高中数学 向量的数量积(2)随堂练习 新人教版必修4

2-4-1平面向量数量积的物理背景及其含义一、选择题1．若|a |＝2，|b |＝14，a 与b 的夹角为60°，则a ·b 等于( )A.32B.34C.14D.24 [答案] C[解析] a ·b ＝|a ||b |cos60°＝2×14×12＝14.2．已知向量a 、b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a ·b ＝23，则a 与b 的夹角为( )A.π6B.π4C.π3D.π2 [答案] A[解析] 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝231×4＝32.又0≤θ≤π，∴θ＝π6.3．设a 、b 、c 是三个向量，有下列命题： ①若a ·b ＝a ·c ，且a ≠0，则b ＝c ； ②若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0； ③a ·0＝0；④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2. 其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 [答案] A[解析] ①中，a ·b －a ·c ＝a ·(b －c )＝0， 又a ≠0，则b ＝c 或a ⊥(b －c )，即①不正确；②中，a·b＝0⇔a⊥b或a＝0或b＝0，即②不正确；③中，a·0＝0，即③不正确；④中，左边＝9a2－6a·b＋6b·a－4b2＝9|a|2－4|b|2＝右边，即④正确．4．已知a、b、c是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数为()①a·b＝±|a||b|⇔a∥b；②a，b反向⇔a·b＝－|a||b|；③a⊥b⇔|a＋b|＝|a－b|；④|a|＝|b|⇔|a·c|＝|b·c|.A．1 B．2 C．3 D．4[分析]由题目可知：a、b、c是三个非零向量，欲判定四个命题的真假，可从平面向量数量积的概念、性质及向量的线性运算等方面考虑．(1)，(2)，(4)从数量积入手，(3)从a＋b，a－b的几何意义入手分析，可得正确选项．[答案] C[解析]①∵a·b＝|a||b|cosθ，∴由a·b＝±|a||b|及a、b为非零向量可得cosθ＝±1，∴θ＝0或π.∴a∥b，且反之也成立，故命题①是真命题．②当a、b反向，则a、b的夹角为π，∴a·b＝|a||b|·cosπ＝－|a||b|，且反之也成立，故命题②是真命题．③当a⊥b，将向量a、b的起点确定在同一点，则以向量a、b 为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两条对角线长相等，即有|a＋b|＝|a－b|.反过来，若|a＋b|＝|a－b|，则以a、b 为邻边的四边形为矩形，∴a⊥b，故命题③是真命题．④当|a|＝|b|，但a与c的夹角和b与c的夹角不等时，就有|a ·c |≠|b ·c |，反过来由|a ·c |＝|b ·c |也推不出|a |＝|b |.故命题④是假命题．综上，在四个命题中，前3个是真命题，第4个是假命题． 5．在边长为1的等边三角形ABC 中，设BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝( )A ．－32B ．3 C.32 D ．3[答案] A[解析] a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝1×1×cos120°＋1×1×cos120°＋1×1×cos120°＝－32.6．P 是△ABC 所在平面上一点，若PA →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·PA →，则P 是△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心[答案] D[解析] 由PA →·PB →＝PB →·PC →得PB →·(PA →－PC →)＝0，即PB →·CA →＝0，∴PB ⊥CA .同理P A ⊥BC ，PC ⊥AB ，∴P 为△ABC 的垂心．7．已知a 、b 是非零向量，且(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是( )A.π6B.π3 C.2π3 D.5π6 [答案] B[解析] 由(a －2b )·a ＝0及(b －2a )·b ＝0得，a 2＝b 2＝2|a ||b |cos θ，∴cos θ＝12，θ＝π3.[点评] 数量积运算满足多项式乘法法则及以下乘法公式 (a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2， (a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2， a 2－b 2＝(a ＋b )·(a －b )， |a |2＝a 2＝a ·a .8．如右图，已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6，下列向量的数量积中最大的是()A.P 1P 2→·P 1P 3→B.P 1P 2→·P 1P 4→C.P 1P 2→·P 1P 5→D.P 1P 2→·P 1P 6→ [答案] A[分析] 先搞清所涉及的两个向量的夹角，再用数量积的概念进行计算，最后比较大小．[解析] 设正六边形的边长是1，则P 1P 2→·P 1P 3→＝1×3×cos30°＝32；P 1P 2→·P 1P 4→＝1×2×cos60°＝1；P 1P 2→·P 1P 5→＝1×3×cos90°＝0；P 1P 2→·P 1P 6→＝1×1×cos120°＝－12.9．已知△ABC 中，若AB 2→＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形[答案] C[解析] 由AB 2→－AB →·AC →＝BA →·BC →＋CA →·CB →， 得AB →·(AB →－AC →)＝BC →·(BA →－CA →)，即AB →·CB →＝BC →·BC →，∴AB →·BC →＋BC →·BC →＝0， ∴BC →·(AB →＋BC →)＝0，则BC →·AC →＝0，即BC →⊥AC →， 所以△ABC 是直角三角形，故选C.10．如右图，O ，A ，B 是平面上的三点，向量OA →＝a ，OB →＝b ，设P 为线段AB 的垂直平分线上任意一点，向量OP →＝p .若|a |＝4，|b |＝2，则p ·(a －b )等于( )A ．1B ．3C ．5D ．6 [答案] D[解析] 由图知CP →⊥BA →，则CP →·BA →＝0，p ＝OP →＝OC →＋CP →＝12(OA→＋OB →)＋CP →，则p ·(a －b )＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12(a ＋b )＋CP →·(a －b )＝12(a ＋b )·(a －b )＋CP →·(a －b )＝12(a 2－b 2)＋CP →·BA →＝12(|a |2－|b |2)＋0＝12(42－22)＝6. 二、填空题11．已知|a |＝4，|b |＝6，a 与b 的夹角为60°，则向量a 在向量b 方向上的投影是________．[答案] 2[解析] 向量a 在向量b 方向上的投影是|a |cos60°＝4×12＝2.12．(2011～2012·北京东城高三第一学期期末)已知向量a 、b 满足：|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则a 与b 的夹角为________；|2a －b |＝________.[解析] 由于a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝a ·b －1＝2， 则a ·b ＝3.设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝12，又θ∈[0，π]，所以θ＝π3.因为|2a －b |2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝28， 所以|2a －b |＝27.13．已知平面上三点A 、B 、C ，满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →的值等于________．[答案] －25[解析] 由条件知∠ABC ＝90°，∴原式＝0＋4×5cos(180°－C )＋5×3cos(180°－A )＝－20cos C －15cos A ＝－20×45－15×35＝－16－9＝－25.[点评] 注意AB →与BC →的夹角不是角B ，应是π－B .14．下列判断：①a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0；②已知a 、b 、c 是三个非零向量，若a ＋b ＝0，则|a ·c |＝|b ·c |；③a 、b 共线⇔a ·b ＝|a ||b |；④|a ||b |<a ·b ；⑤a ·a ·a ＝|a |3；⑥a 2＋b 2≥2a ·b ；⑦向量a ，b 满足a ·b >0，则a 与b 的夹角为锐角；⑧若a 、b 的夹角为θ，则|b |cos θ表示向量b 在向量a 方向上的投影长，其中正确的是________．[分析] 利用平面向量数量积的概念、性质及向量的线性运算等方面逐一判断．[答案] ①②⑥[解析] 由于a 2≥0，b 2≥0，所以，a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0，故①正确；若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，又a ，b ，c 是三个非零向量，所以a ·c ＝－b ·c ，所以|a ·c |＝|b ·c |，②正确；a ，b 共线⇔a ·b ＝±|a ||b |，所以③不正确； 对于④，应有|a ||b |≥a ·b ，所以④不正确；对于⑤，应该是a ·a ·a ,\s\up16(→))＝|a |2a ，所以⑤不正确； ⑥a 2＋b 2≥2|a ||b |≥2a ·b ，故正确；当a 与b 的夹角为0时，也有a ·b >0，因此⑦错；|b |cos θ表示向量b 在向量a 方向上的投影，而非投影长，故⑧错．综上可知①②⑥正确．三、解答题15．已知|a |＝10，|b |＝12，a 与b 的夹角为120°，求：(1)a ·b ；(2)(3a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫15b ； (3)(3b －2a )·(4a ＋b )．[解析] (1)a ·b ＝|a ||b |cos θ＝10×12×cos120°＝－60.(2)(3a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫15b ＝35a ·b )＝35×(－60)＝－36. (3)(3b －2a )·(4a ＋b )＝12b ·a ＋3b 2－8a 2－2a ·b ＝10a ·b ＋3|b |2－8|a |2＝10×(－60)＋3×122－8×102＝－968.16．已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角为60°，试问：当k 为何值时，向量k a －b 与a ＋2b 垂直？[分析] 可利用两个非零向量垂直的等价条件即数量积为零进行求解．[解析] ∵(k a －b )⊥(a ＋2b )， ∴(k a －b )·(a ＋2b )＝0， 即k a 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0，即k ×52＋(2k －1)×5×4×cos60°－2×42＝0， ∴k ＝1415.∴当k ＝1415时，向量k a －b 与a ＋2b 垂直．17．(09·天津文)若等边△ABC 的边长为23，平面内一点M 满足CM →＝16C B →＋23C A →，求MA →·MB→. [解析] ∵CM →＝16C B →＋23C A →，∴MA →＝C A →－CM →＝13C A →－16C B →，M B →＝C B →－CM →＝56C B →－23C A →. ∴MA →·MB →＝－29C A →2－536C B →2＋718C A →·C B → ＝－29×12－536×12＋718×12×12＝－2.18．(探究题)设平面内两向量a 与b 互相垂直，且|a |＝2，|b |＝1，又k 与t 是两个不同时为零的实数．(1)若x ＝a ＋(t －3)b 与y ＝－k a ＋t b 垂直，求k 关于t 的函数关系式k ＝f (t )；(2)求函数k ＝f (t )的最小值．[分析] 由x ⊥y ，得x ·y ＝0，即可得到函数关系式k ＝f (t )，从而利用函数的性质求最小值．[解析] (1)因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0.又x ⊥y ，所以x ·y ＝0，即[a ＋(t －3)b ]·(－k a ＋t b )＝0，－k a 2－k (t －3)a ·b ＋t a ·b ＋t (t －3)b 2＝0.因为|a |＝2，|b |＝1，所以－4k ＋t 2－3t ＝0，即k ＝14(t 2－3t )．(2)由(1)知，k ＝14(t 2－3t )＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322－916，即函数k ＝f (t )的最小值为－916.。

向量的数量积（4）1．(2012·辽宁高考)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )．若a ·b ＝1，则x ＝2．已知点A (－1,0)、B (1,3)，向量a ＝(2k －1,2)，若AB u u u r ⊥a ，则实数k 的值为3．已知向量OA u u u r ＝(2,2)，OB u u u r ＝(4,1)，在x 轴上有一点P ，使AP u u u r ·BP u u u r 有最小值，则点P 的坐标是4．平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB u u u r ＝(2,4)，AC u u u r ＝(1,3)，则AD u u u r ·BD u u u r 等于5．已知向量a ＝(3,4)，b ＝(2，－1)，如果向量a ＋xb 与－b 垂直，则实数x 的值为________．6．已知A (1,2)，B (3,4)，|n |＝2，则|AB u u u r ·n |的最大值为________．7．向量BA u u u r ＝(4，－3)，向量BC u u u r ＝(2，－4)，则△ABC 的形状为________．8．若将向量a ＝(2,1)围绕原点按逆时针方向旋转π4得到向量b ，则向量b 的坐标为________． 9．已知在△ABC 中，A (2,4)，B (－1，－2)，C (4,3)，BC 边上的高为AD .(1)求证：AB ⊥AC ；(2)求向量AD u u u r ；(3)求证：AD 2＝BD ·CD .10．平面内有向量OA u u u r ＝(1,7)，OB u u u r ＝(5,1)，OP u u u r ＝(2,1)，点M 为直线OP 上的一动点．(1)当MA u u u r ·MB u u u r 取最小值时，求OM u u u r 的坐标；(2)在(1)的条件下，求cos ∠AMB 的值．答案1.解析：由a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )可得a ·b ＝2－x ＝1，故x ＝1.答案：12.解析：AB u u u r ＝(2,3)，a ＝(2k －1,2)，由AB u u u r ⊥a 得2×(2k －1)＋6＝0，解得k ＝－1. 答案-13．解析：设P (x,0)，则AP u u u r ＝(x －2，－2)，BP u u u r ＝(x －4，－1)，∴AP u u u r ·BP u u u r ＝(x －2)(x －4)＋2＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1， 故当x ＝3时，AP u u u r ·BP u u u r 最小，此时P (3,0)．答案：P (3,0)4.。

2.4 平面向量的数量积典题精讲例1若向量a 、b 、c 满足a +b +c =0，且|a |=3,|b |=1,|c |=4.则a ·b +b ·c +a ·c =_____________ 思路解析：本题可以利用数量积公式两边平方求解；也可由已知条件，先得出三个向量之间的两两夹角，再用数量积公式.方法一：∵a +b +c =0，∴(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2a ·b +2b ·c +2a ·c =0，∴2(a ·b +b ·c +a ·c )=-(a 2+b 2+c 2)=-(|a |2+|b |2+|c |2)=-(32+12+42)=-26，∴a ·b +b ·c +a ·c =-13.方法二：根据已知条件可知|c |=|a |+|b |，c =-a -b ，所以a 与b 同向，c 与a +b 反向.所以有a ·b +b ·c +a ·c =3cos0°+4cos180°+12cos180°=3-4-12=-13. 答案：-13绿色通道：方法一是将“（a +b ）2=a 2+2a ·b ＋b 2”推广到(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2a ·b +2b ·c +2a ·c 予以解答.变式训练 已知|a |=5,|b |=12，当且仅当m 为何值时，向量a +m b 与a -m b 互相垂直? 思路分析：（a +m b ）⊥（a -m b ）⇔(a +m b )·(a -m b )=0.根据这一点可以很容易寻找到解题突破口.解：若向量a +m b 与a -m b 互相垂直，则有(a +m b )·(a -m b )=0.∴a 2-m 2b 2=0.∵|a |=5,|b |=12，∴a 2=25,b 2=144.∴25-144m 2=0. ∴m=±125. ∴当且仅当m=±125时，向量a +m b 与a -m b 互相垂直. 例2(福建高考卷，理11)已知|OA |=1,|OB |=3,OA ·OB =0,点C 在∠AOB 内，且∠AOC=30°.设=m +n (m 、n∈R )，则nm等于（ ） A.31B.3C.33D.3思路分析：本题可以利用向量的加法、实数与向量的积的坐标运算、向量数量积来解.深刻理解向量的运算，做到灵活运用，使解题简便.方法一：以直线OA 、OB 分别为x 轴、y 轴建立直角坐标系，则A(1,0),B(0,3).设=λ(cos30°,sin30°)=（23λ,21λ),另外=m +n =m(1,0)+n(0,3), 得(23λ, 21λ)=(m, 3n) ⇔.332123=⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==n m nm λλ方法二：2OC =(m +n )2=m 22OA +n 22OB =m 2+3n 2，∴||=223n m +.由已知得∠BOC=60°，在等式=m +n (m 、n∈R )两端同乘以， 得·=m 2OA ， ∴m=|OA |·|OC |cos30°=23223n m +⇒m 2=9n 2.由题设知m ＞0,n ＞0,所以nm=3. 答案：B黑色陷阱：对向量的坐标运算或向量数量积的运算不熟练，易导致难寻问题的切入口；有关向量的运算失误也易导致解答失误.变式训练（2006福建高考卷，文9）已知向量a 与b 的夹角为120°，|a |=3,|a +b |=13,则|b |等于（ ）A.5B.4C.3D.1 思路解析：向量a 与b 的夹角为120°， |a |=3,|a +b |=13,a ·b =|a |·|b |·cos120°=-23|b |， |a +b |2=|a |2+2a ·b +|b |2，∴13=9-3|b |+|b |2，则|b |=-1(舍去)或|b |=4. 答案：B例3（福建高考卷，理12）对于直角坐标平面内的任意两点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，定义它们之间的一种“距离”：||AB||=|x 2-x 1|+|y 2-y 1|. 给出下列三个命题：（1）若点C 在线段AB 上，则||AC||+||CB||=||AB||;(2)在△ABC 中，若∠C=90°,则||AC||2+||CB||2=||AB||2; (3)在△ABC 中，||AC||+||CB||＞||AB||. 其中说法正确的个数为（ ）A.0B.1C.2D.3 思路解析：在坐标平面上取几个具体的符合条件的点并写出其坐标，进行观察、比较、分析、综合，不难确定命题的真假.不妨取直角坐标系中x 非负半轴上的三点A(0,0),C(c,0),B(b,0),0＜c ＜b,由题设，可得||AC||+||CB||=c+(b-c)=b=||AB||;另外在△ABC 中，若∠C=90°,取C(0,0),B(1,0), A(0,2) ,则||AC||=2,||BC||=1,||AB||=3,但||AC||2+||CB||2≠||AB||2， 且||AC||+||CB||=||AB||.所以(2)与(3)都不正确. 答案：B黑色陷阱：对题设理解不够准确，易导致运算（操作）上的失误.对平面上两点之间的距离的全新定义，易引起考生理解上的困难，这时更需要独立思考与一定的创新意识.变式训练（2006陕西高考卷，理9）已知非零向量与满足+=0∙21,则△ABC 为（ ）A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形 思路解析：非零向量与满足+BC =0，即角A 的平分线垂直于BC ，∴ AB=AC.又||||AC AB ∙21， ∴∠A=3π，所以△ABC 为等边三角形. 答案：D 问题探究问题1任给8个非零实数a 1,a 2，…，a 8,试探究下列六个数a 1a 3+a 2a 4,a 1a 5+a 2a 6,a 1a 7+a 2a 8,a 3a 5+a 4a 6, a 3a 7+a 4a 8,a 5a 7+a 6a 8中，至少有一个是非负的.导思：观察六个数有共同的形式且与向量的数量积有关，思考时可借助向量作解题尝试，本题通过构造四个向量，然后利用向量之间的位置关系，运用向量的数量积坐标运算解决问题. 探究：在直角坐标系xOy 中，构造向量、、、，它们的坐标分别为(a 1,a 2)、(a 3,a 4)、(a 5,a 6)、(a 7,a 8).显然，平面上四个向量两两所成的角中至少有一个不超过90°，不妨设和的夹角不大于90°，则cos 〈,〉=242322214231a a a a a a a a +++=≥0,∴a 1a 3+a 2a 4≥0，命题为真. 问题2是否存在4个平面向量，两两不共线，其中任何两个向量之和均与其余两个向量之和垂直?导思：本题是一个探索性问题，解决本题关键在于构造一个正三角形及其内切圆，得到四个向量，这也是本题的难点.然后利用向量之间的关系，运用数量积的运算律论证+与PC +PO 垂直.探究：如图2-4-3所示，在正△ABC 中，O 为其内心，P 为圆周上一点，满足PA 、PB 、PC 、两两不共线，有(+)·(+)=(+++)·(++)=(2PO +OA +OB ·(2PO +OC )=(2PO -OC )·(2PO +OC )=42PO -2OC =0.∴(+)与(+)垂直.图2-4-3同理可证其他情况.从而、、、满足题意.故存在4个这样的平面向量.。

2．4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角考点学习目标核心素养向量数量积的坐标表示掌握平面向量数量积的坐标表示，会用向量的坐标形式求数量积数学运算平面向量的模与夹角的坐标表示能根据向量的坐标计算向量的模、夹角及判定两个向量垂直数学运算、逻辑推理问题导学预习教材P106－P107，并思考下列问题：1．平面向量数量积的坐标表示是什么？2．如何用坐标表示向量的模、夹角和垂直？1．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．数量积两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b＝x1x2＋y1y2两个向量垂直a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．2．三个重要公式判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量的模等于向量坐标的平方和．( )(2)|AB →|的计算公式与A ，B 两点间的距离公式是一致的．( ) 答案：(1)× (2)√已知a ＝(－3，4)，b ＝(5，2)，则a ·b 的值是( ) A ．23 B ．7 C ．－23 D ．－7 答案：D已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(x ，2)，若a ⊥b ，则x ＝( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．－4答案：C已知a ＝(3，1)，b ＝(－3，1)，则向量a ，b 的夹角θ＝______. 答案：120°数量积的坐标运算向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2 【解析】 因为a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)， 所以(2a ＋b )·a ＝(1，0)·(1，－1)＝1. 【答案】 C数量积坐标运算的两个途径一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．1．设向量a ＝(1，－2)，向量b ＝(－3，4)，向量c ＝(3，2)，则向量(a ＋2b )·c ＝( ) A ．(－15，12) B ．0 C ．－3 D ．－11 解析：选C.依题意可知，a ＋2b ＝(1，－2)＋2(－3，4)＝(－5，6)，所以(a ＋2b )·c ＝(－5，6)·(3，2)＝－5×3＋6×2＝－3.2．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，点F 在AD 上，AF →＝2FD →，则BE →·CF →＝________．解析：建立平面直角坐标系如图所示，则A (0，2)，E (2，1)，D (2，2)，B (0，0)，C (2，0)，因为AF →＝2FD →，所以F (43，2)．所以BE →＝(2，1)，CF →＝(43，2)－(2，0)＝(－23，2)，所以BE →·CF →＝(2，1)·(－23，2)＝2×(－23)＋1×2＝23.答案：23平面向量的模(1)已知点A (0，1)，B (1，－2)，向量AC →＝(4，－1)，则|BC →|＝________． (2)(2019·山东枣庄三中期中检测)已知平面向量a ＝(2m －1，2)，b ＝(－2，3m －2)，且|a ＋b |＝|a －b |，则5a －3b 在向量a 方向上的投影为________．【解析】 (1)设C (x ，y )，因为点A (0，1)，向量AC →＝(4，－1)，所以AC →＝(x ，y －1)＝(4，－1)，所以{x ＝4，y －1＝－1，解得x ＝4，y ＝0，所以C (4，0)，所以BC →＝(3，2)，|BC →|＝9＋4＝13.(2)由|a ＋b |＝|a －b |得a ·b ＝0，所以－2(2m －1)＋2(3m －2)＝0，解得m ＝1，所以a ＝(1，2)，b ＝(－2，1)，5a －3b ＝(11，7)，由投影公式可得所求投影为a ·（5a －3b ）|a |＝255＝5 5.【答案】 (1)13 (2)55求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．(2)坐标表示下的运算若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝x2＋y2.已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(3，0)，则|2a－b|的最大值和最小值分别是()A．42，0 B．4，2 2C．25，1 D．5，1解析：选D.因为2a－b＝2(cos θ，sin θ)－(3，0)＝(2cos θ－3，2sin θ)，所以|2a－b|2＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ)2＝13－12cos θ，又cos θ∈[－1，1]，所以|2a－b|2∈[1，25]，所以|2a－b|∈[1，5]，故|2a－b|的最大值和最小值分别是5，1，故选D.平面向量的夹角(垂直)已知a＝(4，3)，b＝(－1，2)．(1)求a与b夹角的余弦值；(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．【解】(1)因为a·b＝4×(－1)＋3×2＝2，|a|＝42＋32＝5，|b|＝（－1）2＋22＝5，设a与b的夹角为θ，所以cos θ＝a·b|a||b|＝255＝2525.(2)因为a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7，8)，又(a－λb)⊥(2a＋b)，所以7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，所以λ＝529.利用数量积求两向量夹角的步骤1．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )．若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m ＝( )A ．23 B. 3 C ．0D ．－ 3解析：选B.因为a ＝(1，3)，b ＝(3，m )．所以|a |＝2，|b |＝9＋m 2，a ·b ＝3＋3m ，又a ，b 的夹角为π6，所以a ·b |a |·|b |＝cos π6，即3＋3m 29＋m 2＝32，所以3＋m ＝9＋m 2，解得m ＝ 3.2．已知A (－2，1)，B (6，－3)，C (0，5)，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形解析：选A.由题设知AB →＝(8，－4)，AC →＝(2，4)，BC →＝(－6，8)，所以AB →·AC →＝2×8＋(－4)×4＝0，即AB →⊥AC →.所以∠BAC ＝90°，故△ABC 是直角三角形.规范解答平面向量的夹角和垂直问题(本题满分12分)已知三个点A (2，1)，B (3，2)，D (－1，4)． (1)求证：AB ⊥AD ；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标，并求矩形ABCD 两条对角线所夹的锐角的余弦值．【解】 (1)证明：因为A (2，1)，B (3，2)，D (－1，4)，所以AB →＝(1，1)，AD →＝(－3，3)．(2分)AB →·AD →＝1×（－3）＋1×3＝0，利用数量积为0，证明向量垂直所以AB →⊥AD →，所以AB ⊥AD . (4分)(2)因为AB →⊥AD →，四边形ABCD 为矩形， 所以AB →＝DC →.(5分)设点C 的坐标为(x ，y )，则DC →＝(x ＋1，y －4)．又因为AB →＝(1，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝1，y －4＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5.(7分)所以点C 的坐标为(0，5)．所以AC →＝(－2，4)． 又BD →＝(－4，2)，所以|AC →|＝25，|BD →|＝25， AC →·BD →＝8＋8＝16.(9分)正确求出这三个量是求两向量夹角的关键设AC →与BD →的夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →||BD →|＝1625×25＝45.(11分)故矩形ABCD 的两条对角线所夹的锐角的余弦值为45.(12分)(1)解答两向量的夹角的步骤：求数量积、求模、求余弦值、求角．(2)利用cos θ＝a ·b|a ||b |判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°.1．已知向量a ＝(2，0)，a －b ＝(3，1)，则下列结论正确的是( ) A ．a ·b ＝2 B ．a ∥b C ．b ⊥(a ＋b ) D ．|a |＝|b |解析：选C.因为向量a ＝(2，0)，a －b ＝(3，1)，设b ＝(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧2－x ＝3，0－y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，所以b ＝(－1，－1)，a ＋b ＝(1，－1)，b ·(a ＋b )＝－1×1＋(－1)×(－1)＝0，所以b ⊥(a ＋b )．2．在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2，1)，则AD →·AC →＝________．解析：由四边形ABCD 为平行四边形，知AC →＝AB →＋AD →＝(3，－1)，故AD →·AC →＝(2，1)·(3，－1)＝5.答案：53．已知a ＝(1，3)，b ＝(2，m )． (1)当3a －2b 与a 垂直时，求m 的值； (2)当a 与b 的夹角为120°时，求m 的值． 解：(1)由题意得3a －2b ＝(－1，33－2m )， 由3a －2b 与a 垂直，得－1＋9－23m ＝0， 所以m ＝433.(2)由题意得|a |＝2，|b |＝m 2＋4，a ·b ＝2＋3m ，所以cos 120°＝a ·b |a |·|b |＝2＋3m 2m 2＋4＝－12，整理得2＋3m ＋m 2＋4＝0，化简得m 2＋23m ＝0， 解得m ＝－23或m ＝0(舍去)． 所以m ＝－2 3.[A 基础达标]1．已知向量a ＝(2，1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k ＝( ) A ．－12 B ．－6 C ．6D ．12解析：选D.2a －b ＝(4，2)－(－1，k )＝(5，2－k )，由a ·(2a －b )＝0，得(2，1)·(5，2－k )＝0，所以10＋2－k ＝0，解得k ＝12.2．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( ) A ．0 B ．1 C ．－2D ．2解析：选D.2a －b ＝(3，n )，由2a －b 与b 垂直可得(3，n )·(－1，n )＝－3＋n 2＝0，所以n 2＝3，所以|a |＝2.3．已知平面向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |等于( ) A ．4 2 B ．2 5 C ．8D ．8 2解析：选D.易得a ·b ＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c ＝(2，4)－6(－1，2)＝(8，－8)，所以|c |＝82＋（－8）2＝8 2.4．(2019·河北衡水中学检测)设向量a ＝(3，1)，b ＝(x ，－3)，c ＝(1，－3)，若b ∥c ，则a －b 与b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选D.因为b ∥c ，所以－3x ＝(－3)×1，所以x ＝3，所以b ＝(3，－3)，a －b ＝(0，4)．所以a －b 与b 的夹角的余弦值为b ·（a －b ）|a －b ||b |＝－124×23＝－32，所以a －b 与b的夹角为150°.5．已知O 为坐标原点，向量OA →＝(2，2)，OB →＝(4，1)，在x 轴上有一点P 使得AP →·BP →有最小值，则点P 的坐标是( )A ．(－3，0)B ．(2，0)C ．(3，0)D ．(4，0)解析：选C.设点P 的坐标为(x ，0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)． AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1) ＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1， 所以当x ＝3时，AP →·BP →有最小值1. 此时点P 的坐标为(3，0)．6．设a ＝(m ＋1，－3)，b ＝(1，m －1)，若(a ＋b )⊥(a －b )，则m ＝________． 解析：a ＋b ＝(m ＋1，－3)＋(1，m －1)＝(m ＋2，m －4)， a －b ＝(m ＋1，－3)－(1，m －1)＝(m ，－2－m )， 因为(a ＋b )⊥(a －b )，所以(a ＋b )·(a －b )＝0， 即(m ＋2，m －4)·(m ，－m －2)＝0， 所以m 2＋2m －m 2＋2m ＋8＝0，解得m ＝－2. 答案：－27．(2019·陕西咸阳检测)已知向量a ＝(－2，1)，b ＝(λ，12)，且|λa ＋b |＝132，则λ＝________．解析：由已知易得λa ＋b ＝⎝⎛⎭⎫－λ，λ＋12，则(－λ)2＋⎝⎛⎭⎫λ＋122＝134，解得λ＝1或λ＝－32. 答案：1或－328．已知点A (－1，1)，B (1，2)，C (－2，－1)，D (3，4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为________．解析：由题意得AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)，所以AB →·CD →＝15，所以向量AB →在CD →方向上的投影为|AB →|cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|CD →|＝1552＝322.答案：3229．已知a ＝(1，2)，b ＝(－3，2)． (1)求a －b 及|a －b |；(2)若k a ＋b 与a －b 垂直，求实数k 的值． 解：(1)a －b ＝(4，0)，|a －b |＝42＋02＝4.(2)k a ＋b ＝(k －3，2k ＋2)，a －b ＝(4，0)， 因为k a ＋b 与a －b 垂直，所以(k a ＋b )·(a －b )＝4(k －3)＋(2k ＋2)·0＝0， 解得k ＝3.10．(2019·重庆第一中学第一次月考)已知向量a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1，－1)．(1)若|c |＝32，且c ∥a ，求向量c 的坐标；(2)若b 是单位向量，且a ⊥(a －2b )，求a 与b 的夹角θ.解：(1)设c ＝(x ，y )，由|c |＝32，c ∥a 可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋x ＝0，x 2＋y 2＝18，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－3，故c ＝(－3，3)或c ＝(3，－3)．(2)因为|a |＝2，且a ⊥(a －2b )，所以a ·(a －2b )＝0，即a 2－2a ·b ＝0，所以a ·b ＝1，故cos θ＝a ·b |a |·|b |＝22，所以θ＝π4.[B 能力提升]11．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角大小为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选C.设a 与c 的夹角为θ，依题意，得 a ＋b ＝(－1，－2)，|a |＝ 5.设c ＝(x ，y )，因为(a ＋b )·c ＝52， 所以x ＋2y ＝－52.又a ·c ＝x ＋2y ， 所以cos θ＝a ·c |a ||c |＝x ＋2y 5×5＝－525＝－12， 所以a 与c 的夹角为120°.12．在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EM →·EC→的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，2 B.⎣⎡⎦⎤0，32 C.⎣⎡⎦⎤12，32D.[]0，1解析：选C.以A 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，设E (x ，0)，0≤x ≤1.因为M ⎝⎛⎭⎫1，12，C (1，1)，所以EM →＝⎝⎛⎭⎫1－x ，12，EC →＝(1－x ，1)，所以EM →·EC →＝⎝⎛⎭⎫1－x ，12·(1－x ，1) ＝(1－x )2＋12.因为0≤x ≤1，所以12≤(1－x )2＋12≤32，即EM →·EC →的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，32. 13．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，0)．(1)求a －b 的坐标以及a －b 与a 之间的夹角；(2)当t ∈[－1，1]时，求|a －t b |的取值范围．解：(1)因为向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，0)，所以a －b ＝(1，3)－(－2，0)＝(3，3)，所以cos 〈a －b ，a 〉＝（a －b ）·a |a －b |·|a |＝643＝32. 因为〈a －b ，a 〉∈[0，π]，所以向量a －b 与a 的夹角为π6.(2)|a －t b |2＝a 2－2t a ·b ＋t 2b 2＝4t 2＋4t ＋4＝4⎝⎛⎭⎫t ＋122＋3.易知当t ∈[－1，1]时，|a －t b |2∈[3，12]，所以|a －t b |的取值范围是[3，2 3 ]．14．(选做题)已知OA →＝(4，0)，OB →＝(2，23)，OC →＝(1－λ)·OA →＋λOB →(λ2≠λ)．(1)求OA →·OB →及OA →在OB →上的投影；(2)证明A ，B ，C 三点共线，并在AB →＝BC →时，求λ的值；(3)求|OC →|的最小值．解：(1)OA →·OB →＝8，设OA →与OB →的夹角为θ，则cos θ＝OA →·OB →|OA →||OB →|＝84×4＝12， 所以OA →在OB →上的投影为|OA →|cos θ＝4×12＝2. (2)AB →＝OB →－OA →＝(－2，23)，BC →＝OC →－OB →＝(1－λ)OA →－(1－λ)OB →＝(λ－1)AB →，因为AB →与BC →有公共点B ，所以A ，B ，C 三点共线．当AB →＝BC →时，λ－1＝1，所以λ＝2.(3)|OC →|2＝(1－λ)2OA →2＋2λ(1－λ)OA →·OB →＋λ2OB →2＝16λ2－16λ＋16＝16⎝⎛⎭⎫λ－122＋12. 所以当λ＝12时，|OC →|取到最小值2 3.。

向量数量积的运算律练习1．以下等式中恒成立的有( )①|a ·b |＝|a ||b |；②(a ·b )2＝a 2·b 2；③|a |④a 2－2b 2＝(a)·(a)．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．已知向量a 与b 的夹角为π3，|a |＝2，|b |＝1，那么(a －4b )2等于( ) A．．2 C ．6 D ．123．已知|a |＝3，|b |＝4，且(a ＋k b )⊥(a －k b )，则实数k 的值为( )A ．34±B ．43±C ．35±D ．45± 4．已知a ，b 是非零向量，满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是( )A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π6 5．已知非零向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭ 且12AB AC AB AC ⋅= ，则△ABC 为( )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形 6．已知a ·b＝-，|a |＝4，则b 在a 方向上的射影的数量为__________．7．已知a ＋b ＝2i －8j ，a －b ＝－8i ＋16j ，其中i·j ＝0，|i|＝|j|＝1，则a·b ＝__________. 8．设O ，A ，B ，C 为平面上的四个点，OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，且a ＋b ＋c ＝0，a·b ＝b·c ＝c·a ＝－1，则|a|＋|b|＋|c |＝__________.9．已知a ，b 是两个非零向量，同时满足|a |＝|b |＝|a －b |，求a 与a ＋b 的夹角．10．设a ⊥b ，且|a |＝2，|b |＝1，k ，t 是两个不同时为零的实数．(1)若x ＝a ＋(t －3)b 与y ＝－k a ＋t b 垂直，求k 关于t 的函数关系式k ＝f (t )；(2)求出函数k ＝f (t )的最小值．参考答案1．解析：对于①，|a·b|＝|a||b||cos θ|≤|a||b|，仅当θ＝0°或180°时或b＝0或a＝0时等号成立；对于②，实质上是依据乘法结合律进行的变形，对于向量的数量积运算不适用；③和④均符合运算法则，故只有③④正确．答案：B2．答案：D3．解析：(a＋k b)·(a－k b)＝|a|2－k2|b|2＝0，所以9＝k2×16，所以k2＝916.所以k＝34±.答案：A4．解析：设所求夹角为θ，则由(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，得a·(a－2b)＝0，b·(b－2a)＝0.∴a2＝2a·b，b2＝2a·b.∴2|a||b|cos θ＝|a|2＝|b|2.∴cos θ＝22||2||aa＝12，又∵θ∈[0，π]，∴θ＝π3.答案：B5．解析：由0AB ACBCAB AC⎛⎫⎪+⋅=⎪⎝⎭可知，∠BAC的平分线与边BC垂直．又cos∠BAC＝12AB ACAB AC⋅=，所以∠BAC＝π3.所以△ABC为等边三角形．答案：D6．解析：∵|a||b|cos〈a，b〉＝-，又∵|a|＝4，∴|b|cos〈a，b〉＝-.答案：-7．解析：由28,816,+=-⎧⎨-=-+⎩a b i ja b i j解得34,512.=-+⎧⎨=-⎩a i jb i j∴a·b＝(－3i＋4j)·(5i－12j)＝－15|i|2－48|j|2＋56i·j＝－63＋56×0＝－63. 答案：－638．解析：∵a·(a＋b＋c)＝a·0＝0，∴a·a＋a·b＋a·c＝0.又∵a·b＝b·c＝c·a＝－1，∴a·a－1－1＝0，∴|a|同理|b|＝|c|∴|a|＋|b|＋|c|＝答案：9．解：∵|a|＝|a－b|，∴|a|2＝|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2.又∵|a|＝|b|，∴a·b＝12|a|2.又|a＋b||==，设a与a＋b的夹角为θ，则cos θ＝2221||||||||||||+⋅(+)+⋅=== ++a aa ab a a ba ab a a b又∵θ∈[0，π]，∴π6θ＝，即a与a＋b的夹角为π6.10．解：(1)∵a⊥b，∴a·b＝0.又∵x⊥y，∴x·y＝0，即[a＋(t－3)b]·(－k a＋t b)＝0，∴－k a2－k(t－3)a·b＋t a·b＋t(t－3)b2＝0. ∵|a|＝2，|b|＝1，∴－4k＋t2－3t＝0，∴k＝14(t2－3t)(t≠0)，即k＝f(t)＝14(t2－3t)(t≠0)．(2)由(1)知k＝f(t)＝14(t2－3t)＝21394216t⎛⎫--⎪⎝⎭，故函数k＝f(t)的最小值为9 16 -.。

2-4-2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、选择题1．设a ＝(1，－2)，b ＝(－3,4)，c ＝(3,2)，则(a ＋2b )·c 等于( ) A ．(－15,12) B ．0 C ．－3 D ．－11[答案] C[解析] a ＋2b ＝(－5,6)，(a ＋2b )·c ＝－5×3＋6×2＝－3. 2．已知a ＝(1，－2)，b ＝(3,4)，则a 在b 方向上的投影是( ) A ．1 B ．－1 C. 5 D ．－ 5[答案] B[解析] 设a 与b 的夹角为θ，则a 在b 方向上的投影是|a |cos θ＝|a ||b |cos θ|b |＝a ·b |b |＝1×3＋4×(－2)9＋16＝－1.3．已知向量a ＝(3,4)，b ＝(2，－1)，如果向量a ＋x b 与b 垂直，则实数x 的值为( )A.233B.323 C ．2 D ．－25[答案] D[解析] 由于向量a ＋x b 与b 垂直，则(a ＋x b )·b ＝0， 所以a ·b ＋x b 2＝0，则6－4＋5x ＝0，解得x ＝－25.4．已知向量a ＝(1,2)，a ·b ＝5，|a －b |＝25，则|b |等于( ) A. 5 B ．2 5 C ．5D ．25[答案] C[解析] ∵|a －b |＝25，∴(a －b )2＝20. ∴a 2－2a ·b ＋b 2＝20. ∴5－2×5＋|b |2＝20.∴|b |＝5.5．(2011·上海春季高考)若向量a ＝(2,0)，b ＝(1,1)，则下列结论正确的是( )A ．a ·b ＝1B ．|a |＝|b |C ．(a －b )⊥bD ．a ∥b[答案] C[解析] 由于a ·b ＝2，所以A 项不正确；由于|a |＝2，|b |＝2，则|a |≠|b |，所以B 项不正确； 由于a －b ＝(1，－1)，(a －b )·b ＝(1，－1)·(1,1)＝0， 所以(a －b )⊥b ，所以C 项正确；由于2×1－0×1＝2≠0，则a ，b 不共线， 所以D 项不正确．6．(2011～2012·广东佛山高三质检)已知向量a ＝(1,1)，2a ＋b ＝(4,2)，则向量a 、b 的夹角为( )A.π6B.π4C.π3D.π2 [答案] B[解析] 由于2a ＋b ＝(4,2)，则b ＝(4,2)－2a ＝(2,0)， 则a ·b ＝2，|a |＝2，|b |＝2.设向量a ，b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝22.又θ∈[0，π]，所以θ＝π4.7．(2011～2012·重庆南开中学)平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则a ·b ＝( )A.12 B ．1 C.32D. 3[答案] B[解析] |a |＝2，a ·b ＝|a |·|b |·cos60°＝2×1×12＝1.8．(2012·全国高考重庆卷)设x ，y ∈R ，向量a (x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A. 5B.10 C ．2 5 D ．10[答案] B[解析] 由a ⊥c ，得2x －4＝0 则x ＝2，由b ∥c 得－4＝2y 则y ＝－2，|a ＋b |＝(2＋1)2＋(1－2)2＝10[考点定位] 本题主要考查两个向量垂直和平行的坐标表示、模长公式，解决问题的关键在于根据a ⊥c ，b ∥c ，得到x ，y 的值，只要记住两个向量垂直、平行和向量的模的坐标形式的充要条件，就不会出错，注意数字的运算。

2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式题．1．向量内积的坐标运算已知a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ²b ＝a 1b 1＋a 2b 2.知识拓展非零向量a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)夹角θ的范围与坐标运算的数量积的关系是：(1)θ为锐角或零角⇔x 1x 2＋y 1y 2＞0； (2)θ为直角⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0；(3)θ为钝角或平角⇔x 1x 2＋y 1y 2＜0.【自主测试1】若a ＝(2，－3)，b ＝(x,2x )，且a ²b ＝43，则x 等于( )A ．3B ．13C ．－13D ．－3解析：由题意，得2x －6x ＝43，解得x ＝－13.答案：C2．用向量的坐标表示两个向量垂直的条件已知a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0.名师点拨解决两向量垂直的问题时，在表达方式上有一定的技巧，如a ＝(m ，n )与b ＝k (n ，－m )总是垂直的，当两向量的长度相等时，k 取±1.【自主测试2】已知a ＝(2,5)，b ＝(λ，－3)，且a ⊥b ，则λ＝__________.解析：∵a ⊥b ，∴a²b ＝0，即2λ－15＝0，∴λ＝152.答案：1523．向量的长度、距离和夹角公式(1)向量的长度：已知a ＝(a 1，a 2)，则|a |＝a 21＋a 22，即向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根．(2)两点之间的距离公式：如果A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝ x 2－x 1 2＋ y 2－y 1 2. (3)向量的夹角的余弦公式：已知a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则两个向量a ，b 的夹角的余弦为cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2a 21＋a 22b 21＋b 22.你会求出与向量a ＝(m ，n )同向的单位向量a 0的坐标吗？答：a 0＝a |a |＝1m 2＋n 2(m ，n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m m 2＋n 2，n m 2＋n 2.【自主测试3－1】已知A (1,2)，B (2,3)，C (－2,5)，则△ABC 为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法判断解析：由AB →＝(1,1)，BC →＝(－4,2)，CA →＝(3，－3)， 得AB →2＝2，BC →2＝20，CA →2＝18. ∵AB →2＋CA →2＝BC →2，即AB 2＋AC 2＝BC 2，∴△ABC 为直角三角形． 答案：B【自主测试3－2】已知m ＝(3，－1)，n ＝(x ，－2)，且〈m ，n 〉＝π4，则x 等于( )A ．1B ．－1C ．－4D ．4解析：cos π4＝3x ＋210³x 2＋4， 解得x ＝1.答案：A【自主测试3－3】已知a ＝(3，x )，|a |＝5，则x ＝__________.解析：由|a |2＝9＋x 2＝25，解得x ＝±4. 答案：±41．向量模的坐标运算的实质剖析：向量的模即为向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离，如a ＝(x ，y )，则在平面直角坐标系中，一定存在点A (x ，y )，使得OA →＝a ＝(x ，y )，∴|OA →|＝|a |＝x 2＋y 2，即|a |为点A 到原点的距离；同样若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，∴|AB →|＝ x 2－x 1 2＋ y 2－y 1 2，即平面直角坐标系中任意两点间的距离公式．由此可知向量模的运算其实质即为平面直角坐标系中两点间距离的运算．2．用向量的数量积的坐标运算来分析“(a²b )²c ＝a ²(b²c )”不恒成立 剖析：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，c ＝(x 3，y 3)， 则a²b ＝x 1x 2＋y 1y 2, b²c ＝x 3x 2＋y 3y 2.∴(a²b )²c ＝(x 1x 2＋y 1y 2)(x 3，y 3)＝(x 1x 2x 3＋y 1y 2x 3，x 1x 2y 3＋y 1y 2y 3)， a²(b²c )＝(x 1，y 1)(x 3x 2＋y 3y 2)＝(x 1x 3x 2＋x 1y 2y 3，x 2x 3 y 1＋ y 1y 2y 3)． 假设(a²b )²c ＝a²(b²c )成立，则有(x 1x 2x 3＋y 1y 2x 3，x 1x 2y 3＋y 1y 2y 3)＝(x 1x 3x 2＋x 1y 2y 3，x 2x 3 y 1＋ y 1y 2y 3)， ∴x 1x 2x 3＋y 1y 2x 3＝x 1x 3x 2＋x 1y 2y 3， x 1x 2y 3＋y 1y 2y 3＝x 2x 3 y 1＋y 1y 2y 3. ∴y 1y 2x 3＝x 1y 2y 3，x 1x 2y 3＝x 2x 3 y 1.∴y 2(y 1x 3－x 1y 3)＝0，x 2(x 1y 3－x 3y 1)＝0. ∵ b 是任意向量， ∴x 2和y 2是任意实数． ∴y 1x 3－x 1y 3＝0. ∴a ∥c .这与a ，c 是任意向量，即a ，c 不一定共线相矛盾． ∴假设不成立．∴(a²b )²c ＝a²(b²c )不恒成立． 3．教材中的“思考与讨论” 在直角坐标系xOy 中，任作一单位向量OA →旋转90°到向量OB →的位置，这两个向量的坐标之间有什么关系？你能用上述垂直的条件，证明下面的诱导公式吗？cos(α＋90°)＝－sin α，sin(α＋90°)＝cos α.反过来，你能用这两个诱导公式，证明上述两个向量垂直的坐标条件吗？把两向量垂直的坐标条件可视化．有条件的同学可用“几何画板”、“Scilab”等数学软件进行可视化研究．剖析：如图所示，在平面直角坐标系中，画出一单位圆，有A (cos α，sin α)，B (cos β，sin β)，且β－α＝90°，也就是β＝α＋90°.过点A 作AM ⊥x 轴于点M ，过点B 作BN ⊥x 轴于点N ，则△BNO ≌△OMA ． ∴|OM →|＝|NB →|，|ON →|＝|MA →|.当点A 在第一象限时，点B 在第二象限， ∴|ON →|＝－cos β，|NB →|＝sin β，|OM →|＝cos α，|MA →|＝sin α，从而有－cos β＝－cos(α＋90°)＝sin α， sin β＝sin(α＋90°)＝cos α， 即cos(α＋90°)＝－sin α， sin(α＋90°)＝cos α.题型一 向量数量积的坐标运算【例题1】已知a ＝(－6,2)，b ＝(－2,4)，求a ²b ，|a |，|b |，〈a ，b 〉． 分析：直接套用基本公式a ²b ＝x 1x 2＋y 1y 2，|a |＝x 21＋y 21，cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22即可．解：a ²b ＝(－6,2)²(－2,4)＝12＋8＝20. |a |＝a ²a ＝ －6，2 ³ －6，2 ＝36＋4＝210，|b |＝ －2 2＋42＝20＝2 5.∵cos 〈a ，b 〉＝a ²b |a ||b |＝20210³25＝22，且〈a ，b 〉∈[0，π]，∴〈a ，b 〉＝π4.反思如果已知向量的坐标，则可以直接用公式来计算数量积、模和夹角等问题；如果向量的坐标是未知的，一般考虑用定义和运算律进行转化．〖互动探究〗设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)， (1)求a －2b 的坐标表示和模的大小； (2)若c ＝a －(a ²b )²b ，求|c |. 解：(1)∵a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，∴a －2b ＝(3,5)－2(－2,1)＝(3＋4,5－2)＝(7,3)，|a －2b |＝72＋32＝58. (2)∵a ²b ＝－6＋5＝－1，∴c ＝a ＋b ＝(1,6)，∴|c |＝12＋62＝37. 题型二 平面向量垂直的坐标运算【例题2】在△ABC 中，AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 的值．分析：对△ABC 的三个内角分别讨论，并利用坐标反映垂直关系．解：当A ＝90°时，AB →²AC →＝0，∴2³1＋3³k ＝0.∴k ＝－23.当B ＝90°时，AB →²BC →＝0，BC →＝AC →－AB →＝(1－2，k －3)＝(－1，k －3)，∴2³(－1)＋3³(k －3)＝0.∴k ＝113.当C ＝90°时，AC →²BC →＝0，∴－1＋k (k －3)＝0，∴k ＝3±132.因此，△ABC 有一个角为直角时，k ＝－23，或k ＝113，或k ＝3±132.反思(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ≠0，则向量a 与b 垂直⇔a ²b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(2)向量垂直的坐标表示x 1x 2＋y 1y 2＝0与向量共线的坐标表示x 1y 2－x 2y 1＝0很容易混淆，应仔细比较并熟记，当难以区分时，要从意义上鉴别，垂直是a ²b ＝0，而共线是方向相同或相反．题型三 数量积的坐标运算在几何中的应用【例题3】已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)． (1)求证：AB ⊥AD ；(2)若四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标，并求矩形ABCD 的两对角线所夹的锐角的余弦值．解：(1)证明：∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)， ∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)． ∴AB →²AD →＝1³(－3)＋1³3＝0， ∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD ． (2)若四边形ABCD 为矩形， 则AB →⊥AD →，AB →＝DC →.设C 点的坐标为(x ，y )， 则AB →＝(1,1)，DC →＝(x ＋1，y －4)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝1，y －4＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5. ∴C 点的坐标为(0,5)．从而AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2), ∴|AC →|＝25，|BD →|＝25，AC →²BD →＝8＋8＝16. 设AC →与BD →的夹角为θ，则cos θ＝AC →²BD →|AC →| |BD →|＝1625³25＝45， ∴矩形ABCD 的两条对角线所夹的锐角的余弦值为45.反思用向量法解决几何问题的关键是把有关的边用向量表示，然后把几何图形中的夹角、垂直、长度等问题都统一为向量的坐标运算即可，最后再回归到原始几何图形中进行说明．题型四 利用向量数量积的坐标运算证明不等式【例题4】证明：对于任意的a ，b ，c ，d ∈R ，恒有不等式(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)． 分析：设m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，用m ²n ≤|m |²|n |即可，要注意等号成立的条件． 证明：设m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，两向量夹角为θ，则m ²n ＝|m ||n |cos θ，∴ac ＋bd ＝a 2＋b 2²c 2＋d 2²cos θ，∴(ac ＋bd )2＝(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)cos 2θ≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)， 当且仅当m 与n 共线时等号成立．∴(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)得证． 反思本题直接利用代数方法也易得证．若从不等式的特征构造向量，利用向量的数量积和模的坐标运算来证，显得比较灵活，体现了向量的工具性．题型五 易错辨析【例题5】设平面向量a ＝(－2,1)，b ＝(λ，－1)(λ∈R )，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2∪(2，＋∞) B．(2，＋∞) C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12 错解：由a 与b 的夹角为钝角，得a ²b ＜0，即－2λ－1＜0，解得λ＞－12.故选C ．错因分析：a ²b ＜0⇔a 与b 的夹角为钝角或平角．因此上述解法中需要对结论进行检验，把a 与b 的夹角为平角的情况舍去．正解：a ²b ＜0⇒(－2,1)²(λ，－1)＜0⇒λ＞－12.又设b ＝t a (t ＜0)，则(λ，－1)＝(－2t ，t )，所以t ＝－1，λ＝2，即λ＝2时，a 和b 反向，且共线，所以λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2∪(2，＋∞)．故选A ．1．设m ，n 是两个非零向量，且m ＝(x 1，y 1)，n ＝(x 2，y 2)，则以下等式中，与m ⊥n 等价的个数为( )①m ²n ＝0；②x 1x 2＝－y 1y 2；③|m ＋n |＝|m －n |；④|m ＋n |＝m 2＋n 2. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：①②中的等式显然与m ⊥n 等价；对③④中的等式的两边平方，化简，得m ²n ＝0，因此也是与m ⊥n 等价的，故选D ．答案：D2．已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(－2，－3)，则向量a 在向量b 方向上的投影的数量为( )A ．－1313B ．1313C ．0D ．1 答案：B3．(2012²广东广州测试)已知向量a ＝(1，n )，b ＝(n,1)，其中n ≠±1，则下列结论正确的是( )A ．(a －b )∥(a ＋b )B ．(a ＋b )∥bC ．(a －b )⊥(a ＋b )D ．(a ＋b )⊥b解析：∵a －b ＝(1－n ，n －1)，a ＋b ＝(1＋n ，n ＋1)， ∴(a －b )²(a ＋b )＝0， ∴(a －b )⊥(a ＋b )． 答案：C4．已知a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝b －k a ，若c ⊥a ，则c ＝__________.解析：根据a 和b 的坐标，求c 的坐标，再利用垂直建立关于k 的方程，求出k 后可得向量c .答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫25，－155．已知i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，a ＝i －2j ，b ＝i ＋m j ，给出下列命题：①若a 与b 的夹角为锐角，则m ＜12；②当且仅当m ＝12时，a 与b 互相垂直；③a 与b不可能是方向相反的向量；④若|a |＝|b |，则m ＝－2.其中正确的命题的序号是__________．答案：①②③6．设向量a ＝(1，－1)，b ＝(3，－4)，x ＝a ＋λb ，λ为实数，证明：使|x |最小的向量x 垂直于向量b .证明：因为|x |2＝x ²x ＝|a |2＋λ2|b |2＋2λa ²b ，所以x 2＝25λ2＋14λ＋2＝⎝⎛⎭⎪⎫5λ＋752＋125.当5λ＋75＝0，即λ＝－725时，|x |最小．此时x ＝a －725b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫425，325. 又425³3－325³4＝0，所以向量x 与b 垂直．。

向量的数量积（4）1．(2012·辽宁高考)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )．若a ·b ＝1，则x ＝2．已知点A (－1,0)、B (1,3)，向量a ＝(2k －1,2)，若AB ⊥a ，则实数k 的值为3．已知向量OA ＝(2,2)，OB ＝(4,1)，在x 轴上有一点P ，使AP ·BP 有最小值，则点P 的坐标是4．平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB ＝(2,4)，AC ＝(1,3)，则AD ·BD 等于5．已知向量a ＝(3,4)，b ＝(2，－1)，如果向量a ＋xb 与－b 垂直，则实数x 的值为________．6．已知A (1,2)，B (3,4)，|n |＝2，则|AB ·n |的最大值为________．7．向量BA ＝(4，－3)，向量BC ＝(2，－4)，则△ABC 的形状为________．8．若将向量a ＝(2,1)围绕原点按逆时针方向旋转π4得到向量b ，则向量b 的坐标为________． 9．已知在△ABC 中，A (2,4)，B (－1，－2)，C (4,3)，BC 边上的高为AD .(1)求证：AB ⊥AC ；(2)求向量AD ；(3)求证：AD 2＝BD ·CD .10．平面内有向量OA ＝(1,7)，OB ＝(5,1)，OP ＝(2,1)，点M 为直线OP 上的一动点．(1)当MA ·MB 取最小值时，求OM 的坐标；(2)在(1)的条件下，求cos ∠AMB 的值．答案1.解析：由a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )可得a ·b ＝2－x ＝1，故x ＝1.答案：12.解析：AB ＝(2,3)，a ＝(2k －1,2)，由AB ⊥a 得2×(2k －1)＋6＝0，解得k ＝－1. 答案-13．解析：设P (x,0)，则AP ＝(x －2，－2)， BP ＝(x －4，－1)，∴AP ·BP ＝(x －2)(x －4)＋2＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1，故当x ＝3时，AP ·BP 最小，此时P (3,0)．答案：P (3,0)4.。