人教新课标版数学高一-数学人教B版必修2练习 1.1.7 柱、锥、台和球的体积

一、体积的概念与公理:
几何体占有空间部分的大小叫做它的体积
公理1、长方体的体积等于它的长、宽、高的积。
V长方体= abc 推论1 、长方体的体积等于它的底面积s和高h的积。
V长方体= sh 推论2 、正方体的体积等于它的棱长a 的立方。
V正方体= a3
等面积法： 等底等高的三角形面积相等
h
h
a
a
（B） 1 V 3
（D） 2 V 3
5．已知圆锥的母线长为8，底面周长为6π，则
它的体积是
3 5 5.
6．一个正方体的所有顶点都在球面上，若这个
球的体积是V，则这个正方体的体积
是
2 3V 3
.
7. 若球的大圆面积扩大为原来的3倍，则它的 体积扩大为原来的（ D ）
（A）3倍 （B）9倍 （C）27倍 （D）3 3 倍
(方法2)
D1
求：棱锥C1-BA1D的体积？
C1 D1
C1
D
A1
A1
B1
C
B
D
C1
D
C
D1 A
A1
B1
B
D
B
A
B
V长方体 Sh
柱
祖暅原理
、 锥 、
V柱体Sh
V圆柱r2h
台 的 体
V锥体
1 3
S
h
V圆锥
1r2
3
h
积
V球
34V 台 R3体 1 3hV（ 圆S台 1 3ShS（ rS2） rrr2）
1、只要有坚强的意志力，就自然而然地会有能耐、机灵和知识。2、你们应该培养对自己，对自己的力量的信心，百这种信心是靠克服障碍，培养意志和锻炼意志而获得的。 3、坚强的信念能赢得强者的心，并使他们变得更坚强。4、天行健，君子以自强不息。5、有百折不挠的信念的所支持的人的意志，比那些似乎是无敌的物质力量有更强大 的威力。6、永远没有人力可以击退一个坚决强毅的希望。7、意大利有一句谚语：对一个歌手的要求，首先是嗓子、嗓子和嗓子……我现在按照这一公式拙劣地摹仿为：对 一个要成为不负于高尔基所声称的那种“人”的要求，首先是意志、意志和意志。8、执着追求并从中得到最大快乐的人，才是成功者。9、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 10、发现者，尤其是一个初出茅庐的年轻发现者，需要勇气才能无视他人的冷漠和怀疑，才能坚持自己发现的意志，并把研究继续下去。11、我的本质不是我的意志的结果， 相反，我的意志是我的本质的结果，因为我先有存在，后有意志，存在可以没有意志，但是没有存在就没有意志。12、公共的利益，人类的福利，可以使可憎的工作变为可 贵，只有开明人士才能知道克服困难所需要的热忱。13、立志用功如种树然，方其根芽，犹未有干；及其有干，尚未有枝；枝而后叶，叶而后花。14、意志的出现不是对愿 望的否定，而是把愿望合并和提升到一个更高的意识水平上。15、无论是美女的歌声，还是鬓狗的狂吠，无论是鳄鱼的眼泪，还是恶狼的嚎叫，都不会使我动摇。16、即使 遇到了不幸的灾难，已经开始了的事情决不放弃。17、最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。18、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下 去。19、意志若是屈从，不论程度如何，它都帮助了暴力。20、有了坚定的意志，就等于给双脚添了一对翅膀。21、意志坚强，就会战胜恶运。22、只有刚强的人，才有神 圣的意志，凡是战斗的人，才能取得胜利。23、卓越的人的一大优点是：在不利和艰难的遭遇里百折不挠。24、疼痛的强度，同自然赋于人类的意志和刚度成正比。25、能 够岿然不动，坚持正见，度过难关的人是不多的。26、钢是在烈火和急剧冷却里锻炼出来的，所以才能坚硬和什么也不怕。我们的一代也是这样的在斗争中和可怕的考验中 锻炼出来的，学习了不在生活面前屈服。27、只要持续地努力，不懈地奋斗，就没有征服不了的东西。28、立志不坚，终不济事。29、功崇惟志，业广惟勤。30、一个崇高 的目标，只要不渝地追求，就会居为壮举；在它纯洁的目光里，一切美德必将胜利。31、书不记，熟读可记；义不精，细思可精；惟有志不立，直是无着力处。32、您得相 信，有志者事竟成。古人告诫说：“天国是努力进入的”。只有当勉为其难地一步步向它走去的时候，才必须勉为其难地一步步走下去，才必须勉为其难地去达到它。33、 告诉你使我达到目标的奥秘吧，我唯一的力量就是我的坚持精神。34、成大事不在于力量的大小，而在于能坚持多久。35、一个人所能做的就是做出好榜样，要有勇气在风 言风语的社会中坚定地高举伦理的信念。36、即使在把眼睛盯着大地的时候，那超群的目光仍然保持着凝视太阳的能力。37、你既然期望辉煌伟大的一生，那么就应该从今 天起，以毫不动摇的决心和坚定不移的信念，凭自己的智慧和毅力，去创造你和人类的快乐。38、一个有决心的人，将会找到他的道路。39、在希望与失望的决斗中，如果 你用勇气与坚决的双手紧握着，胜利必属于希望。40、富贵不能淫，贫贱不能移，威武不能屈。41、生活的道路一旦选定，就要勇敢地走到底，决不回头。42、生命里最重 要的事情是要有个远大的目标，并借助才能与坚持来完成它。43、事业常成于坚忍，毁于急躁。我在沙漠中曾亲眼看见，匆忙的旅人落在从容的后边；疾驰的骏马落在后头， 缓步的骆驼继续向前。44、有志者事竟成。45、穷且益坚，不坠青云之志。46、意志目标不在自然中存在，而在生命中蕴藏。47、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。 48、思想的形成，首先是意志的形成。49、谁有历经千辛万苦的意志，谁就能达到任何目的。50、不作什么决定的意志不是现实的意志；无性格的人从来不做出决定。我终 生的等待，换不来你刹那的凝眸。最美的不是下雨天，是曾与你躲过雨的屋檐。征服畏惧、建立自信的最快最确实的方法，就是去做你害怕的事，直到你获得成功的经验。 真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。生活真象这杯浓酒，不经三番五次的提炼呵，就不会这样可口！人格的完善是本，财富的确立是末能力可以慢 慢锻炼，经验可以慢慢积累，热情不可以没有。不管什么东西，总是觉得，别人的比自己的好！只有经历过地狱般的折磨，才有征服天堂的力量。只有流过血的手指才能弹 出世间的绝唱。对时间的价值没有没有深切认识的人，决不会坚韧勤勉。第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力的。不要因为寂寞而恋爱，孤独是为了幸福而 等待。每天清晨，当我睁开眼睛，我告诉自己：我今天快乐或是不快乐，并非由我所遭遇的事情造成的，而应该取决于我自己。我可以自己选择事情的发展方向。昨日已逝，

证明：
五、课堂练习
练习2.已知正四棱锥底面正方形的边长4cm,高与斜 高的夹角是30°，求正四棱锥的体积.
P
D
C
A
B
五、课堂练习
练习3.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形， 主视图是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，左 视图是一个底边长为6，高为4的等腰三角形。 （1）求该几何体的体积V； （2）该几何体的表面积S
1.1.7 柱、锥、台和球的体积
一、复习引入
在小学我们就已经知道长方体的体积V的计算公 式
V长方体 abc Sh
其中a，b，c分别是长方体的长、宽和高，S，h分 别是长方体的底面积和高。 长方体的体积公式是计算其它几何体体积的基础， 我们将上述结论作为已知事实来用。
等底等高柱体的体积相等吗？
例1．已知棱长为 a，各面均为等边三角形的四面体
S-ABC，求它的体积。
分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成．
解：过点S作 S，D 平面ABC 于D． 连接BD并延长交AC于M。 依据正棱锥的S性D质，则SDB为2 底 B面D正2三角形a的2 中心3，3 Ma 为2 AC中36点a。
BC a, BD 2 BM 2 BC 2 CM 2 2 a2 ( a )2 3 a
下课
6
8
六、课堂总结
1.几何体的体积就是它们占据空间的大小，掌握它 们的体积公式及解有关问题的关键。 2.对于台体、球体的公式，应强加记忆。 3.注意体积公式中量，以及各量的求法。
4.三棱锥以任何一面都可以充当底面，在解题中要 注意体会。
七、布置作业
课本第32页，练习A，1，2，3题，练习B，1，2， 3 弹性作业： 课本第32页：习题1-1A，习题1-1B 优化设计，同步测控，第 页，我夯基，我达标

C [圆锥的高 h＝ 52－32＝4，故 V＝13π×32×4＝12π.]
3．若一个球的直径是 12 cm，则它的体积为________cm3.
288π [由题意，知球的半径 R＝6 cm，故其体积 V＝43πR3＝43 ×π×63＝288π(cm3)．]
合作探究 提素养
求柱体的体积 【例 1】 如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为 6 cm， 高为 3 cm，下面是正六棱柱，其底面边长为 4 cm，高为 2 cm，现从 中间挖去一个直径为 2 cm 的圆柱，求此几何体的体积．
由 S 侧＝4×12(10＋20)·E1E＝780，得 EE1＝13， 在直角梯形 EOO1E1 中，O1E1＝12A1B1＝5，OE＝12AB＝10， ∴O1O＝ E1E2－OE－O1E12＝12， V 正四棱台＝13×12×(102＋202＋10×20)＝2 800 (cm3)． 故正四棱台的体积为 2 800 cm3.
2．柱体、锥体、台体和球的体积公式 其中 S′、S 分别表示上、下底面的面积，h 表示高，r′和 r 分 别表示上、下底面圆的半径，R 表示球的半径．
名称 棱柱
柱体 圆柱
锥体
棱锥 圆锥
台体
棱台 圆台
球
体积(V)
_S_h__
πr2h 1 3Sh 13πr2h
13h(S＋ SS′＋S′) 13πh(r2＋rr′＋r′2)
则 O1B1＝ 2 cm， OB＝2 2 cm， 过点 B1 作 B1M⊥OB 于点 M，那么 B1M 为正四棱台的高，在 Rt△BMB1 中， BB1＝2 cm，MB＝(2 2－ 2)＝ 2 (cm)．
根据勾股定理 MB1＝ BB21－MB2 ＝ 22－ 22＝ 2(cm)． S 上＝22＝4 (cm2)， S 下＝42＝16(cm2)， ∴V 正四棱台＝13× 2×(4＋ 4×16＋16) ＝13× 2×28＝238 2 (cm3)．

人教B版数学必修2：柱、锥、台和球的体积(1)教学目标：了解柱、锥、台的体积的计算方法教学重点：了解柱、锥、台的体积的计算方法教学过程：（一）祖暅原理：祖暅(音gèng)，一名祖暅之，是祖冲之的儿子，他的活动时期大约在公元504—526年．祖氏父子在数学和天文学上都有杰出的贡献．祖暅的主要工作是修补编辑祖冲之的《缀术》．他推导球体积公式的方法非常巧妙．根据中国算书《九章算术》中李淳风的注释，下面我们使用现代的术语，并将原来的图形略加修改，把祖暅当时推导球体积公式的方法介绍如下：作一个几何体V1．底面OABC是一个正方形，边长为r(图2-18)．高取一点S，过点S与底面平行的截面为SPQR，设它的边长为a，OS为h，则截面面积a2=r2-h2．另取一个边长为r的正方体V2(图2-19)，连结O′D′，O′C′，O′A′，锥体O′-A′B′C′D′记作V3，V2-V3是正方体O′D′挖去锥体O′-A′B′C′D′剩下的几何体．下面来证明V1=V2-V3．设平行于底面与底面距离为h的平面，截V2的截面是正方形P′TS′M，面积等于r2，截V3的截面是正方形Q′TR′N，面积等于h2(因为Q′T=O′T=h)，所以这两个正方形的差形成曲尺形P′Q′NR′S′M，它的面积等于r2-h2．比较V1与V2-V3在等高(h)处的截面，它们的面积都是r2-h2，因此体积相等，即V1=V2-V3．祖暅原理的原文是“幂势既同，则积不容异．”“幂”是截面积，“势”是几何体的高．意思是：两个同高的几何体，如果与底等距离的截面积总相等，那么几何体的体积相等．这就是现在说的：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．积为V4(是未知数)．和V1比较，在高h处的截面积C″EF是以a为半祖暅提出的“幂势既同，则积不容异”，及“体积之比等于对应截面积之比”，在这里是当作公理使用．提法“幂势既同，则积不容异”，在西方通常叫做“卡瓦列利原理”(Cavalierisches，Prinzip)．卡瓦列利[米兰Milan(现意大利城市)人]在他的名著《连续不可分几何》中提出这一原理，这本书出版于1635年．V=（二）长方体的体积Sh（三）利用祖暅原理可以说明：等底面积等高的长方体与柱体的体积相等，故柱体的体积为：V=Sh（四）利用祖暅原理可以说明：等底面积等高的锥体的体积均相等（五）三棱住可以分割成三个体积相等的锥故锥体的体积为Sh V 31=（六）利用两个锥体做差可得台体的体积公式h S SS S V )''(31++=（七）例子：(1) 长方体的三个面的面积分别为2、6和9，则长方体的体积为[ ](2)平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，在从B 点出发的三条棱上分别取其中点E 、F 、G ，则棱锥B-EFG 的体积是平行六面体体积的[ ](3)如果一个正四面体的体积为9dm 3，则其表面积S 的值为[ ]棱锥的体积是 [ ](5)设正三棱柱的外接圆柱体体积为V 1，内切切圆柱体积为V 2，则[ ]A ．V 1∶V 2=∶1B ．V 1∶V 2=2∶1C ．V 1∶V 2=4∶1D ．V 1∶V 2=8∶1 课堂练习：教材第33页 练习A1.2、B1.2.3 小结：本节课应了解：祖暅原理以及柱锥台的体积计算公式 课后作业：教材第34页 习题1-1A ：7、8.。