探析一道课本例题的解题教学

从高考试题例说课本的教学徐建平(陕西省西安市第八中学㊀７１００００)摘㊀要:本文以高考试题为载体ꎬ举例探讨了在课本教学中如何培养学生的探索㊁归纳㊁总结㊁创新的能力.关键词:高考试题ꎻ课本教学中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１９)０６－００３５－０３收稿日期:２０１８－１１－１５作者简介:徐建平(１９６０－)ꎬ男ꎬ陕西省西安人ꎬ本科ꎬ高级教师ꎬ从事初等数学教学研究.㊀㊀一㊁例说课本中概念㊁法则㊁定理的教学例１㊀(２０１０.湖北.８)已知әＡＢＣ和点Ｍ满足ＭＡң＋ＭＢң＋ＭＣң＝０ꎬ若存在实数ｍꎬ使得ＡＢң＋ＡＣң＝ｍＡＭң成立ꎬ则ｍ＝(㊀㊀).Ａ.２㊀㊀㊀Ｂ.３㊀㊀㊀Ｃ.４㊀㊀㊀Ｄ.５近期ꎬ我在上高三复习课时ꎬ给学生出示了例１ꎬ但全班同学竟然感觉没有思路ꎬ无从下手.这说明ꎬ我们在平时的教学中对概念㊁法则㊁定理的教学没有进行充分的挖掘ꎬ对其外延㊁内涵的探索不够.例如ꎬ我们在 向量的加法 一节课的教学中若能对 平行四边形法则 引导学生自主探索得出下列两个结论ꎬ学生对该题的解答便成了心算后的口答题.结论１:若Ｇ是әＡＢＣ的重心ꎬ则ＧＡң＋ＧＢң＝ＧＣң＝０ꎻ结论２:若Ｄ是әＡＢＣ中ＢＣ边的中点ꎬ则ＡＤң＝１２(ＡＢ＋ＡＣң).对两条结论的证明方法较多ꎬ这里不再赘述.下面ꎬ我们来看例１的解答:ȵＭＡң＋ＭＢң＋ＭＣң＝０ꎬʑＭ是әＡＢＣ的重心.取ＢＣ边的中点ＤꎬＡＢ＋ＡＣң＝２ＡＤң＝２ˑ３２ＡＭң＝３ＡＭңꎬꎬ故ｍ＝３ꎬ选Ｂ.再如ꎬ例２㊀(２００９年.山东.７)设Ｐ是әＡＢＣ所在平面内的一点ꎬＢＣң＋ＢＡң＝２ＢＰңꎬ则(㊀㊀).Ａ.ＰＡң＋ＰＢң＝０㊀㊀Ｂ.ＰＣң＋ＰＡң＝０Ｃ.ＰＢң＋ＰＣң＝０㊀㊀Ｄ.ＰＡң＋ＰＢң＋ＰＣң＝０解析㊀若对结论２很熟悉ꎬ逆用结论２直接选Ｂ.下面给出一组试题ꎬ请同学们一试.１.(２００６年.辽宁)Ｄ是әＡＢＣ的边ＡＢ上的中点ꎬ则向量ＣＤң＝(㊀㊀).Ａ.－ＢＣң＋１２ＢＡң㊀㊀㊀Ｂ.－ＢＣң－１２ＢＡңＣ.ＢＣң－１２ＢＡңＤ.ＢＣң＋１２ＢＡң２.(２０１４.新课标.全国Ⅰ)设Ｄ㊁Ｅ㊁Ｆ分别是әＡＢＣ的三边ＢＣ㊁ＣＡ㊁ＡＢ的中点ꎬ则ＥＢң＋ＦＣң＝(㊀㊀).Ａ.ＡＤң㊀Ｂ.１２ＡＤң㊀Ｃ.ＢＣң㊀Ｄ.１２ＢＣң３.(２０１５.北京理.１３)在әＡＢＣ中ꎬ点Ｍ㊁Ｎ满足ＡＭң＝２ＭＣңꎬＢＮң＝ＮＣңꎬ若ＭＮң＝ｘＡＢң＋ｙＡＣңꎬ则ｘ＝ꎬｙ＝.４.(２００５年.江苏)在әＡＢＣ中ꎬＯ为中线ＡＭ上的一个动点.若ＡＭ＝２ꎬ则ＯＡң (ＯＢң＋ＯＣң)的最小值是.５.(２０１４.新课标.全国Ⅰ)已知Ａ㊁Ｂ㊁Ｃ为圆Ｏ上的三点ꎬ若ＡＯң＝１２(ＡＢң＋ＡＣң)ꎬ则ＡＢң与ＡＣң的夹角为.(以上各题的答案为:１.Ａꎻ２.Ａꎻ３.１２ꎬ－１６ꎻ４.－２ꎻ５.π２)㊀㊀二㊁例说课本中例题的教学例３㊀(２００７年.全国卷Ⅱ理.５)在әＡＢＣ中ꎬ已知Ｄ是ＡＢ边上一点ꎬ若ＡＤң＝２ＤＢңꎬＣＤң＝１３ＣＡң＋λＣＢңꎬ则λ＝(㊀㊀).Ａ.２３㊀㊀Ｂ.１３㊀㊀Ｃ.－１３㊀㊀Ｄ.－２３参考答案给出的解法是:过Ｄ做ＤＥʊＣＡꎬＤＦʊＣＢꎬ则ＣＤң＝ＣＥң＋ＣＦңꎬ由题意知ＢＤＤＡ＝ＢＥＣＥ＝ＣＦＦＡ＝１２ꎬʑＣＦң＝１３５３ＣＡꎬＣＥң＝２３ＣＢңꎬʑλ＝２３.当然ꎬ该题还有其他解法ꎬ这里不再赘述.笔者要谈的是在平时的教学中ꎬ对例题的教学不能局限于引导学生自主完成ꎬ使其熟练掌握ꎬ更要善于挖掘㊁探索ꎬ看是否能归纳总结出一般规律ꎬ并能利用规律解答相关题目.例如ꎬ高中数学必修４(北师大版) ３.１数乘向量 一节课的例３为:如图ꎬＡ㊁Ｂ㊁Ｃ是平面内的三个点ꎬ且Ａ与Ｂ不重合ꎬＰ是平面内任意一点ꎬ若点Ｃ在直线ＡＢ上ꎬ则存在实数λꎬ使得ＰＣң＝λＰＡң＋(１－λ)ＰＢң.对于该题的证明ꎬ这里不再赘述.但可引导学生得出下面两个结论.结论１:该题的已知不变ꎬ结论具有轮换对称性.即结论还可补充两个等式:ＰＡң＝λＰＢң＋(１－λ)ＰＣңꎻＰＢң＝λＰＣң＋(１－λ)ＰＡң.结论２:向量ＰＣң㊁ＰＡң㊁ＰＢң的终点Ａ㊁Ｂ㊁Ｃ共线的充要条件是存在实数λꎬ使得ＰＣң＝λＰＡң＋(１－λ)ＰＢң或ＰＡң＝λＰＢң＋(１－λ)ＰＣң或ＰＢң＝λＰＣң＋(１－λ)ＰＡң.结论的证明ꎬ这里不再赘述.回过头来看例３的另解:由题意知ꎬＤ㊁Ａ㊁Ｂ共线且ＣＤң＝１３ＣＡң＋λＣＢңꎬʑλ＝１－１３＝２３.下面给出一组习题ꎬ请同学们一试:１.(２００６年.江西)已知等差数列{ａｎ}的前ｎ项和为Ｓｎꎬ若ＯＢң＝ａ１ＯＣң＋ａ２００ＯＡңꎬ且Ａ㊁Ｂ㊁Ｃ共线(该直线不过点Ｏ)ꎬ则Ｓ２００等于(㊀㊀).Ａ.１００㊀㊀Ｂ.１０１㊀㊀Ｃ.２００㊀㊀Ｄ.２０１２.(２０１５年.全国卷Ⅰ理７.改)设Ｄ是әＡＢＣ所在平面内一点ꎬＢＣң＝３ＣＤңꎬ则(㊀㊀).Ａ.ＡＤң＝－１３ＡＤң＋４３ＡＣң㊀㊀Ｂ.ＡＤң＝１３ＡＤң－４３ＡＣңＣ.ＡＤң＝４３ＡＢң＋１３ＡＣң㊀㊀Ｄ.ＡＤң＝１３ＡＤң－１３ＡＣң３.非零向量ＯＡң㊁ＯＢң不共线ꎬ且２ＯＰң＝ｘＯＡң＋ｙＯＢңꎬ若ＰＡң＝λＡＢң(λɪＲ)ꎬ则点Ｑ(ｘꎬｙ)的轨迹方程是(㊀㊀).Ａ.ｘ＋ｙ－２＝０㊀㊀㊀Ｂ.２ｘ＋ｙ－１＝０Ｃ.ｘ＋２ｙ－２＝０Ｄ.２ｘ＋ｙ－２＝０４.(２０１２.杭州质检)在әＡＢＣ中ＡＮң＝１３ＡＣңꎬＰ是ＢＮ上的一点ꎬ若ＡＰң＝ｍＡＢң＋２１１ＡＣңꎬ则实数ｍ的值为(㊀).Ａ.９１１㊀㊀Ｂ.５１１㊀㊀Ｃ.４１１㊀㊀Ｄ.３１１(以上各题的答案为:１.Ａꎻ２.Ａꎻ３.Ａꎻ４.Ｂ)㊀㊀三㊁例说课本中习题的教学课本是我们学习的根本ꎬ对课本中的习题ꎬ我们不能只要求学生会解ꎬ更要培养学生的探索意识㊁创新能力ꎬ要能挖掘习题所蕴含的一些重要结论㊁方法㊁技巧ꎬ并能将这些结论㊁方法㊁技巧用于解题中ꎬ让学生从中领略数学的魅力ꎬ体会数学学习的乐趣.下面仅举一例说明之.高中数学必修４(北师大版)习题１－６Ｂ组１.在同一直角坐标系内画正弦函数ｙ＝ｓｉｎｘ和余弦函数ｙ＝ｃｏｓｘ在区间[０ꎬ２π]上的图象ꎬ并回答下列问题:(１)写出满足ｓｉｎｘ＝ｃｏｓｘ的ｘ的值ꎻ(２)写出满足ｓｉｎｘ>ｃｏｓｘ的ｘ的取值范围ꎻ(３)写出满足ｓｉｎｘ<ｃｏｓｘ的ｘ的取值范围ꎻ(４)当ｘɪＲ时ꎬ分别写出满足ｓｉｎｘ＝ｃｏｓｘ㊁ｓｉｎｘ>ｃｏｓｘ㊁ｓｉｎｘ<ｃｏｓｘ的ｘ的集合.(本题的解答略)若能对该题的结论结合图象理解到位ꎬ熟记于心ꎬ那么相关的一些三角不等式题就迎刃而解.例４㊀(１９９８年全国卷.６)已知点Ｐ(ｓｉｎｘ－ｃｏｓｘꎬｔａｎｘ在第一象限ꎬ则在[０ꎬ２π]内ꎬｘ的取值范围是(㊀㊀).Ａ.(π２ꎬ３４π)ɣ(πꎬ５４π)㊀Ｂ.(π４ꎬπ２)ɣ(πꎬ５４π)Ｃ.(π２ꎬ３４π)ɣ(πꎬ５４π)㊀Ｄ.(π４ꎬπ２)ɣ(３４πꎬπ)解析㊀由题意知ꎬｓｉｎｘ－ｃｏｓｘ>０①ꎬｔａｎｘ>０②ꎬｘɪ[０ꎬ２π]③.由①③得ｘɪ(π４ꎬ５４π)ꎬ由②③知ｘɪ(０ꎬπ２)ɣ(πꎬ３２π).ʑｘɪ(π４ꎬπ２)ɣ(πꎬ５４π).故选Ｂ.若能结合图象及特殊角的三角函数值得出当０<α<π２时ꎬｓｉｎα＋ｃｏｓα>１ꎻ当０<α<３４π或７４π<α<２π时ꎬｓｉｎα＋ｃｏｓα>０ꎻ当３４π<α<７４π时ꎬｓｉｎα＋ｃｏｓα<０ꎻ当α＝３４π或α＝７４π时ꎬｓｉｎα＋ｃｏｓα＝０等结论ꎬ利用这些结论及单调性等可简化三角计算题繁杂的计算过程ꎬ仅通过分析㊁推理就能得出结论.例５㊀(２００７年.浙江.理１２题改)若θ是әＡＢＣ的内角ꎬｓｉｎθ＋ｃｏｓθ＝１５ꎬ则ｔａｎθ＝(㊀㊀).Ａ.４３㊀㊀Ｂ.３４㊀㊀Ｃ.－４３㊀㊀Ｄ.－３４当然该题有多种计算方法予以解答ꎬ本文解法如下:由已知得ꎬ０<θ<πꎬ０<ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ<１ꎬʑπ２<θ<３４πꎬ６３ʑｔａｎθ<－１ꎬ故选Ｃ.例６㊀(２００６年ꎬ福建)已知αɪ(π２ꎬπ)ꎬｓｉｎα＝３５ꎬ则ｔａｎ(α＋π４)等于(㊀㊀).Ａ.１７㊀㊀Ｂ.７㊀㊀Ｃ.－１７㊀㊀Ｄ.－７本文解法为:由αɪ(π２ꎬπ)ꎬ１２<ｓｉｎα<２２ꎬʑ３４π<α<５６πꎬʑπ<α＋π４<１３１２π<５４πꎬʑ０<ｔａｎ(α＋π４)<１ꎬ故选Ａ.例７㊀(１９９１年ꎬ全国卷(１))已知ｓｉｎα＝４５ꎬ并且α是第二象限的角ꎬ那么ｔａｎα的值等于(㊀㊀).Ａ.－４３㊀㊀Ｂ.－３４㊀㊀Ｃ.３４㊀㊀Ｄ.４３解析㊀该题用计算的方法也很简单ꎬ但由题意知ꎬ２ｋπ＋π２<α<２ｋπ＋４３πꎬｋɪＺꎬʑｔａｎα<－１ꎬ故选Ａ.在课堂教学改革的今天ꎬ应该怎样进行课堂教学是我们教育工作者的首要任务.然而培养学生的创新精神不是一蹴而就的ꎬ它是一个长期的过程ꎬ在教学中必须循序渐进ꎬ长期坚持ꎬ并不断总结经验教训ꎬ多与同行讨论取长补短ꎬ多为我国培养创新人才.以上是自己在教学中的点滴体会ꎬ不妥之处望批评指正.㊀㊀参考文献:[１]人民教育出版社ꎬ课程教材研究所ꎬ数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书 数学[Ｍ].北京:人民教育出版社ꎬ２０１０.[责任编辑:杨惠民]高中生数学学习焦虑的积极干预策略研究江潞潞(江苏省平潮高级中学㊀２２６３６１)摘㊀要:高中生学习数学时遇到的心理障碍有很多ꎬ其中突出的表现形式便是学习焦虑ꎬ固然应当承认适度焦虑对于数学学习动机与潜能的激发功能ꎬ而若是焦虑情绪始终得不到缓解ꎬ则会对数学成绩产生非常不利的负面影响.现从调整学生认知㊁形成良好课堂氛围以及教学方法调整等角度ꎬ提出高中生数学学习焦虑的积极干预策略.关键词:高中数学ꎻ学习焦虑ꎻ干预策略中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１９)０６－００３７－０２收稿日期:２０１８－１１－１５作者简介:江潞潞(１９９０.８－)ꎬ女ꎬ江苏省南通人ꎬ本科ꎬ中学二级教师ꎬ从事高中数学教学与研究.㊀㊀焦虑是一种常见的情绪障碍ꎬ对于高中生而言ꎬ其生理与心理的变化幅度很大ꎬ身心往往处在不平衡的发展状态ꎬ其认知与行为易于受到内部与外部多重因素的影响ꎬ焦虑情绪的出现非常普遍.与此同时ꎬ数学学科学习时间紧㊁任务重ꎬ对于高中生具有很大的挑战ꎬ在数学课堂与数学考试过程中ꎬ有些学生便会出现紧张与焦虑的情绪障碍ꎬ影响到本学科乃至其他课程的正常学习ꎬ因此探讨数学学习焦虑的问题极有必要.㊀㊀一㊁以调整认知激发潜能教师首先应当致力于学生错误认知的改变ꎬ构建起合理性更强的认知评价.比如学生往往存在绝对化的情绪ꎬ他们强硬要求自己一定要达到何种水平ꎬ若是无法做到ꎬ便会自然产生焦虑情绪ꎬ再比如有些学生存在过度概括的思维习惯ꎬ在偶尔出现一次失败以后ꎬ便全盘自我否定等.对于这些思维习惯ꎬ教师应当在了解学生的前提下ꎬ使其认知功能得到充分调动ꎬ使其以冷静的态度认真７３。

第1篇一、背景介绍《荷塘月色》是小学语文教材中的一篇经典散文，描绘了荷塘月色的美丽景色，表达了作者对美好生活的向往。

在教学实践中，教师往往会遇到一些疑难问题，如如何激发学生的学习兴趣、如何引导学生深入理解文本、如何培养学生的审美能力等。

本文将以《荷塘月色》为例，探讨教学实践中疑难问题的破解策略。

二、教学目标1. 知识与技能目标：学生能够正确朗读课文，理解课文内容，掌握重点字词，背诵课文。

2. 过程与方法目标：通过阅读、讨论、赏析等方法，培养学生的阅读理解能力、审美能力和表达能力。

3. 情感态度与价值观目标：激发学生对美好生活的向往，培养学生热爱大自然、热爱生活的情感。

三、教学重难点1. 教学重点：引导学生理解课文内容，品味文章语言，感受作者的情感。

2. 教学难点：培养学生的审美能力和表达能力，引导学生深入理解文本。

四、教学策略1. 创设情境，激发兴趣（1）课前导入：播放荷塘月色的图片或视频，让学生初步感受荷塘月色的美丽，激发学生的学习兴趣。

（2）课堂导入：以问题导入，如：“同学们，你们知道荷塘月色吗？它美在哪里？今天，我们就一起来欣赏这篇美文。

”通过问题激发学生的好奇心，促使他们主动参与到课堂学习中。

2. 品味语言，理解内容（1）朗读课文：让学生反复朗读课文，体会作者的语言魅力，感受文章的意境。

（2）讨论分析：引导学生讨论分析课文中的重点句子、词语，理解作者的情感。

（3）教师讲解：针对学生提出的问题，教师进行讲解，帮助学生深入理解课文内容。

3. 培养审美，提升素养（1）赏析画面：引导学生观察荷塘月色的画面，分析画面中的色彩、形态、动态等，感受作者的审美情趣。

（2）拓展延伸：结合生活实际，引导学生从荷塘月色中找到与生活相关的元素，提升学生的审美素养。

4. 互动交流，提升能力（1）小组讨论：将学生分成小组，讨论课文中的问题，培养学生的合作意识。

（2）角色扮演：让学生扮演课文中的角色，体验角色的情感，提高学生的表达能力。

题目 (人教A 版《数学》选择性必修一课本P38第2题)PA ，PB ，PC 是从点P 出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60 ，那么直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值为（ ）A.12B. 22 C. 33 D. 36几何问题通性通法通性通法是具有普遍意义的方法和相关知识，因为问题中PA ，PB ，PC 的长度没有给出，需要用一般的量来表示解决问题，体现对数学本质的思考．解法1 在PC 上任取一点D 并作DO APB ⊥平面,则 DPO 即为直线PC 与平面PAB 所成的角．过点O 作OE PA ,OF PB ,垂足分别为E F ,．因为DO APB 平面，所以DE PA ,DF PB ,所以△△DEP DFP Ｑ．所以EP FP =,所以△△OEP OFP Ｑ．因为 APB =60 ,所以 OPE OPF ==30 ．设OE b =，所以OP b PF b PD b =2,=3,=23,所以cos === DPO OP PD 一道课本习题的多种解法及反思王希红ABC DE FPO由n nPA PB,,则n a b c a⋅=++⋅PA x y z()=+⋅+⋅x y za b a c a2=+a x aby212+=012acz, n a b c b⋅=++⋅PB x y z()⋅++⋅x y za b b c b2=+12abx b y bcz2+=012．取x b y a=,=,则z=−3abc，所以n a b c=+−b a3abc,n a b c c⋅+−⋅PC b a3abc⋅+⋅−b aa cbc c3abc2=+−=−1122abc abc abc abc32,||n===6ab, cos<,>nPC=||||nn⋅PCPC==设直线PC与平面PAB所成角为θ，则sin=|cos<,>|=θPCn36．因为θ∈0,π2，所以cos1sinθθ=−=233．所以 x z y z −=−=00，，取z =1，则x y ==1,所以平面PAB 的一个法向量n =(1,1,1)．则cos ,<>===n PC |||| PCPC ⋅n n 23¨263．设直线PC 与平面PAB 所成角为θ，则sin |cos ,|θ=<>=nPC 36．因为θ∈0,π2，所以cos 1-sin θθ==233．直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值为33． （王希红，山东省聊城第一中学）第34页参考答案：1.P 到直线C D 11的距离即为PC 1，在面BCC B 11中，动点P 到定点C 1的距离与到定直线BC 的距离之比为2，因此点P 轨迹所在曲线是离心率为2的双曲线，选C.2.设侧面PAB 与底面ABC 所成的二面角大小为θ，过M 作MO 垂直于底面ABC 于O ，过O 作OD 垂直于AB 于D ，则∠MDO 即为θ，所以MO MD =sin θ，即MDMP=sin θ.因为θθ∈π∈(0,),sin (0,1]，当0sin 1<<θ时M 所在曲线为椭圆；当sin 1θ=时M 所在曲线为抛物线．故选BD.第44页参考答案：证明：（法1）记不等式左边为A ，构造A 的对偶式：B =...+a a a a a a a a 122311a a ++++2122+++a a 322n n n −n ，同例3的方法可证明．（法2）由柯西不等式，设a a 1+1=n ，知不等式左边∑i =n1a a i i +aii 2+1≥=∑i =n1()()∑aa =n1ii a +i 2+112.（本题由于数列平方因子出现，显然直接用柯西不等式最简单．）。

例析初中数学教科书例题中跨学科问题以‘数与代数“为例内蒙古赤峰学院数学与计算机科学学院王洋洋(邮编:024000)内蒙古民族数学教育研究所李书海(邮编:024000)摘要数学与其他学科间的知识完成跨学科实践活动是‘义务教育数学课程标准(2022)“提倡的培养学生核心素养的重要方式之一,也是教育发展的必然趋势,越来越多的国家开始重视对于教科书中跨学科内容的研究.本文以人教版初中数学教科书数与代数部分的例题为例,对跨学科内容例题在教科书中的分布情况进行分析,并针对教科书编写给出相应的建议,以及为中学数学教师分析教材提供参考依据.关键词跨学科;数学;例题‘义务教育数学课程标准(2022)“(以下简称 课标 )提出:立足学生核心素养发展,体现数学课程育人价值,并且设置 综合与实践 主题,旨在整合数学与其他学科间的知识,完成跨学科实践活动,感悟数学与生活,数学与其他学科的关联,发展学生学习能力㊁实践能力和创新意识[1],用数学学科视角回答跨学科问题,跨学科融合教学逐渐成为学者们研究的热点问题.例题是数学学习过程中不可或缺的一部分,凝练着知识核心,具有代表性和典型性,对于学生新知识的理解与巩固㊁新技能的培养与提升都有非常大的作用.例题展示出了数学的解题思路,搭建了新知与旧知的桥梁,对于学生学习和探究以及思维能力的发展都起到积极的促进作用,因此必须要精心设计,满足学生的发展需求. 课标 将初中数学学习的主要内容划分为数与代数㊁图形与几何㊁概率与统计㊁综合与实践[1]四个领域.总的来看,数与代数是其它几个领域学习的基础,其它几个领域的学习离不开数与代数的支撑.初中数与代数的内容广泛,几乎贯穿整个初中数学课程.因此在数与代数领域的例题中融入跨学科内容,既可以提高学生对于知识的运用能力,又可以帮助唤起学生的跨学科意识,感受学科之间的关联,培养学生学会用数学的思维思考跨学科问题,会用数学的语言表达跨学科问题的意识和能力.1概念界定1.1跨学科最早对于 跨学科 一词进行使用的是心理学家伍德沃斯[3].而在基础教育阶段,跨学科的理念出现得较早一些,哈佛大学 零点项目 负责人博伊克斯㊃曼西利亚(B o i x M a n s i l l a)探讨了中小学跨学科学习实践,给出了学校跨学科学习的含义,即学校的跨学科是将两个或两个以上的学科在课程㊁认知和操作层面上联系起来,进而从不同的视角(目标㊁学习对象㊁概念和观念㊁学习方法㊁技术能力等)建立互补或合作联系㊁相互渗透或相互作用的实践[4].我国2022年版 课标 中所倡导的跨学科主题学习,体现了义务教育阶段课程设计综合化和实践化的特点,超越学科与教科书的逻辑体系,通过跨学科概念将各种相互关联的学科勾连起来,基于真实任务情境进行问题解决,促进学生体会学科之间相互依赖的关系,培养他们的高阶思维和核心素养[3].对于数学教科书中的例题的内容来说,就是在题干的设计上使得两个或者多个学科的内容融合,在探索蕴含真实的情境中所蕴含的关系中,发现和提出问题,运用数学和其他学科的知识与方法分析和解决问题[1]. 1.2例题例题是教科书中涵盖新知识并带有详细解答过程的数学问题,是数学样例的主要表现形式基金项目:2021年度内蒙古自治区教育规划课题(2021J G H385)之一.例题一般由数学问题以及解答步骤构成,是对于数学原理以及概念的具体化表达.例题具有展示问题㊁描述解决过程㊁解释数学概念与规则㊁提高解决问题能力等多项复合功能[5].本文中的 数与代数部分的例题 ,指的是 数与代数领域 中的例题.2问题的提出课标 提出,培养学生综合能力,提升学生核心素养.随着时代的发展,传统的教育模式下学科之间界限明显,知识之间关联不强,知识点相对零散,已经难满足当下教育发展新形势的要求,因此加深不同学科之间的联系是教育发展大势所趋,是符合新时代的育人要求的.教科书是数学知识的重要载体,是学生进行学习的重要工具,学生大部分的知识都来源于教科书,教师所教授的内容也以教科书为依据,因此教科书内容的合理编制对于学生来说至关重要.同时,数学的学习离不开例题的练习,例题内容的设置直接会影响到学生的学习效果甚至是思维的发展,因此在例题部分精心设计㊁加强学科之间的关联同样非常有必要.跨学科教学在初中阶段的实施国内还处于探索阶段,并没有细化以及进一步落实.相关的研究现状为:一是中国和澳大利亚㊁日本㊁新加坡等国外初中数学教科书跨学科内容㊁设置理念及其比较研究[6-8];二是中国初中数学教材 跨学科 综合实践活动的比较研究[9];三是中国初中新手教师对数学教科书例题的认识及使用情况调查㊁教学与学习策略研究[10-14].上述研究发现,关于初中教材(2012年审定)数与代数部分的例题中跨学科问题还没有系统分析和研究,这是有待深入研究的问题.本文对于人教版初中教材(2012年审定)数与代数部分的例题中跨学科问题进行分析,并对教科书的编写以及教师对于教科书的使用提出相应的建议.3数与代数部分跨学科问题例题的分析3.1跨学科内容例题在教科书中的分布情况课标 中将初中(7~9)阶段划分为第四学段,该学段数与代数领域主要分为数与式㊁方程与不等式以及函数[2]三个主题.在这一部分中,共有例题155道,分布如下(表1)表1例题所属章节分布情况章节例题数量涉及跨学科内容例题数量所占比例有理数22418.18%整式的加减13538.46%一元一次方程11436.36%实数9222.22%二元一次方程组6233.33%不等式与不等式组7342.86%整式的乘法与因式分解1900.00%分式18422.22%二次根式1400.00%一次函数9444.44%一元二次方程500.00%二次函数5120.00%反比例函数8450.00%锐角三角函数9333.33%共计1553623.23%图1例题内容学科来源分布情况可以发现,在155道例题中,涉及跨学科内容的例题共36道,占例题总数的23.23%,其中不等式与不等式组㊁一次函数以及反比例函数章节的例题中,涉及跨学科内容的例题占比较大,分别达到了42.86%㊁44.44%㊁50.00%,有理数和二次函数则相对较少,只有18.18%㊁20%.而整式的乘法与因式分解㊁二次根式和一元二次方程则为0%.例题共涉及九个学科门类,各个学科的占比如图1所示.我们可以发现其中经济学以及交通运输所占比重较大,分别达到了27.78%以及19.44%.环境工程学以及航空航天技术占比较少,仅为2.78%.整体来看,跨学科融合相关例题在所有例题当中占比并不是很大,涉及的学科门类并不广泛.通过对于初中数学教科书例题分析发现(如表2),数与式主题中例题最多,函数次之,方程与不等式最少.但是涉及跨学科内容的例题所占比例函数主题最多,为38.71%,方程与不等式次之,占比为27.27%,数与式最少,只有17.65%.可以看出涉及跨学科内容的例题分布并不均衡,且不够深入.表2例题所属主题分布情况主题例题数量涉及跨学科内容的例题数量所占比例数与式1021817.65%方程与不等式22627.27%函数311238.71% 3.2跨学科内容例题在教科书中呈现的案例案例1(七年级下册第九章不等式与不等式组第二节一元一次不等式例2)去年某市空气质量良好(二级以上)的天数与全年天数(365)之比达到60%,如果明年(365天)这样的比值要超过70%㊁那么明年空气质量良好的天数比去年至少要增加多少?该例题出自于七年级下册第九章第二节中,在这之前,学生学习了不等式的相关概念,为加强对知识的进一步理解和运用,本例题结合实际生活情境,将空气质量问题与数学结合,从跨学科实例中抽象出数学模型,引导学生在实际情境中运用不等式知识解决相关的问题.在本题中,主要将数学学科与化学(空气成分)和环境工程学相结合,一方面让学生初步认识用建立 数学模型化 的方法分析和解决具体问题,从而进一步提高学生学习数学兴趣,并通过例题体验和理解将具体问题转化为数学问题的过程和方法.另一方面可以引起学生们对于当前空气质量好与坏及其产生原因的思考,产生相关问题的好奇心,同时感受良好的空气对于人们日常生活的重要性,进而唤起学生的环保意识.案例2(九年级下册第二十六章第二节真实问题与反比例函数例3)小伟欲用撬棍撬动一块大石头,已知阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m.(1)动力F与动力臂I有怎样的函数关系当动力臂为1.5m时,撬动石头至少需要多大的力(2>若想使动力F不超过题(1)中所用力的一半,则动力臂I至少要加长多少?这是一道结合情景解决反比例函数的问题,学生在本章第一节已经对于反比例函数有了初步了解,并且在八年级下册的物理课上,学生对于杠杆原理㊁阻力㊁阻力臂,动力㊁动力臂有了一定的了解,在此基础之上,学生就可以根据已有知识经验,找出数量关系,建立数学模型,进而解决实际问题.这道题将数学以及物理的学科知识进行融合,结合学生已有的数学以及物理知识解决了实际问题,一方面加深了学生对于数学知识的巩固和运用,另一方面还可以帮助学生构建完整的知识体系,体会学科间的密不可分性. 3.3跨学科内容例题在教科书中分布的广度以及深度在这些跨学科例题当中,共涉及9个学科门类,且大多是将数学与另外一个单一学科融合在一起,涉及两个学科门类级以上的学科共3道,在这部分例题中,学科间的交叉融合并不深入,仅仅将其作为解决数学问题的情境支撑,整体来看,在初中数与代数部分,跨学科融合的广度以及深度都有待提高.4教科书例题编写的建议4.1在例题设置的内容方面人教版初中数学教科书关于数与代数部分涉及跨学科内容的例题在总例题中的占比并不多,而且可能受课本篇幅的限制,例题的内容都很简单,与其他学科虽然有一定的联系,但是并不深入,在学生学习的过程中,也很难同时注意到数学学科与其他学科知识的联系,也就很难达到发展学生思维的目的.以核心素养为导向,教科书中的例题编写不仅要设置跨学科的内容,也要注重背景的介绍以及适当的拓展,结合学生的认知规律和现有水平,设置相应的探究活动,引导学生创造性地理解学科间的关系,感受不同学科的美妙之处.4.2在例题设置的位置方面初中阶段的数与代数部分,是学生理解数学符号,以及感悟数学符号表达事物的性质㊁关系和规律的关键内容,是学生初步形成抽象能力㊁推理能力㊁感悟用数学的语言表达现实世界的重要载体[1].在数与式部分,要设置丰富的问题情境以及一些跨学科相关的探究活动,引导学生主动构建不同学科间的联系,这样既可以引发学生学习兴趣,让学生们主动思考和学习,也可以让学生感受到学科间的关联.在学生初步形成量感之后,对于数与式有了更深的认识,则可继续结合具体实例深入学习.对于函数以及方程专题来说,则应当编制不同类型的跨学科例题来理解数量关系以及变化规律,了解常量和变量变化的意义,加深与其他学科的联系,抽象出存在于其中的数学模型,探索不同的未知量之间的关系.增强学生知识的运用以及迁移能力.4.3在例题设置的广度以及深度方面学生的学习具有整体性和一贯性,因此例题的内容设置也要呈现一定的系统性.人教版教科书跨学科问题例题中,涉及了九个一级学科门类,相对来说种类较少,且多为数学与一门其他学科的融合,是窄而浅的,只是简单设置情境,没有引发学生对于其他学科内容的深度思考,学生还是将注意力完全放在解决数学问题上,掌握公式㊁定理,机械化的解决数学问题,这样是没有办法进一步发展学生的创新创造能力的.因此数与代数部分例题的编写要加大数学与其他学科的联系,而不仅仅是将跨学科内容作为数学学习的一个背景,并且考虑将多个学科同时融入例题当中,提高数与代数跨学科问题例题的广度,当然,也不是涉及的学科门类越多越好,也要考虑到是否合适,使学生以超学科的态度进行学习和探究,才能更好的提升学生的核心素养.4.4在例题设置的类型方面除了重视数学与其他学科的交叉融合之外,现代教育对于数学文化融入数学教学也日益重视,通过对于数学学科与一些人文学科的融合,比如数学文化以及数学史,使得学生可以在这当中感悟数学家们锲而不舍的探究精神,产生对于数学家们的崇拜之情,并在这个过程中感受到数学的高峰并不是不可攀登,进而培养学生们的探索精神以及学好数学的信心.因此,在例题的编写部分,也要充分重视数学文化内容的渗透对于学生数学学习的重要作用,将数学文化的内容融入到例题的编写中去,使例题更加鲜活,更加生动,引导学生感受到数学的文化美.4.5教师对于教材的使用教师是教学的实践者,应该不断的更新自己的教育理念,意识到学科融合是教育发展的大势所趋,并将其渗透到教学的全过程当中去.因此,教师应当深入研读教科书,有意识引导学生深入挖掘例题中的跨学科知识,拓宽学生的知识面,培养学生的跨学科意识.对于例题中跨学科内容有些欠缺的部分,教师需要针对所讲授的内容适当进行拓展,引导学生在更加丰富的情境中解决数学问题.在这个过程中,培养学生跨学科的应用意识和实践能力,提高学生核心素养.参考文献[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(2022年版)[S].北京:北京师范大学出版社,2022 [2]伍红林,田莉莉.跨学科主题学习:溯源㊁内涵与实施建议[J].全球教育展望,2023,52(3):35-47.[3]孙兴华,刘晓莉,郭昕雨.跨学科主题学习实施路径的探寻 以数学学科为例[J].教育科学研究,2023(4):73-78.[4] M a n s i l l a,V.B.L e a r n i n g t oS y n t h e s i z e:T h e d e v e l-o p m e n t o f i n t e r d i s c i p l i n a r y u n d e r s t a n d i n g[J].T h eO x f o r d H a n d b o o k o f I n t e r d i s c i p l i n a r i t y,2010: 288-306.[5]王凯.小学数学教科书例题内容分析及改进策略研究[D].扬州大学,2022.[6]张维忠,赵千惠.澳大利亚初中数学教科书中的跨学科内容[J].浙江师范大学学报(自然科学版), 2022,45(2):233-240.[7]孙虎.日本初中数学教材中跨学科内容设置理念之个案评介[J].中学数学杂志,2022(8):37-41. [8]肖妍.中新两国初中数学教科书跨学科内容的比较研究[D].西南大学,2022.[9]周雪倩.初中数学教材 跨学科 综合实践活动的比较研究[D].华东师范大学,2022. [10]阿依图尔荪㊃麦麦提.初中新手教师对数学教科书例题的认识及使用情况调查研究[D].新疆师范大学,2021.[11]郭月瑶.初中数学教科书例题的教学研究[D].延边大学,2017.[12]王甜甜,张平菲,徐承杰.初中数学学习策略的研究和探索[J].中学数学,2023(10):64-65. [13]吴美云.初中数与代数的关键点教学设计与策略研究[J].福建教育学院学报,2019,20(9):33-34.(收稿日期:2023-10-10)。

一道课本习题的解法研究1. 引言1.1 研究背景在学习课本习题时，学生常常遇到一些难以理解或解答的问题，需要通过深入研究和探讨来找到答案。

这种情况不仅仅是在数学课本中出现，也包括其他学科的习题。

我们有必要对课本习题的解法进行系统的研究和分析，以帮助学生更好地掌握知识，提高解题能力。

随着教育教学的不断深入和发展，教育部门对学生的认知能力和综合素质要求也越来越高。

传统的课本习题已经无法很好地满足这些需求，因此有必要对习题的解法进行更新和优化，以适应时代的发展并更好地促进学生的综合发展。

基于以上背景，本文将针对一道课本习题展开深入分析和研究，旨在探讨解题思路、具体步骤和实例演练，以期为学生提供更好的学习指导和借鉴，提高他们的解题能力和综合素质。

1.2 研究目的研究的目的是为了深入探究一道特定的课本习题的解法，并通过分析这道习题的解题思路和具体步骤，帮助读者更好地理解和掌握相关知识点。

通过实例演练和案例分析，我们将展示如何运用所学知识解决问题，并帮助读者提高解题能力和思维逻辑。

通过总结解题技巧，我们希望读者能够掌握解题的方法和套路，提高解题效率和准确率。

在学习的过程中，我们也将总结出一些学习收获，帮助读者加深对知识点的理解和应用。

展望未来，我们希望通过这篇文章的研究和总结，能够帮助更多的读者在学习中取得更好的成绩，提高学习的效率和质量。

是为了帮助读者更好地理解和掌握相关知识，提高解题能力和学习效果。

2. 正文2.1 习题分析习题分析是解题过程中非常关键的一步，通过对题目的深入分析，可以帮助我们更好地理解题意和问题本质，从而有针对性地制定解题思路和具体步骤。

在进行习题分析时，首先要仔细阅读题目，理解题目要求，并确定题目的类型和难度。

要分析题目涉及的知识点和解题方法，找出相关的定理或公式，了解题目所涉及的概念和关键点。

然后，要考虑题目可能的解题思路和可能的解法，思考如何运用所学知识解决问题。

要分析题目中可能存在的陷阱或易错点，避免在解题过程中犯错误。

2020年第25期总第482期数理化解题研究对一道课本例题的解法探讨彭光焰(湖北省广水市第一高级中学432700)摘 要：在教学中利用好典型例题，引导学生对课本的例题、习题进行多解、变式、迁移、整合、拓展，可以提高学生分析问题和解决问题的能力.关键词：函数；最值；思路分析；解法中图分类号：G632 文献标识码:A 文章编号：1008 -0333(2020)25 -0055 -03课本是几代人集体智慧的结晶,它具备相当完备的 知识体系和能力架构系统,其中的例题和习题是学生解 题能力的核心生长点,有些典型例习题由于其自身所蕴 含的数学概念、数学思想、数学方法非常突出•因此，在教学中利用好典型例习题，不仅可以在教学中强化基本概念、定义的教学，还要引导学生重视并运用定义解题，引 导学生对课本的例题、习题进行多解、变式、迁移、整合、 拓展.因此，在教学中要切实把握好概念教学，这样既能 提升学生运用数学概念分析问题和解决问题的能力,又能提升学生数学素养.一、 题目求函数y =5 X -1 +10-2X 的最大值.此题目是《普通高中课程标准实验教科书数学选修4-5人教A 版不等式选讲》第35页例2.二、 解法探讨1.利用柯西不等式求函数的最值思路分析1 因为著名的柯西不等式i -2・i = 1i b 2 M(i -i b i )2的左边为平方和的积的形式，右边为积i = 1i = 1的和的平方形式，因此考虑运用柯西不等式进行求解.解法1函数的定义域为［1,5］，且y >0,y =5 x -1 + 寸 5 — xW 52 + ( 2)2 x ( x -1)2 + ( 5 -x )2=27 x4 =6 3,当且仅当2 x x -1 =5x5-x 时，等号成立，即x=岁时函数取最大值63.此解法是人教A 版选修4 - 5提供的•2. 利用判别式求函数的最值思路分析2把函数转化为关于x 的一元二次方程/(x ) =0.由于方程有实根，故判别式A M0,求得原函数的 值域.角军法2 v y = 5丿x — 1 +丿10 - 2x ,••• y >0,y 2 =25(x -1) +10-2x + 10 (x -1)(10-2x ),y 2 -23x + 15 =10 (x -1)(10-2x ),y 2 — 23x + 15 M0.由(y 2 -23x + 15)2 = 100( x - 1)(10 -2x )得729x 2 - (46y 2 + 1890) x + (y 4 +30y 2 + 1225) =0.上述关于x 的方程有实数根，故 A = (46y 2 + 1890)2 - 4 x 729 x (y 4 +30y 2 + 1225)M0,即 y 4 - 108y 2W0,0< y 2W108.' y >0,由 v y 2 - 23x + 15 M0,、0 < y 2W108,得 2 2 W y W6 3.故y 有最大值为63.3. 利用导数求函数的最值思路分析3设y =代x )的导数为f f ( x ),可求得极值点.若函数定义域为［-,b ］,则最值必定在极值点或区收稿日期：2020 -06 -05作者简介：彭光焰(1966. 8 -)，男，湖北省广水人，湖北省特级教师，正高级教师，从事数学教学研究.— 55—数理化解题研究2020年第25期总第482期间端点处取得•解法3由y—/(x)—5丿x-1+丿10-2x,x e[1, 5],求得y'_5-1•2^^1710-2x令y'—0得x_127.又/(1)_22,/(5)-10,/(穿)—63,V x e[1,5]中/(x)—5x-1+10-2x只有一个极值点,.y有最大值为63,有y最小值22•4.利用三角换元求函数的最值思路分析4利用三角恒等式sin2a+cos2a—1将所给函数转化为值域容易确定的另一函数,进而求得函数最值.解法4化得y—5x-1+10-2x—5x-1+ VW5-x,x e[1,5].22V(J x-1)+(丿5-x)—4,可令丿x-1—2cos O,丿5-x—2sin O,O e[0,；],y—10cos O+22sin O—6^3(59^cos O+-96-sin O).令sin9—欝,贝U cos9—尊，其中9e(0,号),贝V y—63sin(O+9).又9W O+92+9,故当Wsin(O+9)W1,故22W y W63.当O+9—:时,y有最大值为63,当O—:时,y有最小值为22•解法5V y—5x-1+10-2x,x e[1,5],.0W x-1W4.令x-1—4cos2O,O e[0,；],x—1+4cos2O,O e[0,22],y—10cos O+22sin O.以下同解法4•解法6V y—5x-1+10-2x>0,—56—+丿10-2x_1.y y令乂匚！—cos2O,丿10-2x—sin2O,其中O工k n，y y2k e Z.mri1y2cos2O v y2sin4O则x-1—丿25,5-x—丿24_y2cos4O y2sin4O_25+2，2002歹2cos4O+25sin4O令c os2O—t，其中0W t W1.200则y2_7212+25(1-t)220027£2-501+25200当t—0时,y2有最小值8,即y有最小值22,当t_27时,y2有最大值108,即y有最大值63.5.构造向量求函数的最值思路分析5由向量不等式a b M a・b,可考虑用构造向量的方法进行求解.解法7由y—5x-1+10-2x—5x-1+ 5—x,设a_(5,J2),b_(丿x-1,j5-x),贝卩a—27,b—2.由a2b2M(a・b)2得\J x—1+5—x W63.当且仅当x-1_5-x时，等号成立,即x-^时5迈27函数取最大值63.6.利用方差求函数的最大值思路分析6方差公式在数学解题中有着极其广阔的应用价值,充分利用方差s2非负性求函数最大值.解法8V y—5x-1+10-2x,x e[1,5],令a-x5-1，b-1(2-2x，则y-25a+2b.易知25个a与2个b的平均数n_爲.方差为s2_2；G-a)+27G-b)22020年第25期总第482期数理化解题研究272+25口2匚v y=25-+2b,2 25-2+2b2.«=----------------272M0设拉格朗日函数为F(u,v)=/(u,v)+hg(u,v),；2入八1+-2(d-b)U=0,1+2入V=0.c2(d-b)由{儿=匚+V u=0'得VI匚=几+心=0,y2v25a2+2b2 F'27=^(25x X-1+2x272510-2x)丄4=27,22再与g(U,V)=就匕)+?(匕)-1=0联立求.y2W27x4,当a=b=爲,即x二爲时,y有最大值为63.利用方差求最大值，实际上是这个问题解后反思的结果,是已经知道当x=穿时，问题最大值为63之后凑127出来的结论，当x=；7/时,2x5x-1=2710-2x.7.构造直线截距式求函数的最值思路分析7求形如y=/(x)+g(x)函数最值,可以把/(X),g(x)当作是变量，即令V=/(X),U=g(X),0(仏,©)=0—般表示一条曲线，则y可以当作是y=v+u的直线在纵轴上的截距,因此截距的最小值也即是函数的最值.角军法9v y=5丿x-1+^/10-2x ,x e[1,5],令u= 5丿x—1M0,v二丿10-2x M0,'y=u+v,(v=-u+y,则u2V2[.u2V2[(1008一，(1008-•问题转化为直线与曲线(椭圆的一部分)有公共点时,v轴上截距y的最值.当直线过点(0,22),即v= 10-2x=22,即x=1时,y有最小值为22；当直线与曲线相切时，即U=50)3,即X=127时,y有最大值为63.8.利用拉格朗日乘数法求函数最值思路分析8用“拉格朗日乘数法”求函数/(u,v)在条件0(u,v)=0条件下的最值，方法(步骤)是：1.设拉格朗日函数/=/(U,V)+入0(U,V)，入称拉格朗日乘数;2.将Z分别对u、v求偏导，得方程组，求出驻点P(u,v).如果这个实际问题的最大或最小值存在,一般说来驻点唯一，于是最值可求.求形女口y=a丿°-b+c Jd-x(a,c>0,b,d H0,b<d)的最值.令u=a J x-b,v=c Jd-x则问题转化为求2函数y=/(U,V)=U+V在条件g(U,V)=2/:]、+a(d-b) 22/V八-1=0(U M0,v M0)下的最大值和最小值.c(d-b)解得：a2丿d-b代入u=a』x-b中得x=-f+；b，此时，y=u+v=a2+c2—2+c*\/d—b.函数在定义区间两端点b,d的函数值分别为c d—b,—d—b.所以通过比较函数值可知y max=a2+c2・d-b,此时x=-f+：b；y min=min)a Jd-b,c Jd-b}'此a+c时x=b或d.解法10由y=5丿x-1+丿10-2x得y=5丿x-1+ 5—x,故-=5,b=1,c二J2,d=5.由上面方法知，当x=5浪5+(2)2xi=^^7时，52+(厲)27 y m ax=52+(2)2・5-1=63•又因为/(1)=22/(5)=10,所以当x=1时,y min=22.上面探讨可知，柯西不等式法,向量法，方差法只能求出函数的最大值，其它7种方法不仅可以求出最大值,而且可以求出最小值.三、教学启示在平时的习题教学中，我们如果善于运用一题多解,既发挥了例题的最大功效，拓宽了学生的学习视野，培养了学生的综合思维能力和创新能力，也提高了学生应试能力.参考文献：[1]人民教育出版社，课程教材研究所.不等式选讲(A版)[M].北京：人民教育出版社,2007(1)：35.[责任编辑：李璟]—57—。

“从特殊到一般的一道课本习题探究实例打开文本图片集
摘要：本文通过对一道课本习题实例的探究，为解决师生如何充分发
挥教材中习题的效用提供了一定的参考依据。

关键词：实例探究;习题效用;特殊到一般;教学质量
在一次课堂上完成了课本上一道习题（人教版A版必修5P69第6题）的求解之后，善于思考的学生提出：这是一个特殊的例子，但如果对于一
般性的问题，我们该如何解决？笔者认为这是一个很好的问题，应当顺势
引导学生深入探究其一般性，于是笔者择时与学生进行了一次课本习题的
探究性学习，现将整个过程大致整理归纳如下。

设问2：对于这类伪斐波那契数列怎么样得出（1）（2）和探究（1）中两个递推公式？需要满足什么条件可以解决这类问题？学生通过小组讨
论后，发现这个疑问正是这个问题的关键之处，解决了这个问题等于把整
个问题解决了。

大家大胆设想，发现这个问题其实是利用待定系数法解决的。

课后反思：
从特殊到一般的一道习题探究非常符合数学这一科目的理论探究，通
过学生的探究学习，不仅培养了学生分析问题、解决问题的能力，还让学
生感受了学习数学的乐趣，这正是新课标所体现出来的教学理念，也是数
学高效课堂的重要组成部分，更是一线教师不懈努力的方向。

教师应经常
从教材内容中适当挖掘出一些有意思的题目跟学生一起探究，一定能有效
提高学生的数学素养和数学水平。