2.2.4 面面平行的性质

M、N分别为A1B和AC上的点， A1M=NA= 2 a ， （1）求证：MN // 平面BB1C1C；
（2）求 MN 的长
3
如图，线段AB、CD所在直线是异面直线，E、 F、G、H分别是线段AC、CB、BD、DA的中 点，（1）求证： E、F、G、H共面并且所在平 面平行于直线AB和CD； （2）设P、Q分别是AB和CD上任意一点， 求证：PQ被平面EFGH平分。
面面平行性质2
a
a // b
β
α
b
两平行平面同时和第三个 平面相交，那么它们的交 线相互平行。
面面平行，线线平行
例1 求证：夹在两个平行平面间的两条 平行线段必相等.
问：夹在两个平行平面间的两条相等线段 必平行吗？
例2如图 // , A, C , B, D
且E，F分别是线段AB，CD的中点， 求证： EF //
空间四边形ABCD的对棱AD、BC成60°角，且 AD=BC=a，平行于AD和BC的截面分别交AB、 AC、CD、BD于E、F、G、H， （1）求证：四边形EFGH为平行四边形； （2）E 在AB的何处时截面EFGH的面积最大？ 最大面积是多少？
A
39 50
M
F N E B
C
D
a, b为异面直线， a, b在平面 的两侧 且a // , b // ,端点分别在a , b上的线段
例5：
于E、F、G、H。 AD,AC,CB,DB分别交平面 求证：四边形EFGH为平行四边形。 A B
a
H F G D
E
C
b
在正方形ABCD-A1B1C1D1中，棱长为 a
A F N B E C k
D
M

第三课时 2.2.4 平面与平面平行的性质【学习目标】：掌握平面和平面平行的性质定理，灵活运用面面平行的判定定理和性质定理，掌握“线线、线面、面面”平行的转化. 【教学重点】：掌握面面平行的性质定理 【教学难点】：掌握平行之间的转化 【教学过程】：一、复习准备：1．提问：线面平行、面面平行判定定理的符号语言？线面平行性质定理的符号语言？2. 讨论：两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线有什么关系？二、讲授新课：1.面面平行性质定理：① 讨论：两个平面平行，其中一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？两个平面内的直线有什么位置关系？当第三个平面和两个平行平面都相交，两条交线有什么关系？为什么？②性质定理：两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

③ 用符号语言表示性质定理：}a bαβαγβγ⇒ ∥＝，＝④ 讨论性质定理的证明思路.⑤例：求证夹在两个平行平面间的两条平行线的长相等. →首先要将文字语言转化为符号语言和图形语言：已知：//αβ，,AB CD 是夹在两个平行平面,αβ间的平行线段，求证：AB CD =.DCBAβα2. 教学例题：①例：如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它与另一个平面也相交. 讨论：如何将文字语言转化为图形语言和符号语言？② 练习：若//αβ，//βγ，求证：//αγ． （试用文字语言表示 → 分析思路 → 学生板演）3. 小结：面面平行的性质定理及其它性质（//,//a a αβαβ⊂⇒）；转化思想.三、巩固练习：1. 两条直线被三个平行平面所截，得到四条线段. 求证：这四条线段对应成比例.2. 已知,l m 是两条异面直线，//l 平面α，//l 平面β，//m 面α，//m 平面β，求证：//αβ．*3. 设,P Q 是单位正方体1AC 的面11AA D D 、面1111A B C D 的中心， 如图：（1）证明：//PQ 平面11AA B B ； （2）求线段PQ 的长。

（1）：平面和平面的位置关系有哪些？
L
α∥β
α∩β= L
(2):平面和平面平行的判定定理是什么？
一个平面内的两条相 交直线与另一个平面平 行，则这两个平面平行。 如果一个平面内有 两条相交直线分别平行 于另一个平面内的两条 直线，那么这两 b
α
d
如果两个平 行平面同时与第三 个平面相交，那么 它们的交线平行。
是α上的点 ，线段AB、AC、AD交于E、F、G
点，若BD=4，CF=4，AF=5，求EG.
B C D
a
α
E
F
G
A
10
小结
面面平行判定定理: 线面平行
另一个平面，那么这两个平面平行。
面面平行 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于
推论：
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于
另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行
求证：MN∥平面PBC。
N D C
E
A B
M
7
已知ABCD是平行四边形，点P是平面 ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一 点G，画出过G和AP的平面。
P
M
G
D
C
H
A
O
B
8
练习： 点P在平面VAC内，画出过点P作一个截面 平行于直线VB和AC。 V
F P G B H A
9
E
C
如图：a∥α，A是α另一侧的点，B、C、D
面面平行性质定理: 面面平行
线面平行 如果两个平行平面同时与第三个平面相交， 那么它们的交线平行。
11
课外作业： 1、已知α∥β，AB交α、β于A、B，CD交 α、β于C、D，AB∩CD=S，AS=8，BS=9，

D1 A1 B1 C1
D
A B
C
问题3：若两个平面平行，则一个平面内的直 线a与另一个平面内的直线有什么位置关系?
a

b
异面、平行

已知: 平面，， ， // , a
b求证：a // b 证明: a
b
｛b
/
a
a, b没有公共点 a, b都在平面内
a // b
二、平面和平面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相 交，那么它们的交线平行．
// 即： a a // b b
简记:面面平行 线线平行
例1. 求证: 夹在两个平行平面间的两条平行线段相等. 已知:平面//平面 ,AB和DC为夹在 、 D A 间的平行线段。求证：AB=DC.
证明：连接BC，取BC的中点E， 分别连接ME、NE， 则ME∥AC，∴ ME∥平面α， 又 NE∥BD， ∴ NE∥β， M 又ME∩NE=E，∴平面MEN∥ 平面α， ∵ MN平面MEN，∴MN∥α.
B A C
E
N D
例3 在正方体ABCD-A′B′C′D′中， 点M在CD′上，试判断直线B′M与平面 A′BD的位置关系，并说明理由.
C′ D′ M D C A A′ B B′
直线与直线平行
直线与平面平行
平面与平面平行
1、若两个平面互相平行，则其中一个平面 中的直线必平行于另一个平面； 2、平行于同一平面的两平面平行； 3、过平面外一点有且只有一个平面与这个
平面平行； 4、夹在两平行平面间的平行线段相等。
作业: P61练习：（做在书上） P63习题2.2B组：4（做在书上） P63习题2.2B组：3.