高中绝对值不等式(精华版)适合高三复习用可直接打印.doc

绝对值不等式（一） 绝对值不等式c b x a x c b x a x ≤-+-≥-+-绝对值的几何意义：a 的几何意义是：数轴上表示数轴上点a 到原点的距离；b a -的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b 两点的距离。

b a +的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b -的两点的距离。

x a x b -+-的几何意义是：数轴上表示点x 到,a b 的两点的距离和，故b a b x a x -≥-+- 利用图像和几何意义解c b x a x ≤-+-或c b x a x ≥-+-的解集。

分区间讨论：()()()⎪⎩⎪⎨⎧>--≤≤-<++-=-+-b x b a x b x a a b a x b a x b x a x 22c b ax ≤-的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c ≤+≤- II.当0＜c 时，不等式解集为：空集 c b ax ≥+的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c b ax -≤+≥+或 II.当0＜c 时，不等式解集为：全体实数解：由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(1－(－2)|＝3，所以只需a ≤3即可．若本题条件变为“∃x ∈R 使不等式|x ＋1|＋|x －2|<a 成立为假命题”，求a 的范围．解：由条件知其等价命题为对∀x ∈R ，|x ＋1|＋|x －2|≥a 恒成立，故a ≤(|x ＋1|＋|x －2|)min ，又|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，∴a ≤3.例2：不等式log3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解：由绝对值的几何意义知：|x －4|＋|x ＋5|≥9，则log 3(|x －4|＋|x ＋5|)≥2所以要使不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则需a <2.解：当x >1时，原不等式等价于2x <3⇒x <32，∴1<x <32；当－1≤x ≤1时，原不等式等价于x ＋1－x ＋1<3，此不等式恒成立，∴－1≤x ≤1；当x <－1时，原不等式等价于－2x <3⇒x >－32，∴－32<x <－1.综上可得：－32<x <32。

第1节绝对值不等式最新考纲 1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R)；2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≥a.知识梳理1.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集不等式a>0a＝0a<0|x|<a (－a，a)∅∅|x|>a (－∞，－a)∪(a，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)R(2)|ax＋b|≤c (c>0)和|ax＋b|≥c (c>0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c；(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.2.含有绝对值的不等式的性质(1)如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立.(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)若|x|＞c的解集为R，则c≤0.()(2)不等式|x－1|＋|x＋2|＜2的解集为∅.()(3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a＞b＞0时等号成立.()(4)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立.()(5)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立.()答案(1)×(2)√(3)×(4)×(5)√2.不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是()A.(－∞，4)B.(－∞，1)C.(1，4)D.(1，5)解析①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2，∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1.②当1<x<5时，原不等式可化为x－1－(5－x)<2，∴x<4，∴1<x<4，③当x≥5时，原不等式可化为x－1－(x－5)<2，该不等式不成立.综上，原不等式的解集为(－∞，4).答案 A3.(选修4－5P19习题T9改编)若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________.解析由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，∴|x＋1|＋|x－2|的最小值为3.要使原不等式有解，只需|a|≥3，则a≥3或a≤－3.答案(－∞，－3]∪[3，＋∞)4.若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________.解析∵|kx－4|≤2，∴－2≤kx－4≤2，∴2≤kx≤6.∵不等式的解集为{x |1≤x ≤3}，∴k ＝2. 答案 25.(2016·江苏卷)设a >0，|x －1|<a 3，|y －2|<a3，求证：|2x ＋y －4|<a . 证明 因为|x －1|<a 3，|y －2|<a 3， 所以|2x ＋y －4|＝|2(x －1)＋(y －2)| ≤2|x －1|＋|y －2|<2a 3＋a3＝a . 故原不等式得证.考点一 绝对值不等式的解法【例1－1】 (2016·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|. (1)在图中画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|>1的解集.解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤ 32，－x ＋4，x >32，故y ＝f (x )的图象如图所示.(2)由f (x )的解析式及图象知，当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5. 故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}；f (x )<－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <13，或x >5. 所以|f (x )|>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <13，或1<x <3，或x >5. 【例1－2】 (2017·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1，1]，求a 的取值范围. 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝－x 2＋x ＋4， f (x )≥g (x )⇔x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0. ①当x >1时，f (x )≥g (x )⇔x 2＋x －4≤0， 解之得1<x ≤17－12.②当－1≤x ≤1时，f (x )≥g (x )⇔(x －2)(x ＋1)≤0， 则－1≤x ≤1.③当x <－1时，f (x )≥g (x )⇔x 2－3x －4≤0，解得－1≤x ≤4， 又x <－1，∴不等式此时的解集为空集.综上所述，f (x )≥g (x )的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤17－12. (2)依题意得：－x 2＋ax ＋4≥2在[－1，1]上恒成立. 则x 2－ax －2≤0在[－1，1]上恒成立.则只需⎩⎨⎧12－a ·1－2≤0，（－1）2－a （－1）－2≤0，解之得－1≤a ≤1.故a 的取值范围是[－1，1].规律方法 1.本题利用分段函数的图形的几何直观性，求解不等式，体现了数形结合的思想.2.解绝对值不等式的关键是去绝对值符号，常用的零点分段法的一般步骤：求零点；划分区间，去绝对值符号；分段解不等式；求各段的并集.此外，还常用绝对值的几何意义，结合数轴直观求解. 【训练1】 已知函数f (x )＝|x －2|. (1)求不等式f (x )＋x 2－4>0的解集；(2)设g (x )＝－|x ＋7|＋3m ，若关于x 的不等式f (x )<g (x )的解集非空，求实数m 的取值范围.解 (1)不等式f (x )＋x 2－4>0，即|x －2|>4－x 2. 当x >2时，不等式可化为x 2＋x －6>0，解得x >2； 当x <2时，不等式可化为x 2－x －2>0，解得x <－1. 所以原不等式的解集为{x |x >2或x <－1}. (2)依题意，|x －2|<3m －|x ＋7|解集非空， ∴3m >|x －2|＋|x ＋7|在x ∈R 上有解， 又|x －2|＋|x ＋7|≥|(x －2)－(x ＋7)|＝9， 所以3m >9，解得m >3.故实数m 的取值范围是(3，＋∞). 考点二 绝对值不等式性质的应用【例2－1】 设不等式－2<|x －1|－|x ＋2|<0的解集为M ，a ，b ∈M . (1)证明：⎪⎪⎪⎪⎪⎪13a ＋16b <14； (2)比较|1－4ab |与2|a －b |的大小，并说明理由.(1)证明设f (x )＝|x －1|－|x ＋2|＝⎩⎨⎧3，x ≤－2，－2x －1，－2<x <1，－3，x >1.由－2<－2x －1<0，解得－12<x <12. 因此集合M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，则|a |<12，|b |<12.所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ≤13|a |＋16|b |<13×12＋16×12＝14.(2)解 由(1)得a 2<14，b 2<14. 因为|1－4ab |2－4|a －b |2＝(1－8ab ＋16a 2b 2)－4(a 2－2ab ＋b 2) ＝16a 2b 2－4a 2－4b 2＋1＝(4a 2－1)(4b 2－1)>0， 所以|1－4ab |2>4|a －b |2， 故|1－4ab |>2|a －b |.【例2－2】 对于任意的实数a (a ≠0)和b ，不等式|a ＋b |＋|a －b |≥M ·|a |恒成立，记实数M 的最大值是m . (1)求m 的值；(2)(一题多解)解不等式|x －1|＋|x －2|≤m . 解 (1)不等式|a ＋b |＋|a －b |≥M ·|a |恒成立，即M ≤|a ＋b |＋|a －b ||a |对于任意的实数a (a ≠0)和b 恒成立，只要左边恒小于或等于右边的最小值.因为|a ＋b |＋|a －b |≥|(a ＋b )＋(a －b )|＝2|a |， 当且仅当(a －b )(a ＋b )≥0时等号成立， 即|a |≥|b |时，|a ＋b |＋|a －b ||a |≥2成立，也就是|a ＋b |＋|a －b ||a |的最小值是2，所以M ≤2.因此m ＝2.(2)不等式|x －1|＋|x －2|≤m ，即|x －1|＋|x －2|≤2.法一 由于|x －1|＋|x －2|表示数轴上的x 对应点到1和2对应点的距离之和； 而数轴上12和52对应点到1和2对应点的距离之和正好等于2，故|x －1|＋|x －2|的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12≤x ≤52. 法二 ①当x <1时，不等式为－(x －1)－(x －2)≤2， 解得x ≥12，即12≤x <1.②当1≤x ≤2时，不等式为(x －1)－(x －2)≤2， 即1≤x ≤2.③当x >2时，不等式为(x －1)＋(x －2)≤2， 解得x ≤52，即2<x ≤52.综上可知，不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12≤x ≤52.规律方法 1.求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：(1)利用绝对值的几何意义；(2)利用绝对值三角不等式，即|a |＋|b |≥|a ±b |≥|a |－|b |；(3)利用零点分区间法.2.含绝对值不等式的证明中，要注意绝对值三角不等式的灵活应用.【训练2】 对于任意实数a ，b ，已知|a －b |≤1，|2a －1|≤1，且恒有|4a －3b ＋2|≤m ，求实数m 的取值范围.解 因为|a －b |≤1，|2a －1|≤1， 所以|3a －3b |≤3，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －12≤12，所以|4a －3b ＋2|＝|(3a －3b )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12＋52|≤|3a －3b |＋|a －12|＋52≤3＋12＋52＝6， 则|4a －3b ＋2|的最大值为6，所以m ≥|4a －3b ＋2|max ＝6，m 的取值范围是[6，＋∞). 考点三 绝对值不等式的综合应用【例3】 (2017·全国Ⅲ卷)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围.解(1)f (x )＝|x ＋1|－|x －2|＝⎩⎨⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1<x <2，3，x ≥2.①当x ≤－1时，f (x )＝－3≥1无解； ②当－1<x <2时，2x －1≥1， 解得x ≥1，则1≤x <2；③当x ≥2时，f (x )＝3≥1恒成立，∴x ≥2. 综上知f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}.(2)不等式f (x )≥x 2－x ＋m 等价于f (x )－x 2＋x ≥m ， 得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x 有解，又|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |－322＋54≤54.当且仅当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54. 故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，54. 规律方法 1.第(1)问分段讨论，求得符合题意的x 取值范围，最后取并集. 2.(1)不等式恒成立问题，解集非空(不能成立)问题，转化为最值问题解决. (2)本题分离参数m ，利用绝对值不等式的性质求解，避免分类讨论，优化了解题过程.【训练3】 (2016·全国Ⅲ卷)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a . (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求实数a 的取值范围. 解 (1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2. 解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}. (2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a ，当x ＝12时等号成立，所以当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3.① 当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解. 当a >1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2. 所以a 的取值范围是[2，＋∞).基础巩固题组 (建议用时：50分钟)1.(1)求不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集； (2)若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－53<x <13，求a 的值.解 (1)当x <－2时，不等式等价于－(x －1)－(x ＋2)≥5，解得x ≤－3； 当－2≤x <1时，不等式等价于－(x －1)＋(x ＋2)≥5，即3≥5，无解； 当x ≥1时，不等式等价于x －1＋x ＋2≥5，解得x ≥2. 综上，不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}. (2)∵|ax －2|<3，∴－1<ax <5.当a >0时，－1a <x <5a ，－1a ＝－53，且5a ＝13无解； 当a ＝0时，x ∈R ，与已知条件不符； 当a <0时，5a <x <－1a ，5a ＝－53，且－1a ＝13，解得a ＝－3.2.已知函数f (x )＝|ax －2|.(1)当a ＝2时，解不等式f (x )>x ＋1；(2)若关于x 的不等式f (x )＋f (－x )<1m 有实数解，求m 的取值范围.解 (1)当a ＝2时，不等式为|2x －2|>x ＋1，当x ≥1时，不等式化为2x －2>x ＋1，解得x >3.当x <1时，不等式化为2－2x >x ＋1，解得x <13.综上所述，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >3或x <13. (2)因为f (x )＋f (－x )＝|ax －2|＋|－ax －2| ≥|ax －2－ax －2|＝4， 所以f (x )＋f (－x )的最小值为4， 又f (x )＋f (－x )<1m 有实数解，所以1m >4.则m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14.3.(2015·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围. 解 (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解；当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1； 当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2. 所以f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪23<x <2. (2)由题设可得，f (x )＝⎩⎨⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a＋1，0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积S ＝12|AB |·(a ＋1)＝23(a ＋1)2. 由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2. 所以a 的取值范围为(2，＋∞).4.(2018·石家庄三模)在平面直角坐标系中，定义点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)之间的“直角距离”为L (P ，Q )＝|x 1－x 2|＋|y 1－y 2|，已知A (x ，1)，B (1，2)，C (5，2)三点. (1)若L (A ，B )>L (A ，C )，求x 的取值范围；(2)当x ∈R 时，不等式L (A ，B )≤t ＋L (A ，C )恒成立，求t 的最小值. 解 (1)由定义得|x －1|＋1>|x －5|＋1， 则|x －1|>|x －5|，两边平方得8x >24，解得x >3. 故x 的取值范围为(3，＋∞).(2)当x ∈R 时，不等式|x －1|≤|x －5|＋t 恒成立，也就是t ≥|x －1|－|x －5|恒成立， 因为|x －1|－|x －5|≤|(x －1)－(x －5)|＝4， 所以t ≥4，t min ＝4. 故t 的最小值为4.5.设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12x ＋1＋|x |(x ∈R )的最小值为a .(1)求a ；(2)已知两个正数m ，n 满足m 2＋n 2＝a ，求1m ＋1n 的最小值.解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－32x －1，x <－2，－12x ＋1，－2≤x ≤0，32x ＋1，x >0.当x ∈(－∞，0)时，f (x )单调递减；当x ∈[0，＋∞)时，f (x )单调递增；∴当x ＝0时，f (x )的最小值a ＝1.(2)由(1)知m 2＋n 2＝1，则m 2＋n 2≥2mn ，得1mn ≥2，由于m >0，n >0，则1m ＋1n ≥21mn ≥22，当且仅当m ＝n ＝22时取等号. ∴1m ＋1n 的最小值为2 2.能力提升题组(建议用时：30分钟)6.已知函数f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2.(1)解不等式：|g (x )|＜5；(2)若对任意的x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数a 的取值范围. 解 (1)由||x －1|＋2|＜5，得－5＜|x －1|＋2＜5，所以－7＜|x －1|＜3，解不等式得－2＜x ＜4，所以原不等式的解集是{x |－2＜x ＜4}.(2)因为对任意的x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，所以{y |y ＝f (x )}⊆{y |y ＝g (x )}，又f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|≥|2x －a －(2x ＋3)|＝|a ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2≥2， 所以|a ＋3|≥2，解得a ≥－1或a ≤－5，所以实数a 的取值范围是{a |a ≥－1或a ≤－5}.7.(2018·西安模拟)已知函数f (x )＝|x －2|，g (x )＝|x ＋1|－x .(1)解不等式f (x )>g (x )；(2)若存在实数x ，使不等式m －g (x )≥f (x )＋x (m ∈R )成立，求实数m 的最小值. 解 (1)原不等式f (x )>g (x )化为|x －2|＋x >|x ＋1|，当x <－1时，－(x －2)＋x >－(x ＋1)，解得x >－3，即－3<x <－1.当－1≤x ≤2时，－(x －2)＋x >x ＋1，解得x <1，即－1≤x <1.当x >2时，x －2＋x >x ＋1，解得x >3，即x >3.综上所述，不等式f (x )>g (x )的解集为{x |－3<x <1或x >3}.(2)由m －g (x )≥f (x )＋x (m ∈R )可得m ≥|x －2|＋|x ＋1|，由题意知m ≥(|x －2|＋|x ＋1|)min ，∵|x －2|＋|x ＋1|≥|x －2－(x ＋1)|＝3，∴m ≥3，故实数m 的最小值是3.8.(2018·郑州模拟)已知不等式|x －m |<|x |的解集为(1，＋∞).(1)求实数m 的值；(2)若不等式a －5x <⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋1x －⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－m x <a ＋2x对x ∈(0，＋∞)恒成立，求实数a 的取值范围.解 (1)由|x －m |<|x |，得|x －m |2<|x |2，即2mx >m 2，又不等式|x －m |<|x |的解集为(1，＋∞)，则1是方程2mx ＝m 2的解，解得m ＝2(m ＝0舍去).(2)∵m ＝2，∴不等式a －5x <⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋1x －⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－m x <a ＋2x 对x ∈(0，＋∞)恒成立等价于不等式a －5<|x ＋1|－|x －2|<a ＋2对x ∈(0，＋∞)恒成立.设f (x )＝|x ＋1|－|x －2|＝⎩⎨⎧2x －1，0<x <2，3，x ≥2，当0<x <2时，f (x )在(0，2)上是增函数，则－1<f (x )<3，当x ≥2时，f (x )＝3.因此函数f (x )的值域为(－1，3].从而原不等式等价于⎩⎨⎧a －5≤－1，a ＋2>3，解得1<a ≤4. 所以实数a 的取值范围是(1，4].。

第51课时：第六章 不等式——含绝对值的不等式课题：{含绝对值的不等式一．复习目标：1．理解含绝对值的不等式的性质，及其中等号成立的条件，能运用性质论证一些问题；2．会解一些简单的含绝对值的不等式．二．知识要点：1．含绝对值的不等式的性质：①||||||||||a b a b a b -≤+≤+，当 时，左边等号成立；当 0 ab ≥时，右边等号成立．②||||||||||a b a b a b -≤-≤+，当 时，左边等号成立；当 时，右边等号成立．③进而可得：||||||||||a b a b a b -≤±≤+．2．绝对值不等式的解法：①0a >时，|()|()()f x a f x a f x a >⇔><-或；|()|()f x a a f x a <⇔-<<；②去绝对值符号是解绝对值不等式的常用方法；③根据绝对值的几何意义，通过数形结合解绝对值不等式．三．课前预习：1．不等式|lg ||||lg |x x x x -<+的解集为 （ ）()A (0,)+∞ ()B (0,1) ()C (1,)+∞ ()D (1,10)2．不等式1|21|2x ≤-<的解集为 （ ）()A 13(,0)[1,)22- ()B 13{01}22x x -<<≤≤且 ()C 13(,0][1,)22- ()D 13{01}22x x -<≤≤<且 3．()f x 为R 上的增函数，()y f x =的图象过点(0,1)A -和下面哪一点时，能确定不等式|(1)|1f x -<的解集为{|14}x x << （ ）()A (3,1) ()B (4,1) ()C (3,0) ()D (4,0)4．已知集合{||1|}A x x a =-≤，{||3|4}B x x =->，且A B φ=，则a 的取值范围是 ．5．设有两个命题：①不等式|||1|x x m +->的解集是R ；②函数()(73)xf x m =--是减函数，如果这两个命题中有且只有一个是真命题，则实数m 的取值范围是 ．四．例题分析：例1．已知01x <<，01a <<，试比较|log (1)|a x -和|log (1)|a x +的大小．例2．求证：||||||1||1||1||a b a b a b a b +≤+++++．例3．设,,a b c R ∈，已知二次函数2()f x ax bx c =++，2()g x cx bx a =++，且当||1x ≤时，|()|2f x ≤，（1）求证：|(1)|2g ≤；（2）求证：||1x ≤时，|()|4g x ≤．例4．设m 等于||a 、||b 和1中最大的一个，当||x m >时，求证：2||2a b x x +<．五．课后作业：1．若,a b R ∈，且||||a c b -<，则 （ ） ()A ||||||a b c <+ ()B ||||||a b c >- ()C a b c <+ ()D a b c >-2．若0m >，则||x a m -<且||y a m -<是||2x y m -<的 （ ）()A 充分不必要条件 ()B 必要不充分条件 ()C 充要条件 ()D 既不充分也不必要条件3．已知函数()f x 、()g x ，设不等式|()||()|f x g x a +<(0)a >的解集是M ，不等式|()()|f x g x a +<(0)>的解集是N ，则集合M 、N 的关系是 （ ）()A N M ≠⊂ ()B M N = ()C M N ⊆ ()D M N ≠⊂4．不等式||22x x x x≥++的解集是 ． 5．不等式|4||3|x x a -+-<的解集不是空集，则a 的取值范围是 ．6．若实数,a b 满足0ab >，则①||||a b a +>；②||||a b b +<；③||||a b a b +<-；④||||a b a b +>-．这四个式子中，正确的是 ．7．解关于x 的不等式2||x a a -<（a R ∈）．8．解不等式：（1）2|1121|x x x -+>；（2）|3||21|12x x x +-->+． 9．设有关于x 的不等式lg(|3||7|)x x a ++->，（1）当1a =时，解这个不等式；（2）当a 为何值时，这个不等式的解集为R ．10．设二次函数2()f x ax bx c =++对一切[1,1]x ∈-，都有|()|1f x ≤， 求证：（1）||1a c +≤；（2）对一切[1,1]x ∈-，都有|2|4ax b +≤．。

⎨ ⎩ 含绝对值的不等式的解法一、 基本解法与思想解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。

（一）、公式法：即利用 x > a 与 x < a 的解集求解。

主要知识：1、绝对值的几何意义： x 是指数轴上点 x 到原点的距离； x 1 - x 2 两点间的距离.。

2、 x > a 与 x < a 型的不等式的解法。

是指数轴上 x 1 ， x 2 当a > 0 时，不等式 x > 的解集是{x x > a ,或x < -a}不等式 x < a 的解集是{x - a < x < a };当a < 0 时，不等式 x > a 的解集是{x x ∈ R }不等式 x < a 的解集是∅ ;3． ax + b > c 与 ax + b < c 型的不等式的解法。

把 ax + b 看作一个整体时，可化为 x < a 与 x > a 型的不等式来求解。

当c > 0 时，不等式 ax + b > c 的解集是{x ax + b > c ,或ax + b < -c}不等式 ax + b < c 的解集是{x - c < ax + b < c };当c < 0 时，不等式 ax + b > c 的解集是{x x ∈ R }不等式 a + bx < c 的解集是∅ ;例 1 解不等式 x - 2 < 3分析:这类题可直接利用上面的公式求解，这种解法还运用了整体思想，如把“ x - 2 ” 看着一个整体。

答案为{x - 1 < x < 5}。

(解略)⎧a (a > 0), （二）、定义法:即利用 a = ⎪0(a = 0), ⎪-a (a < 0). 去掉绝对值再解。

绝对值不等式绝对值不等式|a b^|a| |b|, |a - b卜|a | |b |基本的绝对值不等式：||a|-|b|| < |a ± b| < |a|+|b|y=|x-3|+|x+2| > |(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5所以函数的最小值是5,没有最大值|y|=||x-3卜|x+2|| < |(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5由|y| < 5 得-5 < y < 5即函数的最小值是-5 ,最大值是5也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2| 表示x到3, -2这两点的距离之和，显然当-2 < x < 3时，距离之和最小，最小值是5;而|x-3|-|x+2| 表示x到3, -2这两点的距离之差，当x< -2时，取最小值-5 ,当x> 3时，取最大值5［变题1 ］解下列不等式：(1)| x+1|>2 - x ；(2)| x2- 2x -6|<3 x ［思路］利用丨f(x) | <g(x) = -g(x)vf(x)vg(x) 和丨f(x)丨>g(x) = f(x)>g(x) 或f(x)v-g(x) 去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理。

解：⑴原不等式等价于X+1>2—x或x+1<—(2 - x)1 1解得或无解，所以原不等式的解集是{ x | x>^}⑵原不等式等价于—3 X< X2—2x —6<3 X即『X2-2x-6>-3x (x2+ x-6>0 ”(x + 3)(x-2) > 0 xv-3 或x>2 { => { => 二*[x2-2x-6^3x l x2-5x-67 l(x + 1)(x-6) v 0 k-V： 62< X<6所以原不等式的解集是{ X|2< X<6}2 2I 3x I1 .解不等式(1 )1 x-x 2-2 | >X2-3X-4 ; (2) x2：4 <1解：(1)分析一可按解不等式的方法来解.原不等式等价于：x-x 2-2>x 2-3X-4①或x-x 2-2<-(x 2-3X-4)②解①得：1- - 2 v X<1+ 2解②得：x>-3故原不等式解集为{ x | x>-3 }分析二Tl x-x 2-2 | = | x2-x+2 |17而 x -x+2 = (x-) + . >04 4所以| x-x 2-2 |中的绝对值符号可直接去掉 .故原不等式等价于 x 2-x+2>x 2-3X -4 解得：x>-3•••原不等式解集为{ x>-3 }3x(2)分析不等式可转化为-1 w 二 < 1求解，但过x - 4程较繁，由于不等式| x^X 4 w 1两边均为正，所以可平方后 求解.二 9x 2w (x 2-4) 2 (x 工土 2)=x 4-17x 2+16> 0二 x 2w 1 或 x 2> 16 =-1 w x w 1 或 x > 4 或 x w -4注意：在解绝对值不等式时，若I f(x) |中的f(x)的值 的范围可确定(包括恒正或恒非负，恒负或恒非正 )，就可直 接去掉绝对值符号，从而简化解题过程 .第2变含两个绝对值的不等式［变题 2］解不等式(1) | x - 1|<| x + a | ; (2) | x-2 | +I x+3 I >5.［思路］(1 )题由于两边均为非负数，因此可以利用丨 f(x) I 〈| g(x) |= f 2(x) 〈 g 2(x)两边平方去掉绝对值符号。

绝对值不等式绝对值不等式||||||a b a b +≤+，||||||a b a b -≤+ 基本的绝对值不等式：||a|-|b||≤|a ±b|≤|a|+|b| ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝y=|x-3|+|x+2|≥|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 所以函数的最小值是5，没有最大值＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝|y|=||x-3|-|x+2||≤|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 由|y|≤5得-5≤y ≤5即函数的最小值是-5，最大值是5＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之和，显然当-2≤x ≤3时，距离之和最小，最小值是5；而|x-3|-|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之差，当x ≤-2时，取最小值-5，当x ≥3时，取最大值5［变题1］解下列不等式：(1)|x +1|>2－x ；(2)|2x －2x －6|<3x［思路］利用｜f(x)｜<g(x) ⇔-g(x)<f(x)<g(x)和｜f(x)｜>g(x) ⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理。

解：(1)原不等式等价于x +1>2－x 或x +1<－(2－x )解得x >12或无解，所以原不等式的解集是{x |x >12} (2)原不等式等价于－3x <2x －2x －6<3x 即222226360(3)(2)032(1)(6)016263560x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎧⎧-->-+->+-><->⎧⎧⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨⎨⎨+-<-<<--<--<⎪⎪⎩⎩⎩⎩或2<x <6所以原不等式的解集是{x |2<x <6}1．解不等式（1）｜x-x 2-2｜>x 2-3x-4；（2）234x x -≤1解：（1）分析一 可按解不等式的方法来解.原不等式等价于：x-x 2-2>x 2-3x-4 ①或x-x 2-2<-(x 2-3x-4) ②解①得：1-2<x<1+2解②得：x>-3故原不等式解集为｛x ｜x>-3｝分析二 ∵｜x-x 2-2｜＝｜x 2-x+2｜而x 2-x+2＝(x-14)2+74>0 所以｜x-x 2-2｜中的绝对值符号可直接去掉.故原不等式等价于x 2-x+2>x 2-3x-4解得：x>-3∴ 原不等式解集为｛x>-3｝（2）分析 不等式可转化为-1≤234x x -≤1求解，但过程较繁，由于不等式234x x -≤1两边均为正，所以可平方后求解. 原不等式等价于2234x x -≤1⇒9x 2≤(x 2-4)2 (x ≠±2) ⇒x 4-17x 2+16≥0⇒x 2≤1或x 2≥16⇒-1≤x ≤1或x ≥4或x ≤-4注意：在解绝对值不等式时，若｜f(x)｜中的f(x)的值的范围可确定(包括恒正或恒非负，恒负或恒非正)，就可直接去掉绝对值符号，从而简化解题过程. 第2变 含两个绝对值的不等式［变题2］解不等式（1）|x －1|<|x +a |；（2）｜x-2｜+｜x+3｜>5.［思路］（1）题由于两边均为非负数，因此可以利用｜f(x)｜〈｜g(x)｜⇒f 2(x)〈g 2(x)两边平方去掉绝对值符号。

绝对值不等式绝对值不等式||||||a b a b +≤+，||||||a b a b -≤+ 基本的绝对值不等式：||a|-|b||≤|a ±b|≤|a|+|b| ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝y=|x-3|+|x+2|≥|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 所以函数的最小值是5，没有最大值＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝|y|=||x-3|-|x+2||≤|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 由|y|≤5得-5≤y ≤5即函数的最小值是-5，最大值是5＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之和，显然当-2≤x ≤3时，距离之和最小，最小值是5；而|x-3|-|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之差，当x ≤-2时，取最小值-5，当x ≥3时，取最大值5［变题1］解下列不等式：(1)|x +1|>2－x ；(2)|2x －2x －6|<3x［思路］利用｜f(x)｜<g(x) ⇔-g(x)<f(x)<g(x)和｜f(x)｜>g(x) ⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理。

解：(1)原不等式等价于x +1>2－x 或x +1<－(2－x )解得x >12或无解，所以原不等式的解集是{x |x >12} (2)原不等式等价于－3x <2x －2x －6<3x 即222226360(3)(2)032(1)(6)016263560x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎧⎧-->-+->+-><->⎧⎧⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨⎨⎨+-<-<<--<--<⎪⎪⎩⎩⎩⎩或2<x <6所以原不等式的解集是{x |2<x <6}1．解不等式（1）｜x-x 2-2｜>x 2-3x-4；（2）234x x -≤1解：（1）分析一 可按解不等式的方法来解.原不等式等价于：x-x 2-2>x 2-3x-4 ①或x-x 2-2<-(x 2-3x-4) ②解①得：1-2<x<1+2解②得：x>-3故原不等式解集为｛x ｜x>-3｝分析二 ∵｜x-x 2-2｜＝｜x 2-x+2｜而x 2-x+2＝(x-14)2+74>0 所以｜x-x 2-2｜中的绝对值符号可直接去掉.故原不等式等价于x 2-x+2>x 2-3x-4解得：x>-3∴ 原不等式解集为｛x>-3｝（2）分析 不等式可转化为-1≤234x x -≤1求解，但过程较繁，由于不等式234x x -≤1两边均为正，所以可平方后求解. 原不等式等价于2234x x -≤1⇒9x 2≤(x 2-4)2 (x ≠±2) ⇒x 4-17x 2+16≥0⇒x 2≤1或x 2≥16⇒-1≤x ≤1或x ≥4或x ≤-4注意：在解绝对值不等式时，若｜f(x)｜中的f(x)的值的范围可确定(包括恒正或恒非负，恒负或恒非正)，就可直接去掉绝对值符号，从而简化解题过程. 第2变 含两个绝对值的不等式［变题2］解不等式（1）|x －1|<|x +a |；（2）｜x-2｜+｜x+3｜>5.［思路］（1）题由于两边均为非负数，因此可以利用｜f(x)｜〈｜g(x)｜⇒f 2(x)〈g 2(x)两边平方去掉绝对值符号。