海南省高三数学阶段性测试(二模)试题 理

试卷类型:A 2021年高三二模试题（数学理）word版说明：1. 本试卷共4页,包括三道大题，22道小题，共150分。

其中第一道大题为选择题。

2. 所有答案在答题卡上作答(选择题用机读卡的学校直接涂机读卡上，在本试卷籾草稿纸上作答无效。

答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”,按照“注意事项”的规定答题。

3. 做选择题时，如需改动，请用橡皮将原选涂答案擦干净，再选涂其他答案。

4. 考试结束后，将本试卷与答题卡一并交回。

参考公式：如果事件A,B互斥，那么球的表面积公式P(A +B) = P(A) + P(B)如果事件A，B相互独立，那么其中表示球的半径P(A • B) = P(A) • P(B)球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数的虚部是A, 1 B. -1 C. i D.-i2. 已知集合则图中阴影部分表示的集合为A. ( -3,1 ]B.( -3,-1)C-[ -1,1) D.(,—3]u[-l)3. =A. 1B.C.D.4. 函数y= l+logx(a>0且的反函数是A. B,C. D.5. 向量，则“x=2”是“a//b"的A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6. 等差数列中，，则的值为A. 14B. 15C. 16D. 177. 曲线在点（1,1）处的切线为l，则l上的点到圆x2+y2+4x+3=0上的点的最近距离是A. B. C. D.8.某企业拟在指定的4个月内向市场投放3种不同的产品，且在同一个月内投放的产品不超过2种，则该企业产品的不同投放方案有A.16 种B36 种 C.42 种 D.60 种9. 已知函数.是定义在实数集R上的可导函数，是其导函数，则下列说法不正确的是A. 若.为周期函数，则也是周期函数；B. 若.为奇函数，则是偶函数；C. 若，为偶函数,则是奇函数；D. 若为单调函数,则也是单调函数.10. 不等式•的解集为(4，b)，则实数b的值为A.9B. 18C. 36D.4811. 半径为2的球面上冇P,M,N,R四点，且PM,PN,PR两两垂直，则的最大值为A. 8B. 12C. 16D. 2412.已知点分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于X轴的直线与双曲线交于A,B两点，若为钝角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围是A.()B.()C. (•)D. (1,1 +)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.13. 在直角坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为_______.14. 的展开式中x4的系数为_______.15. 函数y=sinx 的定义域为[a,b]，值域为[-1,，]，则b-a的取值范围是_______16.正三棱锥S-ABC中，侧棱与底面所成角的余弦值为，点M,N分别为棱S C、SA的中点，则异面直线AM与B N所成角的余弦值为_______.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明8证明过程或演算步骤.17. (本小题满分10分）已知中，，，设.(1 )用表示；(11)求的单调递增区间.18. (本小题满分12分）某装置由两套系统M,N组成，只要有一套系统工作正常，该装置就可以正常工作。

2022届海南省高三学业水平诊断（二）数学试题一、单选题1．复数3i 1iz =+在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【分析】先对已知式子化简求出复数z ，从而可得答案 【详解】2i i i i(1i)1i1i 1i (1i)(1i)22z ⋅-==-=-=--+++-， 所以z 对应的点位于第三象限. 故选：C2．已知集合{}21A x x =≤，集合{}1B x x x A =∈+∈Z 且，则B =（ ）A ．{}1,0,1-B ．{2,1,0}--C ．{2,1,0,1}--D ．{2,1,0,1,2}--【答案】B【分析】先求出集合11A x x ，再根据集合B 中1x A +∈和x ∈Z ，即可求出结果.【详解】因为集合{}21A x x =≤，所以11Ax x ，在集合B 中，由1x A +∈，得111x -≤+≤，即20x -≤≤， 又x ∈Z ，所以2x =-，1-，0，即{2,1,0}B =--. 故选：B.3．已知角α为第二象限角，tan 3α=-，则cos α=（ ）A ．BC ．D 【答案】A【分析】由角所在的象限及同角三角函数的平方关系、商数关系求cos α即可. 【详解】因为α是第二象限角， 所以sin 0α>，cos 0α<，由sin tan 3cos ααα==-，22sin cos 1αα+=，可得：cos α=. 故选：A.4．函数221x y e x x =++-的零点个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】将问题转化为函数()x f x e =与2()21g x x x =--+的图象交点的个数，进而作图判断即可.【详解】解:函数221x y e x x =++-的零点个数即函数()x f x e =与2()21g x x x =--+的图象交点的个数，作图如图所示，由图可知，两图象有两个交点，故原函数有2个零点 故选：C5．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积过程中构造的一个和谐优美的几何模型.如图1，正方体的棱长为2，用一个底面直径为2的圆柱面去截该正方体，沿着正方体的前后方向和左右方向各截一次，截得的公共部分即是一个牟合方盖（如图2）.已知这个牟合方盖与正方体内切球的体釈之比为4:π，则正方体除去牟合方盖后剩余部分的体积为（ ）A ．483π-B ．283π-C ．83D ．163【答案】C【分析】由题意可求出正方体的体积和其内切球的体积，从而可求出牟合方盖的体积，然后用正方体的体积减去牟合方盖的体积即可 【详解】正方体的体积为328=，其内切球的体积为43π， 由条件可知牟合方盖的体积为441633ππ⨯=， 故正方体除去牟合方盖后剩余的部分体积为168833-=. 故选：C6．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，以F 为圆心，p 为半径的圆F 与抛物线C 交于点M ，N ，与x 轴的正半轴交于点Q ，若||26MQ =，则p=（ ） A ．23 B ．3C ．26D ．6【答案】A【分析】过点M 作抛物线准线2px =-的垂线，垂足为M '，设抛物线准线与x 轴的交点为,02p A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，证明出四边形AFMM '是正方形，得到FM FQ ⊥，且FM FQ p ==即可求解.【详解】如图示：过点M 作抛物线准线2px =-的垂线，垂足为M '，由抛物线定义，||MM FM p '==.设抛物线准线与x 轴的交点为,02p A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则||AF p =，所以四边形AFMM '是正方形，则FM FQ ⊥，且FM FQ p ==又||26QM =2|23p QM ==故选：A7．若函数22,,()4,x x m f x x x x m -⎧=⎨+>⎩是定义在R 上的增函数，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(,2]-∞-B ．[1,)-+∞C ．(]{},21∞--⋃-D ．{}[)21,∞-⋃-+【答案】D【分析】作出函数2y x =-和24y x x =+的大致图象，如图，联立直线和抛物线方程求出点A 、B 的横坐标，对m 取2m <-、2m =-、21m -<<-、1m -情况分类讨论，利用数形结合的数学思想即可得出结果.【详解】如图，作出函数2y x =-和24y x x =+的大致图象.242y x xy x ⎧=+⎨=-⎩，得2320x x ++=，解得2A x =-，1B x =-， 注意到点A 是二次函数24y x x =+图象的最低点，所以若2m <-，则当2x m ->时，()f x 单调递减，不符合题意； 当2m =-时符合题意；当21m -<<-时，则224m m m ->+，在x m =时函数图象“向下跳跃”，不符合题意； 当1m -时，符合题意.所以m 的取值范围为：2m =-或1m -. 故选：D8．在直角梯形ABCD 中，AB CD ，AD AB ⊥，且6AB =，3AD =.若线段CD 上存在唯一的点E 满足4AE BE ⋅=，则线段CD 的长的取值范围是（ ） A ．[1,2) B ．[1,5)C ．[1,)+∞D ．[5,)+∞【答案】B【分析】建立平面直角坐标系，根据数量积的坐标运算，即可求得答案.【详解】解析 如图所示，以A 为坐标原点，AB 和AD 分别为x 轴和y 轴正方向建立直角坐标系.则(0,0),(6,0)A B , 设DE 的长为x ，则(,3)E x ，则(,3)AE x =，(6,3)BE x =-，所以(6)94AE BE x x ⋅=-+=，解得1x =或5x =，由题意知：DC x ≥ ，且点E 存在于CD 上且唯一，知CD 的长的取值范围是[1,5)， 故选：B.二、多选题9．依据我国《地表水环境质量标准》，水质由高到低可以分为I 、II 、III 、IV 、V 、劣V 类六个类别，其中I 、II 类水质适用于饮用水源地一级保护区，劣V 类水质除调节局部气候外，几乎无使用功能.环境监测部门某一年对全国范围内各大水域的水质情况进行监测，统计了各水域不同水质所占的比例，得到了下面的统计图.从统计图中能够得到的合理推断是（ ）A ．浙闽片河流、西北诸河、西南诸河水质情况整体高于其他流域水质情况B ．辽河流域I~III 类水质占比小于60%C ．黄河流域的水质比长江流域的水质要好D ．IV 、V 类水质所占的比例最高的是淮河流域 【答案】ABD【分析】根据统计图分析各选项的描述是否正确即可.【详解】A ：浙闽片河流、西北诸河、西南诸河I-III 类水质占比最高，正确； B ：由图知：辽河流域I~III 类水质占比小于60%，正确；C ：由图知：长江流域I~III 类水质占比高于黄河流域，其它类占比小于黄河流域，错误；D ：淮河流域IV 、V 类水质所占的比例最高，正确. 故选：ABD.10．已知等比数列{}n a 是递增数列，q 是其公比，下列说法正确的是（ ） A ．10a > B ．0q > C ．10a q > D ．1(1)0a q ->【答案】BD【分析】根据等比数列的性质可知，递增的等比数列包括两种情况：10a >时1q >或10a <时01q <<.【详解】由题意知，递增的等比数列包括两种情况：10a >时1q >或10a <时01q <<. 故0q >，1(1)0a q ->， 故选：BD11．已知函数2()||sin f x x x =+，设12,x x ∈R ，则()()12f x f x >成立的一个充分条件是（ ） A ．12x x >B ．120x x +>C ．2212x x >D ．121x x > 【答案】CD【分析】根据函数的单调性和奇偶性可知函数()f x 为偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，所以()f x 在(,0)-∞上单调递减，结合()()12f x f x >可得2212x x >，举例说明即可判断选项A 、B ，将选项C 、D 变形即可判断. 【详解】函数()f x 的定义域为R ，则函数22()sin )sin =()(f x x x x x f x -=-+=+-，所以函数()f x 是偶函数， 当0x >时，2()sin f x x x =+，2()12sin cos (sin cos )0f x x x x x '=+=+，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以()f x 在(,0)-∞上单调递减.若()()12f x f x >，则12x x >，即2212x x >.A ：若1212x x ==-，，满足12x x >，但(1)(2)(2)f f f <-=，故A 错误；B ：若1245x x ==，，满足120x x +>，但(4)(5)f f <，故B 错误；C ：由()()12f x f x >可得12x x >，即2212x x >，故C 正确；D ：由222111222211x x x x x x >⇒>⇒>，故D 正确.故选：CD12．对于直角坐标平面内的任意两点()11,A x y ，()22,B x y ，定义它们之间的一种“距离”：1212AB x x y y =-+-‖‖，则下列说法正确的是（ ） A ．若点C 是线段AB 的中点，则2AB AC =‖‖‖‖B ．在ABC 中，若90C ∠=︒，则222AC CB AB +=‖‖‖‖‖‖C ．在ABC 中，AC CB AB +‖‖‖‖‖‖D ．在正方形ABCD 中，有AB BC =‖‖‖‖ 【答案】ACD【分析】对于AC ，根据距离的新定义分析判断，对于B ，举例判断，对于D ，根据距离的新定义结合图形分析判断 【详解】对于A ，1212121211122222x x y y x x y y AC x y AB --++=-+-=+=‖‖‖‖，故A 正确；对于B ，取(1,0),(0,1),(0,0)A B C ，则1AC BC ==‖‖‖‖，而2AB =‖‖，不满足222AC CB AB +=‖‖‖‖‖‖，故B 错误； 对于C ，设()33,C x y ，则13132323AC CB x x y y x x y y +=-+-+-+-‖‖‖‖，因为 ()()1323132312|||||x x x x x x x x x x -+----=-∣， 同理132312y y y y y y -+--，所以1212AC CB x x y y AB +-+-=‖‖‖‖‖‖，故C 正确；对于D ，设正方形ABCD 的边长为a ，当正方形的边与坐标轴平行时，易知AB BC a ==‖‖‖‖，如图，设AB 与x 轴的夹角为θ，由图可知 cos sin AB BC a a θθ==+‖‖‖‖，故D 正确. 故选：ACD三、填空题13．若对任意的0a >且1a ≠，函数()log (1)1a f x x =-+的图象恒过定点P ，则点P 的坐标为___________. 【答案】（2，1）【分析】根据对数函数的图象和性质，令log (1)0a x -=，解得2x =，进而得出点P 坐标.【详解】令log (1)0a x -=，解得2x =， 则(2)log 111a f =+=， 所以点P 的坐标为（2，1）. 故答案为：（2，1）.14．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的右顶点为(2,0)A .若A 到E 的一条渐近线的距离为1，则E 的离心率为___________. 【答案】233【分析】根据意义可知2a =，再根据点到直线的距离公式，即可求出233b =，再根据双曲线离心率为221b a+，即可求出结果.【详解】由题意可知，双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的渐近线为，b y x a =±，又双曲线E 的右顶点为(2,0)A ，所以2a =，又A 到E 的一条渐近线的距离为1，所以2114bb=+，所以233b =，所以33b a =，所以E 的离心率为222313b a +=. 故答案为：233. 15．已知函数()sin (0)4f x A x A πϕ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象如图所示，点M 和N 分别是最低点和最高点，P 是()f x 的图象与x 轴的一个交点，NQ x ⊥轴于点Q ，O 为坐标原点，若OP OQ=且150MON ∠=︒，则A=___________.3【分析】根据函数解析式可得函数的最小正周期，进而可得点N 、M 的坐标，利用坐标表示出ON 、OM ，结合平面向量的数量积得出关于A 的方程，解方程即可. 【详解】由已知，得()f x 的最小正周期8T =，所以18TOP OQ ===，所以(1,)N A ，(3,)M A --， 则(1,)ON A =，(3,)OM A =--，所以2cos ||||1OM ON MON OM ON ⋅∠===化简得42690A a -+=，解得23A =，又0A >，所以A =16．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点(1,1,0)A ，(0,3,2)B ，(2,0,3)C ，若平面//y α轴，且BC α⊂，则直线AC 与平面α所成的角的正弦值为___________.【分析】根据题意设平面α的法向量为(,0,)n x z =，进而根据n BC ⊥得(1,0,2)n =-，再根据向量方法计算AC 与平面α所成的角的正弦值. 【详解】解：(2,3,1)BC =-，(1,1,3)AC =-，由平面α平行于y 轴，可设平面α的法向量为(,0,)n x z =， 因为BC α⊂，所以n BC ⊥，即20x z +=，所以可取(1,0,2)n =-，所以1cos ,||||5n AC n AC n AC ⋅〈〉===所以直线AC 与平面α.四、解答题17．某市场研究机构为了解用户在选购相机时品牌因素的影响，用A ，B 两个品牌的相机各拍摄了一张照片，然后随机调查了200个人，让他们从中选出自己认为更好的一张照片.这200个人被分成两组，其中一组不知道两张照片分别是哪个品牌的相机拍摄的.称为“盲测组”；另一组则被告知相关信息，称为“对照组”.调查结果统计如下：(1)分别求盲测组和对照组认为A品牌相机拍摄的照片更好的概率；(2)判断是否有99%的把握认为相机的品牌对用户有影响.附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.20)k【答案】(1)0.66，0.44；(2)是有99%的把握认为相机的品牌对用户有影响. 【分析】（1）根据古典概型概率公式计算求解即可；（2）根据独立性检验思想求解即可.(1)解：由题中数据可知：盲测组认为A品牌相机拍摄的照片更好的概率为660.66 100=；对照组认为A品牌相机拍摄的照片更好的概率为440.44 100=.(2)解：零假设为0H：用户选择的照片与相机品牌之间无关，即相机的品牌对用户无影响.根据所给数据可得22200(66564434)889.778110901001009K⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯，因为9.778>6.635，根据独立性检验推断0H不成立，即认为相机的品牌对用户有影响，此推断犯错误的概率不超过0.01，即有99%的把握认为相机的品牌对用户有影响18．在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin cosc A C=.(1)求角C的大小；(2)若ABC的面积S=，求ab的最小值.【答案】(1)23Cπ=；(2)48.【分析】（1）由正弦定理及三角形内角的性质可得sin C C=，即可得C的大小；（2）根据三角形面积公式、余弦定理，结合基本不等式即可求ab的最小值，注意等号成立条件.(1)由已知及正弦定理得：sin sin cos C A A C =，又sin 0A ≠，所以sin C C =，即tan C =(0,)C π∈， 所以23C π=. (2)由题意知：1sin 2S ab C ==，即4ab c =， 由余弦定理知：2222cos c a b ab C =+-，即2222316a b a b ab ab =++≥，因此48ab ≥，当且仅当a b =时取等号，所以ab 的最小值为48.19．已知等差数列{}n a 满足17a =，且4a ，22a ，9a 成等差数列.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)证明：数列1(1)n n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和14n S <. 【答案】(1)25n a n =+(2)证明见解析【分析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，根据等差中项和等差数列的通项公式，列出等式，代入17a =，即可求出d ，进而求出通项公式；（2）由（1）可知，1111111(1)(1)(25)2(1)(2)212n n a n n n n n n ⎛⎫=<⨯=- ⎪+++++++⎝⎭，再根据裂项相消和不等式的性质，即可证明结果.(1)解：设数列{}n a 的公差为d ，因为4a ，22a ，9a 成等差数列，所以4924a a a +=，即111(3)(8)4()a d a d a d +++=+，代入17a =，解得2d =，所以{}n a 的通项公式为1(1)25n a a n d n =+-=+.(2)证明：1111111 (1)(1)(25)2(1)(2)212nn a n n n n n n⎛⎫=<⨯=-⎪+++++++⎝⎭，所以111111111223341242(2)nSn n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<⨯-+-++-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即数列1(1)nn a⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n项和14nS<.20．如图所示，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，AE⊥底面ABCD，EF∥底面ABCD，点F在底面ABCD内的投影为正方形ABCD的中心O.(1)在图中作出平面FBC与平面EAB的交线（不必说出画法和理由）；(2)设二面角B EF D--的大小为120︒，求AE的长.【答案】(1)作图见解析6【分析】（1）延长CF与直线AE交于点M，连接BM.直线BM即平面FBC与平面EAB 的交线，利用空间图形的公理即可证明，（2）方法1：如图所示，以A为坐标原点，以AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解，方法2：连接AC，BD，则由已知条件可证得EF⊥平面BFD，从而可得BFD∠就是二面角B EF D--的平面角，然后在直角三角形OBF中可求得结果(1)作图步骤：如图，延长CF与直线AE交于点M，连接BM.直线BM即平面FBC与平面EAB的交线.理由：由已知FO⊥平面ABCD，EA⊥平面ABCD，所以EA∥FO，又A，O，C共线，所以点E，F，C，A共面.显然直线AE与直线CF不平行，即AE与CF必存在交点M，点M在平面EAB和平面FBC内，又因为点B也在平面EAB和平面FBC内，所以直线BM是平面FBC与平面EAB的交线.(2)方法一：如图所示，以A 为坐标原点，以AB ，AD ，AE 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系.设(0)AE a a =>，则(2,0,0)B ，)(0,0,E a ，(1,1,)F a ，所以(2,0,)BE a =-，(1,1,0)EF =，设平面BEF 的法向量为()000,,=m x y z ，则m BE ⊥且m EF ⊥，所以000020?0?m BE x az m EF x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令02z =，则(,,2)m a a =-. 同理可得平面DEF 的一个法向量为(,,2)n a a =-.由图可知,m n 的夹角为二面角B EF D --的平面角的补角， 所以22241cos ,cos120242||||m n a m n a m n ⋅-+〈〉===-︒=+，解得63a =，即63AE =. 方法二：连接AC ，BD.因为FO ⊥平面ABCD ，所以FO AC ⊥，在正方形ABCD 中，AC BD ⊥，又因为FO BD O ⋂=，所以AC ⊥平面BFD .因为EF ∥平面ABCD ，平面ACFE ⋂平面ABCD AC =，所以EF ∥AC ，所以EF ⊥平面BFD .因此BFD ∠就是二面角B EF D --的平面角.所以120BFD ∠=︒，所以1602BFO BFD ∠=∠=︒. 因为正方形ABCD 的边长为2，所以2BO =，所以26tan 6033BO FO ===︒， 所以63AE FO ==.21．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为F ，上顶点为C ，过点F 与x 轴垂直的直线交E 于A ，B 两点（点A 在第一象限），O 为坐标原点，四边形ABOC 3平行四辺形.(1)求椭圆E 的方程；(2)设点(3,0)P -，过点P 的直线l 交椭圆于点M ，N ，交y 轴的正半轴于点T ，点Q 为线段MN 的中点，27||||4PQ PT ⋅=，求直线l 的斜率k . 【答案】(1)2214x y +=；(2)24k =. 【分析】（1）根据题意可写出A ，B 两点的坐标，由四边形ABOC 是平行四辺形可列||||AB OC =得到2a b =，再由平行四边形ABOC 的面积为3，可求出,,a b c ，即可求出答案.（2）设直线l 的方程为3x my =-，把直线与椭圆进行联立消x ，求出Q y 与T y ，再求出PQ |∣与PT ∣∣，再利用27||||4PQ PT ⋅=，即可求出m ，进而求出斜率k . (1)设(c,0)F ，将x c =代入椭圆方程，得2b y a =±， 所以2,b Ac a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,b B c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则22||b AB a =， 由四边形ABOC 是平行四边形知||||AB OC =，即22b b a=，得2a b =， 所以223c a b b =-=，又平行四边形ABOC 的面积||||3S OC OF bc =⋅==，所以2a =，1b =，3c =，所以椭圆E 的方程为2214x y +=. (2)易知直线l 的斜率0k >，设1m k=，则可得直线l 的方程为3x my =-，联立223,1,4x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 整理得22(4)650m y my +-+=. 由223620(4)0m m ∆=-+>，得25m >.设()()()()1122,,,,,,0,Q Q T M x y N x y Q x y T y ，则122324Q y y m y m +==+， 在3x my =-中令0x =，得3T y m =，所以|Q PQ ==∣T PT ==∣∣ 所以229(1)27|||44m PQ PT m +⋅==+∣，解得m =或m =-，满足25m >，综上，直线l 的斜率1k m ==. 22．已知函数()sin 2f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. (1)求()f x 在区间,02上的最大值和最小值；(2)设()cos ()g x a x f x =-，若当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0g x ≤，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)最大值为π，最小值为0(2)(],1-∞-【分析】（1）对函数()f x 求导，利用导数在函数最值中的应用，即可求出结果；（2）对函数()g x 求导，分1a ≤-和1a >-，两种情况研究函数的单调性，利用函数的单调性求出()g x 的最大值，再结合02g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，即可求出结果. (1)解：由条件得()sin cos 2f x x x x π⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭， 当,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，有sin 0x ≤，02x π-<，cos 0x ≥，所以()0f x '≤， 即()f x 在,02上单调递减，因此()f x 在区间,02上的最大值为2f ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，最小值为(0)0f =. (2)解：由题意得()cos sin 2g x a x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 所以()(1)sin cos 2g x a x x x π⎛⎫'=-++- ⎪⎝⎭， 若1a ≤-，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，有()0g x '≥， 所以()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()02g x g π⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，符合题意. 若1a >-，令()()h x g x '=，则()(2)cos sin 2h x a x x x π⎛⎫'=-+-- ⎪⎝⎭，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0h x '≤，所以()h x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 又因为(0)2h π=，(1)02h a π⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭，所以()h x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在一个零点0x ， 当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x <，即()0g x '<，所以()g x 单调递减， 此时()02g x g π⎛⎫>= ⎪⎝⎭，不符合题意. 综上可知，a 的取值范围是(],1-∞-.。

基础巩固练(二)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·高考)已知复数z＝2＋i，则z·z＝( )A. 3B. 5 C．3 D．5答案 D解析解法一：∵z＝2＋i，∴z＝2－i，∴z·z＝(2＋i)(2－i)＝5.故选D.解法二：∵z＝2＋i，∴z·z＝|z|2＝5.故选D.2．(2019·某某高考)已知全集U＝{－1,0,1,2,3}，集合A＝{0，1,2}，B＝{－1,0,1}，则(∁U A)∩B＝( )A．{－1} B．{0,1}C．{－1,2,3} D．{－1,0,1,3}答案 A解析∵U＝{－1,0,1,2,3}，A＝{0,1,2}，∴∁U A＝{－1，3}．又∵B＝{－1,0,1}，∴(∁U A)∩B＝{－1}．故选A.3．(2019·某某二模)某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )答案 B解析由正视图排除A，C；由侧视图排除D，故B正确．4．(2019·某某呼和浩特市高三3月第一次质量普查)在等比数列{a n}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，则a4为 ( )A ．9B ．27C ．54D ．81 答案 B解析 根据题意，设等比数列{a n }的公比为q ，若2a 2为3a 1和a 3的等差中项，则有2×2a 2＝3a 1＋a 3，变形可得4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2，即q 2－4q ＋3＝0，解得q ＝1或3；又a 2－a 1＝2，即a 1(q －1)＝2，则q ＝3，a 1＝1，则a n ＝3n －1，则有a 4＝33＝27.故选B.5．(2019·某某市适应性试卷)函数f (x )＝(x 3－x )ln |x |的图象是( )答案 C解析 因为函数f (x )的定义域关于原点对称，且f (－x )＝－(x 3－x )ln |x |＝－f (x )，∴函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B ，函数的定义域为{x |x ≠0}，由f (x )＝0，得(x 3－x )ln |x |＝0，即(x 2－1)ln |x |＝0，即x ＝±1，即函数f (x )有两个零点，排除D ，f (2)＝6ln 2>0，排除A.故选C.6．(2019·某某省内江二模)如果执行下面的程序框图，输出的S ＝110，则判断框处为( )A ．k <10?B ．k ≥11? C．k ≤10? D．k >11? 答案 C解析 由程序框图可知，该程序是计算S ＝2＋4＋…＋2k ＝k (2＋2k )2＝k (k ＋1)，由S ＝k (k ＋1)＝110，得k ＝10，则当k ＝10时，k ＝k ＋1＝10＋1＝11不满足条件，所以条件为“k ≤10？”．故选C.7．(2019·某某二模)勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛(1829～1905)首先发现，所以以他的名字命名，其作法为：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，现在勒洛三角形内部随机取一点，则此点取自等边三角形内部的概率为( )A.2π－332(π－3)B.32(π－3)C.32(π＋3)D.2π－332(π＋3)答案 B解析 如题图，设BC ＝2，以B 为圆心的扇形的面积为π×226＝2π3，又∵△ABC 的面积为12×32×2×2＝3，∴勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形的面积，即为2π3×3－23＝2π－23，故在勒洛三角形中随机取一点，此点取自等边三角形的概率为32π－23＝32(π－3)，故选B.8．(2019·某某一模)已知M (－4,0)，N (0,4)，点P (x ，y )的坐标x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，3x －4y ＋12≥0，则MP →·NP →的最小值为( )A.25B.425 C ．－19625 D ．－ 5 答案 C解析 由点P (x ，y )的坐标x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，3x －4y ＋12≥0，作出可行域如图中阴影部分，则MP →·NP →＝(x ＋2)2＋(y －2)2－8的最小值为点A (－2,2)到直线3x －4y ＋12＝0的距离的平方再减8，由d ＝|3×(－2)－4×2＋12|5＝25，可得(x ＋2)2＋(y －2)2－8的最小值为－19625.故选C.9．(2019·某某一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝3，c ＝23，b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6，则b ＝( )A ．1 B. 2 C. 3 D. 5 答案 C解析 在△ABC 中，由正弦定理得asin A＝bsin B，得b sin A ＝a sin B ，又b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6，∴a sin B ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6，即sin B ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6＝cos B cos π6－sin B sin π6＝32cos B －12sin B ，∴tan B ＝33，又B ∈(0，π)，∴B ＝π6.∵在△ABC 中，a ＝3，c ＝23，由余弦定理得b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋12－2×3×23×32＝ 3.故选C. 10．(2019·某某某某高三3月模拟)若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)在[0，π]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则ω的最小值为( )A.23B.34C.43D.32 答案 A解析 ∵0≤x ≤π，∴－π6≤ωx －π6≤ωπ－π6，而f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，发现f (0)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，∴π2≤ωπ－π6≤7π6，整理得23≤ω≤43.则ω的最小值为23.故选A.11．(2019·某某模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 为双曲线右支上一点，线段AF 1交左支于点B ，若AF 2⊥BF 2，且|BF 1|＝13|AF 2|，则该双曲线的离心率为( )A. 2B.655C.355D ．3 答案 B解析 因|BF 1|＝13|AF 2|，设|AF 2|＝3t ，则|BF 1|＝t ，t >0，由双曲线的定义可得|BF 2|＝|BF 1|＋2a ＝t ＋2a ，|AF 1|＝|AF 2|＋2a ＝3t ＋2a ， 则|AB |＝|AF 1|－|BF 1|＝2t ＋2a ，由AF 2⊥BF 2，可得(2a ＋2t )2＝(3t )2＋(t ＋2a )2，解得t ＝23a ，则在直角三角形ABF 2中，cos A ＝3t 2t ＋2a ＝2a 103a ＝35，在△AF 1F 2中，可得cos A ＝(3t )2＋(3t ＋2a )2－(2c )22·3t ·(3t ＋2a )＝4a 2＋16a 2－4c 216a 2＝35，化为c 2＝135a 2，则e ＝c a＝135＝655.故选B. 12．(2019·高考)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：x 2＋y 2＝1＋|x |y 就是其中之一(如图)．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)； ②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是( )A ．①B ．②C ．①②D ．①②③ 答案 C解析 由x 2＋y 2＝1＋|x |y ，当x ＝0时，y ＝±1；当y ＝0时，x ＝±1；当y ＝1时，x ＝0，±1.故曲线C 恰好经过6个整点：A (0,1)，B (0，－1)，C (1,0)，D (1,1)，E (－1,0)，F (－1,1)，所以①正确．由基本不等式，当y >0时，x 2＋y 2＝1＋|x |y ＝1＋|xy |≤1＋x 2＋y 22，所以x 2＋y 2≤2，所以x 2＋y 2≤2，故②正确．如图，由①知长方形CDFE 面积为2，三角形BCE 面积为1，所以曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于3，故③错误．故选C.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2019·某某一模)已知(a －x )(2＋x )5的展开式中x 3的系数为40，则实数a 的值为________．答案 3解析 ∵(a －x )(2＋x )5＝(a －x )(32＋80x ＋80x 2＋40x 3＋10x 4＋x 5)的展开式中x 3的系数为40a －80＝40，∴a ＝3.14．(2019·揭阳一模)在曲线f (x )＝sin x －cos x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2的所有切线中，斜率为1的切线方程为________．答案 x －y －1＝0解析 由f (x )＝sin x －cos x ，得f ′(x )＝cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝22，∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4，∴x ＋π4＝π4，即x ＝0.∴切点为(0，－1)，切线方程为y ＋1＝x ，即x －y －1＝0.15．(2019·某某一模)在四面体ABCD 中，AB ＝BC ＝1，AC ＝2，且AD ⊥CD ，该四面体外接球的表面积为________．答案 2π解析 如图，∵AB ＝BC ＝1，AC ＝2，∴AB ⊥BC ，又AD ⊥CD ，∴AC 的中点即为外接球的球心，外接球的半径为22，∴S 球＝4π×12＝2π.16．(2019·某某省十所名校高三尖子生第二次联考)若函数y ＝f (x )的图象存在经过原点的对称轴，则称y ＝f (x )为“旋转对称函数”，下列函数中是“旋转对称函数”的有________．(填写所有正确结论的序号)①y ＝⎩⎪⎨⎪⎧e x(x ≤0)，ln x (0<x ≤1)；②y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1＋x 1－x ；③y ＝ln (e3x＋1)．答案 ①②解析 对于①，y ＝e x(x ≤0)的反函数为y ＝ln x (0<x ≤1)，所以函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧e x(x ≤0)，ln x (0<x ≤1)关于直线y ＝x 对称，故①是“旋转对称函数”．对于②，令y ＝f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1＋x 1－x ，则f (－x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1－x 1＋x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－ln 1＋x 1－x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1＋x 1－x ＝f (x )，所以函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1＋x 1－x 是偶函数，它的图象关于y 轴对称，故②是“旋转对称函数”．对于③，y ＝ln (e 3x＋1)>ln e 3x＝3x ，当x →＋∞时，y →3x ，则函数y ＝ln(e3x＋1)的图象只可能关于直线y ＝3x 对称，又y ＝ln (e3x＋1)>ln 1＝0，当x →－∞时，y →0，这与函数y ＝ln (e 3x＋1)的图象关于直线y ＝3x 对称矛盾，故③不是“旋转对称函数”．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)(2019·某某某某高三第二次统考)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n－a n －1＝2n －1(n ∈N *，n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝14a n －1，求数列{b n }的通项公式及其前n 项和T n .解 (1)当n ≥2时，由于a n －a n －1＝2n －1，a 1＝1，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2， 又a 1＝1满足上式，故a n ＝n 2(n ∈N *)． (2)b n ＝14a n －1＝14n 2－1＝1(2n ＋1)(2n －1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1.所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1. 18．(本小题满分12分)(2019·某某质量检测)如图，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1，侧面ABB 1A 1为菱形，A 1C ＝BC .(1)求证：A 1B ⊥平面AB 1C ；(2)若∠ABB 1＝60°，∠CBA ＝∠CBB 1，AC ⊥B 1C ，求二面角B －AC －A 1的余弦值． 解 (1)证明：因为侧面ABB 1A 1为菱形， 所以A 1B ⊥AB 1，记A 1B ∩AB 1＝O ，连接CO ， 因为A 1C ＝BC ，BO ＝A 1O ， 所以A 1B ⊥CO ，又AB 1∩CO ＝O ， 所以A 1B ⊥平面AB 1C .(2)解法一：因为∠CBA ＝∠CBB 1，AB ＝BB 1，BC ＝BC ，所以△CBA ≌△CBB 1，所以AC ＝B 1C . 又O 是AB 1的中点，所以CO ⊥AB 1， 又A 1B ⊥CO ，A 1B ∩AB 1＝O ， 所以CO ⊥平面ABB 1A 1.令BB 1＝2，因为∠ABB 1＝60°，侧面ABB 1A 1为菱形，AC ⊥B 1C ，O 为AB 1的中点， 所以CO ＝1.如图，以O 为坐标原点，OB 所在的直线为x 轴，OB 1所在的直线为y 轴，OC 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系．则O (0,0,0)，A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C (0,0,1)，A 1(－3，0,0)， 所以AB →＝(3，1,0)，AC →＝(0,1,1)，AA 1→＝(－3，1,0)，A 1C →＝(3，0,1)． 设平面ABC 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB →＝0，n 1·AC →＝0，即⎩⎨⎧3x ＋y ＝0，y ＋z ＝0，令x ＝1，则n 1＝(1，－3，3)，同理可得平面A 1AC 的一个法向量为n 2＝(1，3，－3)，cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－57，由图知二面角B －AC －A 1为钝角， 所以二面角B －AC －A 1的余弦值为－57.解法二：因为∠CBA ＝∠CBB 1，AB ＝BB 1，BC ＝BC ， 所以△CBA ≌△CBB 1， 所以AC ＝B 1C .设AB ＝2，因为∠ABB 1＝60°，侧面ABB 1A 1为菱形，所以AA 1＝AB 1＝2，OA ＝OB 1＝1，OB ＝OA 1＝ 3.又AC ⊥B 1C ，所以CO ＝1，AB ＝B 1C ＝2，又A 1C ＝BC ，O 为A 1B 的中点，所以BC ＝A 1C ＝2，所以△ABC 为等腰三角形，△A 1AC 为等腰三角形．如图，取AC 的中点M ，连接BM ，A 1M ，则∠BMA 1为二面角B －AC －A 1的平面角．在△BMA 1中，可得BM ＝A 1M ＝142，A 1B ＝23， 所以cos ∠BMA 1＝BM 2＋A 1M 2－A 1B 22BM ·A 1M ＝－57，所以二面角B －AC －A 1的余弦值为－57.19．(本小题满分12分)(2019·某某一模)已知F 为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点，点P (2，2)在C 上，且PF ⊥x 轴．(1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 交C 于A ，B 两点，交直线x ＝4于点M .证明：直线PA ，PM ，PB 的斜率成等差数列．解 (1)因为点P (2，2)在C 上，且PF ⊥x 轴，所以c ＝2，设椭圆C 的左焦点为E ，连接EP ，则|EF |＝2c ＝4，|PF |＝2，在Rt △EFP 中，|PE |2＝|PF |2＋|EF |2＝18，所以|PE |＝3 2.所以2a ＝|PE |＋|PF |＝42，a ＝22， 又b 2＝a 2－c 2＝4，故椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明：由题意可设直线l 的方程为y ＝k (x －2)， 令x ＝4，得M 的坐标为(4,2k )，由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＝k (x －2)得(2k 2＋1)x 2－8k 2x ＋8(k 2－1)＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝8k 22k 2＋1，x 1x 2＝8(k 2－1)2k 2＋1. ①记直线PA ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3， 从而k 1＝y 1－2x 1－2，k 2＝y 2－2x 2－2，k 3＝2k －24－2＝k －22. 因为直线l 的方程为y ＝k (x －2)，所以y 1＝k (x 1－2)，y 2＝k (x 2－2)， 所以k 1＋k 2＝y 1－2x 1－2＋y 2－2x 2－2＝y1x1－2＋y2x2－2－2⎝⎛⎭⎪⎫1x1－2＋1x2－2＝2k－2·x1＋x2－4x1x2－2(x1＋x2)＋4. ②①代入②，得k1＋k2＝2k－2·8k22k2＋1－48(k2－1)2k2＋1－16k22k2＋1＋4＝2k－2，又k3＝k－22，所以k1＋k2＝2k3，故直线PA，PM，PB的斜率成等差数列．20．(本小题满分12分)(2019·某某一模)十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民收入也逐年增加．为了更好地制定2019年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图估计50位农民的年平均收入x(单位：千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)；(2)由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为年平均收入x，σ2近似为样本方差s2，经计算得s2＝6.92，利用该正态分布，求：(ⅰ)在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？(ⅱ)为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民．若每个农民的年收入相互独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少？附：参考数据与公式 6.92≈2.63，若X～N(μ，σ2)，则①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6827；②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9545；③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.9973.解 (1)x ＝12×0.04＋14×0.12＋16×0.28＋18×0.36＋20×0.10＋22×0.06＋24×0.04＝17.40.(2)由题意，X ～N (17.40,6.92)．(ⅰ)∵P (x ＞μ－σ)＝12＋0.68272≈0.8414，∴μ－σ＝17.40－2.63＝14.77时，满足题意， 即最低年收入大约为14.77千元．(ⅱ)由P (X ≥12.14)＝P (X ≥μ－2σ)＝0.5＋0.95452≈0.9773，得每个农民年收入不少于12.14千元的概率为0.9773，记1000个农民年收入不少于12.14千元的人数为ξ，则ξ～B (1000，p )，其中p ＝0.9773.于是恰好有k 个农民的年收入不少于12.14千元的概率是P (ξ＝k )＝C k1000p k(1－p )1000－k，从而由P (ξ＝k )P (ξ＝k －1)＝(1001－k )×pk (1－p )＞1，得k ＜1001p ，而1001p ＝978.233，∴当0≤k ≤978时，P (ξ＝k －1)＜P (ξ＝k )， 当979≤k ≤1000时，P (ξ＝k －1)＞P (ξ＝k )．由此可知，在走访的1000位农民中，年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978. 21．(本小题满分12分)(2019·某某三模)已知a ∈R ，函数f (x )＝2x＋a ln x .(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若x ＝2是f (x )的极值点，且曲线y ＝f (x )在两点P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))(x 1<x 2<6)处切线平行，在y 轴上的截距分别为b 1，b 2，求b 1－b 2的取值X 围．解 (1)f ′(x )＝－2x 2＋a x ＝ax －2x2，①当a ≤0时，f ′(x )<0在x ∈(0，＋∞)上恒成立， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减；②当a >0时，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2a 时，f ′(x )<0，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2a ，＋∞时，f ′(x )>0，即f (x )在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 上单调递减，在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2a，＋∞上单调递增．(2)∵x ＝2是f (x )的极值点， ∴由(1)可知2a＝2，∴a ＝1.设在P (x 1，f (x 1))处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋ln x 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 21＋1x 1(x －x 1)，在Q (x 2，f (x 2))处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2＋ln x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 22＋1x 2(x －x 2)，∵这两条切线互相平行， ∴－2x 21＋1x 1＝－2x 22＋1x 2，∴1x 1＋1x 2＝12. ∵1x 2＝12－1x 1，且0<x 1<x 2<6， ∴16<12－1x 1<1x 1，∴14<1x 1<13，∴x 1∈(3,4)． 令x ＝0，则b 1＝4x 1＋ln x 1－1，同理，b 2＝4x 2＋ln x 2－1.解法一：∵1x 2＝12－1x 1，∴b 1－b 2＝4⎝⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＋ln x 1－ln x 2＝4⎝⎛⎭⎪⎫2x 1－12－ln 1x 1＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫12－1x1.设g (x )＝8x －2－ln x ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫14，13，∴g ′(x )＝8－1x －112－x ＝16x 2－8x ＋12x 2－x ＝(4x －1)22x 2－x<0， ∴g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫14，13上单调递减， ∴g (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23－ln 2，0， 即b 1－b 2的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫23－ln 2，0.解法二：∵x 2＝2x 1x 1－2， ∴b 1－b 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＋ln x 1－ln x 2＝8x 1－2＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12－1. 令g (x )＝8x ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1－2，其中x ∈(3,4)，∴g ′(x )＝－8x 2＋1x －2＝x 2－8x ＋16x 2(x －2)＝(x －4)2x 2(x －2)>0，∴函数g (x )在区间(3,4)上单调递增，∴g (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23－ln 2，0， ∴b 1－b 2的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫23－ln 2，0.解法三：∵x 1x 2＝2(x 1＋x 2)，∴b 1－b 2＝4x 1－4x 2＋ln x 1－ln x 2＝4(x 2－x 1)x 1x 2＋ln x 1x 2＝2(x 2－x 1)x 1＋x 2＋ln x 1x 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1x 21＋x 1x 2＋ln x 1x 2.设g (x )＝2(1－x )1＋x ＋ln x ，则g ′(x )＝－4(1＋x )2＋1x ＝(1－x )2x (1＋x )2.∵x 1x 2＝x 12－1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，∴g ′(x )>0， ∴函数g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增，∴g (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23－ln 2，0， ∴b 1－b 2的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫23－ln 2，0.(二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程] (2019·某某模拟)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θsin 2θ，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数，0≤α<π)．(1)把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C 的形状； (2)若直线l 经过点(1,0)，求直线l 被曲线C 截得的线段AB 的长．解 (1)将曲线C 的极坐标方程ρ＝4cos θsin 2θ化为ρ2sin 2θ＝4ρcos θ，得到曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x ，故曲线C 是顶点为O (0,0)，焦点为F (1,0)的抛物线．(2)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数，0≤α<π)．若直线l 经过点(1,0)，则α＝3π4，∴直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos 3π4＝－22t ，y ＝1＋t sin 3π4＝1＋22t (t 为参数)．将其代入y 2＝4x ，得t 2＋62t ＋2＝0.设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－62，t 1t 2＝2.|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝(－62)2－4×2＝8.23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲] (2019·某某模拟)已知函数f (x )＝ |x ＋1|＋|x －3|－m 的定义域为R . (1)某某数m 的取值X 围；(2)若m 的最大值为n ，当正数a ，b 满足23a ＋b ＋1a ＋2b ＝n 时，求7a ＋4b 的最小值．解 (1)∵函数的定义域为R ， ∴|x ＋1|＋|x －3|－m ≥0恒成立，设函数g (x )＝|x ＋1|＋|x －3|，则m 不大于函数g (x )的最小值， 又|x ＋1|＋|x －3|≥|(x ＋1)－(x －3)|＝4， 即函数g (x )的最小值为4，∴m ≤4. (2)由(1)知n ＝4，∴7a ＋4b ＝14(6a ＋2b ＋a ＋2b )⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ＋b ＋1a ＋2b ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2(3a ＋b )a ＋2b ＋2(a ＋2b )3a ＋b ≥ 14⎝⎛⎭⎪⎫5＋2×23a ＋b a ＋2b ·a ＋2b 3a ＋b ＝94， 当且仅当a ＋2b ＝3a ＋b ，即b ＝2a ＝310时取等号．∴7a ＋4b 的最小值为94.。

高三数学二模考试试题 理（含解析）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合{}|13A x R x =∈-<≤，{}2101234B =--，，，，，，，则A B ⋂=（ ） A. {}1,0,1,2,3- B. {}0,1,2,3C. {}1,2,3D. {}0,1,2【答案】B 【解析】 【分析】利用交集定义直接求解即可．【详解】∵ 集合{}|13A x R x =∈-<≤，{}2,10123,4B =--,,,,，∴{}0,1,2,3A B =I ． 故选：B ．【点睛】本题考查集合交集的运算，考查交集定义，属于基础题．2.已知复数1i z i=-，则z 在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z ，求得z 在复平面内对应的点的坐标即可．【详解】∵ ()()()11111122i i i z i i i i +===-+--+，∴ 12z i +=+，∴z 在复平面内对应的点的坐标为12⎫⎪⎪⎝⎭，位于第一象限． 故选：A ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．3.设x ，y 满足约束条件326020480x y x y x y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =-的最小值是（ ）A. -4B. -2C. 0D. 2【答案】A 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求解即可．【详解】作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC ），由2z x y =-得122zy x =-， 平移直线122z y x =-，由图象可知当直线122zy x =-，过点B 时，直线122zy x =-的截距最大，此时z 最小，由48020x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得()02,B ．代入目标函数2z x y =-，得0224z =-⨯=-， ∴ 目标函数2z x y =-的最小值是4-. 故选：A ．【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法，属于基础题．4.抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点()06,A y 是C 上一点，||2AF p =，则p =（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1【答案】B【解析】 【分析】根据抛物线定义得62pAF =+，即可解得结果. 【详解】因为262pAF p ==+，所以4p =.故选：B【点睛】本题考查抛物线定义，考查基本分析求解能力，属基础题.5.已知等比数列{}n a 的首项为1，且()64312a a a a +=+，则1237a a a a L =（ ）A. 16B. 64C. 128D. 256【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式可得q ，再利用通项公式及其等差数列的求和公式即可得出答案． 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ， ∵()64312a a a a +=+，∴()53221q q q +=+，解得32q =．∴0+1+2++6213771237()2128a a q a a q q ⋅⋅⋅=====⋅L L ．故选C ．【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查推理能力与计算能力，解题时注意整体思想的运用，属于中档题．6.函数4ln x y x=的图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】根据函数奇偶性排除B ，C ；根据函数零点选A.【详解】因为函数4ln x y x =为奇函数，排除B ，C ；又函数4ln x y x=的零点为1-和1，故选:A.【点睛】本题考查函数奇偶性与函数零点，考查基本分析判断能力，属基础题.7.某学生5次考试的成绩(单位:分)分别为85，67，m ，80，93，其中0m >,若该学生在这5次考试中成绩的中位数为80，则得分的平均数不可能为（ ） A. 70 B. 75C. 80D. 85【答案】D 【解析】 【分析】根据中位数为80，可知80m ≤，从而得到平均数小于等于81，从而确定结果. 【详解】已知的四次成绩按照由小到大的顺序排序为：67，80，85，93 该学生这5次考试成绩的中位数为80，则80m ≤ 所以平均数：85678093815m ++++≤，可知不可能为85本题正确选项：D【点睛】本题考查统计中的中位数、平均数问题，关键是通过中位数确定取值范围，从而能够得到平均数的范围.8.已知某几何体是由一个三棱柱和一个三棱锥组合而成的，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.43B. 2C.52D.83【答案】B 【解析】 【分析】根据三视图还原几何体，可知为三棱柱和三棱锥的组合体，分别求解体积，加和得到结果. 【详解】由题意可知，该几何体的直观图如图所示：即该几何体为一个三棱柱与一个三棱锥的组合体 则三棱柱体积112323222V =⨯=；三棱锥体积21121233222V =⨯⨯= 所求体积122V V V =+= 本题正确选项：B【点睛】本题考查组合体体积的求解，关键是通过三视图准确还原几何体.9.已知函数()2sin 1(02)3f x x πωωπ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭部分图像如图所示，则下列判断正确的是（ ）A. 直线6x π=是函数()y f x =图像的一条对称轴B. 函数()y f x =图像的对称中心是1,03k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k z ∈ C. 1316f ⎛⎫=⎪⎝⎭D. 函数()y f x =的最小正周期为π 【答案】C 【解析】 【分析】先根据对称轴求得ω，再根据正弦函数性质求对称轴、对称中心、周期以及函数值，最后作判断.【详解】由图可知，76x =是函数()y f x =的对称轴，所以73=2,632k k z ππωπ++∈解得12=+,7k k z πωπ∈，因为02ωπ<<，所以=ωπ，()2sin 13f x x ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，13132sin 11663f ππ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,函数()y f x =的最小正周期为22ππ=,由 =,32x k k z ππππ++∈得对称轴方程为1,6x k k z =+∈，由 =,3x k k z πππ+∈得对称中心为1,13k ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭，k z ∈， 故选：C.【点睛】本题考查根据图象求三角函数解析式以及正弦函数性质，考查基本分析判断与求解能力，属中档题.10.已知数列{}n a 的首项121a =，且满足21(25)(23)41615n n n a n a n n +-=-+-+，则{}n a 的最小的一项是（ ） A. 5a B. 6aC. 7aD. 8a【答案】A 【解析】 【分析】利用配凑法将题目所给递推公式转化为112325n n a a n n +=+--，即证得25n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为首项为7-，公差为1的等差数列，由此求得25na n -的表达式，进而求得n a 的表达式，并根据二次函数的对称轴求得当5n =时n a 有最小值.【详解】由已知得112325n n a a n n +=+--，1725a =--，所以数列25n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为首项为7-，公差为1的等差数列，7(1)825na n n n =-+-=--，则(25)(8)n a n n =--，其对称轴10.55.252n ==.所以{}n a 的最小的一项是第5项.故选A. 【点睛】本小题考查由数列的递推公式求数列的通项公式，考查二次函数求最值的方法，属于中档题.11.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2222:1y x C a b -=(0,0)a b >>的一条渐近线与22(2)(1)1x y -+-=相切，则ba=（ ） A.43B.34C.169D.916【答案】B 【解析】 【分析】符合条件的渐近线方程为0by ax -=，与圆相切，即d=r ，代入公式，即可求解【详解】双曲线C 的渐近线方程为0by ax ±=，与圆相切的只可能是0by ax -=，所以圆心到直线的距离1r ==，得34a b =，所以34b a =，故选B 。

海南省海口市2022届高三数学6月测试模拟（二模）试题注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷的指定位置上．2．回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡指定位置上。

写在本试卷上无效．3．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合{1,2,3,4}A =，{3,4,5,6,7}B =，集合{|}M x x B x A =∈∉且，则M = A ．{1,2}B ．{3,4}C ．{5,6,7}D ．{3,4,5,6,7}2．在复平面内，复数11ii +-对应的点与复数i -对应的点的距离是A ．1B ．2C ．2D ．223．设向量(1,2)=-a ，向量b 是与a 方向相同的单位向量，则=b A ．(1,2)-B ．525(,)55-C ．12(,)55-D ．525(,)55- 4．61(2)x x -的展开式中的常数项是A ．160-B ．80-C ．80D ．1605．苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线型，如图1，两栋建筑第八层由一条长60m 的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥150m 处各有一窗户，两窗户的水平距离为30m ，如图2，则此抛物线顶端O 到连桥AB 距离为图1 图2 A ．180m B ．200mC ．220mD ．240m6．函数21()ln ||1f x x x =+-的图象大致是A ．B ．C ．D ． 7．点A ，B ，C 在球O 表面上，2AB ，4BC ，60ABC ，若球心O 到截面ABC 的距离为22，则该球的表面积为 A ．16πB.24πC.36πD.48π 8．已知数列{}n a 满足*1log (2)()nn a n n N ，设*12(N )kk T a a a k，若*kT N ，称数k 为“企盼数”，则区间[1,2020]内所有的企盼数的和为 A ．2022B ．2026C ．2044D ．2048二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．空气质量指数AQI 是反映空气质量状况的指数，AQI 指数越小，表明空气质量越好，表1是空气质量指数与空气质量的对应关系，图1是经整理后的某市2022年2月与2022年2月的空气质量指数频率分布直方图表1空气质量指数（AQI ）优（AQI 50≤） 良（50<AQI 100≤） 轻度污染（100<AQI 150≤） 中度污染（150<AQI 200≤） 重度污染（200<AQI 300≤） 严重污染（AQI>300） 下列叙述正确的是A ．该市2022年2月份的空气质量为优的天数的频率为0.032B ．该市2022年2月份的空气质量整体上优于2022年2月份的空气质量C ．该市2022年2月份空气质量指数的中位数小于2022年2月份空气质量指数的中位数D ．该市2022年2月份空气质量指数的方差大于2022年2月份空气质量指数的方差 10．设有一组圆k C ：22(1)(2)1x k y k -++-=，下列说法正确的是A ．这组圆的半径均为1B ．直线220x y -+=平分所有的圆k CC ．存在无穷多条直线l 被所有的圆k C 截得的弦长相等D ．存在一个圆k C 与x 轴和y 轴均相切11．如右图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，过点A 作平面1A BD 的垂线，垂足为点H ．则以下命题正确的是A ．点H 是△1A BD 的重心B ．AH ⊥平面11CB DC ．AH 延长线经过点1CD ．直线AH 和1BB 所成角为4512．“已知函数2()cos f x x x =-，对于[,]22ππ-上的任意1x ，2x ，若_______，则必有12()()f x f x >恒成立．”在横线中填上下列选项中的某个条件，使得上述说法正确的可以是A ．12||x x >B ．120x x +>C ．2212x x > D ．121x x >三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．2022年初，新冠肺炎疫情爆发，全国人民万众一心，共同抗击疫情．武汉市某医院传染科有甲、乙、丙、丁、戊五位医生，每位医生从周一至周五轮流安排一个夜班．若丁比乙晚两天，丙比甲早一天，戊比丙早两天，则周一值夜班的医生是_________．14．已知(,)2，且4sin 5，则tan()4的值为_________．15．如图，从双曲线221916x y-=的左焦点1F 引圆229x y +=的切线，切点为T ，延长1FT 交双曲 线右支于P 点. 设M 为线段1F P 的中点，O 为坐标原点，则1||FT ___________，||||MO MT ___________．（本题第一空2分，第二空3分）第15题图 第16题图16．拥有“千古第一才女”之称的宋代女词人李清照发明了古代非常流行的游戏“打马”，在她的《打马赋》中写道“实博弈之上流，乃闺房之雅戏”．“打马”游戏用每轮抛掷三枚完全相同的骰子决定“马”的行走规则，每一个抛掷结果都有对应走法的名称，如结果由两个2点和一个3点组成，叫做“夹七”，结果由两个2点和一个4点组成，叫做“夹八”．则在某一轮中，能够抛出“夹七”或“夹八”走法的概率是_________． 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）从①7a，②2b ，③13cos 14B.这三个条件中任选两个，分别补充在下面问题的横线中，回答有关问题．设△ABC 的角A 、B 、C 所对的边长分别是a 、b 、c ，若_________，_________，且满足(2)cos cos b c A a C ，求△ABC 其余各边的长度和△ABC 的面积S ．（注：如果选择不同条件分别解答，按第一个解答计分.）18．（12分）已知数列{}n a 的首项11a ，且点*1(,)()n n a a nN 在函数21yx 的图象上．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足11b ，12n a n n b b ，证明：221n nn b b b ．19．（12分）如图，四棱锥SABCD 满足SA 平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，4SA AB ，侧棱SC 上有一点E 满足3SE EC ． （Ⅰ）证明：OE 平面SDB ；（Ⅱ）求二面角E BD C 的余弦值．20．（12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b 的其中一个焦点与抛物线28y x 的焦点相同，点(4,3)D 到圆O ：222x y b 上点的最大距离为7，点A ，B 分别是椭圆C 的左右顶点．（Ⅰ）求圆O 和椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图，已知位于y 轴两侧的P ，Q 分别是椭圆C 和圆O 上的动点，且直线PQ 与x 轴平行，直线AP ，BP 分别与y 轴交于点M ，N ，证明：MQN 为定值．21．（12分）零部件生产水平，是评判一个国家高端装备制造能力的重要标准之一.其中切割加工技术是一项重要技术.某研究机构自主研发了一种切割设备，经过长期生产经验，可以认为设备正常状态下切割的零件尺寸服从正态分布2(,)N .按照技术标准要求，从该设备切割的一个批次零件中任意抽取10件作为样本，如果样本尺寸的平均值与零件标准尺寸相差的绝对值小于0.1（单位：mm ），且所有零件尺寸均在(3,3)范围内，则认定该切割设备的技术标准为A 级；如果样本尺寸的平均值与零件标准尺寸相差的绝对值大于等于0.1小于0.5，且所有零件尺寸均在(3,3)范围内，则认定该切割设备的技术标准为B 级；如果样本尺寸的平均值与零件标准尺寸相差的绝对值大于等于0.5或存在零件尺寸在(3,3)范围外，则认定该切割设备的技术标准为C 级．（Ⅰ）设某零件的标准尺寸为100mm ，下面是检验员抽取该设备切割的10个零件尺寸：100.03 100.4 99.92 100.52 99.98 100.3599.92100.44100.66100.78经计算，有1021100601.8i i x ，其中i x 为抽取的第i 个样本的尺寸，1,2,3,,10i ，用样本的平均数x 作为的估计值ˆ，用样本的标准差s 作为的估计值ˆ，根据数据判断该切割设备的技术标准；（Ⅱ）生产该种零件的某制造商购买了该切割设备，正常投入生产，公司制定了两种销售方案（假设每种方案对销售量没有影响）：方案1：每个零件均按70元定价销售；方案2：若零件的实际尺寸在(99.7,100.3)范围内，则该零件为Ⅰ级零件，每个零件定价100元，否则为Ⅱ级零件，每个零件定价60元．哪种销售方案能够给公司带来更多的利润？请说明． （附：若随机变量X ～2(,)N ，则()0.6826P X ，(22)0.9544P X）． 22．（12分）已知函数()ln f x m x =．（Ⅰ）当*2cos ()m k k N π=∈，分析函数2()()g x x f x =-的单调性； （Ⅱ）当0m >时，若函数()ln f x m x =与1()2x h x x-=的图象有且只有一条公切线，求m 的值．2022年海口市高考调研考试数学参考答案一、单项选择题：1、C 2、C 3、B 4、A 5、B 6、A 7、D 8、B二、多项选择题：9、BC 10、AB 11、ABC 12、CD三、填空题：13、乙 14、 15、 4 、 1 16、四、解答题 17.解析：在△中，已知，由正弦定理得： …………1分即 ,得…………2分又因为，所以，…………3分得所以，…………5分若选条件①②，由余弦定理得：…………7分…………8分所以，…………10分若选条件①③，由…………6分又由正弦定理…………7分因为所以，…………8分…………9分…………10分若选条件②③，由…………6分又由正弦定理…………7分因为所以，…………8分…………9分…………10分18.解析：（1）由已知得…………1分所以，数列{}是以1为首项，公差为1的等差数列；………… 2分则=1+…………4分（2）由（1）知…………5分…………9分所以，…………12分19.解析：（1）法一如图，在平面内，过点作交于点，则有,连，取的中点，连接.，所以……………………2分又因为所以，所以又，所以易知为等边三角形，则,由得为的中点，在中，为的中点，则有,从而有因为所以………………4分又，所以，因为所以，………………6分（1）法二以为坐标原点，所在直线分别为轴建系如图：则，由……2分,………………4分所以，………………6分（2）易得平面………………8分设平面，由得,即取………………10分则，所以,锐二面角的余弦值为………………12分20.解析：（1）由题知抛物线的焦点为，则椭圆中……………………1分到圆的最大距离为，则，……………2分则圆的方程为……………3分由，椭圆方程为：……………4分（2）由题，设由…………………………5分得：直线，从而直线，从而………………………7分得………………………9分因为在椭圆上，所以，因为在圆上，所以…………………10分所以：…………………12分21解析：（Ⅰ）由题意，，……………1分，……………3分所以，，样本的均值与零件标准尺寸差为，并且对每一个数据，均有（），由此判断该切割设备技术标准为B级标准．……………5分（Ⅱ）方案1：每个零件售价为元．方案2：设生产的零件售价为随机变量，则可以取，．由题意，设备正常状态下切割的零件尺寸为，且～．所以，，……………8分所以随机变量的分布列为所以的数学期望．…………11分综上，方案二能够给公司带来更多的利润．……………12分22．解析：（1）由已知：…………………………………1分当为奇数时，，在区间上单调递增。

2023_2024学年海南省昌江县高三数学模拟测试卷（二模）一、单选题1．设集合，则（ ）1{|2},03x A x x B x x -⎧⎫=<=≤⎨⎬-⎩⎭R A B = ðA ．B ．C ．D ．()1,2[]1,2[)2,3[]2,3【正确答案】C【分析】解分式不等式求集合B ，应用集合的交、补运算求结果.【详解】由题设，由知：，则，R {|2}A x x =≥ð103x x -≤-(1)(3)030x x x --≤⎧⎨-≠⎩13x ≤<所以，故.{|13}x B x =≤<R {|23}A B x x =≤<I ð故选：C2．设命题，则它的否定为（ ）2:N,2np n n ∀∈≤A ．B ．2N,2nn n ∃∈≤2N,2nn n ∀∈>C ． D ．2N,2nn n ∃∈>2N,2nn n ∃∉>【正确答案】C【分析】含有一个量词的命题的否定，既要改变量词，又要否定结论.【详解】命题，它的否定为.故A ，B ，D 错误.2:N,2n p n n ∀∈≤2N,2nn n ∃∈>故选：C.3．中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧．一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m 时，水面宽8m ．若水面下降1m ，则水面宽度为（ ）A ．B ．C ．D ．12 m【正确答案】B【分析】以拱桥顶点为原点，建立直角坐标系，设抛物线方程并求出，最()220x py p =->p 后求解当时的值即可求出水面宽度.=3y -x 【详解】由题意，以拱桥顶点为原点，建立直角坐标系，设抛物线方程，()220x py p =->由题意知，抛物线经过点和点，()4,2A --()4,2B 代入抛物线方程解得，，4p =所以抛物线方程，28x y =-水面下降米，即，解得1=3y -1x =2x =-所以此时水面宽度.12d x ==故选：B本题主要考查通过建模解决实际问题和抛物线的性质，属于基础题.4．在等比数列中，是函数的极值点，则{}n a 37,a a 321()4413f x x x x =-+-a 5＝（）A ．或B ．C ．D ．2-22-2【正确答案】C【分析】根据题意可知：是方程的两根，利用韦达定理和等比数列的性质即可37,a a ()0f x '=求解.【详解】因为，所以.321()4413f x x x x =-+-2()84f x xx '=-+又因为是函数的极值点，37,a a 321()4413f x x x x =-+-即是方程的两根，则有，37,a a 2()840f x x x '=-+=374a a =由为等比数列可知：，因为，且，所以，{}n a 25374a a a ==3780a a +=>374a a =370,0a a >>则有，所以，50a >52a =故选.C5．国家于2021年8月20日表决通过了关于修改人口与计划生育法的决定，修改后的人口计生法规定，国家提倡适龄婚育､优生优育，一对夫妻可以生育三个子女，该政策被称为三孩政策.某个家庭积极响应该政策，一共生育了三个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，记事件：该家庭既有男孩又有女孩；事件：该家庭最多有一个男孩；事件：该家庭最多有A B C 一个女孩.则下列说法正确的是（ ）A ．事件与事件互斥但不对立B ．事件与事件互斥且对立B C A B C ．事件与事件相互独立D ．事件与事件相互独立B C A B 【正确答案】D【分析】利用互斥事件、对立事件的意义可判断选项A ，B ；利用独立事件的定义可判断C,D【详解】有三个小孩的家庭的样本空间可记为：={(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，Ω女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，事件={(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，A 女，男)}事件={(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，B 事件={(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)}，C 对于A ，,且，所以事件B 与事件C 互斥且对立，故A 不正确；B C ⋂=∅B C ⋃=Ω对于B ，{(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)}，所以事件与事件不互斥，A B = A B 故B 不正确；对于C ，事件有4个样本点，事件有4个样本点，事件有0个样本点，B C BC，显然有，即事件与事件不相4141(),(),()08282P B P C P BC =====()()()P B P C P BC ⋅≠B C 互独立，故C 不正确；对于D ，事件有6个样本点，事件有4个样本点，事件有3个样本点，A B AB ，显然有，即事件与事件相互63413(),(),()84828P A P B P AB =====()()()P A P B P AB ⋅=A B 独立，故D 正确；故选：D 6．已知是R 上的奇函数，且，当时，，则()f x ()()2f x f x +=-()0,2x ∈()22f x x x=+（ ）()15f =A ．3B ．C ．255D ．3-255-【正确答案】B【分析】根据题意可知是周期函数，根据周期以及奇函数即可求解.()f x 【详解】由可得，，故是以4为周期的周期()()2f x f x +=-()()42=()f x f x f x +=-+()f x 函数，故，(15)(1)(1)3f f f =-=-=-故选：B7．函数的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于()sin()f x A x ωϕ=+C ()f x 两点，且在轴上，则下列说法中正确的是,M N M yA ．函数的最小正周期是()f x 2πB ．函数的图象关于点成中心对称()f x ,034⎛⎫π ⎪⎝⎭C ．函数在单调递增()f x 2(,)36ππ--D ．函数的图象向右平移后关于原点成中心对称()f x 512π【正确答案】B【分析】根据函数的图象，求得函数，再根据正弦型函数的性质，即可()sin 23f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭求解，得到答案．【详解】根据给定函数的图象，可得点的横坐标为，所以，解得C 3π1(2362T πππ=--=，T π=所以的最小正周期， 不妨令，，由周期，所以，()f x T π=0A >0ϕπ<<T π=2ω=又，所以，所以，06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭3πϕ=()sin 23f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令，解得，当时，，即函数的一个对称2,3x k k Zππ+=∈,26k x k Zππ=-∈3k =43x π=()f x 中心为，即函数的图象关于点成中心对称．故选B ．4,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x 4,03π⎛⎫⎪⎝⎭本题主要考查了由三角函数的图象求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质，其中解答中根据函数的图象求得三角函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能力，属于基础题．8．已知函数， 若函数，则函数的零点个数为()e ,03,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩()()()g x f x f x =--()g x （ ）A ．1B ．3C ．4D ．5【正确答案】D【分析】本题首先通过函数奇偶性求出，再利用导数研究其在上()3e ,00,0e 3,0x x x x g x x x x ⎧->⎪==⎨⎪+<⎩()0,∞+的零点个数即可.【详解】当时，，0x >0x -<()3f x x-=当时，，0x <0x ->()e xf x --=，()()()3e ,00,0e 3,0x x x x g xf x f x x x x -⎧->⎪∴=--==⎨⎪+<⎩，且定义域为，关于原点对称，故为奇函数，()()()()g x f x f x g x -=--=-R ()g x所以我们求出时零点个数即可，0x >，，令，解得，(0,)3e x g x x x =->()3e 0x g x '=->()3e 0x g x '=->0ln 3x <<故在上单调递增，在单调递减，()g x ()0,ln 3(ln 3,)+∞且，而，故在有1零点，(ln 3)3ln 330g =->()226e 0g =-<()g x (ln 3,2)，故在上有1零点，图像大致如图所示：1311e 03g ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭()g x 1(,ln 3)3故在上有2个零点，又因为其为奇函数，则其在上也有2个零点，且()g x ()0,∞+(),0∞-，故共5个零点，()00g =()g x 故选：D.二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．若样本数据的方差为4，则数据的方差为91220,,,x x x ⋅⋅⋅122021,21,,21x x x ++⋅⋅⋅+B ．若随机变量，，则()2~2,X N σ()10.68P X >=()230.18P x ≤<=C ．若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越弱rD ．若事件A ，B 满足，，，则有()0P A >()0P B >()()P B A P B =()()P A B P A =【正确答案】BD【分析】A 选项，根据方差的线性运算性质，计算即可；B 选项，根据()()2D aX b a D X +=正太分布曲线可求得；C 选项相关系数越接近1，相关性越强；D 选项，r，则两事件相互独立，根据条件概率的计算公式可以求得.()()P B A P B =()()()P AB P A B P B =【详解】由于，所以数据的方差为16，因此选()()2D aX b a D X +=122021,21,,21x x x ++⋅⋅⋅+项A 错误；随机变量，，()2~2,X N σ()10.68P X >=则，因此选项B 正确；()()()()2312120.680.50.18P x P x P x P x ≤<=≤<=>->=-=线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越强，故选项C 错误；r由于等价于“事件A 与事件B 相互独立”，即，故必有()()P B A P B =()()()P AB P A P B =.因此选项D 正确.()()()()P AB P A B P A P B ==故选：BD.10．函数的定义域为R ，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确()f x ()y f x '=的是（ ）A ．在上函数为增函数B ．在上函数为增函数()1,2()f x ()3,5()f x C ．在上函数有极大值D ．是函数在区间上的极小值点()1,3()f x 3x =()f x []1,5【正确答案】AC 根据图象判断出的单调区间、极值（点）.()f x 【详解】由图象可知在区间和上，递增；在区间上()f x ()1,2()4,5()'0f x >()f x ()2,4，递减.()'0f x <()f x 所以A 选项正确，B 选项错误.在区间上，有极大值为，C 选项正确.()1,3()f x ()2f 在区间上，是的极小值点，D 选项错误.[]1,54x =()f x 故选：AC11．已知数列满足，，为数列{}n a ()2*12222nn a a a n n +++=∈N4211log log n n n b a a +=⋅n S 的前项和.若对任意实数，都有成立.则实数的可能取值为（ ）{}n b n λn S λ<λA ．4B ．3C ．2D ．1【正确答案】ABC【分析】根据题意求出，再化简求出，利用裂项相消即可求出，即可求出满足题意的n a n b n S .λ【详解】①212222n n a a a n+++= ②221112221n n a a a n ++∴+++=+ ②①得，-1121n n a ++=，当时，，当时，，满足上式，1112n n a ++∴=2n ≥12nn a =1n =111212a a =⇒=故，12n na =，()()()21421221112112log log 11log 2log 212n n n n n b n a a n n n n n -+-+⎛⎫∴=====- ⎪-⋅++⎝⎭⋅--故，111111212122311n S n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ ，2n S ∴<故.2λ≥故选：ABC.12．正三棱台中，，分别是和的中心，且111ABC A B C -O 1O ABC 111A B C △，则（ ）111223AA A B BC ===A ．直线与所成的角为AC 1OB 90︒B ．平面与平面所成的角为111AB C 11AA B B 90︒C ．正三棱台111ABC A B C -D ．四棱锥与的体积之比为11O AA B B -111O AA B B -2:3【正确答案】ACD 【分析】将正三棱台补形为棱锥，在直角三角形中计算三棱台的高，即可判断111ABC A B C -C ；以为轴，平行于为轴，垂直于平面为轴建立空间直角坐标系，利用异1OO z AB y yOz x 面直线夹角、面面角、点到平面距离的向量求法判断ABD 即可.【详解】由题意根据，分别是下底面与上底面的中心以及下底面边长和上底面边长分别O 1O 为2和3可得1132AO A O ==假设正三棱台是由正棱锥截取正棱锥得到的，则由已知可得111ABC A B C -D ABC -111D A B C -是棱锥的高，是棱锥的高，为所求棱台的高，DO D ABC -1DO 111D A B C -1OO 因此是一个直角三角形，如图（1）所示，DOA△因为，，11DO A DOA 1132AO A O ==12AA =所以，解得，1111123DA A O DA AAAO ==+14DA =所以由勾股定理得DO ==113OO DO==，111ABC A B C-又因为，133sin 602ABC S =⨯⨯⨯︒= 111122sin 602A B C S=⨯⨯⨯︒= 所以C 正确；(11111113ABC A B C ABC A B C OO V S S -=++=因为垂直于上下底面，所以以为轴，平行于为轴，垂直于平面为轴建1OO 1OO z AB y yOz x 立如图（2）所示空间直角坐标系，所以，，，，3,02A ⎫-⎪⎪⎭()C1B3,02AC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，1OB = 所以，直线，选项A 正确；10AC OB ⋅=1AC OB ⊥又，，1A -3,02B ⎫=⎪⎪⎭所以，，112AA ⎛= ⎝ ()0,3,0AB = 设平面的法向量，则，解得11AA B B(),,n x y z =110230n AA y z n AB y ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅==⎩，n =设平面的法向量，则，故B 错误；111A B C ()0,0,1m =10n m ⋅=≠ 又，所以，，1O ⎛ ⎝3,02OA ⎫=-⎪⎪⎭13,2O A =- 所以点到平面的距离，O 11AA BB 1d =点到平面的距离1O 11AA B B 1223O A n d n⋅===所以，由棱锥的体积公式可得四棱锥与的体积之比为，D 1223d d =11O AAB B -111O AA B B -2:3正确；综上ACD 正确，故选：ACD 三、填空题13．在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数为nx ⎛⎝2x ___________【正确答案】70【分析】先由二项式系数最大确定,再由通项公式求含项的系数即可.n 2x 【详解】由只有第5项的二项式系数最大可得.8n =∴通项公式，()3882188C 1C rr r r rr r T xx--+⎛==- ⎝令，解得.3822r -=4r =∴展开式中含项的系数为.2x ()4481C =70-故答案为.7014．已知，，则的值为______．π(0,2α∈cos(4πα+=cos α【分析】根据给定条件结合同角公式求出，再用差角的余弦公式计算作答.sin(4πα+【详解】因，即，又π(0,2α∈3444πππα<+<cos()4πα+=sin()4πα+==所以cos cos[()]cos()cos sin(444444ππππππαααα=+-=+++=+=15．已知平面向量满足，且与的夹角为，则的取值()0,αβααβ≠≠､2β=αβα-135α范围是___________.【正确答案】(0,【分析】画出图形，表示出，，从而确定，利用正弦定理得到ABα=ACβ==45ABC∠︒，结合，求出的取值范围.Cα=30,π4C⎛⎫∈ ⎪⎝⎭α【详解】设，，如图所示，ABα=ACβ=则，BCβα=-因为与的夹角为，αβα-135所以，=45ABC∠︒因为，所以由正弦定理得：2ACβ==，所以，sin sin45Cβα===︒Cα=因为，所以30,π4C⎛⎫∈ ⎪⎝⎭(0,Cα=∈故答案为.(0,16．已知函数，（其中e是自然对数的底数），若关于x的()2e,0,0x xf xx x⎧≤=⎨>⎩2()2g x x x=-+方程恰有三个不等实根，且，则的最大值为(())g f x m =123,,x x x 123x x x <<12322x x x -+___________.【正确答案】3ln 3-【分析】设，则根据题意得必有两个不相等的实根，()f x t =2()20g t m t t m -=-+-=12,t t 不妨设，故，，再结合的图象可得，，12t t <122t t +=212t t =-()f x 1221x x e t ==3212x t t ==-，进而，再构造函数，分析函数101t <<1231122ln 34x x x t t -+=-+()()ln 34,01h t t t t =-+<<的单调性，求得最大值.【详解】由题意设，根据方程恰有三个不等实根，()f x t =(())0g f x m -=即必有两个不相等的实根，不妨设2()20g t m t t m -=-+-=12,t t 12t t <，则，122t t ∴+=212t t =-方程或有三个不等实根，且，1()f x t =2()f x t =123,,x x x 123x x x <<作出图象如图所示：那么，可得，，1221x x e t ==3212x t t ==-101t <<所以，1231122ln 34x x x t t -+=-+构造新函数，则，()()ln 34,01h t t t t =-+<<13()th t t -'=所以在上单调递增，在上单调递减，()h t 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭所以,max 1()3ln 33h t h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭所以的最大值为.12322x x x -+3ln 3-故答案为.3ln 3-四、解答题17．已知数列满足，且)，且成等差数列.{}n a (11002n n n a a a +-=≠*N n ∈234,2,a a a +(1)求数列的通项公式；{}n a (2)若，求数列的前项和.()*2log N n n b a n =∈{}nb n nT 【正确答案】(1)；2nn a =(2).21122n n+【分析】（1）根据给定条件，求出数列的首项即可求解作答.{}n a （2）利用（1）的结论求出，再利用等差数列求和公式计算作答.n b 【详解】（1）在数列中，由得，而，则数列是公比为{}n a 1102n n a a +-=12n n a a +=0n a ≠{}n a 2的等比数列，因成等差数列，即，有，解得，234,2,a a a +3242(2)a a a +=+1118428a a a +=+12a =所以数列的通项公式为.{}n a 1222n nn a -=⨯=（2）由（1）得，有，即数列是等差数列，2log 2n n b n==1(1)1n n b b n n +-=+-={}n b 所以数列的前项和.{}n b n 2111222n nT n n n +=⋅=+18．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足（2a ﹣b ）sin A +（2b ﹣a ）sin B =2c sinC ．(1)求角C 的大小；(2)若cos A 的值.()sin 2A C -【正确答案】(1)3C π=【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得，由此求得.cos C C （2）先求得，结合两角差的正弦公式求得.sin 2,cos 2A A ()sin 2A C -【详解】（1），()()2sin 2sin 2sin a b A b a B c C-+-= ，即，()()2222a b a b a b c ∴-+-=222a b c ab +-=，2221cos 22a b c C ab +-∴==，.0C π<< 3C π∴=（2）由，可得，cos A =sin A =21sin22sin cos 2cos 17A A A A A ∴===-=()11sin 2sin2cos cos2sin 27A C A C A C ∴-=-=-=19．在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，ABCD ADPQ //PD QA ，平面平面，且．π2PDA ∠=ADPQ ⊥ABCD 22AD PD QA ===(1)求证：平面；//QB PDC (2)求二面角的大小；C PB Q --(3)已知点在棱上，且异面直线与A 到平面H PD AH PB 的距离．HBC 【正确答案】(1)证明见解析(2)5π6(3)65【分析】（1）先证明平面平面，再根据面面平行的性质可得平面；//ABQ DCP //QB PDC （2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，根据二面角D DA x DC y DP z 的向量公式可求出结果；（3）根据异面直线和点面距的向量公式可求出结果.【详解】（1）证明：四边形是正方形，，平面，平面 ABCD //AB CD ∴AB ⊄PDC CD ⊂．所以平面．PDC //AB PDC 四边形是梯形，， 平面，平面，所以平面ADPQ //PD QA QA ⊄PDC PD ⊂PDC //QA ，PDC 平面，平面，，平面平面，AB ⊂ABQ QA ⊂ABQ AB QA A ⋂=∴//ABQ DCP 平面，平面．QB ⊂ ABQ //QB ∴PDC （2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，D DA x DC y DP z 则，2，，，0，，，2，，，0，，(0C 0)(0P 2)(2B 0)(2Q 1)，2，，，2，，，0，，(2PB = 2)-(0PC = 2)-(2PQ =1)-设平面的法向量，，，PBC 11(n x =1y 1)z 则，取，得，，得，1，，111112220220n PB x y z n PC y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ 11y =11z =10x =1(0n =1)设平面的法向量，，，PBQ 22(n x =2y 2)z 则，取，，，得，1，，22222222020m PB x y z m PQ x z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩21x =22z =21y =2(1n = 2)设二面角的大小为，由图形得为钝角，C PB Q --θθ则1212||cos ||||n n n n θ⋅=-==⋅因为为钝角，，θ5π6θ∴=二面角的大小为．∴C PB Q --5π6（3）点在棱上，且异面直线与H PD AH PB设则，，，，(),02DH t t =≤≤()0,0,H t ()2,0,0A ()2,0,AH t =-()2,2,2PB =-，cos<,AH PB AH PB AH PB ⋅∴===⋅>∣∣解得，∴线段的长为．32t =DH 32设平面的法向量，因为，，HBC ()3333,,n x y z =(2,0,0)CB = 3(0,2,2HC =- 则，取，得，131********m CB x m HC y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩34z =()30,3,4n = 又，所以．()0,2,0AB = 336|5AB n d n ⋅==∣20．设，，，，.()55f =()53f '=()54g =()51g '=()2()()f x h x g x +=（1）求及；()5h ()5h '（2）求曲线在处的切线方程.()sin6y h x π=+5x =【正确答案】（1），；（2）5x -16y +11=07(5)=4h (5)16=5h '（1）直接代入法可求出，求出，然后把x =5代入可得．()5h ()h x '()5h '（2）求出，把x =5代入y ′中即可求出切线的斜率，然后把x =5代入y 中求出切点的纵坐标，y '得到切点坐标，根据切点坐标和斜率写出切线方程．【详解】（1）当x =5时，，(5)27(5)=(5)4f h g +=函数的导数，()2()()f x h x g x +=()()()()()2()2f x g x f x g g x h x x ⎡⎤'⎣⎦+'=-'函数在x =5处的切线斜率：()h x ；()()()()()()25552165341525(5)=1=56f g h g f g '-+'⎡⎤⨯+⎦⨯⎣-='（2），1()sin ((22)=6)f y h x x g x π=+++所以，()()()()()22f x g x f x g x g y x '-+'⎡⎤⎣⎦='x =5处的切线斜率：，()()()()()52555255=516x f g f g y g =⎡⎤'-+'⎣⎦'=y =，711=9(=25)442h ++所以切点坐标为，95,4⎛⎫⎪⎝⎭则切线方程为：，()515=469y x --化简得5x -16y +11=0．故切线方程为：5x -16y +11=0．本题考查求导法则及导数的应用，利用导数研究曲线上某点切线方程一般是求出切点坐标和斜率，属于简单题.21．摆地摊的某摊（赌）主拿了8个白的，8个黑的围棋子放在一个口袋里，并规定凡愿意摸彩者每人交一元钱作手续费，然后一次从口袋摸出5个棋子，中彩情况如下：摸棋子5个白4个白3个白其它彩金20元2元纪念品（价值5角）同乐一次（无任何奖品）（1）某人交一元钱作手续费，然后一次从口袋摸出5个棋子，求获得彩金20元的概率；（2）某人交一元钱作手续费，然后一次从口袋摸出5个棋子，求无任何奖品的概率；（3）按每天摸彩1000次统计，赌主可望净赚约多少钱？【正确答案】（1）（2）（3）17812308【分析】（1）根据古典概型概率公式求解；（2）根据古典概型概率公式求解；（3）先确定各种中奖的概率，再利用数册望公式求期望，最后即得结果【详解】(1) 获得彩金20元的概率为58516178C C =（2）无任何奖品的概率为5142388888516112C C C C C C ++-=（3）中2元的概率，中5角的概率41882516539C C P C ==328835161439C C P C ==按摸彩1000次统计，赌主可望净赚的钱数．151410001000201000210000.5308783939W =-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯≈22．如图，已知椭圆与等轴双曲线共顶点，过椭圆上()22122:10x y C a b a b +=>>2C ()±1C 一点P （2，-1）作两直线与椭圆相交于相异的两点A ，B ，直线PA ，PB 的倾斜角互补.直1C 线AB 与x ，y轴正半轴相交，分别记交点为M ，N .(1)若的面积为，求直线AB 的方程；PMN 54(2)若AB 与双曲线的左､右两支分别交于Q ，R ，求的范围.2C NQNR 【正确答案】(1)20x y +=(2)⎛ ⎝【分析】（1）由题意，先求出椭圆方程和双曲线的方程，然后联立直线和椭圆方程求出点坐标，即得，设，根据的面积为求出的值即,A B 12AB k =-1:(0)2AB y x nn =-+>PMN 54n 可求解；（2）联立直线和双曲线方程，先求出的范围即可求解.||1||QRx NQ NR x ==n【详解】（1）解：由题得，解得，所以椭圆的方程为，22411a a b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩a b ==22182x y +=等轴双曲线的方程为.22188x y -=由题意，直线PA 的斜率存在，设PA ：，则PB ：，1(2)y k x +=-1(2)y k x +=--联立，消去得，221(2)48y k x x y +=-⎧⎨+=⎩y 2222(41)(168)161640k x k k x k k +-+++-=所以，又，所以，则221616441A P k k x x k +-⋅=+2P x =2288241A k k x k +-=+2244141A k k y k --=+将换成，得，所以，k k -2222882441(,4141k k k k B k k --+-++12ABk =-设，1:(0)2AB y x n n =-+>由，消去得，221248y x nx y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩y 222240x nx n -+-=，所以得，2248160n n ∆=-+>02n <<则，，:220(02)AB x y n n +-=<<(2,0),(0,)M n N n d =所以，解得21524PMN S n === n =所以直线AB 的方程为；20x y +=（2）解：由，消去得，解得221(02)28y x n n x y ⎧=-+<<⎪⎨⎪-=⎩y 22344320xnx n +--=1,2x =所以||1||Q R x NQ NRx====，，则，204n << 2632n ∴>11->-21/21，0∴<<||1||NQ NR ∴<<所以的取值范围为．||||NQ NR ⎛ ⎝。

2016年某某省某某市扶沟县包屯高中高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|x2﹣2x≤0}，则（∁U A）∩B=（）A．[﹣1，0] B．[﹣1，2] C．（1，2] D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）2．设复数z=1+i（i是虚数单位），则|+z|=（）A．2 B．C．3 D．23．不等式|2x﹣1|＞x+2的解集是（）A．（﹣，3）B．（﹣∞，﹣）∪（3，+∞）C．（﹣∞，﹣3）∪（，+∞）D．（﹣3，+∞）4．若函数f（x）=2sin（ωx+θ）对任意x都有f（+x）=f（﹣x），则f（）=（）A．2或0 B．﹣2或2 C．0 D．﹣2或05．一算法的程序框图如图，若输出的y=，则输入的x的值可能为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．56．已知双曲线，它的一个顶点到较近焦点的距离为1，焦点到渐近线的距离是，则双曲线C的方程为（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．﹣y2=1 D．x2﹣=17．用a，b，c表示空间中三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a∥b，a∥c，则b∥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b．其中真命题的序号是（）A．①② B．②③ C．①④ D．②④8．设点M（x，y）是不等式组所表示的平面区域Ω中任取的一点，O为坐标原点，则|OM|≤2的概率为（）A． B．C． D．9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S17=170，则a7+a9+a11的值为（）A．10 B．20 C．25 D．3010．已知△ABC三边长构成公差为d（d≠0）的等差数列，则△ABC最大内角α的取值X围为（）A．＜α≤B．＜α＜πC．≤α＜πD．＜α≤11．已知f（x）=在x=0处取得最小值，则a的最大值是（）A．4 B．1 C．3 D．212．若对∀x，y∈[0，+∞），不等式4ax≤e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2恒成立，则实数a的最大值是（）A．B．1 C．2 D．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13．命题“对任意x≤0，都有x2＜0”的否定为_______．14．若（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，则ab的值为_______．15．设函数f（x）=lnx的定义域为（M，+∞），且M＞0，对于任意a，b，c∈（M，+∞），若a，b，c是直角三角形的三条边长，且f（a），f（b），f（c）也能成为三角形的三条边长，那么M的最小值为_______．16．已知||=1，||=， =0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n （m、n∈R），则等于_______．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．等差数列{a n}的公差为d（d＜0），a i∈{1，﹣2，3，﹣4，5}（i=1，2，3），则数列{b n}中，b1=1，点B n（n，b n）在函数g（x）=a•2x（a是常数）的图象上．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）若=a n•b n，求数列{}的前n项和S n．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱BB1、CC1上，且BE=BB1，C1F=CC1．（1）求平面AEF与平面ABC所成角α的余弦值；（2）若G为BC的中点，A1G与平面AEF交于H，且设=，求λ的值．19．甲、乙两同学参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，具体成绩如下茎叶图所示，已知两同学这8次成绩的平均分都是85分．（1）求x；并由图中数据直观判断，甲、乙两同学中哪一位的成绩比较稳定？（2）若将频率视为概率，对甲同学在今后3次数学竞赛成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．甲乙9 8 7 58 x 2 1 8 0 0 3 55 3 9 0 2 520．已知动点P到直线x=2的距离等于P到圆x2﹣7x+y2+4=0的切线长，设点P的轨迹为曲线E；（1）求曲线E的方程；（2）是否存在一点Q（m，n），过点Q任作一直线与轨迹E交于M、N两点，点（，）都在以原点为圆心，定值r为半径的圆上？若存在，求出m、n、r的值；若不存在，说明理由．21．已知函数（其中常数a，b∈R），．（Ⅰ）当a=1时，若函数f（x）是奇函数，求f（x）的极值点；（Ⅱ）若a≠0，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）当时，求函数g（x）在[0，a]上的最小值h（a），并探索：是否存在满足条件的实数a，使得对任意的x∈R，f（x）＞h（a）恒成立．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．如图，P为圆外一点，PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，过点P作AB的垂线交圆于C、E两点（C、D两点在AB的同侧），垂足为F，连接AD交PE于点G．（1）证明：PC=PD；（2）若AC=BD，求证：线段AB与DE互相平分．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直角坐标系xOy的原点和极坐标系Ox的极点重合，x轴非负半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线C的参数方程为，（φ为参数）．（1）在极坐标系下，若曲线C与射线θ=和射线θ=﹣分别交于A，B两点，求△AOB 的面积；（2）给出直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=2，求曲线C与直线l在平面直角坐标系中的交点坐标．[选修4-5：不等式选讲]24．已知：函数f（x）=|1﹣3x|+3+ax．（1）若a=﹣1，解不等式f（x）≤5；（2）若函数f（x）有最小值，某某数a的取值X围．2016年某某省某某市扶沟县包屯高中高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|x2﹣2x≤0}，则（∁U A）∩B=（）A．[﹣1，0] B．[﹣1，2] C．（1，2] D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】化简集合B，求出A的补集，再计算（∁U A）∩B．【解答】解：全集U=R，集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|x2﹣2x≤0}={x|0≤x≤2}，∴∁U A={x|x＜﹣1或x＞1}，∴（∁U A）∩B={x|1＜x≤2}=（1，2]．故选：C．2．设复数z=1+i（i是虚数单位），则|+z|=（）A．2 B．C．3 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】先求出+z，再求出其模即可．【解答】解：∵z=1+i，∴+z=+1+i===1﹣i+1+i=2，故|+z|=2，故选：A．3．不等式|2x﹣1|＞x+2的解集是（）A．（﹣，3）B．（﹣∞，﹣）∪（3，+∞）C．（﹣∞，﹣3）∪（，+∞）D．（﹣3，+∞）【考点】绝对值三角不等式．【分析】选择题，对x+2进行分类讨论，可直接利用绝对值不等式公式解决：|x|＞a等价于x＞a或x＜﹣a，最后求并集即可．【解答】解：当x+2＞0时，不等式可化为2x﹣1＞x+2或2x﹣1＜﹣（x+2），∴x＞3或2x﹣1＜﹣x﹣2，∴x＞3或﹣2＜x＜﹣，当x+2≤0时，即x≤﹣2，显然成立，故x的X围为x＞3或x＜﹣故选：B．4．若函数f（x）=2sin（ωx+θ）对任意x都有f（+x）=f（﹣x），则f（）=（）A．2或0 B．﹣2或2 C．0 D．﹣2或0【考点】正弦函数的图象．【分析】由f（+x）=f（﹣x），可得x=是函数f（x）的对称轴，利用三角函数的性质即可得到结论．【解答】解：∵函数f（x）=2sin（ωx+θ）对任意x都有f（+x）=f（﹣x），∴x=是函数f（x）的对称轴，即此时函数f（x）取得最值，即f（）=±2，故选：B5．一算法的程序框图如图，若输出的y=，则输入的x的值可能为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．5【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序可得程序功能是求分段函数y=的值，根据已知即可求解．【解答】解：模拟执行程序可得程序功能是求分段函数y=的值，∵y=，∴sin（）=∴=2kπ+，k∈Z，即可解得x=12k+1，k∈Z．∴当k=0时，有x=1．故选：C．6．已知双曲线，它的一个顶点到较近焦点的距离为1，焦点到渐近线的距离是，则双曲线C的方程为（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．﹣y2=1 D．x2﹣=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得c﹣a=1，求出渐近线方程和焦点的坐标，运用点到直线的距离公式，可得b=，由a，b，c的关系，可得a，进而得到所求双曲线的方程．【解答】解：双曲线的一个顶点（a，0）到较近焦点（c，0）的距离为1，可得c﹣a=1，由双曲线的渐近线方程为y=x，则焦点（c，0）到渐近线的距离为d==b=，又c2﹣a2=b2=3，解得a=1，c=2，即有双曲线的方程为x2﹣=1．故选：A．7．用a，b，c表示空间中三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a∥b，a∥c，则b∥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b．其中真命题的序号是（）A．①② B．②③ C．①④ D．②④【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】与立体几何有关的命题真假判断，要多结合空间图形，充分利用相关的公里、定理解答．判断线与线、线与面、面与面之间的关系，可将线线、线面、面面平行（垂直）的性质互相转换，进行证明，也可将题目的中直线放在空间正方体内进行分析．【解答】解：因为空间中，用a，b，c表示三条不同的直线，①中正方体从同一点出发的三条线，满足已知但是a⊥c，所以①错误；②若a∥b，b∥c，则a∥c，满足平行线公理，所以②正确；③平行于同一平面的两直线的位置关系可能是平行、相交或者异面，所以③错误；④垂直于同一平面的两直线平行，由线面垂直的性质定理判断④正确；故选：D．8．设点M（x，y）是不等式组所表示的平面区域Ω中任取的一点，O为坐标原点，则|OM|≤2的概率为（）A． B．C． D．【考点】几何概型．【分析】若x，y∈R，则区域W的面积是2×2=4．满足|OM|≤2的点M构成的区域为{（x，y）|﹣1≤x≤1，0≤y≤2，x2+y2≤4}，求出面积，即可求出概率．【解答】解：这是一个几何概率模型．若x，y∈R，则区域W的面积是2×2=4．满足|OM|≤2的点M构成的区域为{（x，y）|﹣1≤x≤1，0≤y≤2，x2+y2≤4}，面积为2[﹣（﹣）]= +，故|OM|≤2的概率为．故选：D．9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S17=170，则a7+a9+a11的值为（）A．10 B．20 C．25 D．30【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的性质可得a7+a9+a11=3a9，而s17=17a9，故本题可解．【解答】解：∵a1+a17=2a9，∴s17==17a9=170，∴a9=10，∴a7+a9+a11=3a9=30；故选D．10．已知△ABC三边长构成公差为d（d≠0）的等差数列，则△ABC最大内角α的取值X围为（）A．＜α≤B．＜α＜πC．≤α＜πD．＜α≤【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由已知根据三角形内角和定理得3α＞π，从而解得α＞，妨设三角形三边为a﹣d，a，a+d，（a＞0，d＞0），利用余弦定理可得cosα=2﹣＞﹣1，结合三角形内角的X围即可得解．【解答】解：∵α为△ABC最大内角，∴3α＞π，即α＞，由题意，不妨设三角形三边为a﹣d，a，a+d，（a＞0，d＞0），则由余弦定理可得，cosα===2﹣=2﹣，又∵三角形两边之和大于第三边，可得a﹣d+a＞a+d，可得a＞2d，即，∴cosα=2﹣＞﹣1，又α为三角形内角，α∈（0，π），可得：α∈（，π）．故选：B．11．已知f（x）=在x=0处取得最小值，则a的最大值是（）A．4 B．1 C．3 D．2【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】根据分段函数，分别讨论x的X围，求出函数的最小值，根据题意得出不等式a2＜a+2，求解即可．【解答】解：∵f（x）=，当x≤0时，f（x）的最小值为a2，当x＞0时，f（x）的最小值为2+a，∵在x=0处取得最小值，∴a2＜a+2，∴﹣1≤a≤2，故选D．12．若对∀x，y∈[0，+∞），不等式4ax≤e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2恒成立，则实数a的最大值是（）A．B．1 C．2 D．【考点】函数恒成立问题．【分析】利用基本不等式和参数分离可得a≤在x＞0时恒成立，构造函数g（x）=，通过求导判断单调性求得g（x）的最小值即可得到a的最大值．【解答】解：当x=0时，不等式即为0≤e y﹣2+e﹣y﹣2+2，显然成立；当x＞0时，设f（x）=e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2，不等式4ax≤e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2恒成立，即为不等式4ax≤f（x）恒成立．即有f（x）=e x﹣2（e y+e﹣y）+2≥e x﹣2•2+2=2+2e x﹣2（当且仅当y=0时，取等号），由题意可得4ax≤2+2e x﹣2，即有a≤在x＞0时恒成立，令g（x）=，g′（x）=，令g′（x）=0，即有（x﹣1）e x﹣2=1，令h（x）=（x﹣1）e x﹣2，h′（x）=xe x﹣2，当x＞0时h（x）递增，由于h（2）=1，即有（x﹣1）e x﹣2=1的根为2，当x＞2时，g（x）递增，0＜x＜2时，g（x）递减，即有x=2时，g（x）取得最小值，为，则有a≤．当x=2，y=0时，a取得最大值．故选：D二、填空题：本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13．命题“对任意x≤0，都有x2＜0”的否定为存在x0≤0，都有．【考点】命题的否定．【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“对任意x≤0，都有x2＜0”的否定为：存在x0≤0，都有；故答案为：存在x0≤0，都有；14．若（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，则ab的值为 1 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】直接利用二项式定理的通项公式，求出x3项的系数为20，得到ab的值．【解答】解：（ax2+）6的展开式的通项公式为T r+1=•a6﹣r•b r•x12﹣3r，令12﹣3r=3，求得r=3，故（ax2+）6的展开式中x3项的系数为•a3•b3=20，∴ab=1．故答案为：1．15．设函数f（x）=lnx的定义域为（M，+∞），且M＞0，对于任意a，b，c∈（M，+∞），若a，b，c是直角三角形的三条边长，且f（a），f（b），f（c）也能成为三角形的三条边长，那么M的最小值为．【考点】三角形的形状判断；函数的值．【分析】不妨设c为斜边，则M＜a＜c，M＜b＜c，则可得ab＞M2，结合题意可得，结合a2+b2≥2ab可求c的X围，进而可求M的X围，即可求解【解答】解：不妨设c为斜边，则M＜a＜c，M＜b＜c∴ab＞M2由题意可得，∴∵a2+b2≥2ab＞2c∴c2＞2c即c＞2∴ab＞2∴M2≥2∴故答案为：16．已知||=1，||=， =0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n （m、n∈R），则等于 3 ．【考点】平面向量数量积的运算；线段的定比分点．【分析】先根据=0，可得⊥，又因为===|OC|×1×cos30°==1×，所以可得：在x轴方向上的分量为在y轴方向上的分量为，又根据=m+n=n+m，可得答案．【解答】解：∵||=1，||=， =0，⊥===|OC|×1×cos30°==1×∴在x轴方向上的分量为在y轴方向上的分量为∵=m+n=n+m∴，两式相比可得： =3．故答案为：3三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．等差数列{a n}的公差为d（d＜0），a i∈{1，﹣2，3，﹣4，5}（i=1，2，3），则数列{b n}中，b1=1，点B n（n，b n）在函数g（x）=a•2x（a是常数）的图象上．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）若=a n•b n，求数列{}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（I）等差数列{a n}的公差为d（d＜0），a i∈{1，﹣2，3，﹣4，5}（i=1，2，3），可得a1=5，a2=3，a3=1．利用等差数列的通项公式即可得出．由点B n（n，b n）在函数g（x）=a•2x（a是常数）的图象上，可得b n=a•2n．利用b1=1，解得a，即可得出．（II）=a n•b n=（7﹣2n）•2n﹣1．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（I）等差数列{a n}的公差为d（d＜0），a i∈{1，﹣2，3，﹣4，5}（i=1，2，3），∴a1=5，a2=3，a3=1．∴d=3﹣5=﹣2，∴a n=5﹣2（n﹣1）=7﹣2n．∵点B n（n，b n）在函数g（x）=a•2x（a是常数）的图象上，∴b n=a•2n．∵b1=1，∴1=a×21，解得a=．∴b n=2n﹣1．（II）=a n•b n=（7﹣2n）•2n﹣1．∴数列{}的前n项和S n=5×1+3×2+1×22+…+（7﹣2n）•2n﹣1．∴2S n=5×2+3×22+…+（9﹣2n）•2n﹣1+（7﹣2n）•2n，∴﹣S n=5﹣2（2+22+…+2n﹣1）﹣（7﹣2n）•2n=5﹣﹣（7﹣2n）•2n=9﹣（9﹣2n）•2n，∴S n=（9﹣2n）•2n﹣9．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱BB1、CC1上，且BE=BB1，C1F=CC1．（1）求平面AEF与平面ABC所成角α的余弦值；（2）若G为BC的中点，A1G与平面AEF交于H，且设=，求λ的值．【考点】二面角的平面角及求法；棱柱的结构特征．【分析】（1）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．（2）利用四点共面， =x+y，建立方程关系进行求解即可．【解答】解：（1）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱BB1、CC1上，且BE=BB1，C1F=CC1．∴建立以A为坐标原点，AB，AC，AA1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：则A（0，0，0），A1（0，0，6），B（2，0，0），C（0，2，0），E（2，0，2），F（0，2，4），则=（2，0，2），=（0，2，4），设平面AEF的法向量为=（x，y，z）则令z=1．则x=﹣1，y=﹣2，即=（﹣1，﹣2，1），平面ABC的法向量为=（0，0，1），则cos＜，＞===即平面AEF与平面ABC所成角α的余弦值是；（2）若G为BC的中点，A1G与平面AEF交于H，则G（1，1，0），∵=，∴==λ（1，1，﹣6）=（λ，λ，﹣6λ），=+=（λ，λ，6﹣6λ）∵A，E，F，H四点共面，∴设=x+y，即（λ，λ，6﹣6λ）=x（2，0，2）+y（0，2，4），则，得λ=，x=y=，故λ的值为．19．甲、乙两同学参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，具体成绩如下茎叶图所示，已知两同学这8次成绩的平均分都是85分．（1）求x；并由图中数据直观判断，甲、乙两同学中哪一位的成绩比较稳定？（2）若将频率视为概率，对甲同学在今后3次数学竞赛成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．甲乙9 8 7 58 x 2 1 8 0 0 3 55 3 9 0 2 5【考点】离散型随机变量的期望与方差；极差、方差与标准差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由题意利用平均数的定义仔细分析图表即可求得；（2）由题意记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于8”为事A，则，而随机变量ξ的可能取值为0、1、2、3，由题意可以分析出该随机变量ξ～B（3，），再利用二项分布的期望与分布列的定义即可求得．【解答】解：（1）依题意，解x=4，由图中数据直观判断，甲同学的成绩比较稳定．（2）记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事A，则，随机变ξ的可能取值为0、1、2、3，ξ～B（3，），，其k=0、1、2、3．所以变ξ的分布列为：ξ0 1 2 3P20．已知动点P到直线x=2的距离等于P到圆x2﹣7x+y2+4=0的切线长，设点P的轨迹为曲线E；（1）求曲线E的方程；（2）是否存在一点Q（m，n），过点Q任作一直线与轨迹E交于M、N两点，点（，）都在以原点为圆心，定值r为半径的圆上？若存在，求出m、n、r的值；若不存在，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）设P（x，y），由题意可得，整理可得切线E 的方程（2）过点Q任作的直线方程可设为：为直线的倾斜角），代入曲线E的方程y2=3x，得（n+tsinα）2=3（m+tcosα），sin2αt2+（2nsinα﹣3cosα）t+n2﹣3m=0，由韦达定理得，，若使得点（，）在以原点为圆心，定值r为半径的圆上，则有=为定值【解答】解：（1）设P（x，y），圆方程x2﹣7x+y2+4=0化为标准式：则有∴（x﹣2）2=x2﹣7x+y2+4，整理可得y2=3x∴曲线E的方程为y2=3x．（2）过点Q任作的直线方程可设为：为直线的倾斜角）代入曲线E的方程y2=3x，得（n+tsinα）2=3（m+tc osα），sin2αt2+（2nsinα﹣3cosα）t+n2﹣3m=0由韦达定理得，，==═令﹣12n与2n2+6m﹣9同时为0得n=0，，此时为定值故存在．21．已知函数（其中常数a，b∈R），．（Ⅰ）当a=1时，若函数f（x）是奇函数，求f（x）的极值点；（Ⅱ）若a≠0，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）当时，求函数g（x）在[0，a]上的最小值h（a），并探索：是否存在满足条件的实数a，使得对任意的x∈R，f（x）＞h（a）恒成立．【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）根据所给的函数是一个奇函数，写出奇函数成立的等式，整理出b的值是0，得到函数的解析式，对函数求导，使得导函数等于0，求出极值点．（II）要求函数的单调增区间，首先对函数求导，使得导函数大于0，解不等式，问题转化为解一元二次不等式，注意对于a值进行讨论．（Ⅲ）求出函数g（x）在[0，a]上的极值、端点值，比较其中最小者即为h（a），再利用奇函数性质及基本不等式求出f（x）的最小值，对任意的x∈R，f（x）＞h（a）恒成立，等价于f（x）min＞h（a），在上只要找到一a值满足该不等式即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，因为函数f（x）是奇函数，∴对x∈R，f（﹣x）=﹣f（x）成立，得，∴，∴，得，令f'（x）=0，得x2=1，∴x=±1，经检验x=±1是函数f（x）的极值点．（Ⅱ）因为，∴，令f'（x）＞0⇒﹣ax2﹣2bx+a＞0，得ax2+2bx﹣a＜0，①当a＞0时，方程ax2+2bx﹣a=0的判别式△=4b2+4a2＞0，两根，单调递增区间为，②当a＜0时，单调递增区间为和．（Ⅲ）因为，当x∈[0，a]时，令g'（x）=0，得，其中．当x变化时，g'（x）与g（x）的变化情况如下表：x （0，x0）x0（x0，a）g'（x）+ 0 ﹣g（x）↗↘∴函数g（x）在[0，a]上的最小值为g（0）与g（a）中的较小者．又g（0）=0，，∴h（a）=g（a），∴，b=0时，由函数是奇函数，且，∴x＞0时，，当x=1时取得最大值；当x=0时，f（0）=0；当x＜0时，，∴函数f（x）的最小值为，要使对任意x∈R，f（x）＞h（a）恒成立，则f（x）最小＞h（a），∴，即不等式在上有解，a=π符合上述不等式，∴存在满足条件的实数a=π，使对任意x∈R，f（x）＞h（a）恒成立．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．如图，P为圆外一点，PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，过点P作AB的垂线交圆于C、E两点（C、D两点在AB的同侧），垂足为F，连接AD交PE于点G．（1）证明：PC=PD；（2）若AC=BD，求证：线段AB与DE互相平分．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）利用PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，证明：∠DGP=∠PDG，即可证明PC=PD；（2）若AC=BD，证明DE为圆的一条直径，即可证明线段AB与DE互相平分．【解答】证明：（1）∵PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，∴∠PDA=∠DBA，∠BDA=90°，∴∠DBA+∠DAB=90°，∵PE⊥AB∴在Rt△AFG中，∠FGA+∠GAF=90°，∴∠FGA+∠DAB=90°，∴∠FGA=∠DBA．∵∠FGA=∠DGP，∴∠DGP=∠PDA，∴∠DGP=∠PDG，∴PG=PD；（2）连接AE，则∵CE⊥AB，AB为圆的一条直径，∴AE=AC=BD，∴∠EDA=∠DAB，∵∠DEA=∠DBA，∴△BDA≌△EAD，∴DE=AB，∴DE为圆的一条直径，∴线段AB与DE互相平分．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直角坐标系xOy的原点和极坐标系Ox的极点重合，x轴非负半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线C的参数方程为，（φ为参数）．（1）在极坐标系下，若曲线C与射线θ=和射线θ=﹣分别交于A，B两点，求△AOB 的面积；（2）给出直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=2，求曲线C与直线l在平面直角坐标系中的交点坐标．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）曲线C的参数方程为，（φ为参数），利用平方关系可得：曲线 C 在直角坐标系下的普通方程．将其化为极坐标方程为，分别代入和，可得|OA|，|OB|，，利用直角三角形面积计算公式可得△AOB的面积．（2）将l的极坐标方程化为直角坐标方程得x﹣y﹣2=0，与椭圆方程联立解出即可得出交点坐标．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为，（φ为参数），利用平方关系可得：曲线 C在直角坐标系下的普通方程为，将其化为极坐标方程为，分别代入和，得，∵，故△AOB的面积．（2）将l的极坐标方程化为直角坐标方程，得x﹣y﹣2=0，联立方程，解得x=2，y=0，或，∴曲线C与直线l的交点坐标为（2，0）或．[选修4-5：不等式选讲]24．已知：函数f（x）=|1﹣3x|+3+ax．（1）若a=﹣1，解不等式f（x）≤5；（2）若函数f（x）有最小值，某某数a的取值X围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）若a=﹣1，不等式f（x）≤5，即为|3x﹣1|≤x+2，去掉绝对值解不等式f（x）≤5；（2）分析知函数f（x）有最小值的充要条件为，即可某某数a的取值X围．【解答】解：（1）当a=﹣1时，f（x）=|3x﹣1|+3﹣x，所以不等式f（x）≤5，即为|3x﹣1|≤x+2，讨论：当时，3x﹣1﹣x+3≤5，解之得；当时，﹣3x+1﹣x+3≤5，解之得，综上，原不等式的解集为…（2），分析知函数f（x）有最小值的充要条件为，即﹣3≤a≤3…。

高三二模数学科试卷质量分析第一篇：高三二模数学科试卷质量分析高三二模数学科试卷质量分析选择题与填空题具有题小量大、适度、全面考查的特点。

呈现基础、全面、核心、人文、和谐的特征。

试题简约、凝练、直击核心，留有恰当的思维、探究、应用、操作空间，有一定的综合度、开放度和创新度。

呈现方式多样化，价值取向明确。

选择题是针对学生薄弱点设置干扰点，又适当设置提示项为学生灵活解题提供条件。

选择题中的大多数题具有多种解法。

为基础扎实、思维活跃的学生提供了充分发挥聪明才智、快速灵活解题的平台。

选择题这一题型在培养和发展学生的思维能力上有其独特和不可替代的教育功能和评价功能。

填空题作为基本题型,与选择题共同肩负起基础、全面、核心、简约、和谐评价功能的同时，从解题过程看，已兼具解答题的特征。

从某种意义上说，具有更大的思维空间和开放度。

关注填空题的命题特点及设计走向、分析解题思路、总结归纳常用的解法和技能很有必要。

其功能是比较全面地、高效地对学生基本核心的学段学习目标进行考查，同时，由试题的立意、定位、取材、背景、问题设置、呈现方式共同蕴含的题感，渲染着一种氛围，学生的心理情绪和思维状态都会渐入佳境，为顺利完成解答题做好了准备。

第11题，常规题，难度小，学生得分率高。

第12小题，难度较小，只是部分学生粗心大意，把把-写成了，导致失分。

第13小题也是一道常规题，学生得分率较高。

第14题是一个归纳推理题，部分学生的归纳总结能力较差，把1+ + +…+﹤弄成了1+ + +…+﹤，反映出他们没有明确对应关系。

第15小题，常规题，以考查学生的基础知识和基本技能为主。

学生失分率较小。

文科的填空题都是一些基础题，以考查学生的基础知识为主。

第16题，第一问得分较高，考查等差数列通项公式的简单运用，个别学生计算错误，大部分为全分6分。

第二小问考查分组组合法求数列和，部分学生与错位相减法和相混淆，且运算能力不太过关。

结论错误本题平均可达9分左右。

2023—2024学年海南省高考全真模拟卷（二）数学1．本试卷满分150分，测试时间120分钟，共4页．2．考查范围：集合、常用逻辑用语、不等式、三角函数、平面向量、解三角形、函数和导数．一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．命题“1x ∀≥，2sin 1x x -<”的否定是（ ）A ．1x ∃<，2sin 1x x -≥B ．1x ∃≥，2sin 1x x -≥C ．1x ∀<，2sin 1x x -≥D ．1x ∀≥，2sin 1x x -≥2．已知集合{}270A x x x =-<，{}4B x x =>，则A B = （ ）A ．∅B ．()4,7C ．()0,+∞D ．()0,43．已知()2,3m =- ，()1,4n =- ，(),1p λ= ，若()3m n p +⊥，则λ=（ ）A ．9B ．9-C ．19D ．19-4．声强级I L （单位：dB ）由公式12101g 10I I L -⎛⎫=⎪⎝⎭给出，其中I 为声强（单位：2W /m ）．若学校图书规定：在阅览室内，声强级不能超过40dB ，则最大声强为（ ）A ．6210W /m -B ．7210W /m -C ．8210W /m-D ．9210W /m-5．已知函数()f x 的图象在区间[]1,3上连续不断，则“()f x 在[]1,3上存在零点”是“()310i f i ==∑，*i ∈N ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．我们把顶角为36︒的等腰三角形称为“最简三角形”．已知cos36︒=“最美三角形”的顶角与一个底角之和的余弦值为（）ABCD7．已知函数()()2sin 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在50,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有5个极值点，则当ω取得最小值时，()f x 图象的对称中心的横坐标可能为（ ）A ．730πB ．815πC ．1115π-D ．23π8．已知函数()23,3,69,3,x x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨-+->⎪⎩若函数()()()22g x f x af x ⎡⎤=-+⎣⎦有6个零点，则a 的值可能为（ ）A ．1-B ．2-C ．3-D ．4-二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知,a b ∈R ，且0a b >>，则（ ）A ．2222a a b b->-B ．532log log a b >C<D．))221122ab ->-10．下列命题正确的是（ ）A ．x ∃∈R ，24912x x +<B ．x ∀∈R ，22sin 5sin 30x x -+≥C ．若命题“x ∀∈R ，()212304a x ax +-+>”为真命题，则实数a 的取值范围为()(),13,-∞-+∞ D ．若[]10,3x ∀∈，[]21,2x ∃∈，使得()22511log 13x x m +≥-，则实数m 的最小值为1911．数学与生活存在紧密联系，很多生活中的模型多源于数学的灵感．已知某建筑物的底层玻璃采用正六边形为主体，再以正六边形的每条边作为正方形的一条边构造出六个正方形，如图所示，则在该图形中，下列说法正确的是（）A．1GH BD ⎫=⎪⎪⎭B．BE BD =+C．12GB BD CF =-D．IC BD =12．已知函数()cos tan 2f x x x x =-，则（ ）A ．π是()f x 的一个周期B ．()f x 的图象关于,02π⎛⎫-⎪⎝⎭中心对称C ．()f x ≤在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立D ．()12y f x x π=--在3,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的所有零点之和为4π三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知集合{}240A x ax =-=，{B x y ==，若A B A = ，则实数a 的值可以是________．（写出一个满足条件的值即可）14．若函数()221382sin x x f x m x -+⎛⎫=+⋅⋅ ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称，则m =________．15．已知正数a ，b满足11a b+=()()234a b ab -≥，则22a b +=________．16．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4c =，60C =︒，2DC BD DA =+，则DA DB ⋅的最大值为________．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且24cos 4cos a B c b A =-．（Ⅰ）求c的值；（Ⅱ）若3C π=，a b +=，求ABC △的面积．18．（12分）已知函数()24ln 1f x x x =-+．（Ⅰ）求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）求()f x 的单调区间与极值．19．（12分）某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元．已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产x 万件电子芯片需要投入的流动成本为()f x （单位：万元），当年产量不超过14万件时，()2243f x x x =+；当年产量超过14万件时，()4001780f x x x=+-．假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完．（Ⅰ）写出年利润()g x （万元）关于年产量x （万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本）（Ⅱ）如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？20．（12分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，(),m c b = ，3cos ,cos 22A B n B π⎛⎫+⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，且m n．（Ⅰ）若4a =，c =，求ABC △的周长；（Ⅱ）若2CM MB = ，3AM =，求a b +的最大值．21．（12分）如图为函数()()2cos f x x ωϕ=+0,2πωϕ⎛⎫><⎪⎝⎭的部分图象，且4CD π=，5,212A π⎛⎫-- ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求ω，ϕ的值；（Ⅱ）将()f x 的图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移34π个单位长度，得到函数()g x 的图象，讨论函数()y g x a =-在区间,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的零点个数．22．（12分）已知函数()22sin f x ax x =+，()f x 的导函数为()f x '．（Ⅰ）若()f x 在5,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）当[]0,x π∈时，记函数()f x '的极大值和极小值分别为λ，μ，求证：23λμ≥+．2023—2024学年海南省高考全真模拟卷（二）数学・答案1．B 因为全称量词命题的否定为存在量词命题，故“1x ∀…，2sin 1x x -<”的否定是“1x ∃…，2sin 1x x -…”，故选B ．2．C 因为{}{}27007A x x x x x =-<=<<，故()0,A B =+∞ ，故选C ．3．A 依题意，()31,9m n +=- ，故()390m n p λ+⋅=-+=，解得9λ=，故选A ．4．C 依题意，1210lg 4010I -⎛⎫⎪⎝⎭…，则4121010I -…，则810I -…，故选C ．5．B()310i f i ==∑，()()()*1230i f f f ∈⇔++=N ．“()f x 在[]1,3上存在零点”时，不一定有“()310i f i ==∑，*i ∈N”，但“()310i f i ==∑，*i ∈N ”时，一定有“()f x 在[]1,3上存在零点”，故选B ．6． A 依题意，“最美三角形”的顶角与一个底角之和为108︒，则()22cos108cos 18072cos7212cos 361212=-=-=-=-⨯=︒︒︒︒-=︒，故选A ．7．B 令()232x k k ππωπ-=+∈Z ，故()76k x k ππωω=+∈Z ，735,66745,66πππωωπππωω⎧+⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩…解得3155ω<…，故当ω取得最小值时，()2sin 53f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，令()253x k k ππ-=∈Z ，则12515x k ππ=+，所以8015f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故选B ．8．C 作出函数()f x 的图象如图所示，令()f x t =，则由题意可得220t at -+=有2个不同的实数解1t ，2t ，且()12,3,0t t ∈-，则280,9320,30,2a a a⎧⎪->⎪++>⎨⎪⎪-<<⎩解得113a -<<-，观察可知，3a =-满足题意，故选C ．9．CD 对于A ，令12a =，14b =，可知2222a a b b -<-，故A 错误；对于B，当a =，13b =时，52log 1a =-，3log 1b =-，此时532log log a b =，故B 错误；对于C ，因为>，所以<，故C 正确；对于D ，因为2211a b <，且021<-<，所以22112)2)a b ->，故D 正确，故选CD ．10．BD 对于A ，因为x ∀∈R ，24922312x x x +⋅⋅=…，当且仅当32x =时，等号成立，故A 错误；对于B ，令[]sin 1,1t x =∈-，则22sin 5sin 30x x -+…，即为22530t t -+…，而2253y t t =-+在[]1,1-上单调递减，故010y ……，故B 正确；对于C ，显然230a +>，且2230a a --<，解得13a -<<，故C错误；对于D ，当[]0,3x ∈时，()25minlog 10x ⎡⎤+=⎣⎦，当[]1,2x ∈时，min 1139x m m ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，故109m -…，所以19m …，故D 正确，故选BD ．11．ACD易知BC BD =，故21GH GA AE EH BC BD BD ⎫=++=+=⎪⎪⎭，而GH BD ，故A正确；易知2CF DE =，12BE BD DE BD CF =+=+ ，故B错误；12GB GA AB BD CF =+=- ，故C 正确；而CC IB BC =+ ，1124BC BD CF =-，)1324IB BF BC CF BD CF BD ⎫==+=+=+⎪⎭，故IC BD =+，故D 正确，故选ACD ．12．ABD()tan2f x x x =-，则()()()()tan2tan2f x x x x x f x πππ+=+-+=-=，故π是()f x 的一个周期，故A正确；因为()()()][()sin 2tan 2sin2tan20f x f x x x x x πππ⎡⎤--+=-----+-=⎣⎦，故()f x 的图象关于,02π⎛⎫-⎪⎝⎭中心对称，故B 正确；易知()22cos 2f x x x '=-，当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，令()0f x '=，解得8x π=，故当0,8x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，当,84x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，故max ()18f x f π⎛⎫==> ⎪⎝⎭C 错误；当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，结合奇偶性和周期性作出()f x 在对应区间上的大致图象如图所示，又12y x π=-，()y f x =的图象均关于,02π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，故D 选项中对应区间上所有零点之和为4π，故D 正确，故选ABD ．13．1（答案不唯一） 根据题意得{}2,2B =-，A B A A B =⇔⊆ ．若0a …，则A =∅，满足题意；若0a >，则44a=，得1a =，故横线上填写的a 的值满足0a …或1a =均可．14．12-依题意，()()424sin x x f x m x -=+⋅⋅为偶函数，sin y x =为奇函数，则()424x x g x m -=+⋅为奇函数，故()0120g m =+=，得12m =-．经检验，当12m =-时，()g x 为奇函数，()f x 为偶函数，故12m =-．15．6 由23()4()a b ab -…，得222()4a b ab a b -…，即21144ab a b ab⎛⎫+- ⎪⎝⎭…，故12ab ab +…．又12ab ab +=…，当且仅当1ab ab =时，等号成立，此时1,11ab a b=⎧⎪⎨+=⎪⎩故226a b +=．16．8825- 作ABC △的外接圆O ．设AB 的中点为M ，则由题意知()24DC AD BD MD =+= ，故15DM CM = ，()()222||||4DA DB DM MA DM MA DM MA DM ⋅=+⋅-=-=-，由60ACB ∠=︒，故点C 的轨迹是以AB 为弦，圆周角为3π的优弧上，故当CM AB ⊥时，CM 取最大值，即DM 取最大值，此时CAB △为等边三角形，DM =128842525DA DB ⋅=-=- ．17．解：（Ⅰ）依题意，24cos 4cos a B b A c +=，由正弦定理得，()4sin cos 4sin cos 4sin 4sin sin A B B A A B C c C +=+==，而sin 0C ≠，故4c =．（Ⅱ）由余弦定理得，22222cos ()332316c a b ab C a b ab ab =+-=+-=-=，得163ab =，故1sin 2ABC S ab C ==△．18．解：依题意，()42f x x x='-，0x >．（Ⅰ）()412121f =-'⨯=-，()114ln112f =-+=，故所求切线方程为()221y x -=--，即240x y +-=．（Ⅱ）令()0f x '=，解得x =(x ∈时，()0f x '<，当)x ∈+∞时，()0f x '>，故()f x的单调递减区间为(，单调递增区间为)+∞，则()f x的极小值为32ln2f =-，无极大值．19．解：（Ⅰ）根据题意得，当014x ……时，()()22163012303g x x f x x x =--=-+-，当1435x <…时，()()400163050g x x f x x x=--=--，故()221230,014,340050,1435.x x x g x x x x ⎧-+-⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩………（Ⅱ）当014x ……时，()2212303g x x x =-+-，且当09x ……时，()g x 单调递增，当914x <…时，()g x 单调递减，此时()max 2()98112930243g x g ==-⨯+⨯-=．当1435x <…时，()4005050210g x x x =---=…，当且仅当20x =时，等号成立．因为2410>，故当9x =时，()g x 取得最大值24，即为使公司获得的年利润最大，每年应生产9万件该芯片．20．解：因为m n ，故3cos cos22A B c B b π+⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由正弦定理得，sin sin sin cos2A B B C B +=．又sin 0B ≠，则sin cos cos sin 222A B C CC π+-===，即2sin cos sin 222C C C =，而sin 02C ≠，故1cos 22C =，故23C π=．（Ⅰ）由余弦定理得，2222cos c a b ab C =+-，即2217162402b b b ⎛⎫=+-⨯⨯-= ⎪⎝⎭，整理得23280b b --=，解得2b =或43-（舍去），c =ABC △的周长为6+．（Ⅱ）设0,3CAM πα⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，3CMA πα∠=-．由正弦定理得，sin sin sin CM AC AMCMA Cα==∠，即23sin sin 3a b παα===⎛⎫- ⎪⎝⎭a α=，3cos b αα=+，所以()3cos a b αααϕ+=+=+，其中tan ϕ⎫=⎪⎪⎭，,64ππϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则当2παϕ+=时，a b +．21．解：（Ⅰ）根据题意得，44T π=，故T π=，22Tπω==，故()()2cos 2f x x ϕ=+．将5,212A π⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入，得()52212k k πϕππ⎛⎫⨯-+=-+∈ ⎪⎝⎭Z ，解得()26k k πϕπ=-+∈Z ，又2πϕ<，故6πϕ=-．（Ⅱ）依题意，()23222cos 2cos 34633g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．函数()y g x a =-在区间,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()g x 的图象与直线y a =在,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的交点个数．当,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，224,3333x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，结合余弦函数图象可知，当,2x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，()g x 单调递减，当,22x ππ⎛⎤∈-⎥⎝⎦时，()g x 单调递增，且()1g π-=-，12g π⎛⎫=⎪⎝⎭，22g π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，作出函数()g x 在,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的大致图象如图所示．观察可知，当2a =-或11a -<…时，()y g x a =-有1个零点；当21a -<-…时，()y g x a =-有2个零点；当2a <-或1a >时，()y g x a =-有0个零点．22．解：（Ⅰ）依题意，()22cos f x ax x +'=，根据题意知，()0f x '…在5,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，即cos x a x -…在5,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立．令()cos x m x x -=，5,23x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()2sin cos x x x m x x +'=，令()sin cos n x x x x =+，2x π⎡∈⎢⎣，则()cos n x x x '=，则3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0n x '…，35,23x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0n x '>，故()n x 在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在35,23ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增．而02n π⎛⎫> ⎪⎝⎭，302n π⎛⎫< ⎪⎝⎭，503n π⎛⎫< ⎪⎝⎭，故03,22x ππ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，()00n x =，当0,2x x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0n x >，()0m x '>，当05,3x x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0n x <，()0m x '<，故min 53()min ,2310m x m m πππ⎧⎫⎛⎫⎛⎫==-⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭，则310a π-…，故实数a 的取值范围为3,10π⎛⎤-∞-⎥⎝⎦．（Ⅱ）令()()g x f x ='，则()()2sin g x a x -'=，设1x ，2x 分别为函数()f x '在[]0,π上的极大值点与极小值点，所以()()120g x g x ''==，12sin sin a x x ==，则01a <…，且12x x π+=．所以()11222222cos cos ax x ax x λμ-=+--，由12x x π+=，得21cos cos x x =-，其中102x π<…，1sin a x =，故()]()()11111111112222cos cos 233cos 23sin 3cos sin ax x a x x ax x a x x x x λμπππ⎡-=+--+=+-=+-⎣．设()3sin 3cos sin h x x x x x π=+-，0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则()()3cos h x x x π=-'，令()0h x '=，解得3x π=，故当03x π<…时，()0h x '<，()h x 在0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，当32x ππ<…时，()0h x '>，()h x 在,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，故()332h x h π⎛⎫= ⎪⎝⎭…，即23λμ-…，故23λμ+…．。

海南省海口市海南中学2023届高三二模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．给出下列说法，其中正确的是（ ）A ．若数据12,,n x x x L 的方差2s 为0，则此组数据的众数唯一B ．已知一组数据3，4，7，9，10，11，11，13，则该组数据的第40百分位数为8三、填空题13．某校高三年级有女生520名，男生480名，若用分层随机抽样的方法从高三年级学生中抽取一个容量为200的样本，则男生应抽取___________名.14．甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行某种劳动技能比赛，决出第1名到第5名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”，从这个回答分析，5人的名次排列共可能有________种不同的情况.（用数字作答）15．已知函数()3ln f x x x =+的图像在点()()11,A f 处的切线为l ，若l 与函数()g x 的图像也相切，切点为()2,B m ，则()()22g g ¢+=___________.四、双空题16．已知数列{}na 满足()12335213n n a a a n a ++++-=L ，则3a =__________，若对任意的N n *Î，()1n na l ³-恒成立，则l 的取值范围为_____________.才计划”的具体情况如下表（不存在通过3项程序考核放弃签约的情况）：【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算D ；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式；（5）代入韦达定理求解.。