高考数学一轮复习 第六章 数列 第3讲 等比数列及其前n项和 理(2021年最新整理)

2018版高考数学一轮复习 第六章 数列 第3讲 等比数列及其前n项和 理

1 2018版高考数学一轮复习 第六章 数列 第3讲 等比数列及其前n项和 理

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2018版高考数学一轮复习 第六章 数列 第3讲 等比数列及其前n项和 理

2 第3讲 等比数列及其前n项和

一、选择题

1.错误!＋1与错误!－1两数的等比中项是（ )

A．1 B．－1

C．±1 D.错误!

解析 设等比中项为x,

则x2＝（错误!＋1)（错误!－1)＝1，即x＝±1。

答案 C

2．设｛an}是任意等比数列，它的前n项和,前2n项和与前3n项和分别为X，Y,Z,则下列等式中恒成立的是( ）．

A．X＋Z＝2Y B．Y（Y－X）＝Z(Z－X）

C．Y2＝XY D．Y(Y－X)＝X(Z－X)

解析 （特例法)取等比数列1,2,4,令n＝1得X＝1,Y＝3,Z＝7代入验算，选D.

答案 D

3．已知等比数列{an}为递增数列．若a1>0，且2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列｛an}的公比q＝（ ）．

A．2 B.错误! C．2或错误! D．3

解析 ∵2（an＋an＋2)＝5an＋1,∴2an＋2anq2＝5anq，

化简得，2q2－5q＋2＝0，由题意知，q>1。∴q＝2.

答案 A

4．在正项等比数列｛an}中,Sn是其前n项和．若a1＝1，a2a6＝8，则S8＝

（ ）．

A．8 B．15（错误!＋1）

C．15(错误!－1） D．15（1－错误!)

解析 ∵a2a6＝a错误!＝8，∴a错误!q6＝8，∴q＝错误!,∴S8＝错误!＝15(错误!＋1)．

答案 B

5．已知等比数列{an｝的前n项和Sn＝t·5n－2－错误!，则实数t的值为( )．

A．4 B．5 C。错误! D。错误!

解析 ∵a1＝S1＝错误!t－错误!,a2＝S2－S1＝错误!t,a3＝S3－S2＝4t，∴由｛an}是等比数列知错误!2＝错误!·4t,显然t≠0,所以t＝5。 2018版高考数学一轮复习 第六章 数列 第3讲 等比数列及其前n项和 理

3 答案 B

6．在由正数组成的等比数列{an｝中，若a3a4a5＝3π，则sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7）的值为 （ )．

A.错误! B。错误! C．1 D．－错误!

解析 因为a3a4a5＝3π＝a错误!，所以a4＝3错误!.

log3a1＋log3a2＋…＋log3a7＝log3(a1a2…a7）＝log3a7，4＝7log33错误!＝错误!，所以sin（log3a1＋log3a2＋…＋log3a7）＝错误!。

答案 B

二、填空题

7．设1＝a1≤a2≤…≤a7,其中a1,a3，a5,a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列,则q的最小值是________．

解析 设a2＝t，则1≤t≤q≤t＋1≤q2≤t＋2≤q3,由于t≥1,所以q≥max{t，t＋1，错误!｝故q的最小值是错误!。

答案 3，3

8．在等比数列{an｝中，若公比q＝4，且前3项之和等于21,则该数列的通项公式an＝________。

解析 由题意知a1＋4a1＋16a1＝21，解得a1＝1，

所以数列｛an}的通项公式an＝4n－1。

答案 4n－1

9．设f(x）是定义在R上恒不为零的函数,且对任意的实数x,y∈R，都有f（x）·f(y)＝f（x＋y），若a1＝错误!,an＝f(n）(n∈N*)，则数列{an｝的前n项和Sn的取值范围是________．

解析 由已知可得a1＝f（1）＝错误!,a2＝f(2）＝［f（1）]2＝错误!2，a3＝f(3）＝f(2)·f（1）＝［f（1）]3＝错误!3，…,an＝f（n）＝[f(1)］n＝错误!n，

∴Sn＝错误!＋错误!2＋错误!3＋…＋错误!n

＝错误!＝1－错误!n,

∵n∈N*，∴错误!≤Sn<1。

答案 错误!

10．等差数列{an｝的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，给出下列四个命题：①数列错误!为等比数列;②若a2＋a12＝2，则S13＝13；③Sn＝nan－错误!d；④若d>0,则Sn一定有最大值．

其中真命题的序号是________（写出所有真命题的序号)．

解析 对于①，注意到错误!＝错误!an＋1－an＝错误!d是一个非零常数，因此数列错误!是等比2018版高考数学一轮复习 第六章 数列 第3讲 等比数列及其前n项和 理

4 数列，①正确．对于②，S13＝错误!＝错误!＝13,因此②正确．对于③,注意到Sn＝na1＋错误!d＝n［an－(n－1）d]＋错误!d＝nan－错误!d,因此③正确．对于④，Sn＝na1＋错误!d，d>0时，Sn不存在最大值，因此④不正确．综上所述，其中正确命题的序号是①②③。

答案 ①②③

三、解答题

11．已知等比数列{an}中,a1＝错误!，公比q＝错误!。

（1）Sn为{an｝的前n项和,证明：Sn＝错误!；

(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列｛bn}的通项公式．

解 (1)证明 因为an＝错误!×错误!n－1＝错误!，Sn＝错误!＝错误!，所以Sn＝错误!。

（2）bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n）＝－错误!.所以{bn｝的通项公式为bn＝－错误!。

12．已知数列｛an｝的前n项和为Sn，在数列｛bn}中,b1＝a1,bn＝an－an－1（n≥2)，且an＋Sn＝n.

(1)设cn＝an－1，求证：｛cn｝是等比数列；

（2）求数列｛bn}的通项公式．

(1)证明 ∵an＋Sn＝n， ①

∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1， ②

②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，

∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1）＝an－1，

∴错误!＝错误!.

∵首项c1＝a1－1,又a1＋a1＝1.

∴a1＝错误!，∴c1＝－错误!，公比q＝错误!。

∴{cn｝是以－错误!为首项，公比为错误!的等比数列．

(2)解 由(1）可知cn＝错误!·错误!n－1＝－错误!n，

∴an＝cn＋1＝1－错误!n。

∴当n≥2时，bn＝an－an－1＝1－错误!n－错误!

＝错误!n－1－错误!n＝错误!n.

又b1＝a1＝12代入上式也符合,∴bn＝错误!n。

13．已知两个等比数列{an｝,｛bn｝，满足a1＝a(a＞0),b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3。 2018版高考数学一轮复习 第六章 数列 第3讲 等比数列及其前n项和 理

5 (1)若a＝1，求数列{an}的通项公式；

（2）若数列{an}唯一，求a的值．

解 (1)设数列｛an｝的公比为q，则b1＝1＋a＝2，b2＝2＋aq＝2＋q,b3＝3＋aq2＝3＋q2,由b1，b2，b3成等比数列得（2＋q）2＝2（3＋q2）．

即q2－4q＋2＝0，解得q1＝2＋错误!，q2＝2－错误!.

所以数列｛an}的通项公式为an＝（2＋错误!)n－1或an＝(2－错误!)n－1.

（2）设数列{an｝的公比为q，则由(2＋aq)2＝(1＋a）(3＋aq2),得aq2－4aq＋3a－1＝0(*），

由a＞0得Δ＝4a2＋4a＞0，故方程（*）有两个不同的实根．

由数列{an}唯一,知方程(＊)必有一根为0,

代入(＊)得a＝错误!。

14．数列｛an｝的前n项和记为Sn,a1＝t，点(Sn，an＋1）在直线y＝3x＋1上，n∈N＊。

(1）当实数t为何值时，数列｛an｝是等比数列．

（2）在(1)的结论下，设bn＝log4an＋1，cn＝an＋bn，Tn是数列{cn}的前n项和，求Tn.

解 （1）∵点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上，

∴an＋1＝3Sn＋1，an＝3Sn－1＋1（n〉1，且n∈N*）．

∴an＋1－an＝3(Sn－Sn－1）＝3an，∴an＋1＝4an(n〉1，n∈N＊)，a2＝3S1＋1＝3a1＋1＝3t＋1,

∴当t＝1时，a2＝4a1，数列｛an}是等比数列．

(2)在（1）的结论下，an＋1＝4an，an＋1＝4n，bn＝log4an＋1＝n，cn＝an＋bn＝4n－1＋n，

∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝（40＋1）＋(41＋2)＋…＋（4n－1＋n）

＝(1＋4＋42＋…＋4n－1）＋(1＋2＋3＋…＋n）

＝错误!＋错误!。