为什么需要这种“并不存在的数”？

虚数i的几何意义是什么？展开全文虚轴上的单位长度。

相当于实轴上的1，其在四则运算里的作用，也相当于1，只是换了说法，结果就是不想学复数的存在开始胡思乱想了，虚的，不存在这个世界里吧等等。

另外，难道说虚数很高大上么？怎么我看到的复数问题，都冠以虚数这个词呢？前代数学多聪明啊，把complex number翻译成复数。

复数，就不是一个数能处理的了。

整天说虚数，基本上不明白复数，高中课本里就有，看看不就得了。

愿意看的深刻点，读读数系的扩充。

这个问题其实和问负数的几何意义一样，是等价的。

当时负数怎么理解的，纯虚数就怎么理解。

算了，为了公益，我再从数系的扩充和代数方程的根这两方面来说一次，就当对另外一个复数问题的补充。

来到原始社会或者小学时代。

今天我采到4个苹果，你采到3个。

挺好，一共是4+3=7个。

这里隐含一个自然数的性质，就是自然数集N对于加法这种运算而言，是封闭的。

具体点说，4是自然数，3是自然数，它们的和7，仍然是自然数，仍然在自然数集里。

抽象点说就是如果a∈N，b∈N，那么a+b∈N。

结果，问题来了，除了有+这个运算，还有一个＋的逆运算-。

采到7个苹果，要分给8个人吃，这怎么办？分不开啊！用式子说，7-8=？用方程说，8+x=7的解不存在。

(注意，这时在原始社会或者小学1年级的)。

好吧，我们总结一下这个问题的实质：减法对自然数集N不封闭，或者说方程8+x=7的解不在自然数集N里。

为了使得上述方程有解，或者说，对“-”这种运算封闭，就引入了负数，并把这种新的数也放入自然数集N里，这样自然数集N就扩充成整数集Z。

继续，随着生产力提高/年龄增大，又有一种新的运算产生了，就是乘法“×”，可以容易的看出，两个数的乘积，仍然在整数集里，当时乘的逆运算除➗，又出现了刚才在说减法时的状况。

具体点说，无论是3÷4或者4÷3，产生的新数，都不在整数集Z里！用方程说4x=3和3x=4在整数集内都无解。

《数学思想方法》复习题三1．为什么说《几何原本》是一个封闭的演绎体系？①因为在《几何原本》中，除了推导时所需要的逻辑规则外，每个定理的证明所采用的论据均是公设、公理或前面已经证明过的定理，并且引入的概念（除原始概念）也基本上是符合逻辑上对概念下定义的要求，原则上不再依赖其它东西。

因此《几何原本》是一个封闭的演绎体系。

②另外，《几何原本》的理论体系回避任何与社会生产现实生活有关的应用问题，因此对于社会生活的各个领域来说，它也是封闭的。

③所以，《几何原本》是一个封闭的演绎体系。

2．为什么说最早使用数学模型方法的是中国人？：①因为在中国汉代的古算书《九章算术》中就已经系统地使用了数学模型。

《九章算术》将246个题目归结为九类，即九种不同的数学模型，分列为九章。

②它在每一章中所设置的问题，都是从大量的实际问题中选择具有典型意义的现实原型，然后再通过“术”(即算法)转化成数学模型。

其中有些章就是专门探讨某种数学模型的应用，③例如“勾股”、“方程”等章。

这在世界数学史上是最早的。

因此，我们说最早使用数学模型方法的是中国人。

3．什么是类比猜想？并举一个例子说明。

①人们运用类比法，根据一类事物所具有的某种属性，得出与其类似的事物也具有这种属性的一种推测性的判断，即猜想，这种思想方法称为类比猜想。

②例如，分式与分数非常相似，只不过是用字母替代数而已。

因此，我们可以猜想，分式与分数在定义、基本性质、约分、通分、四则运算等方面都是对应相似的。

4．简述表层类比，并用举例说明。

：①表层类比是根据两个被比较对象的表面形式或结构上的相似所进行的类比。

这种类比可靠性较差，结论具有很大的或然性。

②例如，从类比出是错误的，而类比出在数列极限存在的条件下是正确的。

③又如，由三角形内角平分线性质，类比得到三角形外角平分线性质，就是一种结构上的类比。

5．数学思想方法教学为什么要遵循循序渐进原则？试举例说明。

：①数学思想方法的形成难于知识的理解和一般技能的掌握，它需要学生深入理解事物之间的本质联系。

专题07 一元一次方程实际应用的六种考法1. 数字问题例．（1）把100拆分成2个数的和，使得第一个数加3，第二个数减3，得到的结果相等．则拆分成的这两个数分别是 和 ；（2）把100拆分成2个数的和，使得第一个数乘2．第二个数除以2，得到的结果相等．则拆分成的这两个数分别是 和 ；（3）把100拆分成4个数的和，使得第一个数加5，第二个数减5，第三个数乘5，第4个数除以5，得到的的结果都相等，问拆分成的这四个数分别是多少．【答案】（1）47，53；（2）20， 80；（3）809，1709，259，6259．【详解】解：（1）设第一个数为x ，则第二个数是（100﹣x ），由题意得：x +3＝100﹣x ﹣3，解得x ＝47．所以100﹣x ＝100﹣47＝53．答：拆分成的这两个数分别是47和53．故答案为：47，53；（2）设第一个数为y ，则第二个数是（100﹣y ），由题意得：2y ＝（100﹣y ）÷2，解得y ＝20．所以100﹣y ＝100﹣20＝80．答：拆分成的这两个数分别是20和80；故答案为：20，80；（3）设相等的数为z ，则其余数分别为z ﹣5，z +5，5z ，5z ，由题意得：z ﹣5+z +55z ++5z ＝100，解得：z 1259=，则z ﹣5809=，z +51709=，2559z =，5z 6259=．故拆分成的这四个数分别是809，1709，259，6259．【变式训练1】将连续的奇数1，3，5，7，9，……排成如图所示的数表．(1)写出数表所表示的规律；（至少写出4个）(2)若将方框上下左右移动，可框住另外的9个数．若9个数之和等于297，求方框里中间数是多少？【答案】(1)见解析(2)方框里中间数是33【解析】(1)解：规律有：①第一列个位数都是1，②每行只有5个奇数，③每行相邻两个数的和是2的倍数，④每列相邻的两个数相差10．(2)解：设方框里中间数为x ，则另外8个数为2x -，2x +，10x -，10x +，12x -，12x +，8x -，8x +，由题意得，221010121288297x x x x x x x x x -+-+-+++-+++-+++=9297x =，33x =，则方框里中间数是33．【变式训练2】如图所示的10×5（行×列）的数阵，是由一些连续奇数组成的．(1)形如图框中的四个数，设第一行的第一个数为x ，用含x 的式子表示另外三个数；(2)若这样框中的四个数的和是200，求出这四个数；(3)是否存在这样的四个数，它们的和为296？为什么？【答案】(1)x +2，x +8，x +10；(2)45，47，53，55(3)不存在，理由见解析【解析】(1)解：设第一行第一个数为x ，则其余3个数依次为x +2，x +8，x +10；(2)解：根据题意得：x +x +2+x +8+x +10＝200，解得：x ＝45．则这四个数依次为45，47，53，55．答：这四个数依次为45，47，53，55；(3)解：不存在．理由如下：由题意得x +x +2+x +8+x +10＝296∴4x +20＝296，解得：x ＝69．∵当x ＝69时，这个数在第六行最后一个数的位置，不符合题意故不存在这样的四个数，它们的和为296．【变式训练3】将连续的偶数0，2，4，6，8，…排成如图所示的数表．(1)十字形框内的五个数之和是中间数的______；若设十字形框内的五个数中最中间一个数是x ，用代数式表示十字形框内五个数之和为______；(2)若将十字形框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述规律吗？直接写出答案，不需要证明；(3)十字形框能否框到五个数，使这五个数之和等于2400呢？若能，请写出这五个数，若不能，请说明理由．【答案】(1)5倍，5x ；(2)有；(3)不存在5个数之和为2400【解析】(1)(4+14+24+12+ 16)÷14=5，x +(x - 10)+(x + 10)+(x -2)+(x +2)= 5x(2)符合规律，设中间数字为x ，则上面数字的为x - 10，下面数字为x + 10，左边数字为x - 2，右边数字为x + 2，即[x +(x - 10)+(x + 10)+(x -2)+(x +2)]÷x =5，x +(x - 10)+(x + 10)+(x -2)+(x +2)= 5x ∴仍符合规律；(3)若五个数之和等于2400，则52400x =，解得：480x =，∴十字据中中间的数为480，由数表可知，数字480位于数表的最边上一列，不可能处于十字框中间，所以不存在5个数之和为2400．2.配套问题例．列方程解应用题某啤酒公司的啤酒车间先将散装啤酒灌装成瓶装啤酒，再将瓶装啤酒装箱出车间．该车间有灌装、装箱生产线共21条，每条灌装生产线每小时装350瓶，每条装箱生产线每小时装450瓶．某日，生产前车间内已有未装箱的瓶装啤酒5200瓶，8:00开始，车间内的生产线全部投入生产．(1)若当日到10:00时，该车间内未装箱的瓶装啤酒达到5500瓶.设灌装生产线有x条，当日到10:00时，灌装生产线共装多少瓶啤酒（用含x的代数式表示）？该车间内灌装生产线有多少条？(2)若该日车间工作8小时，灌装生产线设计多少条时？该日车间内的瓶装啤酒恰好全部装箱？【答案】(1)灌装生产线共装（350×2x）瓶啤酒，灌装生产线有12条；(2)灌装生产线设计13条时，该日车间内的瓶装啤酒恰好全部装箱．【解析】(1)解：当日到10:00时，灌装生产线共装（350×2x）瓶啤酒，根据题意，得5200+350×2x=450×2（21-x）+5500，解这个方程，得：x=12答：灌装生产线共装（350×2x）瓶啤酒，灌装生产线有12条；(2)解：设灌装生产线设计y条时，该日车间内的瓶装啤酒恰好全部装箱，根据题意，得5200＋350×8y=450×8（21-y），解这个方程，得：y=11．答：灌装生产线设计11条时，该日车间内的瓶装啤酒恰好全部装箱．【变式训练1】小林到某纸箱厂参加社会实践，该厂计划用50张白板纸制作某种型号的长方体纸箱．如图，每张白板纸可以用A，B，两种方法剪裁，其中A种裁法：一张白板纸裁成4个侧面；B种裁法：一张白板纸裁成2个侧面与4个底面．且四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱．设按A种方法剪裁的有x张白板纸．(1)按B种方法剪裁的有______张白板纸；（用含x的代数式表示）(2)将50张白板纸裁剪完后，可以制作该种型号的长方体纸箱多少个？【答案】(1)()50x -；(2)40个【解析】(1)解：按A 种方法剪裁的有x 张白板纸，则按B 种方法剪裁的有()50x -张白板纸，故答案为：()50x -；(2)解：由四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱．\ ()()24250=4450x x x ⨯+-⨯-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，整理得： 20600x =， 解得：x ＝30，(30×4+20×2)÷4＝40，∴最多可以制作40个纸箱.【变式训练2】某服装厂要生产同一种型号的服装，已知3m 长的布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套．(1)现库存有布料300m ，应如何分配布料做上衣和做裤子才能恰好配套？可以生产多少套衣服？(2)如果恰好有这种布料227m ，最多可以生产多少套衣服？本着不浪费的原则，如果有剩余，余料可以做几件上衣或裤子？（本问直接写出结果）【答案】(1)做上衣用布料180m ，则做裤子用布料120m ，可以生成120套衣服(2)最多可以生产90套衣服，余料可以做2条裤子【解析】(1)设做上衣用布料m x ，则做裤子用布料()300m x -，由题意得，()3300233x x -=，解得：180x =，则300120x -=可以生产21801203⨯=套衣服；答：用180m 布做上衣，120m 布做裤子才能恰好配套，可以生产120套衣服；(2)∵做一件上衣用32m 布，做一条裤子用1m 布， ∴一套服装用2.5m 布，∵227÷2.5=90...2，∴227m 布可以做90套衣服余2m ，∵本着不浪费的原则，∴余下的2m 布可以做2条裤子，答：布料227m ，最多可以生产90套衣服，余料可以做2条裤子．【变式训练3】某工厂接受了15天内生产1200台GH型电子产品的总任务．已知每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成．工厂现有80名工人，每个工人每天能加工8个G型装置或4个H型装置．工厂将所有工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，并要求每天加工的G、H型装置数量正好全部配套组成GH型产品．(1)按照这样的生产方式，工厂每天能配套组成多少套GH型电子产品？(2)为了在规定期限内完成总任务，工厂决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行G 型装置的加工，且每人每天只能加工4个G型装置．请问至少需要补充多少名新工人？【答案】(1)工厂每天能配套组成64套GH型电子产品；(2)至少应招聘40名新工人．【解析】(1)解：设安排x名工人生产G型装置，则安排（80﹣x）名工人生产H型装置，根据题意得：84(80)43x x-=，解得：x=32，∴88326444x⨯==．答：按照这样的生产方式，工厂每天能配套组成64套GH型电子产品．(2)解：设招聘a名新工人加工G型装置仍设x名工人加工G型装置，（80-x）名工人加工H型装置，根据题意，()8448043x a x+-=，整理可得，320310ax-=，另外，注意到()4801200315x-，即x≤20，于是3203≤2010a-，解得：a≥40，答：至少应招聘40名新工人．3. 销售利润问题例.甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润率定价．在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店老板共获利157元．甲、乙两件服装的成本各为多少元？【解答】解：设甲服装的成本是x元，则乙服装的成本是（500﹣x）元，依题意有0.9×（1+50%）x+0.9×（1+40%）（500﹣x）﹣500＝157，解得x＝300，500﹣x＝200．答：甲服装的成本为300元，乙服装的成本为200元．【变式训练1】“虎年大吉，岁岁平安”，为了喜迎新春，某水果店在春节期间推出水果篮和坚果礼盒，每个水果篮的成本为200元，每盒坚果礼盒的成本为150元，每个水果篮的售价比每盒坚果礼盒的售价多100元，售卖1个水果篮获得的利润和售卖2盒坚果礼盒获得的利润相同．(1)求每个水果篮和每盒坚果礼盒的售价；(2)在年末时，该水果店购进水果篮1250个和坚果礼盒1200盒，进行“新春特惠”促销活动．水果店规定，每人每次最多购买水果篮1个或坚果礼盒1盒，每个水果篮在售价的基础上打九折后再参与店内“每满100元减m元”的活动，每盒坚果礼盒直接参与店内“每满100元减m元”的活动．售卖结束时，坚果礼盒全部售卖完，售卖过程中由于部分水果变质导致水果篮有50个没办法售出．若该水果店获得的利润率为20%，求m的值．【答案】(1)每个水果篮的售价为300元，每盒坚果礼盒的售价为200元．(2)m的值为10．【解析】(1)设每盒坚果礼盒的售价为x元，则每个水果篮的售价为（x+100）元，依题意得：2（x-150）=x+100-200，解得：x=200，∴x+100=300．答：每个水果篮的售价为300元，每盒坚果礼盒的售价为200元．(2)∵300×0.9=270（元），∴每个水果篮的活动价为（270-2m）元．∵每盒坚果礼盒的售价为200元，∴每盒坚果礼盒的活动价为（200-2m）元．依题意得：（1250-50）（270-2m）+1200（200-2m）-1250×200-1200×150=（1250×200+1200×150）×20%，解得：m=10．答：m的值为10．【变式训练2】某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出．已知A产品的销售单价比B产品的销售单价高100元，1件A产品与1件B产品售价和为300元．(1)A、B两种产品的销售单价分别是多少元？(2)今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间．预计A产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加a%；B产品产量将在去年的基础上减少a%，但B产品的销售单价将提高2a%．则今年A、B两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加2%3a．求a的值．【答案】(1)A产品的销售单价为200元，B产品的销售单价为100元；(2)50【解析】(1)解：设B产品的销售单价为x元，则A产品的销售单价为(100)x+元，．依题意得：100300x x ++=， 解得：x =100，∴x +100=200． ．答：A 产品的销售单价为200元，B 产品的销售单价为100元(2)解：设去年每个车间生产产品的数量为t 件，依题意得：200(1+a %)t +100(1+2a %)(1-a %)t =300(1+2%3a )t 设%a m =，则原方程可化简为2m 2-m =0，解得：112m =，20m =（不合题意，舍去）， ∴a =50．答：a 的值为50．【变式训练3】某超市计划购进甲、乙两种型号的节能灯共1000只，这两种节能灯的进价、售价如下表：进价（元/只）售价（元/只）甲型2530乙型4560（1）如果进货款恰好为37000元，那么可以购进甲型节能灯多少只？（2）超市为庆祝元旦进行大促销活动，决定对乙型节能灯进行打折销售，要求全部售完后，乙型节能灯的利润率为20%，请问乙型节能灯需打几折？【解答】解：（1）设商场购进甲型节能灯x 只，则购进乙型节能灯（1000﹣x ）只，由题意，得25x +45（1000﹣x ）＝37000，解得：x ＝400购进乙型节能灯1000﹣x ＝1000﹣400＝600（只）答：购进甲型节能灯400只，购进乙型节能灯600只进货款恰好为37000元．（2）设乙型节能灯需打a 折，0.1×60a ﹣45＝45×20%，解得a ＝9，答：乙型节能灯需打9折．【变式训练4】武汉大洋百货经销甲、乙两种服装，甲种服装每件进价500元，售价800元；乙种服装商品每件售价1200元，可盈利50%．（1）每件甲种服装利润率为 ，乙种服装每件进价为 元；（2）若该商场同时购进甲、乙两种服装共40件，恰好总进价用去27500元，求商场销售完这批服装，共盈利多少？（3）在元旦当天，武汉大洋百货实行“满1000元减500元的优惠”（比如：某顾客购物1200元，他只需付款700元）．到了晚上八点后，又推出“先打折”，再参与“满1000元减500元”的活动．张先生买了一件标价为3200元的羽绒服，张先生发现竟然比没打折前多付了20元钱问大洋百货商场晚上八点后推出的活动是先打多少折之后再参加活动？【解答】解：（1）∵甲种服装每件进价500元，售价800元，∴每件甲种服装利润率为800−500500×100%=60%．∵乙种服装商品每件售价1200元，可盈利50%．∴乙种服装每件进价为1200150%=800（元），故答案为：60%，800；（2）设甲种服装进了x 件，则乙种服装进了（40﹣x ）件，由题意得，500x +800（40﹣x ）＝27500，解得：x ＝15．商场销售完这批服装，共盈利15×（800﹣500）+25×（1200﹣800）＝14500（元）．答：商场销售完这批服装，共盈利14500元．（3）设打了y 折之后再参加活动．①3200×y 10−2×500=3200﹣3×500+20．解得：y ＝8.5．②3200×y 10−500=3200−3×500+20，解得y ＝8（不合题意，舍去）．③3200×y 10=3200−3×500+20，解得y ＝5.9（不合题意，舍去）．答：先打八五折再参加活动．4. 工程问题例．某工程队承包德阿公路绵竹市境内一段长为1755米的道路改造工程，由甲、乙两个施工小队分别从南、北两端同时施工．已知甲队比乙队平均每天多施工3米，经过5天施工后，两个小队共完成施工路段135米．(1)求甲、乙两个小队平均每天各施工多少米？(2)为加快进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲队平均每天能比原来多施工1米，乙队平均每天能比原来多施工2米，甲、乙同时按此施工，能够比原来提前多少天完成道路改造任务？【答案】(1)甲施工小队平均每天施工15米，乙施工小队平均每天施工12米．(2)能够比原来提前6天完成道路改造任务．【解析】(1)解：设乙施工小队平均每天施工x 米，则甲施工小队平均每天施工()3x +米．根据题意得：55(3)135x x ++=．解得：12x =．所以315x +=．答：甲施工小队平均每天施工15米，乙施工小队平均每天施工12米．(2)解：改进施工技术后，甲施工小队平均每天施工15116+=米；乙施工小队平均每天施工12214+=米．则改进施工技术后，剩余的工程还需：(1755135)(1614)54-¸+=天；按原施工进度，剩余的工程还需：(1755135)(1512)60-¸+=天．所以少用的天数为：60546-=天．答：能够比原来提前6天完成道路改造任务．【变式训练1】某校职工周转房已经落成，有一些结构相同的房间需要粉刷墙面．已知3名一级技工去粉刷8个房间，结果有30m 2墙面未来得及粉刷；同样时间内5名二级技工粉刷了10个房间，另外又多粉刷20m 2墙面．每名一级技工比二级技工一天多粉刷12m 2墙面．(1)求每个房间需要粉刷的墙面面积；（列方程解决问题）(2)若粉刷1m 2墙面给付一级技工6元费用，给付二级技工5.5元费用，问一级技工和二级技工每人每天各挣多少工钱？【答案】(1)每个房间需要粉刷的墙面面积为392m (2)一级技工每人每天挣564元，二级技工每人每天挣451元．【解析】(1)设每个房间需要粉刷的墙面面积为x 2m ，由题意得：83010201235x x -+-=，解得：39x =，∴每个房间需要粉刷的墙面面积为392m ；(2)∵每个房间需要粉刷的墙面面积为392m ，∴一名一级技工一天粉刷的面积为830839309433x -⨯-==2m ，一名二级技工一天粉刷的面积为10201039208255x +⨯+==2m ，∴946564⨯=（元），82 5.5451⨯=（元），∴一级技工每人每天挣564（元），二级技工每人每天挣451（元）．【变式训练2】湖北荆宜高速公路是“国家高速公路网规划”中的建设工程，该工程预算国拨总投资为24亿元，分土建、路面、设施三个建设项目，路面投资占土建投资的45，设施投资比土建投资少40%、由于物价的上涨，工程建设实际总投资随之增长，路面投资的增长率是土建投资增长率的2.5倍，设施投资的增长率达到路面投资增长率的2倍，(1)三个项目的预算投资分别是多少亿元？(2)由于合理施工，使公路提前半年通车，每月可通行车辆100万辆，每辆车的平均收益为40元．这样，可将提前半年通车收益的70%用于该工程建设的实际投资，减少了国拨投资，使预算国拨总投资减少的百分率与土建投资的增长率相同，该工程的实际总投资是多少亿元？【答案】(1)土建、路面、设施三个项目的预算投资分别是10亿元，8亿元，6亿元(2)该工程的实际总投资是25.2亿元【解析】(1)解：设土建为x 亿元，则路面为45x 亿元，设施为（1﹣40%）x 亿元，∴x +45x +（1﹣40%）x ＝24，∴x ＝10，∴485x =，（1﹣40%）x ＝6．答：土建、路面、设施三个项目的预算投资分别是10亿元，8亿元，6亿元(2)解：设土建投资增长率为x ，则路面投资的增长率是2.5x ，设施投资的增长率是2×2.5x ＝5x ，预算国拨总投资减少的百分率为x ．国拨总投资：24×（1﹣x ），该工程的实际各项投资之和是10×（1+x ）+8×（1+2.5x ）+6×（1+5x ），∵70%×40×100×6＝16800（万元）＝1.68亿元，∴24×（1﹣x ）+1.68＝10×（1+x ）+8×（1+2.5x ）+6×（1+5x ），解得：x ＝0.02＝2%24×（1﹣x ）+1.68＝25.2（亿元）答：该工程的实际总投资是25.2亿元．5. 行程问题例．甲骑摩托车从A 地去B 地，乙开汽车从B 地去A 地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人间的距离为(km)s ）与甲行驶的时间为(h)t 之间的关系如图所示．(1)以下是点M 、点N 、点P 所代表的实际意义，请将M 、N 、P 填入对应的横线上．①甲到达终点_________．②甲乙两人相遇_________．③乙到达终点_________．(2)AB两地之间的路程为_________千米；(3)求甲、乙各自的速度；(4)如果乙到达A地后立刻原路原速返回到B地，在甲到达B地的过程中，甲出发_________小时，甲乙相距100千米．【答案】(1)①P；②M；③N；(2)240；(3)甲的速度40千米/小时，乙的速度80千米/小时(4)76或3.5或176【解析】(1)解：由图象可得，出发2小时，甲乙在途中相遇；出发3小时乙到达A地；6小时甲到达B地；故答案为：①P；②M；③N；(2)解：由图象可得，AB两地之间路程为240千米；故答案为：240；(3)解：甲的速度为：240÷6=40千米/小时，乙的速度为：240÷2-40=80千米/小时，答：甲的速度40千米/小时，乙的速度80千米/小时；(4)解：令甲出发t小时，甲乙相距100千米，由题意，得相遇前：80t+40t+100=240，解得t=76，相遇后：40t-100=80t-240或80(t-2)+40(t-2)=100，解得t=3.5或t=176，故答案为：76或3.5或176．【变式训练1】为抗击疫情，支援B市，A市某蔬菜公司紧急调运两车蔬菜运往B市．甲、乙两辆货车从A 市出发前往B市，乙车行驶途中发生故障原地维修，此时甲车刚好到达B市．甲车卸载蔬菜后立即原路原速返回接应乙车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往B市．乙车维修完毕后立即返回A市．两车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）之间的函数图象如图所示．(1)甲车速度是_______km/h ，乙车出发时速度是_______km/h ；(2)求乙车返回过程中，乙车离A 市的距离y （km ）与乙车所用时间x （h ）的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；(3)乙车出发多少小时，两车之间的距离是120km ？请直接写出答案．【答案】(1)100 60；(2)1001200y x =-+；(3)3，6.3，9.1【解析】(1)解：根据图象可得，甲车5h 的路程为500km ，∴甲的速度为：500÷5=100km/h ；乙车5h 的路程为300km ，∴乙的速度为：300÷5=60km/h ；故答案为：100；60；(2)设()0y kx b k =+¹，由图象可得经过点（9，300），（12，0）点，代入得9300120k b k b +=ìí+=î，解得1001200k b =-ìí=î，∴y 与x 的函数解析式为1001200y x =-+；(3)解：设乙出发的时间为t 时，相距120km ，根据图象可得， 当0<t <5时，100t -60t =120，解得：t =3；当5<t <5.5时，根据图象可得不满足条件；当5.5<t <8时，500-100（t -5.5）-300=120，解得：t =6.3；当8<t <9时，100（t -8）=120，解得：t =9.2，不符合题意，舍去；当9<t <12时，100×（9-8）+100（t -9）+100（t -9）=120，解得：t =9.1；综上可得：乙车出发3h 、6.3h 与9.1h 时，两车之间的距离为120km ．【变式训练2】随着互联网的普及和城市交通的多样化，人们出行的时间与方式有了更多的选择，某市有出租车、滴滴快车等网约车，收费标准见下图．出租车起步价：14元里程费：超过3公里的部分2.4元/公里（不足1公里按1公里计）滴滴快车起步价：12元里程费：2.5元/公里时长费：0.4元/分钟（滴滴快车行驶的平均速度为40公里/时）(1)若乘坐这两种网约车的里程数都是9公里，则发现乘坐出租车最节省钱，求乘坐出租车费用为多少元？(2)若从甲地到乙地，乘坐滴滴快车比出租车多用15元，求甲、乙两地间的里程数．【答案】(1)出租车的费用为28.8元．(2)甲地到乙地的路程为14公里．【解析】(1)解：()14+2.49328.8´-=（元）， 答：出租车的费用为28.8元．(2)解：设甲地到乙地的路程为x 公里，当3x £时，12+2.5600.41415,40x x +´´=+ 解得：1703,31x => 所以不符合题意舍去，当3x >时，则()14+2.431512 2.5600.4,40x x x -+=++´´ 解得：14,x =答：甲地到乙地的路程为14公里．【变式训练3】A 、B 两地相距480km ，C 地在A 、B 两地之间．一辆轿车以100km /h 的速度从A 地出发匀速行驶，前往B 地．同时，一辆货车以80km /h 的速度从B 地岀发，匀速行驶，前往A 地．（1）当两车相遇时，求轿车行驶的时间；（2）当两车相距120km 时，求轿车行驶的时间；（3）若轿车到达B 地后，立刻以120km /h 的速度原路返回，再次经过C 地，两次经过C 地的时间间隔为2.2h ，求C 地距离A 地路程．【解答】解：（1）设两车相遇时，轿车行驶的时间为t 小时，由题意可得100t +80t ＝480。

第⼆章弗雷格：现代逻辑之⽗-复旦⼤学精品课程弗雷格的逻辑和数学思想的哲学基础张庆熊复旦⼤学现代哲学研究所【提要】弗雷格在《算术基础》中阐述了三条基本原理，这三条原理⼀⽅⾯说明他为什么要构造他的⼈⼯语⾔系统，另⼀⽅⾯说明算术何以能够建⽴在逻辑的基础之上，这是从哲学的⾼度出发论证他的逻辑和数学思想的基础。

弗雷格（Gottlob Friedrich Ludwig Frege，1848－1925）于1897年发表《概念⽂字：⼀种模仿算术语⾔构造的纯思维的形式语⾔》（Begriffsschrift，eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens）。

这本薄薄的书可谓现代逻辑的开⼭之作。

它奠定了数理逻辑中的命题逻辑和⼀阶谓词逻辑的基础。

然⽽，对于这本逻辑史上划时代的专著，在当时却少有⼈问津。

弗雷格反思其原因，认为除⼈们对那陌⽣的符号系统望⽽⽣畏外，还不理解他为什么要构造这⼀系统的理由。

他在1884年发表了专著《算术基础》（Grundlagen der Arithmetik）。

在这本书中，他没有使⽤数理逻辑的符号，⽽是哲学理论上论证他所构造的⼈⼯语⾔系统的基本原理，指出严格区分⼼理的东西和逻辑的东西、主观的东西和客观的东西的必要性；强调决不要忘记概念和客体之间的区别；对当时所流⾏的逻辑学和数学中的⼼理主义展开批判。

他认为逻辑是数学的基础，数的概念可以被定义为逻辑的类的概念，⽽类则被看成概念的外延。

可以说，《算术基础》⼀书是弗雷格在哲学的⽅⾯为他的数学基础研究中的逻辑主义的⽅案奠定基础。

弗雷格在《算术基础》中所提出的原理⼀共只有三条，下⾯我们就结合考察这三条原理来评述弗雷格的逻辑和数学思想的哲学基础。

⼀、逻辑规律的客观性在弗雷格所处的时代，逻辑研究中的⼼理主义占⽀配地位。

按照这种⼼理主义的观点，逻辑推理是⼀种思维的活动，思维的活动是⼀种⼼理的活动，所以逻辑的规律可以还原为⼼理的规律，逻辑的真理是⼀种主观的真理。