辽宁省庄河市高级中学2017届高三12月月考文数试题 Word版含答案

大连二十高中2016--2017学年度12月月考高三数学试卷（文科）考试时间:120分钟 试题分数：150分 命题人：王之光卷 I一、选择题：（本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）1. 已知{1,0,1,2,3}A =-，{|1}B x =≥，则A B 的元素个数为（ ） A ． 2 B ． 5 C ． 3 D ．1 2.在复平面内，复数21ii-+（i 是虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第一象限 D.第二象限 3. “2()6k k Z παπ=+∈”是“1cos 22α=”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分也不必要 4. 若121e e ==, 121cos ,5e e <>=-，且12122 , 3a e e b e e =-=+，则a b = （ ） A ．2 B ．-2 C ．12- D ．125. 在平面区域(){},0112x y x y ≤≤≤≤，内随机投入一点P ，则点P 的坐标(),x y 满足2y x ≤的概率为( ）A.14 B.12 C.23 D.346. 如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图 为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角 边长为2，那么这个几何体的体积为( ) A. 8 B.83 C.4 D. 437.若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）正视图 侧视图俯视图A.()26k x k Z ππ=-∈ B.()26k x k Z ππ=+∈ C.()212k x k Z ππ=-∈ D.()212k x k Z ππ=+∈8.等差数列{}n a 的公差为d ,0n a >,前n 项和为n S ，若2325,,a S a S +成等比数列， 则1da =（ ） A ．0 B ．32 C ．23D ．1 9. 在ABC ∆中，三个内角,,A B C 所对的边为,,a b c ，若ABC ∆的面积等于6a b +=，cos cos 2cos a B b AC c+=，则c =（ ）A ．．4 C.．10.已知椭圆2222: 1 (0)x y E a b a b +=>>的右焦点为F ,短轴的一个端点为M ,直线:340l x y -=交椭圆E 于A,B 两点,若4AF BF +=,点M 到直线l 的距离不小于45,则 椭圆E 的离心率的取值范围( ) A． B ．3(0,]4C． D ．3[,1)411. 已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数1)]([+=x f f y 的零点个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．1A ．(1)(0)f f <B ． 4(4)(0)f e f <⋅ C ．(2)(0)f e f >⋅D ． 3(3)(0)f e f >卷II (非选择题，共90分)二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．13. 关于不重合的直线m 、n 与不重合的平面α、β，有下列四个命题：①m ∥α,n ∥β且α∥β，则m ∥n; ②m ⊥α,n ⊥β且α⊥β,则m ⊥n; ③m ⊥α,n ∥β且α∥β,则m ⊥n; ④m ∥α,n ⊥β且α⊥β,则m ∥n. 其中真命题的序号是________________14. 已知某程序的框图如图，若分别输入的的值为2,1,0，执行该程序后，输出的y 的 值分别为,,a b c ，则a b c ++= ．15.已知数列{}n a 的通项(1)log (2) n n a n +=+,*n N ∈（）我们把使乘积123n a a a a ⋅⋅⋅为整数的n 叫做“优数”,则在(1,2016]内的所有“优数”的和为________16.正数,x y 满足111x y +=,则1411x y +--的最小值等于______________ 三、解答题（本大题共7小题，17--21每题12分，22、23每题10分,解题写出详细必要的解答过程）17. 在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且a c >，已知3BA BC =-,C13cos , 7B b =-=求：（1）a 和c 的值； （2）()sin A B -的值．18. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC =，D ，E 分别为BC ，1BB 的中点，四边形11B BCC 是正方形．（Ⅰ）求证：1A B ∥平面1AC D ； （Ⅱ）求证：CE ⊥平面1AC D ．19．从某企业生产的某批产品中抽取100件，测量这部分产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[)55,65，[)65,75，[]75,85内的频率之比为4:2:1.（Ⅰ）求这些产品质量指标值落在区间[]75,85内的频率；（Ⅱ）用分层抽样的方法在区间[)45,75内抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意抽取2件产品，求这2件产品都在区间[)45,65内的概率．20. 已知函数()e ln 1xf x m x =--.（Ⅰ）当1m =时，求曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线方程； （Ⅱ）当1m ≥时，证明：()1f x >.21. 设椭圆E 的方程为()222210x y a b a b+=>>，点O 为坐标原点，点A 的坐标为()0a ，，点B的坐标为()0b ，，点M 在线段AB 上，满足2BM MA =，直线OM 的斜率为41. (Ⅰ)求椭圆E 的离心率e ；(Ⅱ)PQ 是圆C :215)1()2(22=-++y x 的一条直径，若椭圆E 经过P ，Q 两点，求椭圆E 的方程．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

辽宁省庄河市高级中学2017届高三第四次模拟考试数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得：，则.本题选择B选项.2. 设复数，则复数的摸为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：.本题选择A选项.3. 已知平面向量的夹角为，且，则（）A. B. C. D.【答案】A∴，故选A.4. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得：双曲线的渐近线为：，则：，据此有：.本题选择C选项.5. 在等比数列中，已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得：，整理可得：，结合等比数列的通项公式可得：....本题选择B选项.6. 执行如图所示的程序框图，若输入，则输出（）A. B. C. D.【答案】D【解析】程序框图运行如下：首先初始化数值：；执行第一次循环：，此时不满足判断条件，继续循环；执行第二次循环：，此时不满足判断条件，继续循环；执行第三次循环：，此时不满足判断条件，继续循环；执行第四次循环：，此时满足判断条件，跳出循环，输出.本题选择D选项.7. 已知为第二象限角，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得：，据此有：.本题选择C选项.点睛：重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．8. 设实数满足约束条件，则目标函数的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】绘制不等式组表示的平面区域，结合目标函数的几何意义可得，目标函数在点处取得最大值：.本题选择D选项.9. 某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切割，加工成一个体枳尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则新工件的体枳为（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】依题意知该工件为圆锥，底面半径为，高为2，要使加工成的正方体新工件体积最大，则该正方体为圆锥的内接正方体，设棱长为2，则有，解得，故2x =1，故新工件的体积为1....点睛：三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．10. 已知函数的图象过点，若对恒成立，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】函数图象过点，则：，结合可得：，由：对恒成立可得：，解得：，令可得：.本题选择C选项.11. 已知函数，若，使得成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由函数的解析式可得函数的最小值为：,则要考查的不等式转化为：，解得：，即实数的取值范围为 .本题选择B选项.点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．12. 设抛物线的焦点为，点在上，，若轴上存在点，使得，则的值为（）A.或 B. C. D. 或【答案】A【解析】由题意可得：以MF为直径的圆过点(0,2)，设M(x,y),由抛物线性质|MF|=x+=5,可得x=5−，因为圆心是MF的中点,所以根据中点坐标公式可得,圆心横坐标为，由已知圆半径也为,据此可知该圆与y轴相切于点(0,2)，故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，即M(5−,4),代入抛物线方程得p2−10p+16=0，所以p=2或p=8.本题选择A选项.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设是定义在上的奇函数，当时，，则__________．...【答案】【解析】由题意：，则：.14. 在中, 是角所对的边，，则__________．【答案】【解析】由题意有：，解得：，据此有：，则.15. 若直线都是正实数）与圆相交于两点，当是坐标点）时，的最大值为__________．【答案】【解析】由题意可得，圆心到直线的距离为，即：，整理可得：，则：，当且仅当时等号成立，即的最大值为.16. 已知是函数的极小值点，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】由题意可得：f′(x)=(x−1)e x−k(x−1)=(x−1)(e x−k)，满足题意时有：，求解不等式可得实数的取值范围是.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列满足，且 .（1）求数列的通项公式；（2）若，设数列的前项和，证明 .【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：(1)利用题中所给的递推关系累加求解数列的通项公式即可；(2)裂项求解数列的前n项和，由前n项和的解析式即可证得结论.试题解析：解：(1)由于,故数列的通项公式为 .(2)由，可得，则，...因为，故.点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．18. 某城市为了满足市民出行的需要和节能环保的要求，在公共场所提供单车共享服务，某部门为了对该城市共享单车进行监管，随机选取了位市民对共享单车的情况逬行问卷调査，并根根据其满意度评分值（滿分分）制作的茎叶图如图所示：（1）分别计算男性打分的平均数和女性打分的中位数；（2）从打分在分以下（不含分）的市民抽取人，求有女性被抽中的概率.【答案】（1）平均数为69，中位数77（2）【解析】试题分析：(1)利用题意可求得男性打分的平均数为分，女性打分的中位数为分.(2)利用题意列出所有可能的事件，然后利用古典概型公式求解概率值即可.试题解析：解：(1)男性打分的平均数为分，女性打分的中位数为 .（2）设“有女性被抽中”为事件，打分在分以下（不含分）的市民中女性有人，设为 ,男性有人，设为 . 抽取人的基本事件有：，，共种，其中有女性的有种，所以 .19. 如图，四棱锥中，底面是矩形，平面平面，且是边长为的等边三角形，，点是的中点.（1）求证：平面；（2）求四面体的体积.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：(1)利用题意证得，然后结合线面平行的判断定理即可证得结论；(2)利用题意转化顶点即可求得四面体的体积为 .试题解析：解：(1)如图，接连交于点，连，因为是矩形，所以点是的中点，又点是的中点，，又平面平面，所以平面.(2)如图，取的中点，连接，则，又平面底面，平面底面，故平面，连接，在中，，所以在中，，故四面体的体积为，又因为点是的中点，所以点到平面的距离等于，故四面体的体积为，故四面体的体积为.20. 在平面直角坐标系中，过椭圆右焦点的直线交于两点，为的中点，且的斜率为 .（1）求椭圆的标准方程；（2）设过点的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于两点，若在线段上存在点，...使得，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：(1)利用题意求得，则椭圆的方程为 .(2)由题意联立直线与椭圆的方程，整理可得关于t的函数，据此可得的取值范围是 .试题解析：解：(1) 设 ,则，相减得，，由题意知，设，因为为的中点，且的斜率为，所以，即，所以可以解得，即，即，又因为，所以椭圆的方程为 .(2) 设线段的中点为，因为，所以，设直线的方程为，代入椭圆的方程为，得，设，则.则，即，由已知得，整理得，因为，所以 , 所以的取值范围是 .点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．21. 已知函数 .（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若对任意在恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：(1)利用题意可得切线斜率，切点为，所以曲线在点处的切线方程为 .(2)将问题转化为不等式恒成立，分类讨论可得实数的取值范围为.试题解析：解：(1)当时，，则，故切线斜率，又因为切点为，所以曲线在点处的切线方程为，即 .(2)不等式等价于不等式，记，则，令，得或 .①当，即时，，所以在单调递增，所以，解得，此时.②当时，即，时，，时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，于是，不合题意，舍去.综上所述，实数的取值范围为 .请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，曲线的参数方程为为参数），直线过点，且斜率为，射线的极坐标方程为 ....（1）求曲线和直线的极坐标方程；（2）已知射线与圆的交点为，与直线的交点为，求线段的长.【答案】（1），（2）【解析】试题分析：(1)将直角坐标方程化简极坐标方程可得曲线和直线的极坐标方程为，；(2)利用题意求得，故线段的长为 .试题解析：解：(1) 曲线的普通方程为，将代入整理得，即曲线的极坐标方程为 .直线的方程为，所以极坐标方程为 .(2)当时，，故线段的长为.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数 .（1）解不等式，；（2）若，求证： .【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：(1)利用题意零点分段求解不等式的解集可得原本不等式的解集为 .(2)利用绝对值不等式的性质即可证得题中的结论.试题解析：解：（1）由题意，得，因此只需解不等式 .当时，原不等式等价于，即；当时，原不等式等价于，即；当时，原不等式等价于，即，综上，原本不等式的解集为 .（2）由题意得。

辽宁省庄河市高级中学2017届高三第四次模拟考试数学（文）试题 第Ⅰ卷（共60分)一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}{}21,0,1,2,|,M N y y x x M =-==∈ ，则MN = （ ）A ．{}1,1-B ．{}0,1C ．{}1,1,3,5-D ．{}1,0,1,2-2。

设复数12i iz --= ，则复数1z - 的摸为( ）AB ．4C ．D ．23. 已知平面向量,a b 的夹角为3π ，且11,2a b == ，则2a b -= ( ）A ．1 B C 。

2D ．324.已知双曲线()222:10y C x b b-=>的一条渐近线的倾斜角为3π ，则双曲线C 的离心率为（ ） A BC.2D ．5。

在等比数列{}na 中,已知33572,26aa a a =++=,则7a = （ ）A ．12B ．18 C. 24D ．366. 执行如图所示的程序框图，若输入3,4m n == ,则输出a = （ ）A ．4B ．8 C.12 D ．167。

已知α 为第二象限角,2sin 410πα⎛⎫+=⎪⎝⎭,则tan α 的值为 （ )A ．12- B ．13C. 43-D ．3- 8。

设实数,x y 满足约束条件2020x y x y y m +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则目标函数2z x y =- 的最大值为 （ )A ．2-B ．1- C.1 D ．29. 某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切割，加工成一个体枳尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则新工件的体枳为( ）A ． 18B ．1C 。

2D ．43π10.已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，若()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对R x ∈恒成立,则ω的最小值为 （ )A ．2B ．10C 。

2017-2018学年高三文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集{}|23U x Z x =∈-≤≤，集合{}{}1,2,0,1,1,1,2,3A B =--=-，则()U C A B = （ ）A ．{}0,2B ．{}2,3C ．{}1,0-D ．{}1,2 【答案】B 【解析】试题分析：因为{2,1,0,1,2,3}U =--，所以{2,3}U C A =，所以(){2,3}U C A B = ，故选B ． 考点：集合的补集与交集运算．2.3221i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭（ ） A ．8 B ．-8 C ．8i D ．8i - 【答案】D 【解析】试题分析：333332212()2811i i i i i i ++⎛⎫=⋅=⋅=- ⎪--⎝⎭，故选D ． 考点：复数的运算．3. 命题“3,30xx R x ∀∈-≤”的否定是（ ） A ．“3,30xx R x ∃∈-≥” B ．“3,30x x R x ∃∈->” C ．“3,30xx R x ∀∈-≥” D ．“3,30xx R x ∀∈->”【答案】B 【解析】考点：全称命题的否定．4.如图是某学校学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，则第三小组的频率为（ ）A ．0.125B ．0.25C ．0.375D ．0.500 【答案】C 【解析】试题分析：由直方图知前三组的频率之和为1(0.01250.0375)50.75-+⨯=，所以第三小组的频率为30.750.375123⨯=++，故选C ．考点：频率分布直方图．5.已知函数()y f x =的图象与的图象关于直线y x =对称，则()1033f f ⎛⎫+=⎪⎝⎭（ ） A ．1 B ．10 C ．19310 D ．19lg 3【答案】A 【解析】考点：1、函数的图象；2、对数的运算．6.已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A ．8B ．24C ．325D ．965【答案】C 【解析】试题分析：由三视图知，该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，底面面积1125625S =⨯⨯=，高165h ==，所以该几何体的体积13235V Sh ==，故选C ．考点：1、三棱锥的三视图书馆2、三棱锥的体积．【方法点睛】解答此类问题的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．7.为了研究椭圆的面积公式，研究人员制定了下列的几何概型模型，如图，已知矩形ABCD 的长、宽分别为2,2a b ，以矩形的中心O 为中心制作得的内切椭圆如图阴影部分所示，为保证试验的准确性，经过了十次试验，若十次试验在矩形ABCD 中共随机撒入5000颗豆子，落在阴影部分内的豆子是3925颗，那么，据此估计椭圆的面积S 的公式为（ ）A ．S ab π=B ．34S ab π= C ．3S ab = D ． 3.2S ab = 【答案】A考点：几何概型．8.抛物线216y x =的焦点为F ，其上有两点,A B 到焦点F 的距离都等于9，则AB =（ ）A ．8B ．16C ．D ．【答案】C 【解析】试题分析：由抛物线的对称性知,A B 两点的横坐标相同，又由题意知抛物线的准线为4x =-，所以由抛物线的定义知||||49A AF BF x ==+=，所以,A B 的横坐标为5，纵坐标为±所以||AB =C ．考点：1、抛物线的性质；2、抛物线的定义． 9.执行如图所示的程序框图，则输出的i =（ ）A ．5B ．7C ．9D ．11 【答案】C 【解析】考点：程序框图．【方法点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查．先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项．10.已知变量,x y 满足约束条件30101x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，若直线()1y k x =-将可行域分成面积相等的两部分，则目标函数z kx y =-的最大值为（ ）A ．-3B ．3C ．-1D ．1 【答案】D 【解析】试题分析：作出不等式组表示的平面区域，如图所示，直线()1y k x =-恒过定点(1,0)，要使其平分可行域的面积，只需过线段BC 的中点(0,3)即可，所以3k =-，则目标函数3z kx y x y =-=--，平移直线30x y --=，由图知当目标函数3z x y =--经过点(1,2)A -时取得最大值，即max 3(1)21z =-⨯--=，故选D ．考点：简单的线性规划问题．11.在三棱锥P ABC -中，侧面PAB 、侧面PAC 、侧PBC 两两互相垂直，且::1:2:3PA PB PC =，设三棱锥P ABC -的体积为1V ，三棱锥P ABC -的外接球的体积为2V ，则21V V =（ ） A．3 B ．113π C．3D ．83π【答案】A 【解析】考点：1、三棱锥的外接球；2、三棱锥与球的体积．12.函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且满足()()2f x f x +=，当 [)0,1x ∈时，()2f x x =，若在区间[]2,2-上，方程()0ax a f x +-=恰有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)0,1B ．[]0,2C ．[)1,+∞D ．[)2,+∞ 【答案】A 【解析】试题分析：由()()2f x f x +=知函数()f x 是周期为2的偶函数，由此可作出函数()f x 在区间[]2,2-上的图象，如图所示．令()g x ax a =+，则()0a x a f x +-=有三个不相等的实数根，即()g x 与()f x 在区间[]2,2-有三个不同的交点．当0a <时，由图象知两函数不可能有三个交点，所以0a ≥．因为当1a =时，()1g x x =+与()f x 有两个交点，当1a >时，()g x与()f x 有一个交点，所以01a ≤<，故选A ．考点：1、方程的根；2、函数的图象．【方法点睛】方程解的个数问题解法：研究程)(x g 0=的实根常将参数移到一边转化为值域问题．当研究程)(x g 0=的实根个数问题，即方程)(x g 0=的实数根个数问题时，也常要进行参变分离，得到)(x f a =的形式，然后借助数形结合（几何法）思想求解；也可将方程化为形如)()(x h x f =，常常是一边的函数图像是确定的，另一边的图像是动的，找到符合题意的临界值，然后总结答案即可．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数()x f x e ax =-在(),0-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】[)1+∞， 【解析】考点：利用导数研究函数的单调性．【方法点睛】求函数的单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式求解，其判定方法为：设函数()y f x =在某个区间内可导，如果()0f x '>，则()y f x =在该区间内单调递增；如果()0f x '<，则()y f x =在该区间内单调递减．14.已知数列{}n a 是等差数列，且1231,233a a a =+=，则44a =___________． 【答案】1 【解析】试题分析：设等差数列的公差为d ，则有2(1)3(12)3d d +++=，解得14d =-，所以4144(3)1a a d =+=．考点：等差数列的通项公式．15.在ABC ∆中，cos 2cos ,cos AB B AC C A == ，则B =____________． 【答案】45︒ 【解析】考点：1、正弦定理；2、同角三角函数间的基本关系；3、两角和的正切公式．16.如图所示，点P 在正六边形ABCDEF 上按A B C D E F A →→→→→→的路径运动，其中4AB =，则AP AB的取值区间为____________．【答案】[]8,24- 【解析】试题分析：设BAP α∠=，则||||cos 4||cos AP AB AP AB AP αα⋅== ，而||cos AP α为线段AP 在AB 边上的射影．当点P 在线段AB 上运动时，||cos AP α的取值范围为[0,4]；在线段BC 上运动时，||cos AP α 的取值范围为[4,6]；在线段CD 上运动时，||cos AP α的取值范围为[4,6]；在线段DE 上运动时，||cos AP α的取值范围为[0,4]；在线段EF 上运动时，||cos AP α 的取值范围为[2,0]-；在线段FA 上运动时，||cos AP α的取值范围为[2,0]-，所以AP AB ⋅的取值区间为[]8,24-．考点：平面向量的数量积．【一题多解】建立如图所示直角坐标系，则(0,0),(4,0),(A B C D E F -，当点P 在线段AB 上运动时，2016AP AB AB ≤⋅≤= ；在线段BC 上运动时，216AB AP AB =≤⋅ ≤24AC AB ⋅=；在线段CD 上运动时，1624AD AB AP AB AC AB =⋅≤⋅≤⋅=；在线段DE 上运动时，016AB AE AP AB AD AB =⋅≤⋅≤⋅=；在线段EF 上运动时，80AF AB AP AB AE AB -=⋅≤⋅≤⋅=；在线段FA 上运动时，80AF AB AP AB -=⋅≤⋅≤ ．综上所述，AP AB ⋅的取值区间为[]8,24-．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点)n S 在曲线222y x =-上．（1）求证：数列{}n a 是等比数列；（2）设数列{}n b 满足1n n n b a a +=-，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（1）见解析；（2）122n +-．【解析】考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的通项公式；3、数列求和．18.（本小题满分12分）某教育网站需要老师为其命制试题，组建题库，已知吴老师、王老师、张老师三位老师命制的试题数分别为350道，700道，1050道，现用分层抽样的方法从中随机抽取6道试题进行科学性、严密性、正确性检验． （1）求从吴老师、王老师、张老师三位老师中抽取的试题的题数；（2）从已抽取的6道试题中再任意取出2道，求其中至少有一道是王老师命制的概率．【答案】（1）从吴老师、王老师、张老师三位老师中抽取的试题的题数分别为1,2,3；（2）35P =．【解析】考点：1、分层抽样；2、古典概型．19.（本小题满分12分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -（侧棱垂直于底面，且底面是正三角形）中，16,AC CC M ==是棱1CC 上一点．（1）若,M N 分别是1,CC AB 的中点，求证：//CN 平面1AB M ；（2）求证：不论M 在何位置，四棱锥11A AMB -的体积都为定值，并求出该定值．【答案】（1）见解析；（2） 【解析】试题分析：（1）连结1A B 交1AB 于点P ，连结,MP PN ，易知P 是1A B 的中点，然后利用中位线定理可使问题得证；（2）作111B P AC ⊥交11AC 于点P ，易知1B P ⊥平面11ACC A ，由此可求得1B P ，从而求得四棱锥11A AMB -的体积．试题解析：（1）连结1A B 交1AB 于点P ，连结,MP PN ． 易知P 是1A B 的中点，因为,M N 分别是1,CC AB 的中点， 所以//NP CM ，且NP CM =， 所以四边形MCNP 是平行四边形， 所以//MP CN ．因为CN ⊄平面1,AB M MP ⊂平面1AB M ，所以//CN 平面1AB M ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6分考点：1、线面平行的判定定理；2、四棱锥的体积．20.（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为3O 为坐标原点，若椭圆C 与曲线y x =的交点分别为,A B （A 下B 上），且,A B 两点满足2OB AB =．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 上异于其顶点的任一点P ，作224:3O x y +=的两条切线，切点分别为,N M ，且直线MN 在x 轴、y 轴上的截距分别为,m n ，证明：22113m n+为定值． 【答案】（1）221443x y +=；（2）见解析． 【解析】（2）如图，设点()11,P x y ，由,M N 是O 的切点知，,OM MP ON NP ⊥⊥， 所以,,,O M P N 四点在同一圆上，且圆的直径为OP ，则圆心为11,22x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其方程为22221111224x y x y x y +⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22110x y x x y y +--=，④即点,M N 满足话中④，又点,M N 都在O 上， 所以,M N 坐标也满足方程224:3O x y += ，⑤ ⑤-④得直线MN 的方程为1143x x y y +=，考点：1、椭圆的几何性质；2、直线与椭圆的位置关系；3、直线与圆的位置关系． 21.（本小题满分12分）已知函数()2ln 1f x x x =-.（1）求函数()f x 的最小值及曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； （2）若不等式()232f x x ax ≤+恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）最小值为121f e e⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；切线方程为230x y --=；（2）[)2,-+∞． 【解析】试题分析：（1）首先求得函数的定义与导函数，然后根据导函数与0的关系得到函数()f x 的单调性，由此求得函数()f x 的最小值，再根据导数的几何意义求得切线方程的斜率，从而求得切线的方程；（2）首先将问题转化为31ln 22a x x x≥--在()0,+∞上恒成立，然后设()31ln 22h x x x x=--，从而通过求导研究函数()h x 的单调性，并求得其最大值，进而求得a 的取值范围．故所求切线方程为()()121y f x -=-，即()()121y x --=-，化简得230x y --=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）不等式()232f x x ax ≤+恒成立等价于22ln 132x x x ax -≤+在()0,+∞上恒成立，可得31ln 22a x x x≥--在()0,+∞上恒成立， 设()31ln 22h x x x x =--，则()()()22131131222x x h x x x x -+'=-+=-，令()0h x '=，得1x =，或12x =-（舍去） 当01x <<时，()0h x '>；当1x >时，()0h x '<， 当x 变化时()(),h x h x '变化情况如下表：所以当1x =时，h x 取得最大值，()max 2h x =-，所以2a ≥-，所以实数a 的取值范围是[)2,-+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：1、导数的几何意义；2、利用导数研究函数的单调性及最值；3、不等式恒成立问题． 【思路点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．请从下面所给的22 , 23 ,24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AD 是圆O 的直径，AE BC ⊥，且3,AC 2,AD 6AB ===．（1）求证：AB AC AD AE = ； （2）求BE 的值．【答案】（1）见解析；（2） 【解析】考点：1、圆周角定理；2、相似三角形；3、相交弦定理．【思路点睛】解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路：（1）直接应用相交弦、切割线定理及其推论；（2）当比例式（等积式）中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C 的方程是4ρ=，直线l 的方程是sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）以极点O 为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，将直线l 与圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求直线l 与圆C 相交所得的弦长．【答案】（1）20x y +-=，2216x y +=；（2）． 【解析】考点：1、极坐标方程与直角坐标方程的互化；2、点到直线的距离；3、弦长公式． 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()()22f x x a x a =-+-<. （1）当0a =时，求不等式()4f x >的解集；（2）若不等式()f x x >恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()(),13,-∞-+∞ ；（2）(),0-∞． 【解析】试题分析：（1）首先求得当0a =时函数()f x 的解析式，然后利用零点分段法求解；（2）首先将函数()f x 的解析式写成分段函数形式，然后作出函数()f x 的图象，从而根据图象求得a 的取值范围．试题解析：（1）当0a =时，()2f x x x =+-，原不等式等价于240x x x -+->⎧⎨<⎩，或2402x x x +->⎧⎨≤≤⎩或242x x x +->⎧⎨>⎩，解得原不等式的解集为()(),13,-∞-+∞ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分考点：1、绝对值不等式的解法；2、函数的图象；3、不等式恒成立问题．【方法点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是用分类讨论思想，运用零点分区间讨论；二是运用数形结合思想，利用绝对值的几何意义求解．将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用．。

辽宁省庄河市高级中学2017届高三9月月考（开学考试）数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}1,A x =，{}1,B y =，且{}1,2,3A B = ，则x y +=（ ） A ．3B ．4C ．5D ．62.设复数z 满足()()2i 2i 5z --=，则z =（ ） A ．1i +B ．1i -C ．12i +D ．12i -3.已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）经过点()2,3，且离心率为2，则它的焦距为（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．84.已知122a -=，13log 2b =，121log 5c =，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>5.已知单位向量1e 与2e 的夹角为α，且1cos 5α=-，若122a e e =- ，123b e e =+ ，则a b =（ ）A ．2-B ．2C ．12-D ．126.观察下列各等式：5325434+=--，2622464+=--，7127414+=--，102210424-+=---，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为（ ） A ．()82484n n n n -+=--- B ．()()()15121414n n n n ++++=+-+-C ．()42444n n n n ++=-+- D ．()()1521454n n n n +++=+-+-7.已知命题p ：若0x >，则函数12y x x=+的最小值为1；命题q ：若1x >，则2230x x +->．则下列命题是真命题的是（ ）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝8.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（俯视图中弧线是14圆弧）（ ）A ．4π-B ．π2-C ．π12-D ．π14-9.设各项都是正数的等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，若2a ，3S ，25a S +成等比数列，则1da =（ ） A ．0B ．32C ．23D ．110.将函数πsin 24y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移π2个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A ．在区间π3π,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 B ．在区间π3π,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．在区间π3π,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．在区间π3π,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 11.当x ，y 满足不等式组22,4,72x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩时，22kx y -≤-≤恒成立，则实数k 的取值范围是（ ） A ．[]1,1--B ．[]2,0-C ．13,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,05⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。

辽宁省庄河市高级中学2017届高三12月月考文数试题Word版含答案.doc数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}51<<=x x M ，{}5,3,2,0=N ，则M N =（ ）A ．{}42≤<x xB ．{}3,2,0C ．{}3,2D ．{}32<<x x2..已知i 为虚数单位，复数i i z 212+-=在复平面内对应的点为（ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-52,54 B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-52,54 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--52,54 D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛52,54 3.下列命题中正确的是（ ） A ．若βα>，则βαsin sin > B ．命题：“1,12>>∀xx ”的否定是“1,12≤≤∃xx ”C ．直线02=++y ax 与04=+-y ax 垂直的充要条件为1±=aD ．“若0=xy ，则0=x 或0=y ”的逆否命题为“若0≠x 或0≠y ，则0≠xy ”4.《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则塔从上至下的第三层有（ ）盏灯.A ．14B ． 12 C. 8 D ．10 5.=+313sin 253sin 223sin 17sin （ ）A ．21-B ． 21 C. 23-D ．236.曲线()223x xx f +-=在点()()1,1f 处的切线截圆4)1(22=++y x 所得弦长为（ ）A ． 4B ． 22 C. 2 D ．2 7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A ．38 B ．3316 C. 338D ．3168.已知如下等式：;30282624222018;161412108;642++=++++=++=+……以此类推，则2018会出现在第（ ）个等式中. A ． 33 B ． 30 C. 31D ．329.已知长方体1111D C B A ABCD -的外接球O 的体积为332π，其中21=BB ，则三棱锥ABC O -的体积的最大值为（ ）A ． 1B ． 3 C. 2 D ．4 10.函数()72sin 6241x x x f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-的图象大致为（ ）11.已知矩形ABCD 中，BC AB 2=,若椭圆的焦点是BC AD ,的中点，且点D C B A ,,,在椭圆上，则该椭圆的离心率为（ ） A ． 16117+ B ．16117- C.4115-D ．4117-12.设函数()211)1ln(x x x f +-+=，则使得()()12->x f x f 成立的x的取值范围是（ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛1,31 B ．()1(,)1,3-∞+∞ C.⎪⎭⎫⎝⎛-31,31D ．11(,),33⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若()()1,2,,1a b m ==，且()//a b b +，则m =．14.执行如图所示的程序框图，当输出()8,-x 时，则=x ．15.若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+-≤-+0102306x y x y x ，y x n 32+=，则n的最小值为．16.已知数列{}na 的前两项均为1，前n 项和为nS ，若{}2nna 为等差数列，则nS =．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，CBA CB A cos cos cos sin sin sin +=+. （I ）求角C ；（II ）若3,2==b a ，求ABC ∆的面积.18. （本小题满分12分）如图，四棱锥B AEDC -，底面AEDC ⊥侧面ABC ，,F P 分别为,BC BD 的中点，且//AE BC，AC CD ⊥，AC AB ⊥，2DC AC AB AE ===.（I ）证明：EP ⊥平面BCD ；（II ）设2DC =，求三棱锥E BDF -的体积. 19. （本小题满分12分）随机抽取了40辆汽车在经过路段上某点是的车速（/km h ），现将其分成六段：[)[)60,65,65,70，[)[)[)70,75,80,85,85,90后得到如图所示的频率分布直方图.（I ）现有某汽车途经该点，则其速度低于80/km h 的概率约是多少？（II ）根据频率分布直方图，抽取的40辆汽车经过该点的平均速度是多少？（III ）在抽取的40辆汽车且速度在[)60,70（/km h ）内的汽车中任取2辆，求这2辆车车速都在[)65,70（/km h ）内的概率. 20. （本小题满分12分） 已知函数()21ln 2f x xx=+.（I ）求函数()f x 在[]1,e 上的最值；（II ）已知函数()323g x x =，求证：[)1,x ∀∈+∞，()()0f xg x -<恒成立.21. （本小题满分12分）已知抛物线C 的方程()1,2,22M py x =为抛物线C 上一点，F 为抛物线的焦点.（I ）求MF ； （II ）设直线mkx y l+=:2与抛物线C 有唯一公共点P ，且与直线1:1-=y l 相交于点Q ，试问，在坐标平面内是否存在点N ，使得以PQ 为直径的圆恒过点N ？若存在，求出点N 的坐标，若不存在，说明理由. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知点⎪⎭⎫⎝⎛-3,2π，圆.cos 2θρ-= （I ）在极坐标系中，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，取相同的长度单位，求圆θρcos 2-=的直角坐标方程；（II ）求点⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,2π到圆θρcos 2-=圆心的距离. 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()x x x f -+=12. （I ）求证：()1->x f 恒成立；（II ）若存在实数x ，使得()a x x f +≤-2，求实数a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:CBCBB 6-10:ACCAD 11、12：DA 二、填空题 13.12 14.16 15.5 16.154三、解答题17.（I ）.cos cos sin sin cos sin BA BA C C ++= BC A C B C A C sin cos sin cos cos sin cos sin +=+∴，即B C B C A C A C cos sin sin cos sin cos cos sin -=-，得()().sin sin C B A C -=- ............................................3分 18.（I ）证明：由题意知ABC ∆为等腰直角三角形，而F 为BC 的中点，所以AF BC ⊥，..........2分 又因为平面ADEC ⊥平面ABC ，且90ACD ∠=，所以DC ⊥平面ABC ，................3分而AF ⊂平面ABC ，所以AF DC ⊥，所以AF ⊥平面BCD ， 连结PF ，则//PF DC ，12PF DC =，而//AE DC ，1/2AE DC =，.......................5分所以//AE PF ，AE PF =，AFPE 是平行四边形，所以//EP AF，EP ⊥平面BCD ...........6分（II ）因为EP ⊥平面BCD ，即EP ⊥平面BDF ，EP 是三棱锥E BDF -的高，........8分 所以12EP AF BC ====， (10)分于是三棱锥E BDF -的体积为1111122332343BDF BDC S EP S EP ∆∆⋅=⨯⨯⋅=⨯⨯⨯=........12分19.（I ）速度低于80/km h 的概率为：()50.0100.0200.0400.0600.65⨯+++=；..........3分（II ）这40辆小型车辆的平均车速为：262.5467.5872.51277.51082.5487.577(/)40km h ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；..................6分（III ）车速在[)60,65内的有2辆，记为,A B ，车速在[)65,70内的有4辆，记为,,,a b c d ， 从中抽2辆，抽法为,,,,,,,,,,,,,,AB Aa Ab Ac Ad Ba Bb Bc Bd ab ac ad bc bd cd共15种，其中车速都在[)65,70内的有6种，故所求概率为62155P ==...............................12分20.（I ）()f x 的定义域为()0,+∞，............................1分()()211ln 02f x x x f x x x'=+⇒=+>恒成立对[]1,x e ∈，............................2分()f x ∴在[]1,e 上递增，()()2max112f x f e e ∴==+，()()min 112f x f ==...............4分（II ）证明：令()()()()2312ln 123h x f x g x x x x x =-=+-≥；............................5分()()()232212112120x x x x x h x x x x x x-++-++'=+-==≤在[)1,+∞上恒成立，............7分()h x ∴在区间[)1,+∞上递减，............................................................8分()()12110236h x h ∴≤=-=-<，......................................................10分∴在区间[)1,+∞上，()()0f x g x -<恒成立............................................12分21.（I ）由题可知42=ρ，即2=ρ，由抛物线的定义可知122pMF =+=............4分（II ）法1：由C 关于y 轴对称可知，若存在点N ，使得以PQ 为直径的圆恒过点N ，则点N 必在y 轴上，设()m N ,0，又设点⎪⎪⎭⎫⎝⎛4,200x x P ，由直线m kx y l +=:1与曲线C 有唯一公共点P 知，直线1l 与C 相切由241x y =得x y 21='.0012x x k y x ='∴==，∴直线1l 的方程为()200042x x y x x -=-，令01y=-得20022x x x -=，∴Q 点坐标为02(,1)2x x --，左边=()()()()()000000212121210y y x y y x -⎡⎤-+--=-+-=⎢⎥⎣⎦=右边，将()0,1-的坐标代入①式得，左边=()()()00002121y x y x -⎡⎤--=-⎢⎥⎣⎦不恒等于0， ∴在坐标平面内若存在点N ，使得以PQ 为直径的圆恒过点N ，则点N 的坐标为()0,1.........12分22.解：（I ）由θρcos 2-=得θρρcos 22-=.......................................2分即x y x 222-=+，即()1122=++y x (5)分 （II ）在直角坐标系中，点⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,2π的坐标即()3,1-，.................................7分 所以所求距离为()()7031122=--++............................................10分 23.解：（I ）①当21-≤x 时，()121--=+--=x x x x f ，..............................2分②当021<<-x 时，()1312+=++=x x x x f ，..................................4分当0≥x 时，()1+=x x f ，故()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥+<<-+-≤--='0,1021,1321,1x x x x x x x f ， 综合图象可知()x f y =的最小值为21-，故()1->x f 恒成立.........................6分 （II ）由()a x x f +≤-2可得：21212212ax x a x x +≤-+⇒+≤-+，...........8分 由绝对值的几何意义，只需32121-≥⇒+≤-a a................................10分。

辽宁省庄河市高级中学2017届高三第四次模拟考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设复数12z ,z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，若1z 12i(i =- 是虚数单位），则2iz 为（ ）A ． 2i --B ．2i -+C ．12i -+D ．12i --2.已知集合{}{}()(){}|lg 0,|24,|420xA x xB xC x x x =≥=≤=-+≤ ，则“x A B ∈ ”是“x C ∈ ”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条3.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>> 的渐近线与圆()2223x y +-= 相切，则双曲线的离心率为 （ ）A ．13 C ．4.已知某次数学考试的成绩服从正态分布 ()2102,4N ，则114 分以上的成绩所占的百分比为（附：()()0.6826,220.9544P X P X μσμσμσμσ-<≤+=-<≤+= ，()330.9974P X μσμσ-<≤+= （ ）A ．000.3B ．000.23 C. 001.3 D ．000.135. 已知平面向量,a b 的夹角为3π ，且11,2a b == ，则2a b -= （ ）A ．1B 2 D ．326. 执行如图所示的程序框图，若输入3,4m n == ，则输出a = （ ）A ．4B ．8 C.12 D ．167.已知α 为第二象限角，sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan 2α 的值为（ ） A ．12-B ．13 C.2 D ．3-8. 已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且575S = ，若()1mx - 的展开式中2x 项的系数等于数列{}n a 的第三项，则m 的值为（ ）A ．4B ． 6 C.5 D ．7 9. 一个几何体的三视图如图所示，其中正侧视和侧视图相同，其上部分是半圆,下部分是边长为2的正方形：俯视图是边长为2的正方形及其外接圆 .则该几何体的表面积为 （ ）A ．243π+B ． 420π+ C. 616π+ D ．8 10.已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，若()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对R x ∈恒成立，则ω的最小值为 （ ）A ．2B ．4 C. 10 D ．16 11. 在ABC ∆中,角,A B C ，所对的边分别为,a b c ，，若1,2cos 0bc b c A =+= ，则当角B 取得最大值时，ABC ∆的周长为（ ）A ．3 B．22．3 12.若对,R x y ∀∈ ，有()()()2f x y f x f y +=+- ，则函数()()221xg x f x x =++ 的最大值与最小值的和为 （ ）A ．4B ．6 C.9 D ．12第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设变量,x y 满足约束条件()20200x y x y y m m ⎧+-≥⎪--≤⎨⎪≤>⎩，则目标函数2z x y =- 的最大值为 ．14.函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的R x ∈ ，满足()()10f x f x ++= ，且当01x << 时，()13x f x += ，则()()3log 184f += ．15.设抛物线()2:20C y px p => 的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，5MF = ，若y轴上存在点()0,2A ，使得AM AF ⊥，则p 的值为 ． 16.已知()()()2333,1xx f x x x g x x a e =-+-=-++，[][]120,2,0,2x x ∃∈∀∈ ，使得()()12f x g x ≤ 成立，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{}n a 满足()141N n n a a n n *+-=+∈ ，且11a = .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()()()21411N nn n n n n b n a a *++=-∈ ，求数列{}n b 的前n 项和n S . 18.某商场计划销售某种产品，现邀请生产该产品的甲、乙两个厂家进场试销10 天，两个厂家提供的返利，方案如下：甲厂家每天固定返利70元，且每卖出一件产品厂家再返利2元，乙厂家无固定返利，卖出40件以内（含40件）的产品，每件产品厂家返利4元，超出40件的部分每件返利6元，分别记录其10天内的销售件数，得到如下频数表： 甲厂家销售件数频数表：乙厂家销售件数频数表：（1） 现从甲厂家试销的10天中抽取两天，求一天销售量大于40而另一天销售量小于40的概率；（2）若将频率视作概率，回答以下问题：①记乙厂家的日返利为X （单位：元），求X 的分布列和数学期望；②商场拟在甲、乙两个厂家中选择一家长期销售，如果仅从日返利额的角度考虑，请利用所学的统计学知识为商场作出选择，并说明理由.19. 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，平面PAD ⊥ 平面ABCD ，且PAD ∆是边长为2的等边三角形，PC =M 是PC 的中点.（1）求证：PA 平面MBD ；（2）点F 在PA 上，且满足12AF FP = ，求直线DM 与平面FBD 所成角的正弦值. 20.在平面直角坐标系xOy 中，过椭圆()2222:10x y C a b a b +=>> 右焦点F 的直线20x y +-=交椭圆C 于,A B 两点 ，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为13.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设过点F 的直线l （不与坐标轴垂直）与椭圆C 交于,D E 两点，问：在x 轴上是否存在定点M ，使得MD ME 为定值？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.21. 已知函数()()2ln R 2a f x x x x a =-∈ . （1）若2a = ，求曲线()y f x = 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若()()()1g x f x a x =+- 在1x = 处取得极小值，求实数a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点为平面直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，曲线C的参数方程为1(1x y ααα⎧=-+⎪⎨=⎪⎩ 为参数），直线l 过点()1,0- ，且斜率为12 ，射线OM 的极坐标方程为34πθ= .（1）求曲线C 和直线l 的极坐标方程；（2）已知射线OM 与圆C 的交点为,O P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()1f x x =- .（1）解不等式，()()34f x f x ++≤；（2）若0a > ，求证：()()()f ax af x f a +≥ .辽宁省庄河市高级中学2017届高三第四次模拟考试数学（理）试题参考答案一、选择题1-5:BADDA 6-10: DCBCB 11-12：CA二、填空题13. 2 14. 6 15. 2 和8 16.110,e⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭三、解答题17. 解：(1)由于()()()111241N ,...n n n n n n n a a n n a a a a a *+----=+∈∴=-+-++()()()()232211424347 (5122)n n a a a a a n n n n --+-+=-+-+++==- . (2)由22n a n n =- ，可得()()()()()()()22241411111212121212211nnn n n n n b n n n n nn n n +⎛⎫=-=-=-+ ⎪-+-+⎡⎤⎝⎭-+--⎣⎦，当n 为偶数时，1111111121...13355721212121n n S n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+++--+++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当n 为奇数时，11111111221...13355721212121n n S n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+++--+-+=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 18. 解：(1)记“抽取的两天中一天销售量大于40 而另一天销售量小于40”为事件A ，则()1162210415C C P A C == (2) ①设乙产品的日期销售量为a ,则当38a =时，384152X =⨯= ；当39a =时，394156X =⨯=；当40a =时，404160X =⨯=；当41a =时，40416166X =⨯+⨯=；当42a =时，40426172X =⨯+⨯=，X ∴的所有可能取值为：152,156,160,166,172, X ∴的分别列为：()1521561601661721621055510E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= . ②依题意，甲厂家的日平均销售量为：380.2390.4400.2410.1420.139.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ，所以甲厂家的日平均返利额为：70+39.52=149⨯ 元，由①得乙厂家的日平均返利额为162 元，（大于149 元），所以推荐该商场选择乙厂家长期销售.19. 解：(1)连AC 交BD 于点E ， 连ME ，因为四边形ABCD 是矩形，所以点E 是AC 的中点，又点M 是PC 的中点，PA ME ∴ ，又PA ⊄ 平面,MBD EM ⊂ 平面MBD ，所以PA 平面MBD .(2)取AD 的中点O ，则PO AD ⊥ ，又平面PAD ⊥ 底面ABCD ，平面PAD底面ABCD AD = ，故PO ⊥平面ABCD ，连接OC ，在R t POC ∆ 中，OC =，所以在Rt ODC ∆ 中，3DC = ，以O 为原点，,,OA OE OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则()()()()(131,0,0,1,3,0,1,0,0,1,3,0,0,0,,,22A B D C P M ⎛--- ⎝⎭，设()000,,F x y z ，则由13AF AP = 得()(00011,,3x y z -=- ，即23F ⎛ ⎝⎭，设平面FBD 的法向量(),,m x y z = ，则00m BD m BF ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得2301303x y x y z --=⎧⎪⎨--=⎪⎩ ，令3,2x y ==-，则z =-，故(3,2,m =--，又13,22DM ⎛= ⎝⎭，设直线DM 与平面FBD 所成角为θ ，则sin cos ,1322m DM m DM m DMθ=<>===，故直线DM 与平面FBD . 20. 解：(1) 设()()()112200,,,,,A x y B x y P x y ,则2222112222221,1x y x y a b a b+=+= ，两式相减得，()()()()12121212220x x x x y y y y ab-+-++= ，又12121y y x x -=-- ，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为13 ，所以0013y x = ，即()121213y y x x +=+ ，所以可以解得223a b = ，即()2223a a c =- ，即2232a c = ，又因为22,6c a =∴= ，所以椭圆C 的方程为22162x y += . (2) 设直线l 的方程为()2y k x =- ，代入椭圆C 的方程为22162x y +=，得()222231121260k x k x k +-+-= ，设()()3344,,,D x y E x y ，则21221213k x x k +=+ .212212613k x x k-=+ ，根据题意，假设x 轴上存在定点(),0M t ，使得MD ME 为定值，则有()()()()33443434,,MD ME x t y x t y x t x t y y =--=--+()()()()()()()222223434343422124x t x t k x x k x x k t x x k t =--+--=+-++++()()()22222222222231210612612124131313t t k t k k k k t k t k k k -++--=+-+++=+++ ，要使上式为定值，即与k 无关，则应()223121036t t t -+=- ，即73t =，故当点M 的坐标为7,03⎛⎫⎪⎝⎭时，MD ME 为定值. 21. 解：(1)当2a = 时，()()()()2ln ,'ln 12,11,'11f x x x x f x x x f f =-=+-=-=- ，所以直线()y f x = 在点()()1,1f 处的切线方程为y x =- . (2)由已知得()()2ln 12a g x x x x a x =-+- ，则()'ln g x x ax a =-+ ，记()()'ln h x g x x ax a ==-+ ，则()()1110,'axh h x a x x-==-=. ①当()0,0,a x ≤∈+∞ 时，()'0h x > ，函数()'g x 单调递增，所以当()0,1x ∈ 时，()'0g x <，当()1,x ∈+∞时， ()'0g x > ，所以()g x 在1x =处取得极小值，满足题意.②当01a <<时，11a > ，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0h x > ，故函数()'g x 单调递增，可得当()0,1x ∈ 时，()1'01,g x x a ⎛⎫<∈ ⎪⎝⎭，时，()'0g x > ，所以()g x 在1x =处取得极小值，满足题意.③当1a =时，当()0,1x ∈ 时，()'0h x >，()'g x 在()0,1内单调递增，()1,x ∈+∞时，()()'0,'h x g x < 在()1,+∞内单调递减，所以当()0,x ∈+∞时，()()'0,g g x x ≤单调递减，不合题意. ④当1a >时，即101a <<，当1,1x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()'0,'h x g x < 单调递减， ()'0g x > ，当()1,x ∈+∞时，()()'0,'h x g x <单调递减，()'0g x < ，所以()g x 在1x =处取得极大值，不合题意. 综上可知，实数a 的取值范围为1a < .22. 解：(1) 曲线C 的普通方程为()()22112x y ++-=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入整理得2cos 2sin 0ρθθ+-=，即曲线C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.直线l 的方程为()112y x =+ ，所以极坐标方程为cos 2sin 10ρθρθ-+= . (2)当34πθ=时，3443OP OQ ππ⎛⎫=-=== ⎪⎝⎭，故线段PQ的长为=23. 解：（1）由题意，得()()312f x f x x x ++=-++ ，因此只需解不等式124x x -++≤ .当2x ≤- 时，原不等式等价于214x --≤ ，即522x -≤≤- ；当21x -<≤ 时，原不等式等价于34≤ ，即21x -<≤ ；当1x > 时，原不等式等价于214x +≤ ，即312x <≤，综上，原本不等式的解集为53|22x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭ . （2）由题意得()()111f ax af x ax a x ax ax a +=-+-=-+- ()()()11ax ax a a f a ≥---=-=。

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一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合{}51<<=x x M ，{}5,3,2,0=N ，则M N =I （ ）A ．{}42≤<x x B ．{}3,2,0 C ．{}3,2 D ．{}32<<x x 【答案】C 【解析】试题分析:因}5,3,2,0{},51|{=<<=N x x M ,故{2,3}M N = ,应选C. 考点：集合的交集运算. 2.已知i 为虚数单位，复数iiz 212+-=在复平面内对应的点为（ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-52,54 B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-52,54 C ．⎪⎭⎫⎝⎛--52,54 D ．⎪⎭⎫⎝⎛52,54 【答案】B考点：复数的概念及乘法运算. 3.下列命题中正确的是（ ） A ．若βα>，则βαsin sin >B ．命题：“1,12>>∀x x ”的否定是“1,12≤≤∃x x ”C ．直线02=++y ax 与04=+-y ax 垂直的充要条件为1±=aD ．“若0=xy ，则0=x 或0=y ”的逆否命题为“若0≠x 或0≠y ，则0≠xy ” 【答案】C 【解析】 试题分析:因365ππ>,但3sin 65sin ππ>,故A 不正确；由命题的否定可知“1,12>>∀x x ”的否定是“1,12≤>∃x x ”,故答案B 不正确；由逆否命题的构造形式可知: “若0=xy ，则0=x 或0=y ”的逆否命题为“若0≠x 且0≠y ，则0≠xy ”,即答案D,故应选C.考点：四个命题的关系及含一个量词的命题的否定等知识的综合运用.4.《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则塔从上至下的第三层有（ ）盏灯.A ．14B ． 12 C. 8 D ．10 【答案】B考点：等比数列的通项公式及前n 项和公式的综合运用. 5.=+313sin 253sin 223sin 17sin （ ） A ．21-B ． 21 C. 23- D ．23 【答案】B 【解析】 试题分析:因=+ 313sin 253sin 223sin 17sin 2160cos 43cos 17cos 43sin 17sin 00000==+-,故应选B.考点：诱导公式及三角变换中两角和的余弦公式的运用.6.曲线()223x x x f +-=在点()()1,1f 处的切线截圆4)1(22=++y x 所得弦长为（ ） A ．4 B ．22 C. 2 D ．2 【答案】A 【解析】试题分析:因x x x f 63)(2/+-=,则切线的斜率2)1(,336==-=f k ,故切线方程为)1(32-=-x y ,即013=--y x ,圆心)1,0(-C 到该直线的距离0=d ,所以圆()4122=++y x 截该切线所得的弦长就是该圆的直径,应选A.考点：导数的几何意义及直线与圆的位置关系的综合运用. 7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ． 38B ．3316 C. 338 D ．316 【答案】C考点：三视图的识读和理解.【易错点晴】本题考查的是三视图与原几何体的形状的转化问题.解答时先依据题设中提供的三视图,将其换元为立体几何中的简单几何体,再依据几何体的形状求其体积.在这道题中,从三视图所提供的图形信息中可以推知这是一个底面为等腰三角形高为2=h 的三棱锥.解答本题的难点是先依据题设中提供的信息确定底面的形状及高,进而运用体积公式求解. 8.已知如下等式：;30282624222018;161412108;642++=++++=++=+……以此类推，则2018会出现在第（ ）个等式中.A ．33B ．30 C. 31 D ．32 【答案】C 【解析】试题分析:因173132100922018+⨯==÷,故依据所给等式左右两边的数字特点及个数特征,数2018应在第31个等式中,故应选C. 考点：归纳推理的思想及推理论证能力.【易错点晴】推理和证明是高中数学的重要内容之一,也高考的重要考点之一.本题考查的是合情推理中归纳推理和数列的求和规律问题,解答时先依据归纳推理的思维模式,观察出所给等式的特征和规律:(1)所有等式中的数都是偶数；(2)左边的数的个数比右边的数的个数多1个,所以可将2018化为173132100922018+⨯==÷,其中右边的数字是等式的个数,由此可以推测2018应在第31个等式中.9.已知长方体1111D C B A ABCD -的外接球O 的体积为332π，其中21=BB ，则三棱锥ABC O -的体积的最大值为（ ）A ．1B ．3 C. 2 D ．4 【答案】A考点：几何体的外接球及基本不等式的综合运用.【易错点晴】本题以长方体的外接球的体积为背景,考查的是三棱锥的外接球的体积的计算及灵活运用基本不等式求最大值的综合问题.求解时充分借助题设条件中的有效信息,利用先将题设条件ππ332343=R 解出2=R ,借助长方体的对角线就是球的直径,建立等式1222=+y x ,然后再利用基本不等式求出三棱锥ABC O -的体积12616116122=+⨯≤=⨯=y x xy xy V ,使得问题获解.10.函数()72sin 6241x xx f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-的图象大致为（ ）【答案】D考点：奇函数的图象的对称性及运用.11.已知矩形ABCD 中，BC AB 2=,若椭圆的焦点是BC AD ,的中点，且点D C B A ,,,在椭圆上，则该椭圆的离心率为（ ） A ．16117+ B ．16117- C. 4115- D ．4117- 【答案】D 【解析】试题分析:如图，设t CB t AB 2,4==，则),2(,2t t C t c =，故t CN t CM ==,17，由椭圆的定义a t t 217=+，则4117-==a t e ,应选D.考点：椭圆的标准方程及几何性质的运用. 12.设函数()211)1ln(x x x f +-+=，则使得()()12->x f x f 成立的x 的取值范围是（ ） A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛1,31 B ．()1(,)1,3-∞+∞U C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,31D ．11(,),33⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭U 【答案】A 【解析】试题分析:因函数()211)1ln(xx x f +-+=是偶函数,且在),0(+∞上是单调递增函数,故不等式()()12->x f x f 可化为|12|||->x x ,解之得)1,31(,故应选A.考点：函数的单调性、奇偶性、对称性及图象等知识的综合运用.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.若()()1,2,,1a b m ==r r ，且()//a b b +r r r，则m = ．【答案】12【解析】试题分析:因)3,1(m +=+,故由已知可得m m 31=+,故21=m ,应填答案12. 考点：向量的几何形式的平行条件及运用．14.执行如图所示的程序框图，当输出()8,-x 时，则=x ．【答案】16考点：算法流程图的识读和理解及运用．15.若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+-≤-+0102306x y x y x ，y x n 32+=，则n 的最小值为 ．【答案】5 【解析】试题分析:画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+-≤-+0102306x y x y x 表示平面区域如图,结合图像可以看出当动直线332nx y +-=经过点)1,1(A 时,y x n 32+=取最小值5,故应填答案5.y=-23考点：线性规划的知识及数形结合的思想等知识和方法的综合运用．【易错点晴】本题考查的是线性约束条件的与数形结合的数学思想的综合运用问题,解答时先准确的画出直不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-+020202x y x y x 表示的区域,再搞清y x n 32+=的几何意义,将问题转化为求n 的最小值的问题.求解时借助动直线332nx y +-=的运动规律, 结合图象可以看出当动直线332nx y +-=经过点)1,1(A 时,y x n 32+=取最小值,从而求出y x n 32+=过点)1,1(A 时,y x n 32+=取最小值5.16.已知数列{}n a 的前两项均为1，前n 项和为n S ，若{}2nn a 为等差数列，则n S = ．【答案】nn S 254-= 【解析】试题分析:由已知可得121==a a ,则数列{}2n n a 的公差222122=-=a a d ,所以n n a n n 2)1(222=-+=,即12-=n n na ,故121021213212211-⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=n n n S ,由此可得n n n S 2121321221121321⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=以上两式两边错位相减可得n n n n n S 2322212121211211321-=-+⋅⋅⋅++++=-,所以n n S 254-=,故应填答案nn S 254-=. 考点：等差数列等比数列的通项及前n 项和公式错位相减法求和等有关知识的综合运用．【易错点晴】本题以数列{}n a 前两项均为1,{}2nn a 为等差数列为背景，考查的是等差数列和等比数列的概念公式及错位相减法求和等许多有关知识和运算求解及推理判断的能力.解答本题时应充分依据题设条件,依据等差数列的定义和通项公式求得数列{}2nn a 的公差222122=-=a a d .进而求出n n a n n 2)1(222=-+=,即12-=n n n a ,然后再运用错位相减法求出121021213212211-⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=n n n S ,.即n n S 254-=,使问题获解,具有一定的难度. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，CBA CB A cos cos cos sin sin sin +=+.（I ）求角C ；（II ）若3,2==b a ，求ABC ∆的面积.【答案】(I)3π；即B A C +=2,得.3π=C ............................................8分 （II ）.2333sin 3221sin 21=⨯⨯⨯==∆πC ab S ABC ....................12分考点：两角差的正弦公式及三角形的面积公式等有关知识的综合运用．18.（本小题满分12分）如图，四棱锥B AEDC -，底面AEDC ⊥侧面ABC ，,F P 分别为,BC BD 的中点，且//AE BC ，AC CD ⊥，AC AB ⊥，2DC AC AB AE ===.（I ）证明：EP ⊥平面BCD ；（II ）设2DC =，求三棱锥E BDF -的体积. 【答案】(I )证明见解析；(II)32.考点：直线与平面垂直的判定定理及三棱锥的体积公式等有关知识的综合运用． 19.（本小题满分12分）随机抽取了40辆汽车在经过路段上某点是的车速（/km h ），现将其分成六段：[)[)60,65,65,70，[)[)[)70,75,80,85,85,90后得到如图所示的频率分布直方图.（I ）现有某汽车途经该点，则其速度低于80/km h 的概率约是多少？ （II ）根据频率分布直方图，抽取的40辆汽车经过该点的平均速度是多少？（III ）在抽取的40辆汽车且速度在[)60,70（/km h ）内的汽车中任取2辆，求这2辆车车速都在[)65,70（/km h ）内的概率. 【答案】(I)65.0；(II)77；(III)62155P ==.（III ）车速在[)60,65内的有2辆，记为,A B ，车速在[)65,70内的有4辆，记为,,,a b c d ， 从中抽2辆，抽法为,,,,,,,,,,,,,,AB Aa Ab Ac Ad Ba Bb Bc Bd ab ac ad bc bd cd 共15种， 其中车速都在[)65,70内的有6种，故所求概率为62155P ==...............................12分 考点：频率分步直方图加权平均数古典概型的计算公式等有关知识的综合运用． 20.（本小题满分12分） 已知函数()21ln 2f x x x =+. （I ）求函数()f x 在[]1,e 上的最值；（II ）已知函数()323g x x =，求证：[)1,x ∀∈+∞，()()0f x g x -<恒成立. 【答案】(I)()()2max 112f x f e e ==+，()()min 112f x f ==；(II)证明见解析.【解析】试题分析：(I)借助题设条件运用导数的知识求解；(II)借助题设构造函数运用导数的知识分析推证.考点：导数与单调性的关系等有关知识的综合运用．【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以函数解析式()21ln 2f x x x =+为背景,精心设置了两个问题,旨在考查导数知识与函数单调性和极值的关系等方面的综合运用以及分析问题解决问题的能力.本题的第一问是求指定区间[]1,e 上的最大值和最小值问题,求解时分类对函数()21ln 2f x x x =+求导,分析探求出其最大和最小值；第二问则通过构造函数()()()()2312ln 123h x f x g x x x x x =-=+-≥,运用导数的知识,从而使得不等式简捷巧妙获证.21.（本小题满分12分）已知抛物线C 的方程()1,2,22M py x =为抛物线C 上一点，F 为抛物线的焦点.（I ）求MF ；（II ）设直线m kx y l +=:2与抛物线C 有唯一公共点P ，且与直线1:1-=y l 相交于点Q ，试问，在坐标平面内是否存在点N ，使得以PQ 为直径的圆恒过点N ？若存在，求出点N 的坐标，若不存在，说明理由. 【答案】(I)2；(II)存在，()0,1.0012x x k y x ='∴==，∴直线1l 的方程为()200042x x y x x -=-， 令01y =-得20022x x x -=，∴Q 点坐标为002(,1)2x x --，∴200(,)4x NP x n =-uu u r ，002(,1)2x NQ n x =---uuu rQ 点N 在以PQ 为直径的圆上，220x=∙∴要使方程恒成立，必须有⎩⎨⎧=-+=-02012n n n ，解得1=n .∴在坐标平面内存在点N ，使得以PQ 为直径的圆恒过点N ，其坐标为()1,0..................12分法2：设点()00,P x y ，由m kx y l +=:1与曲线C 有唯一公共点P 知，直线1l 与C 相切，由241x y =得x y 21='.∴直线1l 的方程为()200042x x y x x -=-，∴在坐标平面内若存在点N ，使得以PQ 为直径的圆恒过点N ，则点N 必为()0,1或()0,1-，将()0,1的坐标代入①式得，左边=()()()()()000000212121210y y x y y x -⎡⎤-+--=-+-=⎢⎥⎣⎦=右边，将()0,1-的坐标代入①式得，左边=()()()00002121y x y x -⎡⎤--=-⎢⎥⎣⎦不恒等于0， ∴在坐标平面内若存在点N ，使得以PQ 为直径的圆恒过点N ，则点N 的坐标为()0,1.........12分考点：直线的方程、抛物线定义及标准方程等有关知识的综合运用．【易错点晴】本题是一道考查直线与抛物线的位置关系的综合问题.解答本题的第一问时,直接依据题设条件运用和抛物线的定义,求得122pMF =+=；第二问的求解过程中,先设点()00,P x y ,再利用直线1l 与抛物线相切求得直线1l 的方程为()200042x x y x x -=-,进而求得点Q 点坐标为()0021(,1)y x --，然后再借助以PQ 为直径的圆恒过点N ,最后探求出点N 的坐标为()0,1,使得问题获解.本题对运算求解能力和推理论证能力的要求较高.请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知点⎪⎭⎫⎝⎛-3,2π，圆.cos 2θρ-= （I ）在极坐标系中，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，取相同的长度单位，求圆θρcos 2-=的直角坐标方程；（II ）求点⎪⎭⎫⎝⎛-3,2π到圆θρcos 2-=圆心的距离. 【答案】(I)()1122=++y x ；(II)7.考点：直角坐标与极坐标之间互化关系式及两点间距离公式等有关知识的综合运用． 23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()x x x f -+=12. （I ）求证：()1->x f 恒成立；（II ）若存在实数x ，使得()a x x f +≤-2，求实数a 的取值范围.【答案】(I)证明见解析；(II)3-≥a . 【解析】试题分析：(I)借助题设条件运用分类整合的数学思想求解；(II)借助题设运用绝对值的几何意义探求. 试题解析：考点：绝对值不等式的几何意义及分类整合思想等有关知识的综合运用．。

第Ⅰ卷甲必考题一、现代文阅读（9分，每小题3分）阅读下面的文字，完成1－3题“儒”字一词，有伦理义，有知识义。

作为伦理义之儒，正如孔子所说：“君子喻于义，小人喻于利。

”儒商必是那一类“见利思义”者。

“见利思义”之“义”，内涵丰富，其基本意思即是符合人类基本共识的道德规范，如不贪婪，遵守仁、义、礼、智、信五常之规范。

传统中国的儒商，大体在发家之后为家乡出资修路铺桥，修建义塾，凡有此种种义举的商人，都可称之为儒商。

“儒”字一词，还有知识义。

中国传统社会后期，儒者的普通义即是今日所言的知识分子。

故“儒商”实指有知识有文化的商人，或者说是有知识、有文化的手工业者、企业家，而不是一般的大字不识一个，只知道赚钱，只是有钱而没知识、没文化的家缠万贯之人。

从中国的历史来看，由儒而商，然后又由商致富后再回到儒者的队伍之中，也不乏其人，先秦时代的墨子是小手工业者，他以此为生计，但又成为大学者，可以说是古典的“儒商”。

而且，他的弟子中大多数人都是有知识的工商业者。

因此，墨家团体实可以说是一批有知识的古典“儒商”。

而在晚明时代，泰州学派的王艮就是由儒而商，后又由商而儒的。

泰州学派的很多成员可以说是中国前近代时期最早的儒商群体。

因此，从儒之知识义来说，儒商与商儒之间也并非有一条不可逾越的鸿沟。

“儒商”的本质是商而不是儒，无论是由儒者去经商而成功后成为新型商人，还是商人经营成功后向往儒者的身份而让自己变得有学问，他们的本质都还是商人，或曰企业家。

19世纪德国哲学家马克斯·韦伯在其《新教伦理与资本主义精神》一书中，对现代资本家创业活动的内在精神给出了哲学的解释，他认为，基督新教对于那些从事工商业的人来说，实质上是通过自己的谋利、创造利润的活动来实现人生来世的救赎。

韦伯将这种新教徒的谋利、创造利润活动的内在道德合理性称之为是新型资本家的“天职”（Calling）。

因此，儒商之“儒”是把自己的所拥有的知识，甚至可以说是企业经营的智慧变成金钱或企业家的利润，以创造更多、更好的物质产品与就业机会，并以此方式来服务社会、造福社会，为人类作贡献，绝非是有了钱之后而附庸风雅，舞文弄墨，或者冠以某些头衔作为行头的伪君子。