椭圆、双曲线切线方程的一个简便求法

椭圆型方程和双曲线方程在数学和物理学中都是重要的方程形式。

它们在描述各种自然现象和工程问题中起着非常重要的作用。

本文将分别介绍椭圆型方程和双曲线方程的相关知识和应用。

一、椭圆型方程1.1 椭圆型方程的定义椭圆型方程是指二次型方程中的常对称阵为正定的方程。

具体而言，一个椭圆型方程可以写成如下形式：a(x^2) + 2bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0其中a，b，c为实数且满足a*c - b^2>0。

当a*c - b^2=0时，方程表示一个退化的椭圆。

1.2 椭圆型方程的性质椭圆型方程描述的图形是一个椭圆，其性质包括但不限于：（1）椭圆对称性：椭圆与x轴和y轴对称。

（2）离心率：椭圆的长轴和短轴之比称为椭圆的离心率，是一个重要的椭圆参数。

（3）焦点、直径、面积等椭圆的相关性质。

1.3 椭圆型方程的应用椭圆型方程在物理学、工程学和金融学等领域有着广泛的应用。

在天体力学中，行星公转的轨道可以用椭圆型方程描述；在工程学中，椭圆型方程可以用于描述声波在二维介质中的传播等。

二、双曲线方程2.1 双曲线方程的定义双曲线方程是指二次型方程中的常对称阵为否定定的方程。

具体而言，一个双曲线方程可以写成如下形式：a(x^2) - c(y^2) = 1其中a，c为实数且满足a*c - 1<0。

当a*c - 1=0时，方程表示一个退化的双曲线。

2.2 双曲线方程的性质双曲线方程描述的图形是一个双曲线，其性质包括但不限于：（1）双曲线的渐近线：双曲线有两条渐近线，分别与曲线的两支趋向于并成的方向平行。

（2）双曲线的焦点、直径、面积等相关性质。

2.3 双曲线方程的应用双曲线方程在物理学、工程学和经济学等领域也有着广泛的应用。

在电磁学中，电磁波的传播可以用双曲线方程描述；在经济学中，需求曲线和供给曲线的交点通常可以用双曲线方程来表示。

椭圆型方程和双曲线方程是数学中重要的方程形式，它们在各个领域都有着广泛的应用。

过椭圆外一点求椭圆的切线方程以《过椭圆外一点求椭圆的切线方程》为标题，我们来讨论如何用代数的方法来求解椭圆的切线方程。

在坐标平面中，椭圆是一种二次曲线，它是一个椭圆形状的几何图形，椭圆经常用它的标准方程来表示，它的标准方程如下所示： $$frac{left (x-x_{0}right )^{2}}{a^{2}}+frac{left(y-y_{0}right )^{2}}{b^{2}}=1 $$其中，$(x_{0}, y_{0})$ 为椭圆的中心位置，a,b为椭圆的长短轴长。

当我们给定椭圆的方程，给定一点外部的点$(x, y)$，我们想要求出由这个外部点和椭圆共同确定的切线方程，则要做的步骤是这样的：（1）先用三角函数把椭圆的标准方程的一般式化成按照椭圆的中心坐标$(x_{0},y_{0})$给出的形式：$$ frac{left (x-x_{0}right )^{2}}{a^{2}}+frac{left(y-y_{0}right )^{2}}{b^{2}}=1. $$（2）然后，根据三角函数的关系，把椭圆的标准方程中$ x,y $代入到外部点$(x,y)$，把椭圆的标准方程变成一元二次方程，求出椭圆上一点$(x,y)$，并且把这一点代入椭圆的标准方程中，得到：$$ frac{left (x-x_{0}right )^{2}}{a^{2}}+frac{left(y-y_{0}right )^{2}}{b^{2}}=1. $$（3）最后，在椭圆的标准方程的基础上，把外部点$(x,y)$的坐标值与椭圆上一点的坐标值作差，则可求出切线方程，即：$$ y-y_{0}=frac{b^{2}}{a^{2}}left (x-x_{0}right ). $$ 以上就是求椭圆的切线方程的具体步骤，这个过程利用了三角函数的基本关系，从而可以从定义出椭圆的方程，而再通过算法判定一点，根据这个点的内外状态，就可以求出切线方程。

综述：x²/a²-y²/b²=1.对x求导：2x/a²-2yy′/b²=0.（x0,y0）的切线斜率y′=x0b²/y0a²（x0,y0）的切线方程：（y-y0）＝x0b²/y0a²（x-x0）。

注意到b²x0²-a²y0²＝a²b².切线方程k可化简为：x0x／a²-y0y／b²＝1。

切线方程是研究切线以及切线的斜率方程，涉及几何、代数、物理向量、量子力学等内容。

是关于几何图形的切线坐标向量关系的研究。

分析方法有向量法和解析法。

向量法：设圆上一点A为(x0,y0),则该点与圆心O的向量OA(x0-a,y0-b)，因为过该点的切线与该方向半径垂直，则有切线方向上的单位向量与向量OA的点积为0。

设直线上任意点B为(x,y)，则对于直线方向上的向量AB(x-x0,y-y0)，有向量AB与OA的点积。

AB●OA=(x-x0)(x0-a)+(y0-b)(y-y0)=(x-a+a-x0)(x0-a)+(y0-b)(y-b+b-y0)=(x-a)(x0-a)+(y-b)( y0-b)-(x0-a)^2-(y0-b)^2=0，故有(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=(x0-a)^2+(y0-b)^2=r^2。

分析-解析法：设圆上一点A为(x0,y0),则有:(x0-a)^2+(y0-b)^2=r^2，对隐函数求导，则有:2(x0-a)dx+2(y0-b)dy=0dy/dx=(a-x0)/(y0-b)=k。

(隐函数求导法亦可证明椭圆的切线方程，方法相同)或直接k1=(y0-b)/(x0-a); k*k1=-1;(k1为与切线垂直的半径斜率。

)得k=(a-x0)/(y0-b) (以上处理是假设斜率存在，在后面讨论斜率不存在的情况)。

一直椭圆上切线的斜率求切线方程椭圆是一个常见的二次曲线，具有很多特性和性质。

其中一个重要的性质是，对于椭圆上的任意一点，都有且只有一条切线经过该点。

本文将详细介绍如何求解椭圆上切线的斜率，并进一步推导出切线的方程。

首先，我们来回顾一下椭圆的定义和性质。

椭圆是平面上一组点的集合，满足到两个给定点（焦点）的距离之和等于常数的特性。

椭圆也可以通过其半长轴（a）和半短轴（b）来描述。

根据定义，椭圆的方程可以表示为：(x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1其中，(h,k)是椭圆的中心点。

这个方程可以被用来求解椭圆上的点的坐标，并进一步计算切线的斜率。

要求解椭圆上的切线斜率，我们需要先求解椭圆上的点的坐标，然后计算每个点处的切线的斜率。

接下来，我们将详细介绍这个过程的步骤。

步骤1：找到椭圆上的点的坐标要找到椭圆上的点的坐标，我们可以使用椭圆的方程。

假设我们已经知道椭圆的半长轴（a）、半短轴（b）、中心点（h,k）和一点的横坐标（x）。

我们可以将这些值代入椭圆方程，然后解方程得到相应的纵坐标（y）。

这样就可以得到椭圆上的点的坐标。

步骤2：计算切线的斜率要计算椭圆上某点处的切线的斜率，我们可以使用求导的方法。

首先，我们求出椭圆方程关于x的导数，然后将该导数代入到求解椭圆上某点的纵坐标之前，生成一个带有x和y的方程，另一个方程是椭圆方程。

假设我们已经找到了椭圆方程关于x的导数，假设为dy/dx。

现在我们可以使用这个导数来计算椭圆上某点处的切线的斜率。

在这个点处，椭圆方程和其导数都成立。

我们可以将这两个方程相乘，然后通过移到x项和y项到方程两个边来得到一个方程。

步骤3：写出切线方程现在我们已经得到了椭圆上某点处的切线的斜率，我们可以使用该点的坐标和切点的斜率来写出切线的方程。

切线的方程可以写为：y - y1 = m(x - x1)其中，(x1,y1)是切点的坐标，m是切线的斜率。

二次曲线的切线方程及应用[摘要] 本文主要利用隐函数求导的方法推导常见二次曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）上某点处的切线方程，并得出一般二次曲线的切线方程及切点弦方程，再将相应结论进行应用。

[关键词] 二次曲线切线方程切点弦方程有关二次曲线的切线方程及其应用问题，近年来在各类考试中出现的频率颇高，为更好地解决此专题的问题，笔者将常见二次曲线的切线方程及切点弦方程的有关结论及推导过程整理一遍，并简述其应用，以供广大教师及学生参考．1几个常见结论及推导1．在圆上一点处的切线方程为：．（注：为与求其它二次曲线的切线方程所用方法一致，这里利用涉及隐函数求导的方法来推导．）将圆的方程中的y视为关于x的函数（即y是x的隐函数），那么就可以在上式两边分别对x求导数．隐函数求导法则，实际与复合函数求导法则一致，将y看作中间变量，外函数是，内函数为，故．于是有：在两边分别对x求导，得，若，则有．由导数的几何意义知，曲线上某点处切线的斜率是该点的导数值．故对于圆上点，若，则有，此即为在点M处切线的斜率，故所求切线方程为．又，① 为所求．若，由图象可知，此时所求切线方程为：或．又，故所求切线方程为：或．也满足①式．故在圆上一点处的切线方程可统一写为：．2．在椭圆上一点处的切线方程为：．推导过程如下：在两边分别对x求导得：，对于点，若，则有，此即为在点M处切线的斜率．故所求切线方程为，又，故②为所求．若，此时所求切线方程为：或，也满足②式．故在椭圆上一点处的切线方程为：．3．在双曲线上一点处的切线方程为：③．注：推导过程与结论1和结论2的推导过程类似，可让学生动手推导，体会其中的思想．4．在抛物线上一点处的切线方程为：．在两边对x求导，得．对于点，若，则有，此即为在点M处的切线的斜率．故所求切线方程为，即，又在抛物线上，故，因此所求切线方程为：④．若，此时所求切线方程为：也满足④式．故在抛物线上一点处的切线方程为：．结论4的切线方程形式与前3个结论有些不同，引导学生从抛物线的方程的形式观察，得到结论：抛物线的切线方程实际上可写为，进而得到一般性的结论5．将以上四个结论推广，可得到以下结论：5．设是二次曲线上一点，则此曲线在点M处的切线方程为：⑤．注：二次曲线的方程中不含项．此结论推导过程可仿照上述结论的推导过程来完成，这里不再赘述．从结论5出发，进一步思考，若点在二次曲线外，则过点M可作曲线的两条切线，设切点分别为，那么由切点在曲线上及结论5可知，曲线在点A处的切线方程为，曲线在点B处的切线方程为，因点在切线上，故⑥，同理，⑦，综合⑥⑦得，点，的坐标都满足方程．因为经过点的直线是唯一的，故过点A,B的直线方程为：．由此，我们可以得到另一个结论：6．设是二次曲线外一点，则过点M可作曲线的两条切线，设切点分别为，则直线AB的方程（即切点弦方程）为：．由结论6，将曲线方程特殊化为高中常见的二次曲线方程，即可得到关于圆、椭圆、双曲线和抛物线的切点弦方程的相应结论．2应用有关切线方程及切点弦方程的考题，近几年均是热点，比如广州市2013届普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）（简称“广州市一模”）第20题，2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科/理科）第20题，2014年清华等七校自主招生考试（简称“华约卷”）第5题等．2013年广东高考的解析几何题虽和当年广州市一模的解析几何题有较大相似度，但考试结果仍不理想，文[1]指出，2013年的解析几何题“不仅加大了计算量，而且对计算的技巧性的要求大大增强，与压轴题的难度接近（第20题得分2.85分，第21题得分2.13）．”因此，有必要对切线方程及切点弦方程这一专题内容做一个梳理．现将2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学第20题展示如下：已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线 :的距离为 .设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线 ,其中为切点.(Ⅰ) 求抛物线的方程；(Ⅱ) 当点为直线上的定点时,求直线的方程；(Ⅲ) 当点在直线上移动时,求的最小值.略解：(Ⅰ)易得所求抛物线方程是：．(Ⅱ)利用第1部分的结论6，即得所求直线的方程（即切点弦方程）为：，即．（注：高考需将结论6的过程在答卷上推演一遍，因其不是高中课本内的结论.第(Ⅲ)小题解答略．）从此题的解答看，熟知第1部分的几个结论虽可立即得正解，但在高考题的作答中仍要将推导过程再演算一遍，似乎不太便捷，这是因为此题直接考查结论（求切点弦方程），若考查的是利用切点弦方程再求其它问题，那熟知结论的优越性立刻体现．请看2014年华约卷第5题：过椭圆上一点作圆的两条切线，切点为，设直线与轴、轴分别交于点，求的面积的最小值．解析：法一：设，由结论6知，直线的方程为：，，，故的面积．又点在椭圆上，故．由基本不等式得：，即（当且仅当时，等号成立），．，即的面积的最小值为．法二：（利用椭圆的参数方程求解）因点在椭圆上，故可设，由结论6知，直线的方程为：，故，的面积（当且仅当，即或时，等号成立），故的面积最小值为．解法一与解法二虽具体利用的知识不同，但其求解思路是一致的，关键的一步在于写出直线PQ的方程，而在自主招生或竞赛类考试中，直接写出二次曲线的切线方程或切点弦方程是允许的．因此，教师可将有关二次曲线的切线方程及切点弦方程问题形成一个小专题，根据学生水平及实际需要，适当讲解以上结论作为拓展，为学生获得更佳成绩打好基础．3小结由于高中阶段没有涉及到隐函数求导的内容，因此高考题在考纲范围内只能考查形如的抛物线的切点弦方程，对于一般水平的学生，教师只需讲透高中常见的解法即可．而第1部分的结论是常见二次曲线的有关切线方程和切点弦方程的结论，结论5、结论6将常见二次曲线的切线方程、切点弦方程统一起来，得到一般二次曲线的切线方程、切点弦方程．实践表明，对于能力较强的学生，是可以理解第1部分的几个结论的推导，并且利用这些结论对于他们应对自主招生或竞赛类考试有一定的帮助．参考文献[1] 彭建开.于平凡处见“真功夫”——2013年高考广东理科试题第20题解析[J].广东教育(高中版), 2013(7·8): 59-60．。

第1篇椭圆是平面解析几何中的一种基本曲线，其方程一般形式为 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中 $a$ 和 $b$ 是椭圆的半长轴和半短轴，且 $a > b$。

在数学分析、几何学以及物理学中，椭圆切线方程的研究具有重要意义。

本文将探讨椭圆切线方程的求解方法。

一、椭圆切线的几何性质椭圆的切线具有以下几何性质：1. 切线与椭圆相切于一点，且在该点处切线斜率存在。

2. 对于椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，其切线斜率 $k$ 与椭圆上切点坐标 $(x_0, y_0)$ 满足关系 $k = -\frac{b^2}{a^2} \cdot\frac{x_0}{y_0}$。

3. 对于椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，其切线方程可以表示为 $y = kx + m$，其中 $m$ 为切线在 $y$ 轴上的截距。

二、椭圆切线方程的求解方法1. 直接法直接法是指直接根据椭圆的方程和切线的几何性质，推导出椭圆切线方程的方法。

设椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上的切点坐标为 $(x_0,y_0)$，切线斜率为 $k$。

根据切线斜率的几何性质，有 $k = -\frac{b^2}{a^2} \cdot \frac{x_0}{y_0}$。

又因为切点 $(x_0, y_0)$ 满足椭圆方程，所以 $\frac{x_0^2}{a^2} +\frac{y_0^2}{b^2} = 1$。

联立上述两个方程，解得 $x_0 = \frac{a^2k}{\sqrt{k^2 + b^4/a^4}}$，$y_0 = \frac{b^2}{\sqrt{k^2 + b^4/a^4}}$。

将 $x_0$ 和 $y_0$ 代入切线方程 $y = kx + m$，得 $y = k \cdot\frac{a^2k}{\sqrt{k^2 + b^4/a^4}} + m$。

椭圆双曲线公式椭圆双曲线公式是数学中非常重要的一个公式，它可以描述椭圆和双曲线的形状，以及它们在平面上的位置关系。

本文将介绍椭圆双曲线公式的定义、性质和应用。

一、椭圆双曲线的定义椭圆和双曲线都是在平面上由一些点构成的图形，它们的形状和位置关系可以用椭圆双曲线公式来描述。

这个公式是一个二次方程，它的一般形式为：Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0其中，A、B、C、D、E、F都是实数，而且A和C不同时为零。

这个方程所代表的图形有以下几种情况：1、当B - 4AC > 0时，方程所代表的图形是椭圆。

2、当B - 4AC = 0时，方程所代表的图形是一条抛物线。

3、当B - 4AC < 0时，方程所代表的图形是双曲线。

二、椭圆双曲线的性质椭圆和双曲线都有一些共同的性质，它们可以用椭圆双曲线公式来证明。

下面是椭圆双曲线的一些性质：1、椭圆和双曲线都是对称的，它们的轴线、焦点和直径都有对称性。

2、椭圆和双曲线都有一些重要的参数，如焦点距离、半长轴、半短轴等，它们可以用椭圆双曲线公式来计算。

3、椭圆和双曲线都有一些重要的定理，如焦点定理、切线定理等，它们可以用椭圆双曲线公式来证明。

4、椭圆和双曲线在几何学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用，如建筑设计、天文学、电子工程等。

三、椭圆双曲线的应用椭圆双曲线公式在各个领域都有广泛的应用，下面是一些典型的应用：1、建筑设计：椭圆双曲线可以用来设计建筑物的拱形结构，如教堂、体育馆等。

2、天文学：椭圆双曲线可以用来描述行星、彗星和卫星的轨道，以及天体的引力场。

3、电子工程：椭圆双曲线可以用来设计天线、滤波器、反射器等电子器件，以及分析电路的频率响应。

4、数学教育：椭圆双曲线是数学中的一个重要概念，它可以用来讲解二次方程、向量、矩阵等数学知识。

四、结论椭圆双曲线公式是数学中一个重要的公式，它可以用来描述椭圆和双曲线的形状和位置关系。

椭圆双曲线具有对称性、参数性、定理性和应用性等特点，它在建筑设计、天文学、电子工程和数学教育等领域都有广泛的应用。

椭圆双曲线的经典结论一、椭 圆点 P 处的切线PT 平分△ PF 1F 2在点 P 处的外角 .PT 平分△ PF 1F 2在点 P 处的外角， 则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径 的圆，除去长轴的两个端点以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线 相离 . 以焦点半径 PF 1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆 内切 . 若 P 0(x 0,y 0) 在椭圆 21 a b 22 2x y 22 1 2 2a b 2x 0x y 0y 2 2a b 2若 P 0(x 0,y 0) 在椭圆弦 P 1P 2 的直线方程是 1. 2 y2 x ，则过 P 0 的椭圆的切线方程是 x 02x a 外 ，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 y0 y1. b 2 1. P 1、P 2，则切点 2 椭圆 x2 a 2 F 1PF 22 椭圆 x2 a 2 |MF 1 | a 2 y b 2 1 (a > b > 0) 的左右焦点分别为 F 1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点 则椭圆的焦点角形的面积为 S F 1PF 2 b 2tan . 2 2 yb 2 ex 0, |MF 2| a ex 0( F 1( c,0) , F 2(c,0) 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点， A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和 1(a >b >0)的焦半径公式： M (x 0,y 0)). AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M 、N 两点，则 MF ⊥NF. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P 、Q, A 1、 A 2为椭圆长轴上的顶点， A 1P 和 A 2Q 交于点 M ，A 2P 和 A 1Q 交于点 N ，则 MF ⊥NF. 22AB 是 椭 圆 x 2 y 2a 2b 2b 2 ，a 2b 2x 02。

a y 0 1的不平行于对称轴的弦，M (x 0,y 0) 为 AB 的中点， k OM kAB 即K AB 若 P 0(x 0,y 0) 在 椭 x 0x y 0y 2 ab 22 x0 2 a 2 x 2a2 yb 2 1 内 ， 则 被 Po 所 平 分 的中 点弦 的 方程 2y 0 b 2若 P 0(x 0,y 0) 在 椭 圆2x2 ay 2 b 21 内 ， 则 过 Po 的 弦 中 点 的 轨 迹 方 程1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.8.9.10. 11. 12. 13.2 x 2 a2 yb2x0x y0y2a b2二、双曲线点P处的切线PT平分△ PF1F2在点P处的内角.PT平分△ PF1F2在点P 处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.以焦点半径PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆P在左支）若P0（x0,y0）在双曲线是x a02x y b02yab1.若P0（x0,y0）在双曲线线切点为P1、P2，双曲线22xy22ab一点F1PF2相切. （内切：P在右支；外切：22ab222x y22a b21（a>0,b >0）x2则切点弦2y1(a> 0,b > 0)上，则过P0 的双曲线的切线方程外，则过Po 作双曲线的两条切P1P2 的直线方程是x02x y0ya2a> 0,b > o）的左右焦点分别为则双曲线的焦点角形的面积为Sb21.F1，F1PF2F2，点P 为双曲线上任意b2cot .222xy22 ab 当M ( x0 , y0 )在右支上时，|MF1| ex0 a, |MF2| ex0 a.当M ( x0 , y0 )在左支上时，|MF1| ex0 a, |MF2 | ex0双曲线a> 0,b > o）的焦半径公式：（F1（ c,0）F2(c,0)设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交P 、Q两点， A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.过双曲线一个焦点A1P 和A2Q交于点2xAB 是双曲线2a2的中点，则K OMF 的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2 为双曲线实轴上的顶点，M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.b2K AB1（a>0,b >0）的不平行于对称轴的弦，M（x0,y0）为AB若P0(x0,y0) 在双曲线 2 a2 x02 a方程是x02xa2y0yb2b2x2 022x y21（a>0,b >0）内，则被Po 所平分的中点弦的b2y02.b2 .，即K ABb2x02。

双曲线的公切线问题一、双曲线的定义与性质1.1 双曲线的定义双曲线是平面上一类特殊的曲线，其定义形式通常为$ - = 1 ，其中a和b$为正实数。

1.2 双曲线的性质双曲线有许多有趣的性质，下面我们将介绍其中几个重要的性质。

1.2.1 两分支与椭圆类似，双曲线也由两个分支组成，分别位于x轴的正半轴和负半轴上。

两个分支在坐标原点处相交，且在无穷远处趋于平行于x轴。

1.2.2 镜像对称性双曲线具有关于x轴和y轴的镜像对称性。

即，如果(x,y)在曲线上，则(−x,y)、(x,−y)和(−x,−y)也在曲线上。

1.2.3 渐近线双曲线有两条渐近线，分别与两分支无限接近但永远不会相交。

渐近线的方程分别x。

为y=±ba1.2.4 FOcal LENgth双曲线的焦点与顶点之间的距离称为焦距，用字母c表示。

焦距与双曲线的形状密切相关，当c<a时，双曲线的形状更加扁平；当c>a时，双曲线的形状更加狭长。

二、双曲线的公切线问题2.1 公切线的定义公切线是指曲线和直线的交点处，曲线在该点处的切线重合。

2.2 如何求解公切线对于双曲线的公切线问题，我们需要先找到双曲线上某一点的切线斜率，然后通过该点的坐标和切线斜率得到切线方程。

2.2.1 求解切线斜率设双曲线的方程为$ - = 1 ，要求双曲线上某一点P(x_0,y_0)处的切线斜率。

我们可以使用隐函数求导的方法来求解，具体步骤如下：1.将双曲线方程对x求导，得到 - = 0 。

2.将得到的式子整理为 = 。

3.将点P(x_0, y_0)$的坐标代入上述表达式，即可得到切线斜率。

2.2.2 求解切线方程已知切线斜率和一点的坐标，我们可以利用点斜式来表示切线方程。

设点P(x0,y0)处的切线斜率为k，切线方程为y−y0=k(x−x0)。

2.3 公切线的数量和性质分析对于双曲线的公切线问题，公切线的数量和性质取决于两个条件：切点与切线之间的距离和双曲线的形状。

求曲线（圆、椭圆、抛物线和一般曲线）的切线方程专题一 考纲解析：曲线的切线方程是近几年高考的重点和难点，一般出现在选择、填空和大题等位置。

常出现的题型包括圆的切线方程，椭圆、双曲线、抛物线以及一般曲线的切线方程。

处理方法有用直线与曲线联立∆判别式为零确定相切情况和利用导数几何意义求曲线的切线方程。

二、题型解析题型一 圆的切线方程方法指导：圆切线问题处理步骤首先看点),(000y x P 是在圆上还是圆外：若过圆上一点且与圆相切的切线方程只要一条；若过圆外一点且与圆相切需结合图形分析，过圆外一点且与圆相切要考虑切线斜率是否存在？如果斜率存在一般设切线方程：)(00x x k y y -=-切通过点到切线距离等于圆半径求出切线斜率，最后可通过图形检验切线斜率的正负性。

典例一 过点M （0,5）、N （3，-4）的圆圆心C 在直线：-2x+3y+3=0.求过点H （-2,4）且与圆C 相切的切线方程【解】：根据圆知识点圆内两条相交弦的交点即为圆心，3354-=--=MN k ,M,N 的中点为 （21,23），直线MN 的中垂线为：)23(3121-=-x y ，设圆心坐标为(a,b) 联立方程⎪⎩⎪⎨⎧-=-=++-)23(31210332a b b a 解得圆心坐标（3,1），故圆C 方程：25)1()3(22=-+-y x 如上图所示，H 点在圆外部，其中一条切线方程显然为：x=-2另外一条存在斜率，设为：)2(4+=-x k y ，圆心C(3,1)到直线的距离51|35|2=++=k k d ，解出,158则方程为：8x-15y+16=0,综述切线方程为：x=-2或8x-15y+16=0. 变式训练：(1)（2010年课标全国）圆心在原点且与直线x+y+2=0相切的圆的方程为【解】设圆的方程为：222r y x =+，根据题意，得22|2|=-=r ，所以圆的方程为：222=+y x(2) (2020.浙江)已知直线1)4(1)0(2222=+-=+>+=y x y x k b kx y 和圆与圆均相切，则k= ,b= .【解】: 如下图所示：满足k>0的直线方程即与122=+y x 圆相切且又与1)4(22=+-y x 圆相切的直线为直线AB ，则设直线AB方程为：)2(-=x k y ,圆心O （0,0）到直线AB的距离11|2|2=+-=k k d ，解得332,33-==b k 进而得到。

二次曲线的切线问题洪江摘要：本文针对历年来的二次曲线的切线这个高考热点问题进行探讨。

其中主要介绍椭圆、双曲线、抛物线这三种二次曲线。

文中概述了切点在曲线上和曲线外时切线的求法，并以高考题目作为例子进行论述。

随后本文还讨论了切点所带来的切点弦问题、切点弦方程的求法及应用的关键。

最后还提出和总结了几种二次曲线中与切线相关的小性质，并且说明了其来源。

关键词：二次曲线；椭圆；双曲线；抛物线；切线；切点弦；性质An Study on Tangent Lines of ConicHongjiangAbstract: This study intends to discuss tangent lines of conic which has been a hot topic in National College Entrance Examination since these years. Firstly, it mainly exam Three parts of conic—Ellipse, Hyperbola, Parabola. This study summarizes ways to get tangent pains either on the curve or out of it and it also uses questions from NCEE to support it. Secondly, in this study, we discuss chord of contact which follows the tangent point, methods to work out equation of the cut point and how to use well. Finally, it also finds and summarizes some qualities of conic and shows their origins.Key words: Conic, Ellipse, Hyperbola, Parabola, Tangent, Quality二次曲线在高考中占着很重要的地位，往往是作为压轴题出场，特别是近年来其切线问题的应用的综合性问题更是一个热点。

过椭圆外一点的切线方程
\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)。

其中椭圆的长轴为2a，短轴为2b。

设椭圆外一点为P(x1, y1)。

接下来，我们可以按照以下步骤求解过该点的切线方程：
1. 计算椭圆的导数。

首先，我们需要计算椭圆方程的导数。

对椭圆方程两边分别对
x求导，得到。

\(\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{b^2} \frac{dy}{dx} = 0\)。

解出 \(\frac{dy}{dx}\)：
\(\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{a^2} \cdot
\frac{b^2}{2y}\)。

化简得到：
\(\frac{dy}{dx} = -\frac{b^2x}{a^2y}\)。

2. 求解切线斜率。

通过点P(x1, y1)代入导数公式，得到该点处的斜率k：
\(k = -\frac{b^2x1}{a^2y1}\)。

3. 写出切线方程。

切线方程可以写成点斜式或者斜截式，这里我们以点斜式为例。

切线方程可以写为：
\(y y1 = k(x x1)\)。

代入斜率k和点P(x1, y1)，得到最终的切线方程。

综上所述，通过以上步骤，我们可以求得过椭圆外一点的切线
方程。

需要注意的是，在实际应用中，还需要考虑椭圆的参数和点
P的具体坐标值，以及切线的存在性和唯一性等问题。

双曲线切线的一条性质双曲线是广泛应用在几何学中的一种曲线，它包括一系列名为椭圆、双曲线和偏心圆的曲线，他们都属于二次曲线，也就是说它们都可以通过y = ax2 + bx + c这样一个二次方程来构造，同时双曲线也是子树今平面几何中很常用的空间曲线。

在双曲线几何学里，双曲线的切线是很重要的内容，据此，双曲线的切线的一条显著的性质就是：双曲线切线的斜率是一个常数。

斜率的定义：用函数y = f（x）表示的一条曲线上任意两点（x1，y1），（x2，y2），斜率的定义为两点坐标的变化量m= (y2-y1)/(x2-x1)，也可以用M =dy/dx或者f(x)（代表函数f（x）的导数）来表示。

因此，双曲线切线的斜率K可以表示为以下公式：K=dy/dx=-(ax2 + b)/(2ay + c)从上面的公式可以看出，双曲线切线的斜率一定是一个常数，而且该常数的值对于双曲线的定义式里的a，b，c的取值是有关系的。

另外，双曲线切线的斜率K的值也会受双曲线的定义式里的系数a，b，c的影响，特别是当a，b，c取值不同时，双曲线切线的斜率也会有所不同。

例如，双曲线y2=x2-2x+3，该双曲线的一条切线的斜率K=-1，该双曲线对称轴y=1，其切线斜率K=-2，而双曲线y2=-x2+2x-3，该双曲线的一条切线的斜率K=1，该双曲线对称轴y=-1，其切线斜率K=2。

可见，双曲线的切线斜率是一个常数，这个常数值不仅受到双曲线定义式里的系数a，b，c的影响，也受到双曲线的对称轴的影响，比如对称轴的取值会影响双曲线的切线斜率的正负，此外，双曲线的切线斜率也与双曲线形状的变化有关系，特别是当双曲线有极大值或者极小值时，双曲线的切线斜率也会有所变化。

因此，可以将双曲线的切线斜率常数K作为双曲线的一条重要性质，它不仅可以帮助对双曲线局部形状进行研究，也可以帮助分析双曲线的变化。

总之，双曲线的一条显著的性质就是切线的斜率是一个常数，这个常数的取值受到双曲线定义式里的系数a，b，c的影响，也受到双曲线的对称轴的影响；此外，双曲线切线斜率也与双曲线形状的变化有关系，对双曲线局部形状进行研究和分析双曲线的变化，可以利用双曲线的切线常数K作为一种技巧。

过椭圆上一点的切线方程
椭圆是一种几何形状，它的简单的定义是除了两个焦点以外，其他点都位于椭圆上。

椭圆的切线方程是一个关于椭圆上任意一点的切线方程，它能够描述从该点出发的切线情况。

椭圆的切线方程可以通过椭圆上任意一点的坐标来求得。

如果把椭圆上的任意一点看做（x_
0，y_0），那么椭圆上这一点的切线方程为：y-y_0=m(x-
x_0)，其中m为斜率，由公式可知：m=-(x_0y_0)/(a^2-x_0^2)，其中a为椭圆的长轴长度。

椭圆的切线方程可以用来求出椭圆上任意一点的切线的斜率，而斜率可以用来求出任意一点的切线的方程。

椭圆的切线方程是非常有用的，比如它可以用来求出椭圆上任意一点到椭圆的焦点的最短距离，也可以用来求出椭圆上任意一点到椭圆的最大值或最小值。

椭圆的切线方程的应用还不仅于此，比如它可以用来求出椭圆的极坐标，也可以用来求出椭圆的面积。

它还可以用来求出椭圆上任意一点到另一点的距离，以及椭圆的内积半径等等。

椭圆的切线方程的重要性不言而喻，它是几何学中一个重要的概念，能够提供几何学中有关椭圆的一些有用的信息。

它不仅仅可以用来解决椭圆相关的几何学问题，还可以用来解决其他几何学问题，比如求解曲线上任意一点的切线方程等等。

椭圆双曲线抛物线公式汇总椭圆双曲线抛物线公式双曲线的标准公式为: X /a - Y /b = 1(a>0,b>0) 而反比例函数的标准型是xy = c (c ≠ 0) 但是反比例函数确实是双曲线函数经过旋转得到的因为xy = c的对称轴是y=x, y=-x 而X /a - Y /b = 1的对称轴是x轴,y轴所以应该旋转45度设旋转的角度为a (a≠0,顺时针) (a为双曲线渐进线的倾斜角) 则有X = xcosa ysina Y = - xsina ycosa 取a = π/4 则X - Y = (xcos(π/4) ysin(π/4)) -(xsin(π/4) - ycos(π/4)) = (√2/2 x √2/2 y) -(√2/2 x - √2/2 y) = 4 (√2/2 x) (√2/2 y) = 2xy. 而xy=c 所以X /(2c) - Y /(2c) = 1 (c>0) Y /(-2c) - X /(-2c) = 1 (c 由此证得,反比例函数其实就是双曲线函数椭圆的面积公式S=π(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长).或S=π(圆周率)×A×B/4(其中A,B分别是椭圆的长轴,短轴的长).椭圆的周长公式椭圆周长没有公式,有积分式或无限项展开式。

椭圆周长(L)的精确计算要用到积分或无穷级数的求和。

如L = ∫[0,π/2]4a * sqrt(1-(e*cost) )dt≈2π√((a b )/2) [椭圆近似周长], 其中a为椭圆长半轴,e为离心率椭圆离心率的定义为椭圆上的点到某焦点的距离和该点到该焦点对应的准线的距离之比,设椭圆上点P到某焦点距离为PF,到对应准线距离为PL,则e=PF/PL椭圆的准线方程x=±a /C椭圆的离心率公式e=c/a(e2c)椭圆的焦准距:椭圆的焦点与其相应准线(如焦点(c,0)与准线x= a /C)的距离,数值=b /c椭圆焦半径公式|PF1|=a ex0 |PF2|=a-ex0椭圆过右焦点的半径r=a-ex过左焦点的半径r=a ex椭圆的通径:过焦点的垂直于x轴(或y轴)的直线与椭圆的两焦点A,B之间的距离,数值=2b /a点与椭圆位置关系点M(x0,y0) 椭圆x /a y /b =1点在圆内: x0 /a y0 /b点在圆上: x0 /a y0 /b =1点在圆外: x0 /a y0 /b >1直线与椭圆位置关系y=kx m ①x /a y /b =1 ②由①②可推出x /a (kx m) /b =1相切△=0相离△相交△>0 可利用弦长公式:A(x1,y1) B(x2,y2)|AB|=d = √(1 k )|x1-x2| = √(1 k )(x1-x2) = √(1 1/k )|y1-y2| = √(1 1/k )(y1-y2)椭圆通径(定义:圆锥曲线(除圆外)中,过焦点并垂直于轴的弦)公式:2b /a椭圆的斜率公式过椭圆上x /a y /b 上一点(x,y)的切线斜率为b *X/a y 抛物线的标准方程右开口抛物线:y =2px左开口抛物线:y =-2px上开口抛物线:x =2py下开口抛物线:x =-2pyp为焦准距(p>0)[编辑本段]3.抛物线相关参数(对于向右开口的抛物线)离心率:e=1焦点:(p/2,0)准线方程l:x=-p/2顶点:(0,0)通径(定义:圆锥曲线(除圆外)中,过焦点并垂直于轴的弦):2P [编辑本段]4.它的解析式求法:以焦点在X轴上为例知道P(x0,y0)令所求为y =2px则有y0 =2px0∴2p=y0 /x0∴抛物线为y =(y0 /x0)x [编辑本段]5.抛物线的光学性质:经过焦点的光线经抛物线反射后的光线平行抛物线的对称轴。

求解椭圆切线的方法孙老师April7,2020Contents1圆的切线1 2椭圆的切线2 1圆的切线如图，点M(x0,y0)为圆O：x2+y2=r2上一点，l为过点M的切线，求切线l的方程.这个问题很容易求解。

常见的解法有两种.解法1：设过点M的切线l的斜率为k.Figure1:1则l:y−y0=k(x−x0)与圆的方程联立x2+y2=r2(1)y−y0=k(x−x0)(2)得到一个关于x的一元二次方程,然后由∆=0求出k的值，进而求出直线方程.显然在这个求解过程中计算量很大，容易出错。

解法2：因为OM⊥l,所以k OM.k=−1.k OM=y0x0,可求出k=−x0y0.因此可求出切线方程为y−y0=−x0y0(x−x0).做一下化简可得到更简洁的形式y0.y−y20=−x0.x+x20x0.x+y0.y=x20+y20=r2 2椭圆的切线如图，点M(x0,y0)为椭圆：x2a2+y2b2=1上一点，l为过点M的切线，求切线l的方程.Figure2:2常见的解法有两种.解法1：设过点M 的切线l 的斜率为k .则l :y −y 0=k (x −x 0)与椭圆的方程联立x 2a 2+y 2b 2=1(3)y −y 0=k (x −x 0)(4)得到一个关于x 的一元二次方程,然后由∆=0求出k 的值，进而求出直线方程.显然在这个求解过程中计算量很大，容易出错。

解法2：首先给出一个椭圆中的定理.定理1如图，点M (x 0,y 0)为椭圆：x 2a 2+y 2b 2=1上一点，l 为过点M 的切线，则k OM .k =−a 2b 2.注：定理的证明需要用到隐函数求导法则，不在高中阶段考试大纲内，因此这个定理不做证明.k OM =y 0x 0,可求出k =−b 2x 0a 2y 0.因此可求出切线方程为y −y 0=−−b 2x 0a 2y 0(x−x 0).做一下化简可得到更简洁的形式y 0y b 2−y 20b 2=−x 0x a 2+x 20a2x 0x a 2+y 0y b 2=x 0x a 2+y 2b 2=1例题：已知椭圆x 24+y 2=1，点M (√3,12)为椭圆上一点，求过点M 的切线.解：设切线斜率为k .由定理可得k OM .k =−a 2b 2=−14,易求得k O M =12√3,因此可求出k =−√32因此切线方程为：y −12=−√32(x −√3).3注：也可以直接套用上面得到的结果x0xa2+y0yb2=1得到切线方程为√3x4+y=1.总结：希望同学们掌握好这种求椭圆切线的方法，可以极大的简化计算过程，节约考试时间，提高做题正确率.4。

椭圆、双曲线切线方程的一个简便求法中学数学研究2009年第6期的直线方程.分析:要求A的内外角平分线所在的直线方程,只要分别求出它们的斜率即可,由角平分线到两边的角相等,很容易求出斜率.解:设A的角平分线为AM,由AB到AM的角等于AM到Ac的角可知:kAc--kAM,解得k-=711kAcAM或+.忌AB+.‰忌=一专,所以直线AM的方程为:ll:7x—Y一17=0或Z2:+7y一31=0,它们分别是A的内外角平分线所在的直线方程.因为内角平分线内分对边,所以点B,C应在AM的异侧.经验证,点B,C在直线l1的异侧,而点B,C在直线z2的同侧.因而z1:7x—y一17=0为A内角平分线所在直线方程,z2:z+7y一31=0为A的外角平分线所在的直线方程.例7已知集合A={(,Y)IY一√3z≤0},集合B={(z,Y)I+(Y一口)≤1},若AnB=B,求a的取值范围.解:Y一√3z≤0表示直线Y一√3z=0右下方的平面区域,+(Y—a)≤1表示圆+(Y一口)=1的内部和圆周上的点的集合,要使AnB=B,只要z+(Y一口)≤1的区域全部在Y一√3z≤0区域的右下方即可,所以圆心到直线的距离大于这个圆的半径就可以了.I一一I即d=L&gt;1,由于a&lt;0,所以口&lt;一2.总之,线性规划不光能解决目标函数在线性约束条件下的最值问题,还可以解决与平面区域有关的问题,而且运算量较小.因此可以促进思维能力创新,请在复习中认真体会,仔细推敲.参考文献[1]高考复习专题二,2009年高考复习预测.中学数学教学增刊.[2]陈贵伦.直线与椭圆位置关系问题的换元解法,中学数学教学(.,).2009,1.簟■j-}_}业,'}j-}-}-}j-}-}jkr,'簟j.},Ij●}1■}j-}_}■}—j●}-}——j_}j-}1-'}j-}—_}1■}j-}j-椭圆,双曲线切线方程的一个简便求法江西省吉安县二中(343100)罗章军大家都知道,求椭圆,双曲线切线方程通常用导数法,△法等,但运算量都较大.笔者运用线性规划知识找到一种求椭圆,双曲线切线方程新法,较为简便实用.现简述如下.定理1若直线z:Y=如+m为椭圆f.znncosa,.(口&gt;0,b&gt;o,∈[0,27f))的切线,(Yo—Osm0'设z=k.zo+m—Yo,贝0仃mx=0或tIli=0.其中k为直线z的斜率.证明:若l与椭圆相切,则椭圆上的点都在z的同侧,据线性规划知识可知,对于椭圆上任一点P(xo,Yo),=kXo+m—Yo&gt;/o或≤0,.'.liII=0或一=0,当且仅当P为切点时等号成立.例1为使直线j,z+m与椭圆+25=1有两个公共点,求的范围.解:设=.z+6为椭圆+25=1的切线,令z=xo+b-yo,其~中.1(x.o:=51s2icnosO∈[.,27r),因为=13+b=0或z.m=一13+b=0'...Y=z±13为已知椭圆的切线,所以m∈(一13,13).例2求函数s=的值域.解:令P(2cos0,sin0),Q(一4,一3),则==一sinO-一(f-一3)2cosO42eosO4=足'...s的值域+一(一)''2009年第6期中学数学研究即为椭~圆{x0=2.cos0上的点P与Q连线的斜lY0一slnU率范围,设过Q的切线方程为Y+3=k(z+4),令z=o—Y0+4k一3,则z=2kcosO—sin0+4k一3,由=0或Zmi:0,得4k一3±而:0,.?.k:—3+43...[学,学].定理2若直线l:Y=妇+为双曲线{xo:=asect).,(a&gt;0,b&gt;0,0EyobtanO(一号,)u'{(&gt;,&gt;,(一_兰_,)【J【=,,,2'2 (詈,))的切线,其中k为直线z的斜率,令kzo+m—Yo,则(zcos0)=0或(zcosO)~=0.证明:①.若直线与双曲线右支相切,当k&gt;0时,因为双曲线的右支都位于l的右侧,据线性规划知识可知对于右支上任一点P(X0,yo),有=kcco+m—Y0&gt;/o,显然此时0∈(一,詈),.'.cosO&gt;0,.'.有zcosO≥0,因此(zcos0)TI1i:0,而当k&lt;0同理可得(zcosO)=0.当且仅当P为切点时等号成立.②.若直线l与双曲线左支相切时,同样可得0E(詈,警)时有(cos0)rI1i=0或(zcos0).~x=0.当且仅当P为切点时等号成立.又因为ZCOS0=(0+m—Yo)ms0=ah+mcos0一bsin0,由正弦函数的性质可知,若zmsO在开区间(一号,詈)与(号,萼)存在最大值或最小值,其值分别为+√6+m2.一V厂.综合①②,若直线1:=taz+为双曲线的切线,则有(zcosO)=0或(ZCOS0)r=x=0.例3求过点(1,2)且与双曲线等一=1相切的直线方程的斜率.解:若P(xo,Yo)为双曲线上任一点,则有c一苎,设切线方程为Y一2=k(z一1),令=kxo—0+2一k,...zcosO=3k一2sin0+(2一志)cosO,由(zeosO)=0或(zcosO)一=0,得3k±研:0,...忌:寺.坐坐业坐业业业坐业~~e,,ale--ale-.ale--ale-业坐业业业业坐业尘业业业坐一道课本复习题的证法研究与拓展西北师范大学实验中学(730070)宋波人教版新教材高中数学第二册(下B)146页第8题(2)证明:c+2C2+3C3+…十c:=?2—(∈N).一,问题的证法研究笔者在教学中,根据此等式的结构特征,利用组合数的意义,运用联想,类比,转化等数学思想方法,多角度,多方向思维,得到了多种不同的证法.通过这种一题多解的教学,对激发学?42?生兴趣,拓宽思路,提高思维能力大有好处.下面给出这道题的六种证法,其中前三种为常见证法,后三种为创新证法.证法1:左边=1[(C十2C2+…+7z)+(C+2C2+…+,zc)]=—{[(c+(,z一1)c一]+[2c+(一2)c一]+…+[(,2—2)c一+2C2]+[(一1)c一+c]十c:十,zc:}=—专{[(c+(一1)C]+[2c+(一。