闵行七宝高中补习班 闵行补习班
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step1：把各象限n等分
几 何 法
Ⅳ Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅰ
step2：从x轴正方向起逆时针依次 标上Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ step3：标号与α的象限一致的 即为α／n的象限 例：α在第一象限，n=3时
y
Ⅲ Ⅱ Ⅰ Ⅳ Ⅲ
x
o
Ⅱ
α／3在第1、3、4象限
代 数 法
因为α在第一象限,即
k·3600 <α< 90 +k·3600
0 0相同的角的一般形式 与30终边 为30
0 0 ，
=30 -1x360
0
+K·3600
K∈Z
终边在坐标轴上角的表示
90 0 +K·360
y
0
180 0 +K·360 0 o 270 +K·360 0 ＋K·360 0 或-90
0 0
x 00+K·3600
或360＋K·360
0 0
思考：写出终边落在y轴上的角的集合。 •解：终边落在ｙ轴正半轴上的角的集合为
例2. 写出与下列各角终边相同的角的集合S， 并把S中在－360º ～ 720º的角写出来： (1) 60º；(2) －21º；(3) 363º14′. 解：(1) S={β| β=k·360º+60º (k∈Z) }, S中在－360º～720º间的角是 －1×360º+60º=－280º； 0×360º+60º=60º； 1×360º+60º=420º．
S1={β| β=900 +K∙360 0 ,K∈Z} 0, ={β| β=90 0 K∈Z} ={β| β=90 0+2K∙180 +180 0 的偶数倍}为 终边落在ｙ轴负半轴上的角的集合 S2={β| β=270 0 +K∙360 0 ,K∈Z} ={β| β=90 0 +180 0 +2K∙180 0 ,K∈Z} ={β| β=90 0 +（2K+1）1800 ，K∈Z} +180 的奇数倍} 0 ={β| β=90
o o o o
+90o+α,k∈Z ±90o +α,k∈Z
8、若90º<β<α<135º，则α－β的范围是 (0º,45º) ，α+β的范围是___________; (180º,270º) __________
9、若β的终边与60º角的终边相同，那么在 [0º,360º]范围内，终边与角 的角为______________; 解：β=k·360º+60º，k∈Z. 所以 =k·120º+20º， k∈Z. 当k=0时，得角为20º， 当k=1时，得角为140º， 当k=2时，得角为260º. 的终边相同
5 、已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是( C) A C 第一象限角 第一、三象限角 B D 第一、二象限角 第一、四象限角
6、若α是第四象限角，则180º－α是（ C ） A 第一象限角 B 第二象限角 C 第三象限角 D 第四象限角
7、在直角坐标系中，若α与β终边互相垂直 ，那么α与β之间的关系是（ D） A.β=α+90 Bβ=α±90 Cβ=k·360 Dβ=k·360
+k·360
，
注意以下四点： ①k∈Z； ② 是任意角； ③k·360º与之间是“+”号，如k·360º－ 30º,应看成k·360º+(－30º)； ④ 终边相同的角不一定相等，但相等的角，终 边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们 相差360º的整数倍.
方法介绍：已知α的象限，求α／n象限
3、小于90°的角都是锐角吗？ 答：小于90°的角并不都是锐角，它 也有可能是零角或负角。
0° ～ 90°的角:[0°, 90°）
4、判断下列角所在的象限？
终边
y o
终边 x Ⅰ 始32o,328o,-392o 并找出它们的共同点?
x
o
它们的终边都相同.
3．终边相同的角的表示
探究（一）： 与α终边(射线)相同的角都可以表示成集合 ： β |β=α＋K·360，K∈ Z} 与α终边(直线{ ) 相同的角都可以表示成 0 ：
{β|β=α＋K·180，K∈
0
Z}
y o
-330 0 390 0 30
0
x
30 =30 +0x360 0 0 =300 00 0 +1x360 390 0 =30 0 +360 0 0 -330 =30 -360
3.终边与角ａ相同的角
＋K·3600，K∈Z
4：判断一个角是第几象限角的方法
动手试一试
1．锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都 是锐角？小于90º的角是锐角吗？区间[0º,90º] 内的角是锐角吗？ 答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定是锐 角；小于90º的角可能是零角或负角，故它不一 定是锐角；区间[0º,90º]内的角不是锐角．
1、角的概念的推广 定义：平面内一条射线绕着端点从一个位置 旋转到另一个位置所成的图形叫做角 怎么旋转？
射线的端点O叫做角α的顶点． 旋转开始的射线OA叫做角α的始边 旋转终止的射线OB叫做角α的终边
B终边 顶 点
逆时针
A始边
顺时针
任 意 角
正角：按逆时针方向旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角 零角：射线不作旋转时形成的角 B
0
万 能 方 法
α／3在第1、2、3象限
例题选讲
例1、在0到360度范围内，找出与下列各角 终边相同的角，并判断它是哪个象限的角 （1）-120°（2）640°（3） -950 12'
o
解（1）-120°=-360°+240° 所以与-120°角终边相同的角是240°角， 它是第三象限角。
（2）640°=360°+280° 所以与640°角终边相同的角是280°角， 它是第四象限角。 （3）-950o12’ = -3×360°+129o48‘ 所以与 -950o12’角终边相同的角是129o48 ’ 角，它是第二象限角。
2、象限角：
1)角的顶点与坐标原点重合
2)始边与X的非负半轴重合 终边落在第几象限就称角是第几象限角
思考：终边落在坐标轴上怎么办？ 坐标轴上的角：（轴线角）
如果角的终边落在了坐标轴上， 这个角不属于任何象限。 例如：角的终边落在X轴或Y轴上。
练习：1、锐角是第几象限的角？ 答：锐角是第一象限的角。 2、第一象限的角是否都是锐角？ 举例说明 答：第一象限的角并不都是锐角 370o
0
所以 终边落在ｙ轴上的角的集合为
S=S1∪S2
={β| β=90 +180 的偶数倍}
0 0 0 0 ∪{β| β=90 +180 的整数倍} ={β| β=90
+180 的奇数倍}
0 0
={β| β=90 +K∙180，K∈Z}
0 0
变式练习： 写出终边落在 x 轴上的角的集合
探究（二）： 终边(射线)落在象限内表示成集合：
作业
1、下列命题正确的是 A、终边相同的角一定相等 B、第一象限角都是锐角 C、锐角都是第一象限角 D、小于90°的角都是锐角 2、A=｛小于90°的角｝，B=｛第一象限角｝， 则A∩B=（ A、｛锐角｝ （
C ）
D
）
B、｛小于90°的角｝
C、｛第一象限角｝D、以上都不对
3、已知角α是第三象限角,则角-α的终边在（B ） A、第一象限 B、第二象限
(2) S={β| β=k·360º－21º (k∈Z) } S中在－360º～720º间的角是 0×360º－21º=－21º； 1×360º－21º=339º； 2×360º－21º=699º． (3) β| β=k·360º+ 363º14’ (k∈Z) } S中在－360º～720º间的角是 －2×360º+363º14’=－356º46’； －1×360º+363º14’=3º14’； 0×360º+363º14’=363º14’．
C、第三象限 D、第四象限 4、已知角α的终边在下图中阴影所表示的 范围内（不包括边界），那么 α∈ y
O
θ
x
5 若是第二象限的角，则180
0
A 第一象限 C第三象限
-是（A） B第二象限 D第四象限
讨论：若是第二象限角时，则2， 是第几象限的角？
分别
1.1.1 任 意 角
【回忆往事】
初中角是如何定义的？
角的范围：[0o,360o)
定义：有公共端点的两射线组成的几何图形叫角
顶 点
边
边
生活中很多实例会不在该范围： 跳水运动员向内、向外转体两周半; 经过1小时，秒针、分针各转了多少度 这些例子不仅不在范围[0º,360º) 而且有方向，有必要将角的概念 推广到任意角， 想想用什么办法才能推广到任意角？ 关键是用运动的观点来看待角的变化。
例3 写出终边落在阴影部分(含边界)的角的集合
y
o
x
变式练习：把下图中终边落在阴影部分的角 用集合表示出来(包括边界)
•小结 ： 1.任意角
的概念
正角：射线按逆时针方向旋转形成的角 负角：射线按顺时针方向旋转形成的角 零角：射线不作旋转形成的角 1)置角的顶点于原点
2.象限角
2)始边重合于X轴的非负半轴 终边落在第几象限就是第几象限角
第一象限：{α|k·3600<α< 900+k·3600 ， 第二象限：k∈Z} {α|900+k·3600<α<180 +k·360 ， k∈Z} 0 0 第三象限： {α|1800+k·3600<α< 2700+k·3600 ， 第四象限： {α|2700+k·3600<α< 3600
几 何 法
Ⅳ Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅰ
step2：从x轴正方向起逆时针依次 标上Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ step3：标号与α的象限一致的 即为α／n的象限 例：α在第一象限，n=3时
y
Ⅲ Ⅱ Ⅰ Ⅳ Ⅲ
x
o
Ⅱ
α／3在第1、3、4象限
代 数 法
因为α在第一象限,即
k·3600 <α< 90 +k·3600
0 0相同的角的一般形式 与30终边 为30
0 0 ，
=30 -1x360
0
+K·3600
K∈Z
终边在坐标轴上角的表示
90 0 +K·360
y
0
180 0 +K·360 0 o 270 +K·360 0 ＋K·360 0 或-90
0 0
x 00+K·3600
或360＋K·360
0 0
思考：写出终边落在y轴上的角的集合。 •解：终边落在ｙ轴正半轴上的角的集合为
例2. 写出与下列各角终边相同的角的集合S， 并把S中在－360º ～ 720º的角写出来： (1) 60º；(2) －21º；(3) 363º14′. 解：(1) S={β| β=k·360º+60º (k∈Z) }, S中在－360º～720º间的角是 －1×360º+60º=－280º； 0×360º+60º=60º； 1×360º+60º=420º．
S1={β| β=900 +K∙360 0 ,K∈Z} 0, ={β| β=90 0 K∈Z} ={β| β=90 0+2K∙180 +180 0 的偶数倍}为 终边落在ｙ轴负半轴上的角的集合 S2={β| β=270 0 +K∙360 0 ,K∈Z} ={β| β=90 0 +180 0 +2K∙180 0 ,K∈Z} ={β| β=90 0 +（2K+1）1800 ，K∈Z} +180 的奇数倍} 0 ={β| β=90
o o o o
+90o+α,k∈Z ±90o +α,k∈Z
8、若90º<β<α<135º，则α－β的范围是 (0º,45º) ，α+β的范围是___________; (180º,270º) __________
9、若β的终边与60º角的终边相同，那么在 [0º,360º]范围内，终边与角 的角为______________; 解：β=k·360º+60º，k∈Z. 所以 =k·120º+20º， k∈Z. 当k=0时，得角为20º， 当k=1时，得角为140º， 当k=2时，得角为260º. 的终边相同
5 、已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是( C) A C 第一象限角 第一、三象限角 B D 第一、二象限角 第一、四象限角
6、若α是第四象限角，则180º－α是（ C ） A 第一象限角 B 第二象限角 C 第三象限角 D 第四象限角
7、在直角坐标系中，若α与β终边互相垂直 ，那么α与β之间的关系是（ D） A.β=α+90 Bβ=α±90 Cβ=k·360 Dβ=k·360
+k·360
，
注意以下四点： ①k∈Z； ② 是任意角； ③k·360º与之间是“+”号，如k·360º－ 30º,应看成k·360º+(－30º)； ④ 终边相同的角不一定相等，但相等的角，终 边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们 相差360º的整数倍.
方法介绍：已知α的象限，求α／n象限
3、小于90°的角都是锐角吗？ 答：小于90°的角并不都是锐角，它 也有可能是零角或负角。
0° ～ 90°的角:[0°, 90°）
4、判断下列角所在的象限？
终边
y o
终边 x Ⅰ 始32o,328o,-392o 并找出它们的共同点?
x
o
它们的终边都相同.
3．终边相同的角的表示
探究（一）： 与α终边(射线)相同的角都可以表示成集合 ： β |β=α＋K·360，K∈ Z} 与α终边(直线{ ) 相同的角都可以表示成 0 ：
{β|β=α＋K·180，K∈
0
Z}
y o
-330 0 390 0 30
0
x
30 =30 +0x360 0 0 =300 00 0 +1x360 390 0 =30 0 +360 0 0 -330 =30 -360
3.终边与角ａ相同的角
＋K·3600，K∈Z
4：判断一个角是第几象限角的方法
动手试一试
1．锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都 是锐角？小于90º的角是锐角吗？区间[0º,90º] 内的角是锐角吗？ 答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定是锐 角；小于90º的角可能是零角或负角，故它不一 定是锐角；区间[0º,90º]内的角不是锐角．
1、角的概念的推广 定义：平面内一条射线绕着端点从一个位置 旋转到另一个位置所成的图形叫做角 怎么旋转？
射线的端点O叫做角α的顶点． 旋转开始的射线OA叫做角α的始边 旋转终止的射线OB叫做角α的终边
B终边 顶 点
逆时针
A始边
顺时针
任 意 角
正角：按逆时针方向旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角 零角：射线不作旋转时形成的角 B
0
万 能 方 法
α／3在第1、2、3象限
例题选讲
例1、在0到360度范围内，找出与下列各角 终边相同的角，并判断它是哪个象限的角 （1）-120°（2）640°（3） -950 12'
o
解（1）-120°=-360°+240° 所以与-120°角终边相同的角是240°角， 它是第三象限角。
（2）640°=360°+280° 所以与640°角终边相同的角是280°角， 它是第四象限角。 （3）-950o12’ = -3×360°+129o48‘ 所以与 -950o12’角终边相同的角是129o48 ’ 角，它是第二象限角。
2、象限角：
1)角的顶点与坐标原点重合
2)始边与X的非负半轴重合 终边落在第几象限就称角是第几象限角
思考：终边落在坐标轴上怎么办？ 坐标轴上的角：（轴线角）
如果角的终边落在了坐标轴上， 这个角不属于任何象限。 例如：角的终边落在X轴或Y轴上。
练习：1、锐角是第几象限的角？ 答：锐角是第一象限的角。 2、第一象限的角是否都是锐角？ 举例说明 答：第一象限的角并不都是锐角 370o
0
所以 终边落在ｙ轴上的角的集合为
S=S1∪S2
={β| β=90 +180 的偶数倍}
0 0 0 0 ∪{β| β=90 +180 的整数倍} ={β| β=90
+180 的奇数倍}
0 0
={β| β=90 +K∙180，K∈Z}
0 0
变式练习： 写出终边落在 x 轴上的角的集合
探究（二）： 终边(射线)落在象限内表示成集合：
作业
1、下列命题正确的是 A、终边相同的角一定相等 B、第一象限角都是锐角 C、锐角都是第一象限角 D、小于90°的角都是锐角 2、A=｛小于90°的角｝，B=｛第一象限角｝， 则A∩B=（ A、｛锐角｝ （
C ）
D
）
B、｛小于90°的角｝
C、｛第一象限角｝D、以上都不对
3、已知角α是第三象限角,则角-α的终边在（B ） A、第一象限 B、第二象限
(2) S={β| β=k·360º－21º (k∈Z) } S中在－360º～720º间的角是 0×360º－21º=－21º； 1×360º－21º=339º； 2×360º－21º=699º． (3) β| β=k·360º+ 363º14’ (k∈Z) } S中在－360º～720º间的角是 －2×360º+363º14’=－356º46’； －1×360º+363º14’=3º14’； 0×360º+363º14’=363º14’．
C、第三象限 D、第四象限 4、已知角α的终边在下图中阴影所表示的 范围内（不包括边界），那么 α∈ y
O
θ
x
5 若是第二象限的角，则180
0
A 第一象限 C第三象限
-是（A） B第二象限 D第四象限
讨论：若是第二象限角时，则2， 是第几象限的角？
分别
1.1.1 任 意 角
【回忆往事】
初中角是如何定义的？
角的范围：[0o,360o)
定义：有公共端点的两射线组成的几何图形叫角
顶 点
边
边
生活中很多实例会不在该范围： 跳水运动员向内、向外转体两周半; 经过1小时，秒针、分针各转了多少度 这些例子不仅不在范围[0º,360º) 而且有方向，有必要将角的概念 推广到任意角， 想想用什么办法才能推广到任意角？ 关键是用运动的观点来看待角的变化。
例3 写出终边落在阴影部分(含边界)的角的集合
y
o
x
变式练习：把下图中终边落在阴影部分的角 用集合表示出来(包括边界)
•小结 ： 1.任意角
的概念
正角：射线按逆时针方向旋转形成的角 负角：射线按顺时针方向旋转形成的角 零角：射线不作旋转形成的角 1)置角的顶点于原点
2.象限角
2)始边重合于X轴的非负半轴 终边落在第几象限就是第几象限角
第一象限：{α|k·3600<α< 900+k·3600 ， 第二象限：k∈Z} {α|900+k·3600<α<180 +k·360 ， k∈Z} 0 0 第三象限： {α|1800+k·3600<α< 2700+k·3600 ， 第四象限： {α|2700+k·3600<α< 3600
