第1章 7节 克拉默法则

推论 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的
代数余子式乘积之和等于零，即
或
ai1 Aj1 ai2 Aj2 ainAjn 0 a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0
i j i j
证
a11 a1n

ai1

ain

1 1

x 0
0 x

0 0
0 a1
a2 x an
1 0 0 x
c 1

n1 j2
1 x
cj
1 n a j
j1 x
0 0
a1 a2 an
x 0
0 x
0
0

xn1
n j 1
aj x



0
0 0 x
12
解 由 公式 可知 A11 + A12 + A13 + A14 等
于用 1 , 1 , 1 , 1 代替 Da11的第 1 行a1n所得的行列式，即17
三 总结行列式的计算方法
到现在为止,我们已能计算任意阶的行列式. 行列式的计算是我们这一章的重点,也是同学们必 须掌握的基本技能.
行列式有以下几种常用的计算方法: 1. 直接用定义计算; 2. 利用性质化为三角形行列式; 3. 利用展开式定理降阶.(降阶法)


ni j1
xi

xj
证毕
10
x a1 a2
例17 计算 n 阶行列式 Dn
a1
x a2
an
an . （补充题）

a1

7 − 5 13 = − 2 −1 2 7 − 7 12
−3 −5 3 c1 + 2c2 − 0 −1 0 c3 + 2c2 −7 −7 −2
−3 3 = = 27 ≠ 0, 7 −2
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8 1 −5 1 9 −3 0 −6 D1 = = 81, − 5 2 −1 2 0 4 −7 6
= (−1)
j +2
(−1)
j −1
Dj = −Dj ,
所以有
即
0 = bi D − ai1 D1 −L− ainDn ,
Dn D1 D2 ai1 + ai 2 + L+ ain = bi , (i = 1,2,L, n). D D D
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例12
解线性方程组
1 + x2 − 5x3 + x4 = 8, x − 3x − 6x = 9, 1 2 4 2x2 − x3 + 2x4 = −5, x1 + 4x2 − 7 x3 + 6x4 = 0.
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对于齐次线性方程组
a11 x1 + a12 x2 + L+ a1n xn = 0, a x + a x + L+ a x = 0, 21 1 22 2 2n n LLLLLLLLLLL, an1 x1 + an2 x2 + L+ ann xn = 0,
(11)
x1 = x2 = … = xn = 0 一定是它的解。称为齐次方程组 一定是它的解。 (11) 的零解。 零解。 如果一组不全为零的数是(11)的解，则叫做齐次 的解， 如果一组不全为零的数是 的解 方程组的非零解。 方程组的非零解。 方程组(11) 一定有零解，但不一定有非零解。 一定有零解，但不一定有非零解。 方程组

(1)
a11 a12 a1 n a 21 a 22 a 2 n 0 的系数行列式不等于零，即 D a n1 a n 2 a nn
那么线性方程组1 有解，并且解是唯一的，解 可以表为
D1 D2 D3 Dn x1 , x2 , x3 , , xn . D D D D
定理4 如果线性方程组（1）的系数行列式 D 0
则（1）一定有惟一解。
推论 如果线性方程组（1）无解或有两个不同 的解，则它的系数行列式一定为零。
定义
a11 x1 a12 x 2 a1 n x n 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n 0
第七节
克拉默（Cramer)法则
一、克拉默法则 二、重要定理
三、小结、思考题
一、克拉默法则
如果线性方程组
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn
其中 D j 是把系数行列式 D 中第 j 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式，即
a11 a1 , j 1 b1 a1 , j 1 a1 n D j a n 1 a n , j 1 bn a n , j 1 a nn
二、重要定理
2 5 λ 6 λ 4 λ 8 5 λ 5 λ λ 10 λ 16
5 λ λ 2 λ 8
由于 1 5, 2 2, 3 8 所以当

解
5 2 2
D 2 6 0 (5 )(2 )(8 )
2 0 4
由D=0,得λ=2, λ=5, λ=8.
总结
1.用克拉默法则解方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数; (2)系数行列式不等于零.
2.克拉默法则建立了线性方程组的解与已知的系 数与常数项之间的关系，它主要使用于理论推 导。

D4 D

27 27

1.
二、齐次与非齐次线性方程组的定义
a11x1 a12 x2 L a1n xn b1
La2L1x1L
a22 x2 LLL
L L
L
a2n xn LLL
b2 L
(11)
an1x1 an2 x2 L ann xn bn
定义:线性方程组(11)右端的常数项b1, b2 , ∙ ∙ ∙, bn不 全为零时,线性方程组(11)叫做非齐次线性方程
定理3′ 如果齐次线性方程组(12)有非零解,则它的系 数行列式必为零.
定理4 齐次线性方程组（12）有非零解得充分必要 条件是它的系数行列式为零。
例 问λ取何值时,齐次线性方程组有非零解？
5 x 2 y 2z 0,

2x 6 y 0,

2x 4z 0
an1 L an, j1 bn an, j1 L ann
关于克拉默法则的等价命题
a11x1 a12 x2 L a1n xn b1
La2L1x1L
a22 x2 LLL
L L
L
a2n xn LL
L
b2 L
(11)
an1x1 an2 x2 L ann xn bn