高考理科数学选考题22题解法指导

专题22空间几何体及其表面积与体积

年份

题号 考点 考查内容

2011 文16 球的切接问题 球的表面积公式、球的截面性质、圆锥的截面性质等基础知识，逻辑推理能力、运算求解能力

理15 球的切接问题 球的截面性质、三棱锥的外接球、棱锥的体积公式，空间想象能力和运算求解能力

理6

文8 三视图与直观图

简单几何体的三视图及空间想象能力

2012 文19 简单几何体的体积 空间线线、线面、面面垂直的判定与性质及几何体的体积计算，空间想象能力、逻辑推理能力

文8 球的切接问题 球的截面性质、球的体积公式，空间想象能力和运算求解能力

理11 球的切接问题 三棱锥的体积、三棱锥的外接球，空间想象能力和运算求解能力

理7

文7 三视图与直观图

简单几何体的体积 三视图与直观图

简单几何体的体积

2013 卷2 文18 简单几何体的体积 线面平行与垂直的判定与性质、简单几何体的体积，空间想象能力和运算求解能力

卷2 文15 球的切接问题 四棱锥的体积、四棱锥外接球的表面积，空间想象能力和运算求解能力

卷1 文19 简单几何体的体积 空间线面、线线垂直的判定与性质及棱柱的体积公式，空间想象能力、逻辑推论证能力 卷1 文15 球的切接问题 球的截面性质及球的表面积公式，空间想象能力

卷2 理7

文9 三视图与直观图

空间直角坐标系中简单几何体及其三视图，空间想象能力

卷1 理8

文11 三视图与直观图

简单几何体的体积 简单组合体的三视图及简单组合体体积公式，空间想象能力和运算求解能力

卷1 理6 球的切接问题 球的截面圆性质、球的体积公式，空间想象能力、运算求解能力

2014 卷2 文18 简单几何体的体积 线面平行的判定、点到面距离、锥体的体积计算等基础知识，逻辑推理能力、空间想象能力、运算求解能力

卷2 文7 简单几何体的体积 线面垂直的判定与性质、三棱锥的体积，空间想象能力和运算求解能力

卷1 文8 三视图与直观图

智才艺州攀枝花市创界学校高考数学典型例题详解

轨迹方程的求法

求曲线的轨迹方程是解析几何的两个根本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其本质就是利用题设中的几何条件，用“

●难点磁场

(★★★★)A、B为两定点，动点M到A与到B的间隔比为常数λ,求点M的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线.

●案例探究

［例1］如下列图，P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.

“相关点代入法〞求曲线的轨迹方程，属★★★★★级题目.

知识依托：利用平面几何的根本知识和两点间的间隔公式建立线段AB中点的轨迹方程.

错解分析：欲求Q的轨迹方程，应先求R的轨迹方程，假设学生考虑不深入，发现不了问题的本质，很难解决此题.

技巧与方法：对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程.

解：设AB的中点为R，坐标为(x,y)，那么在Rt△ABP中，|AR|=|PR|.

又因为R是弦AB的中点，依垂径定理：在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2)

又|AR|=|PR|=22)4(yx

所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0

因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动.

设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1=20,241yyx,

代入方程x2+y2－4x－10=0,得

244)2()24(22xyx－10=0 整理得：x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程.

［例2］设点A和B为抛物线y2=4px(p＞0)上原点以外的两个动点，OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.(2000年、春招)

“参数法〞求曲线的轨迹方程，属★★★★★级题目.

2022年第1期河北理科教学研究

2021年高考已硝烟散尽，但是关于2021年高考数学全国新课标Ⅰ卷的讨论却

没有停息，作为全卷压轴的导数题更是引人关注，不同的老师有不同的看法.本文拟以此题作为研究对象，首先对问题的解题思路与方法进行分析，然后对问题进行深入探究，指出其命题根源之所在．1试题

已知函数f(x)=x(1-lnx)．（Ⅰ）讨论f(x)

的单调性；（Ⅱ）设a，b为两个不相等的正实

数，且blna-alnb=a-b，证明：2<1a+

1b

22题）

2解法分析

问题（Ⅰ）：由题意可知f′(x)=-lnx，故

当x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，故

当x∈(1,+∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，对

于问题（Ⅰ）我们不再赘述，着重分析问题

（Ⅱ）．我们把问题（Ⅱ）分为1a+1b>2和

1a+1b

2.1先证明左边部分：1a+1b>2．2.1.1分析一：观察可以发现blna-alnb=

a-b是含有两个字母a，b的轮换式，基于

这一认识，我们可适当变换，将相同的变

量放在等式同一侧，于是就有1a(1+lna)=1b·

(1+lnb)，再观察题干中的函数f(x)，容易确

定f(1a)=f(1b)，而题目要证明2<1a+1b，这

是我们数学中常见的极值点偏移问题.于是我们就可以适当的构造函数，利用函数的单调性来证明此不等式.解法一：（对称化构造）

证明：由blna-alnb=a-b，可得1a(1+

lna)=1b(1+lnb)，设1a=x1，1b=x2则f(x1)=

f(x2)，不妨设x1

由（Ⅰ）知02，即1a+1b>2必成立．②若1

造g(x)=f(x)-f(2-x)，10故

g(x)在(1,2)上单调递增，所以g(x)>g(1)=0，

故f(x2)>f(2-x2)，故f(x1)=f(x2)>f(2-x2)又0

在(0,1)上单调递增，故x1>2-x2，即x1+x22021年高考数学全国Ⅰ卷第22题评析

山东省滕州市教育和体育局张彬277599考试指导

高考22题逐题特训答案精析

小题满分练1

1．D 2.D 3.D 4.C 5.B

6．C [因为sinπ4－α＝26，

所以22(cos α－sin α)＝26.

所以cos α－sin α＝13，

所以1－2sin αcos α＝19，

得sin αcos α＝49，

因为cos α＋sin α＝1＋2sin αcos α＝173，

所以sin α1＋tan α＝sin α1＋sin αcos α＝sin αcos αcos α＋sin α＝49173＝41751.]

7．B [设P在渐近线y＝－bax上，F(－c，0)，

则直线FP的方程为y＝ab(x＋c)，

由 y＝－bax，y＝abx＋c，得 x＝－a2c，y＝abc，

即P－a2c，abc，由FP→＝2FQ→，

得Q－a22c－c2，ab2c，

因为Q在双曲线上，

所以c2＋a224a2c2－a24c2＝1，

化简得c2＝2a2，e＝ca＝2.] 8．A [由题意得函数的定义域为R.

f(－x)＝－x(e－x－ex)＋x2＝x(ex－e－x)＋x2＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．

当x>0时，f′(x)＝ex－1ex＋xex＋xe－x＋2x，

因为x>0，所以f′(x)>0，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，

因为函数f(x)是偶函数，所以函数f(x)在(－∞，0)上单调递减．

则由已知f(x)

得f(|x|)

所以|x＋y|>|y|>|x|，(*)

可知x，y同号，故A正确，B错误；

对于C，当x＝－1，y＝－2时，x＋y＝－3，满足(*)式，此时x＋y<0，故C错误；

对于D，当x＝1，y＝2时，x＋y＝3满足(*)式，此时x＋y>0，故D错误．]

9．AC

10．BCD [∵sin 1∈(0,1)，

∴log2(sin 1)<0,2sin 1>1，

∴log2(sin 1)<2sin 1，故A不正确；