2012年浙江省高中数学竞赛试题及答案

2012年全国高中数学联合竞赛（A 卷）一试一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。

2012A1、设P 是函数xx y 2+=（0>x ）的图像上任意一点，过点P 分别向直线x y =和y 轴作垂线，垂足分别为B A ,，则PB PA ⋅的值是 ◆答案：1- ★解析：设0002(,),p x x x +则直线PA 的方程为0002()(),y x x x x -+=--即0022.y x x x =-++由00000011(,).22y xA x x y x x x x x=⎧⎪⇒++⎨=-++⎪⎩又002(0,),B x x +所以00011(,),(,0).PA PB x x x =-=-故001() 1.PA PB x x ⋅=⋅-=-2012A 2、设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且满足c A b B a 53cos cos =-，则BAtan tan 的取值为◆答案：4★解析：由题设及余弦定理得222223225c a b b c a a b c ca bc +-+-⋅-⋅=,即22235a b c -=， 故222222222222228tan sin cos 2542tan sin cos 52a c b a c A A B c a b ac b c a B B A b c a c b bc+-⋅+-=====+-+-⋅2012A 3、设]1,0[,,∈z y x ，则||||||x z z y y x M -+-+-=的最大值为 ◆答案：12+★解析：不妨设01,x y z ≤≤≤≤则M ==所以 1.M ≤=≤当且仅当1,0,1,2y x z y x z y -=-===时上式等号同时成立.故max 1.M =2012A 4、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线x y 42=的焦点为F ，准线为l ，B A ,是抛物线上的两个动点，且满足3π=∠AFB ，设线段AB 的中点M 在准线l 上的投影为N ，则||||AB MN 的最大值 为 ◆答案：1★解析：由抛物线的定义及梯形的中位线定理得.2AF BFMN +=在AFB ∆中,由余弦定理得2222cos3AB AF BF AF BF π=+-⋅2()3AF BF AF BF =+-⋅22()3()2AF BF AF BF +≥+-22().2AF BF MN +== 当且仅当AF BF =时等号成立.故MNAB的最大值为1.2012A 5、设同底的两个正三棱锥ABC P -和ABC Q -内接于同一个球.若正三棱锥ABC P -的侧面与底面所成角为045，则正三棱锥ABC Q -的侧面与底面所成角的正切值为◆答案：4★解析：如图.连结PQ ,则PQ ⊥平面ABC ,垂足H 为 正ABC ∆的中心,且PQ 过球心O ,连结CH 并延长交AB 于点M ,则M 为AB 的中点,且CM AB ⊥,易知,PMH QMH ∠∠分别为正三棱锥,P ABC Q ABC --的侧面与底面所成二角的平面角,则45PMH ∠= ,从而12PH MH AH ==,因为90,,PAQ AH PQ ∠=⊥所以2,AP PH QH =⋅即21.2AH AH QH =⋅所以24.QH AH MH ==, 故tan 4QHQMH MH∠==2012A 6、设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，2)(x x f =.若对任意的]2,[+∈a a x ，不等式)(2)(x f a x f ≥+恒成立，则实数a 的取值范围是◆答案：).+∞★解析：由题设知22(0)()(0)x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩,则2()).f x f =因此,原不等式等价于()).f x a f +≥因为()f x 在R 上是增函数,所以,x a +≥即1).a x ≥-又[,2],x a a ∈+所以当2x a =+时,1)x 取得最大值1)(2).a +因此,1)(2),a a ≥+解得a ≥故a 的取值范围是).+∞2012A 7、满足31sin 41<<n π的所有正整数n 的和为 ◆答案：33★解析：由正弦函数的凸性,有当(0,)6x π∈时,3sin ,x x x π<<由此得131sin,sin ,1313412124πππππ<<>⨯=131sin ,sin .10103993πππππ<<>⨯=所以11sinsin sin sin sin .134********πππππ<<<<<< 故满足11sin 43n π<<的正整数n 的所有值分别为10,11,12,它们的和为33.2012A 8、某情报站有D C B A ,,,四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种。

浙江省高中数学竞赛（a卷）参考答案2007年浙江省高中数学竞赛（Ａ卷）参考答案一、选择题1.如果23()1log 2log 9log 64x x x f x =-+-，则使()0f x <的x 的取值范围为（ B ）A. 01x << B. 813x << C. 1x <<+∞ D. 8 3x <<+∞ 解：显然0x >，且1x ≠。

23()1log 2log 9log 64x x x f x =-+-1log 2log 3log 4x x x =-+-3log 8x x =。

要使()0f x <。

当1x >时，318x <，即813x <<；当01x <<时，318x >，此时无解。

由此可得，使()0f x <的x 的取值范围为813x <<。

2.已知集合{}c o s 22)s i n A x x x xR =++-+>∈，{}sin cos ,B x x x x R =≥∈，则A B ?＝（ C ）A. 4xx ππ??<<B. ＲC. ?D. 2(21),4xk x k k πππ??+<<+∈Z解：cos 22(11)0x x ++->2sin (10x x ?-+(sin 1)0x x ?-<没有实数x 可以使上述不等式成立。

故A =?。

从而有A B ?=?。

3.以（ B ）A. 2B. 3C. 4D. 6解：以这些边为三角形仅有四种：(1,1,1)，，，。

固定四面体的一面作为底面：当底面的三边为(1,1,1)时，另外三边的取法只有一种情况，即；当底面的三边为时，另外三边的取法有两种情形，即，。

其余情形得到的四面体均在上述情形中。

由此可知，四面体个数有３个。

4.从１至169的自然数中任意取出３个数构成以整数为公比的递增等比数列的取法有（ C ）种。

2012年全国高中数学联合竞赛（B 卷）一试一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。

2012B1、对于集合{}b x a x ≤≤，我们把a b -称为它的长度。

设集合{}1981+≤≤=a x a x A ，{}b x b x B ≤≤-=1014，且B A ,都是集合{}20120≤≤=x x U 的子集，则集合B A 的长度的最小值是◆答案：983★解析：因为B A ,都是集合{}20120≤≤=x x U 的子集，所以310≤≤a ，20121014≤≤b ，{}19811014|+≤≤-=a x b x B A ，或{}b x a x B A ≤≤=| ，故当2012,0==b a 或者1014,31==b a 时，集合B A 的长度最小，最小为9833110149981981=-=-2012B 2、已知0,0>>y x ，且满足⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=+120)sin()sin(1)sin(2)(cos 222y x y x y x ππππ，则有序实数对=),(y x ◆答案：()2,4★解析：由1)sin(2)(cos 2=+y x ππ及0)sin()sin(=+y x ππ得()()[]0sin 2sin =+x x ππ，得()0sin =x π，代入0)sin()sin(=+y x ππ得()0sin =y π可得y x ,都是整数。

由()()1222=-+=-y x y x y x ，y x y x +<-，得⎩⎨⎧=+=-62y x y x ，解得⎩⎨⎧==24y x ，故有序实数对),(y x 即为()2,4。

2012B3、如图，设椭圆12222=+b y a x （0>>b a ）的左右焦点分别为21,F F ，过点2F 的直线交椭圆于),(11y x A ，),(22y x B 两点。

若B AF 1∆内切圆的面积为π，且421=-y y ，则椭圆的离心率为◆答案：1★解析：由性质可知B AF 1∆的周长为a 4，内切圆半径为1，则2122114211y y c a S B AF -⨯⨯=⨯⨯=∆，可得c a 2=，即21==a c e 2012B 4、若关于x 的不等式组⎩⎨⎧≤-->--+012033223ax x x x x ，（0>a ）的整数解有且只有一个，则a 的取值范围为◆答案：⎪⎭⎫⎢⎣⎡34,43★解析：由03323>--+x x x 解得13-<<-x 或1>x ，所以不等式组的唯一整数解只可能为2-或2。

2012年浙江省高中数学竞赛试题参考解答与评分标准说明：本试卷分为A 卷和B 卷：A 卷由本试卷的2２题组成，即10道选择题，7道填空题、3道解答题和2道附加题；B 卷由本试卷的前20题组成，即10道选择题，7道填空题和3道解答题。

一、选择题（每题5分，共50分）1．已知数列{a n }满足3a n+1+a n =4(n ≥1)，且a 1=9，其前n 项之和为S n 。

则满足不等式|S n -n-6|<1251的最小整数n 是（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．82．设O 是正三棱锥P-ABC 底面是三角形ABC 的中心，过O 的动平面与PC 交于S ，与PA 、PB 的延长线分别交于Q 、R ，则和式PSPR PQ 111++（ ） A ．有最大值而无最小值 B ．有最小值而无最大值C ．既有最大值又有最小值，两者不等D ．是一个与面QPS 无关的常数3．给定数列{x n }，x 1=1，且x n+1=nn x x -+313，则∑=20051n nx=（ ）A ．1B ．-1C ．2+3D ．-2+34．已知=(cos32π, sin 32π), -=, +=，若△OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB 的面积等于（ ）A ．1B ．21C ．2D ．23 5．过椭圆C ：12322=+y x 上任一点P ，作椭圆C 的右准线的垂线PH （H 为垂足），延长PH 到点Q ，使|HQ|=λ|PH|(λ≥1)。

当点P 在椭圆C 上运动时，点Q 的轨迹的离心率的取值范围为（ ）A ．]33,0(B ．]23,33(C ．)1,33[D ．)1,23(6．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别记为a 、b 、c(b ≠1)，且A C ，ABsin sin 都是方程log bx=log b (4x-4)的根，则△ABC （ ） A ．是等腰三角形，但不是直角三角形 B ．是直角三角形，但不是等腰三角形 C ．是等腰直角三角形D ．不是等腰三角形，也不是直角三角形7．某程序框图如右图所示，现将输出（,)x y 值依 次记为：1122(,),(,),,(,),;n n x y x y x y 若程序运行中输出的一个数组是 (,10),x -则数组中的x =（ ） A ．64 B ．32 C ．16 D ．88. 在平面区域{}(,)||1,||1x y x y ≤≤上恒有22ax by -≤，则动点(,)P a b 所形成平面区域的面积为（ ）A. 4B.8C. 16D. 329. 已知函数()sin(2)6f x x m π=--在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，则m 的取值范围为（ ）A. 1, 12⎛⎫⎪⎝⎭B 1, 12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 1, 12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 1, 12⎛⎤⎥⎝⎦10. 已知[1,1]a ∈-，则2(4)420x a x a +-+->的解为（ ） A. 3x >或2x < B. 2x >或1x < C. 3x >或1x < D. 13x <<二、填空题（每题7分.共49分）11．若log 4(x+2y)+log 4(x-2y)=1，则|x|-|y|的最小值是_________.12．如果：（1）a, b, c, d 都属于{1, 2, 3, 4} （2）a ≠b, b ≠c, c ≠d, d ≠a （3）a 是a, b, c, d 中的最小数 那么，可以组成的不同的四位数abcd 的个数是________.13．设n 是正整数，集合M={1，2，…，2n}．求最小的正整数k ，使得对于M 的任何一个k 元子集，其中必有4个互不相同的元素之和等于14．若对|x|≤1的一切x ，t+1>(t 2-4)x 恒成立，则t 的取值范围是_______________.15．我们注意到6!=8×9×10，试求能使n!表示成(n-3)个连续自然三数之积的最大正整数n 为__________.16．对每一实数对(x, y)，函数f(t)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1。