高二精选题库 数学11-8北师大版

第11模块 第8节

[知能演练]

一、选择题

1．甲、乙两人独立地解同一道题，甲、乙解对的概率分别为P1、P2，那么至少有一人解对的概率是

( )

A．P1＋P2 B．P1·P2

C．1－P1·P2 D．1－(1－P1)·(1－P2)

解析：“至少有一人解对”的对立事件为“两人都没有解对”．

答案：D

2．设有两个独立事件A和B同时不发生的概率是p，A发生B不发生与A不发生B发生的概率相同，则事件A发生的概率为

( )

A．2p B.p2

C．1－p D．1－2p

解析：据题意设事件A发生的概率为a，事件B发生的概率为b，则有

 1－a1－b＝p， ①a1－b＝1－ab. ②

由②知a＝b，代入①即得a＝1－p.

答案：C

3．10张奖券中有2张有奖，甲、乙两人从中各抽1张，甲先抽，然后乙抽，设甲中奖的概率为P1，乙中奖的概率为P2，那么

( )

A．P1>P2 B．P1

C．P1＝P2 D．P1、P2大小不确定

解析：设“甲中奖”事件用A表示，“乙中奖”事件用B表示，则P(A)＝P1＝210＝15.

B＝A·B＋A·B，且A·B与A·B彼此互斥，则

P(B)＝P(A·B)＋P(A·B)．

又P(A·B)＝810×29＝845，P(A·B)＝210×19＝145，∴P(B)＝P2＝845＋145＝945＝15.

答案：C

4．一场5局3胜制的乒乓球对抗赛，当甲运动员先胜2局时，比赛因故中断．已知甲、乙水平相当，每局甲胜的概率都为12，则这场比赛奖金分配(甲∶乙)应为

( )

A．4∶1 B．3∶1

C．7∶1 D．6∶1

解析：在甲先胜2局的情况下，乙获胜的概率为C33123＝18，∴甲获胜的概率为78，∴奖金分配(甲∶乙)为7∶1.故选C.

答案：C

二、填空题

5．设A、B为两个事件，若事件A和B同时发生的概率为310，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为12，则事件A发生的概率为________．

解析：由题意知：P(AB)＝310，P(B|A)＝12，

∴P(A)＝PABPB|A＝31012＝35.

答案：35

6．如果在一次试验中，某事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，这件事A发生偶数次的概率为________．

解析：由题意，X～B(n，p)，且X取不同值时事件互斥．

设p＋q＝1，∴P＝P(X＝0)＋P(X＝2)＋P(X＝4)＋„＝C0np0qn＋C2np2qn－2＋C4np4qn－4＋„

＝12[(q＋p)n＋(q－p)n]＝12[1＋(1－2p)n]．

答案：12[1＋(1－2p)n]

三、解答题

7．箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比是s∶t，现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过n次，以X表示取球结束时已取到白球的次数．求X的分布列．

解：随机变量X的取值X＝0,1,2，„，n(X＝n表示n次取出的全是白球)令Ai“表示第i次取出的是白球”(i＝1,2，„，n)，Ai表示“第i次取出的是黄球”，依题意有：

P(Ai)＝ts＋t＝p，P(Ai)＝ss＋t＝1－p＝q(i＝1,2，„，n)

由于每次取球是独立的，所以有

P(X＝k)＝P(A1A2„AkAk＋1)

＝P(A1)P(A2)„P(Ak)P(Ak＋1)

＝qpk(k＝0,1,2，„n－1)

P(X＝n)＝P(A1A2„An)＝pn.

X的分布列如下：

X 0 1 2 „ n－1 n

P q qp qp2 „ qpn－1 pn

8.甲、乙两人进行射击比赛，在一轮比赛中，甲、乙各射击一发子弹．根据以往资料知，甲击中8环、9环、10环的概率分别为0.6、0.3、0.1，乙击中8环、9环、10环的概率分别为0.4、0.4、0.2.设甲、乙的射击相互独立．

(1)求在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中环数的概率．

(2)求在独立的三轮比赛中，至少有两轮甲击中的环数多于乙击中环数的概率．

解：记A1，A2分别表示甲击中9环，10环，B1，B2分别表示乙击中8环，9环，A表示在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数，B表示在三轮比赛中至少有两轮甲击中的环数多于乙击中的环数．

C1，C2分别表示三轮中恰有两轮，三轮甲击中环数多于乙击中的环数．

(1)A＝A1·B1＋A2·B1＋A2·B2，

P(A)＝P(A1·B1＋A2·B1＋A2·B2)

＝P(A1·B1)＋P(A2·B1)＋P(A2·B2)

＝P(A1)·P(B1)＋P(A2)·P(B1)＋P(A2)·P(B2)

＝0.3×0.4＋0.1×0.4＋0.1×0.4＝0.2.

(2)B＝C1＋C2，

P(C1)＝C23[P(A)]2[1－P(A)]

＝3×0.22×(1－0.2)＝0.096，

P(C2)＝[P(A)]3＝0.23＝0.008，

P(B)＝P(C1＋C2)＝P(C1)＋P(C2)

＝0.096＋0.008＝0.104.

[高考·模拟·预测]

1．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是

( )

A.12125 B.16125

C.48125 D.96125

解析：由题意，3粒种子恰有2粒发芽，相当于3次独立试验有2次发生，故

P(X＝2)＝C23·(45)2·(1－45)＝48125.

答案：C

2．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是

( )

A．[0.4,1) B．(0,0.6]

C．(0,0.4] D．[0.6,1)

解析：C14p(1－p)3≤C24p2(1－p)2，

4(1－p)≤6p，p≥0.4，又0

∴0.4≤p<1.

答案：A

3．据统计，某食品企业一个月内被消费者投诉的次数为0,1,2的概率分别为0.4,0.5,0.1.

(1)求该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率；

(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．

解：(1)设事件A表示“一个月内被投诉的次数为0”，事件B表示“一个月内被投诉的次数为1”，∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.4＋0.5＝0.9.

(2)设事件Ai表示“第i个月内被投诉的次数为0”，事件Bi表示“第i个月被投诉的次数为1”，事件Ci表示“第i个月被投诉的次数为2”，事件D表示“两个月内被投诉2次”，

∴P(Ai)＝0.4.P(Bi)＝0.5，P(Ci)＝0.1(i＝1,2)．

∵在两个月中，一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次的概率为P(A1C2＋A2C1)，

一、二月份均被投诉1次的概率为P(B1B2)，

∴P(D)＝P(A1C2＋A2C1)＋P(B1B2)＝P(A1C2)＋P(A2C1)＋P(B1B2)．

由事件的独立性的P(D)＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.5×0.5＝0.33.

4．一个口袋中装有n个红球(n≥5且n∈N*)和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．

(1)试用n表示一次摸奖中奖的概率p；

(2)若n＝5，求三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率；

(3)记三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率为f(p)．当n取多少时，f(p)最大？

解：(1)一次摸奖从n＋5个球中任选两个 ，有C2n＋5种，它们等可能，其中两球不同色有C1nC15种，一次摸奖中奖的概率

p＝C1nC15C2n＋5＝10nn＋5n＋4.

(2)若n＝5，一次摸奖中奖的概率p＝10×55＋55＋4＝59，三次摸奖是独立重复试验，三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率是P3(1)＝C13·p·(1－p)2＝80243.

(3)设每次摸奖中奖的概率为p，则三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率为

f(p)＝C13·p·(1－p)2＝3p3－6p2＋3p,0

由f′(p)＝9p2－12p＋3＝3(p－1)(3p－1)知，在0，13上f(p)为增函数，在13，1上f(p)为减函数，则当p＝13时，f(p)取得最大值．又p＝10nn＋5n＋4＝13，解得n＝20或n＝1.

∴当n＝20或n＝1时，三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率最大