2022届高考一轮复习第5章数列第3节等比数列及其前n项和

1 第3讲 等比数列及其前n项和

基础知识整合

1．等比数列的有关概念

(1)定义

如果一个数列从第□012项起，每一项与它的前一项的比等于□02同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的□03公比，通常用字母q表示，定义的表达式为□04an＋1an＝q.

(2)等比中项

如果a，G，b成等比数列，那么□05G叫做a与b的等比中项，即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒□06G2＝ab(ab≠0)．

2．等比数列的有关公式

(1)通项公式：an＝□07a1qn－1.

2

等比数列的常用性质

(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．

(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a2k.

(3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，1an，{a2n}，{an·bn}，anbn(λ≠0)仍然是等比数列．

(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.

(5)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.

(6)等比数列{an}满足 a1>0，q>1或 a1<0，00，01时，{an}是递减数列．

3 1．(2019·四川成都检测)在等比数列{an}中，已知a3＝6，a3＋a5＋a7＝78，则a5＝( )

A．12 B．18

C．24 D．36

答案 B

解析 由题意，a3＋a5＋a7＝a3(1＋q2＋q4)＝78，所以1＋q2＋q4＝13，解得q2＝3，所以a5＝a3q2＝18.故选B.

2．已知{an}是等比数列，且an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值为( )

第五章 数列

第三节 等比数列及其前n项和

课时规范练

A组——基础对点练

1．(2020·合肥模拟)已知各项均为正数的等比数列{an}满足a1a5＝16，a2＝2，则公比q＝( )

A．4 B．52

C．2 D.12

解析：由题意，得a1·a1q4＝16，a1q＝2，解得a1＝1，q＝2或a1＝－1，q＝－2(舍去)，故选C.

答案：C

2．(2020·重庆模拟)已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝14，a3＝8，则a6＝( )

A．16 B．32

C．64 D．128

解析：由题意得，等比数列的公比为q，由S3＝14，a3＝8，则a1（1＋q＋q2）＝14，a3＝a1q2＝8，解得a1＝2，q＝2，所以a6＝a1q5＝2×25＝64，故选C.

答案：C

3．已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝( )

A．21 B．42

C．63 D．84

解析：设数列{an}的公比为q，则a1(1＋q2＋q4)＝21，又a1＝3，所以q4＋q2－6＝0，所以q2＝2(q2＝－3舍去)，所以a3＝6，a5＝12，a7＝24，所以a3＋a5＋a7＝42.故选B.

答案：B

4．(2020·辽宁五校协作体联考)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为22，则log2a7＋log2a11的值为( )

A．1 B．2

C．3 D．4

解析：由题意得a4a14＝(22)2＝8，由等比数列的性质，得a4a14＝a7a11＝8，∴log2a7＋log2a11＝log2(a7a11)＝log28＝3，故选C.

答案：C

5．在等比数列{an}中，a2a3a4＝8，a7＝8，则a1＝( )

A．1 B．±1 C．2 D．±2

解析：因为数列{an}是等比数列，所以a2a3a4＝a33＝8，所以a3＝2，所以a7＝a3q4＝2q4＝8，所以q2＝2，则a1＝a3q2＝1，故选A.

小学+初中+高中

小学+初中+高中 第五章 第3节 等比数列及其前n项和

[基础训练组]

1．(导学号14577459)若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，则公比为( )

A．2 B．4

C．8 D．16

解析：B [由anan＋1＝16n，知a1a2＝16，a2a3＝162，

后式除以前式得q2＝16，∴q＝±4.

∵a1a2＝a21q＝16>0，∴q>0，∴q＝4.]

2．(导学号14577460)等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5＞a2，则an等于( )

A．(－2)n－1 B．－(－2)n－1

C．(－2)n D．－(－2)n

解析：A [∵|a1|＝1，∴a1＝1或a1＝－1.

∵a5＝－8a2＝a2·q3，∴q3＝－8，∴q＝－2.

又a5＞a2，即a2q3＞a2，∴a2＜0.而a2＝a1q＝a1·(－2)＜0，∴a1＝1.故an＝a1·(－2)n－1＝(－2)n－1.]

3．(导学号14577461)已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝14，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝( )

A．16(1－4－n) B．16(1－2－n)

C.323(1－4－n) D.323(1－2－n)

解析：C [∵a2＝2，a5＝14，∴a1＝4，q＝12.

a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝323(1－4－n)．]

4．(导学号14577462)在等比数列{an}中，a3＝7，前3项之和S3＝21，则公比q的值为( )

A．1 B．－12

C．1或－12 D．－1或12

解析：C [根据已知条件 a1q2＝7，a1＋a1q＋a1q2＝21.得1＋q＋q2q2＝3.整理得2q2－q－1＝0，小学+初中+高中

小学+初中+高中 解得q＝1或q＝－12.]

5．(导学号14577463)(2018·泉州市一模)已知Sn为数列{an}的前n项和且Sn＝2an－2，则S5－S4的值为( )

小学+初中+高中

小学+初中+高中 第3讲 等比数列及其前n项和

一、选择题

1．设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4－2，3S2＝a3－2，则公比q＝( )

A．3 B．4

C．5 D．6

解析：选B.由题意知，q≠1，则3a1（1－q3）1－q＝a1q3－23a1（1－q2）1－q＝a1q2－2，两式相减可得－3（q3－q2）1－q＝q3－q2，即－31－q＝1，所以q＝4.

2．(2018·成都第二次诊断检测)在等比数列{an}中，已知a3＝6，a3＋a5＋a7＝78，则a5＝( )

A．12 B．18

C．36 D．24

解析：选B.a3＋a5＋a7＝a3(1＋q2＋q4)＝6(1＋q2＋q4)＝78⇒1＋q2＋q4＝13⇒q2＝3，所以a5＝a3q2＝6×3＝18.故选B.

3．(2017·高考全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )

A．1盏 B．3盏

C．5盏 D．9盏

解析：选B.每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{an}，则前7项的和S7＝381，公比q＝2，依题意，得a1（1－27）1－2＝381，解得a1＝3，选择B.

4．(2018·广州综合测试(一))已知等比数列{an}的各项都为正数，且a3，12a5，a4成等差数列，则a3＋a5a4＋a6的值是( )

A．5－12 B.5＋12

C．3－52 D.3＋52

解析：选A.设等比数列{an}的公比为q，由a3，12a5，a4成等差数列可得a5＝a3＋a4，即a3q2＝a3＋a3q，故q2－q－1＝0，解得q＝1＋52或q＝1－52(舍去)，由a3＋a5a4＋a6＝a3＋a3q2a4＋a4q2＝a3（1＋q2）a4（1＋q2）＝1q＝25＋1＝2（5－1）（5＋1）（5－1）＝5－12，故选A. 小学+初中+高中