一类四阶微分方程的非线性混合边界条件的奇摄动问题
- 格式：pdf
- 大小：877.98 KB
- 文档页数：8
有唯一的一对正解 x = V0 ,y = W0 ;
H2 ) 函数 f( x,y,y′,y″) 关于其变元在相应的区域内充分光滑,且存在正常数 l0 ,l1 ,l2 ,使得 - l2 ≤ fy ≤
0,0
≤
fy′
≤
l1 , fy″
≥
l0 2
+ l1(2b - a)
+
l2 2
(2b
-
a) 2 ;
H3 )g(x,y,z,p,q,r) 关于其变元在相应的区域内充分光滑,gx ≤ 0,gy ≤ 0,gz ≥ 0,gp ≥ 0,且存在正常 数 δ0 使得
第4 期
刘 燕:一类四阶微分方程的非线性混合边界条件的奇摄动问题
fy( x,Y0 ,Y0′,Y0″) Yj + fy′( x,Y0 ,Y0′,Y0″) Y′j + fy″( x,Y0 ,Y0′,Y0″) Y″j = Fj-1 , j ≥ 1 ,
423
(10)
其中 Fj-1( j ≥ 1) 是由 Y0 ,Y1 ,…,Yj-1 依次确定的函数. 这样就得到外部解的递推方程. 由于外部解的递推 方程是一个二阶方程,一般不满足式(4) 和(5),所以需要在 x = a 处和 x = b 处构造边界层校正项.
(15) (16)
(17)
d4 ωj dη4
=
fy″
b,Y0( b) ,Y0′( b) ,Y0″( b)
+
d2 ω0 dη2
d2 ωj dη2
+
F■j-1 ,
j ≥1 ,
(18)
其中 F■j-1( j ≥ 1) 是 η 的某个多项式与若干个 ωk( k ≤ j - 1) 及其各阶导数的乘积之和. 为了确定关于 Yj( x) ,vj( ξ) ,ωj( η) 的定解条件,首先将式(15) 代入式(2) 和(3) 得
ν0( ξ)
≤
V0 λ2
eλξ
,
ω0( η)
≤
W0 λ2
eλη
,
其中 λ = -
l0 2
+ l1(2b - a)
+
l2 2
(2b
-
a) 2
.
由 ν0( ξ) ,ω0( η)
ε2 y(4) = f( x,y,y′,y″) , a < x < b,
(1)
y(b) = b0,
(2)
y′( b) = b1 ,
(3)
y″(b) = y″(a),
(4)
g(y(a),y(b),y′(a),y′(b),y″(a),y″(b)) = 0,
(5)
其中:a,b,b0 ,b1 均为常数,0 ≤ a < b,ε 是正的小参数. 现作如下假设
¥
ω(η,ε) ~ ∑ωj(η)εj , j=0
lim ω
η→ +¥
j(
η)
= lim η→ +¥
dωj dη
= lim d2 ωj η→+¥ dη2
=
0,
j = 0,1,2,….
则有
d4 ω0 dη4
=
f
b,Y0( b) ,Y0′( b) ,Y0″( b)
+
d2 ω0 dη2
- f( b,Y0( b) ,Y0′( b) ,Y0″( b) ) ,
εy(4) = f( t,y,y′,y″,y‴) , a < t < c,
y(b) = A, y′(b) = B,
收稿日期:2019-03-20 基金项目:安徽省自然科学基金青年项目(1808085QF192) ; 安徽师范大学皖江学院校级青年项目重点项目( WJKY-201518) . 作者简介:刘 燕(1986-) ,女, 硕士, 讲师,主要从事奇异摄动理论研究,E-mail:liuxygs@ 163. com.
ξl→im+¥vj( ξ)
= lim ξ→ +¥
dνj dξ
= lim ξ→ +¥
d2 νj dξ2
=
0,
j = 0,1,2,…,
lim ω
η→ +¥
j(
η)
= lim η→ +¥
dωj dη
= lim η→ +¥
d2 ωj dη2
=
0,
j = 0,1,2,…,
运用交替迭代的方法可依次求出 Yj( x) ,νj( ξ) ,ωj( η) . 由式(13) ,(17) 和假设 H2 ) 知
果的意义.
关键词:奇摄动;四阶微分方程;混合边界条件;合成展开法;微分不等式理论
中图分类号:O175. 14
文献标志码:A
A Class of Singular Perturbed Problems with Nonlinear Mixed Boundary Value Conditions for Forth-order Differential Equation
将式(11) ,(12) 代入式(1) 有
d4 ν0 dξ4
=
f
a,Y0( a) ,Y0′( a) ,Y0″( a)
+
d2 v0 dξ2
- f( a,Y0( a) ,Y0′( a) ,Y0″( a) ) ,
d4 νj dξ4
=
fy″
a,Y0( a) ,Y0′( a) ,Y0″( a)
+
d2 v0 dξ2
(23)
424
北华大学学报( 自然科学版)
第 20 卷
d2 ν0 dξ2
- d2 ω0
ξ=0
dη2
= Y0″( b) - Y0″( a) ,
η=0
(24)
g
Y0( a) ,Y0( b) ,Y0′( a) ,Y0′( b) ,Y0″( a)
+
d2 ν0 dξ2
,Y0″( b)
ξ=0
+
d2 ω0 dη2
由于 Y0(x) 满足定解问题
d2 ν0 dξ2
= V0 ,
ξ=0
d2 ω0 dη2
= W0 .
η=0
f( x,Y0 ,Y0′,Y0″) = 0,
Y0( b) = b0 ,
Y0′( b) = b1 ,
其为问题(1) ~ (5) 的退化问题(6) ~ (8),由假设 H1 ) 可知其解存在为 Y0 = Y0(x). 根据上面求得的递推方程(10) ,(13) ~ (14) ,(17) ~ (18) 和定解条件式(19) ~ (27) 以及
1 引 言
非线性奇摄动问题的研究受到国内外学者的密切关注,多种近似方法不断地得到优化,包括合成展开 法、边界层函数法、伸展变量法等,使得非线性奇摄动在天体力学、弹体力学、 生物学、声学等领域有了广 泛应用[1-4] . 近年来,许多学者在非线性奇摄动相关领域做了大量工作,其中文献[5-9] 研究了分离型边界 条件的非线性微分方程的奇摄动问题,此时奇摄动问题的定解条件只限于分离型的边界条件,还未涉及混 合型的边界条件;2014 年,文献[10] 研究了一个四阶微分方程的非线性混合边界条件的奇摄动问题
第 20 卷 第 4 期 2019 年 7 月
北华大学学报( 自然科学版) JOURNAL OF BEIHUA UNIVERSITY( Natural Science)
Vol. 20 No. 4 Jul. 2019
文章编号:1009-4822(2019)04-0421-08
DOI:10. 11713 / j. issn. 1009-4822. 2019. 04. 001
d2 vj dξ2
+
F■j-1 ,
j ≥1 ,
(13) (14)
其中 F■j-1( j ≥ 1) 是 ξ 的某个多项式与若干个 νk( k ≤ j - 1) 及其各阶导数的乘积之和.
类似地,在
x
=
b
处构造边界层校正项,引进伸展变量
η
=
b
ε
x,令
y = Y(x,ε) + ε2 ω(η,ε) ,
其中
且其具有性质
gr
Y0( a) ,Y0( b) ,Y0′( a) ,Y0′( b) ,Y0″( a)
+
d2 ν0 dξ2
,Y0″( b)
ξ=0
+
d2 ω0 dη2
η=0
d2 ωj dη2
=
η=0
Gj-1 , j ≥ 1,
(27)
其中 Gj-1( j ≥ 1) 是确定的数值. 由假设 H1 ) ,H2 ) 及式(24) ~ (25) 可求出
Y0( b) = b0 ,
(19)
Y0′( b) = b1 ,
(20)
Y1(b) = 0 ,
(21)
Yj( b) = - ωj-1(0) , j ≥ 2 ,
(22)
其次将 代入式(4) 和(5) 得
Y′j( b)
=
dωj-1 dη
,
η=0
j ≥1 .
y = Y(x,ε) + ε2 ν(ξ,ε) + ε2 ω(η,ε)
一类四阶微分方程的非线性混合 边界条件的奇摄动问题
刘 燕
( 安徽师范大学皖江学院,安徽 芜湖 241000)
摘要:研究了一类具非线性混合边界条件的四阶微分方程的奇摄动问题,应用合成展开法构造了问题的形式渐
近解,利用微分不等式理论证明了原问题解的存在性及所得形式渐近解的一致有效性,并给出一个例子说明结
η=0
=0,
(25)
d2 νj dξ2
ξ=0
-
d2 ωj dη2
= Y″j( b) - Y″j( a) ,
