球体万有引力的计算
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球体间万有引力计算的探究
南京市第12中学 杨伟
高中物理中关于万有引力定律是这样叙述的“自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比，与它们之间距离r 的二次方成反比。
”这种表达是很不严密的。
因为距离应该是两个点之间的，当物体可视为质点时没有问题，但当物体不能看成质点时就为难了。
对此人教版普通高中课程标准实验教科书物理必修2 P70上有这么一段说明：““两个物体间的距离”到底是指物体哪两部分间的距离？对于可以看做质点的物体，当然就是这两个点间的距离。
如果是地球，月球等球体，牛顿应用微积分的方法得知，这个距离应该是球心间的距离。
”（其中加下划线的三个“间”是本人加上去的）
牛顿是怎样用微积分的方法得知的，我们都不得而知，所有的教参上也都没有提到。
我想做一件被大家忽略的事或许会有点意思。
于是就有了下文，我用两种方法来证明“对于质量分布均匀的球体，在计算万有引力时，可以把其看成质量都集中在球心的质点。
”
方法一：微积分方法。
这种方法比较复杂，为了简化，我用命题1和命题2做铺垫。
命题1。
质量分布均匀的圆环对在其轴线上的质点的万有引力。
设环质量为m 1 ,质点质量为m 2 ,环半径为r , 环中心到质点的距离为x ,把环分成许多小段, 任取一小段可视为质点,其质量为d m ,它对质 点的引力为d F ,再把其分解为沿轴和垂直于轴 的两个分量d F1和d F2 ,由于质量分布均匀,由
对称性可知环上所有d m 对质点引力的d F2分量的矢量和为零,所以环对质点的引力为: F=
1
1m dF ⎰
,
而d F1=d F cos ө
=()
2121
21
3
2222
2
2
2
cos Gm dm Gm dm Gm xdm r x r x
r
x
θ=•=
+++ .
所以
()
1213
1
2
2
2
F m Gm m x
F d r
x
==
+⎰ .
命题2: 质量分布均匀的圆面对在其轴线上的一个质点的万有引力.
设圆面质量为M 1 ,质点质量为m 2 ,圆面半径为R, 圆心到质点的距离为x , 在圆面内任取一半径为r 宽为d r 的同心圆环,则由命题1得此圆环对质点m 2的 引力为
()
()12212332222222
22r r F M G rd m x
GM m xrd R d r x R r x ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭==++
()()()()
()12320
0222
22123202221
2
2122
2
1212222
2121R
R R R
GM m x r F dF dr R
x r GM m x d x r R
x r GM m x x r R GM m x R x R -==+=++⎡⎤=
-+⎢⎥⎣
⎦⎡⎤
⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥+⎣⎦
⎰
⎰⎰
正题: 质量分布均匀的球体对其外的一个质点的万有引力.
设球的质量为M,质点的质量为m, 球心到质点的距离 为L,球半径为r.为了计算球对质点的引力,可以在球中截取
一半径为R 厚度为dx 并且其轴线与球心和质点的连线重合的圆片,设此圆片的中心到质点m 的距离为x. 则由命题2可得该圆片对质点的引力为:
为了计算
()()()
()()()23
12222
132222
22132221322213222243131231223122322L r L r L r L r M G R dx m r x dF R x R GMm x dx r x R R r L x GMm x dF dx r
r L Lx GMm x F dx r r L Lx GMm x dx d r r L Lx ππ+-+-⎛⎫
⎪ ⎪⎡⎤ ⎪⎢⎥⎝⎭=-⎢⎥⎢⎥+⎣⎦
⎡⎤
⎢⎥=-⎢⎢⎥
+⎣⎦
=--⎡⎤⎢⎥
∴=-⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦
⎡⎤
⎢⎥=-⎢
⎥⎢⎥
-+⎣⎦
=+-+⎰⎰2L r L r L r
L r
x dx r
+-+-⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦=⎰⎰
()
12
22
2L r
L r
x
dx
r
L Lx +--+⎰
所以
32222(2).
3r Mm r r G L L
⎡⎤--=⎢⎥⎣⎦33GMm F=2r
这说明：对于质量分布均匀的球体，在计算万有引力时，可以把其看成质量都集中在球心的质点。
方法二：类比法，为了数学形式的对称，我引入了万有引力场强度和万有引力通量着两个概念，不知是否恰当，请专家指点。
2211.44Qq Mm F r r r r πεπε=
⋅=⋅引电库仑定律： 万有引力定律:F 1
)4G πε=（令
电场强度：
F E q =
电电 。
万有引力场强度：
F E m =引
引 。
电通量：d E ds Φ=⋅电 万有引力通量：d E d s φ=⋅引 .
()
()()()()()
()()()()()()()()()()
2211
2
2
2
2
11
22212
1
22
2
31
22221
221
22222212
2
2
22111
2232
231
232r L a L b x
x
dx dx a bx r
L Lx a bx a d a bx b
a bx a bx a a bx d a bx d a bx b
b a bx a
a bx a bx C
b b
a bx bx a C b
r L Lx r L Lx C
L
x
r
L Lx -===+-+⎡⎤+⎢⎥=-+⎢⎥++⎢⎥⎣⎦=++-
++=+-++=+⋅-+=--+⋅--+∴-+⎰
⎰
⎰⎰⎰
令 ，则
还原()()1
22
22223212322.
3L r
L r
L r
L r dx r L Lx r L Lx L r r L ++--⎡⎤=--+⋅--⎢⎥
⎣⎦=-⎰
高斯定律：q
E d s ε
⋅=
⎰⎰电 （q 为闭合面内的总电量）
应用高斯定律，计算均匀带电球体在其外任一点p 的电场强度。
设球半径为R,带电量为Q,球心到p 点的距离为r. 过p 点作与带电球同心的球面S,因为电荷分布均匀
由对称性可知S 面上各点的场强大小相等设为E ，方向沿径向， 通过S 的电通量为：24s
E d s E r πΦ=⋅=⋅⎰⎰
电
由高斯定律得：
22
2
444Q
E r r r
πε
πεπε⋅=电Q 即 E=
Q E =
r 其中r 为径向单位矢量。
由于数学表达式完全对称，因此，同理可得，质量分布均匀的球体在其外任一点的万有引力场强度为 ： 。
2
4M
E r r
πε=
引 M 为球的质量, r 为球心到所取点的距离.
因为 14G πε
=
所以 2
M
E G
r r =引 。
又因为质点的引入不会影响球体的质量分布，故在所取点上放入一质量为m 的质点时，球对该质点的万有引力为：
2.Mm
F E m G
r r
=⋅=引引 （其中的r 为沿球心和质点的连线向内的单位矢量）。
这也证明了：对于质量分布均匀的球体，在计算万有引力时，可以把其看成质量都集中在球心的质点。
参考：1、高中物理教材。
2、清华大学教材《大学物理学》第三册〈〈电磁学〉〉 张三慧主编
3、〈〈电磁学〉〉 梁灿彬 秦光戎
梁竹健编。
