山东省济南市历下区九年级数学上学期期末测试题 北师

北师大版九年级上册数学期末考试试题一、单选题1．下列方程，是一元二次方程的是（）A ．2 310x x +-=B ．2 51y x -=C ． 210x +=D ．21 1x x +=2．下面几何体的主视图是（）A ．B ．C ．D ．3．若△ABC ∽△DEF ，且△ABC 与△DEF 的面积比是94，则△ABC 与△DEF 的对应高的比为（）A ．23B ．8116C ．94D ．324．若正方形的对角线长为2，则这个正方形的面积为（）A ．2B ．4CD ．5．如图，点A 为反比例函数k y x=的图象上一点，过A 作AB ⊥x 轴于点B ，连接OA ，已知△ABO 的面积为3，则k 值为（）A ．-3B ．3C ．-6D ．66．如图，线段AB 两个端点的坐标分别为(2,2)(2.5,0.8)A B 、，以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 扩大为原来的2倍后得到线段CD ，则端点C 的坐标为（）A ．(3,1.6)B ．(4,3.2)C ．(4,4)D ．(6,1.6)7．由于疫情得到缓和，餐饮行业逐渐回暖，某地一家餐厅重新开张，开业第一天收入约为5000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天收入约为6050元，若设每天的增长率为x ，则x 满足的方程是（）A ．5000（1+x ）＝6050B ．5000（1+2x ）＝6050C ．5000（1﹣x ）2＝6050D ．5000（1+x ）2＝60508．如图，正比例函数11y k x =的图像与反比例函数22k y x =的图象相交于A 、B 两点，其中点A 的横坐标为2，当12y y >时，x 的取值范围是（）A ．x ＜-2或x ＞2B ．x ＜-2或0＜x ＜2C ．-2＜x ＜0或0＜x ＜2D ．-2＜x ＜0或x ＞29．如图，正方形ABCD 中，E 为BC 中点，连接AE ，DF AE ⊥于点F ，连接CF ，FG CF ⊥交AD 于点G ，下列结论：①CF CD =；②G 为AD 中点；③~DCF AGF ∆∆；④23AF EF =，其中结论正确的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图，菱形ABCD的边AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F，连接DF．当100BAD∠=︒时，则CDF∠=（）A．15︒B．30°C．40︒D．50︒二、填空题11．方程x2＝x的解为___．12．若关于x的一元二次方程ax2+4x﹣2＝0有实数根，则a的取值范围为___．13．一个不透明的盒子里装有除颜色外无其他差别的白珠子6颗和黑珠子若干颗,每次随机摸出一颗珠子,放回摇匀后再摸,通过多次试验发现摸到白珠子的频率稳定在0.3左右,则盒子中黑珠子可能有__颗.14．已知矩形ABCD，当满足条件______时，它成为正方形(填一个你认为正确的条件即可)．15．反比例函数kyx=的图象经过点（1，﹣2），则k的值为_____．16．如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E，F分别是边AD，BC上的点，将正方形纸片沿EF折叠，使得点A落在CD边上的点A′处，此时点B落在点B′处．已知折痕EF=13，则AE的长等于_________．17．如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC=8，BD=6，则菱形ABCD 的高DH=_____．三、解答题18．解方程：2x2﹣4x﹣1＝0．19．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．20．如图，小明站在路灯B下的A处，向前走5米到D处，发现自己在地面上的影子DC 是2米．若小明的身高DE是1.8米，则路灯B离地面的高度AB是多少米？21．如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠ACB＝30°，AB＝2．(1)求AC的长及∠AOB的度数；(2)以OB，OC为邻边作菱形OBEC，求菱形OBEC的面积．22．有一块长60m，宽50m的矩形荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中黑色部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为am）区域将铺设塑胶地面作为运动场地．(1)设通道的宽度为xm，则a＝（用含x的代数式表示）；(2)若塑胶运动场地总的占地面积为2430m2，则通道的宽度为多少？23．已知，如图，正比例函数y＝ax的图象与反比例函数图象交于A点（3，2），（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式．（2）根据图象回答：在第一象限内，当反比例函数值大于正比例函数值时x的取值范围？（3）M（m，n）是反比例函数上一动点，其中0大于m小于3，过点M作直线MN平行x 轴，交y轴于点B．过点A作直线AC平行y轴，交x轴于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM的面积为6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由．24．如图1，在平面直角坐标系中，已知直线l：y＝kx+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线CD相交于点D，其中AC＝14，C（﹣6，0），D（2，8）．(1)求直线l的函数解析式；(2)如图2，点P为线段CD延长线上的一点，连接PB，当△PBD的面积为7时，将线段BP 沿着y轴方向平移，使得点P落在直线AB上的P'处，求点P′到直线CD的距离；(3)若点E 为直线CD 上的一点，则在平面直角坐标系中是否存在点F ，使以点A ，D ，E ，F 为顶点的四边形为菱形？若存在，求出所有满足条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．25．如图，一次函数y=x+b 和反比例函数y=xk （k≠0）交于点A （4，1）．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB 的面积；（3）根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围．26．如图，在矩形ABCD 的边AB 上取一点E ，连接CE 并延长和DA 的延长线交于点G ，过点E 作CG 的垂线与CD 的延长线交于点H ，与DG 交于点F ，连接GH ．（1）当tan 2BEC ∠=且4BC =时，求CH 的长；（2）求证：DF FG HF EF ⋅=⋅；（3）连接DE ，求证：CDE CGH ∠=∠．参考答案1．A 【分析】根据一元二次方程的概念(只含有一个未知数,并且未知数项的最高次数是二次的整式方程叫做一元二次方程)，逐一判断．【详解】A.2310x x +-=，符合一元二次方程的定义，故本选项正确；B.251y x -=，方程含有两个未知数，故本选项错误；C.210x +=，未知数项的最高次数是一次，故本选项错误；D.211x x+=，不是整式方程，故本选项错误.故答案选A.【点睛】本题重点考查了满足一元二次方程的条件：（1）该方程为整式方程．（2）该方程有且只含有一个未知数．（3）该方程中未知数的最高次数是2．2．B 【分析】主视图是从物体正面看所得到的的图形．【详解】解：从几何体正面看，从左到右的正方形的个数为：2,1,2．故选：B ．【点睛】本题考查了三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图，解答时学生易将三种试图混淆而错误地选其它选项．3．D 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，再结合相似三角形的对应高的比等于相似比解答即可．【详解】解：∵△ABC ∽△DEF ，△ABC 与△DEF 的面积比是94，∴△ABC 与△DEF 的相似比为32，∴△ABC 与△DEF 对应高的比为32，故选：D ．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．4．A 【分析】根据正方形的性质，对角线平分、相等、垂直且平分每一组对角求解．【详解】如图所示：∵四边形ABCD 是正方形，∴AO=BO=12AC=1cm ，∠AOB=90°，由勾股定理得，2，S 正=2）2=2cm2．故选A ．【点睛】考查正方形的性质，解题关键是根据对角线平分、相等、垂直且平分每一组对角进行分析．5．C 【分析】先设出A 点的坐标，由△AOB 的面积可求出xy 的值，即xy ＝﹣6，即可写出反比例函数的解析式．【详解】解：设A 点坐标为A （x ，y ），由图可知A 点在第二象限，∴x ＜0，y ＞0．又∵AB ⊥x 轴，∴|AB|＝y ，|OB|＝|x|，∴S △AOB 12=⨯|AB|×|OB|12=⨯y×|x|＝3，∴﹣xy ＝6，∴k ＝﹣6．故选：C ．【点睛】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，解题的关键是掌握过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|，本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．6．C 【分析】根据位似中心的定义可得:2:1OC OA =，由此即可得出答案．【详解】解：由题意得：:2:1OC OA =，则端点C 的坐标为(22,22)C ⨯⨯，即为(4,4)C ，故选：C ．【点睛】本题考查了位似图形的性质，理解定义是解题关键．7．D 【分析】根据开业第一天收入约为5000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天收入约为6050元列方程即可得到结论．【详解】解：设每天的增长率为x ，依题意，得：5000（1+x ）2＝6050．故选：D ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．8．D 【分析】先根据反比例函数与正比例函数的性质求出B 点坐标，再由函数图象即可得出结论．【详解】解：∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，∴A 、B 两点关于原点对称，∵点A 的横坐标为2，∴点B 的横坐标为-2，∵由函数图象可知，当-2＜x ＜0或x ＞2时函数y 1=k 1x 的图象在22k y x=的上方，∴当y 1＞y 2时，x 的取值范围是-2＜x ＜0或x ＞2．故选：D ．9．D 【分析】如图（见解析），过点C 作CM DF ⊥于点M ，先根据三角形全等的判定定理证出ADF DCM ≅ ，根据全等三角形的性质可得AF DM =，再利用正切三角函数可得1tan 1tan 42BE AB ∠=∠==，从而可得AF FM DM ==，然后根据线段垂直平分线的判定与性质即可判断①；先根据等腰三角形的性质可得25∠=∠，从而可得17∠=∠，再根据等腰三角形的判定可得DG FG =，然后根据角的和差可得36∠=∠，最后根据等腰三角形的判定可得AG FG =，由此即可判断②；先根据上面过程可知3256=∠∠∠=∠=，再根据相似三角形的判定即可判断③；设(0)AF x x =>，从而可得2DF x =，先利用勾股定理可得5,2AD AB BC AE x ====，再根据线段的和差可得32EF x =，由此即可判断④．【详解】解：如图，过点C 作CM DF ⊥于点M ，四边形ABCD 是正方形，,90AB BC CD AD B BAD ADC ∴===∠=∠=∠=︒，2190∴∠+∠=︒，DF AE ⊥ ，90,1390AFD DMC ∴∠=∠=︒∠+∠=︒，32∴∠=∠，在ADF 和DCM △中，9032AFD DMC AD DC∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADF DCM AAS ∴≅ ，AF DM ∴=，点E 是BC 的中点，1122BE BC AB ∴==，349031∠+∠=︒=∠+∠ ，41∴∠=∠，1tan 1tan 42BE AB ∴∠=∠==，12AFDF ∴=，即2DF AF =，DF DM FM AF FM =+=+ ，2AF AF FM ∴=+，即AF FM =，DM FM ∴=，又CM DF ⊥ ，CF CD ∴=，结论①正确；25∴∠=∠，FG CF ⊥ ，90CFG ADC ∴∠=︒=∠，17∴∠=∠，DG FG ∴=，又139076∠+∠=︒=∠+∠ ，36∴∠=∠，AG FG ∴=，AG DG ∴=，即G 为AD 中点，结论②正确；由上已得：32536,2,∠=∠∠∠∠=∠=，56∴∠=∠，在DCF 和AGF 中，2356∠=∠⎧⎨∠=∠⎩，DCF AGF ∴ ，结论③正确；设(0)AF x x =>，则2DF x =，BC AB AD ∴====，122BE BC ∴==，52AE x ∴==，32EF AE AF x ∴=-=，3223AF x EF x ∴==，结论④正确；综上，结论正确的个数有4个，故选：D ．10．B 【分析】连接BF ，根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BAC=50°，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AF=BF ，根据等边对等角可得∠FBA=∠FAB ，再根据菱形的邻角互补求出∠ABC ，然后求出∠CBF ，最后根据菱形的对称性可得∠CDF=∠CBF ．【详解】解：如图，连接BF ，在菱形ABCD 中，∠BAC=12∠BAD=12×100°=50°，∵EF 是AB 的垂直平分线，∴AF=BF ，∴∠FBA=∠FAB=50°，∵菱形ABCD 的对边AD ∥BC ，∴∠ABC=180°-∠BAD=180°-100°=80°，∴∠CBF=∠ABC-∠ABF=80°-50°=30°，由菱形的对称性，∠CDF=∠CBF=30°．故选：B ．11．0x =或1x =【分析】利用因式分解法解方程即可；【详解】2x x =，20x x -=，()10x x -=，0x =或1x =；故答案是：0x =或1x =．12．2a ≥-且0a ≠##a≠0且a≥-2【分析】根据题意可知0∆≥，代入求解即可．【详解】解：一元二次方程ax 2+4x ﹣2＝0，,4,2a a b c ===-，∵关于x 的一元二次方程ax 2+4x ﹣2＝0有实数根，∴0∆≥且0a ≠，即244(2)0a -⨯-≥，0a ≠解得：2a ≥-且0a ≠故答案为：2a ≥-且0a ≠．13．14【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．【详解】解：由题意可得，60.36n=+，解得n=14．经检验n=14是原方程的解故估计盒子中黑珠子大约有14个．故答案为：14．14．AB=BC【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴（1）当AB=BC时，矩形ABCD是正方形；（2）当AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形.故答案为：AB=CD（或AC⊥BD）.15．﹣2．【分析】将点（1，﹣2）代入kyx=，即可求解．【详解】∵反比例函数kyx=的图象经过点（1，﹣2），∴k21-=，解得k=﹣2．故答案为-2．16．16924【分析】过点F作FG⊥AD，垂足为G，连接AA′，在△GEF中，由勾股定理可求得EG=5，轴对称的性质可知AA′⊥EF，由同角的余角相等可证明∠EAH=∠GFE，从而可证明△ADA′≌△FGE，故此可知GE=DA′=5，最后在△EDA′利用勾股定理列方程求解即可．【详解】解：过点F作FG⊥AD,垂足为G,连接AA′.在Rt△EFG中，5=，∵轴对称的性质可知AA′⊥EF，∴∠EAH+∠AEH=90∘，∵FG⊥AD，∴∠GEF+∠EFG=90∘，∴∠DAA′=∠GFE，在△GEF 和△DA′A 中，90EGF D FG AD DAA GFE ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠'=∠⎩，∴△GEF ≌△DA′A ，∴DA′=EG=5，设AE=x,由翻折的性质可知EA′=x ，则DE=12−x ，在Rt △EDA′中，由勾股定理得：A′E 2=DE 2+A′D 2,即x 2=(12−x)2+52，解得：x=16924，故答案为16924，【点睛】本题主要考查正方形、轴对称、全等三角形的性质及勾股定理等相关知识.利用辅助线构全等形、利用勾股定理建立方程是解题的关键.17．4.8【分析】根据菱形的性质得到AC ⊥BD ，求出OA ，OB ，由勾股定理求出AB ，再利用菱形的面积公式得到12AC•BD=AB•DH ，由此求出答案．【详解】解：在菱形ABCD 中，AC ⊥BD ，∵AC=8，BD=6，∴OA=12AC=12×8=4，OB=12BD=12×6=3，在Rt △AOB 中，==5，∵DH ⊥AB ，∴菱形ABCD 的面积=12AC•BD=AB•DH ，即12×6×8=5DH ，解得DH=4.8．故答案为：4.8．【点睛】此题考查了菱形的性质，勾股定理，熟记菱形的性质并熟练应用解决问题是解题的关键．18．【分析】用配方法解一元二次方程即可.【详解】解：∵2x2﹣4x ﹣1=0，∴2x2﹣4x=1，则x2﹣2x=12，∴x2﹣2x+1=32，即（x ﹣1）2=32，则x ﹣，∴．【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程,解题时要注意解题步骤的准确使用,把左边配成完全平方式,右边化为常数.19．证明见解析．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD ⊥BC ，然后求出∠ADB=∠CEB=90°，再根据两组角对应相等的两个三角形相似证明．【详解】∵在△ABC 中，AB=AC ，BD=CD ，∴AD ⊥BC ．又∵CE ⊥AB ，∴∠ADB=∠CEB=90°，又∵∠B=∠B ，∴△ABD ∽△CBE ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，正确找到相似的条件是解题的关键．20．路灯B 离地面的高度 6.3AB =米【分析】根据ED ∥AB ，得出△ECD ∽△BCA ，进而得出比例式求出即可．【详解】解：由题图知，2DC =米， 1.8=ED 米，5AD =米，∴527=+=+=AC AD DC （米）．∵ED AB ∥，∴ECD BCA ∽△△．∴ED DC AB AC =，即1.827AB =．∴路灯B 离地面的高度 1.87 6.32AB ⨯==（米）．【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，得出△ECD ∽△EBA 是解决问题的关键．21．(1)4AC =，60AOB ∠=︒；(2)菱形OBEC 的面积是【分析】(1)根据AB 的长结合“在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半”可得出AC 的长度，根据矩形的对角线互相平分可得出OBC 为等腰三角形，从而利用外角的知识可得出∠AOB 的度数；(2)先求出△OBC 和的面积，从而可求出菱形OBEC 的面积.(1)解：在矩形ABCD 中，90ABC ∠=︒，在Rt ABC 中，30ACB ∠=︒．∴24AC AB ==．∴2AO OB ==．又∵2AB =，∴AOB 是等边三角形．∴60AOB ∠=︒．(2)解：在Rt ABC 中，由勾股定理，得BC ==．∴122ABC S =⨯⨯= ．∴12BOC ABC S S ==△△．∴菱形OBEC 的面积是【点睛】本题考查矩形的性质、菱形的性质及勾股定理的知识，熟练掌握矩形的性质、菱形的性质及勾股定理是解题的关键．22．(1)6032x-(2)通道的宽度为2m ．【分析】（1）结合图形可得：荒地的长为60m ，内部两个矩形的宽为am ，通道宽为xm ，可得方程等式，化简即可得；（2）结合图形，利用大面积减去黑色部分的面积可得方向，求解即可得．(1)解：结合图形可得：荒地的长为60m ，内部两个矩形的宽为am ，通道宽为xm ，∴2360a x +=，6032x a -=，故答案为：6032x -；(2)解：根据题意得：(502)(603)2430---⋅=x x x a ，∵6032x a -=，∴603(502)(603)24302x x x x ----⋅=，解得122,38x x ==（不合题意，舍去）．∴通道的宽度为2m ．【点睛】题目主要考查列代数式及一元二次方程的应用，理解题意，找准面积之间的关系是解题关键．23．（1）6y x =，23y x =；（2）03x <<；（3）理由见解析【分析】（1）把A 点坐标分别代入两函数解析式可求得a 和k 的值，可求得两函数的解析式；（2）由反比例函数的图象在正比例函数图象的下方可求得对应的x 的取值范围；（3）用M 点的坐标可表示矩形OCDB 的面积和△OBM 的面积，从而可表示出四边形OADM 的面积，可得到方程，可求得M 点的坐标，从而可证明结论．【详解】解：（1）∵将()3,2A 分别代入k y x =，y ax =中，得23k =，32a =，∴6k =，23a =，∴反比例函数的表达式为：6y x =，正比例函数的表达式为23y x =．（2）∵()3,2A 观察图象，得在第一象限内，当03x <<时，反比例函数的值大于正比例函数的值；（3）BM DM=理由：∵//MN x 轴，//AC y 轴，∴四边形OCDB 是平行四边形，∵x 轴y ⊥轴，∴OCDB 是矩形．∵M 和A 都在双曲线6y x=上，∴6BM OB ⨯=，6OC AC ⨯=，∴132OMB OAC S S k ==⨯= ，又∵6OADM S =四边形，∴33612OMB OAC OBDC OADM S S S S =++=++= 矩形四边形，即12OC OB ⋅=，∵3OC =，∴4OB =，即4n =∴632m n ==，∴32MB =，33322MD =-=，∴MB MD =．【点睛】本题为反比例函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、函数与不等式、矩形及三角形的面积和数形结合思想等．在（2）中注意数形结合的应用，在（3）中用M 的坐标表示出四边形OADM 的面积是解题的关键．24．(1)直线l 的函数解析式为43233y x =-+(2)点P '到直线CD 的距离为2(3)存在点1(8F +或2(8F --或3(6,14)F -或4(33,25)F ，使以点A ，D ，E ，F 为顶点的四边形为菱形．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）由△PBD 的面积求出点P 的坐标，进而求出点P'(5,4)，构建△P'DN 用解直角三角形的方法即可求解；（3）分AD 是菱形的边、AD 是菱形的对角线两种情况，利用图像平移和中点公式，分别求解即可．（1）解：∵14,(6,0)=-AC C ，点A 在点C 右侧，∴(8,0)A ．∵直线l 与直线CD 相交于点(2,8)D ，∴80,28,k b k b +=⎧⎨+=⎩解得4,332.3k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线l 的函数解析式为43233y x =-+．（2）解：如图1，过点P 作PN y ⊥轴于点N ，作'∥PP y 轴，交AB 于点P '，过点P '作'⊥P M CD 于点M ，过点D 作DE y ⊥轴于点E ，设CD 与y 轴交于点F，0设直线CD 的解析式为y mx n =+，∵(6,0),(2,8)-C D ，∴60,28,m n m n -+=⎧⎨+=⎩解得 1.6.m n =⎧⎨=⎩∴直线CD 的解析式为6y x =+．(0,6)F ∴∴6OC OF ==．∴OCF OFC∠=∠∵OC OF ⊥，∴45OCF OFC ∠=∠=︒∵直线l 的解析式为43233y x =-+，∴320,3B ⎛⎫⎪⎝⎭．∴323OB =．∴3214633=-=-=BF OB OF ．设(,6)+P a a ，∵7=-= PBD PBF DBF S S S ，∴11722⋅-⋅=BF PN BF DE ，即114(2)723⨯-=a ，解得5a =．∴(5,11)P ．∵将线段BP 沿着y 轴方向平移，使得点P 落在直线AB 上的P '处，∴4325433-⨯+=．∴(5,4)'P ．∴1147='-=PP ．∵45PCA OCF ∠=∠=︒，PP AC '⊥∴45'︒∠=MPP ．∵'⊥P M CD ，∴45PP M P PM ''∠=∠=︒∴PMP ' 是等腰直角三角形．∴==''P M ，即点P '到直线CD 的距离为2．（3）解：①如图2，当AD 、AF 为边时，∵(8,0),(2,8)A D ，∴10==AD ．∵四边形ADEF 是菱形，∴,10==∥DE AF AD AF ．∵直线CD 的解析式为6y x =+，∴可设直线AF 的解析式为y x b =+．∵(8,0)A ，∴80b +=，解得8b =-．∴直线AF 的解析式为8y x =-．设(,8)-F c c ，∴10===AF AD ，解得8=±c∴12(8(8+--F F ．当AD 、AE 为边时，∵(8,0),(2,8)A D ，∴10==AD ．∵四边形ADFE 是菱形，∴,10∥DF AE AD AE ==．∵直线CD 的解析式为6y x =+，∴可设直线AF 的解析式为y x b =-+．∵(8,0)A ，∴-80b +=，解得8b =．∴直线AF 的解析式为8y x =-+．设(,8)F d d -+，∴10DF AD ===，解得6d =-或8d =（舍去），∴3(6,14),F -．②如图3，当AD 为对角线时，则,=∥DF AF AF DE ．由①得直线AF 的解析式为8y x =-．设(,8)-F t t ，∵(2,8),(8,0)D A ，2222(2)(88)(8)(8)t t t t -+--=-+-解得33t =．∴4(33,25)F ．综上所述，存在点1(852,52)F +或2(852,52)F --或3(6,14)F -或4(33,25)F 使以点A ，D ，E ，F 为顶点的四边形为菱形．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到二次函数的性质、平行四边形的性质、图形的平移、面积的计算等，分类求解解题的关键．25．（1）反比例函数的解析式为：y=4x ；一次函数的解析式为：y=x ﹣3；（2）S △AOB =152；（3）一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围为：﹣1＜x ＜0或x ＞4．【分析】（1）把A 的坐标代入y=k x ，求出反比例函数的解析式，把A 的坐标代入y=x+b 求出一次函数的解析式；（2）求出D 、B 的坐标，利用S △AOB =S △AOD +S △BOD 计算，即可求出答案；（3）根据函数的图象和A 、B 的坐标即可得出答案．【详解】（1）∵反比例函数y=k x的图象过点A （4，1），∴1=k 4，即k=4，∴反比例函数的解析式为：y=4x．∵一次函数y=x+b （k≠0）的图象过点A （4，1），∴1=4+b ，解得b=﹣3，∴一次函数的解析式为：y=x ﹣3；（2）∵令x=0，则y=﹣3，∴D （0，﹣3），即DO=3．解方程4x=x ﹣3，得x=﹣1，∴B （﹣1，﹣4），∴S △AOB =S △AOD +S △BOD =12×3×4+12×3×1=152；（3）∵A （4，1），B （﹣1，﹣4），∴一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围为：﹣1＜x ＜0或x ＞4．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了观察函数图象的能力．26．（1）10CH =；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）根据已知条件先求出CE 的长，再证明∠=∠BEC ECH ，在Rt △CHE 中解三角形可求得EH 的长，最后利用勾股定理求CH 的长；（2）证明∽∆∆GFE HFD ，进而得出结果；（3）由（2）∽∆∆GFE HFD 得∠=∠EGF FHD ，进而sin sin ∠=∠EGF FHD ，即=CD CE CG CH ，再结合∠=∠ECD DCE ，可得出∽∆∆CDE CGH ，进一步得出结果.【详解】（1）解：∵矩形ABCD ，EH CG ⊥，∴90∠=︒=∠=∠BCD CEH B .而90BEC BCE ∠+∠=︒，90∠+∠=︒BCE ECH ，∴∠=∠BEC ECH ，又∵4BC =，tan 2BEC ∠=，∴2BE =，易得CE ==∴tan 2∠==EH ECH CE ，∴EH =∴10CH ==.（2）证明：∵矩形ABCD ，EH CG ⊥，∴∠=∠CEH HDG ，而∠=∠GFE DFH ，∴∽∆∆GFE HFD ，∴=DF FH EF FG，∴⋅=⋅DF FG EF FH ；（3）证明：由（2）∽∆∆GFE HFD 得∠=∠EGF FHD ，∴sin sin ∠=∠EGF FHD ，即=CD CE CG CH，而∠=∠ECD DCE ，∴∽∆∆CDE CGH ，∴CDE CGH ∠=∠．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质以及解直角三角形，关键是掌握基本的概念与性质.。

2022年山东省济南市历城区九上期末数学试卷1.如图所示的几何体的俯视图是( )A．B．C．D．2.一元二次方程x2+x=0的根的是( )A．x1=0，x2=1B．x1=0，x2=−1C．x1=x2=0D．x1=x2=13.在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=5，BC=12，则cosB的值为( )A．513B．1213C．135D．5124.如果用线段a，b，c，求作线段x，使a:b=c:x，那么下列作图正确的是( )A．B．C．D．5.若反比例函数y=kx的图象经过(−1,3)，则这个函数的图象一定过( )A．(−3,1)B．(−13,3)C．(−3,−1)D．(13,3)6.在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到白色球的频率稳定在85%左右，则口袋中红色球可能有( ) A．34个B．30个C．10个D．6个7.如图，活动课小明利用一个锐角是30∘的三角板测量一棵树的高度，已知他与树之间的水平距离BE为9m，AB为1.5m（即小明的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是( )A ． 3√3 mB ． 27√3 mC ． (3√3+32)mD ． (27√3+32)m8. 如图，半径为 3 的 ⊙A 经过原点 O 和点 C (0,2)，B 是 y 轴左侧 ⊙A 优弧上一点，则 tan∠OBC 为 ( )A ． 13B ． 2√2C ．√24D ．2√239. 如图，正方形 ABCD 中，点 E ，F 分别在边 CD ，AD 上，BE 与 CF 交于点 G ．若 BC =4，DE =AF =1，则 GF 的长为 ( )A ．135B ．125C ．195D ．16510. 二次函数 y =ax 2+bx +c 的部分对应值如表，利用二次的数的图象可知，当函数值 y >0 时，x 的取值范围是 ( )x−3−2−1012y −12−50343A ． 0<x <2B ． x <0 或 x >2C ． −1<x <3D ． x <−1 或 x >311. 如图，△AOB 是直角三角形，∠AOB =90∘，OB =2OA ，点 A 在反比例函数 y =1x 的图象上．若点 B 在反比例函数 y =kx 的图象上，则 k 的值为 ( )A．−4B．4C．−2D．212.如图，在矩形ABCD中，AD=2√2AB．将矩形ABCD对折，得到折痕MN，沿着CM折叠，点D的对应点为E，ME与BC的交点为F；再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，此时点B的对应点为G．下列结论，其中正确的个数为( )① △CMP是直角三角形；② AB=√2BP；③ PN=PG；④ PM=PF；⑤若连接PE，则△PEG∽△CMD．A．5个B．4个C．3个D．2个13.若xy =2，则xx−y=．14.已知点A(3,y1)，B(2,y2)都在抛物线y=−(x+1)2+2上，则y1与y2的大小关系是．15.已知抛物线y=x2−x−1与x轴的一个交点为(m,0)，则代数式m2−m+5=．16.如图，等腰直角三角形AOC中，点C在y轴的正半轴上，OC=AC=4，AC交反比例函数y=2x的图象于点F，过点F作FD⊥OA，交OA与点E，交反比例函数与另一点D，则点D的坐标为．17.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2如图所示，已知A点坐标为(1,1)，过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4，过点A4作A4A5∥x轴交抛物线于点A5，则点A5的坐标为．18.如图，两个半径相等的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，半径AE，CF交于点G，半径BE，CD交于点H，且点C是弧AB的中点，若扇形的半径为√2，则图中阴影部分的面积等于．19.解答下列问题．(1) 解方程：x2−4x−3=0；(2) 计算：√18tan30∘+(π+4)0−∣∣−√6∣∣．20.如图，在菱形ABCD中，过点B作BE⊥AD于E，过点B作BF⊥CD于F，求证：AE＝CF．21.近年来，无人机航拍测量的应用越来越广泛．如图，拍无人机从A处观测得某建筑物顶点O时俯角为30∘，继续水平前行10米到达B处，测得俯角为45∘，已知无人机的水平飞行高度为45米，则这栋楼的高度是多少米？（结果保留根号）22.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120∘，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E．(1) 求证：AC是⊙D的切线；(2) 若CE=2√3，求⊙D的半径．23.某种蔬菜的销售单价y1与销售月份x之间的关系如图（1）所示，成本y2与销售月份之间的关系如图（2）所示（图（1）的图象是线段图（2）的图象是抛物线）(1) 分别求出y1，y2的函数关系式（不写自变量取值范围）；(2) 通过计算说明：哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？24.为提升学生的艺术素养，某校计划开设四门选修课程：声乐、舞蹈、书法、摄影．要求每名学生必须选修且只能选修一门课程，为保证计划的有效实施，学校随机对部分学生进行了一次调查，并将调査结果绘制成如下不完整的统计表和统计图． 学生选修课程统计表 课程人数所占百分比声乐14b%舞蹈816%书法1632%摄影a 24%合计m100%根据以上信息，解答下列问题： (1) m = ，b = ． (2) 求出 a 的值并补全条形统计图．(3) 该校有 1500 名学生，请你估计选修“声乐”课程的学生有多少名．(4) 七（1）班和七（2）班各有 2 人选修“舞蹈”课程且有舞蹈基础，学校准备从这 4 人中随机抽取 2 人编排“舞蹈”在开班仪式上表演，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的 2 人恰好来自同一个班级的概率．25. 如图，A 为反比例函数 y =kx （其中 x >0）图象上的一点，在 x 轴正半轴上有一点 B ，OB =4．连接 OA ，AB ，且 OA =AB =2√10．(1) 求 k 的值；(2) 过点 B 作 BC ⊥OB ，交反比例函数 y =kx （x >0）的图象于点 C ．①连接 AC ，求 △ABC 的面积；②在图上连接OC交AB于点D，求AD的值．BD26.如图，已知正方形ABCD，点E为AB上的一点，EF⊥AB，交BD于点F．的值；(1) 如图1，直接写出DFAE(2) 将△EBF绕点B顺时针旋转到如图2所示的位置，连接AE，DF，猜想DF与AE的数量关系，并证明你的结论；(3) 如图3，当BE=BA时，其他条件不变，△EBF绕点B顺时针旋转，设旋转角为α(0∘<α<360∘)，当α为何值时，EA=ED？在图3或备用图中画出图形，并直接写出此时α=．27.若二次函数y=ax2+bx−2的图象与x轴交于点A(4,0)，与y轴交于点B，且过点C(3,−2)．(1) 求二次函数表达式；(2) 若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA=5，求点P的坐标；(3) 在AB下方的抛物线上是否存在点M，使∠ABO=∠ABM？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由．答案1. 【答案】D【解析】从上往下看，得两个长方形的组合体．故选：D．2. 【答案】B【解析】∵一元二次方程x2+x=0，∴x(x+1)=0，∴x1=0，x2=−1．3. 【答案】B【解析】由勾股定理得，AB=√AC2+BC2=√52+122=13，则cosB=BCAB =1213．4. 【答案】B【解析】A．a:b=x:c与已知a:b=c:x不符合，故选项A不正确；B．a:b=c:x与已知a:b=c:x符合，故选项B正确；C．a:c=x:b与已知a:b=c:x不符合，故选项C不正确；D．a:x=b:c与已知a:b=c:x不符合，故选项D不正确．5. 【答案】A【解析】∵反比例函数y=kx的图象经过(−1,3)，∴k=−1×3=−3．∵−3×1=−3，−13×3=−1，−3×(−1)=3，13×3=1，∴反比例函数y=kx的图象经过点(−3,1)．故选：A．6. 【答案】D7. 【答案】C【解析】∵AB⊥BE，DE⊥BE，AD∥BE，∴四边形ABED是矩形，∵BE=9m，AB＝1.5m，∴AD=BE=9m，DE=AB=1.5m，在Rt△ACD中，∵∠CAD=30∘，AD=9m，∴CD=AD⋅tan30∘=9×√33=3√3，∴CE=CD+DE=3√3+1.5，故选：C．8. 【答案】C【解析】作直径CD，在Rt△OCD中，CD=6，OC=2，则OD=√CD2−OC2=4√2，tan∠CDO=OCOD =√24，由圆周角定理得，∠OBC=∠CDO，则tan∠OBC=√24，故选：C．9. 【答案】A【解析】正方形ABCD中，∵BC=4，∴BC=CD=AD=4，∠BCE=∠CDF=90∘，∵AF=DE=1，∴DF=CE=3，∴BE=CF=5，在△BCE和△CDF中，{BC=CD,∠BCE=∠CDF, CE=DF,∴△BCE≌△CDF(SAS)，∴∠CBE=∠DCF，∵∠CBE+∠CEB=∠ECG+∠CEB=90∘=∠CGE，cos∠CBE=cos∠ECG=BCBE =CGCE，∴45=CG3，CG=125，∴GF=CF−CG=5−125=135，故选：A．10. 【答案】C【解析】∵抛物线经过点(0,3)，(2,3)，∴抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线的顶点坐标为(1,4)，抛物线开口向下，∵抛物线与x轴的一个交点坐标为(−1,0)，∴抛物线与x轴的一个交点坐标为(3,0)，∴当−1<x<3时，y>0．故选：C．11. 【答案】A【解析】过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D，设点A的坐标是(m,n)，则AC=n，OC=m，∵∠AOB=90∘，∴∠AOC+∠BOD=90∘，∵∠DBO+∠BOD=90∘，∴∠DBO=∠AOC，∵∠BDO=∠ACO=90∘，∴△BDO∽△OCA，∴BDOC =ODAC=OBOA，∵OB=2OA，∴BD=2m，OD=2n，∵点A在反比例函数y=1x的图象上，则mn=1，∵点B在反比例函数y=kx的图象上，B点的坐标是(−2n,2m)，∴k=−2n⋅2m=−4mn=−4．12. 【答案】B【解析】∵沿着CM折叠，点D的对应点为E，∴∠DMC=∠EMC，∵再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，∴∠AMP=∠EMP，∵∠AMD=180∘，∴∠PME+∠CME=12×180∘=90∘，∴△CMP是直角三角形；故①符合题意；∵AD=2√2AB，∴设AB=x，则AD=2√2x，∵将矩形ABCD对折，得到折痕MN；∴AM=DM=12AD=√2x=BN=NC，∴CM=√MD2+CD2=√3x，∵∠PMC=90∘=∠CNM，∠MCP=∠MCN，∴△MCN∽△PMC，∴CM2=CN⋅CP，∴3x2=√2x×CP，∴CP=3√22x，∴BP=√22x∴AB=√2BP，故②符合题意；∵PN=CP−CN=√22x，∵沿着MP折叠，使得AM与EM重合，∴BP=PG=√22x，∴PN=PG，故③符合题意；∵AD∥BC，∴∠AMP=∠MPC，∵沿着MP折叠，使得AM与EM重合，∴∠AMP=∠PMF，∴∠PMF=∠FPM，∴PF=FM，故④不符合题意；如图，∵沿着MP折叠，使得AM与EM重合，∴AB=GE=x，BP=PG=√22x，∠B=∠G=90∘∴PGGE =√22，∵CDMD =√2x=√22，∴PGGE =CDMD，且∠G=∠D=90∘，∴△PEG∽△CMD，故⑤符合题意．13. 【答案】2【解析】∵xy=2，∴x=2y，∴xx−y =2y2y−y=2．14. 【答案】y1<y2【解析】∵函数y=−(x+1)2+2的对称轴为x=−1，∴A(3,y1)，B(2,y2)在对称轴右侧，∵抛物线开口向下，在对称轴右侧y随x的增大而减小，3>2，∴y1<y2，故答案为：y1<y2．15. 【答案】6【解析】∵抛物线y=x2−x−1与x轴的一个交点为(m,0)，∴m2−m−1=0，即m2−m=1，∴m2−m+5=1+5=6．故答案为6．16. 【答案】(4,12)【解析】∵OC=AC=4，AC交反比例函数y=2x的图象于点F，∴F的纵坐标为4，代入y=2x 求得x=12，∴F(12,4)，∵等腰直角三角形AOC中，∠AOC=45∘，∴直线OA的解析式为y=x，∴F 关于直线 OA 的对称点是 D 点，∴ 点 D 的坐标为 (4,12)，故答案为 (4,12)．17. 【答案】 (−3,9)【解析】 ∵A 点坐标为（1,1），∴ 直线 OA 为 y =x ，A 1（−1,1），∵A 1A 2∥OA ，∴ 直线 A 1A 2 为 y =x +2，解 {y =x +2,y =x 2,得 {x =−1,y =1, 或 {x =2,y =4, ∴A 2（2,4），∴A 3（−2,4），∵A 3A 4∥OA ，∴ 直线 A 3A 4 为 y =x +6，解 {y =x +6,y =x 2,得 {x =−2,y =4, 或 {x =3,y =9, ∴A 4(3,9)，∴A 5(−3,9)，故答案为 (−3,9)．18. 【答案】 π−2【解析】两扇形的面积和为：180π⋅(√2)2360=π，过点 C 作 CM ⊥AE ，作 CN ⊥BE ，垂足分别为 M ，N ，则四边形 EMCN 是矩形，∵ 点 C 是 AB⏜ 的中点， ∴EC 平分 ∠AEB ，∴CM =CN ，∴ 矩形 EMCN 是正方形，∵∠MCG +∠FCN =90∘，∠NCH +∠FCN =90∘，∴∠MCG =∠NCH ，在 △CMG 与 △CNH 中，{∠MCG =∠NCH,CM =CN,∠CMG =∠CNB =90∘,∴△CMG ≌△CNH (ASA )，∴ 中间空白区域面积相当于对角线是 √2 的正方形面积，∴空白区域的面积为：12×√2×√2=1，∴图中阴影部分的面积=两个扇形面积和−2个空白区域面积的和=π−2．故答案为：π−2．19. 【答案】(1) 方程整理得：x2−4x=3.配方得：x2−4x+4=7.即(x−2)2=7.开方得：x−2=±√7.解得：x1=2+√7,x2=2−√7.(2) 原式=3√2×√33+1−√6=1.20. 【答案】∵菱形ABCD，∴BA＝BC，∠A＝∠C，∵BE⊥AD，BF⊥CD，∴∠BEA＝∠BFC＝90∘，在△ABE与△CBF中，{∠BEA=∠BFC,∠A=∠C,BA=BC,∴△ABE≌△CBF(AAS)，∴AE＝CF．21. 【答案】过O点作OC⊥AB的延长线于C点，垂足为C，根据题意可知，∠OAC=30∘，∠OBC=45∘，AB=10米，AD=45米，在Rt△BCO中，∠OBC=45∘，∴BC=OC，设OC=BC=x，则AC=10+x，在Rt△ACO中，tan30∘=OCAC =xx+10=√33，解得x=5√3+5，则这栋楼的高度ℎ=AD−CO=45−5√3−5=(40−5√3)（米）．22. 【答案】(1) 连接 AD ．∵AB =AC ，∠BAC =120∘，∴∠B =∠C =30∘，∵AD =BD ，∴∠BAD =∠B =30∘，∴∠ADC =60∘，∴∠DAC =180∘−60∘−30∘=90∘，∴AC 是 ⊙D 的切线．(2) 连接 AE ．∵AD =DE ，∠ADE =60∘，∴△ADE 是等边三角形，∴AE =DE ，∠AED =60∘，∴∠EAC =∠AED −∠C =30∘，∴∠EAC =∠C ，∴AE =CE =2√3，∴⊙D 的半径 AD =2√3．23. 【答案】(1) 设 y 1=kx +b ，将 (3,5) 和 (6,3) 代入得，{3k +b =5,6k +b =3 解得 {k =−23,b =7.∴y 1=−23x +7．设 y 2=a (x −6)2+1 , 把 (3,4) 代入得，4=a (3−6)2+1，解得 a =13．∴y 2=13(x −6)2+1，即 y 2=13x 2−4x +13．(2) 收益W =y 1−y 2=−23x +7−(13x 2−4x +13)=−13(x −5)2+73,∵ a =−13<0， ∵当 x =5 时，W 最大值=73．故 5 月出售每千克收益最大，最大为 73．24. 【答案】(1) 50，28(2) a=50×24%=12，补全图形如下：(3) 估计选修“声乐”课程的学生有1500×28%=420（人）．(4) 画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中抽取的2名学生恰好来自同一个班级的结果数为4，则所抽取的2人恰好来自同一个班级的概率为412=13．【解析】(1) m=8÷16%=50，b%=1450×100%=28%，即b=28，故答案为：50，28；25. 【答案】(1) 过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，AH交OC于点M，如图所示．∵OA=AB，AH⊥OB，∴OH=BH=12OB=2，∴AH=√OA2−OH2=√40−4=6，∴点A的坐标为(2,6)．∵A为反比例函数y=kx图象上的一点，∴k=2×6=12；(2) ① ∵BC⊥x轴，OB=4，点C在反比例函数y=12x上，∴BC=124=3．∵AH⊥OB，∴AH∥BC，∴点A到BC的距离=BH=2，∴S△ABC=12×3×2=3；② ∵BC⊥x轴，OB=4，点C在反比例函数y=12x上，∴BC=124=3．∵AH∥BC，OH=BH，∴MH=12BC=32，∴AM=AH−MH=92．∵AM∥BC，∴△ADM∽△BDC，∴ADDB =AMBC=32．26. 【答案】(1) √2(2) DF=√2AE，理由：由（1）知，BF=√2BE，BD=√2AB，∴BFBE =BDAB=√2，由旋转知，∠ABE=∠DBF，∴△ABE∽△DBF，∴DFAE =BDAB=√2，∴DF=√2AE．(3) 30∘或150∘【解析】(1) ∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠ABD=45∘，BD=√2AB，∵EF⊥AB，∴∠BEF=90∘，∴∠BFE=∠ABD=45∘，∴BE=EF，∴BF=√2BE，∴DF=BD−BF=√2AB−√2BE=√2(AB−BE)=√2AE，∴DFAE=√2，故答案为√2．(3) 如图3，连接DE，CE，∵EA=ED，∴点E在AD的中垂线上，∴AE=DE，BE=CE，∵AB=BE，∴CE=BE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠ABC=90∘，AB=BC，∴BE=CE=BC，∴△BCE是等边三角形，∴∠CBE=60∘，如图3，∠ABE=∠ABC−∠CBE=90∘−60∘=30∘，即：α=30∘，如图 4，∠ABE =∠ABC +∠CBE =90∘+60∘=150∘，即：α=150∘，故答案为 30∘ 或 150∘．27. 【答案】(1) ∵ 二次函数 y =ax 2+bx −2 的图象过点 A (4,0)，点 C (3,−2)，∴{0=16a +4b −2,−2=9a +3b −2, 解得：{a =12,b =−32, ∴ 二次函数表达式为：y =12x 2−32x −2．(2) 设直线 BP 与 x 轴交于点 E ，过点 P 作 PD ⊥OA 交 x 轴于 D ，设点 P (a,12a 2−32a −2)，则 PD =12a 2−32a −2，∵ 二次函数 y =12x 2−32x −2 与 y 轴交于点 B ，∴ 点 B (0,−2)，设 BP 解析式为：y =kx −2，∴12a 2−32a −2=ka −2，∴k =12a −32， ∴BP 解析式为：y =(12a −32)x −2，∴y =0 时，x =4a−3，∴ 点 E (4a−3,0)，∵S △PBA =5，∴12×(4−4a−3)×(12a 2−32a −2+2)=5，∴a =−1（不合题意舍去），a =5，∴ 点 P (5,3)．(3) 如图2，延长BM到N，使BN=BO，连接ON交AB于H，过点H作HF⊥AO于F，∵BN=BO，∠ABO=∠ABM，AB=AB，∴△ABO≌△ABN(SAS)，∴AO=AN，且BN=BO，∴AB垂直平分ON，∴OH=HN，AB⊥ON，∵AO=4，BO=2，∴AB=√AO2+BO2=√4+16=2√5，∵S△AOB=12×OA×OB=12×AB×OH，∴OH=2√5=4√55，∴AH=√AO2−OH2=√16−165=8√55，∵cos∠BAO=AOAB =AFAH，∴2√5=8√55，∴AF=165，∴HF=√AH2−AF2=√645−25625=85，OF=AO−AF=45，∴点H(45,−85)，∵OH=HN，∴点N(85,−165)，设直线BN解析式为：y=mx−2，∴−165=85m−2，∴m=−34，∴直线BN解析式为：y=−34x−2，∴12x2−32x−2=−34x−2，∴x=0（不合题意舍去），x=32，∴点M坐标(32,−258)，∴点M到y轴的距离为3．2。

2018-2019学年山东省济南市历下区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）某几何体的主视图和左视图如图所示，则该几何体的俯视图可能是（）A．B．C．D．2．（4分）方程3x2＝0的根是（）A．x＝0B．x1＝x2＝0C．x＝3D．3．（4分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC＝30°，AC＝4，则⊙O的半径为（）A．4B．8C．D．4．（4分）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB＝BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当∠ABC＝90°时，它是矩形D．当AC＝BD时，它是正方形5．（4分）某学习小组做“用频率估计概率的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（）A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点朝上B．任意写一个整数，它能被2整除C．不透明袋中装有大小和质地都相同的1个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球D．先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面6．（4分）将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（）A．y＝（x﹣1）2+2B．y＝（x+1）2+2C．y＝（x﹣1）2﹣2D．y＝（x+1）2﹣27．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣（m﹣1）＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＞0且m≠1B．m＞0C．m≥0且m≠1D．m≥08．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为（0，3），点B为（2，1），点C为（2，﹣3）．则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是（）A．（0，0）B．（1，0）C．（﹣2，﹣1）D．（2，0）9．（4分）如图，点P是平行四边形ABCD边上的点，AP＝AB，射线CP交DA的延长线于点E，则S△APE：S平等于（）行四边形ABCDA．1：5B．1：8C．1：12D．1：1310．（4分）如图，一次函数y1＝ax+b图象和反比例函数y2＝图象交于A（1，2），B（﹣2，﹣1）两点，若y1＜y2，则x的取值范围是（）A．x＜﹣2B．x＜﹣2或0＜x＜1C．x＜1D．﹣2＜x＜0或x＞111．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，点M为边AB上的一动点，点N为边AC上的一动点，且∠MDN＝90°，则sin∠DMN为（）A．B．C．D．12．（4分）如图，在平面直角坐标系中，A（1，2），B（1，﹣1），C（2，2），抛物线y＝ax2（a≠0）经过△ABC 区域（包括边界），则a的取值范围是（）A．a≤﹣1 或a≥2B．﹣1≤a＜0 或0＜a≤2C．﹣1≤a＜0 或＜a≤1D．≤a≤2二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.把正确答案填在题中横线上）13．（4分）抛物线y＝x2+4x+3的对称轴是直线．14．（4分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，cos A＝，则AC的长是．15．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠C＝130°，则∠BOD的度数是．16．（4分）如图，在平面直角坐标系中，P是反比例函数y＝的图象上一点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，若△OPQ的面积为2，则k的值是．17．（4分）如图，四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，AB＝1，扇形AEF的半径为1，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是．18．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＜0；③3a+c＜0；④m为任意实数，则m（am﹣b）+b≤a；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝﹣2，其中正确的有（只填序号）．三、解答题（本大题共8个小题，共78分.请写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（6分）解方程：x2﹣6x﹣18＝0．20．（6分）如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距6m、与树相距15m，求树的高度．21．（6分）如图，CB是⊙O的直径，P是CB延长线上一点，PB＝2，P A切⊙O于A点，P A＝4，求cos P．22．（8分）如图，有一个可以自由转动的转盘被平均分成3个扇形，分别标有1、2、3三个数字，小王和小李各转动一次转盘为一次游戏，当每次转盘停止后，指针所指扇形内的数为各自所得的数，一次游戏结束得到一组数（若指针指在分界线时重转）．（1）请你用树状图或列表的方法表示出每次游戏可能出现的所有结果；（2）求每次游戏结束得到的一组数恰好是方程x2﹣3x+2＝0的解的概率．23．（8分）如图所示，一艘轮船在近海处由西向东航行，点C处有一灯塔，灯塔附近30海里的圆形区域内有暗礁，轮船在A处测得灯塔在北偏东60°方向上，轮船又由A向东航行40海里到B处，测得灯塔在北偏东30°方向上．（1）求轮船在B处时到灯塔C处的距离是多少？（2）若轮船继续向东航行，有无触礁危险？24．（10分）已知，如图，在Rt△ABC中，CD是斜边上的中线，DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E．求证：（1）△ADE∽△FDB；（2）CD2＝DE•DF．25．（10分）某商店经营一种文具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，且每件文具售价不能高于40元，设每件文具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式；（2）每件文具的售价定为多少元时，月销售利润为2520元？（3）每件文具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？26．（12分）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（4，n）在边AB上，反比例函数（k≠0）在第一象限内的图象经过点D、E，且tan∠BOA＝．（1）求边AB的长；（2）求反比例函数的解析式和n的值；（3）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y轴正半轴交于点H、G，求线段OG的长．27．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且D（2，3），B（﹣4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C，求△BMC面积的最大值；（3）在（2）中△BMC面积最大的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．2018-2019学年山东省济南市历下区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【解答】解：由题意可得：该几何体是球体与立方体的组合图形，则其俯视图为圆形中间为正方形，故选项B正确．故选：B．2．【解答】解：3x2＝0，x2＝0，x1＝x2＝0，故选：B．3．【解答】解：∵AB是直径，∴∠C＝90°，∵∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝8，∴OA＝OB＝4，故选：A．4．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴当AB＝BC或AC⊥BD时，四边形ABCD为菱形，故A、B结论正确；当∠ABC＝90°时，四边形ABCD为矩形，故C结论正确；当AC＝BD时，四边形ABCD为矩形，故D结论不正确，故选：D．5．【解答】解：A、掷一个质地均匀的正六面体骰子，出现1点朝上的概率为≈0.17，不符合题意；B、任意写一个整数，它能2被整除的概率为，不符合题意；C、不透明袋中装有大小和质地都相同的1个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球的概率＝≈0.33，符合题意；D、先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面的概率是，不符合题意；故选：C．6．【解答】解：将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是y ＝（x﹣1）2+2，故选：A．7．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣（m﹣1）＝0有两个不相等的实数根，∴△＝（﹣2）2﹣4×1×[﹣（m﹣1）]＝4m＞0，∴m＞0．故选：B．8．【解答】解：∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，∴作图得：∴EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）．故选：C．9．【解答】解：设△AEP的面积为m．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，∴△EAP∽△EDC，∴＝（）2，∵P A＝AB，∴CD＝3P A，PB＝2P A，∴△EDC的面积为9m，四边形P ADC的面积为8m，∵EA∥BC，∴△EAP∽△CBP，∴＝（）2＝，∴△PBC的面积为4m，∴S△APE：S平行四边形ABCD＝m：（4m+8m）＝1：12，故选：C．10．【解答】解：∵A（1，2），B（﹣2，﹣1），∴由图可得，当y1＜y2时，x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜1，故选：B．11．【解答】解：连结AD，如图，∵∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，∴BC＝10，∵点D为边BC的中点，∴DA＝DC＝5，∴∠1＝∠C，∵∠MDN＝90°，∠A＝90°，∴点A、D在以MN为直径的圆上，∴∠1＝∠DMN，∴∠C＝∠DMN，在Rt△ABC中，sin C＝＝＝，∴sin∠DMN＝，故选：A．12．【解答】解：当抛物线开口向上时，即a＞0时，抛物线y＝ax2（a≠0）过A点时，a的值最大，把A（1，2）代入y＝ax2得a＝2，此时0＜a≤2；当抛物线开口向下时，即a＜0时，抛物线y＝ax2（a≠0）过B点时，a的值最小，把B（1，﹣1）代入y＝ax2得a＝﹣1，此时﹣1≤a＜0，综上所述，a的范围为﹣1≤a＜0或﹣1≤a＜0．故选：B．二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.把正确答案填在题中横线上）13．【解答】解：抛物线y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，所以对称轴是直线x＝﹣2．故答案为x＝﹣2．14．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝8，cos A＝＝，∴AC＝AB•cos A＝8×＝6．15．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠C＝180°，∵∠C＝130°，∴∠A＝50°，∴∠BOD＝2∠A＝100°，故答案为100°．16．【解答】解：∵过点P作PQ⊥x轴于点Q，△OPQ的面积为2，∴||＝2，∵k＜0，∴k＝﹣4．故答案为：﹣4．17．【解答】解：连接AC．∵四边形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D＝60°，AB＝AD＝DC＝BC＝1，∴∠BCD＝∠DAB＝120°，∴∠1＝∠2＝60°，∴△ABC、△ADC都是等边三角形，∴AC＝AD＝1，∵AB＝1，∴△ADC的高为，AC＝1，∵扇形BEF的半径为1，圆心角为60°，∴∠4+∠5＝60°，∠3+∠5＝60°，∴∠3＝∠4，设AF、DC相交于HG，设BC、AE相交于点G，在△ADH和△ACG中，，∴△ADH≌△ACG（ASA），∴四边形AGCH的面积等于△ADC的面积，∴图中阴影部分的面积是：S扇形AEF﹣S△ACD＝﹣×1×＝﹣．故答案为﹣．18．【解答】解：①∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，∴ab＞0，由图象可知：c＞0，∴abc＞0，故①错误；②∵抛物线与x轴的交点有两个，∴b2﹣4ac＞0，②错误；③∵，∴b＝2a，由图象可知：9a﹣3b+c＜0，∴9a﹣6a+c＜0，即3a+c＜0，故③正确；④∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴当x＝﹣1时，y有最大值，∴am2﹣bm+c≤a﹣b+c（m为任意实数），∴m（am﹣b）≤a﹣b（m为任意实数），∴m为任意实数，则m（am﹣b）+b≤a，所以④正确；⑤∵对称轴x＝﹣1，∴x1≠x2，x1+x2＝﹣2时，有ax12+bx1+c＝ax22+bx2+c，∴ax12+bx1＝ax22+bx2，∴结论⑤正确．综合以上可得：③④⑤．三、解答题（本大题共8个小题，共78分.请写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．【解答】解：x2﹣6x+9＝27，（x﹣3）2＝27，x﹣3＝±3，所以x1＝3+3，x2＝3﹣3．20．【解答】解：∵AB⊥OD，CD⊥OD，∴AB∥CD，∴△OAB∽△OCD，∴＝，∵AB＝2m，OB＝6m，OD＝6+15＝21m，∴＝，解得CD＝7m．答：树的高度为7m．21．【解答】解：连接OA，设圆的半径为r．由切割弦定理可得P A2＝PB×PC，即42＝2×（2+2r），解得，r＝3，所以cos P＝＝＝．22．【解答】解：（1）列表如下：（2）所有等可能的情况数为9种，其中是x2﹣3x+2＝0的解的为（1，2），（2，1）共2种，则P是方程解＝．23．【解答】解：（1）由题意得，∠CAB＝30°，∠ABC＝120°，∴∠ACB＝180°﹣30°﹣120°＝30°，∴∠ACB＝∠CAB，∴BC＝AB＝40（海里）；（2）作CE⊥AB交AB的延长线于E，在Rt△CBE中，sin∠CBE＝，∴CE＝BC•sin∠CBE＝40×＝20，∵20＞30，∴轮船继续向东航行，无触礁危险．24．【解答】证明：（1）∵DE⊥AB，∴∠ADE＝∠BDF＝90°，∵∠ACB＝∠ECF＝∠FDB＝90°，∴∠E+∠CFE＝90°，∠B+∠DFB＝90°，∵∠CFE＝∠DFB，∴∠E＝∠B，∴△ADE∽△FDB．（2）∵△ADE∽△FDB，∴＝，∴AD•DB＝DE•DF，∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，∴AD＝BD＝CD，∴CD2＝DE•DF．25．【解答】解：（1）根据题意得：y＝（30+x﹣20）（230﹣10x）＝﹣10x2+130x+2300，自变量x的取值范围是：0＜x≤10且x为正整数；（2）当y＝2520时，得﹣10x2+130x+2300＝2520，解得x1＝2，x2＝11（不合题意，舍去）当x＝2时，30+x＝32（元）答：每件文具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元．（3）根据题意得：y＝﹣10x2+130x+2300＝﹣10（x﹣6.5）2+2722.5，∵a＝﹣10＜0，∴当x＝6.5时，y有最大值为2722.5，∵0＜x≤10且x为正整数，∴当x＝6时，30+x＝36，y＝2720（元），当x＝7时，30+x＝37，y＝2720（元），答：每件文具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元．26．【解答】解：（1）∵点E（4，n）在边AB上，∴OA＝4，在Rt△AOB中，∵tan∠BOA＝，∴AB＝OA×tan∠BOA＝4×＝2；（2）根据（1），可得点B的坐标为（4，2），∵点D为OB的中点，∴点D（2，1）∴＝1，解得k＝2，∴反比例函数解析式为y＝，又∵点E（4，n）在反比例函数图象上，∴＝n，解得n＝；（3）如图，设点F（a，2），∵反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，∴＝2，解得a＝1，∴CF＝1，连接FG，设OG＝t，则OG＝FG＝t，CG＝2﹣t，在Rt△CGF中，GF2＝CF2+CG2，即t2＝（2﹣t）2+12，解得t＝，∴OG＝t＝．27．【解答】解：（1）将D（2，3）、B（﹣4，0）的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，则抛物线的解析式为：y＝x2+x﹣2；（2）过点M作y轴的平行线，交直线BC于点K，将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝k′x+b′得：，解得：，则直线BC的表达式为：y＝﹣x﹣2，设点M的坐标为（x，x2+x﹣2），则点K（x，﹣x﹣2），S△BMC＝•MK•OB＝2（﹣x﹣2﹣x2﹣x+2）＝﹣x2﹣4x，∵a＝﹣1＜0，∴S△BMC有最大值，当x＝﹣＝﹣2时，S△BMC最大值为4，点M的坐标为（﹣2，﹣3）；（3）如图所示，存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆，切点为N，过点M作直线平行于y轴，交直线AC于点H，点M坐标为（﹣2，﹣3），设：点Q坐标为（﹣2，m），点A、C的坐标为（1，0）、（0，﹣2），tan∠OCA＝＝，∵QH∥y轴，∴∠QHN＝∠OCA，∴tan∠QHN＝，则sin∠QHN＝，将点A、C的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n得：，则直线AC的表达式为：y＝2x﹣2，则点H（﹣2，﹣6），在Rt△QNH中，QH＝m+6，QN＝OQ＝＝，sin∠QHN＝＝＝，解得：m＝4或﹣1，即点Q的坐标为（﹣2，4）或（﹣2，﹣1）．。

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(每小题3分,共30分)1．点P （﹣2，4）关于坐标原点对称的点的坐标为（ ）A ．（4，﹣2）B ．（﹣4，2）C ．（2，4）D ．（2，﹣4）2．正六边形的周长为6，则它的面积为（ ）A ．93B ．332C ．34D ．333．如图，从点A 看一山坡上的电线杆PQ ，观测点P 的仰角是45°，向前走6m 到达B 点，测得顶端点P 和杆底端点Q 的仰角分别是60°和30°，则该电线杆PQ 的高度（ ）A ．623+B ．63-C ．103-D ．83+ 4．PA ，PB 是O 的两条切线，A ，B 为切点，直线OP 交O 于C ，D 两点，交AB 于点E ，AF 为O 的直径，下列结论中不正确的是( )A ．AP PB = B ．BC BF = C ．PE AB ⊥D ．ABP AOP ∠=∠5．某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：下列结论不正确的是（ ）A ．众数是8B ．中位数是8C ．平均数是8.2D ．方差是1.2 6．设抛物线2(0)y ax bx c ab =++≠的顶点为M ,与y 轴交于N 点，连接直线MN ，直线MN 与坐标轴所围三角形的面积记为S.下面哪个选项的抛物线满足S=1 ( )A ．23(1)1y x =--+B ．2(0.5)( 1.5)y x x =-+C ．214133y x x =-+D ．()22142y a x x =+-+ (a 为任意常数) 7．若关于x 的一元二次方程()10x x bx -+=有两个相等的根，则b 的值为（ ）A ．1-B ．1C ．2-或2D ．3-或18．如图所示，已知△ABC 中，BC=12，BC 边上的高h=6，D 为BC 上一点，EF ∥BC ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，设点E 到边BC 的距离为x ．则△DEF 的面积y 关于x 的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，D 是BC 的中点，DE ⊥BC ，CE ∥AD ，若AC=2，∠ADC=30°．①四边形ACED 是平行四边形；②△BCE 是等腰三角形；③四边形ACEB 的周长是513+④四边形ACEB 的面积是1．则以上结论正确的是（ ）A ．①②B ．②④C ．①②③D ．①③④10．如图所示，该几何体的俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题(每小题3分,共24分)11．一元二次方程240x x -=的解是_________.12．二次函数1()(6)y x mx m m=--(其中m>0),下列命题：①该图象过点(6，0)；②该二次函数顶点在第三象限；③当x>3时，y 随x 的增大而增大；④若当x<n 时，都有y 随x 的增大而减小，则132n m ≤+.正确的序号是____________. 13．在Rt △ABC 中，两直角边的长分别为6和8，则这个三角形的外接圆的直径长为__．14．如图，在ABC 中，DE BC ∥，且DE 把ABC 分成面积相等的两部分．若4=AD ，则DB 的长为________．15．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C 在半圆上，点A 、B 的度数分别为86︒、30，则ACB ∠的大小为___________16．若代数式5x －5与2x －9的值互为相反数，则x ＝________.17．如图，反比例函数k y x =的图象位于第一、三象限，且图象上的点与坐标轴围成的矩形面积为2，请你在第三象限的图象上取一个符合题意的点，并写出它的坐标______________．18．已知ABC DEF ∽△△，且916ABC DEF S S =△△ ，且ABC 与DEF 的周长和为175 ，则ABC 的周长为 _________． 三、解答题(共66分) 19．（10分）（1）解方程：2320x x -+=．（2）已知：关于x 的方程220x kx +-=①求证：方程有两个不相等的实数根；②若方程的一个根是1-，求另一个根及k 值．20．（6分）如图，AB 是⊙O 的直径，过⊙O 外一点P 作⊙O 的两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D ，连接OP ，CD ．（1）求证：OP ⊥CD ；（2）连接AD ，BC ，若∠DAB ＝50°，∠CBA ＝70°，OA ＝2，求OP 的长．21．（6分）如图，ABC ∆内接于O ，BC 是O 的直径，E 是AC 上一点，弦BE 交AC 于点F ，弦AD BE ⊥于点G ，连接CD ，CG ，且CBE ACG ∠=∠.（1）求证：CG CD =；（2）若4AB =，213BC =，求CD 的长.22．（8分）小李在学习了定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”之后做了如下思考，请你帮他完成如下问题：（1）他认为该定理有逆定理：“如果一个三角形某条边上的中线等于该边长的一半，那么这个三角形是直角三角形”应该成立.即如图①，在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，若AD BD CD ==，求证：90BAC ∠=︒.（2）如图②，已知矩形ABCD ，如果在矩形外存在一点E ，使得AE CE ⊥，求证：BE DE ⊥.（可以直接用第（1）问的结论）（3）在第（2）问的条件下，如果AED ∆恰好是等边三角形，请求出此时矩形的两条邻边AB 与BC 的数量关系.23．（8分）如图，一次函数图象经过点()0,2A ，与x 轴交于点C ，且与正比例函数y x =-的图象交于点B ，B 点的横坐标是1-.()1请直接写出点B 的坐标(1-， )；()2求该一次函数的解析式;()3求BOC 的面积.24．（8分）在ABC ∆，CA CB =，ACB α∠=．点P 是平面内不与点A ，C 重合的任意一点．连接AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转α得到线段DP ，连接AD ，BD ，CP ．（1）观察猜想如图1，当60α︒=时，BD CP 的值是 ，直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数是 ． （2）类比探究如图2，当90α︒=时，请写出BD CP 的值及直线BD 与直线CP 相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由． （3）解决问题当90α︒=时，若点E ，F 分别是CA ，CB 的中点，点P 在直线EF 上，请直接写出点C ，P ，D 在同一直线上时AD CP的值．25．（10分）某商店购进一批单价为16元的日用品,销售一段时间后,为了获取更多利润, 商店决定提高销售价格,经试验发现,若按每件20元的价格销售时,每月能卖360件; 若按每件25元的价格销售时,每月能卖210件.假定每月销售件数y(件)是价格x( 元/件)的一次函数.(1)试求y 与x 之间的函数关系式;(2)在商品不积压,且不考虑其他因素的条件下,问销售价格为多少时,才能使每月获得最大利润?每月的最大利润是多少?(总利润=总收入-总成本).26．（10分）如图，点A 、点B 的坐标分别为（4，0）、（0，3），将线段BA 绕点A 沿顺时针旋转90°，设点B 旋转后的对应点是点B 1，求点B 1的坐标．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、D【解析】根据关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数，可得答案．【详解】点P （﹣2，4）关于坐标原点对称的点的坐标为（2，﹣4），故选D ．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数．2、B【分析】首先根据题意画出图形，即可得△OBC 是等边三角形，又由正六边形ABCDEF 的周长为6，即可求得BC 的长，继而求得△OBC 的面积，则可求得该六边形的面积．【详解】解：如图，连接OB ，OC ，过O 作OM ⊥BC 于M ，∴∠BOC=16×360°=60°， ∵OB=OC ，∴△OBC 是等边三角形，∵正六边形ABCDEF 的周长为6，∴BC=6÷6=1， ∴OB=BC=1，∴BM=12BC=12， ∴2222131()2OB BM -=-=，∴S△OBC=12×BC×OM=1331224⨯⨯=，∴该六边形的面积为：333642⨯=．故选：B．【点睛】此题考查了圆的内接六边形的性质与等边三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．3、A【分析】延长PQ交直线AB于点E，设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE 和BE，根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解．【详解】解：延长PQ交直线AB于点E，设PE=x．在直角△APE中，∠PAE=45°，则AE=PE=x；∵∠PBE=60°∴∠BPE=30°在直角△BPE中，3333BE PE x==，∵AB=AE-BE=6，则36x x=解得：933x=+∴333 BE=在直角△BEQ中，33(333)33 QE BE===+ 933(33)623PQ PE QE∴=-=+=+故选：A本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答． 4、B【解析】根据切线的性质和切线长定理得到PA=PB ，∠APE=∠BPE ，OA PA ⊥，易证△PAE ≌△PBE ，得到E 为AB 中点，根据垂径定理得PE AB ⊥；通过互余的角的运算可得ABP AOP ∠=∠．【详解】解：∵PA ，PB 是O 的两条切线，∴AP PB =，∠APE =∠BPE ，故A 选项正确，在△PAE 和△PBE 中，PA PB APE BPE PE PE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PAE ≌△PBE （SAS ），∴AE=BE ，即E 为AB 的中点，∴CD AB ⊥，即PE AB ⊥，故C 选项正确，∴90∠+∠=︒AOP OAE∵A 为切点，∴OA PA ⊥，则90∠+∠=︒PAE OAE ，∴∠PAE =∠AOP ，又∵AP PB =，∴∠PAE =∠ABP ，∴ABP AOP ∠=∠，故D 选项正确，故选B ．【点睛】本题主要考查了切线长定理、全等三角形的判定和性质、垂径定理的推论及互余的角的运算，熟练掌握这些知识点的运用是解题的关键．5、D【分析】首先根据图形数出各环数出现的次数，在进行计算众数、中位数、平均数、方差.【详解】根据图表可得10环的2次，9环的2次，8环的3次，7环的2次，6环的1次.所以可得众数是8，中位数是8，平均数是102+92+83+72+61=8.210⨯⨯⨯⨯⨯ 方差是222222(108.2)2(98.2)3(88.2)2(78.2)(68.2) 1.5610⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+-=【点睛】本题主要考查统计的基本知识，关键在于众数、中位数、平均数和方差的概念.特别是方差的公式.6、D【分析】求出各选项中M 、N 两点的坐标，再求面积S ，进行判断即可；【详解】A 选项中，M 点坐标为（1，1），N 点坐标为（0，-2），113=1-2-1=3=222S ⨯⨯⨯，故A 选项不满足； B 选项中，M 点坐标为1--22⎛⎫ ⎪⎝⎭，，N 点坐标为（0，3-2），113111=--2--=--=222428S ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 选项不满足； C 选项中，M 点坐标为(2，1-3），点N 坐标为（0，1），1144=2--1=1=2333S ⨯⨯⨯，故选项C 不满足； D 选项中，M 点坐标为（22a +1，24-+2a +1），点N 坐标为（0，2），()2222221241244=-+2-2==2a +1a +12a +1a +1a +1S ⨯⨯⨯⨯，当a=1时，S=1，故选项D 满足；【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键.7、B【分析】把()10x x bx -+=化为一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的判别式列方程求出b 值即可.【详解】∵()10x x bx -+=，∴x 2+(b-1)x=0，∵一元二次方程()10x x bx -+=有两个相等的根，∴(b-1)2-4×1×0=0， 解得：b=1，故选：B.【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)，根的判别式△=b 2-4ac ，当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程没有实数根.熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键.8、D【分析】可过点A 向BC 作AH ⊥BC 于点H ，所以根据相似三角形的性质可求出EF ，进而求出函数关系式，由此即可求出答案．【详解】过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似比可知：6126EF x-=，即EF=2（6-x）所以y=12×2（6-x）x=-x2+6x．（0＜x＜6）该函数图象是抛物线的一部分，故选D．【点睛】此题考查根据几何图形的性质确定函数的图象和函数图象的读图能力．要能根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义画出正确的图象．9、A【分析】①证明AC∥DE，再由条件CE∥AD，可证明四边形ACED是平行四边形；②根据线段的垂直平分线证明AE=EB，可得△BCE是等腰三角形；③首先利用含30°角的直角三角形计算出AD=4，3，再算出AB长可得四边形ACEB的周长是3；④利用△ACB和△CBE的面积之和，可得四边形ACEB的面积．【详解】解：①∵∠ACB=90°，DE⊥BC，∴∠ACD=∠CDE=90°，∴AC∥DE，∵CE∥AD，∴四边形ACED是平行四边形，故①正确；②∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴EC=EB，∴△BCE是等腰三角形，故②正确；③∵AC=2，∠ADC=30°，∴AD=4，CD=23∵四边形ACED是平行四边形，∴CE=AD=4，∵CE=EB ，∴EB=4，DB=∴CB=∴=∴四边形ACEB 的周长是10+④四边形ACEB 的面积：112222⨯⨯⨯=，故④错误， 故选：A ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法．等腰三角形的判定方法，属于中考常考题型．10、C【解析】从上往下看，总体上是一个矩形，中间隔着一个竖直的同宽的小矩形，而挖空后长方体内的剩余部分用虚线表示为左右对称的两条靠近宽的线，选项C 中图象便是俯视图.故选：C.二、填空题(每小题3分,共24分)11、x 1=0，x 2=4【分析】用因式分解法求解即可.【详解】∵240x x -=，∴x(x-4)=0,∴x 1=0，x 2=4.故答案为x 1=0，x 2=4.【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法由直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键.12、①④【分析】先将函数解析式化成交点时后，可得对称轴表达式，及与x 轴交点坐标，由此可以判断增减性. 【详解】解：()()1166y x mx m m x x m m ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴对称轴为121613222x x m x m ++===+， ①121,6x x m ==，故该函数图象经过()6,0，故正确； ②0m >，∴()611322m x m m -+=-=+3>， ∴该函数图象顶点不可能在第三象限，故错误；③121613222x x m x m++===+3>，则当132x m >+时，y 随着x 的增大而增大，故此项错误； ④当132x m<+时，即132n m ≤+，y 随着x 的增大而减小，故此项正确. 【点睛】 本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键.13、1．【分析】根据题意，写出已知条件并画出图形，然后根据勾股定理即可求出AB ，再根据圆周角为直角所对的弦是直径即可得出结论.【详解】如图，已知：AC ＝8，BC ＝6，由勾股定理得：AB 22AC BC +＝1，∵∠ACB ＝90°，∴AB 是⊙O 的直径，∴这个三角形的外接圆直径是1；故答案为：1．【点睛】此题考查的是求三角形的外接圆的直径，掌握圆周角为直角所对的弦是直径是解决此题的关键.14、424【分析】由平行于BC 的直线DE 把△ABC 分成面积相等的两部分，可知△ADE 与△ABC 相似，且面积比为12，则相似比为22，ADAB的值为22，可求出AB的长，则DB的长可求出．【详解】∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC∵DE把△ABC分成面积相等的两部分∴S△ADE=S四边形DBCE∴12 ADEABCSS=∴ADAB22=∵AD=4，∴AB=42∴DB=AB-AD=42-4故答案为：42-4【点睛】本题考查了相似三角形的判定，相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方的逆用等．15、28︒【分析】设半圆圆心为O，连OA，OB，则∠AOB＝86°−30°＝56°，根据圆周角定理得∠ACB＝12∠AOB，即可得到∠ACB的大小．【详解】设半圆圆心为O，连OA，OB，如图，∵∠ACB＝12∠AOB，而∠AOB＝86°−30°＝56°，∴∠ACB＝12×56°＝28°．故答案为：28°．【点睛】本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．16、2【解析】由5x－5的值与2x－9的值互为相反数可知：5x－5＋2x－9＝0，解此方程即可求得答案.【详解】由题意可得：5x－5＋2x－9＝0，移项，得7x＝14，系数化为1，得x＝2.【点睛】本题考查了相反数的性质以及一元一次方程的解法.17、满足2yx=的第三象限点均可，如（-1，-2）【分析】因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S=|k|．【详解】解：∵图象上的点与坐标轴围成的矩形面积为2，∴|k|=2，∴反比例函数y=k x的图象在一、三象限，k＞0，∴k=2，∴此反比例函数的解析式为2yx =．∴第三象限点均可，可取：当x=-1时，y=-2综上所述，答案为：满足2yx=的第三象限点均可，如（-1，-2）【点睛】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，即过反比例函数图象上任意一点向两坐标轴引垂线，所得矩形的面积为|k|．18、1【分析】根据相似三角形的性质得△ABC的周长:△DEF的周长=3:4，然后根据ABC与DEF的周长和为11即可计算出△ABC的周长．【详解】解：∵△ABC与△DEF的面积比为9：16，∴△ABC与△DEF的相似比为3：4，∴△ABC的周长：△DEF的周长=3：4，∵ABC与DEF的周长和为11 ，∴△ABC的周长=37×11=1．故答案是：1．【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．三、解答题(共66分)19、（1）x1＝1，x1＝1；（1）①见解析；②另一个根为1，1k=-【分析】（1）把方程x1﹣3x+1＝0进行因式分解，变为（x﹣1）（x﹣1）＝0，再根据“两式乘积为0，则至少一式的值为0”求出解；（1）①由△＝b1﹣4ac＝k1+8＞0，即可判定方程有两个不相等的实数根；②首先将x＝﹣1代入原方程，求得k的值，然后解此方程即可求得另一个根．【详解】（1）解：x1﹣3x+1＝0，（x﹣1）（x﹣1）＝0，x1＝1，x1＝1；（1）①证明：∵a＝1，b＝k，c＝﹣1，∴△＝b1﹣4ac＝k1﹣4×1×（﹣1）＝k1+8＞0，∴方程有两个不相等的实数根；②解：当x＝﹣1时，（﹣1）1﹣k﹣1＝0，解得：k＝﹣1，则原方程为：x1﹣x﹣1＝0，即（x﹣1）（x+1）＝0，解得：x1＝1，x1＝﹣1，所以另一个根为1．【点睛】本题考查了一元二次方程ax1+bx+c=0(a，b，c 是常数且a≠0) 的根的判别式及根与系数的关系；根判别式△=b1−4ac ：(1)当△>0 时，一元二次方程有两个不相等的实数根；(1)当△=0 时，一元二次方程有两个相等的实数根；(3)当△<0 时，一元二次方程没有实数根；若x1 ，x1 为一元二次方程的两根时，x1+x1=ba-，x1∙x1=ca．20、（1）详见解析；（2【分析】（1）方法1、先判断出Rt△ODP≌Rt△OCP，得出∠DOP＝∠COP，即可得出结论；方法2、判断出OP是CD的垂直平分线，即可得出结论；（2）先求出∠COD＝60°，得出△OCD是等边三角形，最后用锐角三角函数即可得出结论.【详解】解：（1）方法1、连接OC ，OD ，∴OC ＝OD ，∵PD ，PC 是⊙O 的切线，∵∠ODP ＝∠OCP ＝90°，在Rt △ODP 和Rt △OCP 中，OD OC OP OP =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ODP ≌Rt △OCP (HL)，∴∠DOP ＝∠COP ，∵OD ＝OC ，∴OP ⊥CD ；方法2、∵PD ，PC 是⊙O 的切线，∴PD ＝PC ，∵OD ＝OC ，∴P ，O 在CD 的中垂线上，∴OP ⊥CD（2）如图，连接OD ，OC ，∴OA ＝OD ＝OC ＝OB ＝2，∴∠ADO ＝∠DAO ＝50°，∠BCO ＝∠CBO ＝70°，∴∠AOD ＝80°，∠BOC ＝40°，∴∠COD ＝60°，∵OD ＝OC ，∴△COD 是等边三角形，由（1）知，∠DOP ＝∠COP ＝30°，在Rt △ODP 中，OP ＝cos30OD ︒＝433．【点睛】本题考查圆周角定理、切线的性质、全等三角形的判定(HL)和性质和锐角三角函数，解题的关键是掌握圆周角定理、切线的性质、全等三角形的判定(HL)和性质和锐角三角函数.21、（1）详见解析；（2）6135CD = 【分析】（1）证法一：连接EC ，利用圆周角定理得到90BAC BEC ∠=∠=︒，从而证明ABE DAC ∠=∠，然后利用同弧所对的圆周角相等及三角形外角的性质得到ADC CGD ∠=∠，从而使问题得解；证法二：连接AE ,CE ，由圆周角定理得到90BEC ∠=︒，从而判定AD CE ，得到180ECD ADC ∠+∠=︒，然后利用圆内接四边形对角互补可得180EAD ECD ∠+∠=︒，从而求得ADC CGD ∠=∠，使问题得解；（2）首先利用勾股定理和三角形面积求得AG 的长，解法一：过点G 作GH AC ⊥于点H ，利用勾股定理求GH ，CH ，CD 的长；解法二：过点C 作CI AB ⊥于点I ，利用AA 定理判定CDI CBA △∽△，然后根据相似三角形的性质列比例式求解.【详解】（1）证法一：连接EC .∵BC 为O 的直径，∴90BAC BEC ∠=∠=︒，∴90ABE AFB ∠+∠=︒∵AD BE ⊥,∴90AGE ∠=︒∴90DAC AFB ∠+∠=︒∴ABE DAC ∠=∠.∵AC AC =∴ADC ABC ABE EBC ∠=∠=∠+∠∵CGD CAD ACG ∠=∠+∠，CBE ACG ∠=∠∴ADC CGD ∠=∠∴CG CD =.证法二：连接AE ,CE .∵BC 为O 的直径，∴90BEC ∠=︒∵AD BE ⊥∴90AGE ∠=︒∴AGE BEC ∠=∠,∴AD CE∴180ECD ADC ∠+∠=︒ ∵CE CE =∴CAE CBE ∠=∠∵CBE ACG ∠=∠∴ACG CAE ∠=∠∴AE CG∴EAD CGD ∠=∠∵四边形ADCE 内接于O ， ∴180EAD ECD ∠+∠=︒ ∴EAD ADC ∠=∠∴ADC CGD ∠=∠∴CG CD =.（2）解：在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒,4AB =,213BC =, 根据勾股定理得226AC BC AB =-=. 连接AE ，CE∵BC 为O 的直径，∴90BEC ∠=︒∴AGE BEC ∠=∠∴AD CE∵CE CE =∴CAE CBE ∠=∠∵CBE ACG ∠=∠∴ACG CAE ∠=∠∴AE CG∴四边形AGCE 是平行四边形. ∴3AF FC ==.在Rt ABF 中，225BF AB AF =+= 1122ABF S AB AF BF AG =⋅=⋅△, ∴125AG = 解法一：过点G 作GH AC ⊥于点H ∴90GHA GHC ∠=∠=︒ 在Rt AGF △中，2295GF AF AG =-=,1122AGF S AG GF AF GH =⋅=⋅△ ∴3625GH = 在Rt AGH △中，224825AH AG GH =-= ∴10225CH AC AH =-= 在Rt CGH △中，226135CG GH CH =+= ∴6135CD CG ==解法二：过点C 作CI AB ⊥于点I ∴90CIA CID ∠=∠=︒ ∵CG CD =∴GI ID =∵90EGD ∠=︒∴四边形EGIC 为矩形∴EC GI =.∵四边形AGCE 为平行四边形，∴EC AG = ∴125DI AG ==. ∵CID CAB ∠=∠，ADC ABC ∠=∠∴CDI CBA △∽△ ∴CD DI CB BA =即1254213CD = ∴6135CD =【点睛】本题考查圆的综合知识，相似三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，综合性较强，有一定难度.22、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）3BC =【分析】（1）利用等腰三角形的性质和三角形内角和即可得出结论；（2）先判断出OE=12AC ，即可得出OE=12BD ，即可得出结论； （3）先判断出△ABE 是底角是30°的等腰三角形，即可构造直角三角形即可得出结论．【详解】（1）∵AD=BD，∴∠B=∠BAD，∵AD=CD，∴∠C=∠CAD，在△ABC 中，∠B+∠C+∠BAC=180°，∴∠B+∠C+∠BAD+∠CAD=∠B+∠C+∠B+∠C=180°∴∠B+∠C=90°，∴∠BAC=90°，（2）如图②，连接AC 与BD ，交点为O ，连接OE四边形ABCD 是矩形 1122OA OB OC OD AC BD ∴===== AE CE ⊥90AEC ∴∠=︒12OE AC ∴=12OE BD ∴= 90BED ∴∠=︒BE DE ∴⊥（3）如图3，过点B 做BF AE ⊥于点F四边形ABCD 是矩形AD BC ∴=，90BAD ∠=︒ADE ∆是等边三角形AE AD BC ∴==，60DAE AED ∠=∠=︒由（2）知，90BED ∠=︒30BAE BEA ∴∠=∠=︒2AE AF ∴=在Rt ABF ∆中，30BAE ∠=︒2AB AF ∴=，3AF BF =AE ∴=AE BC =BC ∴=【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形是性质，直角三角形的性质和判定，含30°角的直角三角形的性质，三角形的内角和公式，解（1）的关键是判断出∠B=∠BAD ，解（2）的关键是判断出OE=12AC ，解（3）的关键是判断出△ABE 是底角为30°的等腰三角形，进而构造直角三角形．23、（1）()1,1-；（2）2y x =+；（3）1【分析】（1）根据正比例函数y x =-即可得出答案；（2）根据点A 和B 的坐标，利用待定系数法求解即可；（3）先根据题（2）求出点C 的坐标，从而可知OC 的长，再利用三角形的面积公式即可得.【详解】（1）将1x =-代入正比例函数y x =-得，(1)1y =--=故点B 的坐标是(1,1)-；（2）设这个一次函数的解析式为()0y kx b k =+≠把()()0,2,,11A B -代入，得21b k b =⎧⎨-+=⎩ 解方程组，得12k b =⎧⎨=⎩故这个一次函数的解析式为2y x =+；（3）在2y x =+中，令0y =，得2x =-即点C 的坐标是()2,0-，2OC =则BOC ∆的面积11121122BOC S OC ∆=⨯=⨯⨯= 故BOC ∆的面积为1.【点睛】本题考查了一次函数的几何应用、利用待定系数法求一次函数的解析式，掌握一次函数的图象与性质是解题关键.24、（1）1，60︒（2）45°（3）22+【解析】（1）如图1中，延长CP 交BD 的延长线于E ，设AB 交EC 于点O ．证明()CAP BAD SAS ∆≅∆，即可解决问题．（2）如图2中，设BD 交AC 于点O ，BD 交PC 于点E ．证明DAB PAC ∆∆，即可解决问题．（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当点D 在线段PC 上时，延长AD 交BC 的延长线于H ．证明AD DC =即可解决问题．②如图3﹣2中，当点P 在线段CD 上时，同法可证：DA DC =解决问题．【详解】解：（1）如图1中，延长CP 交BD 的延长线于E ，设AB 交EC 于点O ．60PAD CAB ︒∠=∠=，CAP BAD ∴∠=∠，CA BA =，PA DA =，()CAP BAD SAS ∴∆≅∆，PC BD ∴=，ACP ABD ∠=∠，AOC BOE ∠=∠，60BEO CAO ︒∴∠=∠=，1BD PC∴=，线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数是60︒， 故答案为1，60︒．（2）如图2中，设BD 交AC 于点O ，BD 交PC 于点E ．45PAD CAB ︒∠=∠=，PAC DAB ∴∠=∠， 2AB AD AC AP==， DAB PAC ∴∆∆，PCA DBA ∴∠=∠，2BD AB PC AC ==， EOC AOB ∠=∠，45CEO OAB ︒∴∠=∠=，∴直线BD 与直线CP 相交所成的小角的度数为45︒．（3）如图3﹣1中，当点D 在线段PC 上时，延长AD 交BC 的延长线于H ．CE EA =，CF FB =，EF AB ∴∥，45EFC ABC ︒∴∠=∠=，45PAO ︒∠=，PAO OFH ∴∠=∠，POA FOH ∠=∠，H APO ∴∠=∠，90APC ︒∠=，EA EC =，PE EA EC ∴==，EPA EAP BAH ∴∠=∠=∠，H BAH ∴∠=∠，BH BA ∴=，45ADP BDC ︒∠=∠=，90ADB ︒∴∠=，BD AH ∴⊥，22.5DBA DBC ︒∴∠=∠=，90ADB ACB ︒∠=∠=，∴A ，D ，C ，B 四点共圆，22.5DAC DBC ︒∠=∠=，22.5DCA ABD ︒∠=∠=，22.5DAC DCA ︒∴∠=∠=，DA DC ∴=，设=AD a ，则DC AD a ==，22PD a =， 2222AD a CP a a ∴==-+c ．如图3﹣2中，当点P 在线段CD 上时，同法可证：=DA DC ，设=AD a ，则CD AD a ==，22PD a =，22PC a ∴=-，2222AD a PC a a ∴==+-．【点睛】本题属于相似形综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．25、（1）30960y x =-+；（2）241920.【分析】（1）先利用待定系数法确定每月销售量y 与x 的函数关系式y=-30x+960；（2）根据每月获得的利润等于销售量乘以每件的利润得到w=（-30x+960）（x-16），接着展开后进行配方得到顶点式P=-30（x-24）2+1920，然后根据二次函数的最值问题求解．【详解】(1)设y=kx+b ，∵当x=20时，y=360；x=25时，y=210∴36020{21025k b k b =+=+，解得30{960k b =-= ∴y=-30x+960(16≤x≤32)；(2)设每月所得总利润为w 元,则 w=(x-16)y=(x-16)(-30x+960)=-30(x-24)2+ 1920.∵-30<0∴当x=24时，w 有最大值.即销售价格定为24元/件时,才能使每月所获利润最大, 每月的最大利润为1920元.26、B 1点的坐标为（7，4）【分析】如图，作B 1C ⊥x 轴于C ，证明△ABO ≌△B 1AC 得到AC=OB=3，B 1C=OA=4，然后写出B 1点的坐标．【详解】如图，作B 1C ⊥x 轴于C ．∵A （4，0）、B （0，3），∵OA ＝4，OB ＝3，∵线段BA 绕点A 沿顺时针旋转90°得A B 1，∴BA ＝A B 1，且∠BA B 1＝90°，∴∠BAO+∠B1AC＝90°而∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠B1AC，∴△ABO≌△B1AC，∴AC＝OB＝3，B1C＝OA＝4，∴OC＝OA+AC＝7，∴B1点的坐标为（7，4）．【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．。