2020寒假高三数学二轮复习微专题16阿波罗尼斯圆问题梳理及其运用

微专题16

阿波罗尼斯圆问题梳理及其运用

动点的轨迹问题是高考中的一个热点和重点，尤其是阿波罗尼斯圆在高考中频频出现．处理此类问题的关键是通过建立直角坐标系，寻找动点满足的条件，得出动点的轨迹是一个定圆，从而把问题转化为直线和圆、圆和圆的位置关系问题，并在解决问题的过程中感悟转化与化归、化繁为简的数学思想方法.

例题：在△ABC中，若AB＝2，AC＝2BC，求△ABC面积的最大值．

变式1在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2＋y2＝1，O1：(x－4)2＋y2＝4，动点P在直线x＋3y－b＝0上，过P分别作圆O，O1的切线，切点分别为A，B，若满足PB＝2PA的点P有且只有两个，则实数b的取值范围为________________．

变式2已知点A(－2，0)，B(4，0)，圆C：(x＋4)2＋(y＋b)2＝16，点P是圆C上任意一点，若PAPB为定值，则b的值为________________．

串讲1已知A(0，1)，B(1，0)，C(t，0)，点D是直线AC上的动点，若AD≤2BD恒成立，则最小正整数t的值为________________．

串讲2已知点P是圆O：x2＋y2＝25上任意一点，平面上有两个定点M(10，0)，N(132，3)，则PN＋12PM的最小值为________________．

(2018·南京、盐城、连云港二模)调查某地居民每年到商场购物次数m与商场面积S、到商场距离d的关系，得到关系式m＝k×Sd2(k为常数)．如图，某投资者计划在与商场A相距10 km的新区新建商场B，且商场B的面积与商场A的面积之比为λ(0<λ<1)．记“每年居民到商场A购物的次数”，“每年居民到商场B购物的次数”分别为m1，m2，称满足m1

(1)已知P与A相距15 km，且∠PAB＝60°.当λ＝12时，居住在点P处的居民是否在商场B相对于A的“更强吸引区域”内？请说明理由；

(2)若要使与商场B相距2 km以内的区域(含边界)均为商场B相对于A的“更强吸引区域”，求λ的取值范围．

在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过A(0，2)，O(0，0)，D(t，0)(t>0)三点，M是线段AD上的动点，l1，l2是过点B(1，0)且互相垂直的两条直线，其中l1交y轴于点E，l2交圆C于P，Q两点．

(1)若t＝PQ＝6，求直线l2的方程；

(2)若t是使AM≤2BM恒成立的最小正整数，求三角形EPQ的面积的最小值．

答案：(1)4x－3y－4＝0.；(2)152.

解析：(1)由题意可知，圆C的直径为AD，所以圆C方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10.1分

设l2方程为y＝k(x－1)，则（2k－1）21＋k2＋32＝10，解得k1＝0，k2＝43.3分

当k＝0时，直线l1与y轴无交点，不合题意，舍去.4分

所以k＝43，此时直线l2的方程为4x－3y－4＝0.6分

(2)设M(x，y)，由点M在线段AD上，得xt＋y2＝1，即2x＋ty－2t＝0.

由AM≤2BM，得x－432＋y＋232≥209.8分

由AD位置知，直线AD和圆x－432＋y＋232＝209至多有一个公共点，

故83－83t4＋t2≥253，解得t≤16－10311或t≥16＋10311.10分

因为t是使AM≤2BM恒成立的最小正整数，所以t＝4.11分

所以，圆C方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.

①当直线l2：x＝1时，直线l1的方程为y＝0，此时，S△EPQ＝2；12分

②当直线l2的斜率存在时，设l2的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，

则l1的方程为y＝－1k(x－1)，点E0，1k.所以BE＝1＋1k2.

圆心C到l2的距离为|k＋1|1＋k2.所以PQ＝25－|k＋1|1＋k22＝24k2－2k＋41＋k2.14分

故S△EPQ＝12BE·PQ＝121＋1k2·24k2－2k＋41＋k2＝4k2－2k＋4k2＝4k2－2k＋4≥152.

因为152<2，所以(S△EPQ)min＝152.16分

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