联立方程组求椭圆的切线方程

㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１４６㊀关于椭圆切割线轨迹方程的几道题目关于椭圆切割线轨迹方程的几道题目Һ杨光照㊀（陕西省兴平市南位中学，陕西㊀咸阳㊀７１２０００）㊀㊀ʌ摘要ɔ本文试图通过几道题目探求有关椭圆切割线的几何特性，证明过程 大胆猜想，小心求证 ，将抽象的椭圆方程和形象的几何图形联系起来，利于对椭圆几何特性的进一步探索，也有利于解析几何的教授和理解．后面延伸了一道费马大定理三阶题目的证明，采用了微分的思想，强调了抽象思维在求解数学问题中的重要作用．ʌ关键词ɔ椭圆；切割线；轨迹方程；解析几何；费马大定理１．关于椭圆两条互相垂直切线轨迹的论证．已知椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０），由椭圆外任意一点Ｑ引椭圆的两条切线，若两条切线互相垂直，求Ｑ点的轨迹．证法１：由满足题设条件的四点Ａ（ａ，ｂ），Ｂ（－ａ，ｂ），Ｃ（－ａ，－ｂ），Ｄ（ａ，－ｂ）共圆，猜想Ｑ点的轨迹为ｘ２＋ｙ２＝ａ２＋ｂ２．原命题转化为从ｘ２＋ｙ２＝ａ２＋ｂ２上任意一点向椭圆引两条切线，若切线垂直，则得证．设ｘ２＋ｙ２＝ａ２＋ｂ２上任意一点Ｍ的坐标为（ｒｃｏｓθ，ｒｓｉｎθ），ｒ＝ａ２＋ｂ２，θ为参数．由Ｍ点向椭圆引一条切线，则切线方程为ｙ－ｒｓｉｎθ＝ｋ（ｘ－ｒｃｏｓθ），得出ｙ＝ｋ（ｘ－ｒｃｏｓθ）＋ｒｓｉｎθ．代入椭圆方程，整理成关于ｘ的一元二次方程，得（ｂ２＋ａ２ｋ２）ｘ２＋２ａ２ｋｒ（ｓｉｎθ－ｋｃｏｓθ）ｘ＋ａ２ｒ２（ｋ２ｃｏｓ２θ＋ｓｉｎ２θ）－ａ２ｒ２ｋｓｉｎ２θ－ａ２ｂ２＝０，由Δ＝０得出关于ｋ的一元二次方程，整理得（ａ２ｓｉｎ２θ－ｂ２ｃｏｓ２θ）ｋ２＋（ａ２＋ｂ２）ｓｉｎ２θｋ＋ｂ２ｃｏｓ２θ－ａ２ｓｉｎ２θ＝０．ȵｋ１㊃ｋ２＝ｂ２ｃｏｓ２θ－ａ２ｓｉｎ２θａ２ｓｉｎ２θ－ｂ２ｃｏｓ２θ＝－１，ʑ两条切线垂直，即证．证法２：由Ｈ（ｍ，ｎ）向椭圆引两条切线，两切点分别为Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），则切线方程为ｘ１ｘａ２＋ｙ１ｙｂ２＝１，①㊀ｘ２ｘａ２＋ｙ２ｙｂ２＝１．②由①②式，知ｂ４㊃ｘ１ｘ２ａ４㊃ｙ１ｙ２＝－１，③（斜率乘积＝－１），即ｂ４㊃ｘ１ｘ２＋ａ４㊃ｙ１ｙ２＝０．过这两点的割线方程为ｍｘ１ａ２＋ｎｙ１ｂ２＝１，ｍｘ２ａ２＋ｎｙ２ｂ２＝１，即ｍｘａ２＋ｎｙｂ２＝１．④已知椭圆方程为ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１，⑤由④式得ｙ＝－ｍｂ２ｎａ２ｘ＋ｂ２ｎ，代入⑤，整理成关于ｘ的一元二次方程．可推出ｘ１㊃ｘ２＝ａ４ｂ４－ａ４ｂ２ｎ２ｍ２ｂ４＋ａ２ｂ２ｎ２，同理将ｘ＝－ｎａ２ｍｂ２ｙ＋ａ２ｍ代入⑤，整理得ｙ１㊃ｙ２＝ａ４ｂ４－ａ２ｂ４ｍ２ｎ２ａ４＋ａ２ｂ２ｍ２．把ｘ１㊃ｘ２，ｙ１㊃ｙ２得出的值代入③式，整理得ｍ２＋ｎ２＝ａ２ｂ２，得证．２．已知椭圆ｂ２ｘ２＋ａ２ｙ２＝ａ２㊃ｂ２，一条直线ｌｘ＋ｍｙ＋ｎ＝０和椭圆相交，交点为Ｅ，Ｆ，求证：ＥＯ线段，ＯＦ线段所构成的轨迹方程为ｂ２ｘ２＋ａ２ｙ２＝ａ２㊃ｂ２㊃ｌｘ＋ｍｙｍｎ()２．证明：㊀设ＥＯ线段ｙ＝ｋ１ｘ，ＯＦ线段ｙ＝ｋ２ｘ．则ＥＯ线段，ＯＦ线段的轨迹方程为（ｙ－ｋ１ｘ）㊃（ｙ－ｋ２ｘ）＝ｙ２－（ｋ１＋ｋ２）ｘｙ＋ｋ１ｋ２ｘ２＝０．设Ｅ（ｘ１，ｋ１ｘ１），Ｆ（ｘ２，ｋ２ｘ２）．把Ｅ代入ｌｘ＋ｍｙ＋ｎ＝０，求出ｋ１＝－ｌｘ１＋ｎｍｘ１．同理，Ｆ代入直线，得ｋ２＝－ｌｘ２＋ｎｍｘ２，ｋ１㊃ｋ２＝ｌ２ｘ１ｘ２＋ｎｌ（ｘ１＋ｘ２）＋ｎ２ｍ２ｘ１ｘ２，ｋ１＋ｋ２＝－２ｌｍｘ１ｘ２＋ｎｍ（ｘ１＋ｘ２）ｍ２ｘ１ｘ２éëêêùûúú．把ｌｘ＋ｍｙ＋ｎ＝０整理成ｙ＝－ｌｘ＋ｎｍ，代入椭圆方程，得ｘ１ｘ２＝ａ２ｎ２－ａ２ｂ２ｍ２ｂ２＋ａ２ｌ２，ｘ１＋ｘ２＝－２ａ２ｎｌｍ２ｂ２＋ａ２ｌ２．则可求出ｋ１㊃ｋ２＝ｂ２ｎ２ｍ２－ａ２ｂ２ｌ２ａ２ｎ２ｍ２－ａ２ｂ２ｍ２，ｋ１＋ｋ２＝２ａ２ｂ２ｍｌａ２ｎ２ｍ２－ａ２ｂ２ｍ２，再代入ｙ２－ｋ１＋ｋ２()ｘｙ＋ｋ１ｋ２ｘ２＝０，得ｂ２ｘ２＋ａ２ｙ２＝ａ２ｂ２㊃ｌｘ＋ｍｙｍｎ()２．则轨迹得证．３．关于ｎ３＋ｋ３，即ｎ＋ｋ－（ｘ＋１）＜３ｎ３＋ｋ３＜ｎ＋ｋ－ｘ的论证．考查曲线ｙ＝（ｎ＋ｋ－ｘ）３（ｎȡｋ＞０，ｎ，ｋ，ｘ都是正整数）．取ｘ０ɪｘ，使得ｎ＋ｋ－ｘ０是３ｎ３＋ｋ３所有上限正整数集合中的最小正整数，则有ｎ＋ｋ－ｘ０＋１()[]３ɤｎ３＋ｋ３＜（ｎ＋ｋ－ｘ０）３（ｘ０＜ｋ）．不妨设ｎ３＋ｋ３＝ｎ＋ｋ－（ｘ０＋Δｘ）[]３，则１ȡΔｘ＞０，即０＜Δｘ＜１或Δｘ＝１．若Δｘ＝１，则有ｎ３＋ｋ３＝ｎ＋ｋ－（ｘ０＋Δｘ）[]３＝［ｎ＋ｋ－（ｘ０＋１）］３．因为ｘɤｋ－１，即ｘ＋１ɤｋ，ｎ３＋ｋ３ȡｎ３，故ｋ３ȡ０，则ｋȡ０，与ｋʂ０矛盾．若０＜Δｘ＜１，则ｘ＜ｘ＋Δｘ＜ｘ＋１．故ｎ＋ｋ－（ｘ＋１）[]３＜ｎ＋ｋ－ｘ＋Δｘ()[]３＜ｎ＋ｋ－ｘ()３，故原㊀㊀㊀解题技巧与方法１４７㊀㊀式得证．４．关于三角形内切圆㊁外接圆㊁旁切圆关系的论证．（１）已知әＡＢＣ的内切圆半径为ｒ，外接圆半径为Ｒ，则有Ｒȡ２ｒ，当且仅当Ａ＝Ｂ＝Ｃ＝６０ʎ时，Ｒ＝２ｒ．证明㊀ｒ＝Ｓ－ａ()ｔａｎＡ２＝ａ＋ｂ＋ｃ２－ａ()ｔａｎＡ２＝ｂ＋ｃ－ａ２㊃ｔａｎＡ２＝２ＲｓｉｎＢ＋２ＲｓｉｎＣ－２ＲｓｉｎＡ２㊃ｔａｎＡ２＝ＲｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ－ｓｉｎＡ()ｔａｎＡ２＝Ｒ２ｓｉｎＢ＋Ｃ２ｃｏｓＢ－Ｃ２－ｓｉｎＡ()ｔａｎＡ２＝Ｒ２ｃｏｓＡ２ｃｏｓＢ－Ｃ２－ｓｉｎＡ()ｔａｎＡ２ɤＲ２ｃｏｓＡ２－２ｓｉｎＡ２ｃｏｓＡ２()ｔａｎＡ２＝２ＲｃｏｓＡ２１－ｓｉｎＡ２()ｔａｎＡ２＝２ＲｓｉｎＡ２１－ｓｉｎＡ２()ɤ２ＲｓｉｎＡ２＋１－ｓｉｎＡ２()２éëêêêùûúúú２＝１２Ｒ，取等号的条件为Ａ＝Ｂ＝Ｃ＝６０ʎ，得证．（２）已知әＡＢＣ的内切圆半径为ｒ，外接圆半径为Ｒ，ＢＣ边上的旁切圆半径为ｒａ，若øＡȡøＢȡøＣ，则有ｒａȡ３２Ｒȡ３ｒ，当且仅当Ａ＝Ｂ＝Ｃ时，等号成立．证明㊀设ＢＣ边上的旁切圆的圆心为Ｏ３，与边ＢＣ的切点为Ｈ，则有ＳәＢＯ３Ｃ＝２ＲｓｉｎＡ()２ｓｉｎπ－Ｂ２()ｓｉｎπ－Ｃ２()２ｓｉｎπ－Ｂ＋Ｃ２()＝２Ｒ２ｓｉｎ２ＡｃｏｓＢ２ｃｏｓＣ２ｃｏｓＡ２，①ＳәＢＯ３Ｃ＝１２ＢＣ㊃Ｏ３Ｈ＝１２㊃２ＲｓｉｎＡ㊃ｒａ＝ＲｓｉｎＡ㊃ｒａ．②①②联立，则有ｒａ＝２ＲｓｉｎＡｃｏｓＢ２ｃｏｓＣ２ｃｏｓＡ２＝４ＲｓｉｎＡ２ｃｏｓＢ２ｃｏｓＣ２＝２ｓｉｎＡ２ｃｏｓＢ２()２ＲｃｏｓＣ２＝ｓｉｎＡ＋Ｂ２＋ｓｉｎＡ－Ｂ２()２ＲｃｏｓＣ２＝ｃｏｓＣ２＋ｓｉｎＡ－Ｂ２()２ＲｃｏｓＣ２＝２Ｒｃｏｓ２Ｃ２＋２ＲｃｏｓＣ２ｓｉｎＡ－Ｂ２ȡ２Ｒｃｏｓ２Ｃ２．ȵøＣɤ６０ʎ，ｃｏｓＣ２ȡ３２，ʑｒａȡ２Ｒｃｏｓ２Ｃ２ȡ３２Ｒȡ３ｒ，当且仅当Ａ＝Ｂ＝Ｃ时，等号成立．（３）已知әＡＢＣ的内切圆半径为ｒ，外接圆半径为Ｒ，ＢＣ边上的旁切圆半径为ｒａ，若øＡɤøＢɤøＣ，则有３ｒɤｒａɤ３２Ｒ，当且仅当Ａ＝Ｂ＝Ｃ时，等号成立．证明㊀ｒａ＝４ＲｓｉｎＡ２ｃｏｓＢ２ｃｏｓＣ２＝２ＲｓｉｎＡ２２ｃｏｓＢ２ｃｏｓＣ２()＝２ＲｓｉｎＡ２ｃｏｓＢ＋Ｃ２＋ｃｏｓＢ－Ｃ２()＝２ＲｓｉｎＡ２ｓｉｎＡ２＋ｃｏｓＢ－Ｃ２()＝２Ｒｓｉｎ２Ａ２＋２ＲｓｉｎＡ２ｃｏｓＢ－Ｃ２．ȵøＡɤ６０ʎ，ｓｉｎＡ２ɤ１２且ｃｏｓＢ－Ｃ２ɤ１，ʑｒａɤＲ２＋Ｒ＝３２Ｒ．又ȵｒｒａ＝ｃｏｓＢ－Ｃ２－ｃｏｓＢ＋Ｃ２ｃｏｓＢ－Ｃ２＋ｃｏｓＢ＋Ｃ２ɤ１－ｃｏｓＢ＋Ｃ２１＋ｃｏｓＢ＋Ｃ２＝１－２ｃｏｓＢ＋Ｃ２１＋ｃｏｓＢ＋Ｃ２＝１－２１ｃｏｓＢ＋Ｃ２＋１ɤ１－２１１２＋１＝１３，ʑ３ｒɤｒａɤ３２Ｒ，当且仅当Ａ＝Ｂ＝Ｃ时，等号成立．ʌ参考文献ɔ［１］玉云化．椭圆㊁双曲线与相关圆生成的轨迹方程［Ｊ］．数学通讯：教师阅读，２０１２（０１）：３７－４０．［２］饶志明．与椭圆切线相关的定值定点定直线问题［Ｊ］．中学数学教学参考：上旬，２０１６（１５）：３１－３２．［３］许少华．椭圆标准方程的求法［Ｊ］．数理天地：高中版，２０１１（０６）：１４－１５．。

椭圆问题（其实也包括其它圆锥曲线问题）分为⼩题和⼩题两部分，其中⼩题⼩般都注重定义、性质的应⼩，特点是灵活⼩轻巧，计算量不会很⼩，在解题中要结合条件的特殊性灵活运⼩圆锥曲线的常⼩性质和结论.已知是椭圆上⼩动点，为其左、右焦点，⼩轴端点为，短轴端点为，椭圆的离⼩率为下⼩是解⼩题时的⼩些辅助性质和结论：特征三⻆形；；焦半径；焦点弦⼩，通径端点坐标；若AB为过右焦点的弦，则的周⼩为定值；焦点三⻆形：①的周⼩为定值；②最⼩时，为椭圆的短轴端点；③的⼩积为；④内切圆与切于M，则|PM|为定值，且内切圆半径；⑤设的内⼩为，与轴交于M，则；7.点处的切线：①的⼩程为：；②的内⻆平分线与点P处的切线垂直，且切线平分的外⻆；（这是椭圆的光学性质：光线从椭圆的⼩个焦点射⼩，被椭圆反射后从另⼩焦点射出）8.当点P不是椭圆的左、右端点时，；当点P不是椭圆的上、下端点时，.⼩与⼩题的轻巧不同的是，⼩题的出现往往是带有⼩定计算量的，特点是“易想难算”，所以解答⼩题⼩定要有“坚定的信念”、“顽强的意志”以及“百折不挠的精神”⼩般来说，⼩题常以轨迹、定点、定值、最值等形式出现，我们现在以同⼩个椭圆为例，来看看各种不同的问法.已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，上、下顶点分别为.轨迹问题（定义法、相关点法、参数法）已知P为椭圆E上的任意⼩点，为的内切圆圆⼩，求动点的轨迹⼩程.【分析】在正常情况下会怎样思考呢？为内⻆平分线的交点，如果能⼩到性质：的平分线垂直于切线，这很好，可是其它两个内⻆的平分线怎么办？总不能⼩⼩倍⻆公式解⼩次⼩程吧？别忘了刚才给出的性质中有⼩条：的内切圆半径！【解析】设在y轴上⼩，并设点，则点P处的切线为：①⼩的内切圆半径，故②联⼩①②可得，代⼩⼩程可得：.当点P在y轴下⼩时，点的轨迹⼩程为综上，动点的轨迹⼩程为.【归纳总结】（1）刚才的解答中，真正起到简化作⼩的是⼩程②，从的⻆度⼩⼩简化了计算量，起到“化繁为简”的作⼩，所以熟知常⼩性质和结论不仅对解⼩题有益，对解⼩题也⼩样能体现其优势；（2）⼩般结论：设P为椭圆上的动点，则内切圆圆⼩的轨迹⼩程为：.【证明】：设点，因为过P的切线为，从⼩①当点P在y轴上⼩时，的内切圆半径，所以②联⼩①②可得，代⼩⼩程可得：，即此时点轨迹⼩程为.当点P在y轴下⼩时，点轨迹⼩程为.综上，点轨迹⼩程为.例2.已知是椭圆的两条切线，且，垂⼩为P，求动点P的轨迹.【解析】解⼩：(1)当点在轴上时，由对称性知为等腰直⻆三⻆形，切线斜率分别为-1,1．设（t,0），则⼩程为，联⼩⼩程得，由判别式=0，解得。

椭圆中的定点定值问题1．已知椭圆C：22221x ya b+=（0a b>>）的右焦点为F（1，0），且（1-，22）在椭圆C上。

（1）求椭圆的标准方程；（2）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A、B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得716QA QB⋅=-恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

解：（1）由题意知c=1．由椭圆定义得22222(11)()22a=--++，即2a= --3分∴2211b=-=，∴椭圆C 方程为2212xy+=．（2）假设在x轴上存在点Q（m，0），使得716QA QB⋅=-恒成立。

当直线l的斜率不存在时，A （1，22），B（1，22-），由于（521,42-）·（521,42--）=716-，所以54m=，下面证明54m=时，716QA QB⋅=-恒成立。

当直线l的斜率为0时，A（2，0）B（2-，0）则（524-，0）•（524--，0）=716-，符合题意。

当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x=ty+1，A()11,x y，B()22,x y，由x=ty+1及2212xy+=得22(2)210t y ty++-=有0∆>∴12122221,22ty y y yt t+=-=-++；111x ty=+，221x ty=+∴112212125511(,)(,)()()4444x y x y ty ty y y-⋅-=--+=2(1)t+121211()416y y t y y-++=22222211212217(1)242162(2)1616t t tt tt t t--+-++⋅+=+=-+++，综上所述：在x轴上存在点Q（54，0）使得716QA QB⋅=-恒成立。

2．如图，中心在坐标原点，焦点分别在x轴和y轴上的椭圆1T，2T都过点(0,2)M-，且椭圆1T与2T的离心率均为22．（Ⅰ）求椭圆1T与椭圆2T的标准方程；（Ⅱ）过点M引两条斜率分别为,k k'的直线分别交1T，2T于点P，Q，当4k k'=时，问直线PQ是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．解：（Ⅰ）22221,1422x y yx+=+=；（Ⅱ）直线MP的方程为2y kx=-，联立椭圆方程得：221422x yy kx⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y得22(21)420k x kx+-=，则42Pkx=，则点P的坐标为242222:(,)k kP-，同理可得点Q的坐标为：222222:(,)k kQ''-，又4k k'=，则点Q为：22242822(,)8181k kk k-++，22222282222218121242428121PQk kk kkkk kk k---++==--++，则直线PQ的方程为：2222142()2k ky xk--=--，即222222142()21221k ky xk k k--=--++,化简得122y xk=-+，即当0x=时，2y=，故直线PQ过定点(0,2)．3．已知，椭圆C过点A，两个焦点为（﹣1，0），（1，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．解：（1）由题意，c=1，可设椭圆方程为，解得b2=3，（舍去）所以椭圆方程为．（2）设直线AE方程为：，代入得，设E（x E，y E），F（x F，y F），因为点在椭圆上，所以由韦达定理得：，，所以，．又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，yxOPQ在上式中以﹣K 代K，可得，所以直线EF 的斜率，即直线EF的斜率为定值，其值为．4．已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）经过点（0，），离心率为，点O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）过左焦点F任作一直线l ，交椭圆E 于P、Q两点．（i）求•的取值范围；（ii）若直线l不垂直于坐标轴，记弦PQ的中点为M，过F作PQ的垂线FN交直线OM 于点N ，证明：点N在一条定直线上．解：（Ⅰ）由题意可得b=，e==，又a2﹣b2=c2，解得a=，c=2，即有椭圆方程为+=1；（Ⅱ）（i）F（﹣2，0），当直线的斜率不存在时，设P（x1，y1），Q（x2，y 2），直线方程为x=﹣2，可得P（﹣2，），Q（﹣2，﹣），•=4﹣=；当直线的斜率存在，设l：y=k（x+2），设P（x1，y1），Q（x2，y2），代入椭圆方程x2+3y2=6，可得（1+3k2）x2+12k2x+12k2﹣6=0，x1+x2=﹣，x1x2=，•=x1x2+y1y2=x1x2+k2（x1+2）（x2+2）=（1+k2）x1x2+2k2（x 1+x2）+4k2=（1+k2）•+2k2•（﹣）+4k2==﹣，由k2≥0，3k2+1≥1，可得﹣6≤•＜，综上可得，•的取值范围是[﹣6，]；（ii）证明：由直线l的斜率一定存在，且不为0，可设PQ：y=k（x+2），FN：y=﹣（x+2），设M （x0，y0），则x0=，由x1+x2=﹣，可得x0=，y0=k（x 0+2）=，直线OM的斜率为k OM==﹣，直线OM：y=﹣x，由得，即有k取何值，N的横坐标均为﹣3，则点N在一条定直线x=﹣3上．5．椭圆C：+=1（a＞b＞0）．（1）若椭圆C过点（﹣3，0）和（2，）．①求椭圆C的方程；②若过椭圆C的下顶点D点作两条互相垂直的直线分别与椭圆C相交于点P，M，求证：直线PM经过一定点；（2）若椭圆C过点（1，2），求椭圆C的中心到右准线的距离的最小值．解：（1）①∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点（﹣3，0）和（2，），∴，解得a=3，b=1，∴椭圆C的方程．证明：②由题意得PD、MD的斜率存在且不为0，设直线PD 的斜率为k，则PD ：y=kx ﹣1，由，得P （，），用﹣代k，得M（，），∴=，∴直线PM：y﹣=，即y=，∴直线PM经过定点T（0，）．解：（2）椭圆C 的中心到右准线的距离d=，由=1，得，∴==，令t=a 2﹣5，t ＞0，则=t++9≥2+9=4+9，当且仅当t=2，时，等号成立，∴椭圆C 的中心到右准线的距离的最小值为．6．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点到直线2:a l x c =的距离为45，离心率5e =，,A B 是椭圆上的两动点，动点P 满足OP OA OB λ=+，（其中λ为常数）．（1）求椭圆标准方程；（2）当1λ=且直线AB 与OP 斜率均存在时，求AB OP k k +的最小值；（3）若G 是线段AB 的中点，且OA OB OG AB k k k k ⋅=⋅，问是否存在常数λ和平面内两定点,M N ，使得动点P 满足18PM PN +=，若存在，求出λ的值和定点,M N ；若不存在，请说明理由．解：（1）由题设可知：右焦点到直线2:a l x c=的距离为： 2a c c -=455， 又53c a =，222b a c =-，∴24b =．∴椭圆标准方程为22194x y +=． （2）设()()1122,,,A x y B x y 则由OP OA OB =+得()1212,P x x y y ++．∴221212122212121249AB OPy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅==--+-． 由()0,AB k ∈+∞得，423AB OP AB OP k k k k +≥⋅=，当且仅当23AB k =±时取等号 （3）221212122212121249AB OGy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅==--+-．∴4·9OA OB k k =-．∴12124+90x x y y =． 设(),P x y ，则由OP OA OB λ=+，得)11221212,,,,x y x y x y x x y y λλλ=+=++， 即1212,x x x y y y λλ=+=+．因为点A 、B 在椭圆224+9=36x y 上，所以()2221212493636249x y x x y y λλ+=+++．所以222493636x y λ+=+．即222219944x y λλ+=++，所以P点是椭圆222219944x yλλ+=++上的点， 设该椭圆的左、右焦点为,M N ，则由椭圆的定义18PM PN +=得182299λ=+， ∴22λ=±，()35,0M ，()35,0N -．7．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F 2（1，0），点3(1,)2H 在椭圆上．（1）求椭圆方程；（2）点00(,)M x y 在圆222x y b +=上，M 在第一象限，过M 作圆222x y b +=的切线交椭圆于P 、Q 两点，问|F 2P|+|F 2Q|+|PQ|是否为定值？如果是，求出定值，如不是，说明理由． 解：（1） 右焦点为2(1,0)F ，∴1=c ，左焦点为)0,1(1-F ，点3(1,)2H 在椭圆上 222212332(11)(11)422a HF HF ⎛⎫⎛⎫=+=+++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2=∴a ，322=-=c a b所以椭圆方程为13422=+y x（2）设()),(,,2211y x Q y x P ，()213412121≤=+x y x()()212121212122)4(41)41(311-=-+-=+-=x x x y x PF112212)4(21x x PF -=-=∴，连接OM ，OP ，由相切条件知1212121212122221413)41(33||||x PM x x x y x OM OP PM =∴=--+=-+=-=221212112=+-=+∴x x PM PF ，同理可求221212222=+-=+∴x x QM QF所以22224F P F Q PQ ++=+=为定值．8．分别过椭圆E ：=1（a ＞b ＞0）左、右焦点F 1、F 2的动直线l 1、l 2相交于P 点，与椭圆E 分别交于A 、B 与C 、D 不同四点，直线OA 、OB 、OC 、OD 的斜率分别为k 1、k 2、k 3、k 4，且满足k 1+k 2=k 3+k 4，已知当l 1与x 轴重合时，|AB|=2，|CD|=．（1）求椭圆E 的方程；（2）是否存在定点M ，N ，使得|PM|+|PN|为定值？若存在，求出M 、N 点坐标，若不存在，说明理由． 解：（1）当l 1与x 轴重合时，k 1+k 2=k 3+k 4=0， 即k 3=﹣k 4，∴l 2垂直于x 轴，得|AB|=2a=2，|CD|=，解得a=，b=，∴椭圆E 的方程为．（2）焦点F 1、F 2坐标分别为（﹣1，0），（1，0），当直线l 1或l 2斜率不存在时，P 点坐标为（﹣1，0）或（1，0）， 当直线l 1，l 2斜率存在时，设斜率分别为m 1，m 2，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得，∴，，===，同理k3+k4=，∵k1+k2=k3+k4，∴，即（m1m2+2）（m2﹣m1）=0，由题意知m1≠m2，∴m1m2+2=0，设P（x，y），则，即，x≠±1，由当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为（﹣1，0）或（1，0）也满足，∴点P（x，y）点在椭圆上，∴存在点M，N其坐标分别为（0，﹣1）、（0，1），使得|PM|+|PN|为定值2．9．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1，设R（x0，y0）是椭圆C上的任一点，从原点O向圆R：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=8作两条切线，分别交椭圆于点P，Q．（1）若直线OP，OQ互相垂直，求圆R的方程；（2）若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1，k2，求证：2k1k2+1=0；（3）试问OP2+OQ2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．解：（1）由圆R的方程知，圆R的半径的半径，因为直线OP，OQ互相垂直，且和圆R相切，所以，即，①又点R在椭圆C上，所以，②联立①②，解得所以所求圆R的方程为．（2）因为直线OP：y=k1x，OQ：y=k2x，与圆R相切，所以，化简得=0同理，所以k1，k2是方程（x02﹣8）k2﹣2x0y0k+y02﹣8=0的两个不相等的实数根，，因为点R（x0，y0）在椭圆C上，所以，即，所以，即2k1k2+1=0．（3）OP2+OQ2是定值，定值为36，理由如下：法一：（i）当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立解得所以，同理，得，由，所以====36（ii）当直线ξ落在坐标轴上时，显然有OP2+OQ2=36，综上：OP2+OQ2=36．法二：（i）当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），因为2k1k2+1=0，所以，即，因为P（x1，y1），Q（x2，y2），在椭圆C上，所以，即，所以，整理得，所以，所以OP2+OQ2=36．（ii）当直线OP，OQ落在坐标轴上时，显然有OP2+OQ2=36，综上：OP2+OQ2=36．10．已知椭圆C：)0(12222>>=+babyax，左焦点)0,3(-F，且离心率23=e．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l：mkxy+=（0≠k）与椭圆C交于不同的两点M，N（M，N不是左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆C 的右顶点A ．求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标．解：（1）由题意可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+====222233c b a a ce c ，解得2=a ，1=b 所以椭圆的方程为1422=+y x ． （2）由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=1422y x m kx y 得0448)41(222=-+++m kmx x k ，0)44)(41(4)8(222>-+-=∆m k km ， 整理得01422>+-m k ，设),(11y x M ，),(22y x N ，则221418k kmx x +=+，22214144k m x x +-= 由已知，AN AM ⊥，即0=⋅AN AM ，又椭圆的右顶点为)0,2(A ，所以0)2)(2(2121=+--y y x x ，∵2212122121)())((m x x km x x k m kx m kx y y +++=++=，∴04))(2()1(221212=+++-++m x x km x x k ，即04418)2(4144)1(22222=+++⋅-++-⋅+m kkmkm k m k ． 整理得01216522=++k mk m ， 解得k m 2-=或56km -=均满足01422>+-m k ． 当k m 2-=时，直线l 的方程为k kx y 2-=，过定点)0,2(，与题意矛盾，舍去；当56k m -=时，直线l 的方程为)56(-=x k y ，过定点)0,56(，故直线l 过定点，且定点的坐标为)0,56(．11．已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x，点A 在椭圆C 上，O 为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，是否存在圆心在坐标原点，半径为定值的定圆C ，使得l 与圆C 相交于不在坐标轴上的两点1P ，2P ，记直线1OP ，2OP 的斜率分别为1k ，2k ，满足12k k ⋅为定值，若存在，求出定圆的方程并求出12k k ⋅的值，若不存在，请说明理由.解：（Ⅰ）由题意，得c a =a 2=b 2+c 2，又因为点A 在椭圆C 上，所以221314a b+=， 解得a=2，b=1，c =C 的方程为2214x y +=． （Ⅱ）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为x 2+y 2=5．证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为x 2+y 2=r 2（r ＞0）． 当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y=kx+m ．由方程组2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2﹣4=0，因为直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，所以2221(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+-=，即m 2=4k 2+1．由方程组222y kx mx y r=+⎧⎨+=⎩得（k 2+1）x 2+2kmx+m 2﹣r 2=0，则22222(2)4(1)()0km k m r ∆=-+->．设P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），则12221kmx x k -+=+，221221m r x x k -=+，设直线OP 1，OP 2的斜率分别为k 1，k 2，所以221212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x M k k x x x x x x +++++===222222222222222111m r kmk km m m r k k k m r m rk --⋅+⋅+-++==--+，将m 2=4k 2+1代入上式，得221222(4)14(1)r k k k k r -+=+-． 要使得k 1k 2为定值，则224141r r-=-，即r 2=5，验证符合题意． 所以当圆的方程为x 2+y 2=5时，圆与l 的交点P 1，P 2满足k 1k 2为定值14-．当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为x=±2， 此时，圆x 2+y 2=5与l 的交点P 1，P 2也满足1214k k =-． 综上，当圆的方程为x 2+y 2=5时，圆与l 的交点P 1，P 2满足斜率之积k 1k 2为定值14-． 12．已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ，经过点)22,1(，且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形．（1）求椭圆方程；（2）过椭圆右顶点的两条斜率乘积为21-的直线分别交椭圆于N M ,两点，试问：直线MN 是否过定点？若过定点，请求出此定点，若不过，请说明理由．解：（1）根据题意12121211222222222=+⇒⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧+==+=y x b a cb a b ac b ．当MN 的斜率存在时，设0224)21(22:22222=-+++⇒⎩⎨⎧=++=m kmx x k y x mkx y MN ，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=+-=+>+-=∆22212212221222140)12(8k m x x k km x x m k ，∴21222222112211-=-+⋅-+=-⋅-=⋅x m kx x m kx x y x y k k NA MA ， ∴k m m km m m x x km x x k 200202))(22()12(2221212-==⇒=+⇒=++-++或（舍）． ∴直线MN kx y =过定点(0,0)，当MN 斜率不存在时也符合，即直线MN 恒过定点(0,0)． 14．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为6，以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴为半径的圆与直线2260x y -+=相切． （1）求椭圆C 标准方程；（2）已知点,A B 为动直线(2)(0)y k x k =-≠与椭圆C 的两个交点，问：在x 轴上是否存在点E ，使2EA EA AB +⋅为定值？若存在，试求出点E 的坐标和定值，若不存在，说明理由．解：（1）由36=e 得36=a c ，即a c 36=① 又以原点O 为圆心，椭圆C 的长轴长为半径的圆为222a y x =+且与直线0622=+-y x 相切，所以6)2(2622=-+=a 代入①得c=2， 所以2222=-=c a b ．所以椭圆C 的标准方程为12622=+y x （2）由⎪⎩⎪⎨⎧-==+)2(12622x k y y x 得061212)31(2222=-+-+k x k x k设()()1122,,,A x y B x y ，所以2221222131612,3112kk x x k k x x +-=+=+ 根据题意，假设x 轴上存在定点E （m ，0），使得2()EA EA AB EA AB EA EA EB +⋅=+⋅=⋅为定值． 则()()()11221212,,()EA EB x m y x m y x m x m y y ⋅=-⋅-=--+=()()()()()()22222221221231610123421k m k m mm k x x m k x x k +-++-=++++-+要使上式为定值，即与k 无关，()631012322-=+-m m m ，得37=m ．此时，22569EA EA AB m +⋅=-=-，所以在x 轴上存在定点E （37，0）使得2EA EA AB +⋅为定值，且定值为95-． 15．已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则椭圆在其上一点00(,)A x y 处的切线方程为00221x x y ya b+=，试运用该性质解决以下问题：已知椭圆221:12x C y +=和椭圆222:4x C y λ+=（1,λλ>为常数）．（1）如图（1），点B 为1C 在第一象限中的任意一点，过B 作1C 的切线l ，l 分别与x 轴和y 轴的正半轴交于,C D 两点，求OCD ∆面积的最小值； （2）如图（2），过椭圆2C 上任意一点P 作1C 的两条切线PM 和PN ，切点分别为,M N ，当点P 在椭圆2C 上运动时，是否存在定圆恒与直线MN 相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由． 解：（1）设22(,)B x y ，则椭圆1C 在点B 处的切线方程为2212x x y y += 令210,D x y y ==，令220,C y x x ==，所以221OCD S x y ∆=又点B 在椭圆的第一象限上，所以2222220,0,12x x y y >>+=∴222222222212222x x y y x y =+≥= ∴221222OCD S x y ∆=≥=，当且仅当22222x y =2221x y ⇔== 所以当2(1,)2B 时，三角形OCD 的面积的最小值为22． （2）设(,)P m n ，则椭圆1C 在点33(,)M x y 处的切线为：3312xx y y +=又PM 过点(,)P m n ，所以3312x m y n +=，同理点44(,)N x y 也满足4412xm y n +=所以,M N 都在12x m yn +=上，即直线MN 的方程为12xm yn +=，又(,)P m n 在2C 上，224m n λ+=，故原点O 到直线MN 的距离为：224d m n λ==+， 所以直线MN 始终与圆221x y λ+=相切．16．已知直线1y x =+被圆2232x y +=截得的弦长恰与椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长相等，椭圆C 的离心率22e =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知过点1(0,)3M -的动直线l 交椭圆C 于,A B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得无论l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过定点T ？若存在，求出点T 的坐标，若不存在，请说明理由。

椭 圆一、直线与椭圆问题的常规解题方法:1.设直线与方程；提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y=kx+b 与x=my+n 的区别2.设交点坐标；提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”3.联立方程组；4.消元韦达定理；提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单5.根据条件重转化；常有以下类型：①“以弦AB 为直径的圆过点0”提醒：需讨论K 是否存在⇔OA OB ⊥ ⇔121K K •=- ⇔0OA OB •= ⇔ 12120x x y y += ②“点在圆内、圆上、圆外问题”⇔“直角、锐角、钝角问题” ⇔“向量的数量积大于、等于、小于0问题” ⇔12120x x y y +>>0；③“等角、角平分、角互补问题” ⇔斜率关系120K K +=或12K K =； ④“共线问题”如：AQ QB λ= ⇔数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法； 如：A 、O 、B 三点共线⇔直线OA 与OB 斜率相等； ⑤“点、线对称问题” ⇔坐标与斜率关系；⑥“弦长、面积问题”⇔转化为坐标与弦长公式问题提醒：注意两个面积公式 的 合理选择； 6.化简与计算； 7.细节问题不忽略；①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0.二、基本解题思想：1、“常规求值”问题：需要找等式,“求范围”问题需要找不等式；2、“是否存在”问题：当作存在去求,若不存在则计算时自然会无解；3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来,然后证明计算结果与参数无 关；⑵也可先在特殊条件下求出定值,再给出一般的证明;4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起,并令各项的系数为零,求 出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点,然后给出证明,5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数,几何法、配方法转化为二次函数的最值、 三角代换法转化为三角函数的最值、利用切线的方法、利用均值不等 式的方法等再解决；6、转化思想：有些题思路易成,但难以实施;这就要优化方法,才能使计算具有可行性,关键是积累“转化”的经验；椭圆中的定值、定点问题一、常见基本题型：在几何问题中,有些几何量和参数无关,这就构成定值问题,解决这类问题常通过 取参数和特殊值来确定“定值”是多少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三 角式,证明该式是恒定的; 1直线恒过定点问题1、已知点00(,)P x y 是椭圆22:12x E y +=上任意一点,直线l 的方程为0012x xy y +=, 直线0l 过P 点与直线l 垂直,点M-1,0关于直线0l 的对称点为N,直线PN 恒过一定点G,求点G 的坐标;2、已知椭圆两焦点1F 、2F 在y 轴上,短轴长为22,离心率为22,P 是椭圆在第一 象限弧上一点,且121PF PF ⋅=,过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线PA 、PB 分别交椭 圆于A 、B 两点;1求P 点坐标；2求证直线AB 的斜率为定值；3、已知动直线(1)y k x =+与椭圆22:1553x y C +=相交于A 、B 两点,已知点 7(,0)3M -, 求证：MA MB ⋅为定值.4、 在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆22:13x C y +=.如图所示,斜率为(0)k k ＞且不 过原点的直线l 交椭圆C 于A ,B 两点,线段AB 的中点为E , 射线OE 交椭圆C 于点G ,交直线3x =-于点(3,)D m -.Ⅰ求22m k +的最小值；Ⅱ若2OG OD =OE ,求证：直线l 过定点；椭圆中的取值范围问题一、常见基本题型：对于求曲线方程中参数范围问题,应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式,通过解不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数,转化为函数的值域来解. 1从直线和二次曲线的位置关系出发,利用判别式的符号,确定参数的取值范围;5、已知直线l 与y 轴交于点(0,)P m ,与椭圆22:21C x y +=交于相异两点A 、B , 且3AP PB =,求m 的取值范围．（2）利用题中其他变量的范围,借助于方程产生参变量的函数表达式,确定参数的取值范 围.6、已知点(4, 0)M ,(1, 0)N ,若动点P 满足6||MN MP PN ⋅=． Ⅰ求动点P 的轨迹C 的方程；Ⅱ设过点N 的直线l 交轨迹C 于A ,B 两点,若181275NA NB -⋅-≤≤,求 直线l 的斜率的取值范围.3利用基本不等式求参数的取值范围7、已知点Q 为椭圆E ：221182x y +=上的一动点,点A 的坐标为(3,1),求AP AQ ⋅的取值范围．8.已知椭圆的一个顶点为(0,1)A -,焦点在x 轴上.若右焦点到直线220x y -+=的距 离为3.1求椭圆的方程.2设直线(0)y kx m k =+≠与椭圆相交于不同的两点,M N .当||||AM AN =时,求m 的 取值范围.9. 如图所示,已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:22定点=++为圆上一动点,点P 在AM 上, 点N 在CM 上,且满足N AM NP AP AM 点,0,2=⋅=的轨迹为曲线E . I 求曲线E 的方程；II 若过定点F 0,2的直线交曲线E 于不同的两点,G H 点G 在点,F H 之间,且满足FH FG λ=, 求λ的取值范围.10、.已知椭圆E 的中心在坐标原点O ,两个焦点分别为)0,1(-A 、)0,1(B ,一个顶点为)0,2(H .1求椭圆E 的标准方程；2对于x 轴上的点)0,(t P ,椭圆E 上存在点M ,使得MH MP ⊥,求t 的取值范围.11.已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为2,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切．Ⅰ求椭圆C 的方程；Ⅱ若过点M 2,0的直线与椭圆C 相交于两点,A B ,设P 为椭圆上一点,且满足OP t OB OA =+O 为坐标原点,-时,求实数t 取值范围．椭圆中的最值问题一、常见基本题型： 1利用基本不等式求最值,12、已知椭圆两焦点1F 、2F 在y 轴上,短轴长为22,离心率为22,P 是椭圆在第一 象限弧上一点,且121PF PF ⋅=,过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线PA 、PB 分别交 椭圆于A 、B 两点,求△PAB 面积的最大值; 2利用函数求最值,13.如图,DP x ⊥轴,点M 在DP 的延长线上,且||2||DM DP =．当点P 在圆221x y +=上运动时; I 求点M 的轨迹C 的方程；Ⅱ过点22(0,)1T t y +=作圆x 的切线l 交曲线 C 于A,B 两点,求△AOB 面积S 的最大值和相应的点T 的坐标;14、已知椭圆22:14x G y +=.过点(,0)m 作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于A,B 两点. 将|AB|表示为m 的函数,并求|AB|的最大值.选做1、已知A 、B 、C 是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x m 上的三点,其中点A 的坐标为)0,32(,BC 过椭圆m 的中心,且||2||,0AC BC BC AC ==•．1求椭圆m 的方程；2过点),0(t M 的直线l 斜率存在时与椭圆m 交于两点P,Q,设D 为椭圆m 与y 轴负半轴的交点,且||||DQ DP =.求实数t 的取值范围．2.已知圆M ：222()()x m y n r -+-=及定点(1,0)N ,点P 是圆M 上的动点,点Q 在NP上,点G 在MP 上,且满足NP ＝2NQ ,GQ ·NP ＝0． 1若1,0,4m n r =-==,求点G 的轨迹C 的方程；2若动圆M 和1中所求轨迹C 相交于不同两点,A B ,是否存在一组正实数,,m n r , 使得直线MN 垂直平分线段AB ,若存在,求出这组正实数；若不存在,说明理由．3、已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1．Ⅰ求椭圆C 的标准方程；Ⅱ若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ,B 两点A B ，不是左右顶点,且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点,求证：直线l 过定点,并求出该定点的坐标．4.如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,长轴长是短轴长的2倍且经过点M 2,1,平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为mm ≠0,l 交椭圆于A 、B 两个不同点; 1求椭圆的方程； 2求m 的取值范围；3求证直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形.参考答案1、解：直线0l 的方程为0000()2()x y y y x x -=-,即000020y x x y x y --= 设)0,1(-M 关于直线0l 的对称点N 的坐标为(,)N m n则0000001212022x nm y x n m y x y ⎧=-⎪+⎪⎨-⎪⋅--=⎪⎩,解得320002043200002002344424482(4)x x x m x x x x x n y x ⎧+--=⎪-⎪⎨+--⎪=⎪-⎩∴ 直线PN 的斜率为4320000032000042882(34)n y x x x x k m x y x x -++--==---+ 从而直线PN 的方程为： 432000000320004288()2(34)x x x x y y x x y x x ++---=---+ 即3200043200002(34)14288y x x x y x x x x --+=+++-- 从而直线PN 恒过定点(1,0)G2、解：1设椭圆方程为22221y x a b+=,由题意可得2,2,22a b c ===所以椭圆的方程为22142y x +=则122),(0,2)F F -,设0000(,)(0,0)P x y x y >>则100200(,2),(,2),PF x y PF x y =--=--221200(2)1PF PF x y ∴⋅=--=点00(,)P x y 在曲线上,则2200 1.24x y += 220042y x -∴=从而22004(2)12y y ---=,得02y =则点P 的坐标为2);2由1知1//PF x 轴,直线PA 、PB 斜率互为相反数,设PB 斜率为(0)k k >,则PB 的直线方程为：2(1)y k x =-由222(1)124y k x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩得222(2)2(2)(2)40k x k k x k ++-+--=设(,),B B B x y 则2222(2)222122B k k k k x k k ---=-=++同理可得222222A k k x k +-=+,则2422A B kx x k-=+ 28(1)(1)2A B A B ky y k x k x k-=----=+ 所以直线AB 的斜率2A BAB A By y k x x -==-为定值;3、 解: 将(1)y k x =+代入221553x y +=中得2222(13)6350k x k x k +++-= 4222364(31)(35)48200k k k k ∴∆=-+-=+>,2122631k x x k +=-+,21223531k x x k -=+所以112212127777(,)(,)()()3333MA MB x y x y x x y y ⋅=++=+++ 2121277()()(1)(1)33x x k x x =+++++2221212749(1)()()39k x x k x x k =++++++2222222357649(1)()()313319k k k k k k k -=+++-++++ 4222316549319k k k k ---=+++49=; 4、 解：Ⅰ由题意:设直线:(0)l y kx n n =+≠,由2213y kx nx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 得:222(13)6330k x knx n +++-=, 2222364(13)3(1)∆=-+-k n k n ×2212(31)0k n =+->设A 11(,)x y 、B 22(,)x y ,AB 的中点E 00(,)x y ,则由韦达定理得:12x x +=2613kn k -+,即02313kn x k -=+,002313kny kx n k n k-=+=⨯+=+213n k +, 所以中点E 的坐标为23(,13kn k -+2)13nk+, 因为O 、E 、D 三点在同一直线上,所以OE OD k K =,即133mk -=-, 解得1m k =,所以22m k +=2212k k+≥,当且仅当1k =时取等号, 即22m k +的最小值为2. Ⅱ证明:由题意知:n>0,因为直线OD 的方程为3my x =-,所以由22313m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得交点G 的纵坐标为223G m y m =+, 又因为213E n y k=+,D y m =,且2OG OD =OE ,所以222313m n m m k =⋅++, 又由Ⅰ知: 1m k=,所以解得k n =,所以直线l 的方程为:l y kx k =+, 即有:(1)l y k x =+, 令1x =-得,y=0,与实数k 无关, 5、 解：1当直线斜率不存在时：12m =±2当直线斜率存在时：设l 与椭圆C 交点为 1122(,),(,)A x y B x y ∴2221y kx mx y =+⎧⎨+=⎩得 222(2)210k x kmx m +++-=22222(2)4(2)(1)4(22)0km k m k m ∴∆=-+-=-+>212122221,22km m x x x x k k --+==++∵3AP PB =,∴123x x -=,∴122212223x x x x x x +=-⎧⎨=-⎩. 消去2x ,得212123()40x x x x ++=, 2222213()4022km m k k --∴+=++ 整理得22224220k m m k +--=214m =时,上式不成立； 214m ≠时,2222241m k m -=-, ∴22222041m k m -=≥-,∴211-<≤-m 或121≤<m 把2222241m k m -=-代入得211-<<-m 或121<<m ∴211-<<-m 或121<<m 综上m 的取值范围为211-<≤-m 或121≤<m ; 6、解：Ⅰ设动点(, )P x y ,则(4, )MP x y =-,(3, 0)MN =-,(1, )PN x y =--.由已知得22)()1(6)4(3y x x -+-=--,化简得223412x y +=,得22143x y +=. 所以点P 的轨迹C 是椭圆,C 的方程为13422=+y x . Ⅱ由题意知,直线l 的斜率必存在,不妨设过N 的直线l 的方程为(1)y k x =-, 设A ,B 两点的坐标分别为11(, )A x y ,22(, )B x y .由22(1),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得2222(43)84120k x k x k +-+-=.因为N 在椭圆内,所以0∆>.所以212221228,34412.34k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩因为2121212(1)(1)(1)(1)(1)NA NB x x y y k x x ⋅=--+=+--]1)()[1(21212++-+=x x x x k222222243)1(943438124)1(k k k k k k k ++-=+++--+=,所以22189(1)127345k k -+--+≤≤. 解得213k ≤≤. 7、 解： (1,3)AP =,设Qx ,y ,(3,1)AQ x y =--,(3)3(1)36AP AQ x y x y ⋅=-+-=+-．∵221182x y +=,即22(3)18x y +=, 而22(3)2|||3|x y x y +⋅≥,∴－18≤6xy ≤18．则222(3)(3)6186x y x y xy xy +=++=+的取值范围是0,36．3x y +的取值范围是－6,6．∴36AP AQ x y ⋅=+-的取值范围是－12,0． 8、解：1依题意可设椭圆方程为2221x y a+=,则右焦点)F3=,解得23a =,故所求椭圆的方程为22 1.3x y +=2设(,)P P P x y 、(,)M M M x y 、(,)N N N x y ,P 为弦MN 的中点,由2213y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(31)63(1)0k x mkx m +++-=直线与椭圆相交,22222(6)4(31)3(1)031,mk k m m k ∴∆=-+⨯->⇒<+ ①23231M N P x x mkx k +∴==-+,从而231P P m y kx m k =+=+, 21313P APP y m k k x mk +++∴==-,又||||,,AM AN AP MN =∴⊥则：23113m k mk k++-=-,即2231m k =+,②把②代入①得22m m <,解02m <<,由②得22103m k -=>,解得12m >.综上求得m 的取值范围是122m <<. 9、解：Ⅰ.0,2=⋅=AM NP AP AM∴NP 为AM 的垂直平分线,∴|NA|=|NM| 又.222||||,22||||>=+∴=+AN CN NM CN ∴动点N 的轨迹是以点C －1,0,A1,0为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为,222=a 焦距2c=2. .1,1,22===∴b c a∴曲线E 的方程为.1222=+y x Ⅱ当直线GH 斜率存在时,设直线GH 方程为,12,222=++=y x kx y 代入椭圆方程 得.230.034)21(222>>∆=+++k kx x k 得由设2212212211213,214),,(),,(k x x k k x x y x H y x G +=+-=+则 )2,()2,(,2211-=-∴=y x y x FH FG λλ 又λλλλλ2122221222122121)1(.,)1(,x x x x x x x x x x x x x ==++∴=+=+∴=∴, λλλλ222222)1()121(316,213)1()214(+=++=++-∴kk k k 整理得.331.316214.316323164,2322<<<++<∴<+<∴>λλλ解得k k .131,10<<∴<<λλ 又 又当直线GH 斜率不存在,方程为.31,31,0===λFH FG x)1,31[,131的取值范围是即所求λλ<≤∴10、解：1由题意可得,1c =,2a =,∴3b =．∴所求的椭圆的标准方程为：22143x y +=． 2设),(00y x M )20±≠x （,则 2200143x y +=． ① 且),(00y x t MP --=,),2(00y x MH --=,由MH MP ⊥可得0=⋅MH MP ,即∴0)2)((2000=+--y x x t ． ②由①、②消去0y 整理得3241)2(0200-+-=-x x x t ． ∵20≠x∴23411)2(4100-=---=x x t ．∵220<<-x , ∴ 12-<<-t ．∴t 的取值范围为)1,2(--.11、 解：Ⅰ由题意知22c e a ==, 所以22222212c a b e a a -===． 即222a b =． 又因为2111b ==+,所以22a =,21b =． 故椭圆C 的方程为1222=+y x ． Ⅱ由题意知直线AB 的斜率存在.设AB ：(2)y k x =-,11(,)A x y ,22(,)B x y ,(,)P x y ,由22(2),1.2y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)8820k x k x k +-+-=. 422644(21)(82)0k k k ∆=-+->,212k <. 2122812k x x k +=+,21228212k x x k -=+.∵OP t OB OA =+,∴1212(,)(,)x x y y t x y ++=,21228(12)x x k x t t k +==+, 1212214[()4](12)y y ky k x x k t t t k +-==+-=+. ∵点P 在椭圆上,∴222222222(8)(4)22(12)(12)k k t k t k -+=++, ∴22216(12)k t k =+.∵PB PA -＜253,∴2122513k x x +-<,∴22121220(1)[()4]9k x x x x ++-<∴422222648220(1)[4](12)129k k k k k -+-<++, ∴22(41)(1413)0k k -+>,∴214k >. ∴21142k <<,∵22216(12)k t k =+,∴222216881212k t k k ==-++, ∴2623t -<<-或2623t <<, ∴实数t 取值范围为)2,362()362,2( --. 12、解、设椭圆方程为22221y x a b+=,由题意可得2,2,22a b c ===,故椭圆方程为22142y x +=设AB 的直线方程：m x y +=2.由⎪⎩⎪⎨⎧=++=142222y x m x y ,得0422422=-++m mx x , 由0)4(16)22(22>--=∆m m ,得2222<<-mP 到AB 的距离为3||m d =,则3||3)214(21||212m m d AB S PAB ⋅⋅-=⋅=∆2)28(81)8(8122222=+-≤+-=m m m m ;当且仅当()22,222-∈±=m 取等号, ∴三角形PAB 面积的最大值为2; 13、 解:设点M 的坐标为()y x ,,点P 的坐标为()00,y x ,则0x x =,02y y =,所以x x =0,20yy =, ① 因为()00,y x P 在圆122=+y x 上,所以12020=+y x ②将①代入②,得点M 的轨迹方程C 的方程为1422=+y x ． Ⅱ由题意知,1||≥t ．当1=t 时,切线l 的方程为1=y ,点A 、B 的坐标分别为),1,23(),1,23(-此时3||=AB ,当1-=t 时,同理可得3||=AB ； 当1>t 时,设切线l 的方程为,m kx y +=R k ∈由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,14,22y x t kx y 得042)4(222=-+++t ktx x k ③ 设A 、B 两点的坐标分别为),(),,(2211y x y x ,则由③得：222122144,42k t x x k kt x x +-=+-=+． 又由l 与圆122=+y x 相切,得,11||2=+k t 即.122+=k t所以212212)()(||y y x x AB -+-=]4)4(4)4(4)[1(222222kt k t k k +--++=2.3||342+=t t因为,2||3||343||34||2≤+=+=t t t t AB 且当3±=t 时,|AB|=2,所以|AB|的最大值为2依题意,圆心O 到直线AB 的距离为圆122=+y x 的半径,所以AOB ∆面积1121≤⨯=AB S , 当且仅当3±=t 时,AOB ∆面积S 的最大值为1,相应的T 的坐标为()3,0-或者()3,0．14、 解：由题意知,||1m ≥.当1m =时,切线l 的方程为1x =,点A,B 的坐标分别为33(1,),(1,)22-, 此时||3AB =；当1m =-时,同理可得||3AB =； 当1m >时,设切线l 的方程为()y k x m =-.由22()14y k x m x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22222(14)8440k x k mx k m +-+-=. 设A,B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y . 又由l 与圆221x y +=相切,211k =+,即2221m k k =+.所以222221212112||()()(1)[()4]AB x x y y k x x x x =-+-=++- 42222222644(44)(1)[](14)14k m k m k k k -=+-++243|3m m =+. 由于当1m =±时,||3AB 243|43||233||||m AB m m m ==≤++,当且当3m =,||2AB =.所以|AB|的最大值为2.选做1、 解1椭圆m ：141222=+y x2由条件D0,－2 ∵M0,t 1°当k=0时,显然－2<t<2 2°当k≠0时,设t kx y l +=:⎪⎩⎪⎨⎧+==+t kx y y x 141222 消y 得 01236)31(222=-+++t ktx x k由△>0 可得 22124k t +< ①设),(),,(),,(002211y x H PQ y x Q y x P 中点则22103132k kt x x x +=+=20031k tt kx y +=+= ∴)31,313(22k tk kt H ++-由kk PQ OH DQ DP DH 1||||-=⊥∴=即∴2223110313231k t k k kt kt+=-=-+-++化简得 ② ∴t>1 将①代入②得 1<t<4 ∴t 的范围是1,4综上t ∈－2,4 2、解：12,NP NQ =∴∴点Q 为PN 的中点,又0GQ NP ⋅=,GQ PN ∴⊥或G 点与Q 点重合．∴.||||GN PG =又|||||||||| 4.GM GN GM GP PM +=+== ∴点G 的轨迹是以,M N 为焦点的椭圆,且2,1a c ==,∴b G ==∴的轨迹方程是221.43x y +=2解：不存在这样一组正实数,下面证明： 由题意,若存在这样的一组正实数, 当直线MN 的斜率存在时,设之为k ,故直线MN 的方程为：(1)y k x =-,设1122(,),(,)A x y B x y ,AB 中点00(,)D x y ,则22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,两式相减得： 12121212()()()()043x x x x y y y y -+-++=． 注意到12121y y x x k -=--,且12012022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ ,则00314x y k = , ② 又点D 在直线MN 上,00(1)y k x ∴=-,代入②式得：04x =． 因为弦AB 的中点D 在⑴所给椭圆C 内,故022x -<<, 这与04x =矛盾,所以所求这组正实数不存在． 当直线MN 的斜率不存在时,直线MN 的方程为1x =,则此时1212,2y y x x =+=,代入①式得120x x -=,这与,A B 是不同两点矛盾．综上,所求的这组正实数不存在．3、解：Ⅰ椭圆的标准方程为22143x y +=． Ⅱ设11()A x y ，,22()B x y ，,联立22 1.43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，, 得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=, 22222212221226416(34)(3)03408344(3).34m k k m k m mk x x k m x x k ⎧⎪∆=-+->+->⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-=⎪+⎩，即，则， 又22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+, 因为以AB 为直径的圆过椭圆的右焦点(20)D ，, 1AD BD k k ∴=-,即1212122y y x x =---,1212122()40y y x x x x ∴+-++=,2222223(4)4(3)1640343434m k m mk k k k--∴+++=+++, 2291640m mk k ∴++=．解得：12m k =-,227k m =-,且均满足22340k m +->, 当12m k =-时,l 的方程为(2)y k x =-,直线过定点(20)，,与已知矛盾； 当227k m =-时,l 的方程为2()7y k x =-,直线过定点2(0)7，． 所以,直线l 过定点,定点坐标为2(0)7，． 4、解：1设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x 则⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=+=2811422222b a b a b a 解得 ∴椭圆方程为12822=+y x 2∵直线l 平行于OM,且在y 轴上的截距m, 又K OM =21 m x y l +=∴21的方程为： 由0422128212222=-++∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=m mx x y x m x y ∵直线l 与椭圆交于A 、B 两个不同点,分且解得8...........................................................0,22,0)42(4)2(22≠<<->--=∆∴m m m m3设直线MA 、MB 的斜率分别为k 1,k 2,只需证明k 1+k 2=0即可设42,2),,(),,(221212211-=-=+m x x m x x y x B y x A 且则21,21222111--=--=x y k x y k 由可得042222=-++m mx x 42,222121-=-++m x x m x x 而)2)(2()2)(1()2()1(2121211221221121----+---=--+--=+x x x y x y x y x y k k )2)(2()1(4)2)(2(42)2)(2()1(4))(2()2)(2()2)(121()2)(121(212212*********------+-=----+++=----++--+=x x m m m m x x m x x m x x x x x m x x m x13......................................................0)2)(2(444242212122=+∴=--+-+--=k k x x m m m m 分 故直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形;。

一、选择题1．已知离心率为3的椭圆()2211x y m m +=>的左､右顶点分别为A ，B ，点P 为该椭圆上一点，且P 在第一象限，直线AP 与直线4x =交于点C ，直线BP 与直线4x =交于点D ，若83CD =，则直线AP 的斜率为（ ） A ．16或120 B ．121C ．16或121D ．13或1202．设F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C 的左.右支交于点P Q 、，若2,60PQ QF PQF =∠=︒，则该双曲线的离心率为（ ）A ．1BC ．2D ．4+3．已知F 是双曲线22:13y C x -=的右焦点，Q 是双曲线C 左支上的一点，(0,M 是y 轴上的一点.当MQF 的周长最小时，过点Q 的椭圆与双曲线C 共焦点，则椭圆的离心率为（ ） A ．25B ．45C ．15D ．234．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，过其右焦点F 作x 轴的垂线，交双曲线于A 、B 两点，若双曲线的左焦点在以AB 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．(B ．(1,1C ．)+∞D ．()1++∞5．P 是椭圆221169x y +=上的点，1F 、2F 是椭圆的左、右焦点，设12PF PF k ⋅=，则k的最大值与最小值之和是（ ） A ．16 B ．9 C ．7 D ．256．设1F 、2F 分别是双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P ，使得22()0OP OF F P +⋅=，O 为坐标原点，且12||3||PF PF =，则双曲线C 的离心率为（ ）．ABC ．31+D ．62+7．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线24y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点(3,1)M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则ABM 的周长为（ ） A ．910+B ．926+C ．712612+ D ．832612+ 8．如图，已知点()00,P x y 是双曲线221:143x y C -=上的点，过点P 作椭圆222:143x y C +=的两条切线，切点为A 、B ，直线AB 交1C 的两渐近线于点E 、F ，O是坐标原点，则OE OF ⋅的值为（ ）A ．34B ．1C ．43D ．9169．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，满足6AB =，则线段AB 的中点的横坐标为（ ）A ．2B ．4C ．5D ．610．在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为（ ） A ．45π B ．34π C ．(625)π-D ．54π 11．设P 是椭圆221259x y +=上一点，M 、N 分别是两圆：()2241x y ++=和()2241x y -+=上的点，则PM PN +的最小值和最大值分别为（ ）A ．9，12B ．8，11C ．8，12D ．10，1212．已知1F ，2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，抛物线28y x=的焦点与双曲线的一个焦点重合，点P 是两曲线的一个交点，12PF PF ⊥且121PF F S =△，则双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．23C ．433D ．2二、填空题13．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>与圆222x y b +=在第二、四象限分别相交于两点A 、C ，点F 是该双曲线的右焦点，且2AF CF =，则该双曲线的离心率为______. 14．已知抛物线2:4E x y =，过点(2,1)P -作E 的两条切线，切点分别为,A B ，则AB =________．15．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与直线11:2l y x =，21:2l y x =-，过椭圆上一点P作12,l l 的平行线，分别交12,l l 于,M N 两点，若||MN 为定值，则ab=__________. 16．点(,)P x y 是曲线22:143x y C +=上一个动点，则23x y +的取值范围为______．17．一个动圆与圆221():31Q x y ++=外切，与圆222:()381Q x y +=-内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为：______.18．数学中有许多寓意美好的曲线，曲线22322:()4C x y x y +=被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）.给出下列三个结论：①曲线C 关于直线y x =对称；②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过1；③2C 在此正方形区域内（含边界）.其中，正确结论的序号是________.19．已知椭圆1C 和双曲线2C 的中心均在原点，且焦点均在x 轴上，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：x0 4 26则2C 的虚轴长为______.20．已知1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，第一象限的点P 在渐近线上，满足12F PF 2π∠=，直线1PF 交双曲线左支于点Q ，若点Q 是线段1PF 的中点，则该双曲线的离心率为_____.三、解答题21．点M 是椭圆223:11616x y C +=上一点，点A 是椭圆C 的左顶点，MO 的延长线交椭圆C于点B ，AMB 是以M 为直角顶点的三角形.若存在不同于点A ，B 的点C ，D ，使得0MC MD OA MC MD ⎛⎫⎪⋅+= ⎪⎝⎭，试探究直线AB 与CD 的位置关系，并说明理由. 22．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长为准线的距离为8．（1）求椭圆的方程；（2）设N (0，2)，过点P (－1，－2)作直线l ，交椭圆C 于不同于N 的A ，B 两点，直线NA，NB 的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 1＋k 2为定值．23．已知椭圆()2222:10x y M a b a b +=>>的一个顶点坐标为()2,0-线y x m =-+交椭圆于不同的两点A 、B . （1）求椭圆M 的方程；（2）设点()2,2C -，是否存在实数m ，使得ABC 的面积为1？若存在，求出实数m 的值；若不存在，说明理由.24．点A 是抛物线21:2(0)C y px p =>与双曲线2222:1(0)y C xb b-=>的一条渐近线的交点，若点A 到抛物线1C 的准线的距离为p ． （1）求双曲线2C 的方程；（2）若直线:1l y kx =-与双曲线的右支交于两点，求k 的取值范围． 25．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，其中一个顶点是抛物线2x =-的焦点． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若过点(2,1)P 的直线l 与椭圆C 在第一象限相切于点M ，求直线l 的方程和点M 的坐标．26．已知P 是椭圆22:18x C y +=上的动点.（1）若A 是C 上一点，且线段PA 的中点为11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，求直线PA 的斜率； （2）若Q 是圆221:(1)49D x y ++=上的动点，求PQ 的最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由离心率求出9m =，设()00,p x y ，则20202200119999PA PBx y k k x x -⋅===---，设PA k k =(103k <<)，则19PB k k=-，直线AP 的方程为()3y k x =+，则C 的坐标()4,7k ，直线BP 的方程为()139y x k -=-，则D 坐标14,9k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而可表示出CD ，然后列方程可求出k 的值 【详解】由3e ==，得9m =. 设()00,p x y ，则20202200119999PA PBx y k k x x -⋅===---. 设PA k k =(103k <<)，则19PB k k=-，直线AP 的方程为()3y k x =+，则C 的坐标()4,7k .直线BP 的方程为()139y x k -=-，则D 坐标14,9k ⎛⎫- ⎪⎝⎭.所以18793CD k k =+=，解得13k =(舍去)或121.故选：B. 【点睛】此题考查直线与椭圆的位置关系，考查直线方程的求法，考查计算能力，属于中档题2．A解析：A 【解析】∵|PQ |=2|QF |,∠PQF =60°,∴∠PFQ =90°， 设双曲线的左焦点为F 1,连接F 1P ,F 1Q ，由对称性可知,F 1PFQ 为矩形,且|F 1F |=2|QF|,1QF =， 不妨设()1220F F m m =>，则1,QF QF m ==，故121212F F c e a QF QF ====-. 本题选择A 选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．3．B解析：B 【分析】当,,M Q E 三点共线时，MQ QE +最小，进而可求出Q 的坐标，结合椭圆的性质，可知椭圆的离心率EF e QE QF=+.【详解】由题意，双曲线22:13y C x -=中，2221,3,4a b c ===，设双曲线的左焦点为E ，则()2,0E -，右焦点()2,0F ，则4MF ==，根据双曲线的性质可知，2QF QE a -=，则MQF 的周长为26MF MQ QF MF MQ QE a MQ QE ++=+++=++，当,,M Q E 三点共线时，MQ QE +最小，此时MQF 的周长最小，此时直线ME 的方程为)32y x =+，联立)221332y x x y ⎧==+-⎪⎨⎪⎩，消去y 得450x +=，解得54x =-，则33y = 所以MQF 的周长最小时，点Q 的坐标为5334⎛- ⎝⎭， 过点Q 的椭圆的左焦点()2,0E -，右焦点()2,0F ，则2222533533224444QE QF ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-++--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭614544=+=， 所以椭圆的离心率45EFe QE QF ==+.故选：B. 【点睛】本题考查双曲线、椭圆的性质，考查椭圆离心率的求法，考查学生的计算求解能力，属于中档题.4．D解析：D 【分析】由题将x c =代入双曲线，可求出圆半径，再根据题意可得22bc a<，即可由此求出离心率.【详解】由题可得AB x ⊥轴，将x c =代入双曲线可得2by a=±，∴以AB 为直径的圆的半径为2b AF a=，双曲线的左焦点在以AB 为直径的圆内，22b c a∴<，即22b ac >，即222c a ac ->，两边除以2a 可得2210e e -->，解得1e <1e >故双曲线离心率的取值范围是()1+∞. 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离心率的取值范围的求解，解题的关键是求出圆半径，根据题意得出22b c a <.5．D解析：D 【分析】设(),P x y ，根据标准方程求得271616k x =-，再由椭圆的几何性质可得最大值与最小值，从而可得结论. 【详解】因为椭圆方程为椭圆221169x y +=，所以4,a c =设(),P x y ， 则2127·1616k PF PF x ==-, 又2016x ≤≤.∴max min 16,9k k ==. 故max min +16+925k k ==. 所以k 的最大值与最小值的和为25. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于将所求得量表示成椭圆上的点的坐标间的关系，由二次函数的性质求得其最值.6．C解析：C 【分析】由数量积为0推导出2OP OF =，在12Rt PF F 中求得1230PF F ∠=，由双曲线定义把2PF 用a 表示，在12Rt PF F 用正弦的定义可得离心率．【详解】 ∵22()0OP OF F P +⋅=，∴22()()0OP OF OP OF +⋅-=，即2220OP OF -=，21OP OF c OF ===，∴12PF PF ⊥，在12Rt PF F 中12||3||PF PF =，∴1230PF F ∠=， 又212PF PF a -=，∴2PF =2121sin 302PF F F ====∴21)a c =，1==ce a， 故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，关键是找到关于,,a b c 的齐次式，本题中利用向量的数量积得出12PF PF ⊥，然后由两直角边比值求得一个锐角，利用双曲线的定义用a 表示出直角边，然后用直角三角形中三角函数的定义或勾股定理可得,a c 的齐次式，从而求得离心率．7．B解析：B 【分析】根据题中光学性质作出图示，先求解出A 点坐标以及直线AB 的方程，从而联立直线与抛物线方程求解出B 点坐标，再根据焦半径公式以及点到点的距离公式求解出ABM 的三边长度，从而周长可求. 【详解】如下图所示：因为()3,1M ，所以1A M y y ==，所以2144A A y x ==，所以1,14A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又因为()1,0F ，所以()10:01114AB l y x --=--，即()4:13AB l y x =--， 又()24134y x y x⎧=--⎪⎨⎪=⎩，所以2340y y +-=，所以1y =或4y =-，所以4B y =-，所以244BB y x ==，所以()4,4B -，又因为1254244A B AB AF BF x x p =+=++=++=，111344M AAM x x =-=-=，BM ==所以ABM 的周长为：2511944AB AM BM ++=++=+ 故选：B.【点睛】结论点睛：抛物线的焦半径公式如下：（p 为焦准距）（1）焦点F 在x 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =+； （2）焦点F 在x 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =-+； （3）焦点F 在y 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF y =+； （4）焦点F 在y 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF y =-+. 8．B解析：B 【分析】设点()00,P x y ，求出直线AB 的方程为003412x x y y +=，联立直线AB 与双曲线两渐近线方程，求出点E 、F 的坐标，由此可计算得出OE OF ⋅的值. 【详解】先证明结论：椭圆222:143x y C +=在其上一点()00,M x y 的切线方程为003412x x y y +=.由于点()00,M x y 在椭圆2C 上，则22003412x y +=，联立002234123412x x y y x y +=⎧⎨+=⎩，消去y 得()()22220000342448160x y x x x y +-+-=， 即22001224120x x x x -+=，即()200x x -=，所以，直线003412x x y y +=与椭圆2C 相切.所以，椭圆222:143x y C +=在其上一点()00,M x y 的切线方程为003412x x y y +=.本题中，设点()00,P x y ，设点()11,A x y 、()22,B x y ，直线PA 的方程为113412x x y y +=，直线PB 的方程为223412x x y y +=，由于点()00,P x y 在直线PA 、PB 上，可得1010202034123412x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩，所以点()11,A x y 、()22,B x y 满足方程003412x x y y +=， 所以，直线AB 的方程为003412x x y y +=.联立003412x x y y y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，得点E ⎫，同理F ⎫.因此，()()()()2222220000048361213422OE OF x y y y ⋅=-==---. 故选：B. 【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线： （1）设切线方程为y kx m =+与椭圆方程联立，由0∆=进行求解；（2）椭圆22221x y a b +=在其上一点()00,x y 的切线方程为00221x x y y a b +=，在应用此方程时，首先应证明直线00221x x y y a b +=与椭圆22221x y a b+=相切.9．A解析：A 【分析】根据抛物线的定义和抛物线的方程可以直接求出点的坐标. 【详解】由抛物线方程可知(1,0)F ，假设,A B 横坐标分别为12,x x ，由抛物线的准线的性质可知1212||264AB x x x x =++=⇒+=，AB 中点的横坐标为121()22x x +=.故选;A 【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了数学运算能力.属于基础题.10．A解析：A 【详解】试题分析：设直线:240l x y +-=因为1||||2C l OC AB d -==，1c d -表示点C 到直线l 的距离，所以圆心C 的轨迹为以O 为焦点，l 为准线的抛物线，圆C 的半径最小值为1125225O l d -=⨯=，圆C 面积的最小值为225455ππ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭．故本题的正确选项为A. 考点：抛物线定义. 11．C解析：C 【分析】先依题意判断椭圆焦点与圆心重合，再利用椭圆定义以及圆的性质得到最大值和最小值即可. 【详解】如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为()()4,0,4,0A B -，恰好是椭圆的两个焦点，由椭圆定义知210PA PB a +==，连接PA ，PB 分别与圆相交于M ，N 两点，此时PM PN +最小，最小值为28PA PB R +-=；连接PA ，PB 并延长，分别与圆相交于M ，N 两点，此时PM PN +最大，最大值为212PA PB R ++=．故选：C ． 【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了圆外的点到圆上的点的距离最值问题，属于中档题.12．B解析：B 【分析】求出双曲线的半焦距，结合三角形的面积以及勾股定理，通过双曲线的定义求出a ，然后求解双曲线的离心率即可 【详解】由双曲线与抛物线有共同的焦点知2c =，因为12PF PF ⊥，且121PF F S =△，则122PF PF ⋅=，222212124PF PF F F c +==，点P 在双曲线上，则122PF PF a -=，故222121224PF PF PF PF a +-⋅=， 则22444c a -=，所以3a =23故选：B. 【点睛】本题考查双曲线以及抛物线的简单性质的应用，双曲线的定义的应用，考查计算能力，属于中档题..二、填空题13．【分析】画出图形结合双曲线的性质判断四边形的形状结合双曲线的定义求出三角形的边长通过勾股定理转化求解双曲线的离心率即可【详解】解：双曲线的右焦点为左焦点为根据对称性可知是平行四边形所以又点在双曲线上 解析：22 【分析】画出图形，结合双曲线的性质判断四边形的形状，结合双曲线的定义求出三角形的边长，通过勾股定理转化求解双曲线的离心率即可． 【详解】解：双曲线的右焦点为F ，左焦点为E ，根据对称性可知AFCE 是平行四边形，所以 ||2||2||AF CF AE ==，又点A 在双曲线上，所以||||2AF AE a -=，因为||2||AF CF =，所以||||2||||2AF AE CF CF a -=-=，所以||2CF a =，在三角形OFC 中，||2FC a =，||OC b =，||OF c =，||4AF a =， 可得222162cos a b c bc AOF =+-∠， 22242cos a b c bc COF =+-∠，可得22222202242a b c c a =+=-， 即：22112a c =，所以双曲线的离心率为：22e =． 故答案为：222．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于中档题．14．8【分析】设切线方程为即代入利用判别式为0求出两条切线的斜率进一步求出两个切点坐标利用两点间的距离公式可求得结果【详解】切线的斜率显然存在设切线方程为即联立消去得所以即则或设切线的斜率分别为则将代入解析：8 【分析】设切线方程为1(2)y k x +=-，即21y kx k =--，代入24x y =，利用判别式为0，求出两条切线的斜率，进一步求出两个切点坐标，利用两点间的距离公式可求得结果. 【详解】切线的斜率显然存在，设切线方程为1(2)y k x +=-，即21y kx k =--，联立2214y kx k x y=--⎧⎨=⎩消去y 得24840x kx k -++=，所以2(4)4(84)0k k ∆=--+=，即2210--=k k，则1k =1k = 设切线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，1122(,),(,)A x y B x y ，则11k =21k =，将11k =24840x kx k -++=得24(18(140x x -++=，即2(20x -+=，得2x =-12x =-2211(244x y -===3-(2A --，同理可得(2B ++，所以||AB =8=.故答案为：8. 【点睛】本题考查了直线与抛物线相切的位置关系，考查了运算求解能力，属于中档题.15．4【解析】当点时过椭圆上点作的平行线分别为联立可得同理可得所以当点时过椭圆上点作的平行线分别为联立可得同理可得所以所以为定值则所以点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系此类问题的解答中主要特例法的应用解析：4 【解析】当点(0,)P b 时，过椭圆上点P 作12,l l 的平行线分别为11,22y x b y x b =+=-+， 联立1212y x b y x⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得(,)2b M b ，同理可得(,)2b N b -，所以2MN b =,当点(,0)P a 时，过椭圆上点P 作12,l l 的平行线分别为11,2222a a y x y x =-=-+， 联立12212a y x y x⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得(,)24a a M ，同理可得(,)24a a N -，所以2a MN =,所以MN 为定值，则22ab =，所以4a b=. 点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，此类问题的解答中主要特例法的应用，是解答选择题的一种方法，本题的解答中取点P 分别为长轴和短轴的端点，联立方程组，求得MN ，得出,a b 的关系式是解答关键，平时应注意特殊值等方法在选择题解答中的应用. 16．【分析】可设则其中可得的取值范围【详解】由点是曲线上一个动点可设则其中又则故答案为：【点睛】本题考查了椭圆参数方程的应用辅助角公式三角函数的值域属于中档题 解析：[5,5]-【分析】可设2cos ,x y θθ==，则2x 4cos 3sin 5sin()θθθα=+=+，其中4tan 3α=，可得2x 的取值范围. 【详解】由点(,)P x y 是曲线22:143x yC +=上一个动点，可设2cos ,x y θθ==，[0,2)θπ∈，则2x 4cos 3sin 5sin()θθθα=+=+，其中4tan 3α=， 又5sin()θα+[5,5]∈-，则2x [5,5]∈-. 故答案为：[5,5]-. 【点睛】本题考查了椭圆参数方程的应用，辅助角公式，三角函数的值域，属于中档题.17．【分析】设动圆的圆心为半径为R 根据动圆与圆外切与圆内切得到两式相加得到再根据椭圆的定义求解【详解】设动圆的圆心为半径为R 因为动圆与圆外切与圆内切所以所以所以动圆圆心的轨迹为以为焦点的椭圆所以所以动圆解析：2212516x y +=【分析】设动圆的圆心为(),Q x y ，半径为R ，根据动圆与圆221():31Q x y ++=外切，与圆222:()381Q x y +=-内切，得到121,9QQ R QQ R =+=-，两式相加得到1212106QQ QQ QQ +=>=，再根据椭圆的定义求解.【详解】设动圆的圆心为(),Q x y ，半径为R ，因为动圆与圆221():31Q x y ++=外切，与圆222:()381Q x y +=-内切， 所以121,9QQ R QQ R =+=-， 所以1212106QQ QQ QQ +=>=， 所以动圆圆心的轨迹为以12,Q Q 为焦点的椭圆， 所以2210,5,3,16a a c b ====，所以动圆圆心的轨迹方程为2212516x y +=， 故答案为：2212516x y += 【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系以及椭圆的定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18．①②【分析】将代入也成立得①正确；利用不等式可得故②正确；联立得四个交点满足条件的最小正方形是以为中点边长为2的正方形故③不正确【详解】对于①将代入得成立故曲线关于直线对称故①正确；对于②因为所以所解析：①② 【分析】将(,)y x 代入22322:()4C x y x y +=也成立得①1≤，故②正确；联立22322()4y xx y x y=±⎧⎨+=⎩得四个交点，满足条件的最小正方形是以,,,A B C D 为中点，边长为2的正方形，故③不正确. 【详解】对于①，将(,)y x 代入22322:()4C x y x y +=得22322()4y x y x +=成立，故曲线C 关于直线y x =对称，故①正确；对于②，因为22322222()()44x y x y x y ++=≤，所以221x y +≤1≤， 所以曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过1，故②正确；对于③，联立22322()4y x x y x y=±⎧⎨+=⎩得2212x y ==，从而可得四个交点A ，(B ，(C ，D ，依题意满足条件的最小正方形是各边以,,,A B C D 为中点，边长为2的正方形，故不存在C 在此正方形区域内（含边界），故③不正确. 故答案为：①② 【点睛】本题考查了由曲线方程研究曲线的对称性，考查了不等式知识，考查了求曲线交点坐标，属于中档题.19．【分析】由焦点均在轴上可得点在椭圆上则点和点在双曲线上代入中求解即可【详解】由焦点均在轴上可得点在椭圆上则点和点在双曲线上设双曲线为则解得即所以双曲线的虚轴长为故答案为:4【点睛】本题考查双曲线的方 解析：4【分析】由焦点均在x轴上可得点(0,在椭圆上,则点()4,2-和点(-在双曲线上,代入22221x y a b -=中求解即可. 【详解】由焦点均在x轴上可得点(0,在椭圆上, 则点()4,2-和点(-在双曲线上,设双曲线为22221x y a b-=,则222216412481a b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,解得24b =,即2b =, 所以双曲线2C 的虚轴长为24b =, 故答案为:4 【点睛】本题考查双曲线的方程与焦点的位置的关系,考查双曲线的几何性质.20．【分析】由题意结合渐近线的性质可得则把点坐标代入双曲线方程可得化简即可得解【详解】点在第一象限且在双曲线渐近线上又直线的斜率为又点是线段的中点又在双曲线上化简得因为故解得故答案为：【点睛】本题考查了1【分析】由题意结合渐近线的性质可得(,)P a b ，则,22a c b Q -⎛⎫⎪⎝⎭，把Q 点坐标代入双曲线方程可得222222()44a cb b a a b -⋅-⋅=，化简即可得解. 【详解】12F PF 2π∠=，点P 在第一象限且在双曲线渐近线上，∴121||2OP F F c ==， 又直线OP 的斜率为ba，∴(,)P a b ， 又 1(,0)F c -，点Q 是线段1PF 的中点，∴,22a c b Q -⎛⎫⎪⎝⎭， 又 ,22a c b Q -⎛⎫⎪⎝⎭在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上， ∴222222()44a cb b a a b -⋅-⋅=，化简得222222()5420b ac a b a ac c ⋅-=⇒--+=， ∴2240e e --=，因为1e >，故解得1e =1. 【点睛】本题考查了双曲线的性质和离心率的求解，考查了计算能力，属于中档题.三、解答题21．//AB CD ，理由见解析. 【分析】利用AM MO ⊥得M 是以OA 为直径的圆与椭圆的交点，解方程组求得M 点坐标．可求得AB k ，由数量积为0得CMD ∠的角平分线垂直于OA ，从而0MC MD k k +=，设直线:CD y kx m =+，()11,C x y ，()22,D x y ，直线方程代入椭圆方程后应用韦达定理得1212,x x x x +，代入0MC MD k k +=可求得参数关系以13k =-或22m k =+(过点M ，舍)，由此可得两直线的位置关系． 【详解】解：由题意(4,0)A -，因为AMB 是以M 为直角顶点的三角形，所以以AO 为直径的圆()2224x y ++=与椭圆223:11616x y C +=交于点M ，联立2222(2)4311616x y x y ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩，解得：22x y =-⎧⎨=⎩或22x y =-⎧⎨=-⎩或40x y =-⎧⎨=⎩（舍），不妨设()2,2M -，则(2,2)B -，2012(4)3AB k --==---．由0MC MD OA MC MD ⎛⎫⎪⋅+= ⎪⎝⎭可得：CMD ∠的角平分线垂直于OA ， 所以0MC MD k k +=，易知直线CD 斜率存在， 设直线:CD y kx m =+，()11,C x y ，()22,D x y ，联立22311616y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得：()2221363160k x kmx m +++-=，即122613km x x k -+=+，212231613m x x k-=+， 所以121222022MC MD y y k k x x --+=+=++， 即()12122(22)480kx x k m x x m ++-++-=， 代入韦达定理可得：()()()4318311k m k k +=++， 所以13k =-或22m k =+(过点M ，舍) 因为13AB k =-，所以//AB CD . 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆相交问题，解题方法是“设而不求”的思想方法，即设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，设直线方程，代入椭圆方程后应用韦达定理得1212,x x x x +（需要根据方便性，可能得1212,y y y y +），由题意中条件得出0MC MD k k +=，代入1212,x x x x +后可求得参数关系或参数值．从而判断出结论．22．（1）22184x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）根据长轴长、两准线的距离以及222a b c =+可得到椭圆的方程；（2）首先要对直线进行分类讨论，当斜率存在时，将直线与椭圆联立，设出,A B 两点的坐标，12k k +用12,x x 表示，再结合韦达定理就能得到证明． 【详解】（1）设椭圆的半焦距为c .因为椭圆的长轴长为8，所以2228a a c==，所以2a c ==，2b .所以椭圆的方程为22184x y +=．（2）证明①当直线l 的斜率不存在时，可得A 1,2⎛- ⎝⎭，B 1,2⎛-- ⎝⎭， 得k 1＋k 2＝4.②当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，显然k ≠0，则其方程为y ＋2＝k (x ＋1)，由221,842(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩得(1＋2k 2)x 2＋4k (k －2)x ＋2k 2－8k ＝0. ∆＝56k 2＋32k >0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－24(2)12k k k -+，x 1x 2＝222812k kk -+. 从而k 1＋k 2＝112y x -＋222y x -＝1212122(4)()kx x k x x x x +-+＝2k －(k －4)·24(2)28k k k k--＝4.综上，k 1＋k 2为定值． 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．23．（1）2214x y +=；（2）存在，且=m 【分析】（1）由已知条件求出a 的值，结合离心率可求得c 的值，再由a 、b 、c 的关系可求得b的值，由此可求得椭圆M 的方程；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线AB 的方程与椭圆M 的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式求出AB ，求出点C 到直线AB 的距离d ，利用三角形的面积公式可得出关于实数m 的等式，解出m 的值，并验证是否满足0∆>，由此可得出结论. 【详解】（1）由于椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>的一个顶点坐标为()2,0-，则2a =，又因为该椭圆的离心率为c a =c =1b ∴=， 因此，椭圆M 的方程为2214x y +=；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立2214y x m x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得2258440x mx m -+-=， ()()2226445441650m m m ∆=-⨯⨯-=->，解得m << 由韦达定理可得1285m x x +=，212445m x x -=， 由弦长公式可得12AB x x =-===， 点C 到直线AB的距离为d =， 所以，ABC的面积为11122ABC S AB d =⋅===△，整理可得42420250m m -+=，即()22250m -=，可得252m =，满足0∆>. 因此，存在2=±m ，使得ABC 的面积为1. 【点睛】 方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式；（5）代入韦达定理求解.24．（1）2214y x -=；（2）( 【分析】（1）取双曲线的一条渐近线：y bx =，与抛物线方程联立即可得到交点A 的坐标，再利用点A 到抛物线的准线的距离为p ，即可得到p ，b 满足的关系式，进而可得答案． （2）根据直线:1l y kx =-与双曲线的右支交于两点，利用韦达定理、判别式列不等式组求解即可.【详解】（1）取双曲线的一条渐近线y bx =，联立22y px y bx ⎧=⎨=⎩解得222p x b py b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故222(,)p p A b b ． 点A 到抛物线的准线的距离为p ， ∴222p p p b+=，可得24b = 双曲线222:14y C x -=； （2）联立22114y kx y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩可得()224250k x kx -+-= 因为直线:1l y kx =-与双曲线的右支交于两点， 所以()22222045{0442040k kk k k ->-->-∆=+->，解得2k <<所以，k的取值范围(.【点睛】求双曲线标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于,,a b c 的方程组，解出,,a b ，从而写出双曲线的标准方程．解决直线与双曲线的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程或不等式，解决相关问题．25．（1）22143x y +=；（2）122y x =-+，3(1,)2M . 【分析】（1）由抛物线2x =-的焦点为(0，得b =12c a =，从而可求出a ，得椭圆方程；（2）分类讨论，斜率不存在的直线及斜率存在的切线，斜率存在的切线用0∆=可求解．【详解】（1）由抛物线2x =-的焦点为(0，，它是椭圆的一个顶点，则b = 又12c e a ==，所以22214a b a -=，解得2a =．∴椭圆方程为22143x y +=； （2）过(2,1)P 斜率不存在的直线为2x =，是椭圆的切线，此时切点为(2,0)M ．此时不满足M 在第一象限.过(2,1)P 斜率存在的切线方程设为1(2)y k x -=-，由221431(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩得222(34)8(12)161680k x k k k k ++-+--=，∴222264(12)4(34)(16168)96(21)0k k k k k k ∆=--+--=-+=，12k =-， 此时121x x ==，1232y y ==，即3(1,)2M ． 直线方程为11(2)2y x -=--，即122y x =-+． 切线方程为122y x =-+，切点3(1,)2M ． 【点睛】关键点睛：本题考查求椭圆的切线，解答本题的关键是分切线的斜率存在和不存在进行讨论，过(2,1)P 斜率存在的切线方程设为1(2)y k x -=-,由方程联立，其0∆=求解,属于中档题.26．（1）14-；（2）17. 【分析】（1）设A ，P 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，代入椭圆方程，利用点差法即可求得直线PA 的斜率；（2）设(,)(P x y x -≤≤，圆心(1,0)D -，可得PD 的表达式，利用二次函数性质，即可求得PD 的最小值，进而可得答案.【详解】（1）设A ，P 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ， 因为A ，P 两点都在C 上，所以221122221818x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减，得()()()()2121212180x x x x y y y y -++-+=，因为21122x x +=⨯=，211212y y +=⨯=，所以212114PA y y k x x -==--. （2）设(,)(P x y x -≤≤，则2218x y +=，圆心(1,0)D -， 则222222786||(1)(1)18877x PD x y x x ⎛⎫=++=++-=++ ⎪⎝⎭， 当87x 时，PD7=. 因为圆D17=. 所以PD的最小值为11777-=. 【点睛】 解题的关键是熟练掌握点差法的步骤，点差法常见的结论有，设以00(,)P x y 为中点的弦所在斜率为k ，则（1）椭圆22221x y a b +=中，2020y b k x a ⋅=-；（2）双曲线22221x y a b -=中，2020y b k x a⋅=；（3）抛物线22y px =中0p k y =，熟记结论可简化计算，提高正确率，属中档题.。

导数法求曲线切线方程的三种题型本文将介绍导数法求解曲线切线方程的三种常见题型。

导数法是解决曲线切线问题的一种常用方法，能够快速而准确地求得曲线上某点的切线方程。

1. 已知函数解析式的题型对于已知函数解析式的题型，我们可以通过求导来获得函数的导函数，然后根据导数的定义来求得切线的斜率。

切线的斜率可以通过导数函数在给定点处的值得到。

最后，利用给定点和切线斜率，我们可以求得切线的方程。

以 y=f(x) 为例，求曲线在点 (a, f(a)) 处的切线方程。

具体步骤如下：1. 求函数 f(x) 的导函数 f'(x)；2. 计算 f'(a)，得到切线的斜率 k；3. 利用点斜式或一般式，将点 (a, f(a)) 和斜率 k 带入，得到切线方程。

2. 已知曲线上点和斜率的题型对于已知曲线上某点和斜率的题型，我们可以通过求导函数来得到切线的斜率。

切线的斜率等于导函数在给定点处的值。

然后，利用给定点和切线斜率，我们可以求得切线的方程。

以曲线上的点 (a, f(a)) 和切线斜率 m 为例，求曲线在该点处的切线方程。

具体步骤如下：1. 求导函数 f'(x)；2. 计算 f'(a) 的值，得到切线的斜率；3. 利用点斜式或一般式，将点 (a, f(a)) 和斜率 m 带入，得到切线方程。

3. 已知两个切线相交的题型对于已知两个切线相交的题型，我们可以通过求解方程组来求得两切线的交点坐标。

首先，我们需要利用已知切线的斜率和点来得到切线的方程。

然后，将两个切线方程联立，解方程组可以得到切线的交点坐标。

以已知切线1方程和切线2方程的斜率和交点为例，求两切线的交点坐标。

具体步骤如下：1. 求切线1和切线2的方程；2. 联立两切线方程，形成方程组；3. 解方程组，得到切线的交点坐标。

使用导数法求解曲线切线方程的三种题型，能够帮助我们准确而高效地求得曲线上某点的切线方程。

这些方法在数学和物理等领域都有广泛的应用，是解决相关问题的重要工具。

椭圆的性质及应用1.椭圆上任意一点处的切线方程过椭圆C ：12222=+by a x （0a b >>）上的任意一点00(,)P x y 作切线，则切线的方程为00221x x y ya b+=. 解析：①不妨设点00(,)P x y 为椭圆的上半部分上的任意一点，则()f x =22()xf x -'=0202()x f x -'=2020x a b y =-⋅，即切线的斜率2020x a k b y =-⋅，于是切线的方程为200020()x a y y x x b y -=-⋅-，2200002222x x y y x y a b a b +=+，又00(,)P x y 在椭圆上，2200221x y a b +=，因此，切线方程为00221x x y ya b+=；②同理得点00(,)P x y 为椭圆的下半部分上的任意一点时，切线方程为00221x x y ya b+=； ③当点00(,)P x y 为长轴的端点时，即(,0)P a ±满足方程00221x x y ya b+=. 所以，椭圆C ：12222=+by a x （0a b >>）上的任意一点00(,)P x y 处的切线方程为00221x x y ya b+=. 1.（2011·福建卷）在直角坐标系xoy 中，直线l 的方程为40x y -+=，曲线C 的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）.（Ⅱ）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值.2.椭圆上任意一点处的法线方程过切点垂直与切线的直线，称为过该点的曲线的法线.利用上述结果，得出下面结论：椭圆C ：12222=+by a x （0a b >>）上的任意一点00(,)P x y 的法线方程为：222200a b x y a b x y -=-. 3.椭圆的光学性质过椭圆C ：12222=+by a x （0a b >>）上的任意一点00(,)P x y 作切线，则切线与焦半径1PF ，2PF 成等角.证明：如图，椭圆C ：12222=+b y a x （0a b >>）上的任意一点00(,)P x y 的法线方程为：222200a b x y a b x y -=-，令0y =，得222002a b x x e x a -==，即20(,0)N e x ，那么，221000()F N c e x ae e x e a ex =+=+=+，2100()F N c e x e a ex =-=-，再根据椭圆的第二定义，10F P a ex ==+，20F P a ex =-，所以，1122PF F N PF F N=，直线PN 为12F PF ∠的平分线，所以12APF BPF ∠=∠.（也可用到角公式证明）1.（2010·安徽卷·文科）椭圆E 经过点(2,3)A ，对称轴为坐标轴，焦点1F ，2F 在x 轴上，离心率12e =. （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）求12F AF ∠的角平分线所在直线的方程. 4.椭圆已知斜率的切线方程已知椭圆C ：12222=+by a x （0a b >>）的切线的斜率为k ，那么切线的方程为：y kx =或y kx =证明：设直线y kx m =+为椭圆C 的切线，这条切线与椭圆C 过00(,)P x y 的：的切线方程为00221x x y y a b +=重合的条件是002211x y a b k m-==-，20a k x m =-，20b y m =. 又2200221x y a b+=，2222m a k b =+，切线的方程为：y kx =y kx =.1.（2011·福建卷）在直角坐标系xoy 中，直线l 的方程为40x y -+=，曲线C 的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）.（Ⅱ）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值. 5.求椭圆的两条互相垂直切线的交点轨迹方程解：具有斜率k的椭圆的切线方程为y kx =与它垂直的的切线方程为1y x k =-，两式联立消去参数k 得2222x y a b +=+.对于斜率不存在的情形上述方程也满足，所以，所求方程为2222x y a b +=+.1.（2014·广东卷·理科）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的一个焦点为（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程. 5.椭圆的直径及共轭直径连结椭圆上任意两点的线段叫弦，过椭圆中心的弦叫直径.平行于直径DE 的弦的中点的轨迹AB 和直径DE 互为共轭直径.ABDE设直线l 不过原点，且不平行于坐标轴，l 与椭圆C ：12222=+by a x （0a b >>）交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，则22AB OMb k k a⋅=-.若椭圆的两直径的斜率之积为22b a-，则称这两直径为椭圆的共轭直径.特别地，若一直径所在的斜率为0，另一条直径的斜率不存在时，也称这两直径为共轭直径.1.（2015·全国卷Ⅱ·理科）已知椭圆C ：2229x y m +=（0m >），直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M . （Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； 6.椭圆的直径三角形把经过椭圆C ：12222=+by a x （0a b >>）的中心的弦DE 称为椭圆的直径，若P为椭圆C 上异于D 、E 的点，则22PE PD b k k a⋅=-.。