一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：
试求:在时,求。
解：
当时，＝
＝
1.2 设离散型随机变量X服从几何分布：
试求的特征函数，并以此求其期望与方差。解：
所以：
2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t
⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果对时取得红球
如果对t e t t
t X t 3)(
.维分布函数族试求这个随机过程的一
2.2 设随机过程
，其中
是常数，与是
相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概
率密度为
试证明为宽平稳过程。
解：（1）
与无关
（2）
，
所以
（3）
只与时间间隔有关，所以
为宽平稳过程。
2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E
.321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（
2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且
数。试求它们的互协方差函
2.5，
试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立
为多少？
3.1一队学生顺次等候体检。设每人体检所需的时间服从均值为2分
钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）
解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的
poisson 过程。以小时为单位。 则((1))30E N =。
40
300
(30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。
3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。设在0时刻两路公共汽车同时开始等候乘客到来，求（1）1路公共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达式；（2）当1N =2N ，1λ=2λ时，计算上述概率。 解：
法一：（1）乘坐1、2路汽车所到来的人数分别为参数为1λ、2λ的poisson 过程，令它们为1()N t 、2()N t 。1
N T 表示1()N t =1N 的发生时
刻，2
N T 表示2()N t =2N 的发生时刻。
1
11
1111111()exp()(1)!
N N
N T f t t t N λλ-=
-- 2
22
1222222()exp()(1)!
N N
N T f t t t N λλ-=
--
1
2
121
2
1
2
2
1
112,12|1221
1122212(,)(|)()exp()
exp()
(1)!
(1)!
N N N N N N
N
N N T T T T T f t t f t t f t t t t t N N λλλλ--==
----
1
2
2
121
2
1
11221
11222100
12()exp()
exp()(1)!
(1)!
N
N
t N N N N P T T dt t t t t dt N N λλλλ∞
--<=----⎰⎰
（2）当1N =2N 、1λ=2λ时，1
2
1
2
1()()2
N N N N P T T P T T <=>=
法二：（1）乘车到来的人数可以看作参数为1λ+2λ的泊松过程。令1Z 、2Z 分别表示乘坐公共汽车1、2的相邻两乘客间到来的时间间隔。则1Z 、2Z 分别服从参数为1λ、2λ的指数分布，现在来求当一个乘客乘坐1路汽车后，下一位乘客还是乘坐1路汽车的概率。
2
12211122210
()exp()exp()z p P Z Z dz z z dz λλλλ∞
=<=--⎰⎰
112
λλλ=
+。
故当一个乘客乘坐1路汽车后，下一位乘客乘坐2路汽车的概率为1-p 212
λλλ=
+
上面的概率可以理解为：在乘客到来的人数为强度1λ+2λ的泊松过程时，乘客分别以
112λλλ+概率乘坐公共汽车1，以212
λ
λλ+的概率乘坐公共汽车2。
将乘客乘坐公共汽车1代表试验成功，那么有：
121111
1112112
12
(1=
(
)(
)N N N N k N k k N P C λλλλλλ+----=++∑
路汽车比2路汽车先出发）
（2）当1N =2N 、1λ=2λ时
21
211
111
11111(1=()()2222N N N k N k k k k N k N P C
C -------====∑∑路汽车比2路汽车先出发）
3.3设{(),0}i N t t ≥，(1,2,,)i n =L 是n 个相互独立的
Poisson 过程，参数分别为
