初一联赛班第2讲 数形结合——数轴与绝对值
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第2讲 数形结合——数轴与绝对值
【课程构架】
⎧⎧⎪⎨
⎩⎪⎪
⎧⎨⎪⎪
⎨⎪
⎪⎪⎩⎩
数形结合工具数轴数轴与有理数的关系数轴与绝对值绝对值的概念与性质绝对值去绝对值的方法绝对值的几何意义
【知识体系】
运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形结合联系的有力工具，主要反映在：
1. 利用数轴形象地表示有理数；
2. 利用数轴直观地解释相反数；
3. 利用数轴解决与绝对值有关的问题；
4. 利用数轴比较有理数的大小。
有理数与数轴的关系：
1. 一切有理数都可以用数轴上的点表示出来；
2. 在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大；
3. 正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；
4. 数轴上的点不都代表有理数，还可以代表无理数，如π。
绝对值是数学中的一个基本概念，这一概念是学习相反数、有理数运算、算术根的基础；绝对值又是数学中的一个重要概念，绝对值与其他知识融合形成绝对值方程、绝对值不等式、绝对值函数等，在代数式化简求值、解方程、解不等式等方面有广泛的应用。
1. 绝对值的概念：数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作a .
2. 绝对值的基本性质：①非负性：0a ≥ ②(0)
(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩
注：（1）取绝对值是一种运算，运算符号是“”求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号；
（2）绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0；
1． 数轴上表示1
2
-的点到原点的距离是 （ ）
A ．1
2
- B ．12- C ．2- D ．2
2． a 的倒数一定是 ( ) A.
1a B.1a C.1
a
- D.a - 3． 已知,,a b c 都是负数，且0x a y b z c -+-+-=，则xyz 是 （ ） A ．负数 B ．非负数 C ．正数 D ．非正数
4． 数轴上，点A 对应的数是2006-，点B 对应的点是17+，则,A B 两点之间的距离是 （ ）
A ．1989
B ．1999
C ．2013
D ．2023 5． 如果2|20x x -+-=，那么x 的取值范围是（ ）
A ．2x >
B ．2x <
C ．2x ≥
D ．2x ≤
6． 3-的相反数是 ；（2）12的相反数与7-的绝对值的和是 ；
7． 已知数轴上有,A B 两点，,A B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，则点B 对应的数是
8． 1
2
a -
与1b -互为相反数，则a b -的值为 ；
9． 是若1m m =+，则2004(41)m +=__________；
10．
化简：
11111111
20042003200320022002200120012004
-+-+---= 11．
有没有绝对值最小的有理数？有没有绝对值最大的有理数？一个数的绝对值的几何意义是什么？绝对值是本身的数有哪些？绝对值比本身大的数有哪些？
例1. 如图所示，点M N P R 、、、分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一个点是原点，并且已知
1MN NP PR ===，数a 、b 位置如图，若3a b +=，则原点是 （
）
A ．M 或R
B ．N 或P
C ．M 或N
D ．P 或R
1.1 如图，数轴上,,,,A B C D E 分别对应数：2-、1-、0、1、2；又有,s t 是介于1-与0之间的两点。
现
要求在数轴上找一点R ，对应的数为1s t -+，则点R 会落在 （ ）
E B A C D s
t
A ．线段A
B 上 B ．线段B
C 上 C ．线段C
D 上 D ．线段D
E 上
1.2 如图所示，数轴上四个点分别表示数p q r s 、、、，若10p r -=，12p s -=，9q s -=，
则q r -=（ ）
A ．7
B ．9
C ．11
D ．13
1.3 把数轴折成如图所示，第1段为1个单位长度，第2段为2个单位长度，第3段为3个单位长度，…
第n 段为n 个单位长度，点A 处有一个圆，圆上刻一指针，开始这针朝东，圆周为4个单位长度，圆紧贴数轴沿着数轴的正方形滚动，当圆与点B 接触时，指针指向 ；当圆与2009接触时，指针指向 ；
例2. （1）是若7120x y z -+-+-=，则x y z ++= .
（2）若230xy x y -++-=，则11
x y
+= ；
（3）已知1231001231000x x x x -+-+-++-=L ，则123499x x x x x -+-++=L
2.1 （1）已知,,x y z 为整数，且满足2001
2002
1x y z x
-+-=，求x y y z z x -+-+-的值.
（2）已知,,,a b c d 都是整数，且2a b b c c d d a +++++++=，则a d += ；
（3）若123456,,,,x x x x x x 是6个不同的正整数，取值于1,2,3,4,5,6，
记122334455661S x x x x x x x x x x x x =-+-+-+-+-+-，则S 的最小值是 ；
2.2 （1）,,a b c 为非零有理数，且0a b c ++=，则
a b b c c a a b
b c
c a
+
+
的值等于多少？
（2）如果0a b c +->，0a b c -+>，0a b c -++>，求2010
2011
2012
a b c a b c ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫-+ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
的值.
例3. （1）已知，a 在数轴上的位置如图所示，则
11
a a +-的值为__________；
（2）数,a b 在数轴上的位置如图所示，化简2b a a b b a --++-的结果为__________；
b
a 0
3.1 （1）,,a b c 在数轴上的位置如图所示则代数式a a b c a b c +++---的值等于 ；
（2）如果有理数,,a b c 在数轴上的位置如图所示，求a b a c b c ++--+的值.
3.2 （1）如果2x <-，那么11x -+等于 ；
（2）若1x <-，则化简：121x x x x +-+--+= ；
3.3 （1）若||0a a +=，||ab ab =，||0c c -=，且0abc ≠，则化简||||||||b a b c b a c -+--+-
（2）已知0,0,x z xy y z x <<>>>，求x z y z x y +++--的值.
例4. 我们知道两数之间的距离可以用两数之差的绝对值来表示，利用绝对值的该几何意义，探究以下问题
（1）是否存在x 的值，使得12x x ++-的值等于2？能否等于3？能否等于4？
若不能请说明理由，若能，写出x 的值；
（2）若数轴上表示数a 的点位于4-与2之间，则42a a ++-的值为 ；
（3）123x x x +++++的最小值
（4）+1++2++3+++100x x x x L 的最小值
4.1 设1515T x p x x p =-+-+--，其中015p <<，对于满足15p x ≤≤的x 来说，T 的最小值是多少？
4.2 设122331010P x x x x =-+-+-++-K ，当x 取不同的值时，P 的值也在变化，则P 是否存在最
小值？若存在，请求出最小值，以及相应的x 取值（或取值范围）；若不存在请说明理由；
【挑战探索】
1. （1）设符号{}max ,a b 指,a b 两数中较大的数，试证明：{}max ,2
a b a b
a b ++-=；
（2）设符号{}min ,a b 指,a b 两数中较小的数，试借助上题的思路，构造一个能表示{}min ,a b 的式子；
（3）试判断224
x y x y z x y x y z
-++-+-+++的结果；。
