2019高考数学一轮复习 第六章 3-第三节 等比数列及其前n项和

1 第3讲 等比数列及其前n项和

基础知识整合

1．等比数列的有关概念

(1)定义

如果一个数列从第□012项起，每一项与它的前一项的比等于□02同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的□03公比，通常用字母q表示，定义的表达式为□04an＋1an＝q.

(2)等比中项

如果a，G，b成等比数列，那么□05G叫做a与b的等比中项，即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒□06G2＝ab(ab≠0)．

2．等比数列的有关公式

(1)通项公式：an＝□07a1qn－1.

2

等比数列的常用性质

(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．

(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a2k.

(3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，1an，{a2n}，{an·bn}，anbn(λ≠0)仍然是等比数列．

(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.

(5)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.

(6)等比数列{an}满足 a1>0，q>1或 a1<0，00，01时，{an}是递减数列．

3 1．(2019·四川成都检测)在等比数列{an}中，已知a3＝6，a3＋a5＋a7＝78，则a5＝( )

A．12 B．18

C．24 D．36

答案 B

解析 由题意，a3＋a5＋a7＝a3(1＋q2＋q4)＝78，所以1＋q2＋q4＝13，解得q2＝3，所以a5＝a3q2＝18.故选B.

2．已知{an}是等比数列，且an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值为( )

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第 1 页 共 7 页 第六章 数 列

第三讲 等比数列及其前n项和

1。［2021陕西百校联考］已知等比数列｛an｝的公比为q,前4项的和为a1+14，且a2,a3+1,a4成等差数列,则q的值为（ ）

A.12或2 B。1或12 C.2 D.3

2。[2021安徽省四校联考]已知正项等比数列{an｝的前n项和为Sn,若a4=18，S3-a1=34,则S4=（ )

A.116 B.18 C。3116 D.158

3.[2020合肥三检］[数学文化题］公元前1650年左右的埃及《莱因德纸草书》上载有如下问题：“十人分十斗玉米,从第二人开始,各人所得依次比前人少八分之一,问每人各得玉米多少斗?”在上述问题中，第一人分得玉米( ）

A.70×89810-1斗 B.10×810810-710斗 C。10×89810-710斗 D。10×88810-710斗

4.［2020南昌市测试］公比不为1的等比数列｛an｝中,若a1a5=aman，则mn不可能为（ )

A。5 B.6 C。8 D.9

5。[2020成都市高三摸底测试]已知等比数列{an}的各项均为正数,若log3a1+log3a2+…+log3a12=12，则a6a7=( ）

A.1 B。3 C。6 D.9

6.［2021四省八校联考］已知等比数列{an｝的公比为q，前n项和为Sn=m—qn,若a5=—8a2,则S5= . 2022632

第 2 页 共 7 页 7。［2020大同市高三调研]已知各项均为正数的等比数列｛an}中,a1a2a3=5，a7a8a9=10,则a4a5a6= .

8。[2020全国卷Ⅲ，17,12分]设等比数列｛an}满足a1+a2=4,a3—a1=8。

(1)求{an｝的通项公式；

（2)记Sn为数列｛log3an｝的前n项和.若Sm+Sm+1=Sm+3，求m.

9。[条件创新]已知等比数列｛an}的前n项和为Sn,且𝑎𝑛+1+𝜆3=Sn，a3=12,则实数λ的值为（ ）

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一、选择题

1．已知等比数列{an}中，a5＝10，则lg (a2a8)等于( )

A．1 B．2

C．10 D．100

答案 B

解析 由等比数列的性质可知lg (a2a8)＝lg a25＝lg 100＝2.

2．[2015·唐山统考]设Sn是等比数列{an}的前n项和，若S4S2＝3，则S6S4＝( )

A．2 B.73

C.310 D．1或2

答案 B

解析 设S2＝k，S4＝3k，由数列{an}为等比数列，得S2，S4－S2，S6－S4为等比数列，∴S2＝k，S4－S2＝2k，S6－S4＝4k，∴S6＝7k，S4＝3k，∴S6S4＝7k3k＝73，故选B.

3．[2015·江西八校联考]数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n(n∈N*)，若p－q＝5，则ap－aq＝( )

A．10 B．15

C．－5 D．20

答案 D

解析 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，当n＝1时，a1＝S1＝－1，符合上式，∴an＝4n－5，∴ap－aq＝4(p－q)＝20.

高考学习网－中国最大高考学习网站 | 我们负责传递知识！ 4．数列{an}的首项为1，数列{bn}为等比数列，且bn＝an＋1an，若b1007·b1008＝2，则a2015＝( )

A．22014 B．21008

C．21007 D．22013

答案 C

解析 根据等比数列的特性可知，b1b2b3…b8＝a9a1，且b1b2b3…b2014＝a2015a1⇒a2015＝21007，故选C.

5．等比数列{an}中，a3＝9，前三项和S3＝033x2dx，则公比q的值为( )

A．1 B．－12

C．1或－12 D．－1或－12

答案 C

解析 S3＝033x2dx＝x3 30＝27－0＝27，设公比为q，又a3＝9，则9q2＋9q＋9＝27，即2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－12，故选C.

2021

第三节 等比数列及其前n项和

［最新考纲］ ［考情分析］ ［核心素养]

1.理解等比数列的概念。

2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.

3.了解等比数列与指数函数的关系。 等比数列的基本运算,等比数列的判断与证明,等比数列的性质与应用仍是2021年高考考查的热点，三种题型都有可能出现，分值为5~12分. 1.数学运算

2.逻辑推理

‖知识梳理‖

1．等比数列的有关概念

(1)定义

①文字语言：从错误!第2项起，每一项与它的前一项的错误!比都等于错误!同一个常数．

②符号语言：错误!错误!＝q（n∈N*，q为非零常数)．

（2）等比中项：如果a，G,b成等比数列，那么错误!G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝6ab． 2021

2．等比数列的有关公式

(1）通项公式：an＝错误!a1qn－1．

（2)前n项和公式

3．等比数列的性质

（1）通项公式的推广:an＝am·qn－m（m，n∈N＊）．

（2）对任意的正整数m,n，p，q，若m＋n＝p＋q，则错误!am·an＝错误!ap·aq．

特别地，若m＋n＝2p,则am·an＝a2p.

(3）若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm,S3m－S2m仍成等比数列，即（S2m－Sm)2＝13Sm（S3m－S2m）（m∈N＊，公比q≠1）．

(4）数列｛an｝是等比数列，则数列｛pan}(p≠0，p是常数)也是错误!等比数列．

(5)在等比数列{an｝中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k,an＋2k，an＋3k，…为等比数列,公比为错误!qk．

►常用结论

1．若｛an｝，｛bn}（项数相同)是等比数列，则{λan｝（λ≠0),错误!，{a2，n}，{an·bn｝,错误!仍是等比数列．

2．一个等比数列各项的k次幂仍组成一个等比数列，新公比2021

是原公比的k次幂．