(可修改)散射理论.ppt

3. 刚势球散射：势垒
U 0 → ∞; k 02 =
2 µU 0
→ ∞ ，则
2
thk 0 a =
e k0 a − e − k0 a e k0 a + e − k0 a
解得：ψ nlm ( r , θ , ϕ ) = Rnl ( r ) Ylm (θ , ϕ )
2 ∇ 2ψ ( r , θ ) + ⎡ ⎣k − V ( r )⎤ ⎦ψ ( r , θ ) = 0 ，
n固定 ψ ( r ,θ ) ⎯⎯⎯⎯⎯ → R r P cos θ ) ， 所以，每一项（ l 的一个值）称为ψ ( r , θ ) 的 一个分波。 m=0（与ϕ 无关） ∑ l ( ) l ( l
, k
'2
=
2 µ (U 0 − E )
2
.
' ' ⎧ ⎪U ( r ) = A sin k r，r ≤ a ⎞ ⎛k ⎛ thka ⎞ ∴ kctg (ka + δ 0 ) = k ' ctgk ' a ， δ 0 = tg −1 ⎜ ' thk ' a ⎟ − ka ，∴ Q = 4πa 2 ⎜ − 1⎟ ⎨ ka k δ U r A sin( kr ) r a = + ， > ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ( ) ⎪ 0 ⎩
3〉微分截面计算公式 入射波的几率流密度： J z =
散射波： 又 dn = qNd Ω
Jr =
2 2 ds dn i ⎛ ∂ψ 2∗ ∂ψ 2 ⎞ V ∴ dn = J r ids = N f (θ , ϕ ) 2 −ψ 1∗ ⎜ψ 2 ⎟ = 2 f (θ , ϕ ) = ds r ∂r ∂r ⎠ r 2µ ⎝ 2 ds ） ∴ q (θ , ϕ ) = f (θ , ϕ ) 2 r

Q q( )2 sin d 2bdb b 2
0 0

b
在量子力学中，确定在远离散射区粒子的波函数，即 只有通过解定态薛定谔方程才能得到散射截面。 方法不同，计算的结果也有差异。
3、散射截面的求解（重点） 2 2 取散射中心为坐标原点， 2 U (r ) E 是入射粒子质量，E是它的能量，令
2 dn L3 U (r )e
3
i ( k k ) r
dr
2
L3 k d 3 2 8
2
k vL U ( r )e 2 4 v
i ( k k ) r
dr d
该式与 dn vL3q( , )d 比较得：
0 0
2
q(θ, φ)决定于散射过程的物理机制，它与入射粒子 和散射中心的性质及其相互作用、相对能量相关联。研究 散射截面的意义正在于此。
2、经典与量子散射的差异 在经典散射中，用轨道进行计算： 立体角dΩ=sin θd θd φ 内的粒子必为入射环面 b|db | d φ 所通过的入射粒子 q(θ） sin θ=b|db | /d θ
k


2 1



4 k2
(2 1)sin

2
Q
其中
4 Q 2 (2 1) sin 2 k
是第 分波的散射截面。
2、分波法的适用范围 用分波法求散射截面归结为计算相移。 分波法是解决散射问题的普遍方法，但由于要求许多 相移 ,使得实际应用受到很大限制。 从准经典轨道角动量L=pr考虑
j (kr)是球面贝塞尔函数： (kr) j

2kr J

现象： 白昼的天空是亮的 晴朗的天空呈浅蓝色
8
清晨日出或
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2019/12/23
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米氏散射：散射粒子的线度与光波长同量级或大于光 波波长的散射
3
非均匀介质中的散射
光学性质的不均匀： （1）均匀物质中散布着折射率与它不同的大量微粒 （2）物质本身的组成部分（粒子）不规律的聚集
例：尘埃、烟、雾、悬浮液、乳状液、毛玻璃等。
特征：
杂质微粒的线度小于光波长，相互间距大于波长， 排列毫无规则，在光照下的振动无固定位相关系，任何 点可看到它们发出次波的迭加，不相消，形成散射光。
光的散射
1
定义：
光
当光通过光学性质不
的
均匀的物质时，从侧
散
向都可以看到光的现
射
象叫光的散射。
2
分 类
线性米 瑞氏 利散 散射 射： ：线 线度 度ll


/ 10
非线性拉曼散射自 受发 激拉 拉曼 曼散 散射 射 布里渊散射
瑞利散射：散射粒子的线度小于光的波长的十分之一
4
散射和反射，漫射和衍射的区别
1.散射与直射、反射及折射的区别：“次波”发射中心排 列的不同,散射时无规则，而后者有规则。 2.散射与漫反射的区别：次波中心的排列仍有某些不同的 方向性 3.散射与衍射的区别：
衍射：因个别的不均匀区域（孔、缝、小障碍等）所形 成的，不均匀区域范围大小≈。
散射：大量排列不规则的非均匀小“区域”的集合所形 成的，非均匀小区域的线度<。
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6
瑞利散射
1.瑞利散射：l 的微粒对入射光的散射现象。
2.瑞利定律：散射光强度与波长的四次方成反比，

•
BORN近似
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BORN近似
•
BORN近似
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BORN近似
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BORN近似
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三、分波法 1、分波展开和相移
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分波展开和相移
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分波展开和相移
分波展开和相移
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分波展开和相移
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分波展开和相移
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分波展开和相移
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2、截面和光学定理
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截面和光学定理
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截面和光学定理
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3、相移的计算
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相移的计算
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相移的计算
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相移的计算
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三、含时散射理论 1、含时GREEN算符
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含时GREEN算符
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含时GREEN算符
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含时GREEN算符
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含时GREEN算符ห้องสมุดไป่ตู้
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含时GREEN算符
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含时GREEN算符
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含时GREEN算符
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2、相互作用绘景
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相互作用绘景
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相互作用绘景
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3、跃迁几率与微分截面
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量子散射理论的引入
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量子散射理论的引入
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二、定态散射理论 1、弹性散射的严格解
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弹性散射的严格解
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弹性散射的严格解
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弹性散射的严格解
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弹性散射的严格解
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弹性散射的严格解
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弹性散射的严格解
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弹性散射的严格解
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弹性散射的严格解
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弹性散射的严格解
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弹性散射的严格解
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BORN近似
•

质，这是研究原子核及基本粒子-常用的一种方法。
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思考题：什么是分波法
分波法是说入射平面波eikz按球面波展开
ei k zei kcro s (2l1)iljl(k)rP l(co ) s l0
展开式中的每一项称为一个分波，每个分波在中心力场的影响下，各自产生
一个相移l。而l的获得需根据U(r)的具体形式解径向方程
第七讲 散射
一、散射截面
散射过程：方向准直的均匀单能粒子由远处沿z轴方向射向靶粒子，由于受到 靶粒子的作用，朝各方向散射开去，此过程称为散射过程。散射 后的粒子可用探测器测量。 靶粒子的处在位置称为散射中心。 ds
θ
Z
散射角：入射粒子受靶粒子势场的作用，其运动方向偏离入射方向的角度。
弹性散射：若在散射过程中，入射粒子和靶粒子的内部状态都不发生变化，则称
dn Nd
或
dn q(,)N d
（1）
比例系数q(，)的性质：
q(，)与入射粒子和靶粒子（散射场）的性质，它们之间的相互作用，以及
入射粒子的动能有关，是，的函数。
q(，)具有面积的量纲
-
2
[q]
dn Nd
L2
故称q(，)为微分散射截面，简称为截面或角分布
如果在垂直于入射粒子流的入射方向取面积q(，)，则单位时间内通过此截
即
(r)rAiek z f(,)eik r
（9）
r
为方便起见，取入射平面波 e ikx 的系数A=1，这表明 |1 |21 ，入射粒子束单
位体积中的粒子数为1。
入射波几率密度（即入射粒子流密度）
Jz2 i 1 z1 * 1 * z1 2 i ( i k1 1 * i k1 * )

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电磁波干涉测量电子密度原理
Ｏ模折射率公式
N2
c2k 2
2
1
2 pe
2
4e 2
1
me 2
ne
密度接近临界密度 nec me 2 / 4e2
N
1
2e2 me 2
ne
1
ne 2nec
两束电磁波的光程差
l
2e 2
2e2 l
c
[l
(1
0
me 2 ne )dx]
cme
ne dx
0
相当于２π相移的密度线积分为
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q(r)轮廓测量
Zeeman效应或运动Stark效应
Zeeman效应： 谱线在磁场中分裂 ||B观察:σ：圆偏振 ⊥B观察:σ：⊥B偏振,m=±1
π：||B偏振,m=0
入射激光偏振面旋转，激发荧光强度正比于 (E(t)·B)2．探测垂直方向π分量决定Ｂ方向
2020-5-23
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电子密度涨落∝ ne ，总散射功率∝ ne 频谱：电子速度分布信息
散射光强：单位体积等离子体向空间某一方向的 单位立体角内、单位频率间隔的散射功率
I (, ) I 0ne e S(k ,)
单电子微分散射截面 形状因子
形状因子从动力学方程和Poisson方程得到
2020-5-23
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非相干散射和相干散射
运动Stark效应（MSE）
高能中性粒子注入，粒子参考系 中产生感应电场v×B，引起谱 线Stark分裂。测量两分量的方 向决定Ｂ方向。
2020-5-23
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７，粒子束测量

光学教程专题 光的吸收、色散和散射
22.09.2019
0
光学教程专题 光的吸收、色散和散射
研究的主要问题： 光经过介质时吸收规律的描述； 光波色散及相速和群速问题； 光的瑞利散射和米氏散射。
要点： 1. 从经典电磁理论角度讨论光的色散和散射； 2. 对波的群速和相速及其色散参数间的联系； 3. 不同散射的特点；
法显示色散曲线。
22.09.2019
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光学教程专题 光的吸收、色散和散射
正常色散：
在可见光范围内无 色透明的物质，色散曲线
很相似：1. n随的增加
而单调下降；2. 下降率在 短波一端更大。这样的色 散称为正常色散。
1836年，Cauchy给出经验公式(柯西公式)：
nf()AB2C4 nf()AB2
引入阻尼常数和电子固有频率，有：
rqmE02rr
g m
0
k m
由力学的阻尼振动解可得：
rqmE(2
1
02)i
22.09.2019
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光学教程专题 光的吸收、色散和散射
光的发射、吸收和色散的经典电磁理论：
设介质单位体积内有N个原子，每个原子
有z个电子，则介质的极化强度等有：
平面波函数可表为：
nx (tnx)
EE0ec e c
将指数写到一起，有：
i(t n (1 i)x)
i(t n ~ x)
E E 0 e c E 0 e c
复数n称为介质的复折射率，其实部表示介质的
折射率，虚部n表示波产生的衰减。
22.09.2019
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光学教程专题 光的吸收、色散和散射
细说明。故常称为布格定律或朗伯定律。
22.09.2019

在散射过程中，入射粒子的能量是已知的，由实验者控
制，散
射后粒
子的
角分
布与粒子间
的相互
作用
U
(r )
有关
（U
(r )
决定了靶粒子的性质和结构）。通常总是对
U
(r )
作出
假设，解定态薛定谔方程求角分布，再与实验结果比较，从
而了解
U
(r )
，并进而了解靶粒子的性质与结构。
2．弹性散射（碰撞）和非弹性散射（碰撞）
利用数学知识将平面波 eikz 按球面波展开（公式见梁昆淼
密度之比，其量纲为：
dn
1 T
， N
1 L2T
，
q
dn
Nd
T 1
T
1L2
L2
，
所以 q( ,) 有面积量纲，故称为微分散射截面。
微分散射截面 q( ,) 与入射粒子、散射中心的性质以及
它们之间的互相作用等有关。 注意：在量子力学中，入射粒子的概率流密度的意义是单位 时间内通过垂直入射方向单位面积的概率，它正是当单位时 间内只有一个粒子入射时的入射粒子流强度/密度。dn 的意义
射，靶粒子的作用相当于这样一个靶面，截面单位用“巴
（barn）”表示，1 巴＝1024 cm2 。
dn Nq , d dn Nq ,
d
dn N q , d n NQ
三、波函数在 r 处的渐进形式及其与 q( ,) 的关系
严格地讲，应该在给定 U (r ) 后，解定态薛定谔方程求
就是单位时间内散射到 , 方向 d 立体角内的概率。
5.
总散射截面：Q
q( ,)d
2
d sindq( ,)

• 1928~1940年，受到广泛的重视，曾是研究分子结构的主要手段。 这是因为可见光分光技术和照相感光技术已经发展起来的缘故；
• 1940~1960年，拉曼光谱的地位一落千丈。主要是因为拉曼效应太 弱（约为入射光强的10-6），并要求被测样品的体积必须足够大、 无色、无尘埃、无荧光等等。所以到40年代中期，红外技术的进 步和商品化更使拉曼光谱的应用一度衰落；
h(0 - )
E1 V=1 E0 V=0
h
5
3、Raman散射基本原理
另一种是分子处于激发态振动能级，与光子碰撞后，分子从 入射光子获取确定的能量hν1达到较高的能级。则散射光子 的能量变为h（ν0+ν1）= hν，频率增加至ν0+ν1 。形成能量 为h（ν0+ν1）、频率为ν0+ν1的谱线。正拉曼位移，即ν0+ν1 称为反Stokes线（反斯托克斯线）。
（4）、拉曼散射是瞬时的，入射光消失后10-11~10-12s内散射光消失。 （5）、拉曼谱线的宽度比较窄，且成对出现，即具有数值相同的正负 频率差，比入射光波长短的为反斯托克斯线，波长长的为斯托克斯线。
（6）、分子做拉曼散射的同时，也有强度很大的瑞利散射。
11
二、拉曼光谱仪
1、拉曼光谱仪的组成
主要由光源、外光路系统、样品池、内光路 (单色器)、 信号处理及输出系统等五部分组成。
E1 + h0 E2 + h0
E1 V=1 E0 V=0
h(0 + )
反stokes线
h
6
3、Raman散射基本原理
E1 + h0 stokes线 E2 + h0
h(0 - )
E1 V=1 E0 V=0

与V(r)有束缚态（V0<0）的条件 知波恩近似要求V(r)不能有束缚态。
相ห้องสมุดไป่ตู้，
对高能入射粒子，相应条件为：
（比较容易满足）
二、高阶波恩近似
定义算符T为： 有
据 可见 其中：
二阶波恩近似
为实数
2）dd f ( ) 2 F(q2) 2 F(k2(1 cos )) 2 与V的符号无关
k很小时,f与θ无关；提供了一种检测球心势的途径 大q时， f（θ）小（高能粒子穿透能力强）
讨论：
一阶波恩近似成立条件为<x|Ψ>与<x|Φ>相近 即
对V=V0exp(-µr)/r和k<<µ(低能入射粒子)意味着
第七章 散射理论
§7.1 Lippmann-Schwinger 方程 H=H0+V, H0=p2/2m, H0|Φ>=E|Φ> 考虑|Φ>=|p>受V的定态弹性散射(H0+V)|Ψ>=E|Ψ> 形式解：
坐标基：
其中：
计算
=
（记
=
于是形式解为： 对局域势：
考虑观察点远离势中心
可 以 得 到 ：
微分散射截面
§7.2 波恩近似
一、将 得一阶波恩近似： 记 则对球心势有
代入散射振幅公式
二、应用举例
对Yakawa势
即一阶波恩近似下 对库仑势（µ0,V0/µZZ’e2）
与经典卢瑟夫散射截面公式相同：
一阶球心势散射特点
1）
f（（1） ）
-
2m h2q
0
rV
(r
)
sin
qrdr