高中数学人教b版高一必修二同步教案：1.1.7柱、锥、台和球的体积1

人教版高中必修2(B版)1.1.7柱、锥、台和球的体积课程设计一、课程目标1.了解柱、锥、台和球的定义及形态特征；2.掌握柱、锥、台和球的体积计算公式；3.能够运用已学知识，解决实际问题。

二、教学重点与难点教学重点：1.柱、锥、台和球的定义和形态特征；2.计算柱、锥、台和球的体积公式及应用。

教学难点：1.球的立体图形；2.提高学生运用公式计算的能力；3.引导学生探究柱、锥、台和球在实际生活中的应用。

三、教学内容与教学过程安排教学内容：1.柱、锥、台和球的定义及形态特征；2.柱、锥、台和球的体积计算公式及应用。

教学过程安排：教学环节具体安排教学时间教学环节具体安排教学时间导入介绍本节课的学习目标 5 min 学习1 讲解柱、锥、台和球的定义及形态特征20 min 练习1 针对柱、锥、台和球的形态，进行练习15 min 学习2 讲解柱、锥、台和球的体积计算公式30 min 练习2 进行柱、锥、台和球的体积计算练习20 min 拓展探究柱、锥、台和球在实际生活中的应用领域20 min 总结对本节课进行小结10 min四、教学方法和教学手段教学方法：1.演示教学法；2.引导式教学法；3.问题解决式教学法。

教学手段：1.黑板、彩笔；2.直观物品模型；3.PPT。

五、考核方式1.课堂练习；2.课后作业。

六、教学资源准备1.课本内容，PPT。

2.模型球、模型锥、模型台、模型柱。

七、教学反思与总结本节课是高中必修2(B版)中柱、锥、台和球的体积计算部分。

从初中到高中，体积是数学中让学生最难逃脱的一个主题。

因此，在本课程设计中，我们着重对柱、锥、台和球的定义及形态特征进行讲解，同时给出相应的计算公式及实例，引导学生练习运用公式解决问题。

在教学环节中引入了模型球、模型锥、模型台、模型柱等示范物体，试图通过直观的方式，提高学生对不同几何体的理解。

通过教学反思，认为本节课教学过程中，学生对于柱、锥、台和球的理解方面需要更进一步的引导和讲解。

1.1.7柱、锥、台和球的体积一、教学目标1、理解祖暅原理的内容；2、了解柱、锥、台体的体积公式的推导；3、掌握柱、锥、台体和球的体积公式。

4、能运用公式求柱体，锥体，台体和球的体积重点：体积计算及公式的推导方法难点：祖暅原理的理解及体积公式的应用二、知识梳理对祖暅原理的理解：关键词：夹在，两个平行平面，任意平面所截，截面的面积总相等1、柱体的体积一般柱体的体积公式V =，其中S为底面面积，h为棱柱的高。

棱柱〔圆柱〕的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足〔垂线与底面的交点〕之间的距离。

2、锥体的体积圆锥的体积公式是V=〔S为底面面积，h为高〕，它是同底等高的圆柱的体积的13。

棱锥的体积也是同底等高的棱柱体积的13，即棱锥的体积V=〔S为底面面积，h为高〕。

棱锥与圆锥的体积公式类似，都是棱锥〔圆锥〕的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足〔垂线与底面的交点〕之间的距离。

3、台体的体积由于圆台〔棱台〕是由圆锥〔棱锥〕截成的，因此可以利用两个锥体的体积差，得到园台〔棱台〕的体积公式：V=，其中S'，S分别为上、下底面面积，h为圆台〔棱台〕的高。

圆台〔棱台〕的高是指两个底面之间的距离。

4、球的体积：设球的半径为R，那么它的体积为V=球，是以R为自变量的函数。

三、[例题解析]阅读课本例1与例2完成课后练习A第1，2，3题补充例题2、直棱柱底面是菱形，面积为S，过两不相邻侧棱的截面面积分别为m，n，求直棱柱的体积2、假设干毫升水倒入底面半径为2的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6，假设将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，那么水面的高度为3、过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半、且AC＝BC＝AB＝6，求球的体积。

[限时训练]1、正方体的全面积是S,那么它的体积是( )()A()B()C()D2、假设圆柱和圆锥的底面直径,高都与球的直径相等,那么圆锥,球,圆柱的体积比是( )()A4:2:3()B1:2:3 ()C2:1:3 ()D8:32:243、台体中一个平行于底面的截面把台体分成上下两部分，假设台体的上底面面积，截面面积，下底面面积之比为1：4：9，那么截面把台体分成上下两部分的体积的比值为〔〕()A 827()B719()C513()D354、如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积为S，那么圆柱的体积等于〔〕〔A〔B〔C〔D5、圆柱的侧面展开图是边长为2和4的矩形，那么圆柱的体积是;6、三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为6，4，3，那么三棱锥的体积为;7、一个钢球的直径是5，那么它的体积是；假设球半径变为原来的2倍，体积变为原来的倍;8、棱长均相等的正四棱锥的全面积为)2361cm +，那么它的体积为； 9、一个正三棱台的上，下底面边长分别为3cm 和6cm ，高是32cm ，求三棱台的〔1〕侧棱长；〔2〕斜高；〔3〕体积.10、棱台的两个底面面积分别是245cm 2和80cm 2，截得这个棱台的棱锥的高为35cm ，求这个棱台的体积[课后作业]习题1-1A 第7，8，9题。

柱、锥、台与球体积示范教案整体设计教学分析本节教材介绍了祖暅原理，并利用长方体体积推导出了柱体体积公式．利用柱体体积推导出了锥体与台体体积．直接给出了球体积公式．值得注意是教学重点放在体积计算与应用，尽量在体积公式推导上少“纠缠〞．三维目标1．掌握柱、锥、台与球体积公式，培养学生探究能力．2．能够利用体积公式解决有关应用问题，提高学生解决实际问题能力．重点难点教学重点：体积计算与应用．教学难点：体积公式推导．课时安排1课时教学过程导入新课设计1.我们在初中学习中已经会根据长方体长、宽、高来计算长方体体积了，那么，棱柱、棱锥、棱台以及圆柱、圆锥、圆台体积如何计算呢？设计2.被誉为世界七大奇迹之首胡夫大金字塔，在1889年巴黎埃菲尔铁塔落成前四千多年漫长岁月中，胡夫大金字塔一直是世界上最高建筑物．在四千多年前生产工具很落后中古时代，埃及人是怎样采集、搬运数量如此之多，每块又如此之重巨石垒成如此宏伟大金字塔，真是一个十分难解谜．胡夫大金字塔是一个正四棱锥外形建筑，塔底边长，塔高，假设知道每块石块体积，你能计算出建此金字塔用了多少石块吗？推进新课新知探究提出问题1回忆长方体、正方体与圆柱体积公式，你能将它们统一成一种形式吗？并依次类比出柱体体积公式？,2比拟柱体、锥体、台体体积公式：,V柱体＝Sh S为底面积，h为柱体高；,V锥体＝13 ShS为底面积，h为锥体高；,V台体＝1 3S＋\r(SS′)＋S′h S′、S分别为上、下底面积，h为台体高.,你能发现三者之间关系吗？柱体、锥体是否可以看作“特殊〞台体？其体积公式是否可以看作台体体积公式“特殊〞形式？讨论结果：(1)棱长为a正方体体积V＝a3＝a2a＝Sh；长方体长、宽与高分别为a、b、c，其体积为V＝abc＝(ab)c＝Sh ；底面半径为r 高为h 圆柱体积是V ＝πr 2h ＝Sh ，可以类比，一般柱体体积也是V ＝Sh ，其中S 是底面面积，h 为柱体高．圆锥体积公式是V ＝13Sh(S 为底面面积，h 为高)，它是同底等高圆柱体积13. 棱锥体积也是同底等高棱柱体积13，即棱锥体积V ＝13Sh(S 为底面面积，h 为高)．由此可见，棱柱与圆柱体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥体积公式类似，都是底面面积乘高13. 由于圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成，因此可以利用两个锥体体积差，得到圆台(棱台)体积公式V ＝13(S′＋S ′S＋S)h ，其中S′、S 分别为上、下底面面积，h 为圆台(棱台)高．注意：不要求推导公式，也不要求记忆．(2)柱体可以看作是上、下底面一样台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点台体．因此柱体、锥体可以看作“特殊〞台体．当S′＝0时，台体体积公式变为锥体体积公式；当S′＝S 时，台体体积公式变为柱体体积公式，因此，柱体、锥体体积公式可以看作台体体积公式“特殊〞形式．柱体与锥体可以看作由台体变化得到，柱体可以看作是上、下底面一样台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点台体，因此很容易得出它们之间体积关系，如下列图：应用例如思路1例1如下列图所示，在长方体ABCD —A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C —A′DD′，求棱锥C —A′DD′体积与剩余局部体积之比．解：长方体可以看成直四棱柱ADD′A′—BCC′B′，设它底面ADD′A′面积为S ，高为h ，那么它体积为V ＝Sh.因为棱锥C —A′DD′底面面积为12S ，高是h ，所以棱锥C —A′DD′体积V C —A′DD′＝13×12Sh ＝16Sh. 余下体积是Sh －16Sh ＝56Sh. 所以棱锥C —A′DD′体积与剩余局部体积之比为1∶5. 变式训练一正四棱台上底边长为4 cm ，下底边长为8 cm ，高为3 cm.求其体积．解：V ＝13(S 上＋S 下＋S 上·S 下)h ＝13(42＋82＋42×82)×3＝112(cm 3)．即正四棱台体积为112 cm 3.例2有一堆一样规格六角螺帽毛坯(下列图)，共重5.8 kg.螺帽底面六边形边长是12 mm ，高是10 mm ，内孔直径是10 mm ，这一堆螺帽约有多少个(铁密度是7.8 g/cm 3，π≈3.14)解：六角螺帽毛坯体积是一个正六棱柱体积与一个圆柱体积差．因为V 正六棱柱＝6×12×12×(12×sin60°)×10＝3×122×32×10≈3.74×103(mm 3)，V 圆柱＝3.14×(10÷2)2×10≈0.785×103(mm 3)，所以一个螺帽体积V ＝ 3.74×103－0.785×103≈2.96×103(mm 3)＝2.96(cm 3)．因此约有5.8×103÷(7.8×2.96)≈2.5×102(个)．答：这堆螺帽约有250个．变式训练埃及胡夫金字塔大约建于公元前2580年，其形状为正四棱锥．金字塔高146.6 m ，底面边长230.4 m ．问这座金字塔侧面积与体积各是多少？解：如下列图，AC 为高，BC 为底面边心距，那么AC ＝146.6，BC ＝115.2，底面周长c ＝4×230.4.S 侧面积＝12c·AB＝12×4×230.4×错误!≈85 916.2(m 2)， V ＝13S·AC＝132×146.6≈2 594 046.0(m 3)． 答：金字塔侧面积约是85 916.2 m 2，体积约是2 594 046.0 m 3.思路2例3如下列图所示，一个空间几何体主视图、左视图、俯视图为全等等腰直角三角形，如果直角三角形直角边长为1，那么这个几何体体积为( )A ．1 B.12 C.13 D.16活动：让学生将三视图复原为实物图，讨论与交流该几何体构造特征．解析：根据三视图，可知该几何体是三棱锥，下列图所示为该三棱锥直观图，并且侧棱PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC.那么该三棱锥高是PA ，底面三角形是直角三角形，所以这个几何体体积为V ＝13S △ABC PA ＝13×12×1＝16. 答案：D点评：此题主要考察几何体三视图与体积．给出几何体三视图，求该几何体体积或面积时，首先根据三视图确定该几何体构造特征，再利用公式求得．此类题目成为新课标高考热点，应引起重视．变式训练1．如果一个空间几何体主视图与左视图均为全等等边三角形，俯视图为一个半径为1圆及其圆心，那么这个几何体体积为( ) A.3π3 B.23π3 C.3π D.π3 解析：由三视图知该几何体是圆锥，且轴截面是等边三角形，其边长等于底面直径2，那么圆锥高是轴截面等边三角形高为3，所以这个几何体体积为V ＝13×π×12×3＝3π3. 答案：A2.某几何体俯视图是如下列图所示矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4等腰三角形．(1)求该几何体体积V ；(2)求该几何体侧面积S.解：由三视图可知该几何体是一个底面边长分别为6、8矩形，高为4四棱锥．设底面矩形为ABCD.如下列图所示，AB ＝8，BC ＝6，高VO ＝4.(1)V ＝13×(8×6)×4＝64. (2)设四棱锥侧面VAD 、VBC 是全等等腰三角形，侧面VAB 、VCD 也是全等等腰三角形，在△VBC 中，BC 边上高为h 1＝VO 2＋AB 22＝42＋822＝42，在△VAB 中，AB 边上高为h 2＝VO 2＋BC 22＝42＋622＝5.所以此几何体侧面积S ＝2(12×6×42＋12×8×5)＝40＋24 2.点评：高考试题中对面积与体积考察有三种方式：一是给出三视图，求其面积或体积；二是与组合体有关面积与体积计算；三是在解答题中，作为最后一问，求出几何体面积或体积．3．〔2021 山东省烟台市高三期末统考，文6〕一个全面积为24正方体，内有一个与每条棱都相切球，那么此球体积为 ( )A.4π3B ．43π C.246π3 D.82π3解析：设正方体棱长为a ，那么6a 2＝24，解得a ＝2，又球与正方体每条棱都相切，那么正方体截面对角线长22等于球直径，那么球半径是2，那么此球体积为43π(2)3＝823π. 答案：D点评：球与其他几何体简单组合体问题，通常借助于球截面来明确构成组合体几何体构造特征及其联系，此题利用正方体面对角线长等于球直径这一隐含条件使得问题顺利获解．知能训练1．三个球半径之比为1∶2∶3，那么最大球外表积是其余两个球外表积之与 ( )A ．1倍B ．2倍C.95倍D.74倍 解析：根据球外表积等于其大圆面积4倍，可设最小一个半径为r ，那么另两个为2r 、3r ，所以各球外表积分别为4πr 2、16πr 2、36πr 2，36πr 24πr 2＋16πr 2＝95(倍)． 答案：C2．〔2021天津高考，理12〕一个长方体各顶点均在同一球球面上，且一个顶点上三条棱长分别为1,2,3，那么此球外表积为__________．解析：长方体对角线为12＋22＋32＝14，那么球半径为142，那么球外表积为4π(142)2＝14π. 答案：14π3．一个正方体各顶点均在同一球球面上，假设该球体积为43π，那么该正方体外表积为__________． 解析：43π＝4π3R 3，∴R＝3(R 为球半径)． ∴3a ＝2R ＝2 3.∴a＝2(a 为正方体棱长)．∴S 表＝6a 2＝24.答案：244.如下列图所示，圆柱底面直径与高都等于球直径，求证：(1)球体积等于圆柱体积23； (2)球外表积等于圆柱侧面积．活动：学生思考圆柱与球构造特征，并展开空间想象．教师可以使用信息技术帮助学生读懂图形．证明：(1)设球半径为R ，那么圆柱底面半径为R ，高为2R.那么有V 球＝43πR 3，V 圆柱＝πR 2·2R＝2πR 3， 所以V 球＝23V 圆柱． (2)因为S 球＝4πR 2，S 圆柱侧＝2πR·2R＝4πR 2，所以S 球＝S 圆柱侧．5．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上积雪之用)，已建仓库底面直径为12 m ，高4 m ．养路处拟建一个更大圆锥形仓库，以存放更多食盐．现有两种方案：一是新建仓库底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变)．(1)分别计算按这两种方案所建仓库体积；(2)分别计算按这两种方案所建仓库侧面积；(3)哪个方案更经济些？解：(1)如果按方案一，仓库底面直径变成16 m ，那么仓库体积V 1＝13Sh ＝13×π×(162)2×4＝2563π(m 3)． 如果按方案二，仓库高变成8 m ，那么仓库体积V 2＝13Sh ＝13×π×(122)2×8＝2883π(m 3)． (2)如果按方案一，仓库底面直径变成16 m ，半径为8 m ．棱锥母线长为l ＝82＋42＝4 5.那么仓库外表积S 1＝π×8×45＝325π(m 2)．如果按方案二，仓库高变成8 m ，棱锥母线长为l ＝82＋62＝10，那么仓库侧面积S 2＝π×6×10＝60π(m 2)．(3)∵V 2>V 1，S 2<S 1，∴方案二比方案一更加经济．拓展提升1．如左下列图，一个正三棱柱形容器，底面边长为a ，高为2a ，内装水假设干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如右下列图，这时水面恰好为中截面，那么左下列图中容器内水面高度是__________．分析：右上图中容器内水面高度为h ，水体积为V ，那么V ＝S △ABC h.又右上图中水组成了一个直四棱柱，其底面积为34S △ABC ，高度为2a ，那么V ＝34S △ABC ·2a， ∴h＝34S △ABC ·2a S △ABC ＝32a. 答案：32a 2．圆台两个底面半径分别为2、4，截得这个圆台圆锥高为6，那么这个圆台体积是__________．解析：设这个圆台高为h ，画出圆台轴截面，可得24＝6－h 6，解得h ＝3，所以这个圆台体积是π3(22＋2×4＋42)×3＝28π. 答案：28π课堂小结本节学习了：1．简单几何体体积公式．2．解决有关计算问题．设计感想新课标对本节内容要求是了解柱体、锥体、台体外表积与体积计算公式(不要求记忆公式)，也就是说对体积与面积公式推导、证明与记忆不作要求，按通常理解是会求体积与面积，以及很简单应用即可．因此本节教学设计中就表达了这一点，把重点放在了对公式简单应用上．由于本节图形较多，建议在使用时，尽量结合信息技术．备课资料从洗澡故事说起关于阿基米德，流传着这样一段有趣故事．相传叙拉古赫国王让工匠替他做了一顶纯金王冠，做好后，国王疑心工匠在金冠中掺了假，但这顶金冠确与当初交给金匠纯金一样重，到底工匠有没有捣鬼呢？既想检验真假，又不能破坏王冠，这个问题不仅难倒了国王，也使诸大臣们面面相觑．后来，国王请阿基米德来检验．最初，阿基米德也是冥思苦想而不得要领．一天，他去澡堂洗澡，当他坐进澡盆里时，看到水往外溢，同时感到身体被轻轻托起．他突然悟到可以用测定固体在水中排水量方法，来确定金冠比重．他兴奋地跳出澡盆，连衣服都顾不得穿就跑了出去，大声喊着：“尤里卡！尤里卡！〞(Fureka，意思是“我知道了〞)他经过了进一步实验以后来到王宫，他把王冠与同等重量纯金放在盛满水两个盆里，比拟两盆溢出来水，发现放王冠盆里溢出来水比另一盆多．这就说明王冠体积比一样重量纯金体积大，所以证明了王冠里掺进了其他金属．他这一发现在物理学课本上被称作“阿基米德原理〞，是流体静力学中第一个根本原理．。

1.1.7 柱、锥、台和球的体积(1)自主学习学习目标1．了解柱、锥、台的体积计算公式，并学会运用这些公式解决一些简单问题．2．结合祖暅原理等内容的学习，了解我国古代数学家在数学发展上做出的杰出贡献，培养爱国主义思想，逐步培养热爱科学的态度．自学导引1．祖暅原理(1)祖暅原理：____________，则积不容异，这就是说，夹在两个________平面间的两个几何体，被__________这两个平面的________平面所截，如果截得的两个截面的面积总________，那么这两个几何体的体积相等．(2)应用祖暅原理可以说明：等__________、等______的两个柱体或锥体的体积相等．2．柱、锥、台、球的体积(1)柱体的体积等于它的底面积S和高h的积，即V柱体＝______.底面半径是r，高是h 的圆柱体的体积的计算公式是V圆柱＝__________.(2)如果一个锥体的底面积是S，高是h，那么它的体积是V锥体＝__________.如果圆锥的底面半径是r，高是h，则它的体积是V圆锥＝__________.(3)如果一个台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，那么它的体积是V台体＝__________________.如果圆台的上、下底面半径分别是r′、r，高是h，则它的体积是V圆台＝________________.对点讲练知识点一求台体的体积例1已知正三棱台(上、下底是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)的上、下底面边长分别是2 cm与4 cm，侧棱长是 6 cm，试求该三棱台的体积与表面积．点评在解决棱锥、棱台的侧面积、表面积及体积问题时往往将已知条件归结到一个直角三角形中求解，为此在解此类问题时，要注意直角三角形的应用．变式训练1一个正四棱台的斜高为12 cm，侧棱长为13 cm，侧面积为720 cm2，求它的体积．知识点二求锥体的体积例2三棱锥的顶点为P，已知三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，若PA＝2，PB ＝3，PC＝4.求三棱锥P－ABC的体积．点评三棱锥又称四面体，由于它的每一个面均可作为棱锥的底面，因此，灵活性较大，通过变换底面与对应的顶点，找出较易求出面积的底面和对应的高，从而求出体积，这种方法又称等体积变换．变式训练2已知正三棱锥P－ABC(如图所示)，侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，AB ＝2，求此三棱锥的体积．知识点三综合应用例3已知正三棱锥V—ABC(底面是等边三角形，顶点在底面的射影是底面的中心)的主视图，俯视图如图所示，其中VA＝4，AC＝23，求该三棱锥的表面积与体积．点评 把几何体的表面积与体积的计算与三视图结合考查是高考的一个热点，解决此类问题的关键是正确地观察三视图，把它还原为直观图，特别要注意从三视图中得到几何体的度量，再结合表面积或体积公式解题．变式训练3 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2π＋2 3B ．4π＋2 3C ．2π＋233D ．4π＋2331．在解决棱锥、棱台的侧面积、表面积及体积问题时往往将已知条件归结到一个直角三角形中求解，为此在解此类问题时，要注意直角三角形的应用．2．有关旋转体的表面积和体积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解．而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解．3．柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为V 柱体＝Sh ――→S ′＝S V 台体＝13h(S ＋SS ′＋S ′)――→S ′＝0V 锥体＝13Sh.课时作业一、选择题1．圆台上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是( ) A.233πB ．23πC.736πD.733π2．圆柱的侧面展开图是长12 cm ，宽8 cm 的矩形，则这个圆柱的体积为( ) A.288π cm 3 B.192π cm 3 C.288π cm 3或192πcm 3D ．192π cm 33．如图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是( )4．一个水平放置的圆柱形储油桶，桶内有油部分所在圆弧占底面圆周长的14，则油桶直立时，油的高度与桶的高度的比值是( )A.14B.14－12πC.18D.12π－185．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2π＋2 3B ．4π＋2 3C ．2π＋233D ．4π＋233题 号 1 2 3 4 5 答 案二、填空题 6．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的体积为________． 7．如图所示，在长方体 ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝6，AD ＝4，AA 1＝3.分别过BC ，A 1D 1的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为V 1＝VAEA 1—DFD 1，V 2＝VEBE 1A —FCF 1D 1，V 3＝VB 1E 1B —C 1F 1C ，若V 1∶V 2∶V 3＝1∶4∶1，则截面A 1EFD 1的面积为________．三、解答题8．一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)：(1)试画出它的直观图； (2)求它的表面积和体积．9．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，主视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，左视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体的侧面积S.【答案解析】 自学导引1．(1)幂势既同 平行 平行于 任意 相等 (2)底面积 高2．(1)Sh πr 2h (2)13Sh 13πr 2h(3)13h(S ＋SS ′＋S ′) 13πh(r 2＋rr ′＋r ′2)对点讲练 例1 解如图所示，O ′、O 分别是上、下底面的中心，连接OO ′、O ′B ′、OB ，在平面BCC ′B ′内过B ′作B ′D ⊥BC 于D ，在平面BOO ′B ′内作B ′E ⊥OB 于E.∵△A ′B ′C ′是边长为2的等边三角形，O ′是中心， ∴O ′B ′＝23×2×32＝233，同理OB ＝433，则BE ＝OB －O ′B ′＝233.在Rt △B ′EB 中，BB ′＝6，BE ＝233，∴B ′E ＝423，即棱台高为423cm. 所以三棱台的体积为V 棱台＝13×423(34×16＋34×4＋34×16×34×4) ＝7143(cm 3)． 由于棱台的侧面是等腰梯形，∴BD ＝12×(4－2)＝1.在Rt △B ′DB 中，BB ′＝6，BD ＝1， ∴B ′D ＝5，即梯形的高为 5 cm. 所以棱台的表面积S ＝S 上底＋S 下底＋S 侧 ＝34×4＋34×16＋3×12×(2＋4)× 5 ＝53＋9 5 (cm 2)．所以棱台的表面积是(53＋95) cm 2， 体积是7143cm 3.变式训练1 解 设该棱台的上、下底面边长分别为b 和a ，高为h ，斜高为h ′，侧棱长为l ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧S 侧＝12(4a ＋4b )·h ′l 2＝h ′2＋[12(a －b )]2h ′2＝h 2＋[12(a －b )]2.∵h ′＝12，l ＝13，S 侧＝720，∴⎩⎪⎨⎪⎧720＝12×4(a ＋b )×12132＝122＋14(a －b )2122＝h 2＋14(a －b )2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝20b ＝10h ＝119，∴V 正四棱台＝13×119×(202＋20×10＋102)＝7003119(cm 3)， 即此四棱台的体积为7003119 cm 3.例2 解 如图，在长方体中，PA 、PB 、PC 两两互相垂直，显然AP ⊥平面BPC.∴AP 是三棱锥A －PBC 的高． ∵S △BPC ＝12·BP·PC＝12×3×4＝6， ∴V 三棱锥P －ABC ＝V 三棱锥A －PBC ＝13S △BPC ·AP ＝13×6×2＝4.变式训练2解 ∵三棱锥P －ABC 为正三棱锥，∴△ABC 为正三角形， PA ＝PB ＝PC ，∵侧棱PA 、PB 、PC 两两互相垂直， 且AB ＝2，∴可建立如图所示的正方体， 则PA ⊥平面PBC ，PA ＝PB ＝PC ＝1. ∴V ＝13Sh ＝13S △PBC ·PA＝13×12×1×1×1＝16. 例3 解由主视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图所示，且VA ＝VB ＝VC ＝4，AB ＝BC ＝AC ＝23，取BC 的中点D ，连接VD ， 则VD ＝VB 2－BD 2＝42－(3)2＝13，∴S △VBC ＝12×VD ×BC ＝12×13×23＝39，S △ABC ＝12×(23)2×32＝33，∴三棱锥V —ABC 的表面积为3S △VBC ＋S △ABC ＝339＋33＝3(39＋3)．点V 在底面ABC 上的射影为H ，则A ，H ，D 三点共线，VH 即为三棱锥V —ABC 的高， VH ＝VD 2－HD 2＝VD 2－⎝⎛⎭⎫13AD 2＝(13)2－12＝23，∴V V —ABC ＝13S △ABC ·VH ＝13×33×23＝6，所以正三棱锥的体积是6. 变式训练3 C课时作业 1．D 2．C 3．C 4．B 5．C 6．224π 解析如图为圆台的轴截面，设圆台上、下底半径及圆台的高分别为x,4x,4x ，则在三角形ABC 中，AC ＝4x ，BC ＝4x －x ＝3x ，AB ＝10，由于AB 2＝AC 2＋BC 2，∴16x 2＋9x 2＝25x 2＝100，∴x ＝2，从而可知圆台的上、下底面半径及高分别为2,8,8. ∴圆台的体积V ＝13(S ′＋S ′S ＋S)h＝13(π×22＋π×22×π×82＋π×82)×8＝224π. 7．413解析 本题主要考查棱柱的概念和棱柱的体积公式．长方体体积为72，则VAA 1E —DD 1F ＝12，∴S △AA 1E ＝3，∴AE ＝2.∴A 1E ＝13，∴S 矩形A 1EFD 1＝413. 8．解 (1)直观图如图所示．(2)方法一 由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角，且该几何体的体积是以A 1A ，A 1D 1，A 1B 1为棱的长方体的体积的34，在直角梯形AA 1B 1B 中，作BE ⊥A 1B 1， 则AA 1EB 是正方形， ∴AA 1＝BE ＝1.在Rt △BEB 1中，BE ＝1，EB 1＝1， ∴BB 1＝ 2.∴几何体的表面积S ＝S 正方形AA 1D 1D ＋2S 梯形AA 1B 1B ＋S 矩形BB 1C 1C ＋S 正方形ABCD＋S 矩形A 1B 1C 1D 1＝1＋2×12×(1＋2)×1＋1×2＋1＋1×2＝7＋2(m 2)．∴几何体的体积V ＝34×1×2×1＝32(m 3)，∴该几何体的表面积为(7＋2)m 2，体积为32m 3.方法二 几何体可以看作是以AA 1B 1B 为底面的直四棱柱，其表面积求法同方法一， V 直四棱柱D 1C 1CD －A 1B 1BA ＝Sh ＝12×(1＋2)×1×1＝32(m 3)． ∴几何体的表面积为(7＋2)m 2，体积为32m 3.9．解 (1)由该几何体的俯视图、主视图、左视图可知，该几何体是四棱锥，且四棱锥的底面ABCD 是边长为6和8的矩形，高PO ＝4，O 点是AC 与BD 的交点．∴该几何体的体积V ＝13×8×6×4＝64. (2)如图所示，侧面PAB 中，PE ⊥AB ，则PE ＝PO 2＋OE 2＝42＋32＝5，∴S △PAB ＝12×AB ×PE ＝12×8×5＝20， 侧面PBC 中，PF ⊥BC ，则PF ＝PO 2＋OF 2＝42＋42＝4 2.∴S △PBC ＝12×BC ×PF ＝12×6×42＝122， ∴该几何体的侧面积S ＝2(S △PAB ＋S △PBC )＝40＋24 2.。