薪收入与工作年限成正线性相关关系，若某员工工作第一年至第四年的年薪分别为3万元、4.2万元、6.5万元、2.7万元，预测该员工第五年的年薪为多少？附：线性回归方程a x b yˆˆˆ+=中系数计算公式：21)())((ˆx x y y x xb i ni i i---=∑=，x b y aˆˆ-=， 其中x 、y 表示样本均值． 19．（本小题满分12分）如图，在直二面角C AB E --中，四边形ABEF 是矩形，2=AB ，32=AF ，ABC ∆是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，点P 是线段BF 上的一点，3=PF ．EF（1）证明：⊥FB 面PAC ；（2）求异面直线PC 与AB 所成的角的余弦值．20．（本小题满分12分）已知抛物线C ：x y 42=，过其焦点F 作两条相互垂直且不平行于x 轴的直线，分别交抛物线C 于点1P ，2P 和点3P ，4P ，线段21P P ，43P P 的中点分别记为1M ，2M ．（1）求21M FM ∆面积的最小值； （2）求线段21M M 的中点P 满足的方程．21．（本小题满分12分）设函数mx x x x f -+=ln 21)(2（0>m ）． （1）求)(x f 的单调区间；（2）求)(x f 的零点个数；（3）证明：曲线)(x f y =上没有经过原点的切线．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号．22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，BC 是半圆O 的直径，AD BC ⊥，垂足为D ，AB AF =，BF 与AD 、AO 分别交于点E 、G ．（1）证明：DAO FBC ∠=∠； （2）证明：AE BE =．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，过点(1,2)P -的直线l 的倾斜角为45．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin2cos ρθθ=,直线l 和曲线C 的交点为点,A B ．EFG COAB（1）求直线l 的参数方程；（224．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()5f x x a x =-+．（1）当1a =-时，求不等式()53f x x ≤+的解集； （2）若1x ≥-时有()0f x ≥，求a 的取值范围．2016年适应性测试理科数学答案一．选择题（1）B （2）C （3）C （4）C （5）B （6）D （7）D （8）A （9）D （10）D （11）D （12）C二．填空题（13）2∞（-，-） （14）4（15）n（16）2三．解答题 （17）解：（Ⅰ）2cos cos cos a A c B b C =+，由正弦定理得：2sin cos sin cos sin cos A A C B B C ⋅=+2sin cos sin()sin A A B C A ⇒⋅=+=，又0A π<<sin 0A ⇒≠，12cos 1cos 2A A ∴=⇒=.（Ⅱ）由1cos sin 2A A =⇒=22sin sin a a A A =⇒==由余弦定理 2222cos a b c bc A =+-222431bc b c a ⇒=+-=-=.∴11sin 2224==⋅=ABC S bc A △. （18）解：（Ⅰ）平均值为10万元，中位数为6万元.（Ⅱ）年薪高于5万的有6人，低于或等于5万的有4人；ξ取值为0，1，2152)0(21024===C C P ξ，158)1(2101614===C C C P ξ，31)2(21026===C C P ξ， 所以ξ的分布列为数学期望为532151150=⨯+⨯+⨯=ξE . （Ⅲ）设)4,3,2,1(,=i y x i i 分别表示工作年限及相应年薪，则5,5.2==y x ，5=2.25+0.25+0.25+2.25x 412=-∑）（x i41()() 1.520.50.80.50.6 1.5 2.27=--=-⨯+⨯+⨯+⨯=∑iii x x y y （-）（-）（-）()()()414217 1.45iii i i x x y y b x x∧==--===-∑∑ˆˆ5 1.42.5 1.5a y bx =-=-⨯=由线性回归方程： 1.4 1.5y x =+. 可预测该员工年后的年薪收入为8.5万元.（19）解：（Ⅰ）4FB =,cos cos PFA BFA ∠=∠=，PA ==2223912PA PF AF +=+==Q ，PA BF ∴⊥；又因为ABEF ABC ⊥平面平面，AB AC ⊥， AC ABEF ∴⊥平面，而BF ABEF ⊂平面..AC BF ∴⊥PA AC A =又I .BF PAC ∴⊥平面.（Ⅱ）过P 作//,//PM AB PN AF ，分别交,BE BA 于,M N 点，MPC ∠的补角为PC 与AB 所成的角.连接MC ，NC.2,3/2,5/2, 2.PN MB AN NC BC PC MC =========135744cos 122MPC +-∠===⋅ 所以异面直线PC 与AB向量法：（Ⅰ）以A 为原点，向量AB ，AC ，AF 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,2,0)C，F.4BF ==，3PF =，3(2P ∴，(2,0,FB =-，(0,2,0)AC =，3(2AP =.0FB AC ⋅=，FB AC ∴⊥.0FB AP ⋅=，FB AP ∴⊥.FB AC ⊥，FB AP ⊥，ACAP A =，FB APC ∴⊥平面.（Ⅱ）(2,0,0)AB =，3(,2,)22PC =--，记AB 与PC 夹角为θ，则3cos =2AB PC AB PCθ⋅-==（20）解：（Ⅰ）由题设条件得焦点坐标为(1,0)F ，设直线12PP 的方程为(1)y k x =-，0k ≠.联立2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，消去y 并整理得22222(2)0k x k x k -++=. (*)(*)关于x 的一元二次方程的判别式22222[2(2)]416(1)0k k k k ∆=-+-=+>. 设111(,)P x y ，222(,)P x y ，则12,x x 是方程(*)的两个不等实根，经计算得21222(2)k x x k++=． 设111(,)M M M x y ，则1112122222(1)M M M x x k x k y k x k ⎧++==⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩． 类似地，设222(,)M M M x y ，则2222212211221M M k x k k y k k ⎧+⎪==+⎪⎪⎨⎪==-⎪⎪-⎩．所以1||FM ==2||2||FM k ==，因此121211||||2(||)2||FM M S FM FM k k ∆=⋅=+． 因为1||2||k k +≥，所以124FM M S ∆≥， 当且仅当1||||k k =，即1k =±时，12FM M S ∆取到最小值4． （Ⅱ）设线段12M M 的中点(,)P x y ，由（1）得121222221121()(22)1221121()(2)22M M M M x x x k k k k y y y k k k k ⎧=+=++=++⎪⎪⎨⎪=+=-=-+⎪⎩，消去k 后得23y x =-．∴线段12M M 的中点P 满足的方程为23y x =-． （21）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞，211()x mx f x x m x x-+'=+-=.令()0f x '=，得210x mx -+=.（1）当240m ∆=-≤，即02m <≤时，()0f x '≥，所以()f x 在(0,)+∞内单调递增.（2）当240m ∆=->，即2m >时，由210x mx -+=解得1x =，2x =120x x <<， 在区间1(0,)x 及2(,)x +∞内,()0f x '>，在12(,)x x 内，()0f x '<， 所以，()f x 在区间1(0,)x 及2(,)x +∞内单调递增，在12(,)x x 内单调递减.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当02m <≤时，()f x 在(0,)+∞内单调递增，所以()f x 最多只………8分………12分有一个零点. 又因为1()(2)ln 2f x x x m x =-+，所以，当02x m <<且1x <时，()0f x <；当2x m >且1x >时，()0f x >，故()f x 有且仅有一个零点.当2m >时，因为()f x 在1(0,)x 及2(,)x +∞内单调递增，在12(,)x x 内单调递减，且211()2f x =+=+而22222044m m m -+-+-<<，40124m <=<=（2m >）， 1()0f x ∴<，由此知21()()0f x f x <<，又因为当2x m >且1x >时，()0f x >，故()f x 在(0,)+∞内有且仅有一个零点.综上所述，当0m >时，()f x 有且仅有一个零点.（Ⅲ）假设曲线()y f x =在点(,())x f x （0x >）处的切线经过原点， 则有()()f x f x x '=，即21ln 2x x mx x+-1x m x =+-， 化简得：21ln 102x x -+=（0x >）.（*） 记21()ln 12g x x x =-+（0x >），则211()x g x x x x-'=-=， 令()0g x '=，解得1x =.当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，所以3(1)2g =是()g x 的最小值，即当0x >时，213ln 122x x -+≥. 由此说明方程（*）无解，所以曲线()y f x =没有经过原点的切线.（22）解：（Ⅰ）连接FC ，OF ，,AB AF = OB OF =，∴点G 是BF 的中点，OG BF ⊥.因为BC 是O 的直径，所以CF BF ⊥.//OG CF ∴.AOB FCB ∴∠=∠，90,90DAO AOB FBC FCB ∴∠=︒-∠∠=︒-∠，.DAO FBC ∴∠=∠（Ⅱ）在Rt OAD △与Rt OBG △中，由（Ⅰ）知DAO GBO ∠=∠， 又OA OB =，所以，OAD ≅△OBG △，于是OD OG =. AG OA OG OB OD BD ∴=-=-=.在Rt AGE △与Rt BDE △中，由于DAO FBC ∠=∠，AG BD =， 所以，AGE △≅BDE △，因此，AE BE =.（23）解：（Ⅰ）由条件知，直线l 的倾斜角45α=︒，cos sin αα==设点(,)M x y 是直线l 上的任意一点，点P 到点M 的有向距离为t ，则12.2x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ （Ⅱ）曲线C 的直角坐标方程为22y x =,由此得2(2)2(1)-=, 即240t -+=.设12,t t 为此方程的两个根，因为l 和C 的交点为,A B ，所以12,t t 分别是点,A B 所对应的参数，由韦达定理得 P A P B ⋅=124t t =.（24）解：（Ⅰ）()|1|553f x x x x =+++≤可得|1|3x +≤，解得42x -≤≤.（Ⅱ）6,()4,x a x a f x x a x a -⎧=⎨+<⎩≥在R 上是单调递增的. 若()f x 适合题设条件，则()f x 的零点x 必须满足1x -≤.于是（1）由160a x x a -⎧⎨-=⎩≤≤，得6a -≤；（2）由140x a x x a <⎧⎪-⎨⎪+=⎩≤，得4a ≥.从而(][),64,∈-∞-+∞a .反之，(][),64,∀∈-∞-+∞a ，易计算此时()5f x x a x =-+满足题设条件.故满足题设条件的a 的取值范围是(][),64,-∞-+∞。

高中数学学习材料唐玲出品广东省2016年适应性考试高三 理科数学 2016.3一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{430}A x x x =++≥，{21}xB x =<，则A B =（ ）A ．[3,1]--B ．(,3)[1,0)-∞-- C ．(,3)(1,0]-∞-- D ．(,0)-∞2．若(2)z a ai =-+为纯虚数，其中∈a R ，则=++aii a 17（ ） A ．i B ．1 C ．i - D ．1-3．设n S 为数列{}n a 的前n 项的和，且*3(1)()2n n S a n =-∈N ，则n a =（ ）A ．3(32)nn- B ．32n n + C ．3nD ．132n -⋅4． 执行如图的程序框图，如果输入的100N =，则输出的x =（ ） A ．0.95 B ．0.98 C ．0.99 D ．1.00 5．三角函数()sin(2)cos 26f x x x π=-+的振幅和最小正周期分别是（ ）A ．3,2πB ．3,πC ．2,2πD ．2,π6．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．12 B ．6 C ．4 D ．27．设p 、q 是两个命题，若()p q ⌝∨是真命题，那么（ ）n=n+1x=x+1n (n+1)x输出结束n<Nn=1,x=0是否开始输入N1221A ．p 是真命题且q 是假命题B ．p 是真命题且q 是真命题C ．p 是假命题且q 是真命题D ．p 是假命题且q 是假命题8．从一个边长为2的等边三角形的中心、各边中点及三个顶点这7个点中任取两个点，则这两点间的距离小于1的概率是（ ） A ．71 B ．73 C ．74 D ．76 9．已知平面向量a 、b 满足||||1==a b ，(2)⊥-a a b ，则||+=a b （ ）A ．0B ．2C ．2D ．310．62)21(x x -的展开式中，常数项等于（ ） A ．45- B ．45 C ．1615- D ．161511．已知双曲线的顶点为椭圆1222=+y x 长轴的端点，且双曲线的离心率与椭圆的离心率的乘积等于1，则双曲线的方程是（ ）A ．122=-y x B ．122=-x y C ．222=-y x D ．222=-x y 12．如果定义在R 上的函数)(x f 满足：对于任意21x x ≠，都有)()(2211x f x x f x +)()(1221x f x x f x +>，则称)(x f 为“H 函数”．给出下列函数：①13++-=x x y ；②)c o s s in (23x x x y --=；③1+=xe y ；④()ln ||000x xf x x ≠⎧=⎨=⎩，其中“H 函数”的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．已知实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，若目标函数ay x z +=2仅在点)4,3(取得最小值，则a 的取值范围是 ．14．已知双曲线1163222=-py x 的左焦点在抛物线px y 22=的准线上，则=p ．15．已知数列}{n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，且对任意的∈n N *，均有n a ，n S ，2n a 成等差数列，则=n a ．16．已知函数)(x f 的定义域为R ，直线1=x 和2=x 是曲线)(x f y =的对称轴，且1)0(=f ，则=+)10()4(f f ．三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知顶点在单位圆上的ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且C b B c A a cos cos cos 2+=．（1）A cos 的值；（2）若422=+c b ，求ABC ∆的面积．18．（本小题满分12分）某单位共有10名员工，他们某年的收入如下表： 员工编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年薪（万元）33.5455.56.577.5850（1）求该单位员工当年年薪的平均值和中位数；（2）从该单位中任取2人，此2人中年薪收入高于5万的人数记为ξ，求ξ的分布列和期望； （3）已知员工年薪收入与工作年限成正线性相关关系，若某员工工作第一年至第四年的年薪分别为3万元、4.2万元、6.5万元、2.7万元，预测该员工第五年的年薪为多少？附：线性回归方程a x b yˆˆˆ+=中系数计算公式：21)())((ˆx x y y x xb i ni i i---=∑=，x b y aˆˆ-=，其中x 、y 表示样本均值．19．（本小题满分12分）如图，在直二面角C AB E --中，四边形ABEF 是矩形，2=AB ，32=AF ，ABC ∆是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，点P 是线段BF 上的一点，3=PF ．（1）证明：⊥FB 面PAC ；（2）求异面直线PC 与AB 所成的角的余弦值．20．（本小题满分12分）已知抛物线C ：x y 42=，过其焦点F 作两条相互垂直且不平行于x 轴的直线，分别交抛物线C 于点1P ，2P 和点3P ，4P ，线段21P P ，43P P 的中点分别记为1M ，2M ．（1）求21M FM ∆面积的最小值； （2）求线段21M M 的中点P 满足的方程．21．（本小题满分12分）设函数mx x x x f -+=ln 21)(2（0>m ）． （1）求)(x f 的单调区间； （2）求)(x f 的零点个数；PCABEF（3）证明：曲线)(x f y =上没有经过原点的切线．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号．22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，BC 是半圆O 的直径，AD BC ⊥，垂足为D ，AB AF =，BF 与AD 、AO 分别交于点E 、G ．（1）证明：DAO FBC ∠=∠； （2）证明：AE BE =．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，过点(1,2)P -的直线l 的倾斜角为45．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos ρθθ=,直线l 和曲线C 的交点为点,A B ． （1）求直线l 的参数方程； （2）求PA PB ⋅的值．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()5f x x a x =-+．（1）当1a =-时，求不等式()53f x x ≤+的解集；EFG COADB（2）若1x ≥-时有()0f x ≥，求a 的取值范围．2016年适应性测试理科数学答案及评分参考评分说明:1. 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.2. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4. 只给整数分数. 选择题不给中间分. 一．选择题（1）B （2）C （3）C （4）C （5）B （6）D （7）D （8）A （9）D （10）D （11）D （12）C二．填空题（13）2∞（-，-） （14）4（15）n（16）2三．解答题 （17）解：（Ⅰ）2cos cos cos a A c B b C =+，由正弦定理得：2sin cos sin cos sin cos A A C B B C ⋅=+2sin cos sin()sin A A B C A ⇒⋅=+=，又0A π<<sin 0A ⇒≠，12cos 1cos 2A A ∴=⇒=. （Ⅱ）由13cos sin 22A A =⇒=，由22sin 3sin a a A A=⇒==. 由余弦定理 2222cos a b c bc A =+-222431bc b c a ⇒=+-=-=.∴1133sin 2224==⋅=ABC S bc A △. （18）解：（Ⅰ）平均值为10万元，中位数为6万元.（Ⅱ）年薪高于5万的有6人，低于或等于5万的有4人；ξ取值为0，1，2.152)0(21024===C C P ξ，158)1(2101614===C C C P ξ，31)2(21026===C C P ξ， 所以ξ的分布列为………6分………12分………4分ξ0 1 2P152 158 31数学期望为5631215811520=⨯+⨯+⨯=ξE .（Ⅲ）设)4,3,2,1(,=i y x i i 分别表示工作年限及相应年薪，则5,5.2==y x ，5=2.25+0.25+0.25+2.25x 412=-∑）（x i41()() 1.520.50.80.50.6 1.5 2.27=--=-⨯+⨯+⨯+⨯=∑iii x x y y （-）（-）（-）()()()414217 1.45iii i i x x y y b x x∧==--===-∑∑ˆˆ5 1.4 2.5 1.5a y bx =-=-⨯=由线性回归方程： 1.4 1.5y x =+. 可预测该员工年后的年薪收入为8.5万元.（19）解：（Ⅰ）4FB =,3cos cos 2PFA BFA ∠=∠=，222cos 91223233/23,PA PF FA PF FA PFA =+-⋅⋅∠=+-⋅⋅⋅=2223912PA PF AF +=+==Q ，PA BF ∴⊥；又因为ABEF ABC ⊥平面平面，AB AC ⊥， AC ABEF ∴⊥平面，而BF ABEF ⊂平面..AC BF ∴⊥PA AC A =又I . BF PAC ∴⊥平面.（Ⅱ）过P 作//,//PM AB PN AF ，分别交,BE BA 于,M N 点，MPC ∠的补角为PC 与AB 所成的角.连接MC ，NC .………8分………6分………12分2222223/2,3/2,5/2,2 2.7,35/2.PN MB AN NC AN AC BC PC PN NC MC MB BC ====+===+==+=135733744cos .11427272MPC +--∠===-⋅⋅ 所以异面直线PC 与AB 所成的角的余弦值为3714. 向量法：（Ⅰ）以A 为原点，向量AB ，AC ，AF 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,23)F .224BF AB AF =+=，3PF =，33(,0,)22P ∴，(2,0,23)FB =-，(0,2,0)AC =，33(,0,)22AP =.0FB AC ⋅=，FB AC ∴⊥. 0FB AP ⋅=，FB AP ∴⊥.FB AC ⊥，FB AP ⊥，ACAP A =，FB APC ∴⊥平面.（Ⅱ）(2,0,0)AB =，33(,2,)22PC =--，记AB 与PC 夹角为θ，则337cos =1427AB PC AB PCθ⋅-==. （20）解：（Ⅰ）由题设条件得焦点坐标为(1,0)F ，设直线12P P 的方程为(1)y k x =-，0k ≠.联立2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，………6分………12分………12分消去y 并整理得22222(2)0k x k x k -++=. (*)(*)关于x 的一元二次方程的判别式22222[2(2)]416(1)0k k k k ∆=-+-=+>. 设111(,)P x y ，222(,)P x y ，则12,x x 是方程(*)的两个不等实根，经计算得21222(2)k x x k ++=．设111(,)M M M x y ，则1112122222(1)M M M x x k x k y k x k ⎧++==⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩． 类似地，设222(,)M M M x y ，则2222212211221M M kx k k y k k ⎧+⎪==+⎪⎪⎨⎪==-⎪⎪-⎩． 所以2222122222||(1)()1k FM k k k k+=-+=+， 22222||(2)(2)2||1FM k k k k =+-=+， 因此121211||||2(||)2||FM M S FM FM k k ∆=⋅=+． 因为1||2||k k +≥，所以124FM M S ∆≥， 当且仅当1||||k k =，即1k =±时，12FM M S ∆取到最小值4． （Ⅱ）设线段12M M 的中点(,)P x y ，由（1）得121222221121()(22)1221121()(2)22M M M M x x x k k k k y y y k k k k ⎧=+=++=++⎪⎪⎨⎪=+=-=-+⎪⎩，消去k 后得23y x =-．………8分∴线段12M M 的中点P 满足的方程为23y x =-．（21）解： （Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞，211()x mx f x x m x x-+'=+-=. 令()0f x '=，得210x mx -+=.（1）当240m ∆=-≤，即02m <≤时，()0f x '≥，所以()f x 在(0,)+∞内单调递增.（2）当240m ∆=->，即2m >时，由210x mx -+=解得2142m m x --=，2242m m x +-=，且120x x <<， 在区间1(0,)x 及2(,)x +∞内,()0f x '>，在12(,)x x 内，()0f x '<， 所以，()f x 在区间1(0,)x 及2(,)x +∞内单调递增，在12(,)x x 内单调递减. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当02m <≤时，()f x 在(0,)+∞内单调递增，所以()f x 最多只有一个零点. 又因为1()(2)ln 2f x x x m x =-+，所以，当02x m <<且1x <时，()0f x <；当2x m >且1x >时，()0f x >，故()f x 有且仅有一个零点. 当2m >时，因为()f x 在1(0,)x 及2(,)x +∞内单调递增，在12(,)x x 内单调递减，且22221144(4)()()ln 2222m m m m m m m f x ------=+- 222424ln 42m m m m m -+----=+ 而2222422044m m m m m -+---+-<<， 2244401242(4)m m m m --<=<=+-（2m >）， 1()0f x ∴<，由此知21()()0f x f x <<，又因为当2x m >且1x >时，()0f x >，………12分…4分故()f x 在(0,)+∞内有且仅有一个零点.综上所述，当0m >时，()f x 有且仅有一个零点. （Ⅲ）假设曲线()y f x =在点(,())x f x （0x >）处的切线经过原点， 则有()()f x f x x '=，即21ln 2x x mx x+-1x m x =+-， 化简得：21ln 102x x -+=（0x >）.（*） 记21()ln 12g x x x =-+（0x >），则211()x g x x x x -'=-=， 令()0g x '=，解得1x =.当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>， 所以3(1)2g =是()g x 的最小值，即当0x >时，213ln 122x x -+≥. 由此说明方程（*）无解，所以曲线()y f x =没有经过原点的切线. （22）解：（Ⅰ）连接FC ，OF ，,AB AF = OB OF =，∴点G 是BF 的中点，OG BF ⊥.因为BC 是O 的直径，所以CF BF ⊥.//OG CF ∴.AOB FCB ∴∠=∠，90,90DAO AOB FBC FCB ∴∠=︒-∠∠=︒-∠，.DAO FBC ∴∠=∠（Ⅱ）在Rt OAD △与Rt OBG △中，由（Ⅰ）知DAO GBO ∠=∠， 又OA OB =，所以，OAD ≅△OBG △，于是OD OG =. AG OA OG OB OD BD ∴=-=-=.在Rt AGE △与Rt BDE △中，由于DAO FBC ∠=∠，AG BD =， 所以，AGE △≅BDE △，因此，AE BE =.（23）解：（Ⅰ）由条件知，直线l 的倾斜角45α=︒，2cos sin 2αα==. 设点(,)M x y 是直线l 上的任意一点，点P 到点M 的有向距离为t ，则………8分 …12分………6分 ………10分212.222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩ （Ⅱ）曲线C 的直角坐标方程为22y x =,由此得222(2)2(1)22t t -+=+, 即 26240t t -+=.设12,t t 为此方程的两个根，因为l 和C 的交点为,A B ，所以12,t t 分别是点,A B 所对应的参数，由韦达定理得 P A P B ⋅=124t t =.（24）解：（Ⅰ）()|1|553f x x x x =+++≤可得|1|3x +≤，解得42x -≤≤. （Ⅱ）6,()4,x a x a f x x a x a-⎧=⎨+<⎩≥在R 上是单调递增的. 若()f x 适合题设条件，则()f x 的零点x 必须满足1x -≤.于是（1）由160a x x a -⎧⎨-=⎩≤≤，得6a -≤； （2）由140x a x x a <⎧⎪-⎨⎪+=⎩≤，得4a ≥.从而(][),64,∈-∞-+∞a .反之，(][),64,∀∈-∞-+∞a ，易计算此时()5f x x a x =-+满足题设条件.故满足题设条件的a 的取值范围是(][),64,-∞-+∞………5分 ………10分 ………4分 ………10分。

广东省2016年适应性考试高三 理科数学 2016.3一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{430}A x x x =++≥，{21}xB x =<，则A B = （ ）A ．[3,1]--B ．(,3)[1,0)-∞--C ．(,3)(1,0]-∞--D ．(,0)-∞2．若(2)z a ai =-+为纯虚数，其中∈a R ，则=++aii a 17（ ） A ．i B ．1 C ．i - D ．1-3．设n S 为数列{}n a 的前n 项的和，且*3(1)()2n n S a n =-∈N ，则n a =（ ）A ．3(32)n n -B ．32n n +C ．3nD ．132n -⋅4． 执行如图的程序框图，如果输入的100N =，则输出的x =（ ） A ．0.95 B ．0.98 C ．0.99 D ．1.00 5．三角函数()sin(2)cos 26f x x x π=-+的振幅和最小正周期分别是（ ）A ．3,2πB ．3,πC ．2,2πD ．2,π6．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．12 B ．6 C ．4 D ．27．设p 、q 是两个命题，若()p q ⌝∨是真命题，那么（ ） A ．p 是真命题且q 是假命题 B ．p 是真命题且q 是真命题 C ．p 是假命题且q 是真命题 D ．p 是假命题且q 是假命题8．从一个边长为2的等边三角形的中心、各边中点及三个顶点这7个点中任取两个点，则这两点间的距离小于1的概率是（ ）n=n+1x=x+1n (n+1)x输出结束n<Nn=1,x=0是否开始输入N112221A ．71 B ．73 C ．74 D ．76 9．已知平面向量a 、b 满足||||1==a b ，(2)⊥-a a b ，则||+=a b （ ）A ．0B ．2C ．2D ．310．62)21(x x -的展开式中，常数项等于（ ） A ．45- B ．45 C ．1615- D ．161511．已知双曲线的顶点为椭圆1222=+y x 长轴的端点，且双曲线的离心率与椭圆的离心率的乘积等于1，则双曲线的方程是（ ）A ．122=-y xB ．122=-x yC ．222=-y xD ．222=-x y 12．如果定义在R 上的函数)(x f 满足：对于任意21x x ≠，都有)()(2211x f x x f x +)()(1221x f x x f x +>，则称)(x f 为“H 函数”．给出下列函数：①13++-=x x y ；②)c o s si n (23x x x y --=；③1+=x e y ；④()ln ||00x x f x x ≠⎧=⎨=⎩，其中“H 函数”的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．已知实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，若目标函数ay x z +=2仅在点)4,3(取得最小值，则a 的取值范围是 ．14．已知双曲线1163222=-py x 的左焦点在抛物线px y 22=的准线上，则=p ．15．已知数列}{n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，且对任意的∈n N *，均有n a ，n S ，2n a 成等差数列，则=n a ．16．已知函数)(x f 的定义域为R ，直线1=x 和2=x 是曲线)(x f y =的对称轴，且1)0(=f ，则=+)10()4(f f ．三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知顶点在单位圆上的ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且C b B c A a cos cos cos 2+=．（1）A cos 的值；（2）若422=+c b ，求ABC ∆的面积．18．（本小题满分12分）某单位共有10名员工，他们某年的收入如下表： 员工编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年薪（万元）33.5455.56.577.5850（1）求该单位员工当年年薪的平均值和中位数；（2）从该单位中任取2人，此2人中年薪收入高于5万的人数记为ξ，求ξ的分布列和期望； （3）已知员工年薪收入与工作年限成正线性相关关系，若某员工工作第一年至第四年的年薪分别为3万元、4.2万元、6.5万元、2.7万元，预测该员工第五年的年薪为多少？附：线性回归方程a x b yˆˆˆ+=中系数计算公式：21)())((ˆx x y y x xb i ni i i---=∑=，x b y aˆˆ-=， 其中x 、y 表示样本均值．19．（本小题满分12分）如图，在直二面角C AB E --中，四边形ABEF 是矩形，2=AB ，32=AF ，ABC ∆是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，点P 是线段BF 上的一点，3=PF ．（1）证明：⊥FB 面PAC ；（2）求异面直线PC 与AB 所成的角的余弦值．20．（本小题满分12分）已知抛物线C ：x y 42=，过其焦点F 作两条相互垂直且不平行于x 轴的直线，分别交抛物线C 于点1P ，2P 和点3P ，4P ，线段21P P ，43P P 的中点分别记为1M ，2M ．（1）求21M FM ∆面积的最小值； （2）求线段21M M 的中点P 满足的方程．21．（本小题满分12分）设函数mx x x x f -+=ln 21)(2（0>m ）． （1）求)(x f 的单调区间； （2）求)(x f 的零点个数；（3）证明：曲线)(x f y =上没有经过原点的切线．PCABEF请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号．22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，BC 是半圆O 的直径，AD BC ⊥，垂足为D ， AB AF =，BF 与AD 、AO 分别交于点E 、G ．（1）证明：DAO FBC ∠=∠； （2）证明：AE BE =．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，过点(1,2)P -的直线l 的倾斜角为45．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos ρθθ=,直线l 和曲线C 的交点为点,A B ． （1）求直线l 的参数方程； （2）求PA PB ⋅的值．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()5f x x a x =-+．（1）当1a =-时，求不等式()53f x x ≤+的解集； （2）若1x ≥-时有()0f x ≥，求a 的取值范围．EFG COADB2016年适应性测试理科数学答案及评分参考评分说明:1. 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.2. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4. 只给整数分数. 选择题不给中间分. 一．选择题（1）B （2）C （3）C （4）C （5）B （6）D （7）D （8）A （9）D （10）D （11）D （12）C二．填空题（13）2∞（-，-） （14）4（15）n（16）2三．解答题 （17）解：（Ⅰ） 2cos cos cos a A c B b C =+，由正弦定理得：2sin cos sin cos sin cos A A C B B C ⋅=+2sin cos sin()sin A A B C A ⇒⋅=+=，又 0A π<<sin 0A ⇒≠，12cos 1cos 2A A ∴=⇒=. （Ⅱ）由13cos sin 22A A =⇒=，由22sin 3sin a a A A =⇒==. 由余弦定理 2222cos a b c bc A =+-222431bc b c a ⇒=+-=-=.∴1133sin 2224==⋅=ABC S bc A △. （18）解：（Ⅰ）平均值为10万元，中位数为6万元.（Ⅱ）年薪高于5万的有6人，低于或等于5万的有4人；ξ取值为0，1，2.152)0(21024===C C P ξ，158)1(2101614===C C C P ξ，31)2(21026===C C P ξ， 所以ξ的分布列为………6分………12分………4分ξ0 1 2P152 158 31数学期望为5631215811520=⨯+⨯+⨯=ξE . （Ⅲ）设)4,3,2,1(,=i y x i i 分别表示工作年限及相应年薪，则5,5.2==y x ，5=2.25+0.25+0.25+2.25x 412=-∑）（x i41()() 1.520.50.80.50.6 1.5 2.27=--=-⨯+⨯+⨯+⨯=∑iii x x y y （-）（-）（-）()()()414217 1.45iii ii x x y y b x x ∧==--===-∑∑ˆˆ5 1.4 2.5 1.5a y bx =-=-⨯=由线性回归方程： 1.4 1.5y x =+. 可预测该员工年后的年薪收入为8.5万元.（19）解：（Ⅰ）4FB =,3cos cos 2PFA BFA ∠=∠=，222cos 91223233/23,PA PF FA PF FA PFA =+-⋅⋅∠=+-⋅⋅⋅=2223912PA PF AF +=+==Q ，PA BF ∴⊥；又因为ABEF ABC ⊥平面平面，AB AC ⊥， AC ABEF ∴⊥平面，而BF ABEF ⊂平面..AC BF ∴⊥PA AC A =又I . BF PAC ∴⊥平面.（Ⅱ）过P 作//,//PM AB PN AF ，分别交,BE BA 于,M N 点，MPC ∠的补角为PC 与AB 所成的角.连接MC ，NC .………8分………6分………12分2222223/2,3/2,5/2,2 2.7,35/2.PN MB AN NC AN AC BC PC PN NC MC MB BC ====+===+==+=135733744cos .11427272MPC +--∠===-⋅⋅ 所以异面直线PC 与AB 所成的角的余弦值为3714. 向量法：（Ⅰ）以A 为原点，向量AB ，AC ，AF的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,23)F .224BF AB AF =+=，3PF =， 33(,0,)22P ∴，(2,0,23)FB =- ，(0,2,0)AC = ，33(,0,)22AP = .0FB AC ⋅= ，FB AC ∴⊥. 0FB AP ⋅= ，FB AP ∴⊥ .FB AC ⊥ ，FB AP ⊥，AC AP A = ，FB APC ∴⊥平面.（Ⅱ）(2,0,0)AB = ，33(,2,)22PC =-- ，记AB 与PC 夹角为θ，则337cos =1427AB PC AB PC θ⋅-== . （20）解：（Ⅰ）由题设条件得焦点坐标为(1,0)F ，设直线12PP 的方程为(1)y k x =-，0k ≠.联立2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，………6分………12分………12分消去y 并整理得22222(2)0k x k x k -++=. (*)(*)关于x 的一元二次方程的判别式22222[2(2)]416(1)0k k k k ∆=-+-=+>. 设111(,)P x y ，222(,)P x y ，则12,x x 是方程(*)的两个不等实根，经计算得21222(2)k x x k++=． 设111(,)M M M x y ，则1112122222(1)M M M x x k x k y k x k ⎧++==⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩． 类似地，设222(,)M M M x y ，则2222212211221M M kx k k y k k ⎧+⎪==+⎪⎪⎨⎪==-⎪⎪-⎩． 所以2222122222||(1)()1k FM k k k k+=-+=+， 22222||(2)(2)2||1FM k k k k =+-=+，因此121211||||2(||)2||FM M S FM FM k k ∆=⋅=+． 因为1||2||k k +≥，所以124FM M S ∆≥， 当且仅当1||||k k =，即1k =±时，12FM M S ∆取到最小值4． （Ⅱ）设线段12M M 的中点(,)P x y ，由（1）得121222221121()(22)1221121()(2)22M M M M x x x k k k k y y y k k k k ⎧=+=++=++⎪⎪⎨⎪=+=-=-+⎪⎩，消去k 后得23y x =-．………8分∴线段12M M 的中点P 满足的方程为23y x =-． （21）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞，211()x mx f x x m x x-+'=+-=.令()0f x '=，得210x mx -+=.（1）当240m ∆=-≤，即02m <≤时，()0f x '≥，所以()f x 在(0,)+∞内单调递增.（2）当240m ∆=->，即2m >时，由210x mx -+=解得2142m m x --=，2242m m x +-=，且120x x <<， 在区间1(0,)x 及2(,)x +∞内,()0f x '>，在12(,)x x 内，()0f x '<，所以，()f x 在区间1(0,)x 及2(,)x +∞内单调递增，在12(,)x x 内单调递减. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当02m <≤时，()f x 在(0,)+∞内单调递增，所以()f x 最多只有一个零点.又因为1()(2)ln 2f x x x m x =-+，所以，当02x m <<且1x <时，()0f x <；当2x m >且1x >时，()0f x >，故()f x 有且仅有一个零点.当2m >时，因为()f x 在1(0,)x 及2(,)x +∞内单调递增，在12(,)x x 内单调递减，且22221144(4)()()ln 2222m m m m m m m f x ------=+-222424ln42m m m m m -+----=+ 而2222422044m m m m m -+---+-<<，2244401242(4)m m m m --<=<=+-（2m > ），1()0f x ∴<，由此知21()()0f x f x <<， 又因为当2x m >且1x >时，()0f x >，………12分…4分故()f x 在(0,)+∞内有且仅有一个零点.综上所述，当0m >时，()f x 有且仅有一个零点. （Ⅲ）假设曲线()y f x =在点(,())x f x （0x >）处的切线经过原点， 则有()()f x f x x '=，即21ln 2x x mx x+-1x m x =+-， 化简得：21ln 102x x -+=（0x >）.（*） 记21()ln 12g x x x =-+（0x >），则211()x g x x x x-'=-=， 令()0g x '=，解得1x =.当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>， 所以3(1)2g =是()g x 的最小值，即当0x >时，213ln 122x x -+≥. 由此说明方程（*）无解，所以曲线()y f x =没有经过原点的切线. （22）解：（Ⅰ）连接FC ，OF ， ,AB AF = OB OF =，∴点G 是BF 的中点，OG BF ⊥.因为BC 是O 的直径，所以CF BF ⊥.//OG CF ∴.AOB FCB ∴∠=∠，90,90DAO AOB FBC FCB ∴∠=︒-∠∠=︒-∠，.DAO FBC ∴∠=∠（Ⅱ）在Rt OAD △与Rt OBG △中，由（Ⅰ）知DAO GBO ∠=∠，又OA OB =，所以，OAD ≅△OBG △，于是OD OG =. AG OA OG OB OD BD ∴=-=-=.在Rt AGE △与Rt BDE △中，由于DAO FBC ∠=∠，AG BD =， 所以，AGE △≅BDE △，因此，AE BE =.（23）解：（Ⅰ）由条件知，直线l 的倾斜角45α=︒，2cos sin 2αα==. 设点(,)M x y 是直线l 上的任意一点，点P 到点M 的有向距离为t ，则………8分 …12分………6分 ………10分212.222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩ （Ⅱ）曲线C 的直角坐标方程为22y x =,由此得222(2)2(1)22t t -+=+, 即 26240t t -+=.设12,t t 为此方程的两个根，因为l 和C 的交点为,A B ，所以12,t t 分别是点,A B 所对应的参数，由韦达定理得 P A P B ⋅=124t t =.（24）解：（Ⅰ）()|1|553f x x x x =+++≤可得|1|3x +≤，解得42x -≤≤. （Ⅱ）6,()4,x a x a f x x a x a -⎧=⎨+<⎩≥在R 上是单调递增的. 若()f x 适合题设条件，则()f x 的零点x 必须满足1x -≤.于是（1）由160a x x a -⎧⎨-=⎩≤≤，得6a -≤；（2）由140x a x x a <⎧⎪-⎨⎪+=⎩≤，得4a ≥.从而(][),64,∈-∞-+∞a .反之，(][),64,∀∈-∞-+∞a ，易计算此时()5f x x a x =-+满足题设条件. 故满足题设条件的a 的取值范围是(][),64,-∞-+∞………5分 ………10分 ………4分 ………10分。

2016年普通高考适应性考试文科数学（新课标全国Ⅰ卷）注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。

（1）若复数iia 2+的实部与虚部相等，则实数=a A （A ）1-（B ）1 （C ）2-（D ）2（2）已知{}02＜b x x x A +-∈=Z 只有一个子集，则b 的取值范围是B（A ）),41[+∞ （B ）),0[+∞ （C ）),41(+∞ （D ）不存在（3）在如图所示的流程图中，若输入的a ，b ，c 值分别是2，4，5，则输出的=x A（A ）1（B ）2（C ）lg2（D ）10（4）命题“有些相互垂直的两直线不相交”的否定是C（A ）有些相互垂直的两直线相交（B ）有些不相互垂直的两直线不相交（C ）任意相互垂直的两直线相交（D ）任意相互垂直的两直线不相交（5）已知函数)(x f 为奇函数，且在),0(+∞上单调递增，则以下结论正确的是D （A ）函数)(x f 为偶函数，且在)0,(-∞上单调递增 （B ）函数)(x f 为奇函数，且在)0,(-∞上单调递增 （C ）函数)(x f 为奇函数，且在),0(+∞上单调递增 （D ）函数)(x f 为偶函数，且在),0(+∞上单调递增（6）将函数)64sin(4π+=x y 的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移6π个单位，所得函数图像的一个对称中心为D （A ）)0,4813(π（B ）)0,8(π（C ）)0,85(π（D ）)0,127(π （7）已知抛物线22(0)y px p =>上一点(1,)M m 到其焦点的距离为4，双曲线221y x a-=的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a 的值为B（A ）31-（B ）31（C ）3-（D ）3（8）在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？A（A ）9日 （B ）8日 （C ）16日 （D ）12日（9）某工厂用A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品需用4个A 配件耗时1h ，每生产一件乙产品需用4个B 配件耗时2h ，该厂每天最多可从配件厂获得24个A 配件和16个B 配件，每天生产总耗时不超过8h . 若生产一件甲产品获利3万元，生产一件乙产品获利4万元，则通过恰当的生产安排，该工厂每天可获得的最大利润为B （A ）24万元（B ）22万元（C ）18万元（D ）16万元（10）如图所示为某几何体的三视图，其体积为π48，则该几何体的表面积为D（A ）π24 （B ）π36 （C ）π60 （D ）π78（11）在平面直角坐标系xOy 中有不共线三点()11,b a P ,()22,b a A ,()33,b a B .实数μλ,满足0≠=+λμμλ，则以P 为起点的向量μλ,的终点连线一定过点C （A ）),(132132b b b a a a -+-+ （B ）),(132132a a a b b b -+-+ （C ）)2,2(132132b b b a a a -+-+ （D ）)2,2(132132a a a b b b -+-+（12）已知函数)(x g 的图象与函数1)ln()(-+=a x x f 的图象关于原点对称，且两个图象恰有三个不同的交点，则实数a 的值为C（A ）e1（B ）1 （C ）e （D ）2e第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2016年适应性考试文科数学一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{560}A x x x =-+≤，{21}xB x =>，则A B =（ ）A ．[2,3]B ．(0,)+∞C ．(0,2)(3,)+∞D ．(0,2][3,)+∞【答案】A【解析】∵[2,3]A =，(0,)B =+∞，∴[2,3]AB =．2．设复数132i z =+，21i z =-，则 ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．53） A B C D B【解析】甲任意站位有3种，甲站在边上的情况有2种，∴23P =． 4．设,p q 是两个题，若p q ⌝∧是真命题，那么（ ）A ．p 是真命题且q 是假命题B ．p 是真命题且q 是真命题C ．p 是假命题且q 是真命题D ．p 是真命题且q 是假命题【答案】C5．已知等比数列{}n a 满足：1310a a +=，4654a a +=，则{}n a 的通项公式n a =（ ） A ．412n - B ．312n -C ．3142n -+D ．2162n -+【答案】A 【解析】∵3461318a a q a a +==+，∴12q =．由1310a a +=，得18a =，∴1114118()22n n n n a a q---==⨯=．6． 执行如图的程序框图，如果输入的10N =，则输出的x =（ ）A ．0.5B ．0.8C ．0.9D ．1 【答案】C【解析】1111122334910x =+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯ 11111119(1)()()()2233491010=-+-+-+⋅⋅⋅+-=．7．三角函数()sin(2)cos 26f x x x π=-+的振幅和最小正周期分别是（ ） A2πBπ C2πDπ【答案】B 【解析】()sincos 2cossin 2cos 266f x x x x ππ=-+31cos 223(2sin 2)2222x x x x =-=-)6x π=+，故选B ．8．(2016广东适应性考试)已知过球面上有三点,,A B C 的截面到球心的距离是球半径的一半，且2AB BC CA ===，则此球的半径是（ ） A ．34 B ．1 C ．43D ．2 【答案】C【解析】设ABC ∆外接圆的半径为r，则3r =． 设球的半径为R ，则2221()2R R r =+，∴43R =．9．在等腰三角形ABC 中，150A ∠=，1AB AC ==，则AB BC ⋅= （ ） A．1 B．1+ C1 D1+ 【答案】A【解析】2()AB BC AB AC AB AB AC AB ⋅=⋅-=⋅-211cos15011=⨯⨯-=．10．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3，椭圆上一点P 到两焦点距离之和为12，则b =（ ）A ．8B ．6C ．5D ．4【答案】D【解析】依题意212a =，∴6a =．∵c e a ==，∴c =4b =． 11．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直且相等，则该几何体的体积是（ ） A ．203 B ．163C ．86π-D ．83π- 【答案】A【解析】由三视图可知几何体是正方体挖去正四棱锥而成的．3212022133V =-⨯⨯=．12．已知α是第二象限的角，其终边上的一点为(P x ，且cos 4x α=，则tan α=（ ） A ．5 B ．3C ．5-D ．3-【答案】D 【解析】∵r cos 4x α=4x =．∵α是第二象限的角，∴0x <， 4=x = ∴tan α===． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．已知实数,x y 满足约束条件2211x y x y x y -≤⎧⎪-≥-⎨⎪+≥⎩，若目标函数2z x ay =+仅在点(3,4)处取得最小值，则a 的取值范围是_________． 【答案】(,2)-∞-正视图侧视图俯视图【解析】不等式组表示的平面区域的角点坐标分别为(1,0),(0,1),(3,4)A B C , ∴2A z =，B z a =，64C z a =+． ∴64264a a a +<⎧⎨+<⎩，解得2a <-．14．已知双曲线2221613x y p-=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p =_________．【答案】4【解析】223()162p p+=，∴4p =． 15．已知()f x 是定义域为R 的单调减的奇函数，若(31)(1)0f x f ++≥，则x 的取值范围是_________．∵(31)(1)0f x f ++≥，∴(31)(1)f x f +≥-， ∴311x +≤-，23x ≤-．16．顶点在单位圆上的ABC ∆，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ．若sin 2A =，224b c +=，则ABC S ∆=_________．【解析】∵顶点在单位圆上的ABC ∆，∴2sin 21a R A ==⨯= ∵2222cos a b c bc A =+-，∴2cos 1bc A =．∵sin A =，且2cos 0bc A >，∴cos 0A >，∴3A π=，1bc =．∴1sin 2ABC S bc A ∆==．三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（本小题满分12分）数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，且对任意的*n ∈N ，均有2n a ，2n S ，2na 成等差数列． （1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式．【解析】（1）∵2n a ，2n S ，2n a 成等差数列， ∴242n n n S a a =+．∴211142S a a =+,， ∴211142a a a =+，∴11(2)0a a -=，∵0n a >，∴12a =． （2）∵242n n n S a a =+, ①当2n ≥时，211142n n n S a a ---=+，② ①-②得，2211422n n n n n a a a a a --=+--∴2211220n n n n a a a a -----=， ∴2211220n n n n a a a a -----=，∴111()()2()0n n n n n n a a a a a a ---+--+=， ∴11()(2)0n n n n a a a a --+--=， ∴12n n a a --=，∴数列{}n a 是以2为首项，公差为2的等差数列， ∴2(1)22n a n n =+-⨯=，∵1221a ==⨯，∴*2,N n a n n =∈．18．（本小题满分12分）某学校的篮球兴趣小组为调查该校男女学生对篮球的喜好情况，用简单随机抽样方法调查了该校100名学生，调查结果如下：28122535是否喜欢篮球否是女生男生性别（1）该校共有500名学生，估计有多少学生喜好篮球？（2）能否有99%的把握认为该校的学生是否喜欢篮球与性别有关？说明原因； 50名女生中按是否看营养说明采取分（3）已知在喜欢篮球的12名女生中，6名女生（分别记为123456,,,,,)P P P P P P 同时喜欢乒乓球，2名女生(分别记为12,B B ）同时喜欢羽毛球，4名女生(分别记为1234,,,)V V V V 同时喜欢排球， 现从喜欢乒乓球、羽毛球、排球的女生中各取1人，求12,P B 不全被选中的概率．附：22()()()()()n ad bc K a b a c b d c d -=++++，n a b c d =+++．参考数据：∴500名学生中，估计有47500235100⨯=名学生喜好篮球．（2）22()()()()()n ad bc K a b a c b d c d -=++++2100(35282512)578007.7345 474053607473⨯-⨯==≈⨯⨯⨯． 由于7.7345 6.635>，∴有99%的把握认为该校的学生喜欢篮球与性别有关．（3）从喜欢乒乓球、羽毛球、排球的女生中各取1人的基本事件为：111112113114,,,PBV PBV PBV PBV ，121122123124,,,PB V PB V PB V PB V ，211212213214,,,P BV P BV P BV P BV ，221222223224,,,P B V P B V P B V P B V ， 311312313314,,,P BV P BV P BV P BV ，321322323324,,,P B V P B V P B V P B V ，411412413414,,,P BV P BV P BV P BV ， 421422423424,,,P B V P B V P B V P B V ，511512513514,,,P BV P BV P BV P BV ，521522523524,,,P B V P B V P B V P B V ， 611612613614,,,P BV P BV P BV P BV ，621622623624,,,P B V P B V P B V P B V ，共48个， 其中12,P B 全被选中的基本事件为：121122123124,,,PB V PB V PB V PB V ，共4个， ∴12,P B 不全被选中的基本事件有44个，∴12,P B 不全被选中的的概率为44114812P ==． 19．（本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱ABC DEF -中，底面ABC 的棱AB BC ⊥，且2A B B C ==．点G 、H 在棱CF 上，且1GH HG GF ===．（1）证明：EH ⊥平面ABG ； （2）求点C 到平面ABG 的距离．【解析】（1）证明：设EH 交BG 于点O ， ∵在直三棱柱ABC DEF -中， 90GCB HFE ∠=∠=,∵2,1AB BC GH HG GF =====， ∴2,2BC CG FE FH ====，∴45,45CBG CGB FHE FEH ∠=∠=∠=∠=， ∴90FHE CGB ∠+∠=，即90GHO HGO ∠+∠=， ∴90GOH ∠=，∴EH GB ⊥． ∵直三棱柱ABC DEF -中，H ACBDE F G,,AB BE AB BC BE BC B ⊥⊥=，∴AB ⊥平面BCFE ，∵EH ⊂平面BCFE ，∴AB EH ⊥．∵AB GB B =，AB ⊂平面ABG ，GB ⊂ 平面ABG ， ∴EH ⊥平面ABG ．（2）设点C 到平面ABG 的距离为d ． ∵C ABG A BCG V V --=，∴1133ABG BCG S d S AB ∆∆⋅=⋅，∴11113232AB BG d BC CG AB ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯， ∴AB BG d BC CG AB ⨯⨯=⨯⨯，∴2222d ⨯=⨯⨯，∴d =∴点C 到平面ABG 20．（本小题满分12分） 已知点1(,0)2F 及直线1:2l x =-．P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP QF FP FQ ⋅=⋅．（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）设圆M 过点(1,0)A 且圆心M 在P 的轨迹C 上，12,E E 是圆M 在y 轴上截得的弦，证明弦长12E E 是一个常数． 【解析】（1）设动点(,)P x y ，则1(,)2Q y -． ∴11(,0),(1,),(,),(1,)22QP x QF y FP x y FQ y =+=-=-=-．∵QP QF FP FQ ⋅=⋅，∴11(,0)(1,)(,)(1,)22x y x y y +⋅-=-⋅-，∴21122x x y +=-+，即22y x =．∴动点P 的轨迹C 的方程为22y x =．（2）设圆心2001(,)2M y y ，则 圆M 的方程为222222000011()()(1)(0)22x y y y y y -+-=-+-，∴2222000210x y y x y y y +--+-=， 令0x =，得2200210y y y y -+-=2200(2)4(1)40y y ∆=---=>设1122(0,),(0,)E y E y ，则21201202,1y y y y y y +==-，22212212112()()4E E y y y y y y =-=+-2200(2)4(1)4y y =--=，∴弦长12E E 是一个常数，且常数为2． 21．（本小题满分12分）设函数()log (1)(0,1)a f x x a a =+>≠．（1）当1a >时，证明：1212,(1,),x x x x ∀∈-+∞≠，有1212()()()22x x f x f x f ++>； （2）若曲线()y f x =有经过点(0,1)的切线，求a 的取值范围． 【解析】（1）证明：∵()log (1)(0,1)a f x x a a =+>≠，∵1a >，1212,(1,),x x x x ∀∈-+∞≠，∴1210,10x x +>+>，1211x x +≠+，∴1212(1)(1)122x x x x +++++=>∴1212()log (1)log 22a a x x x xf ++=+> 121log (1)(1)2a x x =++1212()()11log (1)log (1)222a a f x f x x x +=+++=，∴1212()()()22x x f x f x f ++>． （2）()f x 的定义域为(1,)-+∞，若曲线()y f x =在点(,())x f x 处的切线经过点(0,1)，则应有()1()f x f x x -'=，即log (1)11(1)ln a x x x a+-=+． [](1)ln [log (1)1]0a x a x x ++--=（1x >-），（*）有解． ∴[]1(1)ln log 0ax x a x a++-=，∴[]1ln(1)ln 0ln x a x a x a++-=， ∴1ln 1x x a x +=+，∴ln(1)ln 1xx a x +-=+， ∴ln ln(1)1xa x x =+-+，令()ln(1)1x g x x x =+-+，则2211()1(1)(1)xg x x x x '=-=+++， 令()0g x '>，解得0x >， 令()0g x '<，解得10x -<<， ∴()g x 在(1,0)-上单调减，在(0,)+∞上单调增， ∴()(0)0g x g ≥=，∴ln 0a >，∴1a >．（2）()f x 的定义域为(1,)-+∞，若曲线()y f x =在点(,())x f x 处的切线经过点(0,1)，则应有()1()f x f x x -'=，即log (1)11(1)ln a x x x a+-=+． [](1)ln [log (1)1]0a x a x x ++--=（1x >-）, （*）有解．设[]()(1)ln [log (1)1]a F x x a x x =++--（1x >-）， 则[]1()[log (1)1]ln (1)ln 1[log (1)1]ln (1)ln a a F x x a x a x a x a'=+-++-=+-+,令()0F x '=，解得1x a =-．∵当1x a <-时，()0F x '<，当1x a >-时，()0F x '>， ∴(1)1F a a -=-是()F x 的最小值．因此，当10a ->，即01a <<时，方程（*）无解， ∴曲线()y f x =没有经过点(0,1)的切线． 当10a -<时，由于e 11a a ->-时，()(e 1)eln (log e 1)e 110a F a a a a a -=--+=>,∴方程（*）有解，故曲线()y f x =有经过点(0,1)的切线．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

广东省2016届高三数学3月适应性考试试题文（扫描版）2016年适应性测试文科数学答案及评分参考评分说明:1. 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.2. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4. 只给整数分数. 选择题不给中间分. 一．选择题：（1）A （2）D （3）B （4）C （5）A （6）C （7）B （8）C（9）A（10）D（11）A（12）D二．填空题 （13）2∞（-，-） （14）4（15）2,3纟çú-?ççúèû（16三．解答题 （17）解：（Ⅰ）由假设，当1n =时，有211142S a a =+，即211142.a a a =+故11(2)0.a a -=由于10a >，故1 2.a =（Ⅱ）由题设，对于1n ≥，有242n n n S a a =+ ① 因此211142,2n n n S a a n ---=+≥ ②由①-②得,2211422.n n n n n a a a a a --=-+-即1112()()().n n n n n n a a a a a a ---+=+-由于n a 和1n a -均为正数，故12, 2.n n a a n --=≥ 从而{}n a 是公差为2，首项为2的等差数列. 因此，2,1.n a n n =≥（18）解：（Ⅰ）在被调查的100名学生中，有（35+12）名学生喜欢篮球，因此全校500名学生中喜欢篮球的人数为：3512500235100+⨯=错误!未找到引用源。

2016年广州市普通高中毕业班模拟测试文科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．测试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）若全集U=R ，集合{}02A x x =<<，{}10B x x =->，则UAB ＝（A ）{}01x x <≤ （B ）{}12x x << （C ）{}01x x << （D ）{}12x x ≤< （2）已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若i a -和2i b +互为共轭复数，则()2i =a b +（A ）54i - （B ）5+4i （C ）34i - （D ）3+4i （3）已知1=a ，(0,2)=b ，且1=a b ，则向量a 和b 夹角的大小为（A ）6π （B ）4π （C ）3π （D ）2π（4）已知E ，F ，G ，H 是空间四点，命题甲：E ，F ，G ， H 四点不共面，命题乙：直线EF 和GH不相交，则甲是乙成立的 （A ）必要不充分条件 （B ）充分不必要条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）设3log 7a =， 1.12b =， 3.10.8c =，则（A ）c a b << （B ）b c a << （C ）a b c << （D ）b a c << （6）已知()f x 在R 上是奇函数,且满足()()4f x f x +=,当()0,2x ∈时,()22f x x =，则()7f =（A ） 2 （B ）2- （C ）98- （D ）98 （7）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是斜边长为2的直角三角形，俯视图是半径为1的四分之一圆周和两条 半径，则这个几何体的体积为（A ）312π （B ）36π （C ）34π （D ）33π （8）在数列{}n a 中，已知1221n n a a a ++⋅⋅⋅+=-，则22212n a a a ++⋅⋅⋅+等于俯视图开始x =1，y =1，k =0s =x -y ，t =x +y x =s ，y =tk =k +1k ≥3输出(x ，y )结束是否（A ）2(21)n- （B ）2(21)3n - （C ）41n- （D ）413n -（9）已知3sin 5ϕ=，且2ϕπ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，，函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于2π，则4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为 （A ）35-（B ）45- （C ）35 （D ）45（10）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（A ）()22-， （B ）()40-， （C ）()44--，（D ）()08-，（11）已知双曲线)0, 0( 12222>>=-b a by a x 的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为 （A ）02=±y x（B ）02=±y x（C ）034=±y x （D ）043=±y x（12）已知()y f x =为R 上的连续可导函数，且()()0xf x f x '+>，则函数()()1g x xf x =+()0x >的零点个数为（A ）0 （B ）1 （C ）0或1 （D ）无数个第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分． （13）函数1y x =+_____________． （14）设,x y 满足约束条件0,0,1,3,x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-≥-⎪⎪+≤⎩ 则2z x y =-的最大值为 ．（15）设数列{}n a 的各项都是正数，且对任意*n ∈N ，都有242n n n S a a =+，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和,则数列{}n a 的通项公式为n a = ．（16）已知以F 为焦点的抛物线2=4y x 上的两点A ，B 满足AF ＝2FB ，则弦AB 中点到抛物线准线的距离为_________．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）已知a ，b ，c 是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，且3cos cos 2B C +=23sin sin 2cos B C A +． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若△ABC 的面积3S =5b =，求sin sin B C 的值． （18）（本小题满分12分）“冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的慈善公益活动，活动规定：被邀请者要么在24小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款（不接受挑战），并且不能重复参加该活动．若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外3个人参和这项活动．假设每个人接受挑战和不接受挑战是等可能的，且互不影响．（Ⅰ）若某参和者接受挑战后，对其他3个人发出邀请，则这3个人中至少有2个人接受挑战的概率是多少？（Ⅱ）为了解冰桶挑战赛和受邀者的性别是否有关，某调查机构进行了随机抽样调查，调查得到如下22⨯列联表：根据表中数据，能否有90%的把握认为“冰桶挑战赛和受邀者的性别有关”？ ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++附：（19）（本小题满分12分）111ABC A B C -中，在直三棱柱13AB AC AA ===，2BC =，D 是BC 的中点，F 是1C C 上一点．（Ⅰ）当2CF =时，证明：1B F ⊥平面ADF ； （Ⅱ）若D B FD 1⊥，求三棱锥1B ADF -的体积． （20）(本小题满分12分)定圆M ：(22316x y +=，动圆N 过点F)3,0且和圆M 相切，记圆心N 的轨迹为E ．（Ⅰ）求轨迹E 的方程；（Ⅱ）设点A ，B ，C 在E 上运动，A 和B 关于原点对称，且AC CB =，当△ABC 的面积最小时，求直线AB 的方程．（21）（本小题满分12分）接受挑战 不接受挑战合计 男性 45 15 60 女性 25 15 40 合计70 30 100()20P K k ≥0.100 0.050 0.010 0.001 0k2.7063.8416.63510.828 ABCDFA 1B 1C 1已知函数()2mxf x x n=+ (),m n ∈R 在1x =处取到极值2. （Ⅰ）求()f x 的分析式；（Ⅱ）设函数()ln ag x x x =+，若对任意的[]11,1x ∈-，总存在[]21,e x ∈（e 为自然对数的底数），使得()()2172g x f x ≤+，求实数a 的取值范围.请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时请写清题号． （22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，以BD 为直径的O 和BC 交于点E ． （Ⅰ）求证：BC CE AD DB ⋅=⋅；（Ⅱ）若4BE =，点N 在线段BE 上移动，90ONF ∠=,NF 和O 相交于点F ，求NF 的最大值．（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系和参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C ：1,12x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）和曲线2C ：cos 3sin x a y θθ=⎧⎨=⎩，(θ为参数，0a >)．（Ⅰ）若曲线1C 和曲线2C 有一个公共点在x 轴上，求a 的值；（Ⅱ）当3a =时, 曲线1C 和曲线2C 交于A ，B 两点，求A ，B 两点的距离． （24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知定义在R 上的函数()||||f x x m x =-+，*m ∈N ，存在实数x 使()2f x <成立． （Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）若,1αβ≥，()()4f f αβ+=，求证：413αβ+≥． 2016年广州市普通高中毕业班模拟测试文科数学答案及评分参考评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法和本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答FC DAB EON有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分． 一．选择题（1）A （2）D （3）C （4）B （5）D （6）B （7）A （8）D（9）B（10）B（11）C（12）A二．填空题（13）(1,)-+∞ （14）3（15）2n（16）94三．解答题（17）解：（Ⅰ）由23cos cos 23sin sin 2cos B C B C A +=+，得()23cos 22cos B C A ++=． 即22cos 3cos 20A A +-=． 即(2cos 1)(cos 2)0A A -+=．解得1cos 2A =或cos 2A =-（舍去）． 因为0A <<π，所以A π=3．（Ⅱ）由13sin 5324S bc A bc ===20bc =． 因为5b =，所以4c =．由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 得212516220=212a =+-⨯⨯， 故21a =根据正弦定理2sin sin sin a b cR A B C ===， 得5sin sin sin sin 7b c B C A A a a =⨯=．（18）解：（Ⅰ）这3个人接受挑战分别记为,,A B C ，则,,A B C 分别表示这3个人不接受挑战．……1分这3个人参和该项活动的可能结果为：{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ．共有8种．其中，至少有2个人接受挑战的可能结果有：{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，共有4种．根据古典概型的概率公式，所求的概率为4182P ==． （Ⅱ）根据22⨯列联表，得到2K 的观测值为：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++=()21004515251560407030⨯-⨯⨯⨯⨯ 251.7914=≈． 因为1.79 2.706<，所以没有90%的把握认为“冰桶挑战赛和受邀者的性别有关”． 广东数学教师QQ 群：179818939。

广东省2016年适应性考试高三 理科数学 2016.3一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{430}A x x x =++≥，{21}xB x =<，则A B =（ ）A ．[3,1]--B ．(,3)[1,0)-∞-- C ．(,3)(1,0]-∞-- D ．(,0)-∞2．若(2)z a ai =-+为纯虚数，其中∈a R ，则=++aii a 17（ ） A ．i B ．1 C ．i - D ．1-3．设n S 为数列{}n a 的前n 项的和，且*3(1)()2n n S a n =-∈N ，则n a =（ ）A ．3(32)nn- B ．32n n + C ．3nD ．132n -⋅4． 执行如图的程序框图，如果输入的100N =，则输出的x =（ ） A ．0.95 B ．0.98 C ．0.99 D ．1.00 5．三角函数()sin(2)cos 26f x x x π=-+的振幅和最小正周期分别是（ ）A ．3,2πB ．3,πC ．2,2πD ．2,π6．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．12 B ．6 C ．4 D ．2n=n+1x=x+1n (n+1)x输出结束n<Nn=1,x=0是否开始输入N12217．设p 、q 是两个命题，若()p q ⌝∨是真命题，那么（ ） A ．p 是真命题且q 是假命题 B ．p 是真命题且q 是真命题 C ．p 是假命题且q 是真命题 D ．p 是假命题且q 是假命题8．从一个边长为2的等边三角形的中心、各边中点及三个顶点这7个点中任取两个点，则这两点间的距离小于1的概率是（ ） A ．71 B ．73 C ．74 D ．76 9．已知平面向量a 、b 满足||||1==a b ，(2)⊥-a a b ，则||+=a b （ ）A ．0B ．2C ．2D ．310．62)21(x x -的展开式中，常数项等于（ ） A ．45- B ．45 C ．1615- D ．161511．已知双曲线的顶点为椭圆1222=+y x 长轴的端点，且双曲线的离心率与椭圆的离心率的乘积等于1，则双曲线的方程是（ ）A ．122=-y x B ．122=-x y C ．222=-y x D ．222=-x y 12．如果定义在R 上的函数)(x f 满足：对于任意21x x ≠，都有)()(2211x f x x f x +)()(1221x f x x f x +>，则称)(x f 为“H 函数”．给出下列函数：①13++-=x x y ；②)c o s s in (23x x x y --=；③1+=x e y ；④()ln ||00x x f x x ≠⎧=⎨=⎩，其中“H 函数”的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．已知实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，若目标函数ay x z +=2仅在点)4,3(取得最小值，则a 的取值范围是 ．14．已知双曲线1163222=-py x 的左焦点在抛物线px y 22=的准线上，则=p ．15．已知数列}{n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，且对任意的∈n N *，均有n a ，n S ，2n a 成等差数列，则=n a ．16．已知函数)(x f 的定义域为R ，直线1=x 和2=x 是曲线)(x f y =的对称轴，且1)0(=f ，则=+)10()4(f f ．三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知顶点在单位圆上的ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且C b B c A a cos cos cos 2+=．（1）A cos 的值；（2）若422=+c b ，求ABC ∆的面积．18．（本小题满分12分）某单位共有10名员工，他们某年的收入如下表： 员工编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年薪（万元）33.5455.56.577.5850（1）求该单位员工当年年薪的平均值和中位数；（2）从该单位中任取2人，此2人中年薪收入高于5万的人数记为ξ，求ξ的分布列和期望； （3）已知员工年薪收入与工作年限成正线性相关关系，若某员工工作第一年至第四年的年薪分别为3万元、4.2万元、6.5万元、2.7万元，预测该员工第五年的年薪为多少？附：线性回归方程a x b yˆˆˆ+=中系数计算公式：21)())((ˆx x y y x xb i ni i i---=∑=，x b y aˆˆ-=， 其中x 、y 表示样本均值．19．（本小题满分12分）如图，在直二面角C AB E --中，四边形ABEF 是矩形，2=AB ，32=AF ，ABC ∆是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，点P 是线段BF 上的一点，3=PF ．（1）证明：⊥FB 面PAC ；（2）求异面直线PC 与AB 所成的角的余弦值．20．（本小题满分12分）已知抛物线C ：x y 42=，过其焦点F 作两条相互垂直且不平行于x 轴的直线，分别交抛物线C 于点1P ，2P 和点3P ，4P ，线段21P P ，43P P 的中点分别记为1M ，2M ．（1）求21M FM ∆面积的最小值； （2）求线段21M M 的中点P 满足的方程．21．（本小题满分12分）PCABEF设函数mx x x x f -+=ln 21)(2（0>m ）． （1）求)(x f 的单调区间； （2）求)(x f 的零点个数；（3）证明：曲线)(x f y =上没有经过原点的切线．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号．22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，BC 是半圆O 的直径，AD BC ⊥，垂足为D ，AB AF =，BF 与AD 、AO 分别交于点E 、G ．（1）证明：DAO FBC ∠=∠； （2）证明：AE BE =．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，过点(1,2)P -的直线l 的倾斜角为45．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos ρθθ=,直线l 和曲线C 的交点为点,A B ． （1）求直线l 的参数方程； （2）求PA PB ⋅的值．EFG COADB24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()5f x x a x =-+．（1）当1a =-时，求不等式()53f x x ≤+的解集； （2）若1x ≥-时有()0f x ≥，求a 的取值范围．2016年适应性测试理科数学答案及评分参考评分说明:1. 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.2. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4. 只给整数分数. 选择题不给中间分. 一．选择题（1）B （2）C （3）C （4）C （5）B （6）D （7）D （8）A （9）D （10）D （11）D （12）C二．填空题（13）2∞（-，-） （14）4（15）n（16）2三．解答题 （17）解：（Ⅰ）2cos cos cos a A c B b C =+，由正弦定理得：2sin cos sin cos sin cos A A C B B C ⋅=+2sin cos sin()sin A A B C A ⇒⋅=+=，又0A π<<sin 0A ⇒≠，12cos 1cos 2A A ∴=⇒=. （Ⅱ）由13cos sin 22A A =⇒=，由22sin 3sin a a A A=⇒==. 由余弦定理 2222cos a b c bc A =+-222431bc b c a ⇒=+-=-=.∴1133sin 2224==⋅=ABC S bc A △. （18）解：（Ⅰ）平均值为10万元，中位数为6万元.（Ⅱ）年薪高于5万的有6人，低于或等于5万的有4人；ξ取值为0，1，2.152)0(21024===C C P ξ，158)1(2101614===C C C P ξ，31)2(21026===C C P ξ， 所以ξ的分布列为………6分………12分………4分ξ0 1 2P152 158 31数学期望为5631215811520=⨯+⨯+⨯=ξE .（Ⅲ）设)4,3,2,1(,=i y x i i 分别表示工作年限及相应年薪，则5,5.2==y x ，5=2.25+0.25+0.25+2.25x 412=-∑）（x i41()() 1.520.50.80.50.6 1.5 2.27=--=-⨯+⨯+⨯+⨯=∑iii x x y y （-）（-）（-）()()()414217 1.45iii i i x x y y b x x∧==--===-∑∑ˆˆ5 1.4 2.5 1.5a y bx =-=-⨯=由线性回归方程： 1.4 1.5y x =+. 可预测该员工年后的年薪收入为8.5万元.（19）解：（Ⅰ）4FB =,3cos cos 2PFA BFA ∠=∠=，222cos 91223233/23,PA PF FA PF FA PFA =+-⋅⋅∠=+-⋅⋅⋅=2223912PA PF AF +=+==Q ，PA BF ∴⊥；又因为ABEF ABC ⊥平面平面，AB AC ⊥， AC ABEF ∴⊥平面，而BF ABEF ⊂平面..AC BF ∴⊥PA AC A =又I . BF PAC ∴⊥平面.（Ⅱ）过P 作//,//PM AB PN AF ，分别交,BE BA 于,M N 点，MPC ∠的补角为PC 与AB 所成的角.连接MC ，NC .………8分………6分………12分2222223/2,3/2,5/2,2 2.7,35/2.PN MB AN NC AN AC BC PC PN NC MC MB BC ====+===+==+=135733744cos .11427272MPC +--∠===-⋅⋅ 所以异面直线PC 与AB 所成的角的余弦值为3714. 向量法：（Ⅰ）以A 为原点，向量AB ，AC ，AF 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,23)F .224BF AB AF =+=，3PF =，33(,0,)22P ∴，(2,0,23)FB =-，(0,2,0)AC =，33(,0,)22AP =.0FB AC ⋅=，FB AC ∴⊥. 0FB AP ⋅=，FB AP ∴⊥.FB AC ⊥，FB AP ⊥，ACAP A =，FB APC ∴⊥平面.（Ⅱ）(2,0,0)AB =，33(,2,)22PC =--，记AB 与PC 夹角为θ，则337cos =1427AB PC AB PCθ⋅-==. （20）解：（Ⅰ）由题设条件得焦点坐标为(1,0)F ，设直线12P P 的方程为(1)y k x =-，0k ≠.联立2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，………6分………12分………12分消去y 并整理得22222(2)0k x k x k -++=. (*)(*)关于x 的一元二次方程的判别式22222[2(2)]416(1)0k k k k ∆=-+-=+>. 设111(,)P x y ，222(,)P x y ，则12,x x 是方程(*)的两个不等实根，经计算得21222(2)k x x k ++=．设111(,)M M M x y ，则1112122222(1)M M M x x k x k y k x k ⎧++==⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩． 类似地，设222(,)M M M x y ，则2222212211221M M kx k k y k k ⎧+⎪==+⎪⎪⎨⎪==-⎪⎪-⎩． 所以2222122222||(1)()1k FM k k k k+=-+=+， 22222||(2)(2)2||1FM k k k k =+-=+， 因此121211||||2(||)2||FM M S FM FM k k ∆=⋅=+． 因为1||2||k k +≥，所以124FM M S ∆≥， 当且仅当1||||k k =，即1k =±时，12FM M S ∆取到最小值4． （Ⅱ）设线段12M M 的中点(,)P x y ，由（1）得121222221121()(22)1221121()(2)22M M M M x x x k k k k y y y k k k k ⎧=+=++=++⎪⎪⎨⎪=+=-=-+⎪⎩，消去k 后得23y x =-．………8分∴线段12M M 的中点P 满足的方程为23y x =-．（21）解： （Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞，211()x mx f x x m x x-+'=+-=. 令()0f x '=，得210x mx -+=.（1）当240m ∆=-≤，即02m <≤时，()0f x '≥，所以()f x 在(0,)+∞内单调递增.（2）当240m ∆=->，即2m >时，由210x mx -+=解得2142m m x --=，2242m m x +-=，且120x x <<， 在区间1(0,)x 及2(,)x +∞内,()0f x '>，在12(,)x x 内，()0f x '<，所以，()f x 在区间1(0,)x 及2(,)x +∞内单调递增，在12(,)x x 内单调递减. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当02m <≤时，()f x 在(0,)+∞内单调递增，所以()f x 最多只有一个零点. 又因为1()(2)ln 2f x x x m x =-+，所以，当02x m <<且1x <时，()0f x <；当2x m >且1x >时，()0f x >，故()f x 有且仅有一个零点.当2m >时，因为()f x 在1(0,)x 及2(,)x +∞内单调递增，在12(,)x x 内单调递减，且22221144(4)()()ln 2222m m m m m m m f x ------=+- 222424ln 42m m m m m -+----=+ 而2222422044m m m m m -+---+-<<， 2244401242(4)m m m m --<=<=+-（2m >）， 1()0f x ∴<，由此知21()()0f x f x <<，又因为当2x m >且1x >时，()0f x >，………12分…4分故()f x 在(0,)+∞内有且仅有一个零点.综上所述，当0m >时，()f x 有且仅有一个零点. （Ⅲ）假设曲线()y f x =在点(,())x f x （0x >）处的切线经过原点， 则有()()f x f x x '=，即21ln 2x x mx x+-1x m x =+-， 化简得：21ln 102x x -+=（0x >）.（*） 记21()ln 12g x x x =-+（0x >），则211()x g x x x x -'=-=， 令()0g x '=，解得1x =.当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>， 所以3(1)2g =是()g x 的最小值，即当0x >时，213ln 122x x -+≥. 由此说明方程（*）无解，所以曲线()y f x =没有经过原点的切线. （22）解：（Ⅰ）连接FC ，OF ，,AB AF = OB OF =，∴点G 是BF 的中点，OG BF ⊥.因为BC 是O 的直径，所以CF BF ⊥.//OG CF ∴.AOB FCB ∴∠=∠，90,90DAO AOB FBC FCB ∴∠=︒-∠∠=︒-∠，.DAO FBC ∴∠=∠（Ⅱ）在Rt OAD △与Rt OBG △中，由（Ⅰ）知DAO GBO ∠=∠，又OA OB =，所以，OAD ≅△OBG △，于是OD OG =. AG OA OG OB OD BD ∴=-=-=.在Rt AGE △与Rt BDE △中，由于DAO FBC ∠=∠，AG BD =， 所以，AGE △≅BDE △，因此，AE BE =.（23）解：（Ⅰ）由条件知，直线l 的倾斜角45α=︒，2cos sin 2αα==. 设点(,)M x y 是直线l 上的任意一点，点P 到点M 的有向距离为t ，则………8分…12分………6分 ………10分212.222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩ （Ⅱ）曲线C 的直角坐标方程为22y x =,由此得222(2)2(1)22t t -+=+, 即 26240t t -+=.设12,t t 为此方程的两个根，因为l 和C 的交点为,A B ，所以12,t t 分别是点,A B 所对应的参数，由韦达定理得 P A P B ⋅=124t t =.（24）解：（Ⅰ）()|1|553f x x x x =+++≤可得|1|3x +≤，解得42x -≤≤. （Ⅱ）6,()4,x a x a f x x a x a-⎧=⎨+<⎩≥在R 上是单调递增的. 若()f x 适合题设条件，则()f x 的零点x 必须满足1x -≤.于是（1）由160a x x a -⎧⎨-=⎩≤≤，得6a -≤； （2）由140x a x x a <⎧⎪-⎨⎪+=⎩≤，得4a ≥.从而(][),64,∈-∞-+∞a .反之，(][),64,∀∈-∞-+∞a ，易计算此时()5f x x a x =-+满足题设条件.故满足题设条件的a 的取值范围是(][),64,-∞-+∞ ………5分 ………10分………4分 ………10分。