时间序列分析方法 第06章 谱分析

时间序列分析方法讲义 第6章 谱分析 1 第六章 谱分析 Spectral Analysis 到目前为止，t时刻变量tY的数值一般都表示成为一系列随机扰动的函数形式，一般的模型形式为：



0jjtjtY

我们研究的重点在于，这个结构对不同时点t和上的变量tY和Y的协方差具有什么样的启示。这种方法被称为在时间域(time domain)上分析时间序列}{tY的性质。 在本章中，我们讨论如何利用型如)cos(t和)sin(t的周期函数的加权组合来描述时间序列tY数值的方法，这里表示特定的频率，表示形式为： dtdtYt)sin()()cos()(00

上述分析的目的在于判断不同频率的周期在解释时间序列}{tY性质时所发挥的重要程度如何。如此方法被称为频域分析(frequency domain analysis)或者谱分析(spectral analysis)。我们将要看到，时域分析和频域分析之间不是相互排斥的，任何协方差平稳过程既有时域表示，也有频域表示，由一种表示可以描述的任何数据性质，都可以利用另一种表示来加以体现。对某些性质来说，时域表示可能简单一些；而对另外一些性质，可能频域表示更为简单。 §6.1 母体谱 我们首先介绍母体谱，然后讨论它的性质。 6.1.1 母体谱及性质 假设}{tY是一个具有均值的协方差平稳过程，第j个自协方差为： )])([(),cov(jttjttjYYEYY

假设这些自协方差函数是绝对可加的，则自协方差生成函数为： 

jjjYzzg)(

这里z表示复变量。将上述函数除以2，并将复数z表示成为指数虚数形式)exp(iz，1i，则得到的结果(表达式)称为变量Y的母体谱：



jjiji

YYeegs21)(21)(

注意到谱是的函数：给定任何特定的值和自协方差j的序列}{j，原则上都可以计算)(Ys的数值。 利用De Moivre定理，我们可以将jie表示成为： )sin()cos(jijeji

因此，谱函数可以等价地表示成为： 

jjYjijs)]sin()[cos(21)(

注意到对于协方差平稳过程而言，有：jj，因此上述谱函数化简为：

10)]sin()sin()cos()[cos(21)]0sin()0[cos(21)(jjYjijijjis 时间序列分析方法讲义 第6章 谱分析 2 利用三角函数的奇偶性，可以得到： 10)cos(221)(jjYjs

假设自协方差序列}{j是绝对可加的，则可以证明上述谱函数)(Ys存在，并且是

的实值、对称、连续函数。由于对任意k2，有：)()2(YYsks，因此)(Ys是周期函数，如果我们知道了],0[内的所有)(Ys的值，我们可以获得任意时的)(Ys值。 §6.2 不同过程下母体谱的计算 假设随机过程}{tY服从)(MA过程：

ttLY)( 这里：

0)(jj

jLL，0||jj，tstsEst,0,)(2

根据前面关于)(MA过程自协方差生成函数的推导： )()()(12zzzgY

因此得到)(MA过程的母体谱为：

)()(21)(2iiYees 例如，对白噪声过程而言，1)(z，这时它的母体谱函数是常数：



2)(2Ys

下面我们考虑)1(MA过程， 1tttY 此时：zz1)(，则母体谱为：

)1(21)1)(1(21)(222iiiiYeeees

可以化简成为： 221()[12cos()]2Ys

显然，当0时，谱函数)(Ys在],0[内是的单调递减函数；当0时，谱函数)(Ys在],0[内是的单调递增函数。 对)1(AR过程而言，有：

tttYcY1 这时只要1||，则有：)1/(1)(zz，因此谱函数为：

)]cos(21[21)1(21)1)(1(21)(22222iiiiYeeees

该谱函数的性质为：当0时，谱函数)(Ys在],0[内是的单调递增函数；当0时间序列分析方法讲义 第6章 谱分析 3 时，谱函数)(Ys在],0[内是的单调递减函数。 一般地，对),(qpARMA过程而言：

qtqtttptptttYYYcY22112211 则母体谱函数为：

)1()1()1()1(2)(2212212212212ippiiiqqiiippiiiqqiiYeeeeeeeeeeees







如果移动平均和自回归算子多项式可以进行下述因式分解： )1()1)(1(121221zzzzzzqqq )1()1)(1(121221zzzzzzppp 则母体谱函数可以表示为：



pjjjqjjjYs1212

2

)]cos(21[

)]cos(21[

2)(





从母体谱函数中计算自协方差 如果我们知道了自协方差序列}{j，原则上我们就可以计算出任意的谱函数)(Ys的数值。反过来也是对的：如果对所有在],0[内的，已知谱函数)(Ys的数值，则对任意给定的整数k，我们也能够计算k阶自协方差k。这意味着母体谱函数)(Ys和自协方差序列}{j包含着相同的信息。其中任何一个都无法为我们提供另外一个无法给出

的推断。 下面的命题为从谱函数计算自协方差提供了一个有用的公式： 命题6.1 假设}{j是绝对可加的自协方差序列，则母体谱函数与自协方差之间的关

系为： deskiYk)(

上述公式也可以等价地表示为： dksYk)cos()(

利用上述谱公式，可以实现谱函数与自协方差函数之间的转换。 解释母体谱函数

假设0k，则利用命题6.1可以得到时间序列的方差，即0，计算公式为：

dsY)(0

根据定积分的几何意义，上式说明母体谱函数在区间],[内的面积就是0，也就是

过程的方差。 更一般的，由于谱函数)(Ys是非负的，对任意],0[1，如果我们能够计算：

dsY11)( 时间序列分析方法讲义 第6章 谱分析 4 这个积分结果也是一个正的数值，可以解释为tY的方差中与频率的绝对值小于1的成分相关的部分。注意到谱函数也是对称的，因此也可以表示为： dsdsYY1110)(2)(

这个积分表示频率小于1的随机成分对tY方差的贡献。 但是，频率小于1的随机成分对tY方差的贡献意味着什么？为了探索这个问题，我们考虑更为特殊一些的时间序列模型： MjjjjjtttY1)]sin()cos([

这里j和j是零均值的随机变量，这意味着对所有时间t，有0tEY。进一步假设序列Mjj1}{和Mjj1}{是序列不相关和相互不相关的：

kjkjEjkj,0,)(2，





kjkjEjkj,0,

)(

2



0)(kjE，对所有的j和k 这时tY的方差是： 



MjjMjMjjjjjjjjttttEtEYE121122222222

)(sin)(cos)(sin)()(cos)()(



因此，对这个过程来说，具有频率j的周期成分对tY的方差的贡献部分是2j。如果频率是有顺序的：M210，则tY的方差中由频率小于或者等于j的周期形成的部分是：22221j。 这种情形下tY的k阶自协方差为：



MjjjMjjjjjjMjjjjjjjkttkkttkttkttEkttEYYE1212122

)cos()]}(sin[)sin()](cos[){cos()]}(sin[)sin()()](cos[)cos()({)(



因为过程}{tY的均值和自协方差函数都不是时间的函数，因此这个过程是协方差平稳过程。但是，可以验证此时的自协方差序列0}{kk不是绝对可加的。 虽然在上述过程中，我们已经过程的方差分解为频率低于某种程度的周期成分的贡献，我们能够这样做的原因在于这个过程是比较特殊的。对于一般的情形，著名的谱表示定理(the spectral representation theorem)说明：任何协方差平稳过程都可以表示成为不同频率周期成分的和形式。 对任意给定的固定频率],0[，我们定义随机变量)(和)(，并假设可以将一

个具有绝对可加自协方差的协方差平稳过程表示为： 0)]sin()()cos()([dttYt

这里需要对随机变量)(和)(的相关性给出更为具体的假设，但是上述公式便是谱