一、单选题1．cos cos =（ ） 20︒10sin 20sin10︒︒︒-A ．sinB ．cosC ．D 10︒10︒12【答案】D【分析】利用两角和的余弦公式的逆应用直接求解即可.【详解】cos cos =20︒10sin 20sin10︒︒︒-()cos 2010cos30+== 故选：D【点睛】本题考查了两角和的余弦公式，需熟记公式，属于基础题.2．已知向量,,,若为实数，，则的值为(1,2)a =(1,0)b = (3,4)c = λ()λ+⊥ b a c λA ． B ． C ．D ．311-113-1235【答案】A【分析】根据向量线性运算的坐标表示及向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】解：由，得，()b a c λ+⊥ ()=0b a c λ+⋅又,,,得， (1,2)a = (1,0)b = (3,4)c = ()=1,2b a λλλ++，解得.()()=3142=0b a cλλλ+⋅++⨯3=11λ-故选：A.3．命题：“向量与向量的夹角为锐角”是命题：“”的（ ）p a bθq 0a b ⋅> A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由充分条件和必要条件的定义结合数量积运算分析判断【详解】若向量与向量的夹角为锐角，则，a bθcos 0a b a b θ⋅=> 当时，向量与向量的夹角可能为，0a b ⋅> a bθ0︒所以命题是命题的充分不必要条件， p q 故选：A4．若则的值为（ ）3cos 22sin(),(,)42ππαααπ=-∈sin 2αA ．B ．C ．D ．79-79【答案】C【分析】先化简得.3cos 22sin()4παα=-cos sin αα+=【详解】因为3cos 22sin(),4παα=-所以3cos 22(sincos cossin ),44ππααααα=-所以，223(cos sin)sin )αααα-=-所以， 3(cos sin )(cos sin )sin )αααααα+--因为，所以，(,)2παπ∈cos sin 0αα-≠所以3(cos sin )αα+=所以， cos sin αα+=两边平方得，，21+sin 29α=所以，7sin 29α=-故选：C【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查差角的正弦公式，考查二倍角的正弦余弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5．已知向量，，若向量，的夹角为，则（ ）(a = ()3,tan b θ= a bπ6θ=A ．0 B ．C ．D ．π6π3π2【答案】C【分析】根据平面向量的夹角公式的坐标运算，即可求出结果.【详解】由题意可知，cos ,a b a b a b ⋅〈〉===⋅tan θ=因为，所以. 0πθ≤≤π3θ=故选：C.6．在中，点，满足，，若，则（ ）ABC A M N 2AM MC = BN NC =MN xAB y AC =+ x y +=A ．B ．C ．D ．1161312【答案】B【分析】由已知得，由此能求出结果．1132MN MC CN AC CB =+=+【详解】在中，点，满足，，ABC A M N 2AM MC = BN NC =∴1132MN MC CN AC CB =+=+ 11()32AC AB AC =+-1126AB AC =-， xAB y AC =+ ，， 12x ∴=16y =-． 111263x y ∴+=-=故选：B ．7．函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为()f x cos()x ωϕ+()f xA ．B ．13(,),44k k k Z ππ-+∈13(2,2),44k k k Z ππ-+∈C ．D ．13(,44k k k Z -+∈13(2,2),44k k k Z -+∈【答案】D【详解】由五点作图知，，解得，，所以，令1+42{53+42πωϕπωϕ===ωπ=4πϕ()cos()4f x x ππ=+，解得＜＜，，故单调减区间为（，22,4k x k k Z πππππ<+<+∈124k -x 324k +Z k ∈124k -），，故选D. 324k +Z k ∈【解析】三角函数图像与性质8．已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为（ ） (,6)a x = (3,4)b = a bx A ．B ．C ．D ．[)8,-+∞998,,22⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭998,,22⎡⎫⎛⎫-⋃+∞⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭()8,-+∞【答案】B【分析】根据向量夹角为锐角，则数量积为正数从而求得参数的初步范围；再排除向量平行对应的参数值，即可求得结果.【详解】若，则，解得.//a b418x =92x =因为与的夹角为锐角，∴.a b92x ≠又，由与的夹角为锐角， 324a b x ⋅=+a b ∴，即，解得.0a b ⋅>3240x +>8x >-又∵，所以.92x ≠998,,22x ⎛⎫⎛⎫∈-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：.B 【点睛】本题考查利用数量积由夹角的范围求参数的范围，属基础题.二、多选题9．设、、是任意的非零向量，则下列结论不正确的是（ ） a b cA ．B ．00a ⋅= ()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r C ．D ．0a b a b ⋅=⇒⊥ ()()22b b a b a a +-=⋅- 【答案】AB【解析】利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误.【详解】对于A 选项，，A 选项错误；00a ⋅=对于B 选项，表示与共线的向量，表示与共线的向量，但与不一定共线，()a b c ⋅⋅r r r c ()a b c ⋅⋅r r r a a c B 选项错误；对于C 选项，，C 选项正确；0a b a b ⋅=⇒⊥对于D 选项，，D 选项正确.()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=- 故选：AB.【点睛】本题考查平面向量数量积的应用，考查平面向量数量积的定义与运算律，考查计算能力与推理能力，属于基础题.10．如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是（ ）A ．该质点的运动周期为0.7sB ．该质点在0.3s 和0.7s 时运动速度为零C ．该质点在0.1s 和0.5s 时运动速度为零D ．该质点的运动周期为0.8s【答案】CD【分析】由题图求得质点的振动周期可判定A 错，D 正确；由简谐运动的特点，可判定B 错，C 正确．【详解】对于A ，D ，由题图可知，质点的运动周期为，所以A 错，D 正确； 2(0.70.3)0.8s ⨯-=对于B ，C ，由简谐运动的特点知，质点处于平衡位置时的速度最大，即在0.3 s 和0.7 s 时运动速度最大，在0.1 s 和0.5 s 时运动速度为零，故B 错，C 正确． 综上，CD 正确． 故选：CD.11．如图，中，，，，为的中点，与交于，则下ABCD Y 1AB =2AD =π3BAD ∠=E CD AE DB F 列叙述中，一定正确的是（ ）A ．在方向上的投影为0B ．BF AB1233AF AB AD =+u u u r u u u r u u u rC ．D ．若，则1AF AB ⋅=u u u r u u u r12FAB α=∠tan α=【答案】ABC【分析】由余弦定理以及勾股定理可得， 可判断A,根据平面向量的线性运算以及共线的BD AB ⊥性质即可判断B,由数量积的运算律即可求解C ，由向量的夹角公式即可判断D.【详解】对于A ，因为，BD ===因为，所以，即，在上的投影为222AD AB BD =+BD AB ⊥,90BF AB 〈〉=︒ BF AB||cos ,0BF BF AB 〈〉=，故A 正确；对于B ，因为，设，12AE AD DE AD AB =+=+ 11()22AF AE AD AB AD AB λλλλ==+=+因为，，三点共线，所以，所以，所以，所以B 正确；B F D 112λλ+=23λ=1233AF AB AD =+u u u r u u u r u u u r 对于C ，，C 正确；21212121()1213333332AF AB AB AD AB AB AB AD ⋅=+⋅=+⋅=+⨯⨯⨯=对于D ，因为 ||AF ==所以， cos ,||||AF AB AF AB AF AB ⋅<>= tan α=1302FAB α=∠=︒所以，不满足D 不正确．260FAB α∠==︒cos FAB ∠故选：ABC12．将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再()22cos 16f x x ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭把所得函数的图象向右平移个单位长度，最后得到的图象对应的函数为奇函数，则的值()0ϕϕ>ϕ可以为（ ） A ．B ．C ．D ．116765623【答案】AC【分析】本题首先可以将转化为，然后通过图象变()22cos 16f x x ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()cos 23f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭换得出函数，最后通过函数是奇函数即可得出结()cos 3h x x ππϕπ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()cos 3h x x ππϕπ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭果.【详解】，()22cos 1cos 263f x x x ππππ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所有点的横坐标伸长到原来的2倍后，得到函数，()os 3c g x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭再把所得函数的图象向右平移个单位长度，得到函数，()0ϕϕ>()cos 3h x x ππϕπ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭因为函数是奇函数，所以，()cos 3h x x ππϕπ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()03cos 0h πϕπ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭即，解得，()23k k Z ππϕππ-+=+∈16k ϕ=--故的值可以为、， ϕ11656故选：AC.【点睛】本题考查余弦函数的相关性质以及三角函数图象变换，考查二倍角公式的应用，函数的横坐标伸长到原来的2倍后得到函数，再向右平移个单位长度得到函数cos 2y x =cos y x =ϕ，考查推理能力与计算能力，是中档题.()cos y x ϕ=-三、填空题13．函数的最大值为__________. ()2cos sin f x x x =+【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，通过正弦函数的有界性求解即可．【详解】解：函数f （x ）＝2cos x +sin x x sin x ）sin （x +θ），其中tan θ＝==2，【点睛】通过配角公式把三角函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，sin()y A x B ωϕ=++解题时注意观察角、函数名、结构等特征．一般可利用求最值．|sin cos |a x b x +≤14．定义关于向量的运算法则，若，，则()2a b a a b ⊗=⋅+ ()1,2m = ()2,1n =()()m n m n -⊗+=______． 【答案】2【分析】先计算，，再结合新定义转化为计算两者的数量积即()1,1m n -=- ()()25,7m n m n -++=可.【详解】因为，， ()1,1m n -=- ()()235,7m n m n m n -++=+=所以. ()()15172m n m n -⊗+=-⨯+⨯=故答案为：215．已知，且，则向量的坐标是____.5,(2,1)a b ==//a b a【答案】 或(-【分析】先设，根据题中条件，列出方程组，求解，即可得出结果.(,)a x y =【详解】设，(,)a x y =因为，且，||5,(2,1)== a b //a b 所以，解得222025x y x y -=⎧⎨+=⎩x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩因此向量的坐标是 或. a(-故答案为 或(-【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，熟记运算法则即可，属于常考题型.16．已知函数f （x ）＝sin ，其中x ∈，若f （x ）的值域是，则实数a 的取6x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭,3a π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，值范围是______． 【答案】,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】由已知得x ＋∈，建立关于a 的不等式可得答案 ．6π,+66a ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【详解】∵x ∈，∴x ＋∈，,3a π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦6π,+66a ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦∵f (x )的值域为，所以≤a ＋≤，解得≤a ≤π.1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2π6π76π3π故答案为：．,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查正弦型函数的值域，属于基础题．四、解答题17．已知单位向量，满足. a b()()2323a b a b -⋅+=（1）求；a b ⋅（2）求的值.2a b -【答案】（1）； （2.12-【分析】（1）利用单位向量的定义､数量积运算性质即可得出； （2）利用数量积运算性质,即可求得答案.【详解】（1）由条件，2242633a a b a b b +⋅-⋅-=即，4433a b -⋅-=12a b ∴⋅=-（2），222124441472a b a a b b ⎛⎫-=-⋅+=+-⨯-= ⎪⎝⎭∴2a b -=【点睛】本题主要考查了求向量的数量积和向量模，解题关键是掌握向量的基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.18．已知函数．()22sin cos 3f x x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（1）求的最小正周期；()f x （2）求当时，的值域．,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()f x 【答案】（1）；（2）.π1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）展开两角差的正弦，再由辅助角公式化简，利用周期公式求周期； （2）由x 的范围求出相位的范围，再由正弦函数的有界性求f （x ）的值域．【详解】1(())22sin cos 3f x x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭1cos 22sin 22x x x ⎫=+-⎪⎪⎭， 12sin 2sin 223x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 22T ππ∴==的最小正周期为；()f x \π2，，(),44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦52,366x πππ⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦，的值域是． 1sin 2123x π⎛⎫∴-≤+≤ ⎪⎝⎭()f x \1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的周期性，三角函数值域等问题，考查三角函数和差公式、二倍角公式及图像与性质的应用，难度不大，综合性较强，属于简单题. 19．已知点，，为坐标原点 ()1,1A ()2,ln B t O (1)若，，无法构成三角形，求； A B O t (2)若为直角三角形，求． ABO A t 【答案】(1) 2e t =(2)或 1t =21e t =【分析】（1）根据向量共线的坐标运算即可求解， （2）由向量垂直的坐标运算即可列式求解.【详解】（1）若，，无法构成三角形，则三个点在一条直线上，故,又A B O //OA OB，所以，故，()()112ln OA ,,OB ,t ==2ln 2e t t =Þ=2e t =（2）若角为直角，则，由得，O OA OB ⊥ ()()112ln OA ,,OB ,t == 212ln 0eOA OB t t ×=+=Þ= 若角为直角，则，由得， A OA AB ⊥ ()()111ln 1OA ,,AB ,t ==- 1ln 101OA AB t t ×=+-=Þ=角为直角，则，由得，由于B OB AB ^()()2ln 1ln 1OB ,t AB ,t ==-，()2ln ln 10OB AB t t ×=+-=，此时方程无实数根，2217ln ln 2=ln +>024t t t æöç÷-+-ç÷èø综上或 1t =21e t =20．如图，是坐标原点，，是单位圆上的两点，且分别在第一和第三象限；O M N(1)证明：；()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+（提示：设为的终边，为的终边，则，两点的坐标可表示为和ON αOM βM N ()cos ,sin ββ）()cos ,sin αα(2)求的范围． OM ON +【答案】(1)证明见解析；(2) ⎡⎣【分析】（1）设为的终边，为的终边，则，两点的坐标可表示为和ON αOM βM N ()cos ,sin ββ，令与的夹角为，则, ,从而利用向量的数量积结合诱导()cos ,sin ααON OMθ2πk θαβ=+-Z k ∈公式即可证明；（2）令与的夹角为，可得，利用，再结合余弦函数ON OM θππ2θ<≤()22OM ON OM ON +=+ 的性质即可求解.【详解】（1）证明: 如图，设为的终边，为的终边，则，两点的坐标可表示为ON αOM βM N 和()cos ,sin ββ()cos ,sin αα则 ，(cos ,sin ),(cos ,sin )ON OM ααββ==(cos ,sin )(cos ,sin )ON OM ααββ∴⋅=⋅ cos cos sin sin αβαβ=+设与的夹角为，则, ,ON OM θ2πk θαβ=+-Z k ∈且||||cos cos ON OM ON OM θθ⋅=⋅⋅= ，cos cos()cos cos sin sin θαβαβαβ∴=-=+故成立.cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+（2）令与的夹角为，ON OM θ因为，是单位圆上的两点，且分别在第一和第三象限，M N 所以. ππ2θ<≤，222222cos OM ON OM OM ON ON θ+=⋅++=+ ，， ππ2θ<≤ 1cos 0,022cos 2θθ∴-≤<∴≤+<所以， 0OM ON ≤+<故的范围为.OM ON + ⎡⎣21．如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内OPQ 1OP =π4POQ ∠=C ABCD 接于扇形，记，求当取何值时，矩形的面积最大？并求出最大面积．POC α∠=αABCD【答案】，矩形 π8α=ABCD 【分析】由题意可得，，从而可得矩形的面积cos sin AB αα=-sin BC α=ABCD，再由可得，由此可得当时，取得最π)421S α=+-π04α<<ππ3π2444α<+<ππ242α+=S 大值.【详解】在中，，，Rt OBC △sin BC α=cos OB α=在中，， Rt ADO △πtan 14AD OA ==所以，sin OA AD BC α===所以， cos sin AB OB OA αα=-=-设矩形的面积为，则ABCD SS AB BC =⋅(cos sin )sin ααα=-⋅2sin cos sin ααα=-， 111sin 2cos 2222αα=+-π)214α=+-由，得， π04α<<ππ3π2444α<+<所以当，即时， ππ242α+=π8α=max S =因此，当时，矩形. π8α=ABCD22．已知向量，，设函数，且的图象过点(,cos 2)a m x = (sin 2,)b x n = ()f x a b =⋅ ()y f x =(12π和点. 2(,2)3π-（Ⅰ）求的值；,m n （Ⅱ）将的图象向左平移（）个单位后得到函数的图象.若的图()y f x =ϕ0ϕπ<<()y g x =()y g x =象上各最高点到点的距离的最小值为1，求的单调增区间.(0,3)()y g x =【答案】（I ）.1m n ==（II ）函数的单调递增区间为.()y g x =[,],2k k k Z πππ-∈【详解】试题分析：（Ⅰ）利用向量的数量积坐标运算公式代入函数式整理化简，将函数过的点和点代入就可得到关于的方程，解方程求其值；（Ⅱ）利用图像平移的方法(12π2(,2)3π-,m n 得到的解析式，利用最高点到点的距离的最小值为1求得角，得，()y g x =(0,3)ϕ()2cos 2g x x =求减区间需令解的范围[]22,2x k k πππ∈+x 试题解析：（1）由题意知．的过图象过点和， ()y f x = (12π2(,2)3π-所以即解得sin cos ,66{442sin cos ,33m n m n ππππ=+-=+1,2{12,2m n =-=-{ 1.m n ==（2）由（1）知． 由题意知． ()()2sin(226g x f x x πϕϕ=+=++设的图象上符合题意的最高点为，()y g x =0(,2)x，所以，即到点（0，3）的距离为1的最高点为（0，2）． 1=将其代入得，因为，所以， ()y g x =sin(2)16πϕ+=0ϕπ<<6πϕ=因此． ()2sin(2)2cos 22g x x x π=+=由Z 得Z ，222,k x k k πππ-+≤≤∈,2k x k k πππ-+≤≤∈所以函数的单调递增区间为()y f x =[,],2k k k Z πππ-+∈【解析】1.三角函数化简与性质；2.图像平移。
