高中数学微点2 阿波罗尼斯圆的逆用(学生版+解析)

答案第1页，共3页 专题1 阿波罗尼斯圆及其应用 微点2 阿波罗尼斯

圆的逆用

专题1 阿波罗尼斯圆及其应用

微点2 阿波罗尼斯圆的逆用

【微点综述】

当题目给了阿氏圆和一个定点，我们可以通过下述方法快速找到另一个定点，便于计算，令

圆O与直线OA相交于M，N两点设点E为OA上一点，且满足PA

PE

，由阿氏圆定理

AN

NE

，AM

ME

，则

ANNEOARROE



，∴

1OEROA



①

同理

AMMEROAOER



，∴

1OEROA



②

由①②消OA得：22OER

，即R

OE

，即ROE

，由①②消R得：2

OAOE

，

因此，满足条件的点E在阿氏圆的圆心和定点A的连线上，且R

OE

或2OA

OE



．

【典例刨析】

例1．（2022·湖南·临澧一中高二开学考试）

1．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他对圆锥曲线有深刻系统的研究，主要研究成果集中

在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点

M与两定点A，B的距离之比为λ(λ＞0，λ≠1)，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面我

们来研究与此相关的一个问题，已知圆O：x2

＋y2

＝1上的动点M和定点A1

(,0)

2

，B(1，

1)，则2|MA|＋|MB|的最小值为（

）

A

．

6 B

．7

C

．

10 D

．

11

2．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨

匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知答案第2页，共3页 动点M与两定点A，B的距离之比为(0,1)



，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，

简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，圆22

:1Oxy、点1

,0

2A





和点1

0,

2B



，M为

圆O上的动点，则2||||MAMB

的最大值为（

）

A．5

2 B

．17

2 C．3

2 D．2

2

3．古希腊数学家阿波罗尼斯（约前262—前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代光辉的

科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数

0kk

且

1k

的点的

轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知

0,0O

，

3,0A

，圆

2

22

:20Cxyrr上有且仅有一个点P

满足2PAPO

，则r的取值为（

）

A．1 B．5 C．1或5 D．不存在

4．已知点P是圆22

448xy上的动点，

6,1A

，O为坐标原点，则2POPA

的

最小值为______．

5．已知圆C：22

111xy

，定点P是圆C上的动点，

2,0B

，O是坐标原点，则

2POPB的最小值为______．

例6．（2022江西·南昌八中高二月考）

6．古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是

古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k

(0k

且1k)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知(0,0)O

，(3,0)A

，圆

222

:(2)(1)Cxyrr

上有且仅有一个点

P满足||2||PAPO

，则r的取值为_______.

【针对训练】

7．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，

他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿

波罗尼斯圆就是他的研究成果之一.指的是：已知动点M

与两定点,QP的距离之比

(0,1)MQ

MP



，那么点M

的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M

的轨迹是阿波罗尼斯

圆，其方程为22

1xy

，其中，定点Q

为x

轴上一点，定点

P的坐标为1

,0,3

3





，若

点

1,1B

，则3MPMB

的最小值为（

）

答案第3页，共3页 A

．

10 B

．

11 C

．

15 D

．

17

8．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，

他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗

尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两个定点A､B的距离之比为λ(λ>0，λ≠1)，

那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若已知圆O：x2

+y2

=1和点1

,0

2A





，点B(4，2)，M为

圆O上的动点，则2|MA|+|MB|的最小值为___________

（2022安徽·合肥六中高二期中）

9．古希腊数学家阿波罗尼奥斯(

约公元前262~公元前190年)

的著作《圆锥曲线论》是古代

世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数

(01)kkk且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知圆22

:1Oxy和

1

(,0)

2A

，点(1,1)B

，M为圆O上动点，则1

2MAMB的最小值为_______.

（2022上海金山中学高二期末）

10．古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面

上给定两点A、B，动点P

满足|PAPB



（其中

是正常数，且1

），则P的轨迹是一个

圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”．现已知两定点(1,0)(2,1)MN、

，P是圆22

:3Oxy

上

的动点，则3PMPN

的最小值为____________

11．阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数

0,1kkk

的点的

轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．若平面内两定点

A、

B间的距离为2，动点

P

满足2PA

PB

，

求22

PAPB的最小值．

（2022·江苏省江阴高级中学高三开学考试）

12．希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名他发现：“平面内到两个定点,AB

的距离之比为定值

1



的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿

波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy

中，

2,1A

，

2,4B

，点

P是满足

1

2

的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为___________________；若点Q

为抛物线:E

2

4yx

上的动点，Q

在y

轴上的射影为

H

，则1

2PBPQQH

的最小值为______.试卷第4页，共3页 专题1 阿波罗尼斯圆及其应用 微点2 阿波罗尼

斯圆的逆用

专题1 阿波罗尼斯圆及其应用

微点2 阿波罗尼斯圆的逆用

【微点综述】

当题目给了阿氏圆和一个定点，我们可以通过下述方法快速找到另一个定点，便于计算，

令圆O与直线OA相交于M，N两点设点E为OA上一点，且满足PA

PE

，由阿氏圆定理AN

NE

，AM

ME



，则

ANNEOARROE



，∴

1OEROA



①

同理

AMMEROAOER



，∴

1OEROA



②

由①②消OA得：22OER



，即R

OE

，即ROE

，由①②消R得：2

OAOE

，

因此，满足条件的点E在阿氏圆的圆心和定点A的连线上，且R

OE

或2OA

OE



．

【典例刨析】

例1．（2022·湖南·临澧一中高二开学考试）

1．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他对圆锥曲线有深刻系统的研究，主要研究成果

集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：

已知动点M与两定点A，B的距离之比为λ(λ＞0，λ≠1)，那么点M的轨迹就是阿波罗尼

斯圆．下面我们来研究与此相关的一个问题，已知圆O：x2

＋y2

＝1上的动点M和定点A1

(,0)

2

，B(1，1)，则2|MA|＋|MB|的最小值为（

）

A

．

6 B

．7

C

．

10 D

．

11

2．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学

三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的

是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为(0,1)



，那么点M

的轨迹就是阿