直线和椭圆的弦长问题课件

弦所在直线方程为
.
答案x+2y-3=0
解析 由题意知,以 M(1,1)为中点的弦所在直线的斜率存在,设其方程为
2 + 2 2 -4 = 0,
得
y=kx+b,则有 k+b=1,即 b=1-k,即 y=kx+(1-k).联立方程组
= + (1-),
1 + 2
2
2
2 2
(1+2k )x +(4k-4k )x+(2k -4k-2)=0,所以 2
同形式的直线方程直接关系到计算量的大小.我们的经验是:若直线经过的
定点在y轴上且斜率存在,一般设为斜截式方程y=kx+b便于运算;若直线经
过的定点在x轴上且斜率不为0,一般设为my=x-a可以减小运算量.
2
对点训练 2 已知斜率为 2 的直线经过椭圆
5
于 A,B 两点,则弦 AB 的长为
.
+
2
1
又 k1=
1
1 +2
-7 1 -12
,代入上式可得 x3= 4
1 +7
1
,所以 y3=4
1 +7
,
所以点 C
-7 1 -12
4 1 +7
同理可得点 D
1
, 4
1 +7
-7 2 -12
4 2 +7
7
.
2
, 4
.
2 +7
1
7
1
故 = 3 + 4 ,3 - 4 , = 4 + 4 ,4 - 4 .因为 Q,C,D 三点共线,所以

又 A(－2,0)，∴―AM→·―A→N ＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)
＝(k2＋1)y1y2＋45k(y1＋y2)＋1265＝0，
即可得∠MAN＝π2，故∠MAN 为定值．
二、应用性——强调学以致用 2．有一椭圆形溜冰场，长轴长是 100 m，短轴长是 60 m，现要
在这个溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形 ABCD，且使这个矩形的面积最大，试确定这个矩形的顶点 的位置．这时矩形的周长是多少？ [析题建模] 由题意结合对称性建立平面直角坐标系，根据 椭圆的对称性，可知矩形面积为点 A 的横、纵坐标之积的 4 倍，再结合椭圆方程求其横、纵坐标的值即可求矩形的周长．
(3)中点转移法 先设出弦的一个端点的坐标，再借助中点得出弦的另一个 端点的坐标，分别代入椭圆方程作差可得． 这三种方法中以点差法最为常用，点差法中体现的设而不 求思想，还可以用于解决对称问题.因为这类问题也与弦中点和 斜率有关．
[对点练清]
已知点 P(4,2)是直线 l：x＋2y－8＝0 被焦点在 x 轴上的椭圆所
(1)求椭圆 M 的方程； (2)若 k＝1，求|AB|的最大值．
a2＝b2＋c2， [解] (1)由题意得ac＝ 36，
2c＝2 2，
所以椭圆 M 的方程为x32＋y2＝1.
解得 a＝ 3，b＝1.
(2)设直线 l 的方程为 y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
y＝x＋m， 由x32＋y2＝1， 得 4x2＋6mx＋3m2－3＝0，
即xy11－ －yx22＝－ba22xy11＋＋yx22.
因为 kAB＝－12，AB 中点为(4,2)， 所以－12＝－2×ba22，即 a2＝4b2，所以该椭圆的离心率为 e

解：
3、弦中点问题
例 ：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程. 解：
韦达定理→斜率
韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造
3、弦中点问题
例 ：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程.
点
作差
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造 出中点坐标和斜率．
2.2.2 椭圆的简单几何性质
1-----直线与椭圆的位置关系 2-----弦长公式
高二数学 熊超进
直线与椭圆的位置关系
种类: 相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)
相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)
1直线与椭圆的位置关系
1.位置关系：相交、相切、相离 2.判别方法(代数法)
例：已知斜率为1的直线L过椭圆 交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
的右焦点，
练习：已知椭C x2 y2 1斜率为1的 直线 l 与椭圆交
3
于 A, B 两点，且 AB 3 2求直线 l 的方程
2
3.若P(x,y)满足 x2 y2 1( y 0) ,求 y 3 的
4
x4
最大值、最小值.
( x1
x2 )2
4 x1
x2
6 5
2
2、弦长公式
设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线P1P2的斜率为k．
弦长公式：
弦长的计算方法： 弦长公式：
|AB|= 1 k 2 ·（x1 x2）2 4x1 x2
=
1
1 k2
·（y1
y2）
4 y1

C. 34
D.
17 2
解析 将直线y＝x＋1代入x2＋4y2＝8， 可得x2＋4(x＋1)2＝8，即5x2＋8x－4＝0，
∴x1＝－2，x2＝25，∴y1＝－1，y2＝75，
∴直线 y＝x＋1 被椭圆 x2＋4y2＝8 截得的弦长为 52＋22＋75＋12＝125 2.
1234
3.已知椭圆C的焦点在x轴上，长轴长为4，过右焦点F2且垂直于x轴的直 线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为
二、与弦长有关的最值问题
例 2 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的离心率 e ＝ 22，且点 P(2,1)在椭圆 C 上.
(1)求椭圆C的方程；
e＝ac＝ 22， 解 由题意得a42＋b12＝1，
a2＝b2＋c2，
a＝ 6， ∴b＝ 3，
∴椭圆 C 的方程为x62＋y32＝1.
y1y2＝－m21＋2， ∴S△AOB＝12|OF2|·|y1－y2|＝12 y1＋y22－4y1y2
＝12
－m22＋m 22－4×－m21＋2＝ 2×
m2＋1 m4＋4m2＋4
＝ 2×
m2＋1 m2＋12＋2m2＋1＋1
＝
2×
1 m2＋1＋m21＋1＋2
≤ 2×
2
1
＝
m2＋1·m21＋1＋2
22，
62 A. 7
43 B. 7
√12 2
C. 7
83 D. 7
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
解析 设直线 AB 的方程为 y＝x－1，联立椭圆方程x42＋y32＝1， 整理可得7x2－8x－8＝0，

出中点坐标和斜率．
第16页
3.弦中点问题
例: 已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线方程.
所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2, 整理得x+2y-4=0 从而A ,B在直线x+2y-4=0上 而过A,B两点直线有且只有一条
解后反思: 中点弦问题求解关键在于充分利用“中点”这一 条件，灵活利用中点坐标公式及韦达定理，
第17页
练习：
x2 y2 1
1、假如椭圆36被9
平分，那
D
弦被（4，2）
么这弦所在直x2 线y2 方1 程为（
）
5m
A、C x-2y=0 B、x+2y- 4=0 C、
2x+3y-12=0 D.x+2y-8=0
2、y=kx+1与椭16 圆 点，则m范围（5 ）
恰有公共
第18页
小结
1.直线与椭圆三种位置关系及判断方法；
相切(一个交点)
相交(二个交点)
第4页
直线与椭圆位置关系判定
代数方法
Ax+By+C=0
由方程组： x2 y2 1
a2 b2
mx2+nx+p=0（m≠ 0）
= n2-4mp
>0
方程组有两解
两个交点
相交
=0
方程组有一解
一个交点
相切
<0
方程组无解
无交点
相离
第5页
1直线与椭圆位置关系
例1.K为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有两 个公共点?有一个公共点?没有公共点?

本节课,我们来学习几个有关直线与椭圆的综合问题.
知识巩固
回忆：直线与圆的位置关系
问题1：直线与圆的位置关系有哪几种？
问题2：怎么判断它们之间的位置关系？
几何法： d>r
d=r
d<r
代数法： ∆<0
∆=0
∆>0
探究新知
点与椭圆的位置关系
·
·
·
直线与椭圆的位置关系
B
A
C
种类:
点在椭圆内
点在椭圆上
点在椭圆外
d
4 x0 5 y0 40
42 52

4 x0 5 y0 40
41
尝试遇到困难怎么办?
作出直线 l 及椭圆,
观察图形,数形结合思考.
且
x0 2
25

y0 2
9
1
l
m
m
பைடு நூலகம்
直线与椭圆的位置关系
x2 y 2
练1：已知椭圆
1，直线l：
4 x - 5 y 40 0.椭圆上是否存在一点，它到直线l的距
16
4
方程.
x 2y 4 0
x2 y2
10
2.椭圆

1 上的点到直线 x 2 y 2 0 最大距离是________.
16
4
3.已知椭圆的焦点 F1 ( 3, 0), F2 (3, 0) 且和直线 x y 9 0 有公共点,则其中长轴最短
的椭圆方程为______.
△0
m x 2 nx p 0(m 0)
△ =n 2 4m p
方程组有两解
两个交点
相交

由例1可知：y=x 5 与椭圆相切
故最小值是 3 5- 5 2 最大值是 = 10
2
3 5+ 5 2 于 A、B 两点 变式 1: 直线 y x 3 与椭圆 y 1 y2 1 例2：已知斜率为1的直线L过椭圆 的右焦点， 4
O 为坐标原点，求△OAB 的面积。
什么样的位置关系?
2
一.直线和椭圆位置关系的判定
x 2 y 1 【例 1】 m 为何值时，直线 y x m 与椭圆 4
相交、相切、相离？
y x+m 解：联立方程 2 消y 得： 2 8mx 4m2 4 0 5x 2 x 4 y 4
(8m) 20(4m 4) 16(m 5)
AB 1 k x1 x2 1 k
2 2
8 ( x1 x2 ) 4 x1 x2 5
2
x 2 变式 2：设点 F 是椭圆 y 1的左焦点，弦 1 2
4 AB 过椭圆的右焦点，且△ F1 AB 的面积为 ，求 3
弦 AB 所在的直线方程。
2
变式 3：已知椭圆的焦点在 x 轴上，离心率 e 3 ， 2 又知椭圆截直线 y=x+2 所得的线段 AB 的长为 16 2 , 5 求椭圆的标准方程。
小结 联立直线与椭圆方程 方程(组)的 思想 一元二次方程
判别式
韦达定理
椭圆与直线的 位置关系的判断
AB 1 k 2 x1 x2 1 12 y1 y2 k
交椭圆于A，B两点，求弦AB的长．
4
解 :由椭圆方程知 : a2 4, b2 1, c2 3. 右焦点F ( 3,0). 直线l方程为: y x 3. y x 3 2 消y得： 2 8 3x 8 0 5x x y2 1 4 8 3 8 , x1 x2 设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 则x1 x2 5 5

y2 x2 2
1
y1 y2
x1x2
2(x1 x2 ) 4 0 ,
即
3(m2 4k 2 ) 3 4k 2
4(m2 3) 3 4k 2
16mk 3 4k 2
4
0
，
五、直线与椭圆的定点问题
6.已知椭圆 C : x2 y2 1, 若直线 l : y kx m 与椭圆 C 相交于 A ，B 两点（ A，B 不是左右顶点）， 43
y2
1的左、右焦点.
（Ⅰ）若 P 是该椭圆上的一个动点，求 PF1 PF2 的最大值和最小值;
（Ⅱ）设过定点 M (0,2) 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A 、B ，且∠ AOB为锐角（其中 O 为坐标原点），
求直线 l 的斜率 k 的取值范围.
【解析】（Ⅰ）方法一：由已知得 a 2, b 1, c 3 ，所以 F1( 3,0), F2( 3,0) ，设 P(x, y) ，则
且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点，求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标．
【解析】即 7m2 16mk 4k 2 0 (7m 2k)(m 2k) 0 ，
解得 m1
2k, m2
2k 7
，且满足 3 4k 2
m2
0
.
当 m 2k 时，有 l : y k(x 2) ，直线过定点 (2, 0), 与已知矛盾；
x1x2
3y1 y
x1x2
3(x1
c)(x2
c)
4 x1 x2
3(x1
x2 )c
3c2
3 2
c2
9 2
c2
3c2
0
又 x12 3y12 3b2 , x22 3y22 3b2 ，代入①得 2 2 1

4 y1
y2
（适用于任何曲线）
2、弦中点问题的两种处理方法： （1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理； （2）点差法：设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的 斜率。
课后作业
1、已知椭圆 x2 +y2 =1，过左焦点F作倾斜角为 的直线
9
6
交椭圆于A，B两点，求弦AB的长
2、已知椭圆 x2 +y2 =1及点B（0， 2），过椭圆的左焦 2
(2)消去其中一个未 知数，得到二元一 次方程；
(3)韦达定理；
(4)弦长公式.
变式1：已知椭圆 x2 y2 1,过椭圆右焦点的直线l交 4
椭圆于A, B两点，且 AB = 8，求直线l方程。 5
练习
已知椭圆ax2 by2 1于直线x y 1 0交于A, B两点， 且 AB 2 2，若AB的中点M与椭圆中心连线的斜率 为 2 ，求a,b的值。
Ax By C 0
由方程组：

x2
y2
a2
b2
1
消去y
mx2+nx+p=0（m≠ 0） = n2-4mp
通法
>0
方程组有两解
两个交点
相交
=0
方程组有一解
一个交点
相切
<0
方程组无解
无交点
相离
练习
当m为何值时，直线y=x+m与椭圆 x2 + y2 =1相交？ 16 9
相切？相离？
教学目标
通过本节课的教学，要求掌握直线和 椭圆相交的弦长公式，以及能够用点差法 解决弦中点问题。
知识点1：弦长问题
若直线 l
: