第11章压杆稳定

压杆截面如图所示。两端为柱形铰链约束，
若绕 y 轴失稳可视为两端固定，若绕 z 轴失稳可视为 两端铰支。已知，杆长l=1m ,材料的弹性模量
E=200GPa，sp=200MPa。求压杆的临界应力。
解：
iy 1 3 ( 0 . 03 0 . 02 ) Iy 12 0.0058m A 0.03 0.02
3.压杆失稳：
弹性杆件 稳定直线平衡
F Fcr
F Fcr
F Fcr
F Fcr
微小扰动 恢复直线平衡 不稳定直线平衡
F Fcr
弯曲 除去扰动
v
弯曲
微小扰动
新的弯曲平衡 随遇平衡
除去扰动
F Fcr 除直线平衡形式外，无穷小邻域内，可能微弯平衡

压杆从直线平衡形式到弯曲平衡形式的转变，称为失稳
一、两端铰支的细长压杆：
x
Fcr
F M(x)=Fw
l m w B m
m
x
m
B y F
x
y
Fcr
压杆任一 x 截面沿 y 方向的位移 w f ( x ) 该截面的弯矩
M ( x ) Fw
杆的挠曲线近似微分方程
EIw '' M ( x ) Fw
2
（ a）
m
F 令k 得 w '' k 2 w 0 (b) EI
16
4.压杆的临界压力： 稳 定 平 衡 临界状态
过 渡
临界压力：Fcr
不 即：使压杆保持在微 稳 弯状态下平衡的最小 定 轴向力。 平 衡
F Fcr —稳定平衡状态 F Fcr —临界平衡状态 F Fcr —不稳定平衡状态
关键 确定压杆的 临界荷载 Fcr
§11-2 细长压杆的临界荷载——欧拉临界力
支承情况 两端铰支 一端固定,另一端铰支 两端固定 一端固定,另一端自由 临界力的欧拉公式
l2 2 EI Fcr (0.7 l )2 2 EI Fcr (0.5l )2 2 EI Fcr ( 2l )2 Fcr
长度系数
2 EI
=1 = 0.7 = 0.5 =2
[例11-1] 如图所示两端铰支细长圆截面连杆，长度 l=800mm，直径d=20mm，材料为Q235钢，其弹性模 量E=200GPa。试计算连杆的临界载荷。
F
l
F
解： ∵该连杆为两端铰支细长压杆
2 4 3 4 2 EI E d Ed Fcr 2 2 2 ( l ) 64 (1 l ) 64l
一、工程中的压杆稳定性问题
压杆失稳导致钢梁倒塌
顶杆 的 稳定性
吊车塔身的稳定性
脚 手 架
案例1：上世纪初，享有盛誉的美国桥梁学家库柏 (Theodore Cooper)在圣劳伦斯河上建造魁比克大桥 (Quebec Bridge) 1907年8月29日，发生稳定性破坏，
85位工人死亡，成为上世纪十大工程惨剧之一。
2E s cr 2
D
大柔度杆
λs
λp

三类不同的压杆
不是所有受压杆件都会发生屈曲，也不是所有 发生屈曲的压杆都是弹性的，受压杆件可分为三类：
细长杆——发生弹性屈曲。当外加载荷 Fp Fcr 时，
不发生屈曲；当 Fp Fcr 时，发生弹性屈曲。
中长杆——发生弹塑性屈曲。 Fp Fcr 短粗杆——不发生屈曲，而可能发生屈服或断裂。
二、稳定问题与强度问题的区别
强度问题 平衡状态 应 力 稳定问题
直线平衡状态不变
达到限值
平衡形式发生变化
小于限值 s<ss 变形后的形状、尺寸
平衡方程
极限承载能力
变形前的形状、尺寸 实验确定
理论分析计算
三、稳定平衡与不稳定平衡：
1.不稳定平衡：扰动作用除去后不能回复的平衡
2.稳定平衡：扰动作用除去后能回复的平衡
案例2 ：1995年6月29日下午，韩国汉城三丰百货大
楼，由于盲目扩建，加层，致使大楼四五层立柱不
堪重负而产生失稳破坏，大楼倒塌，死502人，伤 930人，失踪113人。
案例3： 2000年10月25日上午10 时南京电视台演播中心由于脚 手架失稳，造成屋顶模板倒塌， 死6人，伤34人。
研究压杆稳定性问题尤为重要
Iz A 1 (0.03 3 0.02) 12 0.0087m 0.03 0.02
m w
m
A sin kl 0
A0 sin kl 0
B
x
y
A sin kl 0
讨论
A0 sin kl 0
x F
若 A 0, w 0 则必须 sin kl 0 kl n ( n 1,2,3,...) l F 2 k kl n ( n 0,1,2,3,...) EI n2 2 EI F ( n 0,1,2,3,...) 2 l 2 EI 令 n = 1, 得 Fcr 2 l
2 EI Fcr ( l ) 2
—长度系数（或约束因数）。 l—有效长度。
Fcr Fcr
l l l
Fcr
Fcr
0.25l
0.7l 0.5l 0.3l 0.25l
长度 两端铰支 系数 ＝1.0
一端自由， 一端固定 ＝2.0
一端铰支， 一端固定 ＝0.7
两端固定 ＝0.5
各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式
只有在
2E s cr 2 s P
≥ p称大柔度压杆或细长压杆，为欧拉公式适
用范围。
p的大小取决于压杆材料的力学性能。
例如，对于Q235钢，可取 E=206GPa，sP=200MPa，
得
206 109 p 100 6 sP 200 10 E
2.中柔度杆（中长杆）的经验公式 对于 < p的压杆，其临界应力大于材料的比例 极限，欧拉公式已经不适用。 工程中这类问题一般采用经验公式。经验公式 是根据试验数据整理后得到的，这里介绍工程中常 用的直线公式 ，即
s cr a b
a、b 是和材料有关的常数，单位是MPa。
中柔度杆的经验公式
s cr a b
经验公式也有一个适用的范围，即使用经验公
式得到的临界应力不允许超过材料的极限应力，对 于塑性材料，不能超过其屈服极限，而对于脆性材
料，不能超过其强度极限。当临界应力超过极限应
力后，压杆已经因为强度不足而破坏，这样经验公 式计算的结果是毫无意义的。 对于塑性材料: 令
第 11 章 压杆的稳定性
§11-1 §11-2 §11-3 §11-4 §11-5 压杆稳定的概念 细长压杆的临界压力——欧拉临界力 欧拉公式的适用范围·临界应力总图 压杆的稳定校核 提高压杆稳定性的措施
§11-1
构件的承载能力
压杆稳定的概念
①强度 ②刚度 ③稳定性
工程中有些
构件具有足够的强度、刚度，却 不一定能安全可 靠地工作。
(b)式的通解为
F M(x)=Fw
m x B y
w A sin kx B cos kx
（A、B为积分常数）
(c )
F
w A sin kx B cos kx
边界条件 由公式(c)
(c )
F x
x 0, x L,
w0 w0
l
A sin 0 B cos 0 0 A 0 B 1 0 B 0
m w
m
B
x
y
Fcr
2 EI
l
2
——欧拉公式
F x
这就是两端铰支等截面细长 受压直杆临界力的计算公式 挠曲线方程为
w

kl sin 2
sin kx
l
m w m
当 kl π 时， w sin
x
B
x
y
l 挠曲线为半波正弦曲线。
二、其它约束条件下细长压杆临界力的欧拉公式 方法⑴：利用挠曲线近似微分方程，结合压杆的边 界条件进行推导，同§9-2两端铰支的情况； 方法⑵：将其他不同约束条件下细长压杆的挠曲线 形状与两端铰支细长压杆的挠曲线形状进行对比。
i

i
I A
l
截面的惯性半径 柔度即长细比
3.柔度（长细比）
i 称为压杆的柔度（长细比），集中地反映了
压杆的长度、杆端约束条件、截面尺寸和形状等因
素对临界应力的影响。 越大，相应的 scr 越小，压杆越容易失稳。 若压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不 同，应分别计算在各平面内失稳时的柔度，并按
s cr s s
a ss s b
工程中将柔度介于s 和 p之间的这一类压杆称 为中柔度杆（中长杆）。
3. 小柔度杆（短粗杆） 对于 < s的压杆，小柔度杆将因压缩引起
屈服或断裂破坏，属于强度问题，当然也可以将
屈服极限 ss （塑性材料）和强度极限 sb （脆性 材料）作为极限应力。
（2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩 I 若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形铰 等），则 I 应取最小的形心主惯性矩。 取 Iy ，Iz 中小的一个计算临界力。 x y 若杆端在各个方向的约束情况
不同（如柱形铰），应分别计算杆 在不同方向失稳时的临界压力。 I 为其相应中性轴的惯性矩。 即分别用 Iy ，Iz 计算出两个临 界压力。然后取小的一个作为压杆 的临界压力。 z
上述计算说明，细长压杆的承压能力是由稳定性要求 确定的。
§11-3
欧拉公式的应用范围·临界应力总图
一、长细比的定义与概念
1. 临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的平 Pcr 均应力。 s cr A 2. 细长压杆的临界应力：